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da indudable relación con el que ha tenido en la es-pecie humana.

Los PRIMEROS CICLOS MEDIOS Y EL M£TODO INTUITIVO.

La didáctica matemática alo largo de los ciclos medios

DIFICULTADES DE LA PROGRAMACIÓN CICLICA.

En otras ocasiones hemos hecho alusión a las ven-tajas del método cíclico, así como a la dificultad dela organización en ciclos de una materia, comola matemática estructurada desde muy antiguo segúnunidades lógicas bien definidas: Aritmética, Geome-tría (organizadas por los griegos), Algebra, Trigono-metría (árabes, renacimiento), Geometría analítica ycálculo infenitesimal (siglos XVII y XVIII). Claro es queademás de la ordenación jerárquica que la mismaevolución histórica de tales disciplinas ha determi-nado, cada una de ellas se desarrolla a su vez segúnuna amplia gradación de dificultades. Ello determinala inconveniencia de encasillarlas globalmente unatras otra, tomando como casillas los años que van dela niñez a la adolescencia, tal cual se hacía en elBachillerato de comienzos de siglo. Los alumnos deEuclides no fueron niños; la Aritmética y la Geo-metria manejan conceptos, estudian problemas yadoptan métodos que llegan a rebasar las posibili-dades intelectuales de un niño de diez a doce arios.Se hace, pues, necesario desintegrar tan venerablesunidades lógicas para integrar otras según principiosmejor adaptados a la evolución psicológica del esco-lar. Y ésta es la principal dificultad de la ordenacióncíclica de materia y de la programación consiguien-te, en la que es preciso equilibrar las tres exigenciasen lucha: la exigencia científica de la materia en sí,la exigencia psicológica del niño, y la exigencia socialque quiere hacer de él un ser útil.

La solución simplista consistente en recortar capí-tulos sucesivos de la Aritmética, Geometría, Algebray Trigonometría clásicas, y en irlos pegando de nue-vo alternadamente en los programas a lo largo delBachillerato (como se hizo, por ejemplo, en nuestroplan de estudios en 1934) no podía satisfacer ni unasni otras exigencias, y esta mala interpretación delmétodo cíclico motivó su descrédito y la añoranzacon que muchos profesores recordaban las antiguasasignaturas.

La solución correcta exigía la total reestructura-ción de la materia según unidades nuevas de carácterfuncional, que vinieron a reemplazar las antiguasunidades de carácter lógico con ventaja para la en-señanza. La historia misma, en su aspecto genéticomás que cronológico, puede ayudarnos a perfilar di-chas nuevas unidades funcionales, ya que, como hedicho en artículos anteriores, el proceso genético deformación de los conocimientos en el individuo guar-

Actividades matemáticas primeras del hombre fue-ron sin duda las de contar, medir y construir. El hom-bre primitivo contaba sus rebaños, medía sus terre-nos, construía sus cabañas. De tales actividades sur-gieron sus primeros conocimientos de Aritmética yGeometría. Hoy las generaciones que nos han prece-dido nos han legado dichos conocimientos estructu-rados y perfeccionados. Disponemos de un sistema denumeración que nos permite contar y calcular cómo-damente, según técnicas que el niño aprende ya enla escuela primaria. Disponemos asimismo de un sis-tema de unidades y de instrumentos que nos permi-ten medir y construir con mayor perfección que an-taño. Pero ello no altera la primigenia de tales acti-vidades en la evolución funcional de la humanidad.Parece, pues, razonable organizar un primer ciclo dematemáticas en el Bachillerato alrededor de estos tresverbos: contar, medir y construir.

Hablo, naturalmente, de contar en un sentido lato,que implique a la vez numeración y cálculo. Calcularno es, en el fondo, más que abreviar la operación decontar los conjuntos que se obtienen agregando, dis-gregando, reiterando, repartiendo... la revisión razo-nada de la numeración de las operaciones aritméti-cas con enteros y decimales constituyen, pues, un

primer objetivo natural de la Matemática en el Ba-chillerato.

Al emplear el adjetivo "razonada" no queremossignificar lo mismo que racional, deductiva o reduc-tiva. Toda la enseñanza matemática tiene que serrazonada, de otro modo se convierte en un empiris-mo recetario sin valor formativo. Pero una cosa esla organización racional de la ciencia matemática,que es esencialmente reductiva de unas verdades aotras; y otra cosa muy distinta es la búsqueda razo-nada del acceso directo a cada verdad a través deamplias realidades concretas. El niño puede llegar acomprender y hasta a descubrir por sí mismo la es-tructura de las operaciones que realiza y las verda-des que aplica por acción directa, real o imaginada.sobre cosas y hechos que las evidencien; y este tipode enseñanza matemática que es razonada sm serabstracta, que es realista sin ser empírica, es la quehemos calificado de enseñanza intuitiva y la que pro-pugnamos en los primeros ciclos del Bachillerato.

La actividad de agrupación de objetos aislados engrupos equivalentes; la de éstos en grupos de grupossegún la misma cuantía (base, etc.) permite al niñopenetrar fácilmente en la estructura de la numera-ción y de sus operaciones, y aun cuando pueda pare-cer inverosímil a los lectores que no lo hayan eXpe-rimentado, los niños que han penetrado en tal estruc-tura llegan en una sesión a operar en bases distintasde la decimal sin dificultad alguna.

La operación concreta de medida sugiere el con-cepto general de fracción cuando la unidad se divide

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en un número cualquiera de partes, y en particularsugiere la fracción decimal cuando se divide según po-tencias de 10, como ocurre en todo el sistema mé-trico decimal de medidas, que se repasa minuciosa-mente en este ciclo. En este caso las cifras decimalesobedecen al mismo principio del valor relativo, sub-sistiendo la misma notación que para los númerosenteros con la indicación, mediante una coma, de launidad de referencia. En los "Elementos de Aritmé-tica" de la colección intuitiva que escribimos haceaños en colaboración con mi querido maestro donJulio Rey Pastor, antepusimos, por cierto, el estudioy manejo de las fracciones decimales al de las ordi-narias. Y hemos seguido haciéndolo así en las adap-taciones sucesivas de nuestros textos, en atención a:1.9 ) La preponderancia que tienen las medidas deci-males sobre las fraccionarias en los países como elnuestro, que han adoptado desde antiguo el sistemamétrico decimal, 2. 9 ) La sencillez que se deriva de laaplicación inmediata del cálculo con números ente-ros sin más innovación que el aditamento de la comacolocada en su preciso lugar, 3. g ) La convenienciadidáctica de anteponer lo particular a lo general. Pro-cedemos, pues, de esta suerte, sin perjuicio de pre-sentar más adelante (segundo curso) las fraccionesdecimales y su cálculo como caso particular de lasordinarias, reduciendo unas a otras en ambos sen-tidos.

Las construcciones geométricas primeras, que enla más remota antigüedad se realizaron con la cuer-da tirante como único instrumento (que aún usamosen el encerado en funciones de regla y compás a untiempo) se enriquecen hoy con el uso de instrumentalde dibujo que es ya del dominio corriente (regla, com-pás, juego de escuadras, papel de calco...) y cuyo usoimplica movimiento. Sobre la congruencia, o transfor-mación por movimiento, parece, pues, natural edifi-car hoy los conocimientos geométricos primeros, yasí lo venimos haciendo, siguiendo la concepciónkleineana, desde la publicación de nuestros "Elemen-tos de Geometría" de la mencionada colección intui-tiva y en sus adaptaciones sucesivas a los primeroscursos del Bachillerato.

La Geometría estudia las propiedades intrínsecasde las figuras, es decir, las que no alteran con el mo-vimiento de las mismas. A cada clase de movimien-tos corresponde una clase de propiedades y un ins-trumento que permite realizarlas. El concepto de per-pendicularidad y sus propiedades surgen de la sime-tría axial, el de paralelismo se deriva de la trasla-ción, las propiedades del círculo y de las figuras circu-lares y sus ángulos aparecen con la rotación o giro.La regla, el juego de escuadras y el compás se mani-fiestan en su momento oportuno como instrumentospropios de cada género de movimientos. Problemasimposibles o difíciles con ciertos instrumentos resul-tan posibles o fáciles con otros. Ceñirse a un gruporeducido de ellos, es, pues, limitar los recursos prác-ticos de la Geometria encerrando en pobres angostu-ras- todo su alcance teórico. Así, por ejemplo, el papelde calco tiene, además de su evidente utilidad prác-tica, un gran interés teórico porque permite efectuarde una vez ciertos tipos de movimiento, mientras quecon la regla y el compás es preciso realizar paracada punto una construcción especial, y no aparece

en ella el concepto de grupo, que es el fundimentode la Geometría elemental y también de las Geome-trías superiores.

Con el estudio de los grupos de movimientos laGeometría elemental y sus construcciones se encua-dran en un marco vivo y moderno a un tiempo, res-pondiendo tanto a las exigencias de aplicación a lavida práctica y a los oficios (donde las formas geo-métricas se engendran por movimiento de máquinas)como a las exigencias teóricas que han removido losfundamentos de la Matemática en los últimos tiempos.

Continuando en torno a las operaciones primitivasmencionadas, si pasamos de la medición directa (ge-neradora de las primeras generalizaciones del con-cepto de número) a la indirecta, la cultura matemá-tica se enriquece considerablemente con la apariciónde nexos relacionales o funcionales entre magnitudes:las que se pretende medir y las que en su lugar semiden realmente. No hicieron otra cosa los primiti-vos medidores de extensiones de terrenos, de volúme-nes y pesos de bloques de piedras, de alturas, de dis-tancias innaccesibles..., cuando hubieron de acome-ter mediciones imposibles de realizar por procedi-miento directo (aplicación de la unidad sobre la can-tidad medida). La relación aritmética más sencillausada a tal efecto es la proporcionalidad. Con la pro-porcionalidad simple o compuesta, y con su aplica-ción geométrica a la semejanza, puede lograrse lamedición de distancias y alturas inaccesibles, y la demagnitudes geométricas y físicas de carácter com-puesto como las áreas, los volúmenes, las densidades,las velocidades, etc. Relaciones métricas derivadas dela semejanza o de la equivalencia, como es el teore-ma de Pitágoras, introducen asimismo la mediciónindirecta de diagonales, hipotenusas, catetos, etc., uti-lizando la radicación. Operación inversa es ésta que,juntamente a la directa de potenciación, puede serpresentada en el marco indicado, es decir, en el mo-mento en que parece funcionalmente necesaria. Contodo lo apuntado, así como con la mejora progresivade las técnicas de cálculo iniciadas en el ciclo ante-rior (reducción de fracciones a mínimo denominadorcomún, con el estudio previo necesario de la divisi-bilidad) es posible estructurar racionalmente un se-gundo curso de Bachillerato (como así se ha hechoen el plan actual) en el que queda ya iniciado el con-cepto de función que ha de tener más amplio des-arrollo en los ciclos sucesivos.

La teoría de la proporcionalidad se proyecta in-mediatamente a los problemas de Aritmética mer-cantil, de un lado, y a la teoría de la semejanza geo-métrica, de otro, con sus aplicaciones a los mapas,planos, escalas, pantógrafos, etc. El rico contenidoconcreto de unas y otras aplicaciones sugiere abun-dantes motivaciones iniciales de arranque de las teo-rías para el ejercicio de la enseñanza intuitiva y euris-tica en este nuevo ciclo elemental. Innecesario pareceañadir todo el interés educativo que tiene "el métodode proyectos", así como las realizaciones construc-tivas de las escuelas primarias modernas Dewey, De-croly, Claparède..., métodos que son igualmente apli-cables a los últimos grados de la primera enseñanzay a los primeros ciclos de la enseñanza secundaria,que, en nuestro país al menos, se solapan con aquéllos.

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LA INICIACIÓN AL CÁLCULO LITERAL Y AL ALGEBRA.

El uso de letras en lugar de números para expre-sar las propiedades generales de las operaciones ylas relaciones entre magnitudes no ofrece dificulta-des si se sabe graduar convenientemente y si se pre-senta en forma espontánea haciendo uso, por ejemplo,de letras iniciales de las palabras que designan losentes relacionados. Es posible hacer sentir como cosaviva la necesidad de su empleo al condensar en fór-mulas literales todas las soluciones de problemas aná-logos, es decir, resolubles por un mismo proceso decálculo. A través de la Aritmética aplicada puede,pues, el niño sentir el interés de una Aritmética lite-ral general, y aun iniciarse en los razonamientosefectuados con letras en lugar de números, con loque le situaremos a las puertas del Algebra. Esta esla forma funcionalmente justificada que preconiza-mos para iniciar al niño en la técnica algebraica enun tercer curso de Bachillerato.

El número negativo puede ser introducido en estecurso, y aun en cursos anteriores sin inconvenientealguno. No faltan ejemplos de la vida práctica queinducen a la posibilidad de interpretar restas cuyosustraendo es mayor que el minuendo: quedar, porejemplo, con saldo deudor cuando se gasta más quelo que se tiene; bajar más pisos que los que se hasubido en un edificio con sótanos; descensos de tem-peratura por debajo de los cero grados... El concep-to de cantidades y números opuestos surge así es-pontáneo permitiendo reducir a sumas las restas decantidades relativas, así como justificar la regla delos signos interpretando el signo menos como ope-rador consistente en tomar el opuesto, lo que implicasu carácter involutivo (perder profundidad es lo mis-mo que ganar altura, la disminución de una deudaequivale a la percepción de igual ganancia, etc.).

Debe cuidarse el método de forma exquisita en lainiciación al cálculo literal. Toda formalización y ver-balización prematuras y exageradas engendrarán losinevitables errores procedentes de extrapolaciones yconfusiones tan características de los escolares detodo el mundo en este grado. Y es que la enseñanzamatemática adolece universalmente del defecto de for-malismo anticipado. La analogia entre las propieda-des formales de la adición y de la multiplicación su-giere fácilmente en el alumno la confusión de unapor otra en cuanto se simbolizan, y, por tanto, tam-bién la confusión de sus respectivos elementos neu-tros cero y unidad. Los clásicos errores

am u u; —=0 ; x1 -1- 2=x6 ; (a +

b m b a

=-- + 19* ; ,V x2 - y =-- x + y ; etc.

no reconocen otro origen. El niño, lanzado prematu-ramente a un complejo automatismo cuyas reglas noha elaborado ni descubierto por sí mismo, las con-funde y las extrapola con facilidad; y transforma ysimplifica erróneamente por simple y explicable con-fusión con transformaciones similares perfectamentelícitas

(a -I- m)—(b+m)=--a—b ; ; .

; (a -I- b) n an ; iV . v°= . y ; etc....

Se hace, pues, necesario en esta etapa, quizá másque en ninguna otra, que el niño vaya conquistandopaso a paso su técnica de cálculo por un proceso pro-pio de autocorrección que le habitúe a reconocer susfallos, a rectificarlos, adquiriendo así seguridad yconfianza en evitarlos. En nuestro librito sobre "Di-dáctica matemática emistica" hemos descrito variosensayos de lecciones de cálculo literal desarrolladassegún método eurístico, con el que los alumnos des-cubren por si mismos las reglas operatorias (inclusola división de polinomios) obteniendo mucha mayorseguridad de cálculo que con los procedimientos usua-les fundados en la cómoda enunciación de reglas yen la anticipación consiguiente de automatismos irre-versibles generadores de tanta rigidez como inse-guridad.

Las mismas advertencias hechas a propósito de loscomienzos del cálculo literal pueden repetirse en loque se refiere a la iniciación de la teoría de ecuacio-nes. Es pena ver los estragos que ocasionan en nues-tro alumnado los procedimientos recetarios de todosaquellos profesores que se dedican a preparar en vezde formar. La falta de todo criterio simplificador enla elección de variables a eliminar en un sistema, larutinaria eliminación por sustitución de la x, aunqueresulte mucho más complicada que cualquier otro re-curso eliminarlo que salta a la vista, la invariableaplicación de la fórmula general que da las raícesde una ecuación completa de segundo grado aunquela ecuación sea incompleta, etc., son defectos no impu-tables al niño, sino a la comodidad o a la inopia mentaldel profesor que los ha cultivado.

Una vez más hemos de insistir, pues, en la incon-veniencia de anticipar las reglas y los automatismosal dominio previo de los procedimientos. El Algebranació sin duda entre los árabes en busca de una eco-nomia de pensamiento al tratar de mecanizar la so-lución de los múltiples y complicados problemas deherencia a los que eran tan dados. Una vez que elhombre ha dominado la solución de varios problemassimilares, busca una formalización de sus métodosresolutivos, es decir, una automatización de ellos quele libere de la repetición inútil de esfuerzos ante di-ficultades ya superadas. Tal proceso de economía in-telectual no sólo es lícito, sino necesario para todocerebro capaz de acometer nuevas dificultades conla energía así liberada. Pero anticipar los automa-tismos en un cerebro de formación es precisamenteincapacitarle para todo esfuerzo autónomo, consti-tuyendo en tal sentido un pecado de lesa pedagogía.

Por ello conviene no entregar demasiado pronto alalumno a la rutinaria comodidad del mecanismo al-gebraico, sino procurar que busque también caminosaritméticos de solución, por cierto algunas veces mu-cho más breves y directos que los algebraicos. Esclásico el problema del hortelano, llevando manza-nas, que al encontrar a tres guardas da al primerola mitad de las que lleva mas dos, al segundo la mi-tad de las que le quedan más dos, y al tercero la mi-tad de las sobrantes mas dos. Sabiendo que al final lequeda una, cuántas llevaba? Desandando lo andado,es decir, reconstruyendo los números de manzanasque iba teniendo en cada uno de los momentos delenunciado, recorrido a la inversa, la solución apa-

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rece inmediata, mientras que el planteamiento alge-braico da lugar a una incómoda ecuación.

El mecanismo algebraico de las ecuaciones y siste-mas lineales puede concretizarse mediante ejemplosde equilibrios en balanzas, conseguidos con pesas yobjetos de igual peso desconocido. Las manipulacio-nes que los mismos niños ejecutan en busca de equi-librios simplificados suministran una imagen muy pro-vechosa de los procesos resolutivos. Estos surgen asícomo resultado de una investigación activa en vezde unos razonamientos abstractos o de unas simplesreglas recetariamente suministradas. Particularmen-te instructiva y clara resulta la interpretación de lossistemas homogéneos obtenidos al plantear equilibriosentre varios objetos distintos de peso desconocido.

Es del mayor interés, no sólo por sus aplicacionesa la vida moderna, sino también por lo que tiene deformativo con vistas al estudio posterior de la Geo-metría analítica, ejercitar abundantemente al alumnoen el uso de gráficas cartesianas representativas delas funciones que la Aritmética y los primeros rudi-mentos de Algebra han suministrado ya en los gra-dos elementales. La vida ofrece ejemplos variadisi-mos que, de puro conocidos, es inútil repetir aquí;quizá entre los más complejos y educativos sean decitar las gráficas de móviles (ferrocarriles) con lasque pueden lograrse lecciones llenas de interés paralos muchachos, especialmente si se las sabe aderezarcon el pretexto de cualquier episodio policíaco.

Los CICLOS EVOLUTIVOS. LAS FUNCIONES TRASCENDEN-

TES Y LA TRIGONOMETRIA.

La complejidad creciente de las funciones que apa-recen en el mundo físico y social marcarán los ciclossucesivos en la etapa de transición de los cursos ele-mentales a los superiores de Bachillerato. Las leyesfísicas en las que intervienen funciones de segundogrado (la caída de los graves, por ejemplo ) puedendar motivo inicial para el estudio del trinomio de se-gundo grado, y para la resolución de las ecuacio-nes y problemas de segundo grado, con la necesariaintroducción previa de los irracionales cuadrativosy del calculo con radicales. El estudio de las progre-siones geométricas y del interés compuesto y de susaplicaciones pueden servir de introducción a las fun-ciones y ecuaciones exponenciales, mientras las pri-meras mediciones indirectas de distancias y alturasmediante el uso de goniómetros darán ocasión propi-cia para comenzar el estudio de la Trigonometría.En nuestro libro sobre "Didáctica matemática euris-tica" indicamos diversos motivos de iniciación acti-va para la introducción de las funciones trigonomé-tricas y la formación de tablas y gráficos en rela-(ión con problemas de mediciones al aire libre o enel interior de la clase.

Conviene descargar la trigonometría del despliegueabrumador de fórmulas iniciales con las que se solíapresentar antiguamente, y limitarse a deducir pro-gresivamente las que van haciendo falta a medidaque la complejidad de los problemas abordados loexige. Así, la resolución de triángulos rectánculos entedos los casos es tarea que el mismo alumno realizafácilmente con sólo recordar las definiciones de lasfunciones gonlométricas, seno, coseno y tangente y

disponer de unas tablas de ellas. El alumno mismoresuelve triángulos oblicuángulos eurísticamente, des-componiéndolos en triángulos rectángulos y resol-viendo éstos en el orden necesario. Como resumen delproceso resolutivo espontáneamente descubierto porel alumno se obtienen entonces los teoremas y lasfórmulas sintéticas llamadas "de los senos" y "delcoseno".

Creemos que el empleo de estos dos teoremas essuficiente en un Bachillerato formativo ordinario.Ellos bastarán para resolver, con la aproximación exi-gible en unos ejercicios escolares, los ejemplos prác-ticos de aplicación realizados con sencillos aparatosen los alrededores del Instituto o Colegio y su loca-lidad. Solamente en estudios medios de carácter pro-fesional ligados a la topografía y a la navegaciónes aconsejable insistir todavía en el problema de laresolución de triángulos, problema minúsculo dentrodel amplio cuadro de aplicaciones que aborda la ma-temática de hoy. La exagerada importancia que sesigue dando a la trigonometría en los problemas es-colares tiene su origen en un hábito heredado detiempos en los que la navegación, la topografía y lageodesia ocuparon un primer plano en las aplicacio-nes de la Matemática. El mejor conocimiento delgeoide terrestre a que había conducido la elección dela unidad métrica, el incremento de las comunicacio-nes por mar y tierra, la construcción de carreterasy vías férreas, la organización de las institutos geo-gráficos y castastrales... habían llegado a crear unaverdadera técnica calculista de resolución de trián-gulos con el empleo de fórmulas que redujeran al mí-nimo la búsqueda de datos en tablas logarítmicas yal máximo la exactitud (analogías, teorema de tan-gentes, fórmulas de Briggs). Pero todo bachilleratoesencialmente formativo ha de anteponer el cultivode ideas y el alumbramiento de vocaciones a la ad-quisición de técnicas específicas; y aun en los estu-dios medios en los que se trata de equilibrar lo téc-nico y la formativo (estudios medios profesionales alos que modernamente se tiende para mejorar la for-mación de las clases sociales que han de vivir de laagricultura, de la industria, del comercio) es de te-ner en cuenta que dichas técnicas presentan hoy yauna multitud tan grande de problemas vitales que suenfoque matemático se enriquece con amplias y nue-vas perspectivas a las que hay que dar pronto cabi-da, sacrificando, si es preciso, capítulos trasnocha-dos, por muy venerables que nos parezcan. Tanto des-de el punto de vista técnico como del formativo con-sideramos, por ejemplo, mucho más interesante daractualmente al bachiller una idea del funcionamien-to de las máquinas de calcular, de las relaciones al-gebraicas que rigen las conexiones de circuitos eléc-tricos, del manejo estadístico de colectivos..., queabrumarle con fórmulas trigonométricas de utilidadcasuística. Con las de adición de argumentos tendríabastante para formular en su día el incremento delseno o coseno y poder calcular sus derivadas.

ELABORACIÓN INTERNA DEL ESPACIO EUCLIDEO. TRANSI-

CIÓN DE LO INTUITIVO A LO RACIONAL.

El espacio intuitivo se elabora en el niño por un pro-ceso interno de idealización del espacio perceptivo.

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Experiencias fáciles de realizar (*) permiten com-

probar, por ejemplo, cómo el niño se forma espontá-

neamente los conceptos de plano infinito y de rectainfinita, aun partiendo de ilimitadas representacio-nes materiales de los mismos. No hay, pues. peligroalguno en partir de tales representaciones para in-

tuir las propiedades del espacio euclideo, ya que, aun

utilizando imágenes materiales, el niño las idealizaespontáneamente y elabora así su visión interna del

espacio euclídeo. Es de todo punto contraproducente

pretender edificar dicho espacio, como se hacía enlos cursos clásicos de Geometría (lo que aún recuer-do con horror de mi niñez) a fuerza de golpes dereducción a lo absurdo. "Supongamos que esta recta

no cortara el plano...", y el niño no podía suponer

tal cosa porque estaba intuyendo que tenían que cor-tarse. Se le desconcertaba asimismo admitiendo porevidentes ciertas propiedades (axiomas) y haciendodepender de ellas a continuación, tras largos razona-mientos, otras verdades no menos evidentes. El pro-

ceso lógico reductivo característico de la escuela grie-

ga no tiene interés alguno para el niño, el cual re-pugna a todo aquello que no obedece a una necesi-dad sentida. El niño tiene también su lógica, más fun-

cional que reductiva, y dentro de ella es perfecta-

mente consecuente.La evidencia sensible precede necesariamente a la

evidencia intuida y ésta a la evidencia lógica. La cons-trucción racional del espacio requiere un cierto gradode madurez mental y a ella debe llegarse progresiva-mente. En un principio interesa, sobre todo, que elniño adquiera múltiples vivencias sensibles, que las

interiorice convirtiéndolas en intuiciones, que fomenteasí la visión interna idealizada de las relaciones queligan los elementos del espacio a través de las ope-raciones típicas de la geometría: prolongaciones, pro-

yecciones, secciones, movimientos, etc.

El razonamiento reductivo se iniciará en su mo-

mento necesario para establecer aquellas primerasverdades que la intuición no alcanza o deja en duda.Surgirán así los primeros eslabones de cadenas de-ductivas. las cuales se irán prolongando a medidaque se vaya accediendo por vía deductiva a verdadesmenos evidentes. Así, por ejemplo, al estudiar las pro-

( • 1 V., por ejemplo, nuestro citado libro "Didácticamatemática euristica", publicado por la Institución deFormación del Profesorado de Enseñanza Laboral.

piedades de los ángulos inscritos en una circunferen-cia y su medida (lo que se hace sin dificultad en unsegundo curso) la relación con el ángulo central quepermite dicha medición indirecta, se ha conquistadoa través de la siguiente cadena de propiedades suce-sivamente implicadas: suma de los ángulos de untriángulo, valor del ángulo exterior, relaciones entrelos ángulos formados por dos paralelas y una secan-te, propiedades de la suma y diferencia de ángulos,estas últimas relaciones y propiedades directamente

intuible como consecuencia de las traslaciones, girosy simetrías. Como hemos dicho anteriormente, talesrazonamiento son perfectamente compatibles con laorientación de la enseñanza en los primeros ciclos.No contradicen la intuición, por el contrario, la ayu-dan donde aquélla no pueda llegar directamente, yvan preparando paulatinamente la transición de estafase primera a la fase última de penetración cons-ciente en el método racional y de elaboración conse-

cuente del espacio lógico.

En este proceso evolutivo de elaboración del espa-

cio euclídeo en la mente del escolar puede haber mo-mentos en los cuales se haga incluso precisa la dua-lidad de recursos: la llamada directa a lo intuíble(cuando no a lo perceptible, a lo visible y palpable)y acto seguido el razonamiento deductivo que con-firma y consolida. La evolución mental de los mu-chachos en estos cursos de transición entre la niñez

y la pubertad es tan rápida y tan desigual entreunos y otros que es frecuente la presencia en unamisma clase de mentalidades sensibilizadas ya a laevidencia lógica y de otras todavía insensibles a ella.Haciendo en tales casos un uso discreto de la duali-dad de métodos indicada, cada alumno adquirirá al

menos su verdad en el grado de evidencia adecuado

a su desarrollo.

En los estudios medios de carácter profesional y

técnico, la edificación interna del espacio euclídeodebe completarse con la iniciación en el lenguaje

descriptivo y tienen perfecta cabida en este gradounas primeras y elementales nociones sobre los siste-mas de representación más usados en los oficios y

en el dibujo, a saber, los planos acotados, el sistema

diédrico y la perspectiva caballera.

(Continuará.)

El arte y los niñosLos niños andan por ahí, crecen y sueñan con su

imaginación abierta el mundo del conocimiento que

les es posible.El acto de conocer supone previamente el de in-

tuir. Se ha dicho: "La intuición es la antesala de lainteligencia", del conocimiento. Los niños en arte sonla intuición del artista. La intuición es como alimen-to previo, natural, fruto del campo a su alcance enespera de los otros exactos, vitaminizados por la ra-zón, que les darán la noción rigurosa y precisa —y,

por tanto, menos poética-- que la intuitiva de hoy.

Cuando no se puede conocer se urde imaginativamen-te, se balbucean palabras o "palabros", se pinta...

Al coger un lápiz o un pincel, el niño trata de ex-plicarse todo lo que está a su alrededor. Las poesíasson misterios explicados para los mayores. Los dibu-jos coloreados son múltiples misterios; tantos comoel mundo tiene para ellos, para los niños. Al echarmano de un color o de una línea los niños desvelan,levantan el tapete del misterio por una de sus puntas.

No saben lo que hay debajo.Donde hay un bulto, ven una montañaDonde circula una hormiga, perciben tal vez un

monstruo.Donde pulula la gente, inventan un carnaval,