temas selectos de fÍsica 1

2

PRELIMINARES

Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2012.

Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora

Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México

La edición consta de 1,811 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES

DEL ESTADO DE SONORA

Director General

Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero

Director Académico

Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela

Director de Administración y Finanzas

C.P. Jesús Urbano Limón Tapia

Director de Planeación

Ing. Raúl Leonel Durazo Amaya

TEMAS SELECTOS DE FÍSICA 1

Módulo de Aprendizaje.

Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleres

del Estado de Sonora

todos los derechos reservados.

Segunda edición 2012. Impreso en México.

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular

Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur

Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

Registro ISBN, en trámite.

COMISIÓN ELABORADORA:

Elaborador:

Alfonso Bernardo Harita

Revisión Disciplinaria:

Luis Alfonso Yáñez Munguía

Corrección de Estilo:

Ana Martha Bogue Villegas

Apoyo Metodológico:

Supervisión Académica:

Mtra. Luz María Grijalva Díaz

Diseño:

María Jesús Jiménez Duarte

Edición:

Bernardino Huerta Valdez

Coordinación Técnica:

Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri

Diana Irene Valenzuela López

Coordinación General:

Dr. Manuel Valenzuela Valenzuela

3

PRELIMINARES

Ubicación Curricular

COMPONENTE:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

FÍSICO – MATEMÁTICO

HORAS SEMANALES:

03

CRÉDITOS:

06

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: _______________________________________________________________

Plantel: __________________________________________________________________

Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________

E-mail: _________________________________________________________________

Domicilio: ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

4

PRELIMINARES

5

PRELIMINARES

Presentación ......................................................................................................................................................... 7

Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8

BLOQUE 1: APLICAS LA ESTÁTICA ...................................................................................................... 9

Secuencia Didáctica 1: Vectores ........................................................................................................................10

• Estática ........................................................................................................................................................11

• Medición de las fuerzas ..............................................................................................................................12

• Fuerzas de acción a distancia ....................................................................................................................12

• Fuerzas de contacto ...................................................................................................................................13

• ¿Cómo se representan las fuerzas? ...........................................................................................................15

• Suma de vectores .......................................................................................................................................16

• Resta o diferencia de vectores ...................................................................................................................17

• Multiplicación de un vector por un escalar ................................................................................................20

• Producto escalar o producto punto ...........................................................................................................20

• Producto vectorial o producto cruz ............................................................................................................21

Secuencia Didáctica 2: Equilibrio de un cuerpo rígido ......................................................................................27

• Cuerpo rígido ..............................................................................................................................................28

• Condiciones de equilibrio ...........................................................................................................................28

• Centro de gravedad ....................................................................................................................................29

• Centro de masa ..........................................................................................................................................29

• Diagrama de cuerpo libre ...........................................................................................................................29

• Resolución de casos de equilibrio estático ...............................................................................................32

Secuencia Didáctica 3: Palancas y poleas ........................................................................................................40

• La palanca ..................................................................................................................................................41

• Las poleas ...................................................................................................................................................45

BLOQUE 2: CINEMÁTICA EN TU ENTORNO ...................................................................................... 51

Secuencia Didáctica 1: Movimiento de un cuerpo rígido ..................................................................................52

• Traslación y rotación de un cuerpo rígido ..................................................................................................53

• Movimiento en un plano .............................................................................................................................55

• Velocidad ....................................................................................................................................................56

• Traslación uniforme ....................................................................................................................................58

• Movimiento de traslación rectilíneo uniformemente acelerado .................................................................61

• Movimiento parabólico ...............................................................................................................................63

Secuencia Didáctica 2: Rotación de un cuerpo rígido ......................................................................................68

• Rotación de un cuerpo ...............................................................................................................................69

• Posición angular .........................................................................................................................................69

• Desplazamiento angular .............................................................................................................................70

• Velocidad angular .......................................................................................................................................73

• Aceleración angular ....................................................................................................................................75

• Traslación y rotación uniforme y uniformemente aceleradas ....................................................................78

• Relación entre los movimientos rotacional y lineal ....................................................................................78

Índice

6

PRELIMINARES

BLOQUE 3: ANALIZAS LA CINÉTICA ROTACIONAL .......................................................................... 85

Secuencia Didáctica 1: Aplicación de las Leyes de Newton ............................................................................ 86

• Leyes de Newton o leyes del movimiento ................................................................................................. 87

• Aplicaciones de las Leyes de Newton ....................................................................................................... 92

• Fricción ....................................................................................................................................................... 97

Secuencia Didáctica 2: Energía cinética de rotación ...................................................................................... 110

• Energía cinética de rotación .................................................................................................................... 111

• Ley de la conservación de la energía ...................................................................................................... 115

• Cantidad de movimiento angular ............................................................................................................ 118

• Momento de inercia de figuras regulares ................................................................................................ 118

Bibliografía........................................................................................................................................................ 129

Índice (continuación)

7

PRELIMINARES

“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.

El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso

que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las

competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un

mismo propósito en un determinado contexto.

El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Temas Selectos de Física 1, es una herramienta de suma

importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se

establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está

implementando a nivel nacional.

El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de

estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios

local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias

didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y

cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las

preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a

abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos

conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que

tu aprendizaje sea significativo.

Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que

realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.

En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y

actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma

individual, binas o equipos.

Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de

campo, etc.

La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa,

de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una

visión general del logro de los aprendizajes del grupo.

Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a

través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el

propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este

ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para

mejorar tu aprendizaje.

Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la

finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las

actitudes de responsabilidad e integración del grupo.

Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que

les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que

contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser

receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización

de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir

juntos.

Presentación

TEMAS SELECTOS DE FÍSICA 1

BLOQUE 1. Aplicas la estática.

Secuencia didáctica 1. Vectores.

Secuencia didáctica 2. Equilibrio de un cuerpo rígido.

Secuencia didáctica 3. Palancas y poleas.

BLOQUE 2. Cinemática en tu entorno.

Secuencia didáctica 1. Movimiento de un

cuerpo rígido.

Secuencia didáctica 2. Rotación de un cuerpo rígido.

BLOQUE 3. Analizas la cinética

rotacional.

Secuencia didáctica 1. Aplicación de las

Leyes de Newton.

Secuencia didáctica 2. Energía cinética de

rotación.

Tiempo asignado: 13 horas

Aplica la estática.

Competencias disciplinares extendidas:

2. Evalúa las implicaciones del uso de la ciencia y la tecnología, así como los fenómenos relacionados con el origen, continuidad y

transformación de la naturaleza para establecer acciones a fin de preservarla en todas sus manifestaciones.

3. Aplica los avances científicos y tecnológicos en el mejoramiento de las condiciones de su entorno social.

4. Evalúa los factores y elementos de riesgo físico, químico y biológico presentes en la naturaleza que alteran la calidad de vida de

una población para proponer medidas preventivas.

6. Utiliza herramientas y equipos especializados en la búsqueda, selección, análisis y síntesis para la divulgación de la información

científica que contribuya a su formación académica.

7. Diseña prototipos o modelos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos, hechos o

fenómenos relacionados con las ciencias experimentales.

8. Confronta las ideas preconcebidas acerca de los fenómenos naturales con el conocimiento científico para explicar y adquirir

nuevos conocimientos.

10. Resuelve problemas establecidos o reales de su entorno, utilizando las ciencias experimentales para la comprensión y mejora del

mismo.

Unidad de competencia:

Evalúa las aplicaciones de la estática a partir de la construcción de modelos esquemáticos y analíticos de las fuerzas vectoriales en

hechos notables de la vida cotidiana valorando las implicaciones metodológicas.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de

un objetivo.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

5.4 Construye hipótesis y Diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y

confiabilidad.

6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus propios puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos

conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

8.1 Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos

específicos.

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de

trabajo.

10

APLICA LA ESTÁTICA

Secuencia didáctica 1.

Vectores.

Inicio

Evaluación

Actividad: 1 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal

Reconoce el concepto de

interacción en situaciones

cotidianas.

Identifica en situaciones comunes,

para encontrar interacciones.

Realiza la actividad con

entusiasmo.

Coevaluación

C MC NC Calificación otorgada por el

docente

En equipo mixto de cuatro integrantes, resuelvan los cuestionamientos que se hacen a

continuación y comenten sus opiniones con los demás compañeros y con el profesor.

¿Qué entienden por interacción?

__________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________

Observen las interacciones de las imágenes e indiquen, en cada situación cuáles son los cuerpos que

interactúan y en qué consiste la interacción.

Cuerpos que interactúan Interacción entre ellos

Actividad: 1

11 BLOQUE 1

Desarrollo

Estática.

La Estática es la parte de la Mecánica que estudia las leyes del

equilibrio, es decir, aquellos cuerpos que se encuentran tanto en

reposo como en movimiento con velocidad constante (en la mayor

parte de los casos, la Estática estudia sistemas en reposo). Por otra

parte, la Dinámica estudia el comportamiento de los cuerpos con

movimientos acelerados. En ambos casos es necesario que dos o

más cuerpos interactúen entre sí.

Todos los objetos físicos del universo

están en una situación de intercambio de “acciones” de unos sobre otros y viceversa.

Esas acciones mutuas se denominan interacciones. La Física es la ciencia de las

interacciones, por eso es importante establecer sus semejanzas y diferencias.

El Universo es un mundo de interacciones y existe debido a que sus partículas

fundamentales interactúan, ya sea porque se descomponen o se aniquilan, o bien

porque responden a una fuerza debida a la presencia de otra partícula (por ejemplo,

durante una colisión). Todas las fuerzas del mundo se pueden explicar a través de las

interacciones.

Una Interacción no es lo mismo que una fuerza, dado que a la palabra "interacción" se le asigna un significado más

amplio. A pesar que los dos términos son usados a menudo como si fueran intercambiables, los físicos prefieren la

palabra "interacciones."

Una fuerza es la acción que un cuerpo ejerce sobre otro o viceversa. Por ejemplo,

indica la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2; las interacciones entre dos

cuerpos son traducidas a través del concepto de fuerza.

Las fuerzas pueden producir varios efectos en los cuerpos en que actúan, por ejemplo:

a) Deformaciones: estas producen en el cuerpo receptor cambios de forma. Estos cambios de forma pueden ser de

dos tipos: deformaciones plásticas y deformaciones elásticas

Las deformaciones plásticas se producen cuando el cuerpo receptor recibe una fuerza y modifica su forma, pero

cuando la fuerza deja de actuar no vuelve a recuperar la forma inicial.

Por ejemplo: Ignacia y Matías desean hacer figuras con

plastilina. Para ello toman un trozo de plastilina y

comienzan a modelar, una vez que le dan la forma que

desean, la plastilina no vuelve a recuperar la forma que

tenían cuando comenzaron a modelarla

Las deformaciones elásticas se producen cuando la

fuerza actúa sobre un cuerpo, le produce una

deformación y cuando deja de actuar el cuerpo vuelve a

su forma inicial. Por ejemplo: el elástico, los resortes, si

aplicas una fuerza sobre un globo, cambia de forma, pero

si dejas de apretarlo volverá a recuperarla.

b) Cambio en la dirección del movimiento: por ejemplo cuando juegas voleibol, la pelota va cambiando

constantemente de dirección.

Q1

F21 F12

Q2

12

APLICA LA ESTÁTICA

c) Aumento o disminución de la velocidad: cuando alguien se columpia y le pide a otra persona que le dé un

empujón.

d) Ponerse en movimiento o detenerse: en un partido de fútbol un delantero le da un puntapié a la pelota y la pone

en movimiento; el arquero, por su parte, ejerce una fuerza sobre la pelota para detenerla, impidiendo el gol.

Una fuerza es la causa que permite producir, impedir o modificar el movimiento de los cuerpos, deformar, alterar o no

las formas de éstos y su existencia a consecuencia de las interacciones entre cuerpos.

Como las fuerzas son consecuencias de las interacciones básicas que existen en la naturaleza, todas las fuerzas

observadas en ella pueden explicarse en función de las interacciones mencionadas.

Medición de las fuerzas.

Para medir la intensidad de una fuerza que se aplica a un cuerpo, se usa un

instrumento llamado “dinamómetro”. Este instrumento se vale de la elasticidad de

un resorte cuando una fuerza actúa sobre él para estirarlo.

Cuando una fuerza tira del resorte de un dinamómetro, este se estira y el indicador

se desplaza sobre una escala graduada que indica el módulo de dicha fuerza.

La unidad de medida de esta fuerza se denomina Newton (N), en honor al físico

inglés Isaac Newton.

Un objeto de1 kilogramo colocado en el extremo del dinamómetro, nos indica 9.8 N, es decir, un kg pesa 9.8 N en la

superficie de la Tierra, al nivel del mar.

Para muchos fines es conveniente dividir las diversas fuerzas que pueden actuar sobre un cuerpo material en dos

clases: fuerzas de acción a distancia y fuerzas de contacto.

Fuerzas de acción a distancia.

Las fuerzas se producen sin que haya contacto entre los cuerpos. En este tipo de fuerzas

es importante tener presente el concepto de “campo de fuerzas”. La Tierra crea en sus

inmediaciones un campo gravitatorio de fuerzas, una carga eléctrica crea a su alrededor

un campo eléctrico de fuerzas, un imán origina un campo magnético de fuerzas. Las

fuerzas de acción a distancia son:

• Fuerza eléctrica: Fuerza debida a la atracción o repulsión de cuerpos electrizados.

• Fuerzas nucleares fuerte y débil: Fuerzas desarrolladas en el núcleo de un átomo.

• Fuerza magnética: Fuerza debida a la atracción o repulsión de objetos

magnetizados.

• Fuerza gravitacional: Fuerza ejercida por la acción entre objetos debida a sus

masas.

13 BLOQUE 1

𝑃 = 𝑚��

𝑁

Fuerzas de contacto.

Se precisa para su producción que ambos cuerpos estén en contacto físico (sentido macroscópico). Esas fuerzas

son:

Fuerza elástica: un objeto es elástico cuando se deforma por la acción de una fuerza, pero que recobra su forma

primitiva cuando la fuerza deja de actuar. La fuerza elástica es aquella que se origina en un objeto elástico (banda de

goma o resorte) al estirarlo o comprimirlo.

Es una fuerza de origen electromagnético, debida a las fuerzas de interacción entre las moléculas del objeto elástico,

oponiéndose al estiramiento o comprensión. En particular, la fuerza que opone un resorte al estiramiento o

comprensión se llama fuerza recuperadora o fuerza restauradora.

Dentro de ciertos límites el módulo F de la fuerza recuperadora es directamente proporcional al estiramiento o

comprensión X del resorte. Es decir, = siendo “k” una constante de proporcionalidad que se denomina

constante de elasticidad. Este resultado se conoce con el nombre de Ley de Hooke.

Fuerza de tensión: es la fuerza ejercida por una cuerda, considerada

de masa despreciable e inextensible, sobre un cuerpo que está ligado

a ella.

Las fuerzas de tensión son aquéllas que se originan en objetos tales

como varillas, cables, alambres o cuerda, equilibrando las fuerzas

externas aplicadas en sus extremos, oponiéndose al alargamiento o

estiramiento de los mismos; son fuerzas de origen electromagnético

que se producen debido a las fuerzas de interacción entre las

moléculas del objeto, las cuales se oponen al alargamiento o

estiramiento.

Fuerza normal: es la fuerza ejercida por una superficie

sobre un cuerpo que se encuentra apoyado en ella y

actúa en dirección perpendicular al plano. Así por

ejemplo al representar un bloque que descansa sobre

una mesa. Debido a la atracción gravitatoria el bloque

ejerce una fuerza sobre la superficie de la mesa.

= , siendo m la masa del bloque y la

aceleración de la gravedad. Esta fuerza presiona

sobre la superficie de la mesa y como las moléculas de

ésta ofrecen resistencia a la compresión, la mesa

ejerce sobre el bloque una fuerza que se designa por

, del mismo módulo que , pero de sentido opuesto.

Fuerza de roce: aparece como consecuencia de la interacción de

contacto entre cuerpos.

La fuerza de roce, fricción o rozamiento (Fr) es aquélla que se origina

tangencialmente a la superficie de contacto de dos objetos

oponiéndose al movimiento de uno de ellos respecto al otro.

Esta fuerza es de origen electromagnético, debido a las fuerzas de

interacción entre las moléculas de las superficies en contacto. La

fuerza de roce aparece en la superficie de contacto entre dos cuerpos

cuando uno de ellas se desliza sobre el otro.

14

APLICA LA ESTÁTICA

Si no existiera el roce, el cuerpo que se desliza por un plano lo haría con movimiento rectilíneo y uniforme. Al existir el

roce, su movimiento es retardado, lo cual significa que su velocidad irá disminuyendo hasta quedar finalmente en

reposo.

Características de la fuerza de roce

- Siempre tendrá sentido opuesto al sentido de movimiento del cuerpo.

- La dirección de la fuerza de roce es paralela a la superficie de contacto.

- Es independiente del tamaño del área de contacto entre las superficies.

- Depende de la naturaleza de las superficies de contacto.

- La magnitud es directamente proporcional a la magnitud de la Normal a la superficie de contacto.

Matemáticamente se expresa = donde μ es el coeficiente de rozamiento

Coeficientes de rozamiento

Es la constante de proporcionalidad μ entre la fuerza de roce y la fuerza normal. Existen dos tipos de coeficientes que

son:

Coeficiente de rozamiento estático (µe) – Cuando el cuerpo está en reposo

Coeficiente de rozamiento cinético (µc) – Aparece en el momento en que el cuerpo está en movimiento.

Se sabe de forma experimental que la fuerza necesaria para mantener un objeto deslizándose a velocidad constante

es menor que la necesaria para ponerlo en movimiento. Es decir, que la fuerza de rozamiento cinético es

sensiblemente menor que la fuerza de rozamiento estático. Comparando las expresiones anteriores, se deduce que

µc<µ

e

Tabla de Coeficiente de Rozamiento

Coeficiente de rozamiento estático (µe)

Coeficiente de rozamiento cinético (µc)

Superficie de contacto (µe) (µ

c )

Acero sobre hielo 0.15 0.09-0.03

Acero sobre acero 0.78 0.42

Plomo sobre acero 0.95 0.95

Cobre sobre acero 0.53 0.36

Níquel sobre níquel 1.10 0.53

Teflón sobre teflón 0.04 0.04

Madera sobre madera 0.6 0.5

Madera sobre metal 0.65 0.4

Cuero sobre madera 0.3-0.4 --

Cuero sobre metal 0.7 0.3

Piedra sobre madera 0.76 --

Mampostería sobre hormigón 0.027 0.014

15 BLOQUE 1

¿Cómo se representan las fuerzas?

Las fuerzas no se pueden ver; sólo podemos ver sus efectos, como por ejemplo cuando se estira un elástico o

cuando se modela una figura en plastilina.

Podemos representar las fuerzas gráficamente por medio de vectores, al igual

que otras cantidades vectoriales tales como: velocidad, aceleración, campo

eléctrico, campo magnético, etc.

Los vectores nos permiten saber: la magnitud, dirección y sentido de la fuerza.

La magnitud o módulo es la cantidad de fuerza que se está aplicando sobre el receptor y se presenta por la longitud

de la flecha.

El sentido: se representa a través de la punta o extremo de la flecha.

La dirección: corresponde al ángulo formado por la línea recta que contiene al vector y a la horizontal.

Por convención, la fuerza se dibujará mediante un vector, cuyo origen se encuentra al centro del cuerpo receptor de la

fuerza, mientras que su dirección y sentido serán los mismos en que se aplica la fuerza, y su magnitud indicará la

cantidad de fuerza aplicada.

Muchas veces se confunde la dirección y el sentido de un vector, aun cuando indican cosas distintas: La dirección

puede ser vertical, horizontal o con cierto ángulo de inclinación. El sentido puede ser hacia la izquierda; hacia la

derecha; hacia abajo o hacia arriba.

Por ejemplo, si una persona levanta un objeto con su mano desde el suelo, la dirección de la fuerza es vertical,

mientras que su sentido es hacia arriba.

Otras cantidades vectoriales en Física son el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, campo eléctrico, campo

magnético, momento de una fuerza.

Ejemplo:

El desplazamiento: Un borrego que camina 18 metros hacia el sur de su corral.

=18 m, 270°

Nota: En el curso de Física 1 se trató el

tema de vectores, por lo que se

recomienda repasarlo.

16

APLICA LA ESTÁTICA

Fuerza: Para sacar un carro que cayó a una zanja, la grúa que se contrate para sacarlo debe de jalar de él con una

fuerza de 450 Newton hacia el norte.

= 450 N, 90°

Los vectores se representan también en forma simbólica con una letra y

una flecha sobre ella: . En los libros de texto, generalmente se

representan con letra negrita: A, B, C, F, d, v.

Para realizar operaciones con vectores, generalmente los ubicamos sobre

un sistema de coordenadas cartesianas, en el cual se pueden

descomponer en sus componentes ortogonales (componentes “x” y

componentes “y”. En la figura de la derecha podemos ver al vector y sus

componentes ortogonales son y

Suma de vectores.

Recordamos que los vectores pueden sumarse por los métodos gráficos del triángulo, paralelogramo y polígono,

obteniendo un vector resultante, al cual le podemos llamar

Estos métodos pueden presentar inexactitud, debido a los instrumentos utilizados. Para obtener una mayor precisión,

en la suma de dos vectores, se utilizan la ley de los cosenos (para obtener el módulo) y la ley de los senos (para

obtener la dirección).

También se puede utilizar el método de componentes

ortogonales, con el cual se pueden sumar dos o más vectores,

como en el siguiente caso, en el cual se quiere obtener la

suma: =

= la suma de los vectores da la resultante.

= la resultante también es la suma de sus

componentes.

17 BLOQUE 1

Donde:

= La suma de las componentes x.

= La suma de las componentes y.

= √

Por teorema de Pitágoras tenemos el módulo.

tan- y

x

Por trigonometría obtenemos la dirección.

Resta o diferencia de vectores.

Para poder entender la resta de vectores, tenemos que introducir los conceptos de vector nulo y vector opuesto o

vector negativo.

El vector nulo es aquel que tiene magnitud o módulo igual a cero

Dado un vector , se define el negativo de ese vector como un vector con la

misma magnitud que V, la misma dirección, pero con sentido opuesto:

Se define la resta de dos vectores a y b como la suma del primero con el

opuesto del segundo:

a –b = a + (–b)

En las figuras de arriba, se puede observar la diferencia entre la suma y la resta de dos vectores, por el método del

triángulo. Para la resta analítica por el método de las componentes ortogonales, bastará expresar a los vectores y

en componentes según un par de ejes y luego restar (en vez de sumar) las componentes según cada eje:

= La resta de los vectores da la resultante.

= La resultante también es la suma de sus componentes.

Donde:

= La resta de las componentes x.

= La resta de las componentes y.

= √

Por teorema de Pitágoras, tenemos el módulo.

tan- y

x

Por trigonometría, obtenemos la dirección.

a

b

a+ b aa b + (- )

-b

18

APLICA LA ESTÁTICA

Resuelve los siguientes problemas:

1. Obtén la suma de los siguientes vectores por la ley de los cosenos y por componentes ortogonales:

Actividad: 2

19 BLOQUE 1

Evaluación

Actividad: 2 Producto: Ejercicio práctico. Puntaje:

Saberes


Reconoce los métodos de suma

y resta de vectores por la ley de

los cosenos y por componentes

ortogonales:

Practica la suma y resta de

vectores, por los métodos de la ley

de los cosenos y las componentes

ortogonales.

Ejecuta el ejercicio con

perseverancia.

Autoevaluación


docente

2. Obtén la resta de los siguientes vectores por la ley de los cosenos y por componentes

ortogonales:

Actividad: 2 (continuación)

20

APLICA LA ESTÁTICA

Multiplicación de un vector por un escalar.

Multiplicar un vector por un número (escalar) es obtener un vector de igual dirección, de módulo igual al valor absoluto

del número por la intensidad del vector y cuyo sentido es el mismo u opuesto al del vector dado, según que el número

sea positivo o negativo.

Producto escalar o producto punto.

Hasta aquí hemos considerado la suma y resta de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar. Dos clases

de producto entre vectores son utilizados comúnmente en la Física: el producto escalar, que da por resultado un

escalar (un número), y el producto vectorial, que da por resultado otro vector.

Se define el producto escalar de dos vectores, como el escalar que resulta del

producto del módulo de uno de los dos vectores, por el módulo del otro y por el

coseno del ángulo entre ambos.

= AB cos

El símbolo de la operación producto escalar de vectores es un punto central y grueso

que se escribe entre los vectores a multiplicar: .

Una aplicación del producto escalar es el trabajo, una magnitud física escalar obtenida del producto escalar de los

vectores fuerza y desplazamiento: = . Su unidad de medida en el SI es N⋅m que se llama Joule, símbolo J.

= =

Trabajo realizado por una fuerza constante

21 BLOQUE 1

Ejemplo: Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las

direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

Solución:

Producto vectorial o producto cruz.

Es una operación entre dos vectores, cuyo resultado es también un vector; el símbolo de producto reservado para

esta operación es “×” y no es sustituible por otro símbolo usual de producto. El producto vectorial entre dos vectores

se define como un vector de dirección perpendicular al plano de los dos vectores a multiplicar, cuyo módulo es

el producto de los módulos de los dos factores por el seno del ángulo entre ambos | |= A ⋅ B ⋅ sen θ y cuyo

sentido es el dado por la regla de la mano derecha tomándola como un giro del primer vector hacia el segundo

recorriendo el ángulo más pequeño entre ambos vectores.

JW 84º0cos712

J42º60cos712W

J0º09cos712W

J39.59º135cos712W

J84º180cos712W

22

APLICA LA ESTÁTICA

En la figura de la izquierda el ángulo va en sentido contrario a las manecillas de un reloj y entonces el vector del

producto cruz va dirigido en el sentido que se desatornilla un tornillo como lo indica la mano. En la figura de la

derecha el ángulo va en sentido de las manecillas de un reloj y entonces el vector del producto cruz va dirigido en el

sentido que se atornilla un tornillo como lo indica la mano. Se observa también que el módulo de es el mismo

que el de pero de sentido contrario, es decir, = –

Una aplicación del producto vectorial es la torca o

momento de una fuerza, que nos da a conocer en qué

medida existe capacidad en una fuerza o sistema de

fuerzas para causar la rotación del cuerpo alrededor de un

eje que pase por un punto. Se define por torca o momento

de una fuerza a la expresión dada por: = , donde

es el vector posición en donde es aplicada la fuerza .

En la figura se observa que el cuerpo giraría alrededor del

eje indicado por “O” a causa de la aplicación de una fuerza

en el punto indicado por el vector de posición . El vector

que representa la torca, tiene una dirección perpendicular

a los vectores y , en este ejemplo es perpendicular

“saliendo del papel”, lo cual es representado por el símbolo

Cuando la dirección del vector es perpendicular “entrando al papel”, se representa con el símbolo .

Los símbolos y provienen de la representación de los extremos de

una flecha.

Cuando vemos el símbolo , estamos viendo la punta de la flecha, por

lo que indica que está “saliendo del papel”. Cuando vemos el símbolo

, estamos viendo la cola de la flecha, por lo que indica que está

“entrando al papel”.

La torca se representa con la letra griega (tau), pero también se utiliza la letra “M”.

El punto alrededor del cual el objeto giraría por la torca, se denomina eje, fulcro o pivote. Así como una fuerza sirve

para jalar o empujar un objeto, una torca sirve para girar o torcer un objeto, por ejemplo al apretar un tornillo con un

desarmador estamos aplicando una torca.

Ejemplo:

Una tabla de 80 cm de longitud está unida a la pared mediante una bisagra. Si se le aplica una fuerza de 50 N en su

extremo libre en la dirección señalada en la figura, ¿cuál será el momento de la fuerza?

Solución:

=

= = =

En este ejemplo, el ángulo es de 90° y sen 90° = 1.

La dirección de la torca o momento es perpendicular al papel y saliendo

de él. En los problemas que manejaremos, generalmente no

consideraremos la dirección del momento pero sí su sentido, el cual es

positivo (contrario a las manecillas del reloj).

23 BLOQUE 1

En forma individual resuelve los siguientes ejercicios

1. Obtén el producto escalar y el producto vectorial (cruz) de los siguientes vectores:

Actividad: 3

24

APLICA LA ESTÁTICA

Evaluación


Saberes


Identifica las significaciones del

producto escalar y el producto

vectorial.

Maneja las fórmulas de los

productos entre vectores en

situaciones prácticas.

Realiza los ejercicios con

perseverancia.

Autoevaluación


docente

2. Una tabla de madera de 65 cm va a girar alrededor del punto O por la acción de una

fuerza en el punto señalado en la figura. Calcula la torca producida.


25 BLOQUE 1

Cierre

En forma individual resuelve los siguientes problemas.

1. Dos, vectores forman entre sí un ángulo de 45°. Los módulos de ambos vectores valen 3 N.

Calcula:

a) La suma de los dos vectores, por los métodos de la ley de los cosenos y de las componentes ortogonales.

b) La resta de los dos vectores, por los métodos de la ley de los cosenos y de las componentes ortogonales.

Actividad: 4

26

APLICA LA ESTÁTICA

Evaluación


Saberes


Comprende las características y

operaciones básicas entre

vectores.

Utiliza las propiedades de los

vectores en la solución de

problemas.

Ejecuta los trabajos con esmero.

Autoevaluación


docente

c) El producto escalar de los dos vectores.

d) El producto vectorial de los dos vectores


27 BLOQUE 1


Equilibrio de un cuerpo rígido.

Inicio

Evaluación

Actividad:1 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes


Comprende los conceptos

básicos acerca del equilibrio de

los cuerpos rígidos.

Identifica las ideas necesarias para

comprender el equilibrio de los

cuerpos rígidos.

Es participativo en el trabajo

colaborativo.

Coevaluación


docente

En binas contesten las siguientes preguntas, anoten las respuestas y discútanlas en

forma grupal.

1. ¿Qué significa equilibrio?

2. ¿Qué se entiende por un cuerpo rígido?

3. ¿Qué diferencias hay entre la estática, la cinemática y la dinámica?

Actividad: 1

28

APLICA LA ESTÁTICA

Desarrollo

Cuerpo rígido.

Un cuerpo rígido se define como un cuerpo ideal cuyas partes

(partículas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí

cuando se somete a fuerzas externas, es decir, es no deformable.

Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tenga

movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en

muchas situaciones en las cuales la deformación del objeto es

despreciable.

El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento de traslación y de

rotación; para hacer su descripción es conveniente estudiar en forma separada esos dos

movimientos.

Por definición una partícula puede tener sólo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan

sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último

caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de

rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de las torcas que actúan sobre el cuerpo rígido es

cero, éste no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático. La

rama de la mecánica que estudia el equilibrio estático de los cuerpos se llama estática.

Condiciones de equilibrio.

Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos simultáneamente, llamados

condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio

de traslación. La segunda condición de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la siguiente

forma: “la suma vectorial de todas las torcas externas que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier

origen es cero”. Esto se traduce en las siguientes dos ecuaciones, consideradas como las

condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:

1ª condición de equilibrio (equilibrio de traslación): = ⇒ =

"Si un cuerpo se encuentra en equilibrio entonces la fuerza resultante que actúa sobre él

es igual a cero"

2ª condición de equilibrio (equilibrio de rotación): = ⇒ =

"Si un cuerpo se encuentra en equilibrio entonces el momento de fuerza resultante que

actúa sobre él es igual a cero"

Limitaremos el análisis a situaciones donde todas las

fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, están en el

plano xy, donde también obviamente se encuentra r.

Con esta restricción se tiene que tratar sólo con tres

ecuaciones escalares, dos de la primera condición de

equilibrio y una de la segunda, entonces el sistema de

ecuaciones se reduce a las siguientes ecuaciones

escalares:

= = =

29 BLOQUE 1

Centro de gravedad.

Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de gravedad o el peso del cuerpo.

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de

gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es

el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico

homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

Centro de gravedad de un triángulo Centro de gravedad de un perro

Centro de masa.

Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar

concentrada toda su masa y corresponde a la posición promedio de todas

las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de

cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría.

Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la

fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro

de masa como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces

se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos

cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de

gravedad, ya que aquí la gravedad es prácticamente constante. En otras

palabras, si g es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide

con el centro de masa.

Diagrama de cuerpo libre.

Para los efectos de la resolución de problemas y con el fin de reconocer el número de fuerzas que actúan sobre un

cuerpo se recomienda hacer el diagrama de cuerpo libre (DCL), dibujo donde aparece el cuerpo o partícula aislada en

estudio en igual posición que en el problema y en el que se indican todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo como

consecuencia de interacciones con otros cuerpos.

Por lo tanto para realizar el DCL de una partícula son imprescindibles tres cosas:

Elección del cuerpo problema.

Reconocer el número de interacciones a que está sometido el cuerpo.

Un sistema de referencia.

Para mayor facilidad en el tratamiento de los problemas es de uso frecuente ubicar el DCL en sistema de

coordenadas (X-Y), de tal manera que por lo menos una fuerza coincida con los ejes.

El centro de masa del

clavadista describe una

trayectoria parabólica

30

APLICA LA ESTÁTICA

Recomendaciones para dibujar el DCL del cuerpo rígido:

a) Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.

b) Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde las fuerzas efectivamente

actúan.

c) Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuerzas, donde dibujar la componente

perpendicular a la posición.

d) Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen las torcas de (algunas) fuerzas

desconocidas.

Ejemplo:

Dibujar el DCL de la esfera

En este ejemplo, sólo hay dos fuerzas: el peso de la esfera (hacia

abajo) y la tensión de la cuerda (hacia arriba). Dado que la esfera no

se mueve, la fuerza resultante es nula

= =

De donde =

Ejemplo:

Muestra de algunos sistemas (izquierda) y los correspondientes diagramas de cuerpo aislado (derecha). F representa

la fuerza trasmitida por la cuerda; N la normal; mg el peso y f la fuerza de roce o de fricción.

31 BLOQUE 1

Evaluación


Saberes


Entiende el concepto de

diagrama de cuerpo libre.

Ejercita el concepto de diagrama

de cuerpo libre en situaciones

prácticas.

Efectúa el ejercicio con esmero.

Autoevaluación


docente

En forma individual, resuelve los siguientes ejercicios:

Efectuar el diagrama de cuerpo libre (D.C.L) de los siguientes cuerpos

Actividad: 2

32

APLICA LA ESTÁTICA

Resolución de casos de equilibrio estático.

Con los elementos conceptuales y procedimentales vistos anteriormente, estamos en situación de poder resolver

casos en los que se presenten diversas fuerzas y momentos de torsión actuando. Mediante la aplicación de las

condiciones de equilibrio se podrán establecer diversas ecuaciones que nos permitirán resolver una o varias

incógnitas: un ángulo, alguna fuerza, etc.

En la siguiente figura vemos el DCL de una tabla de longitud L que tiene un

pivote (puede girar) en O. La tabla tiene su centro de gravedad es su mitad

y es ahí donde actúa la fuerza de gravedad de su propio peso W hacia

abajo. También actúan otras dos fuerzas hacia arriba, en los puntos A y B.

Las tres fuerzas producen momentos de torsión (torcas). Las fuerzas en A

y B tienden a hacer girar la tabla en sentido anti horario (contrario a las

manecillas del reloj), por lo que sus momentos son positivos. El peso

tiende a hacer girar la tabla en sentido horario (a favor de las manecillas

del reloj), por lo que su momento es negativo. Se dice que las fuerzas

“tienden a hacer girar la tabla” pero, como existe un equilibrio estático, la

tabla no se mueve. Los casos en los que los objetos se mueven y giran

son estudiados por la dinámica y la cinemática.

Ejemplo:

Un bloque de 120 N es sostenido por dos cuerdas tal como se muestra. Calcular las fuerzas de tensión en cada

cuerda.

El DCL del bloque es:

33 BLOQUE 1

W=100 N

T2Y

T2X

0

T2

T1

30o

Ubicamos las fuerzas en un sistema de coordenadas rectangulares:

En el eje “x” se cumple: =

+T2cos 53º - T

1cos 53º = 0 → T

1 = T

2

En el eje “y” se cumple: =

+T1sen 53º + T

2sen 53º - 120 = 0

T1sen 53º + T

1sen 53º - 120 = 0

2 T1sen 53º = 120

T1 = 75 N

Como T1 = T

2→ T

2 = 75 N

Ejemplo:

La solución de problemas donde intervengan tres fuerzas concurrentes se

puede efectuar de dos formas, las cuales se ilustran con el siguiente ejemplo.

Un cuerpo que tiene un peso W=100N se mantiene en equilibrio suspendido

por dos cuerdas como se muestra en el DCL de la derecha. Una de las

cuerdas tira del cuerpo en forma horizontal; la otra, amarrada de un gancho

anclado en un techo, formando un ángulo de 30° con la vertical. Calcular las

fuerzas de tensión T1 y T

2 que experimentan las cuerdas.

Solución por el método de las componentes.

Para la solución de problemas por este método es indispensable tomar en

cuenta lo que se conoce como:

Primera condición de equilibrio

La suma algebraica de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo debe

ser igual a cero. Es decir:

∑ F 0

Esto equivale a decir que la suma algebraica de las componentes de la

fuerza que actúan sobre un cuerpo en cualquier dirección, debe cumplir con:

a) La suma algebraica de las componentes horizontales es cero; esto es:

∑ FX = 0

b) La suma algebraica de las componentes verticales también es cero.

∑ Fy 0

Las componentes horizontales de las fuerzas que se dirijan hacia la derecha serán positivas y hacia la izquierda

negativas.

Las componentes verticales de las fuerzas que se dirijan hacia arriba serán positivas, y hacia abajo, negativas.

Para la resolución del presente problema tendremos:

T1 y T

2 las fuerzas de tensión buscadas y w = 100 N el peso.

El punto “O” se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas:

34

APLICA LA ESTÁTICA

Primera condición de equilibrio.

1) Las fuerzas que actúan horizontalmente (ver figura) son T1 y T

2X. Entonces:

∑ FX = 0

T2X– T

1 = 0 o sea T

2X= T

1

2) Las fuerzas que actúan verticalmente (ver figura) son W y T2Y

. Entonces:

∑ FY= 0

T2Y– w = 0 ó sea T

2y = w = 100 N por lo tanto tenemos que:

T2 =T

2 Y / cos 30

0

= 100 N / 0.866 = 115 N y

T1 = T

2X = T

2Y tan 30

0

= 100 N (0.577) = 57.5 N

O también T1 = T

2X sen 30

0

= 57.5

T2Y

= T2 cos 30

0

Solución por el método del triángulo vectorial.

En la figura el punto “O” se encuentra en equilibrio bajo la acción de las tres fuerzas w, T1 y

T2, por lo tanto, se puede dibujar un triángulo rectángulo cuyos catetos son T

1 y w. Siendo

T2 la hipotenusa del mismo.

De esta forma los valores de T1y T

2 se obtienen como sigue:

T1 = w tan 30

0

= 100 N ( 0.577) = 57.7 N

T2 = w / cos 30

0

= 100 N / 0.866 = 115 N

Este método es mucho más sencillo, pero hay que tener presente que sólo se puede utilizar en los casos en que con

el sistema de fuerzas se pueda construir un triángulo.

30o

w

T1

T2 30

o w

T1

T2 30

o w

T1

T2

35 BLOQUE 1

En forma individual resuelve los siguientes ejercicios:

1. De dos ganchos empotrados en un techo horizontal se amarran los extremos de una cuerda

de 11 m de longitud. Los ganchos se encuentran separados por una distancia de 9 m. A los 4

m del extremo izquierdo de la cuerda se cuelga un peso de w = 100 N. Calcular las fuerzas

de tensión T1 y T

2 en los extremos de la cuerda.

Actividad: 3

36

APLICA LA ESTÁTICA

Evaluación


Saberes


Conoce los pasos necesarios

para la resolución de casos

sencillos de equilibrio estático.

Emplea los pasos requeridos para

la resolución de casos sencillos de

equilibrio estático.


entusiasmo.

Autoevaluación


docente

2. Con los datos de la figura determina el peso del cuerpo suspendido si la tensión de la

cuerda diagonal es de 20 N.


37 BLOQUE 1

Cierre

1. Se suspende un peso w = 600 N del poste BC representada en la figura utilizando para ello

la barra OA de 4 m de longitud, articulada en el punto A y sostenida por la cuerda OB

amarrada al poste en el punto B situado a 3 m por arriba del punto A. Calcular la fuerza de

tensión T en la cuerda y la de compresión P en la barra.

Actividad: 4

38

APLICA LA ESTÁTICA

2. Determina la intensidad de la fuerza F4 según los datos de la figura.


39 BLOQUE 1

Evaluación


Saberes


Domina los conceptos relativos

al equilibrio estático de los

cuerpos rígidos.

Resuelve casos de equilibrio

estático de cuerpos rígidos.

Emprende las actividades con

responsabilidad.

Autoevaluación


docente

3. En la figura las tensiones en las cuerdas A y B son 8 N y 24 N respectivamente. Determina

el peso del bloque


40

APLICA LA ESTÁTICA


Palancas y poleas.

Inicio

Evaluación


Saberes


Comprende los fundamentos

básicos acerca de las palancas

y las poleas.

Identifica las diferencias entre las

palancas y las poleas.

Efectúa la actividad con

entusiasmo.

Coevaluación


docente

En binas contesten las siguientes preguntas y comenten sus conclusiones en grupo.

1. ¿Cuál es la utilidad de las palancas, desde el punto de vista físico?

2. ¿Para qué sirven las poleas y “tecles” (tackle en inglés)?

3. ¿Qué se gana y qué se pierde cuando se utilizan palancas y poleas?

Actividad: 1

41 BLOQUE 1

Desarrollo

La palanca.

La palanca es una barra rígida apoyada en un punto sobre la cual se aplica una fuerza pequeña en un extremo, para

obtener una gran fuerza en el otro extremo; la fuerza pequeña o la fuerza que aplica la persona para mover el cuerpo

se denomina "potencia" y la gran fuerza o el peso del cuerpo que se quiere mover se llama "resistencia". Al eje de

rotación sobre el cual gira la palanca se llama "punto de apoyo" o "fulcro".

La fuerza de apoyo es la ejercida por el fulcro sobre la palanca. Si no se considera el peso de la barra, será siempre

igual y opuesta a la suma de las anteriores, de tal forma de mantener la palanca sin desplazarse del punto de apoyo,

sobre el que rota libremente.

Brazo de potencia; Bp: la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza de potencia y el punto de apoyo.

Brazo de resistencia; Br: distancia entre la fuerza de resistencia y el punto de apoyo.

Cuanto mayor sea la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el punto de apoyo, menor es el esfuerzo que

hay que realizar.

Una masa se equilibra con otra veinte veces menor, si la situamos a una distancia del fulcro veinte veces mayor.

42

APLICA LA ESTÁTICA

Nos encontramos con tres géneros, tipos, grados o clases de palancas:

Primer género. El punto de apoyo se encuentra entre la resistencia y la potencia, por ejemplo, la balanza.

Segundo género. La resistencia está entre el punto de apoyo y la potencia, por ejemplo, la carretilla.

Tercer género. La potencia está entre el punto de apoyo y la resistencia, por ejemplo, la caña de pescar.

43 BLOQUE 1

Ley de equilibrio de la palanca

Esta ley no es más que una consecuencia de la aplicación de la segunda condición de equilibrio estático, la cual

establece que la suma de los momentos debe ser cero, entonces el momento de la potencia debe ser igual al de

resistencia:

Mp = Mr

P × Bp = R × Br

La potencia (P) por su brazo (Bp) es igual a la resistencia (R) por el suyo (Br).

Ejemplo:

Se tiene una palanca de 4m de largo en la que hay una carga de20 kg, que está a 2.7 m del eje. ¿Cuál será el valor de

la potencia, si esta fuerza se encuentra a 1.3 m del eje? El peso de la barra es despreciable.

Solución

P × Bp = R × Br

P = R×Br/Bp = (20×9.8) N ×2.7 m/1.3 m = 407 N

44

APLICA LA ESTÁTICA

Evaluación


Saberes


Identifica los conocimientos

básicos relativos a las palancas,

como un caso de aplicación del

equilibrio de los cuerpos rígidos.

Ejercita los conocimientos relativos

a las palancas en casos cotidianos.

Actúa de forma responsable y

con entusiasmo al realizar el

ejercicio.

Autoevaluación


docente

En forma individual resuelve los siguientes problemas.

1. En la figura está representada una barra rígida apoyada en P. En el extremo está colgado

un cuerpo de1 Kg de masa. ¿Cuál debe ser la masa X del otro cuerpo que está colgado

en el otro extremo para que el sistema quede en equilibrio en la posición indicada en la

figura? (Considera despreciables la masa de la barra y los rozamientos)

2. Si F1 = 2F

2, y el momento resultante es cero, hallar el valor de “x”

Actividad: 2

45 BLOQUE 1

Las poleas.

Una polea no es más que una rueda que puede girar libremente alrededor de un eje que

pasa por su centro.

Un sistema de poleas es un dispositivo con el cual se puede variar la dirección y la

magnitud de una fuerza para obtener alguna ventaja mecánica.

Una sola polea fija se utiliza para cambiar la dirección

y sentido de una fuerza, mientras que una

combinación de varias poleas puede utilizarse para

reducir la fuerza que se necesita para levantar una

carga pesada.

Al sostener el peso R debemos aplicar una fuerza F. Y para que la polea no rote la

suma de los momentos de las fuerzas aplicadas debe ser cero, o sea:

F × r – R × r = 0 de donde F = R

lo cual indica que la fuerza motriz es igual a la resistencia(en ausencia de roce, ya

que con él la fuerza F es un poco mayor).

A diferencia de la polea fija, la polea móvil se apoya

sobre la cuerda.

Tiene un movimiento de rotación (sobre su eje) y otro

de traslación, este es debido a que está en la cuerda.

El peso del objeto se descompone entre las dos ramas

del cordel; luego la fuerza aplicada será sólo la mitad

de la resistencia. (Esto en ausencia de roce)

Si se pone a trabajar una polea móvil veremos que la

rotación se produce alrededor del punto O. Para que esté en equilibrio, la suma de las

torcas producidas por la fuerza motriz y la resistencia debe ser cero.

La resistencia actúa con brazo ‘r’ y la fuerza ‘F’ con 2r.

Luego:

F × 2r = R × r De donde F = R/2

En la figura de la derecha observamos un sistema de 2poleas llamado polipasto.

La polea superior se fija a un soporte estacionario, en tanto que la polea inferior

se mueve con la carga. Es evidente que en estas condiciones las dos secciones

paralelas de cable soportan la carga (de 100 N) soportando cada una de ellas

una tensión de 50 N.

46

APLICA LA ESTÁTICA

En la figura de arriba vemos varios aparejos o polipastos con creciente número de poleas cada uno. Se puede

observar que la potencia requerida para levantar la carga es la carga misma dividida entre el número de cuerdas o

poleas, es decir F = R/n donde “n” es el número de poleas o segmentos de cuerda que mueve la fuerza. Aunque

hablamos de diversos números de cuerdas en realidad es una sola cuerda que va rodeando a cada polea. Otro

detalle es que a mayor número de poleas, mayor la distancia que hay que jalar la cuerda para levantar la carga una

misma altura.

En el cuerpo humano abundan las palancas sobre todo las de tercer género, pues favorecen la resistencia y por

consiguiente la velocidad de los movimientos.

47 BLOQUE 1

Evaluación


Saberes



teóricos y prácticos relativos a

las poleas.

Aplica los conocimientos sobre las

poleas en situaciones prácticas.


esmero.

Autoevaluación


docente


1. Un cuerpo es sostenido mediante un aparejo potencial de 5 poleas de una sola cuerda. Si la

potencia aplicada es de 60 N, ¿cuál es el peso del cuerpo?

2. En el siguiente aparejo potencial, demuestra que F = P/8 (en este caso, se observa que no es una sola

cuerda, así que es diferente)

Actividad: 3

48

APLICA LA ESTÁTICA

Cierre

En forma individual realiza los siguientes ejercicios:

1. Indica de qué grado son las siguientes palancas señalando en cada una el apoyo, la

potencia y la resistencia.

2. Calcula la fuerza que tiene que hacer un operario para levantar un armario de 150 N con una palanca de

longitud 1.2metros, si la distancia entre el apoyo y el peso es de 200 mm. Realiza el dibujo de la palanca de

primer grado.

3. Calcula el peso que puede levantar un operario con una fuerza de 50 N y una palanca de longitud 100 cm si

la distancia entre el punto de apoyo y el peso es de 200 mm. Realiza el dibujo de la palanca de primer

grado.

Actividad: 4

49 BLOQUE 1

4. Se quiere pescar un pez de 2 kg con una caña de pescar que mide 320 cm. Calcula la

fuerza con la que se tiene que tirar si la mano está sujetando la caña a 80 cm de su

extremo más lejano del pez.

5. Calcula la distancia del punto de apoyo al peso en una palanca de longitud desconocida, si con ella

queremos levantar un peso de 100 kg aplicando una fuerza de 400 N. La distancia del punto de apoyo al

punto de aplicación de la fuerza es de80 centímetros.

a. ¿Cuánto mide la palanca, si es de primer orden? Dibújala.

b. ¿Cuánto mide si es de segundo orden? Realiza el dibujo.

6. Queremos levantar un cubo de 10 kg para sacar el agua de un pozo.

a. ¿Qué fuerza debemos realizar para sacar el agua de dicho cubo con una polea fija?


50

APLICA LA ESTÁTICA

Evaluación


Saberes



teóricos y prácticos relativos a

las palancas y las poleas.

Emplea los conocimientos sobre

las palancas y las poleas en



esmero.

Autoevaluación


docente

b. ¿Y con una polea móvil?

c. ¿Y con un polipasto de 6 poleas?

7. Si realizo una fuerza de 1000N con un polipasto de 8 poleas, ¿Qué resistencia puedo levantar?



Cinemática en tu entorno.


2. Evalúa las implicaciones del uso de la ciencia y la tecnología, así como los fenómenos relacionados con el origen, continuidad

y transformación de la naturaleza para establecer acciones a fin de preservarla en todas sus manifestaciones.

6. Utiliza herramientas y equipos especializados en la búsqueda, selección, análisis y síntesis para la divulgación de la

información científica que contribuya a su formación académica.

8. Confronta las ideas preconcebidas acerca de los fenómenos naturales con el conocimiento científico para explicar y adquirir

nuevos conocimientos.

10 Resuelve problemas establecidos o reales de su entorno, utilizando las ciencias experimentales para la comprensión y mejora

del mismo.


Conoce y describe el comportamiento de la cinemática aplicando los conceptos de desplazamiento y velocidad angular, deduciendo

la fuerza centrípeta y centrífuga en su entorno.

Aplica los conceptos de movimiento de traslación y rotación en forma apropiada en la realización de actividades experimentales

atendiendo problemas relacionados con el movimiento que se efectúe.


4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance

de un objetivo.

5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

5.4. Construye hipótesis y Diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su

relevancia y confiabilidad.

6.3. Reconoce los propios prejuicios, modifica sus propios puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos

conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

8.1. Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos

específicos.

8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos

equipos de trabajo.

52

CINEMÁTICA EN TU ENTORNO


Movimiento de un cuerpo rígido.

Inicio

Evaluación


Saberes


Reconoce los conceptos

básicos relativos al movimiento

de los cuerpos.

Razona sobre los conceptos

básicos que explican el

movimiento.

Se esmera en realizar la

actividad.

Coevaluación


docente

En equipo mixto de cuatro integrantes comenten los conceptos que se enlistan a

continuación y posteriormente compartan sus opiniones con los demás compañeros y

con el profesor.

1. Cuerpo rígido.

2. Traslación.

3. Rotación de un cuerpo.

Actividad: 1

53

BLOQUE 2

Desarrollo

Ya hemos mencionado que la Cinemática trata el movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que lo

producen, es decir, se estudian magnitudes físicas tales como la distancia, desplazamiento, rapidez, velocidad,

distancia y aceleración en el transcurso del tiempo, pero no se discute nada acerca de las fuerzas.

Traslación y rotación de un cuerpo rígido.

No hay cuerpo que sea completamente rígido, pero podemos considerar como ejemplo las moléculas, las viguetas de

acero y los planetas (por lo general, sólidos) como lo suficientemente rígidos, de modo que no se tuercen ni se doblan

ni vibran.

En un cuerpo rígido se distinguen dos tipos de movimiento: la traslación y la rotación.

Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma velocidad en cada instante

(aunque la trayectoria puede ser curvilínea). Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran alrededor de un mismo eje

(llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular (en la figura de la derecha, el eje de rotación es

perpendicular al papel y por el punto O). En general el movimiento del cuerpo

será una combinación de ambos.

Un cuerpo rígido se mueve en una traslación pura, si cada partícula

del cuerpo experimenta el mismo desplazamiento que todas las

demás partículas en un intervalo de tiempo dado.

Cuando el cuerpo está en traslación pura (o cuando el interés es en analizar su movimiento de traslación), se puede

asumir como si fuera una partícula1

.

1 La partícula puntual, masa puntual o partícula es una idealización física en la que se considera el cuerpo en estudio como si fuese puntal, es decir

carente de dimensiones cualquiera que sea su tamaño dependiendo tan sólo del contexto del problema a tratar.

El paradigma de esta idealización es considerar cuerpos de gran tamaño; como los planetas como si fuesen masas puntuales o partículas a los

efectos de aplicar las leyes de la Gravitación Universal.

Desde un punto de vista cinemático el único tipo de movimiento de una partícula es el movimiento de traslación, ya que al carecer de dimensiones

no puede poseer rotaciones intrínsecas o movimiento de rotación.

54


Ejemplos de movimientos de traslación y rotación:

Un esquiador deslizándose por una montaña.

Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay interés en lo que pasa con la bicicleta sino con el sistema como

un todo.

El análisis de la traslación de la Tierra alrededor del sol (en este caso la Tierra se consideraría una partícula).

En el caso de querer estudiar la rotación de un cuerpo no se puede asumir como una partícula.

En la figura se ilustra la rotación del planeta Tierra alrededor de su eje (eje que pasa por los polos), la transmisión de

movimiento de rotación entre dos engranes y el movimiento combinado de traslación y rotación de un bate de béisbol

(el centro de masa traza la trayectoria del movimiento del cuerpo rígido)

55

BLOQUE 2

Movimiento en un plano.

Consideremos un punto móvil cuya trayectoria con respecto a un marco de referencia bien determinado es una curva

plana es decir, una curva enteramente contenida en un plano, como un círculo o una parábola, a diferencia de una

curva espacial (en tres dimensiones) como una hélice.

Posición

Fijemos un origen O en el marco de referencia. En un instante t, el punto móvil se encuentra en P y su posición está

dada por el vector posición .

La posición varía en el transcurso del tiempo; a cada instante t le corresponde unívocamente un vector .

El extremo del vector describe la trayectoria a medida que t avanza.

En t' el punto móvil está en P' y su posición es .

Se llama desplazamiento durante el intervalo de tiempo Δt, al cambio en el vector posición:

El desplazamiento tiene la dirección de la cuerda entre los puntos P y P', y se mide por ella y no por el arco de curva.

56


Velocidad.

Se llama velocidad media (o promedio) durante el intervalo de tiempo Δt, al vector:

La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamiento , como se muestra en la

figura. Es un promedio de las diferentes velocidades que pudiera haber entre los puntos P y P’. Siempre está definida

entre dos instantes de tiempo diferentes.

Cuando calculamos la velocidad no entre dos instantes de tiempo diferentes, sino en un instante de tiempo dado,

entonces estamos refiriéndonos a la velocidad “instantánea”

En la siguiente figura, una esquiadora describe un movimiento curvilíneo. Entre los instantes de tiempo t1 y t

3 podemos

calcular una velocidad media. Entre los instantes de tiempo t1 y t

2 podemos calcular otra velocidad media. Pero en el

preciso instante t1, existe una velocidad instantánea. En otras palabras, entre más disminuya el intervalo de tiempo

considerado, la velocidad media se va acercando más a la velocidad instantánea. También se observa que, al ir

disminuyendo el intervalo de tiempo considerado desde t3 hasta t

1, el vector velocidad se hace tangente a la curva.

t1

t2

t3

v

v

57

BLOQUE 2

El vector velocidad en un punto de la trayectoria es un vector tangente a dicha trayectoria y apunta en la dirección

en que en ese instante se está recorriendo la curva.

La velocidad es siempre un vector, con magnitud y dirección. Su magnitud, según ya hemos visto anteriormente, se

escribe | | y se llama a veces rapidez. La velocidad es un vector que de un instante a otro cambia tanto en

magnitud como en dirección y el cambio en el vector velocidad durante el intervalo Δt = t’ − t es:

58


Para hacer la diferencia hemos trasladado paralelamente los vectores a un origen común.

Como el vector velocidad es tangente a la trayectoria y su dirección va cambiando plegándose a la curva, el cambio

apunta siempre hacia adentro de la concavidad de la curva.

La aceleración media (o promedio) durante el intervalo Δt es:

y es un vector con la misma dirección de

, es decir hacia dentro de la curva.

NOTA: En los diversos libros de texto y artículos sobre el tema, en vez de podremos encontrar

ó ó , con el mismo significado: el desplazamiento es igual a la

diferencia entre un desplazamiento final y un desplazamiento en un tiempo inicial t0.

Traslación uniforme.

Primero recordemos algunos conceptos:

Trayectoria: Es la línea formada por las sucesivas posiciones

por las que pasa el móvil.

Distancia: Es la longitud de la trayectoria y se trata de una

magnitud escalar.

Desplazamiento: Es el vector cuyo módulo es la línea recta

entre la posición final y la inicial. El vector que representa al

desplazamiento tiene su origen en la posición inicial y su

extremo en la posición final.

En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos aunque en realidad tienen

un significado diferente. Lo mismo ocurre con las definiciones de rapidez y velocidad las cuales se suele confundir

comúnmente; la rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo | | y la

velocidad es una magnitud vectorial que relaciona un cambio de posición (desplazamiento) con el tiempo

Un cuerpo rígido tiene movimiento de traslación rectilíneo uniforme (MRU) cuando todas sus partes se mueven a la

misma velocidad, es decir con la misma magnitud, dirección y sentido (línea recta)

Ejemplo:

Determinar el desplazamiento en metros que realizará un ciclista al viajar hacia el sur a una velocidad de 35 km/h

durante 1.5 minutos.

Datos v = 35 km/h al sur t = 1.5 min d = ¿? m

Fórmula

tvdt

dv

Conversión de unidades

s

m7.9

s3600

h1

km1

m1000

h

km35

s90min1

s60 min1.5

Sustitución y resultado

m873s90s

m9.7d al sur

Distancia

Trayectoria: ------

Desplazamiento

59

BLOQUE 2

Desarrolla lo que se te pide y posteriormente participa en un debate grupal.

1. Si la velocidad de una partícula es diferente de cero, ¿puede ser cero su aceleración? Explica.

2. Si un auto se desplaza al oriente, ¿puede su aceleración ser hacia el poniente? Explica.

3. Un auto A, que viaja de Hermosillo a Cd. Obregón lleva una rapidez de 80 km/h; el B, de Hermosillo a

nogales también lleva una rapidez de 80 km/h. ¿Son iguales sus velocidades? Explica.

4. ¿Por qué es incorrecto el siguiente enunciado?: “El auto de carreras da vuelta a una velocidad constante de

90 kilómetros por hora”.

Actividad: 2

60


Evaluación


Saberes



relativos a la traslación de

cuerpos rígidos.

Aplica los conceptos relativos a la

traslación de cuerpos rígidos.


entusiasmo.

Autoevaluación


docente

Resuelve los siguientes problemas individualmente y comenta los resultados con el

grupo.

1. Determina el desplazamiento en metros de un automóvil que va a una velocidad de 80 km/h al Este, durante

3.5 min.

2. Calcula el tiempo en segundos que tardará un tren en desplazarse 3 km en línea recta hacia el Norte con

una velocidad de 90 km/h.


61

BLOQUE 2

Movimiento de traslación rectilíneo uniformemente acelerado.

Como la aceleración es un cambio de velocidad en un intervalo de tiempo, entonces podemos utilizar las fórmulas

derivadas de

para realizar los siguientes ejercicios:

Ejemplo:

Un camión de carga viaja con una velocidad de 70 km/h, aplica bruscamente los frenos y se

detiene en 15 segundos pues se le atravesó una vaca a 150 m. Calcular:

a) La aceleración.

b) La distancia total recorrida desde que aplicó los frenos para detenerse.

c) ¿Atropelló a la vaca?

Datos

a)

La velocidad inicial es vo = 70 km/h = m/s19.44

s3600

h1

km1

m1000

h

km70

Se empieza a contar el tempo desde cero (t0 = 0) y el tiempo final es t = 15 s

La velocidad final es v = 0 (cuando se detiene)

Fórmula Sustitución Resultado

t

vva o

s15

m/s19.440a

a = −1.29 m/s

b)

Fórmula Sustitución Resultado

t2

vvd o

s152

m/s19.440d

d = 145.8 m

c) No, pero que susto se llevó (le faltaron 4.2 m).

Si se trata de un proyectil que se lanza verticalmente o se deja caer, su aceleración será la gravedad que es de

9.8 m/s2

y su desplazamiento será vertical (altura = h).

Ejemplo:

Una piedra se deja caer desde la azotea de un edificio y tarda en llegar al suelo 4 segundos. Calcula la altura del

edificio.

Datos

v0 = 0

t = 4 s g = −9.8 m/s

2 h = ?

Fórmula

2

gttvh

2

o

Como vo = 0, la

ecuación queda:

2

gt h

2

Sustitución

78.4m2

156.8m

2

)(16s9.8m/s

2

(4s)9.8m/sh

2222

El signo negativo de la altura se debe a que tomamos en cuenta el signo

de los ejes de coordenadas (en el eje “y”, es negativo hacia abajo)

62


Evaluación


Saberes



relativos al movimiento de

traslación acelerado.

Aplica los conceptos relativos

al movimiento de traslación

acelerado.

Emprende la actividad con

entusiasmo.

Autoevaluación


docente

Resuelve los siguientes problemas individualmente y comenta los resultados con el

grupo.

1. Un camión de pasajeros arranca desde el reposo manteniendo una aceleración constante de 0.6 m/s2

.

Calcula:

a) El tiempo transcurrido en recorrer 0.3 Km.

b) La rapidez en ese tiempo.

2. Un niño deja caer una pelota desde una ventana que está a 60 m de altura sobre el suelo. Calcula:

a) El tiempo que tarda en caer.

b) La velocidad con que chocará con el suelo.

Actividad: 3

63

BLOQUE 2

Movimiento parabólico.

Hay movimientos de proyectiles cuya trayectoria es parabólica:

Una pelota de golf cuando una golfista la golpea lanzándola al aire.

Un balón de fútbol pateado por un futbolista que despeja desde la

portería.

Un proyectil lanzado desde un avión.

En estos casos la velocidad se tendrá que descomponer y tratarse horizontal

y verticalmente con:

αcosvv o0x Velocidad horizontal

senvv ooy Velocidad vertical

Donde α es el ángulo que forma la vo con la horizontal.

Ejemplo:

Un jugador de fútbol golpea un balón con un ángulo de 37o

con respecto

a la horizontal comunicándole una velocidad inicial de 20 m/s. Calcula:

a) El tiempo que dura la pelota en el aire.

b) La altura máxima alcanzada.

c) El alcance horizontal.

a)

Datos Fórmulas Sustitución

vo = 20m/s cosαvv oox

s/m9.15)º37(cos)s/m20(vox

α = 37º

senαvv oox

s/m12)º37sen()s/m20(voy

g

vvt o

29.8m/s

12m/s12m/st

2.45s9.8m/s

24m/st

2

b)

2g

vvh

2

o

2

2

22

2

2

m/s19.6

/sm144

)m/s9.82(

m/s)(120h

h = 7.34 m

c)

tvd xx

m38.95s)(2.45m/s)(15.9dx

64


Evaluación


Saberes


Conoce los conceptos relativos

al movimiento parabólico

Emplea los conocimientos sobre el

movimiento parabólico.


responsabilidad.

Autoevaluación


docente

Resuelve los siguientes problemas y comenta los resultados con el grupo.

1. Una pelota es lanzada horizontalmente desde una ventana con una velocidad inicial de 10 m/s y

cae al suelo después de 4 segundos. Calcula:

a) La altura en que se encuentra la ventana.

b) La distancia horizontal desde la base del edificio.

2. Un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 400 m/s y un ángulo de elevación de 300

.

Calcula:

a) El tiempo que dura en el aire.

b) La altura máxima alcanzada por el proyectil.

c) El alcance.

Actividad: 4

65

BLOQUE 2

Cierre

Responde a cada uno de los cuestionamientos solicitados y comenta los resultados en

el grupo:

1. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba. (a) ¿Cuáles son su velocidad y aceleración cuando logre su

máxima altitud? (b) ¿Cuál es su aceleración justo de que regrese al suelo?

2. Una pelota es lanzada al aire hacia arriba por un pasajero que está a bordo de un tren que se mueve con

velocidad constante. (a) Describa la trayectoria de la pelota vista por el pasajero. Describa la trayectoria de

la pelota vista por un observador estacionario fuera del tren.

En forma individual resuelve los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es el valor de la aceleración lineal de una partícula cuya aceleración angular es de 3 rad/s2

y su radio

de giro es de 20 cm?

Actividad: 5

66


2. Un automóvil que inicialmente está en reposo adquiere una velocidad de 6 km/h al norte en

6 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2

?

3. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. Calcula:

a) La máxima altura.

b) La velocidad a los 2 s.

c) El tiempo cuando alcance 40 m de altura.

4. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 800 km/h y deja caer un proyectil desde una altura de

600 m respecto al suelo. Calcula:

a) El tiempo que tarda en caer.

b) La distancia horizontal del proyectil después de iniciar su caída.


67

BLOQUE 2

Evaluación


Saberes


Identifica los conceptos relativos

al movimiento de traslación de

un cuerpo rígido.

Utiliza los conceptos relativos al

movimiento de traslación de un

cuerpo rígido.

Realiza la actividad con esmero.

Autoevaluación


docente

5. Un jugador batea una pelota con una velocidad inicial de 25 m/s y con un ángulo de 40°

sobre la horizontal. Calcula:

a) La altura máxima alcanzada por la pelota.

b) El alcance horizontal de la pelota.


68



Rotación de un cuerpo rígido.

Inicio

Evaluación


Saberes



básicos acerca del movimiento

de rotación.

Identifica los conceptos básicos

acerca del movimiento de rotación.


entusiasmo.

Coevaluación


docente

En binas discutan los conceptos que se enlistan a continuación y comenten sus

opiniones con los demás compañeros y con el profesor.

1. Menciona dos unidades con las que se miden los ángulos.

2. ¿Qué diferencia hay entre desplazamiento lineal y desplazamiento angular?

3. ¿Qué dirección y sentido tiene el vector velocidad angular?

4. ¿Qué diferencia hay entre la aceleración angular, la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta en un

movimiento rotacional?

Actividad: 1

69

BLOQUE 2

Rotación de un cuerpo.

Generalmente consideramos que los cuerpos tienen únicamente un movimiento traslacional pero hay casos como las

ruedas, ejes, poleas, giroscopio y muchos otros dispositivos mecánicos, que giran sobre su eje sin que haya

movimiento traslacional.

El movimiento de la rueda es un ejemplo de rotación pura de un cuerpo

rígido, que se define así:

Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si todos sus puntos (como en la

siguiente figura) lo hacen en una trayectoria circular. El centro de estos

círculos ha de estar en una línea recta común denominada eje de rotación.

Un cuerpo rígido se mueve en rotación pura si todos sus puntos lo hacen en

una trayectoria circular. Los centros de estos círculos han de estar en una

línea recta común perpendicular a ellos denominada eje de rotación (eje z en

la figura de abajo).

Aquí abordaremos el estudio del

movimiento rotacional puro. Nos

ocuparemos sólo de objetos rígidos en los

cuales no se observa movimiento relativo

de las partes a medida que el objeto gira;

se excluye, por ejemplo un líquido dentro

de un contenedor que gira.

Posición angular.

Si hemos acordado llamar “movimiento” al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer un criterio

para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante de la rotación.

La posición angular en el movimiento rotacional es el ángulo formado por un radio del objeto con el eje “x” en algún

instante de su giro.

X

Y

rotación

Tiempo inicial= t0=0

Desplazamiento angular inicial= q0= 0

X

Y

rotación

Cualquier tiempo posterior= t

Desplazamiento angular= q

x

rotaciónz

y

70


Desplazamiento angular.

En el instante t0 el cuerpo ha girado un ángulo θ0. En el instante posterior t, el

cuerpo habrá girado un ángulo θ. El cuerpo se habrá desplazado

Δθ = θ − θ0 en el intervalo de tiempo Δt = t − t0 comprendido

entre t0 y t.

El desplazamiento angular de un cuerpo se puede medir

con varias unidades.

La unidad más común en el mundo cotidiano es la

“revolución” (rev), que se define como el

desplazamiento angular correspondiente a una

vuelta completa.

Las matemáticas nos proporcionan otra unidad: el grado.

Una revolución o vuelta completa se divide en 360°. Un cuarto

de revolución son 90°. Media vuelta son 180°, etc.

Ninguna de estas unidades es útil en Física para describir fácilmente la

rotación de los cuerpos rígidos. Una medida más cómoda de aplicar al

desplazamiento angular es el radián (símbolo: rad).

Un radián es la medida de un ángulo cuyo arco mide lo mismo que

el radio con que se ha trazado. Es más común que el radián se

defina por la siguiente ecuación:

r

sq

Donde “s” es el arco de un

círculo descrito por el ángulo θ. Puesto que el cociente s/r es la razón

de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades.

El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados

se encuentra considerando un arco de longitud s igual a la circunferencia (perímetro) de un círculo: 2πr. Dicho ángulo

en radianes se obtiene de la ecuación.

2πr

r2θ

rad

Así tenemos,

1 rev = 3600

= 2π rad

de donde observamos que

57.32π

360rad1

q

q = s/r

r s

1 rad = 57.3° 1° = (1/360) rev

1 rad

r

s=r

1°

1 rev

r

r

ángulo de un radián

r

X

Y

q0

q

Dqt0

t

71

BLOQUE 2

Ejemplo:

La longitud del arco “s” es de 2 m y el radio es de 3 m. Calcula el desplazamiento θ en radianes, grados y

revoluciones.

Solución

Datos Fórmula Sustituyendo

s = 2 m

r

sθ

0.663m

2mθ rad

r = 3 m

Convirtiendo a grados nos queda:

37.8rad1

57.3rad)(0.66θ

Como 1 rev = 3600

0.10505360

rev1)(37.8θ

rad

Ejemplo:

Un punto situado en el borde de un disco giratorio, cuyo radio es de 6 m se mueve a través de un ángulo de 40°.

Calcula la longitud del arco descrito por el punto.

Solución

Como el ángulo debe estar en radianes, primero debemos convertir los 400

en radianes

0.69857.3

rad1)(40θ

rad

La longitud del arco está dada por

m4.19rad)(0.698m6θrs

El resultado queda sólo en metros, ya que los radianes no son unidades como lo mencionamos anteriormente.

72


Evaluación


Saberes


Identifica los conceptos básicos

acerca del desplazamiento

angular.

Distingue los conceptos básicos

acerca del desplazamiento angular.

Muestra interés y entusiasmo al

realizar el ejercicio.

Autoevaluación


docente

Resuelve el siguiente ejercicio y comenta los resultados con tus compañeros.

1. Convertir:

a) 65 rev a radianes

b) 50π rad a revoluciones

c) 900 rps (rev/s) a rad/s

2. Un punto localizado en el borde de una rueda cuyo radio es de 0.5 m se mueve en un ángulo de 370

. Calcula

la longitud del arco descrito por ese punto.

Actividad: 2

73

BLOQUE 2

Velocidad angular.

A la razón de cambio del desplazamiento angular con respecto al tiempo se le llama velocidad angular. Por lo tanto, si

un objeto gira a través de un ángulo θ en un tiempo t, su velocidad angular media está dada por:

t

θω

El símbolo ω, (letra griega omega), se usa para denotar la velocidad angular (y la rotacional). Aun cuando la velocidad

angular puede expresarse en revoluciones por minuto o revoluciones por segundo, en la mayoría de los problemas

físicos es necesario utilizar radianes por segundo para adaptarse a fórmulas más convenientes. Puesto que la

velocidad angular en gran número de problemas técnicos se expresa en términos de revoluciones, la siguiente

relación será de utilidad:

f2ω

Donde ω (velocidad angular) se mide en radianes por segundo y f (frecuencia)se mide en revoluciones por segundo

o ciclos por segundo.

Ejemplo:

La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66 cm y realiza 40 revoluciones en 1 min.

a) ¿Cuál es su velocidad angular?

b) ¿Qué distancia lineal se desplazará?

Solución

a) Como 1 rev = 2π radianes, entonces

rev/seg0.66760seg

min1

min

rev40f

sustituyendo la frecuencia en la fórmula de la velocidad angular

ω = 2πf = (2π rad)(0.667 rev/seg) = 4.188 rad/seg

b) El desplazamiento lineal “s” se puede calcular a partir del desplazamiento angular θ en radianes.

rad3.251rev40rev1

rad2

q

de la ecuación

r

sq despejamos s, quedando:

m82.93m)rad)(0.33(251.3rθs

Es importante observar que la velocidad angular representa una velocidad media.

74


Evaluación


Saberes


Comprende el concepto de

velocidad angular.

Emplea el concepto de velocidad

angular.

Realiza el ejercicio con

entusiasmo.

Autoevaluación


docente

Resuelve los siguientes problemas y posteriormente comenta los resultados con el

grupo.

1. Un motor eléctrico gira a 900 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? y ¿cuál es el desplazamiento angular

después de 6 s?

2. Encuentra la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento angular si su

movimiento duró 2.5 minutos.

Actividad: 3

75

BLOQUE 2

Aceleración angular.

El movimiento rotacional puede ser uniforme o acelerado. La rapidez de la rotación puede aumentar o disminuir bajo

la influencia de un “momento de torsión” resultante. Por ejemplo, si la velocidad angular cambia constantemente de

un valor inicial 0ω a un valor final ω en un tiempo t, la aceleración angular es constante y:

t

0

La letra griega α (alfa) denota la aceleración angular y las unidades típicas son rad/s2

, rev/min2

, etcétera.

Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular acelerado son las mismas que se utilizan para el rectilíneo

uniformemente acelerado con las siguientes variantes:

1.- En lugar de desplazamiento en metros hablaremos de desplazamiento angular en radianes (θ en lugar de d).

2.- La velocidad en m/s se traducirá como velocidad angular en rad/s (ω en lugar de v).

3.- La aceleración en m/s2

se cambiará a aceleración angular en rad/s2

(α en lugar de a).

Comparación de la aceleración lineal y la aceleración angular.

Magnitud física Aceleración lineal constante Aceleración angular constante

Distancia tvd media tmediaq

Distancia t2

vvd

o t

2

ωωθ o

Distancia 2

o at2

1tvd 2

o t2

1tωθ

Velocidad final atvv o αtωω o

Velocidad al cuadrado da2vv 2o

2 θα2ωω 2o

2

Ejemplo:

Una rueda que gira a 4 rev/s aumenta su frecuencia a 20 rev/s en 2 segundos. Determinar el valor de su aceleración

angular.

Datos Fórmulas Sustitución y resultado

f0 = 4 rev/s 0o f2πω

ω

0 = 2π (4) = 25.12 rad/s

f = 20 rev/s f2πω

ω = 2π (20) = 125.6 rad/s

t = 2 s

t

ωωα

o

2rad/s50.24s2

rad/s25.12rad/s125.6α

α = ¿?

76


Ejemplo:

Una rueda de la fortuna gira inicialmente con una velocidad angular de 2 rad/s, si recibe una aceleración angular de

1.5 rad/s2

durante 5 segundos, calcula:

a) Su velocidad angular a los 5 s.

b) Su desplazamiento angular.

c) El número de revoluciones al término de los 5 s.

Solución a)

Datos Fórmula Sustitución

ωo = 2 rad/s tαωω o

ω = 2 rad/s + (1.5 rad/s

2

)(5 s)

α = 1.5 rad/s2 ω= 9.5 rad/s

t = 5 s

Solución b)

El desplazamiento angular está dado por:

Fórmula Sustitución

2o αt

2

1tωθ

22 s))(5rad/s(1.52

1s)rad/s)(5(2θ

rad75.28

)s25(s/rad75.0rad10 22

q

q

Solución c)

Puesto que 1 rev = 2π

rad, obtenemos

rev5757.4

rad2

rev1)rad75.28(

q

q

77

BLOQUE 2

Evaluación


Saberes


Reconoce el concepto de

aceleración angular.

Identifica el concepto de



perseverancia.

Autoevaluación


docente

Resuelve los siguientes problemas y comenta los resultados con el grupo.

1. Un engrane adquirió una velocidad angular de 2512 rad/s en 1.5 s. ¿Cuál fue su aceleración

angular?

2. Un carrete circular de 50 cm de radio gira a 450 rev/min. Luego se detiene por completo después de 60

revoluciones. Calcula:

a) La aceleración angular.

b) El tiempo en detenerse.

Actividad: 4

78


Traslación y rotación uniforme y uniformemente aceleradas.

Con frecuencia se encuentran dos casos especiales de rotación:

1. Rotación uniforme. Este caso se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero (α = 0). La

velocidad angular es por lo tanto constante y el desplazamiento angular está dada por la fórmula tωθ .

2. Rotación uniformemente acelerada. En este caso la aceleración angular es constante. Las fórmulas que se

utilizan para este tipo de movimiento se mostraron anteriormente en una tabla, haciendo hincapié que se utilizan

estas fórmulas cuando α = constante.

En el caso de la traslación, se presenta la traslación rectilínea y traslación curvilínea, en los dos puede suceder que

sea uniforme su velocidad (a = 0, α = 0), entonces v = d/t, o bien ω = θ/t respectivamente; si el movimiento es

uniformemente acelerado, se utilizarán las fórmulas de aceleración lineal constante.

Relación entre los movimientos rotacional y lineal.

Cuando más lejos se encuentre una partícula del eje de rotación, mayor es su velocidad lineal según la siguiente

fórmula.

rf2πv

donde f es la frecuencia de rotación y r el radio de curvatura. Como s = θ r, entonces

t

rθ

t

sv

Puesto que θ/t = ω, la velocidad lineal se puede expresar como una función de la velocidad angular.

rωv

La aceleración tangencial, en términos de un cambio en la velocidad angular quedaría:

rt

ωω

t

rωrωa oo

T

rαaT

Donde α representa la aceleración angular.

No hay que confundir la aceleración tangencial (cambio de velocidad lineal) con la aceleración centrípeta (cambio en

la dirección del movimiento)

r

va

2

c

79

BLOQUE 2

Ejemplo:

Una rueda de 80 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Si la velocidad aumenta uniformemente desde el reposo

hasta alcanzar 1920 rpm en un tiempo de 30 s, calcula:

a) La aceleración angular de la rueda.

b) La aceleración tangencial de la rueda.

Datos Fórmulas

s30t

m0.8cm80r

0ω

rpm1920ω

o

rαa

t

ωωα

T

o

a)

2srev1.07

30

srev32

30

s

rev0

s60

rev1920

b)

222T sm

37.5m8.0s

rad72.6m8.0

rev1

rad2

s

rev07.1ra

recordemos que α debe estar en rad/s2

.

80


Evaluación


Saberes


Diferencia los conceptos de

aceleración angular, aceleración

tangencial y aceleración centrípeta.

Aplica los conceptos de aceleración

angular, aceleración tangencial y

aceleración centrípeta.

Realiza el ejercicio con esmero.

Autoevaluación


docente

En forma individual, resuelve los siguientes problemas.

1. Una rueda que gira a 100 rev/s disminuye su frecuencia a 20 rev/s en 5 s. Determina el valor de su


2. ¿Cuál es el valor de la aceleración tangencial de una partícula, cuya aceleración angular es de 5 rad/s2

y su

radio de giro es de 15 cm?

Actividad: 5

81

BLOQUE 2

Cierre

En cada una de las siguientes preguntas subraya la opción correcta.

1. La Tierra da una revolución completa sobre su eje en 24 h. Si el radio medio de la Tierra es de

6373 km, la velocidad lineal de un punto sobre la superficie de la Tierra es:

a) 265.54 m/s

b) 266.37 m/s

c) 463.45 m/s

d) 4425.6 m/s

2. Se caracteriza por el hecho de que la aceleración angular es cero:

a) Rotación Uniforme

b) Rotación Uniformemente acelerado

c) Traslación Uniforme

d) Traslación Uniformemente acelerado

3. Una llanta lleva una velocidad angular de 3 rad/seg y se detiene 10 seg después. Su aceleración angular es:

a) -300 rad/s2

b) -3.3 rad/s2

c) -0.3 rad/s2

d) +0.3 rad/s2

4. Un cuerpo que parte del reposo comienza a girar con aceleración uniforme dando 3600 revoluciones

durante dos minutos. ¿La aceleración angular es?

a) 0.3 rad/s2

b) 1 rad/s2

c) rad/s2

d) 2 rad/s2

5. Un ventilador gira a 1200 rpm. La rapidez angular en un punto del aspa del ventilador es:

a) 7539.8 rad/s

b) 125.6 rad/s

c) 40 rad/s

d) 20 rad/s

Actividad: 6

82


6. Un disco de 30 cm de radio da 400 rev en 8 s. Su aceleración centrípeta en el extremo es:

a) 50 rev/s2

b) 29578.8 m/s2

c) 94.2 m/s2

d) 1500 m/s2

7. Una rueda de 80 cm de radio gira sobre un eje estacionario. Si parte del reposo hasta 1800 rpm en un

tiempo de 30 s su aceleración tangencial es:

a) 1 rev/ s2

b) 1 m/ s2

c) 5.024 m/ s2

d) 5.024 rev/ s2

8. La aceleración centrípeta de un punto de la periferia de un volante de 1.5 m de radio es constante e igual a

15 m/s2

. Su velocidad lineal es:

a) 150 rad/s

b) 75 rad/s

c) 3.16 rad/s

d) 4.74 rad/s

9. Las revoluciones que dará una rueda que parte del reposo hasta alcanzar su velocidad de 2000 rpm en 20 s

es:

a) 2030 rev

b) 333 rev

c) 33.3 rev

d) 3.33 rev

En cada uno de los siguientes problemas, resuelve lo que se pide:

1. Convierte:

a) 60 revoluciones en radianes

b) 20 radianes en revoluciones

c) 1520 rpm a rad/s

d) 4 rad/s en rpm.


83

BLOQUE 2

2. Una rueda de 90 cm de radio gira a 500 rpm. Calcula:

a) La velocidad angular en un punto cualquiera de la misma

b) La velocidad lineal de un punto situado en su periferia.

3. Una rueda que gira a razón de 120 rpm incrementa uniformemente su velocidad hasta 660 rpm en 6

segundos. Calcula:

a) La aceleración angular en rev/s2

y en rad/ s2

b) La aceleración lineal en un punto situado a 90 cm del eje

c) Su desplazamiento angular durante ese tiempo


84


Evaluación

Actividad: 6 Producto: Cuestionario y ejercicio

práctico. Puntaje:

Saberes



relativos a la rotación de un

cuerpo rígido.

Aplica los conceptos relativos a la

rotación de un cuerpo rígido.


entusiasmo.

Autoevaluación


docente

4. Una rueda gira a razón de 1200 rpm y mediante la acción de un freno se logra detenerla

después de dar 50 vueltas. Deduce la aceleración angular de frenado y el tiempo empleado

en el fenómeno.

5. Un volante gira a razón de 60 rpm y al cabo de 5 segundos posee una velocidad angular de 37.7 rad/s.

¿Cuántas vueltas dio en ese tiempo?



Analizas la cinética rotacional.


2. Evalúa las implicaciones del uso de la ciencia y la tecnología, así como los fenómenos relacionados con el origen,

continuidad y transformación de la naturaleza para establecer acciones a fin de preservarla en todas sus

manifestaciones.

3. Aplica los avances científicos y tecnológicos en el mejoramiento de las condiciones de su entorno social.

5. Aplica la metodología apropiada en la realización de proyectos interdisciplinarios atendiendo problemas

relacionados con las ciencias experimentales.

6. Utiliza herramientas y equipos especializados en la búsqueda, selección, análisis y síntesis para la divulgación de

la información científica que contribuya a su formación académica.

7. Diseña prototipos o modelos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos,

hechos o fenómenos relacionados con las ciencias experimentales.

8. Confronta las ideas preconcebidas acerca de los fenómenos naturales con el conocimiento científico para explicar

y adquirir nuevos conocimientos.


Conoce, identifica y analiza la aplicación de la cinética sobre cuerpos rígidos, relacionados con el movimiento de

rotación y traslación, para resolver problemas de trabajo y potencia en diferentes circunstancias.


4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos

contribuye al alcance de un objetivo.

5.2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

5.3. Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a

su relevancia y confiabilidad.

6.3. Reconoce los propios prejuicios, modifica sus propios puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra

nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.

7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

8.1. Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con

pasos específicos.

8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de

distintos equipos de trabajo.

86 ANALIZAS LA CINÉTICA ROTACIONAL


Aplicación de las Leyes de Newton.

Inicio

Evaluación

Actividad:1 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes


Reconoce el concepto de interacción

en situaciones cotidianas.

Profundiza en situaciones comunes,

para encontrar interacciones.


entusiasmo.

Coevaluación


docente

En equipo de máximo cuatro integrantes, resuelvan los cuestionamientos que se hacen

a continuación y comenten sus opiniones con los demás compañeros y con el profesor.

Observen en las imágenes, cuáles son los cuerpos que interactúan y en qué consiste la interacción. Selecciona

debajo de la tabla la opción que correctamente relacione las dos columnas.

Imagen Tipo de interacción

a. Acción y Reacción.

b. Inercia.

c. Fuerza y aceleración.

a) 1A, 2C, 3B b) 1B, 2A, 3C c) 1C, 2B, 3C d) 1B, 2C, 3C

Actividad: 1

1.

2.

3.

87 BLOQUE 3

Desarrollo

Leyes de Newton o leyes del movimiento.

Se le llama fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un

cuerpo, es decir, de imprimirle una aceleración modificando la velocidad, la dirección y/o el sentido de su movimiento.

Primera Ley de Newton

Todo cuerpo permanecerá en estado de reposo o con movimiento rectilíneo uniforme a menos que

una fuerza no equilibrada actúe sobre él. El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero, no

significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no está sometido a alguna fuerza

no equilibrada, incluida la fricción, en este caso un objeto en movimiento seguirá desplazándose a

velocidad constante.

Segunda Ley Newton

La aceleración que adquiere un cuerpo cuando está sujeto a la acción de un

sistema de fuerzas no equilibrado, es directamente proporcional a la magnitud

de la fuerza resultante F e inversamente proporcional a su masa m:

a = F / m

La fuerza es la acción que al serle aplicada a un cuerpo, permite que éste permanezca

en reposo o con movimiento. Una fuerza neta cuyo valor sea diferente de cero ejercida

sobre un objeto, lo acelerará; es decir, el cuerpo cambiará su velocidad. La aceleración

será proporcional a la magnitud de la fuerza resultante y tendrá la misma dirección y

sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa

es la medida de la cantidad de sustancia o materia de un cuerpo y es universal.


A mayor fuerza, mayor aceleración. A mayor masa, menor aceleración.

Ejemplo:

Una masa de 3 kg se somete a una aceleración cuyas componentes ortogonales son: aX = 2 m/s2 y aY = 5 m/s2.

Calcula la magnitud de la fuerza FR que produce dicha aceleración y la dirección de la misma.

m = 3 kg

aX = 2 m/seg

2

aY = 5 m/seg

2

FR = ?

F = m a

FX = 3 kg × 2 m/s

2

= 6 N

FY = 3 kg × 5 m/s

2

= 15 N

√( ) ( ) √

89 BLOQUE 3

En forma individual, resuelve los siguientes problemas de acuerdo a las indicaciones

de tu profesor.

1. Sobre un cuerpo de 8 kg de masa se ejercen fuerzas de 5 newton y 12 newton que forman entre si un ángulo

de 90°. Calcula la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y la aceleración que experimentan.

Actividad: 2


Evaluación


Saberes



básicos acerca de la primera y

la segunda leyes de Newton.

Aplica los conceptos básicos

acerca de la primera y la segunda

leyes de Newton.


perseverancia.

Autoevaluación


docente

2. Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de béisbol de 1.4 N de peso a

una velocidad de 32 m/s acelerando uniformemente a la pelota con su brazo durante 0.09 s. Si

la bola parte del reposo, calcula:

a) La distancia que recorre la pelota antes de acelerarse.

b) La fuerza que ejerce el lanzador sobre la pelota.


91 BLOQUE 3

Tercera Ley de Newton

Si un cuerpo actúa sobre otro con una fuerza de acción FA (+),

éste reaccionará contra el primer cuerpo con otra fuerza FR

(–)

de igual valor y dirección, pero de sentido contrario.

Cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza, éste devuelve una

fuerza de igual magnitud, igual dirección y de sentido contrario.

A estas fuerzas se les llama comúnmente “acción” y “reacción”,

aunque a pesar de lo que implican esas palabras, ocurren

simultáneamente y sobre cuerpos diferentes.

Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto

empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el

adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza

igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo,

como la masa del adulto es mayor, su aceleración será

menor.

La tercera ley de Newton también implica la conservación del

momento lineal, el producto de la masa por la velocidad. En

un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas,

el momento debe ser constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales

son cero, por lo que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre el

adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero.

Por tanto, el momento del sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el

adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña del

adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño. Los

momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por lo que su

suma es cero.

Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento angular

de un objeto en rotación depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al

eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente

sin fricción, el momento angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al

principio del giro, el patinador tiene los brazos extendidos. Parte de la masa del

patinador tiene por tanto un radio de giro grande. Cuando el patinador baja los brazos,

reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad angular debe aumentar para

mantener constante el momento angular.

Un libro colocado sobre una mesa es

atraído hacia abajo por la atracción

gravitacional de la Tierra y es

empujado hacia arriba por la

repulsión molecular de la mesa.

Como se ve, se cumplen todas las

leyes de Newton.


Aplicaciones de las leyes de Newton.

Cuando se aplican las leyes de Newton, sólo debe

de interesar el estudio de las fuerzas externas que

actúan sobre un cuerpo.

Por ejemplo, si un cuerpo está en reposo sobre

una mesa, las fuerzas que actúan sobre él son: La

fuerza normal N y el peso del cuerpo W, como se

ilustran. La reacción a la fuerza normal N es la

fuerza ejercida por el cuerpo sobre la mesa N’. La

reacción al peso W es la fuerza ejercida por el

cuerpo sobre la Tierra W’.

Cuando un objeto empuja hacia abajo sobre otro objeto con

una fuerza F, la fuerza normal N es mayor que el peso del

objeto W. Esto es, N = W + F.

En la figura de la derecha se tiene una caja que

se jala sobre una superficie sin fricción.

También se observa el diagrama de cuerpo

libre que representa a las fuerzas externas que

actúan sobre la caja.

En la figura de abajo se tiene un cuerpo de peso W suspendido del techo por una cuerda de masa despreciable. Las

fuerzas que actúan sobre el cuerpo son el peso W y la fuerza ejercida por la cuerda T. Las fuerzas que actúan sobre la

cuerda son la fuerza ejercida por el peso T’ y la fuerza ejercida por el techo T’’.

93 BLOQUE 3

De acuerdo con los ejemplos vistos, se proporcionan algunas sugerencias útiles para la solución de problemas en los

cuales intervienen las leyes de Newton.

1. Dibujar un diagrama sencillo y claro del sistema.

2. Aislar el objeto cuyo movimiento se analiza y dibujar un diagrama de cuerpo libre para el sistema de fuerzas; es

decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. Para sistemas que

contienen más de un objeto, dibujar diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno de ellos.

3. Establecer ejes de coordenadas convenientes para cada objeto y determinar las componentes de las fuerzas

sobre estos ejes. Aplicar la segunda ley de Newton, en la forma de componentes. Verificar sus dimensiones, para

asegurar que todos los términos tengan unidades de fuerza.

4. Resolver las ecuaciones planteadas recordando que éstas deben ser tantas como incógnitas se deban resolver.

5. Verificar los resultados ya que es posible que se cometan errores de cálculo.

Ejemplo:

Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de θ= 15º. Si el bloque parte del

reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros. Calcula:

a) La magnitud de la aceleración del bloque.

b) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente.

N

Wx

Wy15°

W=mg

Al hacer los diagramas de cuerpo libre, es necesario que se consideren

todas las fuerzas que actúan sobre el mismo cuerpo


Datos Fórmulas

θ= 15°

d = 2 m

g = 9.8 m/s2

V0 = 0

ΣFY= 0

WY– N = 0

WY= N como: WY= W cos θ

W cos θ= N

ΣFX= m a

WX= m a

a)

Pero: WX = W sen θ

g sen θ = a

a = 9.8 sen 15° = 9.8 ( 0.258)

a = 2.536 m/s2

b)

( ) ( )

( )( )( )

( )

√ √( )( )( )

95 BLOQUE 3


de tu profesor.

1. Dos bloques de masas m1 = 20 kg y m

2 = 8 kg, están unidos mediante una cuerda

homogénea inextensible cuya masa es m3 = 2 kg. Se aplica al conjunto una fuerza vertical

hacia arriba de 560 N. Calcula:

a) La aceleración del conjunto.

b) Las fuerzas que actúan en los extremos de la cuerda.

Actividad: 3


Evaluación


Saberes


Conoce las indicaciones necesarias

para la aplicación de las leyes de

Newton.

Resuelve situaciones problemáticas

cotidianas en las que intervienen las

leyes de Newton.


perseverancia.

Autoevaluación


docente

2. Para el sistema de la figura, calcula la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda.

(No hay fricción).


97 BLOQUE 3

Fricción.

Antes de abordar el estudio de las fuerzas de fricción, es indispensable tener presentes los siguientes conceptos:

La fuerza llamada “peso”

Cada partícula de un cuerpo es atraída por la Tierra con una fuerza igual al peso de esa partícula. El sentido de cada

una de esas fuerzas está dirigido hacia el centro de la Tierra y se las considera paralelas entre sí. De tal manera que

se considera a la fuerza “peso” del cuerpo como la resultante de todas esas fuerzas paralelas.

El Peso de un cuerpo es la fuerza con que el cuerpo es atraído por la Tierra en dirección a su centro. El vector Peso

de un cuerpo sigue la dirección de la vertical, y su punto de aplicación se denomina teóricamente centro de gravedad

o baricentro. En los cuerpos de forma regular y con peso uniforme, su baricentro coincide con su centro geométrico.

La fuerza normal

Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una

superficie horizontal como se muestra en la figura; las únicas

fuerzas que actúan sobre él son su peso W = mg y la fuerza de

contacto de la superficie. La fuerza ejercida por la superficie soporta

el bloque, manteniéndolo en reposo, ya que la aceleración del

bloque es cero. Esto significa que la fuerza de contacto es la fuerza

normal N, porque tiene dirección perpendicular, o normal a la

superficie; así en la figura N = mg (fuerza normal o reacción del

plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque) depende del

peso del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se

ejerzan sobre el bloque.

Si ahora el plano está inclinado un ángulo θ, el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado,

por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, W = mg cos θ

Por lo que en este caso, el valor del vector fuerza normal N se obtiene de la siguiente forma:

N=mg cos θ

Siempre que se pretende que un cuerpo en estado de reposo se empiece a mover o si éste se mueve a través de

una superficie o de un medio viscoso como el aire o el agua, hay una fuerza que se opone al movimiento debido

a que el cuerpo interactúa con sus alrededores. Dicha resistencia recibe el nombre de fuerza de fricción.

La fuerza de fricción se define como fuerza de rozamiento entre dos superficies en contacto. Existen dos tipos de

fuerzas de rozamiento o fricción: la fricción estática y la fricción cinética. La primera es una resistencia que se debe

superar para poner en movimiento a un cuerpo con respecto a otro cuando se encuentran en contacto. La segunda

es una fuerza de magnitud constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que

diferencia a un roce con el otro es que el estático actúa cuando el cuerpo está en reposo y el cinético cuando está en

movimiento.


La fuerza de fricción estática es mayor que la cinética, porque al permanecer en reposo ambas superficies, pueden

aparecer enlaces iónicos, o incluso micro soldaduras entre las superficies. Este fenómeno es tanto mayor cuanto más

perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del interior del motor de un automóvil que al estar

mucho tiempo parado y por diferentes factores como la temperatura, la humedad y el polvo, provocan que al

permanecer en contacto y en reposo las superficies del pistón y los cilindros durante largo tiempo, se pueden llegar a

soldar entre sí. Otro ejemplo bastante simple de fricción cinética es la ocurrida con las llantas de un auto al frenar.

Coeficiente de fricción o de rozamiento

La mayoría de las superficies, aun las que se consideran pulidas, son extremadamente rugosas a escala

microscópica.

En la figura podemos ver una explicación de la fuerza de fricción por deslizamiento:

(a) El cuerpo de arriba se va deslizando hacia la derecha sobre el cuerpo de abajo en este diagrama amplificado.

(b) Un diagrama más amplificado mostrando dos sitios en donde ha ocurrido adherencia superficial. Se requiere una

fuerza para separar estas soldaduras y conservar el movimiento. Cuando dos superficies están en contacto, el

movimiento de una respecto a la otra, genera fuerzas tangenciales que definimos anteriormente como fuerzas de

fricción las cuales tienen sentido contrario a la fuerza aplicada. La naturaleza de este tipo de fuerza está ligada a

las interacciones de las partículas microscópicas de las dos superficies que se encuentran en contacto.

El coeficiente de fricción es una cantidad adimensional que expresa la oposición que ofrecen dichas superficies

al movimiento relativo de una con respecto a la otra. Usualmente se representa con la letra griega μ. Si la fuerza de

fricción es estática, se ocupará el coeficiente de fricción estática μs que se mide cuando ambas superficies en

contacto están en reposo; la “s” proviene del griego στατικóσ “statikós” (estacionario). Si la fuerza de fricción es

cinética, se ocupará el coeficiente de fricción cinética μk; se mide cuando ambas superficies están en movimiento

relativo el uno respecto del otro, puede moverse una sola superficie o ambas. La k proviene del griego κίνησις

“kinesis” (movimiento o el acto de mover).

El valor del coeficiente de fricción es característico de cada par de materiales y no una propiedad intrínseca de un

material en especial. Depende además de muchos factores como la temperatura, el acabado o rugosidad de las

superficies en contacto, la velocidad relativa entre las superficies, el tiempo que las superficies duran en contacto,

etcétera, por lo que su valor se determina experimentalmente. Sin embargo, existen manuales especializados en los

que se pueden consultar un gran número de coeficientes de fricción de los materiales más utilizados.

Coeficiente de fricción de algunas sustancias:

99 BLOQUE 3

Materiales en contacto μs μ

k

Articulaciones humanas 0.02 0.003

Acero // Hielo 0.03 0.02

Acero // Teflón 0.04 0.04

Teflón // Teflón 0.04 0.04

Hielo // Hielo 0.1 0.03

Esquí (encerado) // Nieve (0 °C) 0.1 0.05

Acero // Acero 0.15 0.09

Vidrio // Madera 0.2 0.25

Caucho // Cemento (húmedo) 0.3 0.25

Madera // Cuero 0.5 0.4

Caucho // Madera 0.7 0.6

Acero // Latón 0.5 0.4

Madera // Madera 0.7 0.4

Madera // Piedra 0.7 0.3

Vidrio // Vidrio 0.9 0.4

Caucho // Cemento (seco) 1.0 0.8

Cobre // Hierro (fundido) 1.1 0.3

El coeficiente de fricción cinética es, para la mayoría de los pares de materiales, menor que el coeficiente de fricción

estática, cosa que puede comprobarse fácilmente. Cuando se intenta empujar un objeto pesado, se comprueba que

la fuerza que se tiene que realizar para que se comience a mover es mayor que la fuerza necesaria para mantenerlo

en movimiento. Parece como si el bloque estuviera Inicialmente pegado al suelo, de modo que una vez que se

despega se desliza con cierta facilidad.

Cálculo de la fuerza de fricción

Conocidos los valores del coeficiente de fricción aplicable a un caso dado, la fuerza de fricción f máxima que puede

ejercer una superficie sobre la otra (justo antes de moverse) se expresa como el producto del coeficiente de fricción

estática μs por la fuerza normal N perpendicular a ambas superficies:

En cuanto empieza el movimiento de deslizamiento de una superficie sobre la otra, la fuerza de fricción permanece

estable y se expresa como el producto del coeficiente de fricción cinética μk por la fuerza normal N perpendicular a

ambas superficies:


Leyes de la fricción para cuerpos sólidos.

La fuerza de fricción es paralela a la dirección de la superficie de apoyo.

El coeficiente de fricción es prácticamente independiente del área de la superficie de contacto.

El coeficiente de fricción depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, así como del estado en que se

encuentren sus superficies.

La fuerza máxima de fricción es directamente proporcional a la fuerza normal que actúa entre las superficies de

contacto.

Para un mismo par de cuerpos, la fricción es mayor un instante antes del movimiento que cuando se está en

movimiento. En el primer caso, el fenómeno recibe el nombre de fricción estática o fricción seca; en el segundo

caso, el fenómeno recibe el nombre de fricción cinética o fricción viscosa.

La fuerza de fricción es prácticamente independiente de la velocidad con que se desplaza un cuerpo sobre otro.

Para comprender mejor la forma en que actúan las fuerzas de fricción se tienen las siguientes leyes empíricas:

La dirección de la fuerza de fricción estática fs entre cualesquiera dos superficies en contacto se opone a la dirección

de cualquier fuerza aplicada y su valor se puede obtener mediante:

fs =μsN

En donde la constante adimensional μs recibe el nombre de coeficiente de fricción estática, y N es la magnitud de la

fuerza normal.

La dirección de la fuerza de fricción cinética fs que actúa sobre un objeto es opuesta a la dirección de su movimiento

y está dada por:

fs =μkN

En donde μk es el coeficiente de fricción cinética.

Los valores de μs y μk dependen de la naturaleza y rugosidad de las superficies y se obtienen experimentalmente,

aunque μk es, por lo general, menor que μs. Los valores característicos varían casi siempre de 0.05 hasta 1.5.

Diagrama de cuerpo libre

Con el fin de tener buenos resultados al aplicar la segunda ley de Newton a un sistema mecánico, primeramente se

deben de reconocer todas las fuerzas que actúan sobre el sistema. Es decir, se debe construir el diagrama de cuerpo

libre correcto.

Cuando se hace un diagrama de cuerpo libre se deben de tomar en cuenta cada uno de los elementos que

interactúan en el sistema.

101 BLOQUE 3

A continuación, se muestran algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre en los que F denota cierta fuerza

aplicada, W = mg es el peso o fuerza que la gravedad ejerce sobre los cuerpos, N es la fuerza normal, f es la

fuerza de fricción y T es la fuerza de tensión en la cuerda que jala al objeto.

A la izquierda se ilustran varios sistemas mecánicos y a la derecha los diagramas de cuerpo libre correspondientes. El

término rugoso significará únicamente que la superficie tiene fricción.

Fuerza de fricción estática

Existe una fuerza de fricción entre dos objetos que no están en movimiento relativo. Tal fuerza se llama fuerza de fricción estática. En la siguiente figura, se aplica una fuerza F que aumenta gradualmente, pero el bloque

permanece en reposo. Como en todos estos casos la aceleración es cero, la fuerza F aplicada es igual y opuesta a la

fuerza de fricción estática fs, ejercida por la superficie.


La máxima fuerza de fricción estática fs máx, corresponde al instante en que el bloque está a punto de deslizar. Los

experimentos demuestran que:

fs máx = μsN

Donde la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de fricción estática. Por tanto, la fuerza de fricción

estática varía hasta un cierto límite para impedir que una superficie se deslice sobre otra:

fs máx <= μsN

Ejemplo:

El objetivo de este ejemplo, es analizar el movimiento de los tres cuerpos que forman el sistema que aparece en la

figura.

Un cuerpo A cuelga de una cuerda que pasa a través de una polea de masa despreciable y que está unida a un

bloque B que puede deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sobre el bloque B se coloca un cuerpo C. Se supone

que la fricción entre el cuerpo B y el plano horizontal es despreciable. Mientras que existe una fricción entre el cuerpo

C y el cuerpo B.

Este ejemplo puede servir como experiencia simulada para medir el coeficiente de fricción estática. Se va variando la

masa del cuerpo A, es decir la aceleración del sistema hasta observar que el cuerpo C comienza a deslizar sobre el

cuerpo B. Con los datos de las masas de los tres cuerpos se calcula la aceleración del sistema y a partir de este dato

se determina el coeficiente de fricción estática de la siguiente forma:

103 BLOQUE 3

Cuando el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B.

Ambos tienen la misma aceleración a que la del cuerpo A.

mAg − T = mA a Movimiento del cuerpo A

T − f = mB a Movimiento del cuerpo B

f = mC a Movimiento del cuerpo C

La fuerza de fricción f es la que hace que el cuerpo C se mueva con el cuerpo B; el cuerpo B

ejerce una fuerza f sobre el cuerpo C dirigida hacia la derecha. Por el principio de acción y reacción

el cuerpo C ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre el cuerpo B.

De estas ecuaciones se obtiene la aceleración a y la fuerza f de fricción entre los cuerpos B y C.

Cuando el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo B.

Cuando f = mC a alcance el valor máximo μsN o bien μsmCg, el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el

cuerpo B. μs es el coeficiente de fricción estática.

Al incrementar la masa de A, se incrementa la aceleración; en el momento en el que el cuerpo C va a empezar a

deslizar se cumple que:

Al eliminar mC queda:

Se calcula la aceleración crítica a, a partir de los valores de las masas mA, mB y mC en la fórmula anterior y a

continuación se obtiene por despeje el valor del coeficiente de fricción estática.


Cuando el cuerpo C desliza sobre el cuerpo B

Cuando se incrementa aún más la masa de A se

incrementa la aceleración a, el cuerpo C desliza

sobre el cuerpo B, el valor de la fuerza de fricción

disminuye y vale ahora:

f = μkmC g

Donde μk es el coeficiente de fricción por

deslizamiento.

Las aceleraciones a del cuerpo B y la aceleración

a' del cuerpo C ya no son las mismas:

mAg − T = mA a Movimiento del cuerpo A

T − f = mB a Movimiento del cuerpo B

f = mC a’ Movimiento del cuerpo C

f =μkmC g Fuerza de fricción

De las ecuaciones anteriores podemos obtener:

Como la aceleración a de B, es mayor que la aceleración a’ de C, la aceleración relativa de C respecto de B, es a’ − a.

Desde el punto de vista de un observador situado en B, el cuerpo C se mueve hacia atrás con una aceleración

|a’ − a|.

El cuerpo C tarda en llegar al final del cuerpo B un tiempo t, que se puede obtener de:

| |

Donde x es la distancia recorrida del cuerpo C sobre el

cuerpo B.

La velocidad con respecto al laboratorio del cuerpo C

cuando abandona el cuerpo B será:

Donde t es el tiempo que C está deslizando sobre B.

105 BLOQUE 3

En el momento en el que el cuerpo C abandona el bloque B, la aceleración del sistema formado por los bloques A y B

cambia,

mAg − T = mAa Movimiento del cuerpo A

T = mBa Movimiento del cuerpo B

De las ecuaciones anteriores se obtiene:

El cuerpo C abandona el cuerpo B.

Ahora el cuerpo C que tiene una velocidad inicial vC dirigida hacia la derecha, se mueve bajo

la sola influencia de su peso; describe por tanto un movimiento curvilíneo bajo la

aceleración constante de la gravedad o un tiro parabólico.

El tiempo que tarda en llegar al plano horizontal es

donde h es la altura del bloque B.

La distancia que recorre horizontalmente es x = vCt

El cuerpo C desliza sobre el plano horizontal.

Una vez que el cuerpo C entra en contacto con el plano horizontal sobre el cuerpo C actúa una fuerza de fricción que

hace que se pare al cabo de un cierto tiempo.

Suponemos que la fuerza de fricción entre el plano horizontal y el bloque C, es la misma que entre el bloque C y el

bloque B. El cuerpo C, con una velocidad inicial horizontal vC se parará después de haber recorrido una distancia x,

dada por


Fuerza de fricción cinética

En la siguiente figura se muestra un bloque de masa m que se desliza por una superficie horizontal con velocidad

constante. Sobre el bloque actúan tres fuerzas: el peso mg, la fuerza normal N, y la fuerza de fricción Fk entre el

bloque y la superficie. Si el bloque se desliza con velocidad constante, la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de

fricción Fk

.

Si se duplica la fuerza normal N (por ejemplo al duplicar la masa), la fuerza de fricción fk también se duplica. Por lo

tanto la fuerza de fricción cinética fk es proporcional a la fuerza normal N.

fk = μkN

La constante de proporcionalidad μk es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de fricción

cinética.

Ejemplo:

Una mujer en el aeropuerto jala su maleta de 20 kg con una rapidez constante. La correa de la maleta forma un

ángulo θ con respecto a la horizontal. La mujer jala la correa con una fuerza de 35 N. La fuerza de fricción que hay

entre la maleta y el piso es de 20 N. Dibuja un diagrama de cuerpo libre para la maleta y calcula:

a) El ángulo que forma la correa con la horizontal.

b) La fuerza normal que ejerce el piso sobre la maleta.

Datos:

m = 20 kg

F = 35 N.

FR = 20 N.

a) θ =?

b) N =?

a)

Σ FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza

a velocidad constante)

FX – F

R = 0

FX = F

R

Como: FX = F cos θ Tenemos que:

F cos θ = FR

35 cos θ = 20N

cos θ = 20N / 35 N = 0.5714

θ = cos−1

0.5714

θ = 55.15°

b)

Σ FY = 0

N + FY – W = 0

N = W – FY

Como: FY = F sen θ

FY = 35 N sen 55.15°

FY = 28.7227 N

N = W – FY

N = m g – FY

N = 20 kg ( 9.8 m/s2

) – 28.7227 N

N = 196 N – 28.7227 N

N = 167.27 N

107 BLOQUE 3

Evaluación


Saberes



relacionados con la fuerza de

fricción en el movimiento de los

cuerpos.

Resuelve problemas cotidianos

relacionados con la fuerza de

fricción en el movimiento de los

cuerpos.


entusiasmo.

Autoevaluación


docente

Resuelve lo siguiente:

En el sistema de la figura, los bloques A (mA = 0.8 kg) y B (m

B = 0.2 kg) se deslizan con

velocidad constante sobre la superficie horizontal por acción de otro bloque C (mC = 0.2 kg)

suspendido. Se separa el bloque B del bloque A y se suspende junto con el C. ¿Cuál será la

aceleración del sistema? ¿Y la tensión de la cuerda?

Actividad: 4


Cierre


de tu profesor.

1. Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de un plano inclinado que tiene una pendiente de

30° y se desliza 2 metros hacia abajo en 1.5 s.

Dibuja una figura que ilustre el enunciado del problema, el diagrama de cuerpo libre correspondiente y calcula lo

siguiente:

a) La magnitud de la aceleración del bloque.

b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano.

c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.

d) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.

Actividad: 5

109 BLOQUE 3

Evaluación


Saberes


Comprende las implicaciones de

las leyes de Newton en el

movimiento de los cuerpos

rígidos.

Resuelve problemas sobre

movimientos de cuerpos rígidos,

aplicando las leyes de Newton.


Autoevaluación


docente

2. Sobre un plano inclinado 30º sobre el horizonte hay un cuerpo de 40 kg. Paralela al plano

y hacia abajo, se le aplica una fuerza de 40 N. Si el coeficiente de fricción cinética es 0.2,

determina:

a) El valor de la fuerza de fricción.

b) La aceleración con que se mueve el cuerpo.

c) La velocidad del cuerpo a los 10 s de iniciarse el movimiento.




Energía cinética de rotación.

Inicio

Evaluación

Actividad:1 Producto: Ejercicio de opción

múltiple. Puntaje:

Saberes


Conoce los conceptos básicos

sobre la energía en el

movimiento rotacional de los

cuerpos rígidos.

Discierne entre situaciones

cotidianas donde interviene la

energía cinética de rotación de

cuerpos rígidos.


entusiasmo

Autoevaluación


docente

Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos subrayando la opción

que consideres correcta.

1. Selecciona la afirmación verdadera.

a) Las columnas que sostienen el aula

realizan mucho trabajo al sostener carga.

b) Un alumno que carga su mochila en el

trayecto de su casa realiza trabajo.

c) Juan, que empuja su carro hasta el taller,

realiza trabajo.

d) Todas las anteriores.

2. Dos esferas, una hueca y otra sólida, giran con

la misma rapidez angular alrededor de sus

centros. Ambas esferas tienen la misma masa y

radio.

a) La esfera hueca tiene mayor energía.

b) La esfera sólida tiene mayor energía.

c) Ambas esferas tienen la misma energía.

d) Falta más información.

3. Una pelota de softbol, un balón de voleibol y

uno de básquetbol se sueltan al mismo tiempo

desde la cima de un plano inclinado. ¿Cuál

llega primero?

a) La pelota de softbol.

b) El balón de voleibol.

c) El balón de básquetbol.

d) Llegan todos iguales.

4. Las unidades en que se expresan la energía

son:

a) Newton y Dinas.

b) Ergios y Dinas.

c) Joule y Newton.

d) Ergios y Joules.

Actividad: 1

111 BLOQUE 3

Desarrollo

Energía cinética de rotación.

Las leyes de Newton facilitan la comprensión y el análisis de muchos problemas de mecánica. Ahora se examinará

otro método basado en uno de los conceptos verdaderamente fundamentales y universales de la Física: la energía.

Hay muchas clases de energía, por ahora se abordará principalmente la energía cinética rotacional, que se relaciona

con un cuerpo rígido en movimiento.

Trabajo de un peso

Se definió el trabajo como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del

desplazamiento. T = Fd cos El trabajo del peso de un cuerpo, es decir, el que la gravedad ejerce sobre ese .

cuerpo, se obtiene al sustituir peso (P) por fuerza, por lo tanto el trabajo será:

Trabajo =P·h

Donde h es la altura a la que se desplazará el cuerpo.

Ahora se considerará el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión

resultante.

Considerando la fuerza F que actúan al borde de una polea de radio r,

como se muestra en la figura de la derecha. El efecto de dicha fuerza es

hacer girar la polea a través de un ángulo mientras el punto en el que

se aplica la fuerza se mueve una distancia s. La distancia del arco s se

relaciona con un ángulo mediante s = r

Así, el trabajo de la fuerza es por definición F

Trabajo = Fs = Fr

pero es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto Fr

Trabajo= τ

La energía mecánica generalmente se transmite en forma de trabajo rotacional.

Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que interesa es la rapidez con que se

realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la

ecuación entre el tiempo requerido para que el momento de torsión t lleve a cabo un desplazamiento τ

Puesto que θ /t representa la velocidad media angular ω, se puede escribir:

Se observa la similitud entre esta relación y su análoga P = Fv donde F=fuerza y v=velocidad


Ejemplo:

Calcula el trabajo para levantar verticalmente una escalera de 2.5 m de longitud cuya masa es de 20 kg si tiene su

centro de gravedad a 1.6 m del nivel inferior y se encuentra colocada horizontalmente.

El trabajo que se realiza contra la gravedad para poner verticalmente la escalera es igual al peso de la escalera por la

distancia al centro de gravedad.

Como el ángulo es cero y P=mg, entonces:

cos 0° = 1 y P = (20kg)(9.8m/s2

) = 196 N

T = (196 N) (1.6 m) = 313.6 Joules

113 BLOQUE 3

En binas resuelvan los siguientes problemas, anoten las respuestas y discútanlas en

forma grupal.

1. Una gata decide trasladar su camada de 6 gatitos, cada uno de 200 g, de tal manera que los lleva (uno por

uno) 10 m por el piso horizontal con rapidez constante y luego los sube a una caja situada a 3 m sobre el piso

por una escalera. Calculen el trabajo realizado por la gata.

2. Una lámpara de 2 kg se desprende del techo y cae sobre el piso desde una altura de 2.5 m. Calculen:

a) La energía potencial y cinética antes de soltarse.

b) El trabajo que realiza la lámpara al caer.

3. Un saco de cemento de 50 kg se eleva hasta una altura de 30 m en 1.0 min. Calculen la potencia

desarrollada en HP.

Actividad: 2


Evaluación


Saberes


Comprende los conceptos de

trabajo, potencia y energía en la

rotación de cuerpos rígidos.

Aplica los conceptos de trabajo,

potencia y energía en la rotación de

cuerpos rígidos.


Autoevaluación


docente

4. Un motor de 50 HP hace funcionar un ascensor de masa igual a 1000 kg. Calculen el

tiempo requerido para que el ascensor suba 35 m.

5. Calculen el trabajo realizado al elevar un cuerpo de 10 kg hasta una altura de 5 m en 2 s. Exprésenla en

Joules y en ergios.


115 BLOQUE 3

Ley de la conservación de la energía.

Una partícula que se mueve en un círculo de radio r tiene una velocidad lineal

Si la partícula tiene una masa m tendrá una energía cinética igual a

Un cuerpo rígido se puede considerar formado por muchas partículas de diferentes masas localizadas a diversas

distancias del eje de rotación 0. La energía de cinética total de un cuerpo será entonces la suma de las energías

cinéticas de cada partícula que forma el cuerpo.

∑

Puesto que la fracción ½ y la velocidad angular ω son las mismas para todas las partículas, se puede reorganizar la

ecuación anterior y obtener:

(∑ )

La cantidad entre paréntesis ∑ , tiene el mismo valor para un cuerpo dado, independientemente de su estado de

movimiento. Se define esta cantidad como “el momento de inercia” y se representa por I:

o bien


La unidad del SI para la I es el kilogramo-metro al cuadrado. Utilizando esta definición, podemos expresar la energía

cinética rotacional de un cuerpo en términos de su momento de inercia y de su velocidad angular.

Existe una similitud entre los términos m para el movimiento lineal e I para el movimiento rotacional.

La energía se define como la capacidad para realizar un trabajo; su unidad es el Joule que corresponde a 1 N m.

La energía cinética es el trabajo W realizado por una fuerza sobre un cuerpo y es igual a una variación de su energía

cinética:

donde

La energía potencial es el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un cuerpo y es igual a la disminución de

la energía potencial:

donde

Si es la fuerza conservativa la única fuerza que actúa sobre el cuerpo podemos decir que:

o también

Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica se conserva en todos los puntos de su

trayectoria.

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una partícula

material de un punto “A” a otro “B” no depende del camino seguido sino tan sólo

de los puntos inicial y final.

El trabajo total realizado sobre un cuerpo es igual a la suma del trabajo realizado

por las fuerzas conservativas más el trabajo realizado por las fuerzas no

conservativas.

Ejemplo:

En un esfuerzo por ser estrella del espectáculo durante el intermedio, una

bastonera hace girar un bastón hecho con 4 esferas sujetas a los extremos

de varillas ligeras, a una altura inusual. Cada varilla mide 1.0 m de largo.

Determine el momento de inercia del sistema alrededor de un eje

perpendicular a la página y que pase por el punto donde se cruzan las

varillas.

Solución:

Al aplicar la ecuación se obtiene

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

𝐖𝐭 𝐖𝐜 𝐖𝐧𝐜 𝚫𝐄𝐜

𝐖𝐧𝐜 𝚫𝐄𝐜 𝚫𝐄𝐩

𝐖𝐧𝐜 𝚫𝐄

117 BLOQUE 3

Evaluación


Saberes



relacionados con la

conservación de la energía en la

rotación de cuerpos rígidos.

Resuelve situaciones prácticas

relacionadas con la conservación

de la energía en la rotación de

cuerpos rígidos.

Es aplicado en la realización del

ejercicio.

Autoevaluación


docente

Resuelve el siguiente problema.

Calcula el momento de inercia del sistema que se muestra en la figura, considerando que el peso

de las barras que sostienen las masas es despreciable y el sistema gira con una velocidad

angular de 5 rad/s. Calcula la energía cinética rotacional (considera que las masas están

concentradas en un punto)

Actividad: 3


Cantidad de movimiento angular.

La cantidad de movimiento angular es un vector cuya magnitud para una partícula en movimiento circular es L = r m v,

donde “r” es el radio de giro, “m” es la masa de la partícula y “v” es la velocidad tangencial. Para un cuerpo rígido

que está en rotación se representa mejor con L = Iω, donde “I” es el momento de inercia y “ω” es la velocidad

angular. Si la torca resultante sobre el cuerpo es cero, la cantidad de movimiento angular permanece constante tanto

en magnitud como en dirección. A esta ley se le conoce como “ley de conservación del momento angular”. A la

“cantidad de movimiento angular” también se le conoce como “momento angular” o “ímpetu angular”.

De acuerdo con la ecuación fundamental del movimiento angular, τ = Iα y

por lo tanto la segunda ley de Newton para la rotación quedaría:

Multiplicando por t, obtenemos:

Impulso angular = cambio en la cantidad de movimiento angular.

Momento de inercia de figuras regulares.

El momento de inercia es una magnitud cuyo valor depende de la

distribución de la masa respecto del eje considerado, por lo tanto un

mismo cuerpo puede tener infinitos momentos de inercia.

Si los elementos de masa de un objeto se distribuyen paralelos al eje de

rotación, el momento de inercia del objeto no cambia. Por lo tanto, la

expresión I = mr2 se puede usar con igual eficiencia para calcular el

momento de inercia axial de un anillo de bordado o de un largo tubo de

drenaje. De igual modo, una puerta que gira en sus bisagras se describe

con la misma expresión de momento de inercia que la tabulada para una

varilla larga y delgada que gira alrededor de su extremo.

Se presentan a continuación algunas figuras regulares con su momento de inercia; en ellas se observa que de

acuerdo a cómo esté posicionado el eje de rotación, un mismo cuerpo puede tener diversos momentos de inercia.

Además, en estas ilustraciones en particular, el radio de la rotación está simbolizado con una “R” y las longitudes

están representadas con una “L”

m

r v

L

119 BLOQUE 3

121 BLOQUE 3


Ejemplo:

Una esfera uniforme de 600 g y de 8 cm de radio gira a 40 rev/s a través del eje

que pasa por el centro. Calcula su:

a) Energía cinética rotacional.

b) Cantidad de movimiento angular.

c) Radio de giro.

Solución:

El momento de inercia de una esfera uniforme alrededor de un eje que pasa

por su centro se calcula con:

Sustituyendo

( )( )

a) Como 40 rev/s = 251.3 rad/s, entonces

( )( )

b) La cantidad de movimiento angular se obtiene con:

( ) (

)

c) Para cualquier objeto, I = mr2, donde r es el radio de giro o bien es la distancia a la cual se debe colocar una

masa puntual m, si la masa va a tener la misma I que tiene el cuerpo real. Por lo tanto:

√

√

123 BLOQUE 3

Ejemplo:

Un disco sólido rueda sobre una pista; en la parte alta de una colina su rapidez es de 0.9 m/s. Eliminando las fuerzas

disipativas, ¿cuál será la rapidez cuando se encuentre a 20 cm por debajo de la cima?

Solución:

En la cima, el disco posee energía cinética de traslación Ect y energía cinética de rotación Ecr además de la energía

potencial gravitatoria Epg relativa al punto 20 cm abajo. En el punto final, se elimina la Epg quedando la Ect más la

Ecr; por lo tanto con h = 20cm

( ) ( )

Como se trata de un disco sólido,

Al sustituirse se obtiene

Se sustituye v0 = 0.9 m/s y h = 0.2 m en la fórmula anterior

para despejar vf y queda:


En forma individual resuelve los siguientes ejercicios

1. Un disco sólido de 15 kg rueda sobre una superficie horizontal a razón de 5 m/s. Calcula

su energía cinética.

2. Un anillo de 5 cm de radio parte del reposo y rueda hacia debajo de una colina hasta un punto que se

encuentra 2.0 m por debajo del punto inicial. Calcula la rapidez en ese punto.

3. Una rueda de 5.0 kg que tiene 30 cm de radio de giro, está rodando a 420 rpm. La torca debida a la fuerza

de fricción es de 0.2 N·m. Calcula el tiempo necesario para llevar la rueda hasta el reposo.

Actividad: 4

125 BLOQUE 3

Evaluación


Saberes


Entiende las ideas relativas al

ímpetu e impulso angular.

Interpreta los conceptos de ímpetu

e impulso angular en situaciones

prácticas.


esmero.

Autoevaluación


docente

4. Una rueda de 5.0 kg que tiene 30 cm de radio de giro, está rodando a 420 rpm. La torca

debida a la fuerza de fricción es de 0.2 N·m. Calcula el tiempo necesario para llevar la

rueda hasta el reposo.



Cierre


1. Una cuerda enrollada en un disco de 4 kg y 20 cm de diámetro recibe una fuerza de

tracción de 50 N que la desplaza una distancia lineal de 4 m. Calcula el trabajo lineal

realizado por la fuerza de 50 N y el trabajo rotacional realizado sobre el disco.

2. Una barra delgada de 90 cm de largo tiene una masa de 5 kg. Si la barra se apoya sobre su centro y gira

con una velocidad de 20 rad/s, calcula su cantidad de movimiento.

3. Una varilla de 400 gr y 40 cm de longitud oscila sobre su centro y gira a 200 rpm. Calcula el momento

angular.

Actividad: 5

127 BLOQUE 3

4. Un motor de 1500 W impulsa en 6 s una rueda cuyo momento de inercia es 3 kg·m2

. Si la

rueda parte del reposo, ¿qué rapidez angular media llegó a adquirir?

Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos; subraya la opción que consideres

correcta.

1. Una patinadora disminuye su velocidad angular al extender los brazos por:

a) Perder la mayor parte de su energía al hacer actuar fuerzas no conservativas.

b) Aumentar la fricción de sus patines.

c) Aumentar su momento de inercia.

d) Aumentar la fricción de sus brazos con el aire.

2. Un volante de masa 20 kg gira a 600 rpm alrededor de su eje. Si el radio de giro del volante es de 0.5 m, su

energía cinética de rotación es:

a) 9869.6 J

b) 10000 J

c) 9354.6 J

d) 8754.5 J

Actividad: 5


Evaluación


Saberes



relacionados con la cinética

rotacional.

Aplica los conceptos relacionados

con la cinética rotacional en


Realiza las actividades con

perseverancia.

Autoevaluación


docente

3. Es el caso de traslación, rotación y de ambos al mismo tiempo (en ese orden):

a) Un carro desplazándose, nuestro planeta y un disco reproduciéndose en el estéreo.

b) Un carro desplazándose, un disco reproduciéndose en el estéreo y nuestro planeta.

c) Nuestro planeta, un carro desplazándose y un disco reproduciéndose en el estéreo.

d) Un disco reproduciéndose en el estéreo, un carro desplazándose y nuestro planeta.

4. Si el calentamiento global continúa, es probable que parte del hielo de los casquetes polares de nuestro

planeta se derrita y el agua se distribuya más cerca del ecuador. Si esto sucede, la duración del día (una

revolución):

a) Aumentaría.

b) Disminuiría.

c) Seguiría igual.

d) Aumentaría en verano solamente.


129 BLOQUE 3

Bibliografía

Básica:

Hewitt, Paul G. Física Conceptual. México, Ed. Pearson Educación de México, 9ª Edición, 2004.

Pérez Montiel, Héctor. Física 1 para Bachillerato General. México, 2ª. Ed., Publicaciones Cultural, 2003.

Pérez Montiel, Héctor. Física 2 para Bachillerato General. México, 2ª. Ed., Publicaciones Cultural, 2003.

Pérez Montiel, Héctor. Física General. México. Publicaciones Culturales, 2ª. Edición, 2004.

Tippens, Paul. Física, Conceptos y Aplicaciones, México: Ed. McGraw Hill, 7 ª Edición, 2007.

Complementaria:

Giancoli, C. Douglas. Física. Principios con aplicaciones. 6ª. Edición). México: Pearson, 2006.

Halliday, D., Resnick, R. y Walker, J. Fundamentos de Física. 8ª Edición. México: Ed. CECSA, 2001.

Serway, Raymond A. y John W. Jewett, Jr. Física. 3ª. edición, México: Ed. Thomson, 2004.

Serway, Raymond, Jerry S. Faughn, Física para bachillerato general, Volumen 1. México, 6ª Ed. Editorial Cengage,

2006.

Serway, Raymond, Jerry S. Faughn, Física para bachillerato general, Volumen 2. México, 6ª Ed. Editorial Cengage,

2006.

Serway, Raymond A. Fundamentos de física vol. I . 6ª. Edición. México: Thomson Learning, 2004.

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