temario final de algebra

7/25/2019 Temario Final de Algebra

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5.1 Espacios vectoriales y generados• Tema 5.1

• Tema 5.2

• Tema 5.3

5.1.1 Introducción

Un espacio vectorial Rn es un conjunto de elementos llamados vectores, en los que se definen dosoperaciones fundamentales: la suma y el producto por un escalar. Se demostr que el resultado de sumar dosvectores Rn tam!i"n pertenece a Rn, as# como el producto por un escalar de un vector Rn. Tam!i"n seanali$ que los vectores en Rn son conmutativos y asociativos !ajo la suma:

%l conjunto que satisfa&a los si&uientes a'iomas se le dar( el nom!re de espacio vectorial y a sus elementosel nom!re de vectores.

Un espacio vectorial es un conjunto ) de elementos llamados vectores, cuyas operaciones de suma yproducto por un escalar se encuentran definidas en "l. Si se tienen u, v y w elementos de ), y c , d sonescalares.

%'iomas de cerradura

1. *a suma u + v e'iste y es un elemento de ).

2. c u es un elemento de ).

%'iomas de la suma

1. u + v v + u -propiedad conmutativa.

2. u + -v + w -u + v + w -propiedad asociativa.

3. /'iste un elemento de ), denominado vector cero, que denota como 0, tal que u + 0 u.

0. ara todo elemento de u de ), e'iste un elemento llamado el ne&ativo de u, que se denota –u, talque u + --u 0

%'iomas de la multiplicacin por un escalar

1. c-u + v cu + cv

2. -c + du cu +du

3. c-du -cdu

http://cursos.clavijero.edu.mx/cursos/026_a/modulo5/contenido/tema5.1.html








0. 1u u

ara que a un conjunto se le de el nom!re de espacio vectorial de!er( satisfacer todos los a'iomas.

5.1.2 Espacios vectoriales de matrices

onsidera un conjunto de matrices 2 ' 2. enota este conjunto con M22.

%nteriormente ya se 4an definido estas operaciones de suma y del producto por un escalar a este conjunto, elcual forma un espacio vectorial.

Se anali$ar(n los a'iomas 1, 3, 0, 5 y .

Utili$ando la notacin vectorial para indicar los elementos de M22. Sean

os matrices de 2 ' 2 cualesquiera. Se tiene

%'ioma 1:

u + v es una matriz de 2 x 2. Por consiguiente, M22 es cerrada bajo la suma.

%'iomas 3 y 0:

e acuerdo con los estudios anteriores, se sa!e que las matrices de 2 ' 2 son conmutativas y asociativas !ajola suma.

%'ioma 5:

*a matri$ cero de 2 ' 2 es , puesto que:

%'ioma :



Si , entonces ya que :

/l conjunto de matrices 622 de 2 ' 2 es un espacio vectorial. *as propiedades al&e!raicas de 622 son similaresa las de Rn. %simismo, el conjunto de matrices m ' n, 6mn, es un espacio vectorial.

5.1.3 Suespacios

iertos su!conjuntos de espacios vectoriales forman espacios vectoriales ellos mismos. /n el espacio Rn esun conjunto de vectores en el que se 4an definido las operaciones de suma y del producto por un escalar. Sise suman dos vectores en Rn, se o!tiene un elemento de Rn7 asimismo, si se multiplica un elemento de Rnpor un escalar, se o!tiene un elemento de Rn. or ejemplo, en R3.

Si consideramos a ciertos su!conjuntos de Rn que tienen las mismas caracter#sticas.

onsidera el su!conjunto de ) de R3, que consta de los vectores de la forma ) consta de todoslos elementos de R3 que tienen las primeras dos componentes i&uales. or ejemplo, -3, 3, 1 y -82, 82, 5 quese encuentran en )7 -3, 0, 5 no pertenece a ). 9!serva que si sumas dos elementos de ), o!tienes unelemento de ) y si multiplicas un elemento de ) por un escalar, o!tienes un elemento de ). Sean -a, a, ! y -c,

c, d elementos de ) y sea un escalar, as#:

Se definen las operaciones de suma y del producto por un escalar7 por lo tanto, se define como espaciovectorial contenido en R3. *lam(ndosele a dic4o espacio vectorial un su!espacio del espacio mayor.

Sea ) un espacio vectorial y U un su!conjunto no vac#o de ). Se dice que U es un su!espacio de ) si escerrado !ajo la suma y el producto por un escalar.

/jemplo 1. Sea U un su!conjunto de R3 que consta de todos los vectores de la forma -;, a, ;, demuestra queU es un su!espacio de R3.

Sean -;, a, ; y -;, !, ; dos elementos de U y sea un escalar, se tiene que:



*a suma y el producto de un escalar pertenecen a U7 por lo tanto, U es un su!espacio de R3.

<eom"tricamente, U es el conjunto de vectores que se encuentran en el eje y . =ota que la suma de losvectores se encuentran en el eje y , tam!i"n la multiplicacin por un escalar de cualquiera de estos vectores.

/jemplo 2. Sea > el conjunto de vectores de la forma demuestra que > no es un su!espacio deR3. *a se&unda componente de > es el cuadrado de la primera. %s#, por ejemplo, el vector -2, 0, 3 seencuentra en >, mientras que el vector -2, 5, 3 no.

Sean elementos de >, se o!tiene:

or consi&uiente, no es un elemento de >, ya que > no se encuentra cerrado!ajo la adicin y > no es un su!espacio.

/jemplo 3. emuestra que el conjunto U de matrices dia&onales de 2 ' 2 es un su!espacio del espacio

vectorial M22 de matrices 2 ' 2.

Se de!e demostrar que U es cerrado !ajo la suma y el producto por un escalar. onsidera los dos elementosde U si&uientes.

Se tiene que

9!serva que u + v es una matri$ dia&onal de 2 ' 2 y, por tanto, un elemento de U. U es cerrado !ajo la suma.

Sea c un escalar, se tiene que:



c u es una matri$ dia&onal 2 ' 2. %s#, U es cerrado !ajo la multiplicacin por un escalar7 por lo tanto, U es un

su!espacio de M22.

Sea U un su!espacio de un espacio vectorial ), U contiene el vector cero de ). Se sa!e que ;u 0. uestoque U es cerrado !ajo la multiplicacin por un escalar, esto implica que 0 se encuentra en U.

/jemplo 0. Sea > el conjunto de vectores de la forma -a, a, a+2 demuestra que > no es un su!espacio deR3.

/'iste al&?n valor de a para el cual -a, a, a+2 sea i&ual a -;, ;, ;

Se i&ualan las componentes correspondientes, teni"ndose que:

/ste sistema de ecuaciones no tiene solucin. e esta manera, -;, ;, ; no es un elemento de > y > no esun su!espacio.

5.1.! "ominaciones lineales de vectores

Se 4an anali$ado su!espacios de la forma -a,a,! anteriormente. 9!serva que este su!espacio se puedee'presar de la si&uiente manera:

ada vector del su!espacio se puede e'presar en t"rminos de

or ejemplo,

@

/stos vectores de cierta manera caracteri$an al su!espacio. /ntonces:



Sean vectores en un su!espacio vectorial ). Se dice que v, un vector en ), es una

com!inacin lineal de si e'isten escalares

tales que v pueda e'presarse de la si&uiente forma:

/jemplo 5. /l vector -5,0,2 es una com!inacin lineal de los vectores

ya que se puede e'presar como:

/jemplo . etermina si el vector -81,1,5 es una com!inacin lineal de los

vectores

/l pro!lema se reduce a encontrar c1, c2 y c3:

Se aplican las operaciones de suma y del producto por un escalar:

A&ualando las componentes, se o!tiene el si&uiente sistema de ecuaciones lineales:

BResolviendo el sistema de ecuaciones lineales se tiene la solucin ?nica:

or lo tanto, de la com!inacin lineal de los si&uientes vectores resulta el

vector



/jemplo C. emuestra que el vector no se puede e'presar como una com!inacin lineal de los

vectores



A&ualando las componentes, se o!tiene el si&uiente sistema de ecuaciones lineales:

/ste sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin. or consi&uiente, , no es una

com!inacin lineal de los vectores

/jemplo B. etermina si la matri$ es una com!inacin lineal de las matrices

, en el espacio vectorial 622 de matrices 2 ' 2.





%l i&ualar los elementos correspondientes, se o!tiene el si&uiente sistema de ecuaciones lineales:

Se encuentra que este sistema tiene una solucin ?nica, *a matri$ dada es,por tanto, la si&uiente com!inacin lineal de las otras tres matrices:

Si el sistema de ecuaciones lineales no tuviera solucin, es o!vio que la matri$ dada no ser#a unacom!inacin lineal de las otras matrices.

Se dice que los vectores &eneran un espacio vectorial si todo vector en el espacio sepuede e'presar como una com!inacin lineal de estos vectores.

5.2 #ependencia lineal$ ase$ dimensión y rango• Tema 5.1

• Tema 5.2

• Tema 5.3

5.2.1 Introducción









/l conjunto de vectores en un espacio vectorial ) se dice que es linealmente

dependiente si e'isten escalares

no todos i&uales a ;, tales que:

/l conjunto de vectores es linealmente independiente si

slo se puede satisfacer cuando

/jemplo 1. emuestra que el conjunto

es linealmente dependiente en R3.

%nali$a la identidad

Se de!er( demostrar que por lo menos uno de los valores de c tendr( que ser diferente de cero.

Se i&uala cada componente de este vector a cero, o!teni"ndose el sistema de ecuaciones:

/ste sistema tiene la solucin . omo por lo menos uno de los valoresde c es distinto de cero, el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

*a dependencia lineal se e'presa con la ecuacin:



/jemplo 2. emuestra que el conjunto es linealmenteindependiente en R3.

%nali$a la identidad

Se de!er( demostrar que todos los valores de c son i&uales a cero.

Se i&uala cada componente de este vector a cero, o!teni"ndose el sistema de ecuaciones:

/ste sistema tiene una solucin ?nica . /n consecuencia, el conjunto eslinealmente independiente.

5.2.2 #ependencia lineal

/l conjunto es linealmente dependiente si y slo si es posi!le e'presar un vector como un m?ltiploescalar del otro vector.

son vectores linealmente dependientes7 vectores so!re una recta.



son vectores linealmente independientes7 los vectores no se encuentran so!re una recta.

5.2.3 #ependencia e independencia lineal

/l conjunto

es linealmente dependiente si y sólo si es posible expresar uno de los vectores,por ejemplo v3, como combinación lineal de los otros dos vectores v 1 y v2, porejemplo, v3 = c1v1 + c2v2. En general, cuando v1 y v2 son linealmenteindependientes, esto signifca ue v3 se encuentra ubicado en el planogenerado por v1 y v2.

son vectores linealmente dependientes7 vectores en un plano.



son vectores linealmente independientes7 los vectores no se encuentran en un plano.

5.2.! %ases y dimensión

/n esta parte del mdulo corresponde definir los t"rminos de !ase y de dimensin, los temas vistosanteriormente de dependencia e independencia lineal nos ayudar(n a definirlos.

Se define a un conjunto de vectores

como la !ase de un espacio vectorial ) si el conjunto &enera a ) y los vectores son linealmenteindependientes.



Una !ase es un conjunto de vectores que se usan para representar un espacio vectorial, donde cualquier vector se puede e'presar como una com!inacin lineal de los vectores de la !ase, adem(s de que losvectores que forman a la !ase son independientes unos de otros.

/jemplo 1. emuestra que el conjunto es una !ase para R2.

Sea un elemento cualquiera de R2. Se de!er(n encontrar escalares tales que:

/sta identidad lleva al sistema de ecuaciones:

/ste sistema de ecuaciones tiene solucin:

%s#, el conjunto &enera el espacio. %4ora demostraremos que el conjunto es linealmente independiente.Usando la si&uiente propiedad:

/sta identidad da como resultado el si&uiente sistema de ecuaciones:

/ste sistema tiene como solucin ?nica, 7por lo tanto, el conjunto es linealmenteindependiente.

/n conclusin, el conjunto &enera a R2 y es linealmente independiente7 por lo tanto, es una!ase para R2.

/jemplo 2. emuestra que el conjunto es una !ase para R3

Sea un elemento cualquiera de R3, se de!er(n encontrar escalares tales que:



/sta identidad lleva al sistema de ecuaciones:

/ste sistema de ecuaciones tiene solucin:

%s#, el conjunto &enera el espacio. %4ora demostraremos que el conjunto es linealmente independiente.Usando la si&uiente propiedad,

/sta identidad da como resultado el si&uiente sistema de ecuaciones:

/ste sistema tiene como solucin ?nica, por lo tanto, el conjunto eslinealmente independiente.

/n conclusin, el conjunto &enera a R3 y es linealmente independiente7 por lotanto, es una !ase para R3.

Si un espacio vectorial ) tiene una !ase que consta de n vectores, entonces la dimensin de ) es n, que sedenota como dim(V).

uando un conjunto finito e'iste, se dice que el espacio vectorial es de dimensin finita. Si dic4o conjunto noe'iste, se dice que el espacio vectorial es de dimensin finita.

/jemplo 3. onsidera el conjunto de vectores en R3.

/stos vectores &eneran un su!espacio ) de R3 que consta de todos los vectores de la forma:



*os vectores &eneran este su!espacio.

%dem(s, como el se&undo vector no es m?ltiplo escalar del primero, los vectores son linealmenteindependientes.

or consi&uiente, constituyen una !ase para )7 por lo tanto, dim(V) = 2 . Siendo ) unplano que pasa por el ori&en.odemos concluir de las dimensiones de vectores:

1. /l ori&en es un su!espacio de R3. *a dimensin de este su!espacio es cero.

2. *os su!espacios de una dimensin de R3 son rectas que pasan por el ori&en.

3. *os su!espacios de dos dimensiones de R3 son planos que pasan por el ori&en.

5.2.5 &ango de una matri'

Una de las principales caracter#sticas del ran&o de una matri$ es que da una forma de relacionar matrices convectores y viceversa.

Sea % una matri$ m ' n. *os ren&lones de A se pueden considerar como vectores ren&ln y lascolumnas como vectores columna. ada vector ren&ln tiene n componentes y cada vector y cada vector columna tienem componentes. *os vectores ren&ln &eneran un su!espacio de Rn llamado espacio ren&lnde A, y los vectores columna &eneran un su!espacio de Rmllamado espacio columna de A.

*a dimensin del espacio ren&ln y del espacio columna de una matri$ Areci!e el nom!re de ran&o de A. /l

ran&o de A se denota ran&o -%.

*os vectores ren&ln diferentes de cero de una matri$ A de forma escalonada reducida constituyen una !asepara el espacio ren&ln de A. /l ran&o de A es el n?mero de vectores diferentes de cero.

/jemplo 1. etermina el ran&o de la matri$:

ara encontrar el ran&o de la matri$ A, se cuenta el n?mero de vectores ren&ln diferentes de cero, despu"sde 4acer A una matri$ escalonada reducida.



/sta matri$ est( en su forma escalonada reducida. Da!iendo 2 ren&lones diferentes de

cero, e acuerdo con la definicin anterior, estos dos vectores constituyen una!ase para el espacio ren&ln de %. Ran&o -% 3.

*os vectores columna de una matri$ %es el espacio ren&ln de % T. Se puede encontrar una !ase para elespacio columna de una matri$ % al aplicar el m"todo anterior, para determinar una !ase del espacio ren&lnde %T.

/jemplo 2. etermina una !ase para el espacio columna de la si&uiente matri$ A:

*a matri$ transpuesta de A es:

/l espacio columna de A se convierte en el espacio ren&ln de %T. Eusca una !ase para el espacio ren&ln de %T. alcula la matri$ escalonada reducida de %T.

*os vectores ren&ln diferentes de cero de esta matri$ escalonada reducida son una

!ase para el espacio ren&ln de AT.



/'presa estos vectores en forma de columna para o!tener una !ase del espacio columna de A. *ossi&uientes vectores constituyen una !ase del espacio columna de A.

/'isten al&unas consideraciones cuando se o!tienen los ran&os de la matri$ aumentada y de la matri$ decoeficientes. @a que se pueden determinar si los sistemas lineales tienen solucin ?nica, muc4as soluciones onin&una.

onsidera un sistema de m ecuaciones con n varia!les.

Si la matri$ aumentada y la matri$ de coeficientes tienen el mismo ran&o r y r n, entonces la solucin es?nica.

Si la matri$ aumentada y la matri$ de coeficientes tienen el mismo ran&o r y r Fn, entonces 4ay muc4assoluciones.

Si la matri$ aumentada y la matri$ de coeficientes no tienen el mismo ran&o, entonces no e'iste solucin.

5.2.( "oordenadas y camio de ase

/n esta parte del mdulo se usar(n los vectores R n, llamados vectores de coordenadas, descri!iendo losvectores de cualquier espacio vectorial de dimensin finita. @ concluiremos que todos los espacios vectoriales

de dimensin finita son los mismos que R n.

Sea U un espacio vectorial con !ase y sea u un vector en U. Sa!iendo que e'isten

escalares ?nicos tales que:

/l vector columna reci!e el nom!re de vector de coordenadas de u con respecto a esta !ase.

*os escalares

reci!en el nom!re de coordenadas de u respecto de la !ase.

/jemplo 1. /ncuentra el vector de coordenadas u -2,3 respecto de las si&uientes !ases E y EG de R2.

a *a !ase cannica y

!

a or simple o!servacin, se tiene que:



%si . *a representacin dada de u , es la !ase cannica.! %4ora el vector de coordenadas u respecto de E, ser(:

A&ualando las componentes se lle&a al sistema de ecuaciones

or lo que

*os vectores se escri!en como:

or lo tanto, podemos escri!ir:

Se demuestra en el ejemplo anterior que la !ase cannica constituye la forma m(s simple de e'presar unvector.

5.2.) "amio de ases

Sean !ases para un espacio vectorial U. Un vector u en Utendr( vectores de coordenadas u E y u E respecto de estas !ases, entonces:

onde es la matri$ de transicin de B a B’ .



/jemplo 2. onsidera las !ases de R2 Si u es un

vector tal que encuentra.

/'presa los vectores de B en t"rminos de los vectores de B para o!tener la matri$ de transicin.

*os vectores de transicin de coordenadas son . . /ntonces, la matri$

de transicin P es:

9!serva que las columnas de P son los vectores de la !ase B. %s#:

Sean B y B’ !ases para un espacio vectorial. Se sa!e que las matrices de transicin de B a B’ y B’ a B seencuentran relacionadas.

Sean B y B’ !ases para un espacio vectorial U y sea P la matri$ de transicin de B a B’ . /ntonces P es

inverti!le y la matri$ de transicin de B’ a B es P -1.

/n el ejemplo 2 se determin una matri$ de transicin P para pasar de una !ase B a una !ase B’ , en el

si&uiente ejemplo encontraremos ( P’ )-1,primeramente para poder re&resar un vector de la !ase B a B.

/jemplo 3. onsidera las !ases de R 2. Si uB es un

vector tal que

encuentre uB.

/ntonces, como ya 4a!#amos encontrado la matri$ de transicin P . Se encuentra:



/ntonces el vector uE, se encuentra:

5.3 *rans+ormaciones lineales y aplicaciones• Tema 5.1

• Tema 5.2

• Tema 5.3

5.3.1. *rans+ormaciones lineales

Una transformacin lineal es una re&la que asi&na a cada elemento de un conjunto e'actamente un elementode otro conjunto.

Una transformacin T de Rn en Rm,que se denota como es una re&la que asi&na a cada

vector u Rnun vector ?nico v en Rm.

Rn reci!e el nom!re de dominio de T y Rm es el codominio. Se representa mediante 7 v es la

ima&en de u !ajo T. /l conjunto de im(&enes reci!e el nom!re de ran&o de T.

or ejemplo, una transformacin se puede determinar como

. onde el dominio de T es R3 y el codominio es R2. onde la ima&en del

vector se puede determinar esta!leciendo . /ntonces la ima&en

es Se dice que una transformacin es lineal si:









y el vector columna . /ncuentra la transformacin de

R3 en R2. Usando la transformacin encuentra .

Daciendo la multiplicacin entre matrices:

or lo tanto, las im(&enes son:

9!serva que la transformacin de una suma de vectores es i&ual a la suma de sus transformaciones,mientras que la transformacin del producto de un vector por un escalar es i&ual que el escalar por latransformacin del vector.

5.3.2 &epresentación matricial$ matrices y trans+ormaciones lineales

/n esta seccin se ver( cmo representar una transformacin lineal en espacios vectoriales por medio de una

matri$. %s#, decimos que una transformacin lineal T queda definida si su valor en cada vector del dominio seconoce.

Se representar(n los elementos de U y V por medio de vectores de coordenadas, y T por medio de unamatri$ A que define una transformacin de vectores de coordenadas.

Sean U y V espacios vectoriales con !ases



una transformacin lineal. Si u es unvector en U con ima&en T -u con vectores de coordenadas a y b respecto de estas !ases, entonces:

onde

*a matri$ A define una transformacin de los vectores de coordenadas de U de la misma formaque T transforma los vectores de U .

/jemplo 1. onsidera la transformacin lineal definida por

. /ncuentra la matri$ de T con respecto a las !ases de R3 y R2, donde:

Utili$a esta matri$ para encontrar la ima&en del vector Se determinan los efectos de T so!re

los vectores de la !ase de R3.

*os vectores de coordenadas son . /stos vectoresforman las columnas de la matri$ T.

Usando A para encontrar la ima&en del vector

Se determina el vector de coordenadas u . Usando las com!inaciones lineales de vectores:



Se encuentra que , siendo el vector de

coordenadas u de /l vector de coordenadas

T-u es

or lo tanto, Se puede verificar este

resultado con la ayuda de la definicin . /n el caso de , da

5.3.3 ,plicaciones &otación respecto del origen

onsidera una rotacin respecto del ori&en. Sea:

/l paralelo&ramo 1 se transforma en el paralelo&ramo 2, puesto que la dia&onal del paralelo&ramo 1 setransforma en la dia&onal del paralelo&ramo 2, como se muestra en la si&uiente fi&ura.



onsidera una rotacin en sentido contrario a las manecillas del reloj en un (n&ulo respecto del ori&en.

/sta rotacin transformar( el punto % en el punto E, como se muestra en la si&uiente fi&ura.

*a distancia 9% es i&ual a 9E, se denota esta distancia como r. Siendo el (n&ulo %9, se tiene que:

olocando estas e'presiones en una sola ecuacin matricial:



or consi&uiente:

Una rotacin respecto del ori&en se encuentra definida por una multiplicacin entre matrices, confirmando queuna rotacin es un operador lineal. Si H es positivo, la rotacin es en sentido contrario a las manecillas delreloj7 la rotacin es a favor de las manecillas del reloj si H es ne&ativo.

/jemplo 1. etermina la ima&en del punto !ajo una rotacin de radianes respecto delori&en.

Se o!tiene en la matri$ de rotacin:

9!serva la &r(fica:

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