REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL.Si T es una funcin de en definida por en donde A es una matriz de , y dado que la condicin corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicacin de matrices y la condicin es tambin una propiedad de la multiplicacin de matrices . Entonces T es una transformacin lineal. Y se puede concluir que: Toda matriz A de define una transformacin lineal de en .Ahora consideremos una transformacin lineal T de en ; si aplicamos esta transformacin a los vectores base de , obtenemos los siguientes vectores:

Si construimos una matriz AT cuyas columnas sean los vectores ; AT define una transformacin lineal de en tal que si para i = 1, 2, . . . , n.Entonces y por lo tanto para i = 1, 2, . . . , n. Concluimos que T y la transformacin AT , son la misma, porque tienen el mismo efecto sobre los vectores base.AT es la matriz cuyas columnas son los vectores .La matriz AT se llama matriz de transformacin de T o representacin matricial de T.Si se usan bases diferentes, las matrices de transformacin que se obtendrn sern diferentes.Ejemplo 1.Encuentre la representacin matricial de la transformacin lineal T de en definida por Aplicamos T a los vectores base de : , , , Entonces la matriz AT es .Matriz de una transformacin linealSi bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un clculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformacin lineal T: V W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A depender de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformacin lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformacin lineal de V en W se representa por una matriz A m x n. Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

Ejemplos

Supongamos que en el plano x-y la transformacin de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformacin de matriz B lleva a cada vector a su simtrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

a) Matriz A?

Transformado de (1, 0) = (1, 0) Transformado de (0, 1) = (0, -1) Entonces la matriz la matriz de la transformacin es:

b) Matriz B?

Transformado de (1, 0) = (-1, 0) Transformado de (0, 1) = (0, -1) Entonces la matriz la matriz de la transformacin es:

Aplicacin de las transformaciones lineales: reflexin, expansin, contraccin y rotacin Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformacin lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades bsicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notacin general utilizada para una transformacin lineal es T: Rn Rm. 1. Reflexin: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isomtrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operacin realizada la reflexin del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse tambin con respecto a la matriz, en tal situacin la matriz de salida es llamada la matriz de reflexin. La reflexin es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual. 2. Expansin: Al igual que en la reflexin, tambin es posible expandir los puntos dados en una direccin particular. La expansin se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operacin de multiplicacin de los elementos del conjunto de puntos dados con un trmino escalar hacia la direccin donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansin 2 es la direccin de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6). 3. Contraccin: La contraccin es el procedimiento inverso de la expansin. Aqu el punto es contrado en un determinado grado hacia una direccin dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contrado para el grado dos en la direccin de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8). 4. Rotacin: El trmino rotacin tiene dos significados, ya la rotacin de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotacin se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ngulo. Asimismo, la rotacin puede realizarse en la direccin de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj. Como ejemplo, dirijmonos a producir la matriz estndar para la representacin de la transformacin lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a travs de la recta y = (2x / 3). El primer paso para esto es determinar los vectores base.

Por lo tanto, podemos afirmar que,

Dado que y pertenece a R2. Imagina que A: R2 R2 es una transformacin lineal, entonces podemos escribir que,

La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a travs de y = (2x/ 3) es determinada mediante la obtencin de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto est dado por y = (3x/ 2) (3/ 2). El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) (3/ 2) e y = (2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, 6/13). Tomamos p1 para ser el punto de reflexin de a travs de la recta dada. Este punto es simtrico respecto a (9/13, 6/13) por lo tanto, podemos escribir que,

Esto produce, De manera similar, la imagen del vector base resulta ser

Y tenemos la matriz de transformacin lineal final como,

saludos y suerte prof lauro soto - See more at: http://mitecnologico.com/igestion/Main/AplicacionDeLasTransformacionesLineales#sthash.7fG0voR6.dpuf