TEMA II.9Ecuacion de Bernoulli

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

papaqui@astro.ugto.mx

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA II.9: Ecuacion de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 16

Ecuacion de Bernoulli

De la dinamica de partıculas en la mecanica de cuerpos solidos, sabemosque al integrar la segunda ley de Newton para el movimiento de partıculasa lo largo de la lınea senda, proporciona una relacion entre el cambio en laenergıa cinetica y la energıa disponible sobre la partıcula fluida.

Integrando la ecuacion de Euler a lo largo de la lınea senda en el flujoestable de un fluido incompresible se obtiene una relacion equivalente,llamada la ecuacion de Bernoulli.

Desarrollaremos la ecuacion de Bernoulli al aplicar la ecuacion de Euler alo largo de la lınea senda, reemplazando con s la direccion l , que es ladistancia a lo largo de la lınea senda, y se reemplaza con al y at , que es ladireccion tangente a la lınea senda.

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Ecuacion de Bernoulli

La ecuacion de Euler se convierte en

− ∂

∂s(P + γz) = ρat

La componente tangencial de la aceleracion esta dada mediante laecuacion

a =

(V∂V

∂s+∂V

∂s

)et +

(V 2

r

)en

at = V∂V

∂s+∂V

∂t

Para un flujo estable, la aceleracion local es cero y la lınea senda para aser la lınea corriente.

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Ecuacion de Bernoulli

Tambien, las propiedades a lo largo de la lınea de corriente depende solode la distancia s, de manera que las derivadas parciales se convierten enderivadas ordinarias.

Ahora la ecuacion de Euler se convierte en

− d

ds(P + γz) = ρV

dV

ds= ρ

d

ds

(V 2

2

)Pasando todos los terminos a un lado de la ecuacion se obtiene

d

ds

(P + γz + ρ

V 2

2

)= 0

o bien

P + γz + ρV 2

2= C

donde C es una constante.TEMA II.9: Ecuacion de Bernoulli J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 16

Ecuacion de Bernoulli

Este se conoce como la ecuacion de Bernoulli, la cual establece que lasuma de la presion piezometrica (P + γz) y la presion cinetica (ρV 2/2) esconstante a lo largo de la lınea de corriente para el flujo estable de unfluido incompresible sin friccion.

Dividiendo la ecuacion anterior entre el peso especıfico nos da la formaequivalente de la ecuacion de Bernoulli a lo largo de la lınea de corriente

P

γ+ z +

V 2

2g= h +

V 2

2g= C

en terminos de la carga piezometrica (h) y la carga de velocidad (V 2/2g).

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Tubo de estancamiento

Considere un tubo curvo, tal como el que se muestra en la Figura II.9.1.

Cuando la ecuacion de Bernoulli se escribe entre los puntos 1 y 2, seobserva que z1 = z2. Por lo tanto, la ecuacion de Bernoulli se reduce a

P1 +ρV 2

1

2= P2 +

ρV 22

2

Observese tambien que la velocidad en el punto 2 es cero (un punto deestancamiento). De aquı que, la ecuacion de Bernoulli se reduce a

V 21 =

2

ρ(P2 − P1)

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Figura II.9.1: Tubo de estancamiento

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Mediante las ecuaciones de hidrostatica (no hay aceleracion normal en laslıneas de corriente donde estas son rectas y paralelas), P1 = γd y P2 =γ(l + d). Por tanto, la ecuacion anterior se puede escribir como

V 21 =

2

ρ(γ(l + d)− γd)

que se reduce a V1 =√

2 g l .

Por tanto, se puede apreciar que un medio muy simple, como este tubocurvo, puede ser utilizado para medir la velocidad de flujo.

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Tubo de Pilot

El tubo de Pilot, que se denomina ası en honor al ingeniero hidraulicofrances del siglo XVIII que lo invento, esta basado en el mismo principioque el tubo de estancamiento, pero es mucho mas versatil que este ultimo.

El tubo de Pilot tiene una toma de presion corriente arriba, extremofrontal del tubo, para sensar la presion de estancamiento.

Tambien hay varios puertos situados en la periferia del diametro del tubo,por el frente y detras de la zona de corriente abajo, para sensar la presionestatica en el fluido, donde la velocidad es esencialmente la misma que sebusca.

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Cuando la ecuacion de Bernoulli se aplica entre los puntos 1 y 2 en laFigura II.9.2, se obtiene

p1

γ+

V 21

2g+ z1 =

p2

γ+

V 22

2g+ z2

Pero V1 = 0, de modo que al despejar V2 de esa ecuacion se obtiene laecuacion para el tubo de Pilot

V2 =

[2

ρ(pz,1 − pz,2)1/2

]Aquı V2 = V1, donde V es la velocidad de corriente y pz,1 y pz,2 son laspresiones piezometricas en los puntos 1 y 2, respectivamente.

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Figura II.9.2: Tubo de Pilot

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Al conectar un manometro entre las tomas que llevan los puntos 1 y 2,resulta facil de medir la velocidad de flujo con el tubo de Pilot.

Una ventaja importante del tubo de Pilot es que se puede emplear paramedir la velocidad en un tubo presurizado; un simple tubo deestancamiento no es conveniente en esta situacion.

Si un manometro diferencial de presion se conecta a las tomas, la ecuacionse simplifica a

V =√

2∆p/ρ

donde ∆p es la diferencia de presion medida por el manometro.

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Ejemplo: Un manometro diferencial de mercurio y queroseno se conecta altubo de Pilot, como se muestra en la Figura II.9.3. Si la lectura en elmanometro es de 7 pulgadas ¿Cual es la velocidad del queroseno en eltubo? Suponga que la gravedad especıfica del queroseno es 0.81.

Solucion: Se necesita conocer la diferencia en presion piezometrica entrelos puntos 1 y 2. Evaluamos esta diferencia al aplicar la ecuacion de lahidrostatica para el manometro

P1 + (z1 − z2)γquero + lγquero − yγHg − (l − y)γquero = P2

P1 + γqueroz1 − (P2 + γqueroz2) = y(γHg − γquero)

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Figura II.9.3: Manometro diferencial

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Usando la ecuacion para el tubo de Pilot

V =

[2

ρqueroy(γHg − γquero)

]1/2

=

[2gy

(γHg

γquero− 1

)]1/2

La gravedad especıfica del mercurio es de 13.55. Sustituyendo en losvalores se obtiene

V =

[(2)(32.2)

7

12

(13.55

0.81− 1

)]1/2

= 24.3 ft/s

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Aplicaciones de la Ecuacion de Bernoulli

Ejemplo: Un manometro diferencial de presion se conecta entre las tomasde un tubo de Pilot. Cuando este tubo de Pilot se utiliza en una prueba deltunel de viento, el manometro indica un cp de 730 Pa ¿Cual es la velocidaddel aire en el tunel? La presion y temperatura en el son 98 kPa y 20 oC .

Solucion:V =

√2∆P/ρ

donde ρ = P/RT = 98× 103 N/m2/ (287 J/kgK )(20 + 273 K ) = 1.17kg/m3, y ∆P = 730 Pa, por lo tanto

V =√

(2)(730 Pa)/(1.17 kg/m2) = 35.3 m/s

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