Tema 1) Ecuaciones fundamentales de la hidráulica

1.1) Ecuación de continuidad y definición del gasto

Esta ecuación tiene por objetivo determinar en el tiempo el volumen de agua que hay en un depósito, en una red de tuberías a presión, en una red de canales, de arroyos conectados a un rio, en pozos y otros recipientes.

Problema 1.1) De un deposito (1) se saca agua a través de una bomba centrifuga para alimentar a un silo (2) que a través de la tubería de descarga alimenta a una red de agua potable (3). A las 9:00 el nivel del agua se encuentra a 7.0m de altura y a las 9:15 la altura en el silo será de 9.0m, si el gasto Q2 que entra por (2) es el doble del que sale por (3) determine el valor de Q2 y Q3. Además, determine la veloci-dad con la que aumenta el nivel del agua en el silo (Va).

Resolución: el volumen de agua en el silo (que es un cilindro) es: Vol = Área·altura por lo tanto:

Vol(9:00) = 1.0m2·7.0m = 7.0m3 y el Vol(9:15) = 1.0m2·7.0m = 9.0m3

Este incremento (Δ) del volumen se obtiene como:

Vol(9:15) = Vol(9:00) + Q2·15minutos – Q3·15minutos

Como 15 minutos = 900s el gasto Q2 y Q3 se obtienen de la siguiente forma:

Q2 – Q3 = [Vol(9:15) - Vol(9:00)]/900s = [9.0 – 7.0m3]/900s = 0.00222m3/s

Como, Q3 = ½·Q2: Q2 – Q3 = Q2 – ½·Q2 = ½·Q2 = 0.00222m3/s y por lo tanto:

Q2 = 0.00444 m3/s y Q3 = 0.00222m3/s El gasto neto que entra en el silo se calculó como

Q2 – Q3 = QNETO = ΔVol(en 15 minutos)/900 s

y como el área del silo es constante Área = A = 1m2 el incremento del volumen es ΔVol = Área·(9 – 7m) y entonces

NETO aArea 9.0 7.0m m

Q A 0.00222 A90

V0s s

Sobre la base de este ejemplo numérico las formulas generales para cualquier tiempo Δt y cualquier forma geométrica (no es necesario que sea un cilindro) son las siguientes:

La ecuación de continuidad o de la conservación de la masa/1

Vol(t + Δt) = Vol(t) + Qentra·Δt – Qsale·Δt (1.1)

El caso más común de la ecuación (1) es en su aplicación en tuberías a presión o en canales donde se considera que el tubo siempre tiene la misma cantidad de agua esto es: Vol(t + Δt) = Vol(t) y por lo tanto se obtiene;

La ecuación de continuidad para un flujo permanente

Qentra = Qsale (1.2)

La definición del gasto (2 definiciones)

ΔVol(Δt)Q

Δt (1.3)

Q = V·A (1.4)

Problema 1.2) Agua fluye por una tubería de 8 pulgadas que siempre está llena (flujo per-manente) a una velocidad de 1.5m/s y al final se coloca una boquilla de 2 pulgadas, con estos datos determine cuál es la velocidad del chorro a la salida de la boquilla (sección 2).

Resolución: como el flujo es permanente (la tubería siempre está llena) el gasto que entra (Q1) es igual al gasto que sale (Q2) y como Q = V·A se tiene:

Q1 = Q2 = V1·A1 = V2·A2

Despejando V2;

12 1

2

AV V

A (1.5)

Como las áreas son la de un circulo, A = π·D2/4, al eliminar π y 4 se obtiene;

V2 = V1·(D12/D2

2) = 1.5m/s(8/2)2 = 1.5·16 = 24 m/s

El objetivo de este problema es mostrar la obtención de la ec. (1.5) que es muy común en los cálculos de los problemas de hidráulica.

/1 Para calcular la masa de agua que entra al silo es necesario multiplicar por la ec. (1) por la densidad del agua que

es: ρ = γ/g = (1000 Kg/m3) / (9.81 m/s

2 ).

Problema 1.3) Tres tuberías (T1, T2 y T3) se unen a través de una conexión en T, por la tubería 1 fluye un gasto de 10 lts/s y 6 lts/s se van por la tubería T2, determine cuál es el gasto en la tubería T3.

El objetivo de este problema es mostrar que la aplicación de la ecuación de gasto y de continuidad es muy sencilla en la mayoría de los problemas de hidráulica aplicada.

Tema 1.2) Ecuación de Bernoulli o de la Energía obtenida a través de la 2ª Ley de Newton aplicada al movimiento de un bloque de agua en un canal de sección rectangular.

Figura 1.1) Corte longitudinal del canal. Bloque de agua entre las secciones 1 y 2 resbalando por el fondo del canal inclinado un ángulo θ, impulsado por la diferencia de fuerzas de presión hidrostática F1 – F2 , la componente del peso del bloque de agua W·sin(θ) y la Fuerza de fricción Ff que es contraria a la velocidad del bloque V1 y V2.

Figura 2.2) Corte de la sección transversal del canal, con un área de conducción: A = b·y

La ecuación de Bernoulli es resultado de un análisis de las fuerzas que intervienen en el movimiento de un bloque de agua a través de un canal/2 como el que se indica en la Figura 1.1. De acuerdo a la 2ª Ley de Newton la sumatoria de fuerzas en el eje x es la siguiente:

1 2 / ··f g aWFx F F sen FW m a (1.6)

Si la ec. (1.6) se multiplica por Δx la ecuación de FUERZA se convierte en una ecuación de TRABAJO (Fuerza x distancia = Newton-metro) y se divide entre el peso del agua W se obtiene una ecuación de TRABAJO/W por cada Newton de agua cuyas unidades son Newton-metro/Newton = metros, con esto la ecuación (1.6) resulta;

f1 2F F Δx Δx se W gW n θ aF Δx Δx

/2

Una demostración más general se obtiene del análisis de un bloque de tamaño diferencial movién-dose a través de una línea de corriente, sin embargo, este análisis tiene la desventaja de ser un tanto abstracto (el bloque diferencial es una figura abstracta) por esto es preferible referirse a una figura real como la propuesta en la figura 1.2.

donde: a = aceleración = ΔV/Δt = V·ΔV/Δx, V = (V2 + V1)/2, ΔV = V2 – V1, W = Volumen·γ, Vol =

A·Δx = (b·y)Δx, γ = peso especifico del agua = 9,810Nw/m3 = 1000Kg/m

3, m = masa = W/g, F la

fuerza de presión F = ∫p·dA, p = presión hidrostática del agua = γ·y y el sen(θ) = (z1 – z2)/Δx,

sustituyendo estas definiciones en la ecuación anterior;

1 2 f1 2 2 12 1

F F ΔxΔx

ΔxW W

V V ΔxV V

2 g

z z F Δx

Omitiendo el cálculo de la fuerzas de presión (F1 – F2) que es complicado ya que se requiere de una integración y agrupando las variables con subíndice 1 a la izquierda y con 2 a la derecha de la igualdad se obtiene la ecuación de Bernoulli o de la Energía;

f1 2

2 21 21 2V Vp p F x

z zγ 2g g Wγ 2

(1.7)

Tipo de Fuerza en la 2ª Ley de Newton y su símbolo en la

Figura 2.1. Unidades Newton

Tipo de energía en la Ecuación de Bernoulli y su símbolo. Unidades

Nwt-mt/Nwt = metros.

Fuerza formula Energía formula

De presión F1 – F2 De Flujo (p1 – p2)/γ

Peso del agua W·sin(θ), Potencial z1 – z2

De fricción Ff Trabajo negativo Ff·Δx/W = h12

De inercia m·a Cinética (V22 – V1

2)/2g

Figura 1.2) Tabla de equivalencias entre la ecuación de la 2ª Ley de Newton (1.6) multiplicada por Δx/W y la ecuación de Bernoulli o de la Energía.

En Hidráulica de canales y sus estructuras la ecuación de Bernoulli (1.7) aplicada a problemas reales, esto es, las velocidades V1 y V2 son > 0 m/s se expresa de la siguiente manera:

2 2

1 2

f1 2

1 2Q Q

A A W

p 1 p 1 F xz z

γ 2g γ 2g

(1.7-1)

El motivo de esto es simplificar la solución del problema que se plante:

Problema 1.4) El Tubo de Pitot. Instrumento usados en los canales de los campos agrícolas para medir la velocidad del flujo en los canales. Académicamente permite observar que la V1

2/2g se transforma en una

altura hv.

Agua fluye por un canal con una velocidad V1, al entrar al tubo de Pitot por en el punto 2, el agua asciende por el tubo arriba de la superficie una altura hv (altura de velocidad).

En el punto 2 se forma una zona de estancamien-to (V2 = 0) y en el punto 3 el agua se bambolea con una V3 promedio = 0.

Planteando una ecuación entre 1 y 3 y suponien-do que las pérdidas de energía h13 = 0 obtenga la velocidad en el punto 1.

Figura 2.3

Resolución: Utilizando la ecuación de Bernoulli (1.7) en términos de la presión (p/γ)

223 31 1

1 3 13 + hp Vp V

+ z + + z + γ 2g γ 2g

=

La interpretación de las variables de la ec. anterior es la siguiente: a) la presión en el punto 1 es p1/γ = h, b) como el punto 1 está situado sobre el nivel de referencia NR, entonces, z1 = 0, c) en el punto 3 el agua está en contacto con el aire de la atmósfera por lo tanto p3 = 0, d) la cota z3 = h + hv, e) la columna de agua (h + hv) se encuentra estática por lo tanto V3 = 0, f) el problema indica que h13 = 0. Al sustituir estos valores razonados en el ec. de Bernoulli se obtiene;

2

1

2

1 +

V + 0+ + h + hv + 0 0,

2

Vh

2gg= 0 = hv

Al despejar V1 se obtiene 1V = 2g hv

El resultado anterior indica que la energía cinética V12/2g en el punto 1 se transforma en energía potencial

hv en el punto 3.

El objetivo del problema del tubo de Pitot es mostrar que la energía cinética V2/2g es una altura hv y también la presión p/γ también es una altura h, o sea, en la ecuación de Bernoulli todo es altura. La Hidráulica tiene una gran relación con la topografía en particular la Hidráulica de Canales y sus estructuras de control.

Tema 1.3) La ecuación de impulso y cantidad de movimiento.

La 2ª Ley de Newton se conoce como F = m·a sin embargo la definición correcta es F = d(m·V)/dt donde d(m·V) = cantidad movimiento si el diferencial de tiempo pasa al lado izquierdo se tiene que F·dt = impulso y F·dt = d(m·V), de forma más simple se puede expresar como:

final inicialFΔt m ΔV m V V

Para el caso de agua en movimiento la cantidad de masa que fluye por un canal o tubería se obtiene de la

ecuación: m = ρ·Q·Δt, al sustituir esta ecuación de la masa y eliminando Δt se obtiene:

final inicialF ρQ V V (1.8)

Si los valores iniciales = 1 se agrupan al lado izquierdo y los finales = 2 se agrupan a la izquierda y derecha de la igualdad y se considera que el movimiento es en un solo eje (no es necesario el vector) la ecuación (1.8) queda de la siguiente forma:

21

2 22

1 1 2 2 1 211 2

V o biγ γ γ Q γ Q

F A F V A , , F F g g

eng A g A

(1.8-1 y 2)

Esta ecuación es conocida como de Momentum = F + M, donde, F = impulso y M = la cantidad de movimiento (γ/g·V2·A). Y tiene como objetivo simplificar la solución de los problemas.

Con esto se obtienen la tres ecuaciones fundamentales de la hidráulica: Gasto y Continuidad (conservación de la masa), Conservación de la Energía (Bernoulli) y la Conservación del Impulso y Cantidad de Movimiento o del Momentum.

Problema 1.5) Un chorro de agua sale de un depósito a través de un tubo de Borda impulsado por la fuerza de presión en el punto 2 (F2). Se observa que el área del chorro (Ac) disminuye, o sea, es menor que el área del tubo.

A través de la ec. de Bernoulli (de 1 a 3) determine cuál es la velocidad V3 y con la ecuación de Momentum de (2 a 3) determine cuál es el área del chorro Ac.

Resolución: la ec. de Bernoulli de 1 a 3 es:

223 31 1

1 3 13

23

3

,

,

hp Vp V

z z γ 2g γ 2g

V0 h por lo tan0 0 0 o0

2t

gV 2gh

La ec. de Momentum (1.8-1) de 2 a 3

2 22 2 3 32 3

2 t 2 3 3

2t 33

2

t

c

γ γF V A F V A

g g

como F = γhA , V = 0, F = 0 y el A = la ec. se reduce a:

γγh A V , y al sustituir V 2gh

g

γγh A

Ac

A

Ac 2ghg

Al despejar el área del chorro Ac tenemos: Achorro = ½ ·Atubo o sea que el área tiene una contracción y

esto afecta el cálculo del gasto Q que a final de cuentas es:

Q = ½·Atubo·V3, donde ½ es coeficiente de contracción = Cc.

Objetivos del problema:

En la resolución de problemas de Hidráulica sobre: Orificios, boquillas, compuertas, vertedores el calculista deberá de tomar en cuenta que el agua se contrae y los cálculos teóricos deben ser corregidos por un coeficiente de Contracción Cc experimental o un coeficiente de Descarga Cd para obtener resultados reales. Ver capítulos 6 y 7 del texto de Hidráulica General de Sotelo Ávila G.

El 2º objetivo es plantear un problema donde se requirió de las 3 ecuaciones fundamentales de la Hidráulica para resolverlo (no son muy comunes pero existen). Más aún en Hidráulica hay problemas con más de 3 incógnitas y la solución para la 4ª, 5ª …. incógnita se obtiene en forma experimental.

Problemas)

Problema 1.6) La energía Total en un punto se define como:

2p VET z

γ 2g

Para el depósito donde el agua se encuentra estática (V = 0) determine cuál es la energía total en los puntos 1, 2 y 3. Seleccione el nivel de referencia (z = 0) en el fondo.

El objetivo del problema es mostrar que la energía total ET es la misma en todos los puntos y por lo tanto cuando se tiene un depósito en un problema por lo general es más fácil colocar el punto de análisis sobre la superficie libre ya que solo se requiere conocer la altura z de esta superficie.

Problema 1.7) Un manómetro indica una presión en el punto 1 de: p1 = 3 Kg/cm2, si no hay contracciones ni perdidas de energía determine cuál es gasto Q que sale por la boquilla, la velocidad en el punto 3 y la altura máxima (teórica) a la que asciende el chorro de agua así como su área. El punto 2 y 3 se encuentran a la presión atmosférica p2 = p3 = 0.

Respuestas: Q = 0.0506 m3/s, V3 = 24.57m/s, altura máxima = 31.99m con respecto al punto 1 y el área es infinita.

El objetivo del problema es mostrar que cuando el agua se mueve en contacto con la atmosfera al cambiar la velocidad (se acelera o desacelera) cambia el área de conducción lo cual se llama flujo gradualmente variado. Además, mostrar que un área infinita en el punto más alto es imposible lo que indica la diferencia entre la física y la matemática.

Problemas de compuertas:

Figura 1.2) Vista longi-tudinal de una compuerta plana vertical con des-carga libre donde se pro-duce un salto hidráulico (ys).

La contracción y2 se pro-duce a una distancia a/Cc siendo a la abertura de la compuerta.

Número de Froude = 2

2

3

Q TFr

g A

Problema 1.8 selección adecuada de la ecuación de Bernoulli) En una compuerta por lo común se plantean dos preguntas: ¿Cuál es el gasto Q? o ¿Cuál es la abertura de la compuerta?, sobre esta base

plantee la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 más adecuada para dar respuesta a estas dos preguntas:

Resolución: como las preguntas son calcular Q o a entonces resulta más conveniente la ecuación 1.7-1. Como el área de conducción es A = b·y al sustituir tendremos

2 2

1 21 2 12

1 2

p Q 1 p Q 1z z h

γ b·y 2g γ b·y 2g

Como en la superficie libre del agua la presión es cero (p1 = p2 = 0), z1 = y1, z2 = y2, considerando temporalmente las pérdidas de energía h12 = 0 y definiendo Q/b = q que se llama gasto unitario o gasto por metro de longitud la ecuación resultante para la compuerta se reduce a lo siguiente:

2 2

1 22 2

1 2

1 q 1 qy y

2g y 2g y (1.9)

La ecuación anterior se puede resolver calculando y2 y posteriormente la abertura de la compuerta se calcula con la formula experimental a = Cc·y2.

Problema 1.9 de revisión = calcular una estructura ya construida) Una compuerta (como la indicada en la figura 1.2) descarga por un canal rectangular de 2 pies de ancho (b = 0.61m), si la carga aguas arriba y1 =

2.0m y la abertura a es de 0.4m determine: a) la velocidad en la sección o punto 2 (V2) y el punto 1 (V1), b) el valor del gasto Q, c) el número de Froude en las secciones 1 y 2.

Nota: Plante una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 asumiendo que las pérdidas son cero (h12 = 0) y para medir las alturas tome como nivel de referencia el fondo del canal (z = 0).

Problema 1.10 de diseño = calcular una estructura antes de construirse) Una compuerta descarga por un canal rectangular de 3 pies de ancho (b = 0.92m), si la carga aguas arriba y1 = 1.8m y el gasto es de 0.9m3/s determine: a) la altura y2; b) la velocidad en el punto 2; c) la abertura a de la compuerta, d) El número de Froude en las secciones 1 y 2.

Problema 1.11) Si el gasto unitario (por metro de ancho b del canal) es q = Q/b, demuestre que la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 es:

2 2

1 22 2

1 2

q qy y

2gy 2gy Nota, considere que: p1 = p2 = 0, z1 = y1 y z2 = y2.

Además

2

1 22 2

2 1

1 1q 2g y y

y y

despejando el gasto unitario q.

Problema 1.12, la fórmula para el gasto en una compuerta con descarga libre ya sea plana vertical o inclinada o compuerta radial) A través de un problema de binomios de la forma: [1 – x2 = (1 + x)·(1 – x)] demuestre que el gasto unitario q de la ultima ecuación del problema 1.11 se obtiene de la siguiente forma:

D2

1 1

1 1

1

2

c

c

CC

C

y aq 2g

a1

y

y 2g y a 2g yy

1y

(1.9)

Donde CD = coeficiente de descarga y se obtiene experimentalmente, este coeficiente contiene las pérdidas de energía (h12) generadas por la turbulencia al pasar el agua a través de la compuerta.

Problema 1.13 experimento para obtener CD) En un canal de laboratorio de sección rectangular de b = 0.076m de ancho y con un gasto Q = 0.0015 m3/s (q = Q/b = 0.01974 m3/s-m) se coloca una

compuerta plana vertical y para aberturas de a = 0.03 m a 0.017m se miden los diferentes valores

de y1. Sobre la base de la ecuación (1.11) se obtienen los valores del coeficiente de descarga

de CD para diferentes relaciones de y1/a.

Para relaciones de mayores y1/a > 10.5 se

obtienen valores aproximados de CD = 0.6.

Al graficar (y1/a , CD ) se obtiene la Figura 1.3, la

cual incluye la ecuación de CD obtenida por el método de mínimos cuadrados.

Problema 1.14, de investigación) Obtenga el numero de Froude en la sección 2 de la Figura 1.2.

El número de Froude = Fr2 se define como la relación entre las Fuerzas de Inercia = m·a entre el peso del

agua = W = m·g y la aceleración se define como la normal a = V2/y por lo tanto:

22 2

2Fuerza de inercia ma ma a V yFr

Peso W mg g g

VFr

g y

(1.12)

De la ecuación (1.9) la velocidad V2 se obtiene V2 = Q/(b·y2) = q/y2 =

2

2 22

2

22 22

1

1

1

2

2 2

1

2

2 222 2

11

q V, y el numero de Froude como Fr

y g y

por lo tanto;

V 1 2Fr

g y g y y y1

y y

2g yV

y1

y

2g y

y1

y

Nota: para que los valores de de CD obtenidos en el canal modelo del laboratorio sean aplicables a los del prototipo (obra real) se requiere que el número de Froude sea el mismo en el modelo que en el prototipo y esto se logra según la última ecuación si se tiene la misma relación y2/y1 o a/y1 en modelo y prototipo por esto en la Figura 1.3 en el eje horizontal se mide la relación a/y1.

Problema 1.15) Un canal trapecial tiene las características3 geométricas que se indican en la figura. Demuestre que el ancho superficie T es igual a T = dA/dy.

Problema 1.16 sobre los vertedores) Por un vertedor de pared delgada (tiene un filo en la cresta ver Figura 1.4) sale un chorro de agua, si en los puntos 1, 2, 3 y 4 la presión es cero determine cuales son las velocidades en los puntos 4, 3 y 2. Sugerencia plantee una ecuación de Bernoulli entre 1-4, 1-3 y 1-2 para obtener las velocidades.

Notas: 1) para simplificar la solución del problema se asume que la velocidad en el punto 1 es cero (V1 = 0), 2) así como las pérdidas que también se consideran cero, 3) El filo en la cresta del vertedor tiene el objetivo de garantizar que la presión sea cero en toda la sección.

/3 Por facilidad en la Hidráulica de Canales la sección trapecial se calcula a partir de la pendiente del talud m en vez de usar el ángulo φ o de reposo.

Problema 1.17) Para el vertedor trapecial mostrado en la figura determine el valor del gasto teórico Q que se descarga si la velocidad varía de acuerdo a la siguiente fórmula:

02v g h y y = 0 en la cresta y y =

h0 en la superficie libre.

Resolucion: como la velocidad es variable el valor del gasto se debe de calcular a través de la integral Q = ∫

dQ donde dQ = v·dA, en el problema 1.15 se demuestra que una diferencial de área para un canal trapecial es, dA = T·dy y como el ancho superficial T es: T = b + 2·m·y esta integral resulta ser:

3/ 2 5/ 20 0

0

h h

0 0

2 8Q 2 2

3 152 2 g b h g m hg h y b m y dyvdA

↑ ↑

Resultado de la integración en dos secciones o partes

Sección rectángula- lar del trapecio.

Sección triangu-lar del trapecio.

Para que la formula anterior de resultados reales acerca del valor de Q debe de multiplicarse por un coeficiente de descarga Cd, μ este ultimo usando la nomenclatura del Texto de Hidráulica General de Sotelo (Capítulo VII/4).

Formula del vertedor de sección rectangular: (2/3·19.621/2 = 2.952 m1/2/s)

q = Q/b = 2.952·μ·h3/2 (1.13)

donde para un vertedor de pared delgada con (b/B > 1) o sin contracciones (b/B = 1), Ce es el coeficiente universal de Kindsvater-Carter.

Coeficiente de Kindsvater-Carter Limite del coeficiente

b/B μ

1.0 0.602 + 0.0750·h/w

h/w = max. 2.5

/4 Para información detallada de los vertedores se recomienda la lectura del Capítulo VII ya que estos operan bajo variantes geométricas como son: de sección rectangular, triangular, trapecial, circulares, proporcionales, si operan con contracciones laterales o no, si son de pared gruesa o de pared delgada, si operan con descarga libre o descarga sumergida.

0.9 0.598 + 0.0640·h/w

0.8 0.596 + 0.0450·h/w

0.7 0.594 + 0.0300·h/w

0.6 0.593 + 0.0180·h/w

0.4 0.591 + 0.0058·h/w

0.2 0.588 - 0.0018·h/w

0.0 0.587 - 0.0023·h/w

h = min 0.03 m

w = min 0.10 m

b = min 0.15 m

Nota:para b/B = 1 Henderson propone

μ = 0.611 + 0.08 h/w

Notas: A) Los coeficientes originales de Kindsvater-Carter incluyen pequeñas correcciones para el ancho b del vertedor y la altura h. B) La forma algebraica de estos coeficientes es consistente con la formula de Rehbock que es una línea recta en términos de h/w.

La inerpretacion fisica de los coeficientes de vertedor es la siguiente:

La contracción) El primer termino refleja la contracción vertical y horizontal del chorro de agua al pasar por el vertedor lo cual se puede constatar en un laboratorio. Cuando b/B = 1 solo hay contracción vertical si b/B >1 se presenta ademas una contracción horizontal por esto, el coeficiente disminuye de 0.602 a 0.587.

La velocidad) Para obtener la ecuacion 1.13) por facilidad en el calculo se información asumió que la velocidad de llegada de V1 es igual a cero los cual es solo cierto si w >> h por esto la segunda parte del coeficiente es la corrección a este supuesto, como la velocidad de arribo disminuye conforme B aumenta la segunda parte del coeficiente disminuye de 0.75 a -0.0023 no quedando aclarado el porqué aparecen números negativos. Problema 1.18, expresiones adimensionales) Si la altura total y = w + h (ver Figura 4) en el vertedor y el valor de q = Q/b son conocidos la solucion de h y w de la ecuación 1.13 requiere de un método numérico para su solución para superar esta dificultad en la antigüedad se usaba expresar la ecuación en términos de números adimensionales con el objetivo de obtener una solución universal que pudiera graficarse y con esto eliminar el uso del método numérico demuestre que la ecuación 1.13 se puede expresar en términos de y y w de la siguiente forma:

3/2

3/20.3390.611 0.08

·q 1 w y1 w y

w yy

donde 0.339 = (1/2.952 m1/2/s)

Sugerencia: en la ecuación 1.13 h se sustituye por h = y – w = y(1 – w/y).

En el Anexo 1 se obtiene la grafica para valores h/w = 3 (o w/y = 0.25) que es un vertedor bajo hasta h/w = 0.1 (o w/y

= 0.91) que es un vertedor alto. Los coeficientes de Kindsvater-Carter solo son validos para relaciones h/w ≤ 2.5.

Anexo 1 Figura A1) Grafica de la ecuación;

3/2

3/20.3390.611 0.08

·q 1 w y1 w y

w yy

Dado que y > w la relación w/y toma valores de (0,1) y para efectos prácticos w/y se ubica en el rango de [0.25, 0.91] por lo tanto, sustituyendo estos valores en el lado derecho de la ecuación

se obtiene: 0.339·q/y1.5

que es una relación adimensional que es válida para cualquier

combinación de q = Q/b y de y.

Si en el eje horizontal se grafica 0.339·q/y1.5 y

en el vertical w/y se obtiene la grafica A2.

La curva de los valores w/y obtenida por mínimos cuadrados se presenta en la Figura A2 como y’ = w/y, esta solo tiene errores de ±1.5%.

el calculo

0.05161

1D

1

y0.5316 , y /a 10

C a

0.6 , y /a 10

CD y1/a

Figura 1.3

Coeficiente de descarga para una compuerta plana vertical

Nota, considere que: p1 = p2 = 0, z1 = y1 y z2 = y2. el valor del gasto Q. Plante una ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 y para medir las alturas tome como nivel de referencia el fondo del canal (z = 0). Cc = 0.62 y2 = Cc·a manómetro

manometro

Problemas de la Ecuación de Impulso y cantidad de movimiento:

Un salto hidráulico se produce entre las secciones 1 y 2 de un canal rectangular de ancho b, si las fuerzas

hidrostáticas de presión F = γ·b·y2/2 y expresando a Q/b = q, usando la ecuación de impulso y cantidad

de movimiento obtenga que la ecuación resultante es:

2 2 2 2

1 2

1 2

y q y q

2 g y 2 g y

y además;, sugerencia multiplique la primera ecuación por 2·y1·y2 y factorize el

binomio al cubo que resulta por (y1 – y2).

A partir de la ultima ecuaciones demuestre que

2

2 21 2 1 2 2 11 2

2qy y y y y y y y

g

Tema 2) Ecuación de Chezy el flujo uniforme en canales. Anexo 1)