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TEMA 8.- TÉCNICAS DE DERIVACIÓN.

TEMA 8.- TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

8.1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

2° 8ACH(CN)

Definición

Se define la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta

tangente a la curva en ese punto. Para calcular este valor es necesario utilizar el concepto de

límite. Se trata de ir calculando rectas secantes a una curva con intervalos cada vez menores,

hasta llegar a la recta tangente:

f'(xo) = lim f(xo + h) - f(xo)h--+o h

Si existe f'(xo}, se dice que f es derivable en Xo

InterDretación aeométrica

y

f(xO+h)

f(xO)

xO

tl

f(xO+h)-f(xO)","'"

~ecta tangente por f(xO).~

f'(xO)=tgo:

xO+h

Recta tanaente a una curva en un Dunto dado

Para calcular la recta tangente a una curva en un punto concreto tan sólo habrá que

calcular la derivada de la función en el punto (que será la pendiente de la recta tangente) y

luego imponer la condición de que la recta pase por el punto.

r:y=mx+n, donde m=f'(xo} y para calcular n hacemos Yo =f(xo}

1/8DAVID RIVIER SANZ


Derivadas laterales. Derivabilidad

2° BACH(CN)

Igual que con los límites, para ver si una función es derivable en un punto

tendremos que ver si existen la derivada lateral por la derecha, la derivada lateral por la

izquierda y si son iguales, en ese cado existirá la derivada y su valor será en mismo que el de

las derivada laterales.

Se define la derivada lateral por la izquierda de una función en un punto como:

f'(xo -) = lim f(xo + h) - f(xo)h-+O- h

Se define la derivada lateral por la derecha de una función en un punto como:

f'(xo +) = lim f(xo + h) - f(xo)h-+O+ h

Gráficamente las derivadas laterales serán distintas cuando en ese punto la gráfica de

la función haga un "pico"; y serán iguales (y por tanto la función será derivable en ese punto)

cuando la función sea "suave",

Derivabilidad v continuidad

Si una función es derivable en un punto entonces es continua en ese punto.

Observación: Esto implica que cuando una función no sea continua en un punto

entonces tampoco podrá ser derivable.

Casi todas las funciones elementales son derivables en sus dominios: polinomios,

logaritmos, raíces, exponenciales, trigonométricas (sólo seno y coseno), etc. Por tanto

cuando estudiemos la derivabilidad de una función tendremos que seguir los siguientes

pasos:

10- Calcular el dominio

20- Estudiar la continuidad (en los puntos donde se anula el denominador o la función es

definida a trozos).

30- Estudiar la derivabilidad en los siguientes puntos:

o En los del apartado anterior donde la función es continua

o En los puntos donde cambie la función con forma de pico por estar en valor

absoluto.



8.2. FUNCIÓN DERIVADA.

2° BACH(CN)

Se llama función derivada de f a una función f' que asocia a cada abscisa, x, la

derivada de f en ese punto, f'(x), es decir, la pendiente de la curva y = f(x) en ese

punto. A la derivad de f la llamaremos f' o bien Df:

Df(x) = f'(x) = lim f(x + h) - f(x)h-->o h

Si una función es derivable en todos los puntos de un intervalo, entonces podremos

calcular la función derivada (f').

Igualmente, si f' es derivable en un intervalo se podrá volver a derivar, hallando así la

función segunda derivada (f")·

Se puede calcular la función derivada de un función en todo su dominio (siempre que

sea continua) sin necesidad de ir haciéndolo punto por punto. Para ello se aplica la definición

a un punto genérico de la función y se obtiene otra función, que será la derivada. Vamos a

hacerlo con la función identidad (f(x)=x) y con la función cuadrática (f(x)=x2) para ver

el procedimiento:

i) Si f(x) = x => f'(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim (x + h) - x = lim!!.- = lim 1= 1h~o h h~o h h~O h h~o

Luego, si f(x) = x entonces f'(x) = 1 .

ii) Ahora lo hacemos con f(x) = x2 :

f(x)=x2 => f'(x) = lim f(x+h)- f(x) = lim (x+h)2 _x2 = lim (x2 +2xh+h2)-x2h~o h h~o h h~O h

. 2xh+h2 . h(2x-h) .11m--- = 11m-----'- = 11m2x - h = 2xh~o h h~O h h~O

Luego si f(x) = x2 entonces f'(x) = 2x.


TEMA 8.- TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. 2° BACH(CN)

Podríamos ir calculando la función derivada de cada función con la definición, pero es

mucho más rápido fiarnos de los resultados que otros matemáticos que han demostrado y

que se pueden encontrar en tablas de derivadas como la que a continuación os propongo:

Derivadas de las funciones elementales

Tipo de función ExpresiónDerivada

Constante

f(x)=k, k = cte.f'(x) = O

Identidad

f(x) = xF'(x)=l

Potencia

f(x) = xnf'(x) = n· xn-l

Inversa

f(x) = x-lf'(x) = -¡x

Raíz

f(x) =-r;f'(x) = ~2 x

f(x) = aX

f' ( x) = aX ·ZnaExponencia les f(x)=ex

f'(x) = eX

f(x) = ZogaX

f'(x) =]

x·ZnaLogarítmicasf'(x) = if(x) = Znx x

f(x) = senx

f'(x) = cosx

Trigonométricas

f(x) = cos xf'(x) = -senx

f(x) = tgx

f' (x) = ] + tg2 x =]

cos2 X

f(x) = arcsenx

f'(x) = h-]-x

Funciones arco

f(x) = arccos xf'(x) = ib-

]-xf(x) = arctgx

f'(X)=~+x

Tabla 1



8.3. DERIVADAS DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES.

2° BACH(CN)

Operación ExpresiónDerivada

Suma (resta)

f+gf'+g'

Producto

f·gf'.g+ f .g'

División

ff'·g-f·g'

g

g2

Composición

f( g(x))f'(g(x))· g'(x)

(regla de la cadena) .Exponencia 1-potencia Ifgfg ·Znf·g'+g·fg-l f'

Tabla 2

Aplicando la regla de la cadena (tabla 2) y los resultados de la tabla 1, obtenemos:

Tipo de función ExpresiónDerivada

u = u(x) y v = v(x) son funcionesPotencia

f(x)=unf'(x) = n·un-l ·u/

Inversa

f(x) = u-lf'() -] ,x =-·Uu2

f(x) = ¡;;

]Raíz

f'(x)=-·u'2¡;;

f(x) = aU

f'(x) = a" ·Zna·u'Exponencia les f(x) = e"

f'(x)=eu·u'

f(x) = Zagau

f'(x) =]

/·Uu·Zna

Logarítmicasf'(x) =i.u'

f(x) = Znu Uf(x) = senu

f'(x) = casu· u'

Trigonométricas

f(x) = casuf'(x) = -senu· u/

f(x) = tgu

f'(x) = (1+tg2u) ·u' =u'

2

cas U,f(x) = arcsenu f'(x) =b]-u,Funciones arco

f(x) = arccasuf'(x) = ~]-uI

f(x) = arctgu f'(x)=~+u

Tabla 3



Ejercicios: Deriva las siguientes funciones.

1

1. f(X)=(X5_x2+3Y

-2xe

2. f(x)=4

(1- x)3. f(x) =ln -

1+x

4. f(x)=lnl(x2 _1)'(X2 -2)J

20 BACH(CN)

8.4. ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD UTILIZANDO LAS REGLAS DE

DERIVACIÓN.

En ocasiones se puede estudiar la derivabilidad de una función en un punto estudiando

las funciones derivadas laterales. Estos casos ocurren cuando la función está definida a trozos

(o en valor absoluto): se calculan las funciones derivadas a ambos lados del punto y se

estudia si la función derivada es continua en ese punto.

~ Ejemplo: Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = {x23x-2si x < 2

six ¿ 2

Primero estudiamos la continuidad: lim(3x-2)= lim x2 =4=f(x), luego la función esx--+2+ x--+T

continua en x = 2 (si no lo fuera, tampoco sería derivable).

{2XHacemos la derivada: 1'(x) = 3

por tanto la función no es derivable.

si x < 2

six ¿ 2

f'(r);/; 1'(2+ )

~ Eiemplo: Calcula m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1 :

f(X)={x2-sx+m_ 2x +nx

si x ::;1

si x> 1

En primer lugar tiene que ser continua lim (- x2 + nx)= n -1 = m - 4 = li~ (x2 - 5x + m)x--+]+ x--+]

de donde sacamos n -1 = m - 4 .

{2X -5En segundo lugar f'(x) =

-2x+n

si x ::;1. ,F(r)=-3yF(r)=n-2

Sl x> 1

Luego se tienen que cumplir las condiciones n -1 = m - 4 Y - 3 = n - 2, de donde se

saca que n = -1 Y m = 2. Además F( 1)= -3 .



8.5. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA.

2° BACH(CN)

Se define la función inversa (mediante la composición) de una función f como la

función que al componerla con ella resulta la función identidad, es decir:

f-1 of=ld y fof-l =ld (o también f-1(f(x)) = x y f(¡-l(x))=x)

Por ejemplo, la exponencial es la inversa del logaritmo

El arcsenx es la inversa del senx.

La raíz cuadrada es la inversa de la potencial x2

Utilizando la regla de la cadena, la derivada de la función inversa se calcula así:

(¡(f-I (x )))' = f'(f-l (x))· (¡-J) (x) = 1 luego (¡-I)' (x) = 1

Gráficamente la recta tangente a la función inversa debe tener la pendiente "inversa

numéricamente" a la pendiente de la función original.

>- Ejemplo: Calcular la derivada de la función f(x) = arcsenx en el punto x = 1/2.

8.6. OTRAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN.

A) DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA

Recordemos que podemos expresar una función así: y = f(x). En ocasiones nos

encontramos con funciones definidas implícitamente, unas veces se podrá despejar pero

otras no.

Por ejemplo, la función y_x2 = O, en realidad es la función y = x2 ( f(x) = x2).

Pero la función y3 -7X2 + 5y2 X + 17 = O no se puede despejar (expresarlas de forma

explícita), en estos casos podremos aplicar la derivada de la función implícita:

3y2 . y'-14x + 10y' y'·x + 5y2 = O

entonces sacamos factor común a y'

y'(3y2 + 10y' x) = 14x - 5y2

DAVID RIVIER SANZ

y entonces

2, 14x-5y

y=3y2 +10y.x

7/8


B) DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

20 BACH(CN)

En ocasiones, tomando logaritmos y aprovechando sus propiedades, se simplifica

notablemente el cálculo de la derivada de una función.

Por ejemplo, la función f(x) = XX , si aplicamos logaritmos:

In(f(x))=ln(xX) ln( f(x)) = xln(x) al derivar ambas1

1'(x) = Inx + x . xf(x)

luego f'(x) = (lpx + 1)· f(x)

DAVID RIVIER SANZ

es decir f'(x) = (lnx + 1)·xx.

8/8

f<éSUEL fD~

1 '(2..Jl-x2+..J~~:2)=-V1-4x2 + 4x4

2 (1 - 2x2)

-VI - x2

b) Antes de derivar, aplicamos las propiedades de los logaritmos:

( sen x GOS x )1/3 1Y = In ? = - (In (sen x) + In (GOS x) - 2 In (1 - x)](1 - x)- 3

a) y' = 1>J 1 _ (2x..J1 _ x2)2 . D(2x..Jl - x2) =

3b) Y = ln ,/ sen x . cos x(J-xY

xc)y = arc tg ..J 1_x2

d)y = (1 + ~t

,l.- Re9~Clsd~.derivCldó!,

Halla la función derivada deestas funciones:

a) y = arc sen(2x..J 1-x2)

,_ 1 [GOS x sen x + 2 ] _ 1 (GOS2 X - sen2 x + 2 )_Y -"3 sen x - GOS X 1- x -"3 sen x GOS x 1- x -

1 [ GOS 2x 2] 2 ( 1 )="3 0/2) sen 2x + 1 - x ="3 Gotg 2x + 1 - x

c) y' =

d) Aplicamos la derivación logarítmica:

In y = In (1 + ~ t = x In (1 + ;) ~

1

y' ( 1.) - x2- = In 1 + ~ + x --y x 1+1-

x

En Xo = O, la tangente a la curva es paralela a la bisectriz.

Sabemos que f'(xo) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica dey = ¡(x) en el punto de abscisa xo' En este caso, buscamos un Xo talque f'(xo) = 1, pendiente de la bisectriz.

Prueba que existe unpunto dela curva:

(1+X)y=arctg --1-x

en el que la tangente a esa curva es paralela a la bisectrizdel primer cuadrante.

f'(x) = O - x) + (1 + x)(1 - X)2

1

1 + (1 + X,)2l-x

1--- ~ f'(x) = 1 ~ x = O1 + x2

'¡. Función continua y derivable

Halla el valor que ha de tenerm para que la función f(x)sea derivable en x = 1.

Para que f sea derivable en x = 1, ha de ser continua en x = 1.

• Si f es continua en x = 1, dehe ser lím f(x) = fO) = 3 - mX-7]

]3 -mx2f(x)= ~

mx

si x::; 1

si x> 1lím f(x) <X-7]

lím. f<x) = lím (3 - mx2) = 3 - m)

X-71- X-7]-

1, f'() l' 2 21m . x = 1m -- = -X-71+ .\'-71+ inx m

3 2) <m=2- m = - ~ m- - 3m + 2 = Oin m = 1

f es continua en x = 1 si m = 10m = 2.

•f será derivable en x = 1 si f'0-) =f'O+)

- Para m = 1

¡3 - x2f(x) = ~

si x::; 1

si x> 1

- Para m = 2

si x~l ~f'0-)=-2)

f es derivable ensi x> 1 ~ .1'0+) = -2 x = 1 si in = 1.

]3 - 2x2

f(x) = ~x

si x ~ 1

si x> 1

4:- Puntos de derivada nula

]-4X si x < 1 ~ .1'0-) = -4 )~ f'ex) = 1 ..

- -? Sl X > 1 ~ .1'O+) = -1x-f no ~s derivabJeen x = 1 si m = 2.

Halla los puntos en los que seanula la derivada de la curva:

x2 + y2 + 6x -2y -15 = O

Derivamos en forma implícita:. -6-2x

2x+2V)"+(J-21"=O ~ (2)'-2))"=-6-2.Y ~ )"=---...... 2)'-2

Iguabmos a O la derivada:

)" = O ~ -6 - 2x = O ~ .Y = -3

Calculamos las ordenadas correspondientes a :x: = -3:

. ) o ) 4 <y=69+v--1R-2)'-15=O ~ v--2v-2 =0.... y =-4

En los puntos (-3. 6) Y (-3, -4) la derivada es igual a O. Y. por tanto, latangente es horizontal.

b) Y = cos2 (2x - n)

b) Y = are tg (x2 + 1)

h) Y = are eos ili

si x ~ 1si ;c > 1

si x ~ O

si x> O

SI X ~ O

{x3 - xf(x) = ax + b

{ 2 'f(x) = X 1- 5x + m

,-x- + 11X

I Calcula a y b para que f sea continua y de

l rivable,i¡i!

Id·¡Calcula la erivada de ord~n n de la funciónl/ex) = e2x,II

539

541

f b) ¿En qué puntos es f'(x) = O?,¡I

536 ¡Calcula a y b para que la siguiente función

Isea derivable en todo IR:

¡ {ax2 + 3x si x ~ 2¡ fex) = 1I x- - bx - 4 si x > 2f

r

I ,

538 i Observa las gráficas de las siguientes funciones! e indica en qué puntos no son derivables:iI1¡¡II¡I1

I LU----LLJ I I

I¿Alguna de ellas es derivable en todo IR?

,,

530 IEstudia la continuidad y la derivabilidad de es-tas funciones:

I {O si x < O11a) f (x) = x2 si O ~ x < 1

x si x ~ 1

Ib)!(x) = {e-xl' 1- x si x> O¡

535 !a) Calcula m y n para que f sea derivable en

I todo IR,

í¡

•b) Y =

si x <-1si -1 ~ x ~ 2si x> 2

si x ~ O

si O < x < 3

. > 1Sl X _ J

d) Y = Un x)''' + 1

Oy=x/gx

f) xy2 = x2 + y

(Pito ell AA AS)

~ x-2x+2

Calcula la derivada de estas funciones implkitas:

a) x2 + y2 = 9 b) x2 + y2 - 4x - 6y = -9

x2 y2 (x _ 1)2 (y + 3)2c)-, +- = 1 d)-------= 116 9 8 14

e) x3 + y3 = -2xy

c) y = x(O"

e)y = (se;Xr

{eX

la)f(x) = 1¡ _x2 + 3x + 2

I { 1

; x-+2x+1

Ib)f(X) = 2x + 2I 1 )I -x- + 8x

20 a) V = -Y ta x2~ <5

22

b)h(x) = [sen j(x)j5 si ¡(O)= ~ y /,CO) = 1' , 4'

e) j(x) = VlnfC\:) si fCO) = e y f'CO) = 1

a) g(x) = é'(Onjlx) si feO) =O Y/'(0) = 1

23 ¡Aplica la derivación logarítmica para derivar:

¡ a) y = x3x b) Y = XX + ]..

25 ¡ Calcula el valor de la derivada de cada una delas siguientes funciones en x = O:

29 /Estudia la continuidad y la derivabilidad de estas funciones:

26 :Dadas fCx) = x2 y g(x) = 3x + 1, halla:

a)Cfog)'(x)

b) (g o f)' (x)

,D"ltl \/AC IONb~

h) Y = ~3x2

h) Y = 2 + x2x 2

h) y = sen x eos x

b) Y = 7e~\'

b) Y = In (xl + 1)

h)V=-Y(,<x

)x-h) y = tgz

h) Y = (are~!!, ~\:)2

b) Y = log2-{;¡

1b) Y = are ~gx

b) Y = 3x + 1)x-

h) y = are sen -. 3

3b) V = Intg-

~ (. X

b) Y = In (/rl ~)

x+1b) y = aresen--. x-1

h)y=~x+~

,,.. E c. ,." eA S

xlIS : a) y = are tg -:;

J

, 17 'a) y = sen~,x

15 j a) y = sen x

)/ '

2 a) y = ( ~ :: t ,1

In x

3 a) y =---;-

9 i a) y = (2-{;¡ - 3)7

-xeX + e'I

4 j a) y = eX _ e-)!

S a) y = sen x2

)(2 - 3

,a) y = x2 + 3

TE~4 ~~

] O a) y = sen2 x2

11 a) y = cos5 Ox2)

12 i a) y = V (5x - 3)2

j

13 i a) y = In (2x - 1)

14 a) y = In U,;2 - 1)

15 a)y = In~

16 a) y = lop,,,Ox + 2)

17 a) y = e'lX

18 a) y = 2X

19 a) y = 5 t/l,) (3x,2 + 1)

545 I Halla los puntos de derivada nula de la función

1 slgUIente:i f(x) = (3x -- 2x2) eX

1

fCx) = (-',y + are tg x

,..,... Aplica el teorema de Bn!-z:ClI/(I ti la ji/1/ciÓng(xJ =/'(xJ_ 3.

cuya tangente (en ese punto) es paralela a larecta y = 3x + 2.

¡b) Obtén la expresión de la velocidacl de aleja! miento de P, d'(t), en funciÓn de x y de

x'(l).

c) Despeja x'Uo) siendo to el jnstante al quese refiere el enunciado y, por tanto, para elque conocemos algunos datos numéricos.

x/Uo) es la velocidad del avión en ese instante y, por tanto, su velocidad constante.

71 Un aviÓn vuela horizontalmente a 6 km de altura.

La ruta del avión pasa por la vertical de un puntoP y se sabe que, en el instante en que la distancia del avión a P es 10 km, dicha distancia aumenta a razón de 6 km/minuto.

Halla la velocidad del aviÓn, que supondremos

~~~~::nte. ~

el 16a) Expresa d en función _de x: p~/ .X

68 Prueba que existe un punto de la curva:

570 Un:'! persona camina, a la velocidad constantede 3 mis, alejándose horizontalmente en línea

recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a 10 m de altura.

Sabiendo que la persona mide 1,70 m, calcula:

a) La longitud de la sombra cuando la personaestá a 5 m de la base del faroL

b) La velocidad de crecimiento de la sombra a

los t segundos de comenzar a caminar.

de la siguien-

x:S:O

x>O

x=O

si x*- O

¡Cx) = {1+ ~1-~

Estudia la continuidad y la derivabilidad de lassiguientes funciones:

1

a) f(x) = -,-,1 + x

Ixlb)fCx) =--

x2 - 1

¡co) = 5; f(O) = 6; .('C1) = 3

g(O) '= 1; g'CO) = 4; g'(5) = 2

¿Hay algún valor de 1z para el cual fCx) seacontinua en x = O?

Prueba que f o g y g o f tienen la misma derivada en .x = O.

Una función polinómica de tercer grado, ¿cuán

. tos puntos de derivada nula puede tener?

¿Es posible que no tenga ninguno?

¿Es posible que solo teng~l uno?

¿Puede haber dos funciones que tengan la misma derivada?

,Pon ejemplos de funciones cuya derivada sea.f'Cx) = 2x.

Estudia la derivabilidad en x = O

¡ te función:

, {sen x + 2s6Slfex)" ~-X- ,¡

62 Sean f y g dos funciones derivables en IR,tales que:

59

549

557

550f---i-~-1--t ¡ ?, . I I _?_~"':' __-'-_.J, . : - .•..• j . :

Lj L-L-l_L-L :g'l

=TT-ff- ---:--;!', -, -,' Z'--~>---'

~+t- -~-++

si x = 3

si x *- O, x*-3

si x = O

{-1f(x) = 2xCx -- 3)x2 -- 9

1

[TI:jr'p :-:-j

'~_.:"_.....,-, '

r~~,~T__~H--H

a) ¿Cuáles de estas funciones tienen puntos detangente horizontal?

b) ¿Cuál de estas gráficas es la función derivadade una función polinómica de primer grado?

c) ¿Cuál de ellas corresponde a una función polinómica de segundo grado?

Estas gráficas representan las funciones derivadas de las funciones J, g, h Y j:

548

I46 ! Dada la función f(x) = eX + ln (1 -- x), com-

Iprueba que P(O) = O Y 1"CO) = O. ¿Será tam¡bién /,,'CO) =' O?I

47 IEstudia la continuidad y la derivabilidad de esta

Ifunción:1

1

jí

Ij

íI;:Determina, si es posible, e! valor de! parámetro,'a para que la función f sea derivable en todosu dominio de definición:

{X ln x si O < x:S: 1fCx) = a C1 -- el --X) si 1 < x

542

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