2.- determinantes de orden 2 y 3. -...

TEMA 2: DETERMINANTES.


2° BACH(CN)

l.-INTRODUCCIÓN.

Los determinantes son una herramienta matemática que en este curso se utilizan para

"determinar" el rango de una matriz, para "determinar" si un sistema de ecuaciones tiene

solución única, infinitas soluciones o no tiene solución y para calcular las soluciones de un

sistema de ecuaciones.

Definición.- Se llama determinante de un matriz cuadrada A a un número que se

obtiene operando de una cierta forma con los elementos de la matriz. Denotaremos por

det(A) o también 'IAI.

2.- DETERMINANTES DE ORDEN 2 Y 3.

Definición.- Se llama determinante de un matriz cuadrada de orden 2 a un número que

se obtiene operando del siguiente modo:

13

4

EiemDlos:

13 6

1= 13·2 - 4·6 = 26 - 24 = 24 2

61= 13.(-2)-4·6 = -26 -24 = -50-2

3 01 = 3 . O - 4 . O = O4 O

Definición.- Se llama determinante de un matriz cuadrada de orden 3 a un número que

se obtiene operando del siguiente modo:

all a12 a13

IAI = la2l a22 a231 = alla22a33 + a12a23a3l + a2la32a13 - a}3a22a3l - a12a2}a33 - a23a32alla3l a32 a33

Regla de Sarrus:

En la práctica utilizaremos la siguiente regla

DAVID RIVIER SANZ

o O •• O O Los productos que indican las flechas o los colores con su

O • O signo (sumandos con signo +)

• O O Los productos que indican las flechas o los colores con su

O O • signo (sumandos con signo -)

O • O

2-1


Eiemplo:

o 4 -1

1 2 11=0.2.1+4.1.3+1.0.(-1)-(-1).2.3-4.1.1-1.0.1=3 O 1

I

= 0+12+0-(-6)-0-4 = 12+6 -4 = 14

Observación: los determinantes solamente se calculan de matrices cuadradas.

Propiedades de los determinantes.-

(1) det(A) = det(At)

2° BACH(CN)

(2) Si una.matriz cuadrada tiene una fila (o una columna) de ceros, su determinante

es cero.

(3) Si se permutan dos filas (o dos columnas) de una matriz cuadrada, su determinante

cambia de signo.

a21anoo •

a2nlaIlal2...aln

all

a12...aln

=(-1).a21a22oo •

a2n

• oo

......

anl

an2...annl anlan2...ann

(4) Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales (filas o columnas), sudeterminante es cero.I

all al2oo •aln

all

al2...

a,"

=0

anl

an2.ooann

(5) Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o

columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese

número:

all k ·a12oo •

aln

lall

a12...aln

a21

k· a22oo •

a2n a21a22oo.a2n=k·

oo •

...oo •

anl

k·an2...ann lanlan2...ann

(6) Si unamatriz cuadradatienedosfilas(odoscolumnas)proporcionales,su

determinante es cero.all

a12 + a'12...alnalla12• ooalnaIldl2oo •

aln

a21

a22 + a'22...a2na21anoo •a2na21a'22oo •a2n

(7)I =+

oo. + oo •

oo •

• oo oo •oo •...oo •

anlan2 + a'n2oo •

annanlan2...annlanla'n2oo.

ann

(8) Si a una línea de un matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las

demás líneas paralelas (filas o columnas), su determinante no varía.

DAVID RIVIER SANZ 2-2

TEMA 2: DETERMINANTES. 2° BACH(CN)

(9) Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas,

entonces su determinante es cero. Y recíprocamente, si el determinante de una

matriz cuadrada es cero entonces tienen una fila (y una columna) que es

combinación lineal de las demás.

(10) lA. BI = IAI·IBI

(11) Si IAI * O => IA-11 = I~I

Eiemolos: Sea A = (1 mJ tal que IAI = -13. Entonces:. n p

n

a) 1I PI = (_1).11m Inmi = (-1).(-13)= 13P

1 4ml 1I mib) 1 =4· =4.(-13)=-52

n 4p n p

3.- MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO.

Definición.- Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los

que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. Al determinante de esa submatriz

se llama menor de orden r de la matriz inicial.

Eternp/o: Sea A = r:-29

4

636

9

3 82

.5

-1'), -¿

De la matriz A seleccionamos 3 filas, la segunda, la tercera y la quinta, y tres

columnas, primera, tercera y cuarta. El menor de orden 3 correspondiente es:

-5 -2 3

3 O 21=0+(-4)+(-9)-0-10-0=-231 -1 O

Definición.- Si en una matriz cuadrada n x n destacamos un elemento ay, al suprimir

su fila y su columna (es decir la fila i - ésima y la columna j - ésima) se obtiene una

submatriz (n -1)x (n -1). El determinante de esta submatriz será un menor de orden (n -1)

que vamos a llamar menor complementario del elemento ay y lo vamos a designar por ay.



Etern%: Sea A =

3 7 -3 114 2 O 7

4 6 2 2

O 4 8 5

, calcular el menor complementario de a43.

2° BACH(CN)

a43 = 8 , si suprimimos la fila 4a y la columna 3a entonces A =

3 7 11

es decir a43 = 14 2 71 = 202.4 6 2

7 -3 112 () 7

6 2 2

Definición.- Se llama adiunto de ay al menor complementario de ay con su signo o con

el signo contrario, según que (i + j) sea par o impar. Es decir, al número Ay = (-lti .ay.

Etern%: Siguiendo con el ejemplo anterior, el adjunto de a43 es

A43 = (_lY+3 . a43 = (-lr ·202 = -202.

Definición.- Definimos matriz adiunta de una matriz cuadrada A, y denotaremos por

Acli(A), a la matriz formada por los adjuntos de la matriz A.

( 1 2 0J

Etern%: Calcular la matriz adjunta de A = -1 1 2 .

O 1 3

1 21

-1~oJ)I ~o~; =(-16

1 3

3 -1J

2 O 3 -1Acij(A) = 1-11 3O 3 O 1 4

-2 3

2 01 _11 0111 211 2

-1 2 -1 1

4.- DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA.

ProPiedad.- Si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se

multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el

determinante de la matriz. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los

elementos de esa línea.



Demostración: Veámoslo con una matriz de orden 3:

2° BACH(CN)

a13J

a23 , si desarrollamos por la segunda fila:

a33

I I ( ) ¡a12 al31 ¡all a13[ () lallA = a21 ·A21 +an ·An +a23 ·A23 = a21· -1 . +a22· +a23· -1 .

a32 a33 a31 a33 a31

= a21 . (-1). (a12a33 - a 32alJ+ a22 . (alla33 - a31a1J+ a23 . (-1). (alla32 - a31a12) =

= -a21a12a33 + a21a32a13 + analla33 - a22a31a13 - a23alla32 + a23a3Ia12

Que si reorganizamos, se puede comprobar que es igual que la definición de

determinante de orden 3 vista en el apartado 2 de este tema.

15486O

91111Etern%: Desarrollar el siguiente determinante por una fila I 1

3382

O

O6O

Podemos hacerlo por cualquier fila, pero si lo hacemos por la cuarta, el proceso se

simplifica bastante:

15 48615 4

6O

91111= O· A41 + O· A42 + 6· A43 + O· A44 = 6· (_lY+3 .

O9111= -6·895 = -53702

13382

18O

O6O

5.- MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINATES DE CUALQUIER ORDEN.

El método que vamos a utilizar para calcular para calcular determinantes de cualquier

orden es desarrollar el determinante por los elementos de una fila o de una columna. Antes

de realizar el desarrollo lo que haremos es conseguir el mayor número de ceros en la fila o la

columna que vayamos a utilizar realizando transformaciones en la matriz.

322-1

4

131Etern%: Calcular el determinante de A = I 4

62-1

O

231,3

22-1 322-14·1"-3·2a

5-1-74

1314.J"-Ba O 5-1'7-/=3.(-lY+lIAI=I

= -102-11=3·517=15514

62-1 O-10 2-12

31O

231 O231

=



6.- RANGO DE UNA MATRIZ Y MATRIZ INVERSA CON DETERMINANTES.

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas o de columnas que son

linealmente independientes, es decir, ninguna de ellas se puede poder como combinación

lineal de las otras.

Definición.- Sea A una matriz cuadrada, entonces se cumple que:

IAI = O Q las filas (o columnas) de A son linealmente dependientes, o también se puede

decir que IAI t:- O Q las filas (o columnas) de A son linealmente independientes.

Proposición.- El rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos.

Método para determinar el ranqo de una matriz.-

En primer lugar hay que recordar que una matriz de dimensión m x n tiene como rango,

a lo sumo, el menor de m o n.

1. Cogemos un menor de orden 2 no nulo (procurar que sea lo más sencillo de

calcular), esto nos asegura que las filas a las que pertenece ese menor son I.i.

2. Vemos si una tercera fila depende linealmente de las dos elegidas en el primer paso.

Para ello añadimos al menor del paso anterior los elementos necesarios para tener

un menor de orden 3 (tenemos que comprobar todos los menores de orden 3 que

incluyan al menor de orden 2 del apartado primero). Si todos los menores de orden 3

correspondientes a esa tercera fila son nulos, formamos menores de orden 3 con los

elementos de la cuarta fila, y así procederemos hasta comprobar todos los menores

de orden 3 posibles. No pararemos hasta encontrar un menor de orden tres no nulo.

3. Comprobamos los menores de orden cuatro de la misma manera que en el apartado

anterior. Y así hasta llegar a los menores de orden el mínimo de m y n.

Etern%s:

7

-5-293

2

4636

1) Calcular el rango de A = I 93

O82

5

1-1-2O

En primer lugar, como mucho esta matriz tiene rango 4, al ser de dimensión 4 x 5 .

Cogemos un menor de orden 2, por ejemplo:

7

2-51 = 7·4 -2.(-5)= 28+10 = 38 t:- O entonces rang(A)~ 2.4

Este menor lo completamos para obtener todos los menores de orden 3:



7

-5-27-597-537-5-27-5 97-532

46, 243,246,246, 243y 2469

3O9389325]-]5]-2 5]O

7 -5

2 4

9 3

-2

61 = -336 *- O entonces rang(A) ~ 3 .O

Ahora completamos para obtener todos los menores de orden 4:

7-5-297-5-237-5 932

463246624369

3O8' 93O2 Y 93825

]-]-25]-]O5]-2O

7

-5-29732-3592

4632-]832]9=

1= -5 ·52900 = -]05800 *- O

93O89-6 958

5]-]-25OOO

Entonces rang(A) = 4 . -]

3O]2O

5]232) Calcular el rango de A = I -]

-2-]O-3

3

11456"Como mucho esta matriz tiene rango 4.Cogemos un menor de orden 2, por ejemplo:-] 01= -] *- O entonces rang(A) ~ 2.

O

]

Este menor lo completamos para obtener todos los menores de orden 3:

-] 3O-]O]-]O2-]3O-]O]-]O2O

5], O ]2, O ]3 ,O5],O]2yO]3-3

-]-2-3-2-]-3-2O3114345 346

Se puede comprobar que todos son nulos entonces quiere decir que las filas tercera ycuarta dependen linealmente de la primera y la segunda, por tanto rang(A) = 2.



7.- COMPLEMENTO TEÓRICO.

Propiedades de los determinantes.-

(1) Si A es una matriz triangular superior (o inferior) entonces el determinante es el

producto de los elementos de la diagonal principal:

allal2al3...a1n

°a22a23...a2n

IAI=

°°a33...a3nl = all . a22 . a33 ..... ann

...

.........

°°°°ann, (2) lA +BI *- IAI+IBI

(3) 1..1,· Al = An 'IAI, siendo n el orden de la matriz cuadrada A y A E 9t.

Teorema.-

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Las siguientes condiciones son equivalentes:

i. A es invertible (es decir, tiene inversa).

ii. rang(A) = n .

iii. IAI*-O.

Observación: Según este teorema, si una matriz de orden n tiene determinante distinto

de cero, entonces el rango es n.

1

Teorema.- Sea A una matriz cuadrada, si A es invertible entonces A-1 = jAf(Adj(A)y

[ 1 2 0J

Etern%: Calcular la matriz inversa, si la tiene, de A = -1 1 2 .

° 1 3

En primer lugar calculamos su determinante, que ha de ser distinto de cero:

1 2 °

-1 1 21 = 7 *- O, y ahora calculamos la matriz adjunta de A (cálculo realizado en un° 1 3

ejemplo del apartado 3): Adj(A) = [-:6

3

3

-2 -1J [ 1-1 => (Acij(A)Y = 33 -1

-6

3

-1

Luego A-l =f'[ ~-1

DAVID RIVIER SANZ

-6

3

-1

2-8

U;J4t\ 2 .J) E ,1:(2. Mi N ANTE S( q:>~ \J~cU>'\ ._

b) 1 s,,;,x co~x I ~ O

\ F'/\RJ.\ PRi~,CT~CAR .-,-1 De las siguientes operaciones con determinan:~:í tcs dc ordcn 2 x 2, señala las 'que son correctas

y, en su caso, enuncia las propiedades que seutilizan:

;j 1 Sustituye los puntos suspensivos por los núme

ros adecuados para que SI;: verifiquen lassiguientes igualdades:

1 13 71 12 7 '\ ¡--. 71a) 5 -3 ~ 3 -3 + ·---3

Ib) 1-; g 1-1: ¿1·1;; I

4, I Resuelve estas ecuaciones:S I

la) 11 + x 1 ~ x 1 = 12l-x l+x

Ci

=0

Ix -1 -1

-x x -1d) 1 -1 x

1 -1 O

la bb) a xla b

IX1 O O 1

O x 1 O

a) O O x 11 O O x

~I=O

I-x 1 O 1 1

1 -x 1 Oe) O 1 -x 1 ~ O

1 O 1 -x

I1=0

¿Para qué valores de x se anulan los determinantes siguientes?

, Determina el rango de las siguientes matricesS ! según los valores de t:

(' 1

na)A=1-1 1 1

e 2 2)

b) B = 2 1 O 1 t t,

c+ 3 4

t~Jc) e~ O 1- 1 -4 -4

(1 1 -1 O)

d) D ~ 2 1 -1 O-163-19-t

(t 1 O)

e) E = 2 t + 1 t - 1-21- 1 O t + 3

e 112)

f) F ~ 2 t ¡2 12 1 1 2

(3-<

3

" )"''''-',

-2

O-1g) G ~ -1

-3-2 t- tt + 2

O

'.

l:S

a=2a=O

1 O)1 -21 a

a=l

a)A=O

(2 -1 a)b) B = a 3 43 -1 2

("")

1 2 -3 8c) e = a -1 -1 11 -1 1 -2

¡ d) D ~ (a -1 1)

¡ 1 -a 2a-1

¡ 1--825401i a) 2/5 3 -2! O 27 O

j I 5 5 5 1

~: b) a b e¡ b+c a+c a+b

! :~-;~>3J,j,¡;~t~;j;C~LVER.

Calcula el rango de la matriz A en los siguientes casos:

11 1 1 21

1 2 -3 8IAI = a -1 -1 1

1 -1 1 -2

:~. Estudia el rango de las siguientes matrices segúnS el valor del parámetro que aparece en ellas:

Prueba, sin desarrollar, que IAI es ~últiplo deS 3 y IBI es múltiplo de 5:

11321 15211IAI ~ 4 7 1 IBI = 4 7 6

825 1639

¿Para qué valores de a se anula este determinante?

Justifica, sin desarrollar, que los siguientes deterS minantes son nulos:

o

2 01

3 14 37 O

1 -1\a+6 32 O

3 2 -1[

-2 1 3-5 10 4-3 9 -2

d) ¡-tI 7

11 -1

2 1b) 3 1

2 1

la-lb) O

a-l

]3 4 -6]b) 2 -1 1

5 3 -5

I O 3 1 Id) -2 O 2

3 4 O

11 O 11

f) -2 1 11 -1 O

5 1)

10 -2O 1

5 O

O -1 21

3 2 -24 2 11 5 -3

2 3 41

1 2 1245412

~I

4 -112 1O 1

11

, 2

a) ~

11

2

e) ~

13 4 -51a) 1 -1 1

1 -1 a

(1 2 3 1 -1)b) D ~ 4 5 6 2 1

10034

Halla los valores de a que anulan cada uno delos siguientes determinantes:

11 8 1 1

a) 1 7 O1 6 -1

Halla el rango de las siguientes matrices:

Calcula el valor de los siguientes determinantes:

.) c- (!

17 8e) O -7

1 O

Calcula el valor de estos determinantes:

e) I ~I 3I

1211\ ¡a+lll\c) O 2 2 d) '1 2 a

. 23a2 la2

.'\ •. Desarrolla, iguala a Oy resuelve la ecuación queobtengas.

S

S

Q

s

f) 1m 5m IP 5p

b) I~:Id) IP 2m Iq 2n

1-2x1=0x2le)lx~2

Si 1; ;1~-5, ¿cuál es el valor de cada uno de

estos determinantcs? Justifica las respul;:~tas:

, Im+~n P+3Q\la) n' Q

I I'n -m Ic) 3Q "':P

. e) 11 n/m Imp mq

0)1: :1=0I

I b) I ~ ~ I ~ 41 ~ ~ II

12 21 11 11e) 2 6 = 2 1 3

Id)l~ ~1=21~ ~II

s

['I

-,~~.~.

171 Prueba, sin desarrollados, que el valor de lossiguientes determinantes es o:

Ix x+1 X+2\a) x x+3 x+4

xx+5x+6

rv) Tan (AZ) - [mn (A)]2

v) ran(A) - Tan(A-1) si A(A-l es la matriz inversa de

n) Tan(A) a Tan(A') (A' es lapuesta de A):

1) ran (A) = ran (-A) (-A es lata de A),

a) det(cl - 3cz' ez, c3)

b) det(cl, Cz, 2c~

c) det(c" c, - CZ, c3)

a) Define a qué se llama rango de una

b) Indica, razonando la respuesta,siguientes afIrmaciones scin ciertas:

I

I

det(A) - det(cl, cz' c~

Si det(A) - 5. ¿cuál será el valor de estosmi.rianies?

:16 1 Si llamamos el' e21 C3 a los vectoresde una matriz A, el determinante puedenarsé así:

::~/

\s, . A (ab el· ,.

.•. 1 a matrIZ - tiene rango ,¿quemnprango tendrá la matriz B?

I

B~ ( .~.

b

P~Jnm-a

n-b

SEscribe dos matrices A y B E %z x z tales que:

a) det(A + B) '" det(A) + det(B)

. b) det(A + B).= det(A) + det(B)

~~I Sea A una matriz cuadrada tal que AZ = A.Demuestra que det(A) = O o det(A) = 1.

el'; I Si A Y B son dos matrices cuadradas delS mismoordell,¿severificaque IA-BI = lB-Al?

Justifica tu respuesta.

y I(AB-l)'!

y B deorden4x4concalcula:

Dadas la matrices AIAI = 3 y IBI = 2,

IA-lI.IB'AI

QZl All + QZ2 A12 + aZ;} Alj + aZ4 A14

sin conocer los elementos de la matriz?

Justifica las respuestas.

CUESTlON¡;S T~ÓiW:;:"j

29 I Si A es una matriz cuadrada de orden 4, ¿puedes saber el valor de:

¿Y el de una matriz triangular de orden n?

.•. Ten en. cuenta que: A . %1 ""1

siendo A Y B dos matrices diagonales deorden 3.

a) aI2 . Clz3 . a3l . a4Z

b) a¡4 . a4l . aZ3 - a3Z

?? I Comprueba que:

del (A . B) = det (A) . det(Ef)

1~8 I Justifica que det(A-l) = det(A)

Justifica tus respuestas.

30S

;¡i I De una matriz cuadrada A se sabe que suS determinante vale -1, y que el determinante de

2A vale-8.

I ¿Cuál es el orden de la matriz A? Razona la res_puesta.

26 I ¿Sabrías decir cuál de eStos dos productos puedeformar parte del desarrollo de un determinantede orden 4?

2.1. I ¿Cuál es el valor del determinante de la matrizunidad de orden n?

25 I Comprueba que el determinante de una matrizde orden 3 es igual al de su traspuesta.

-sen a O)

cos a O

O 1( cos aA- s~a

b) Calcula el rango de A.

a) Determina el número de columnas de A queson linealmente independientes.

(a b C)Considera la matriz A = 2a -b 3c, dondea, b y C son no nulos. 3a O .4c

Estudia el rango de la siguiente matriz para losdistintos valores de a, b y c:

( 5 5 5)M= a b C

b+ca+ca+b

Estudia el rango de la matriz:

¿Puedes averiguar algo sobre los posibles valores de su rango?

Si llamamos e a la matriz cuyas columnas sonlas 24 que forman las dos matrices A y B,¿cuál será el rango de e?

las matrices A y B tienen 3 filas y 12 columnas pero, en el proceso de edición, algunas deestas se Ilan borrado_

(1 1 -1 n"n .n)A = 3 -1 O n' n .. n-7 5 _2·n n' n,

(2 -1 3 n"."n)

B = 3 O l·n n. n.5 4 O n· n. n.

, Calcula el valor de este dererminante:

1

1OO11

OO11O

11O1O

1O111

1111

s

s

S

~t'

4 ¡al

= 5, calcula el valor

aLI

a7

33+a

1-Z!C~2z

11 r 11a b C

x y z

13 x x XI

x 3 x xx x 3 xx x x 3

a al

a aa a2 a

2

2+aa611 ~ a

Calcula el valor de este determinante dando elresultado factorizado,

r-,II

I Halla, en función de a,' el valor de los determmantes SIguIentes:

I la+1 a a

el a+1 aAl = a a a + 1

I a a el

la a

2 aAz = 3 2

! 4 3

I

b)Ii

Ii

'¡!; I Sabiendo que

S I

I de los sIguientes determinantes:

11 1 1 I

I a) a + 7 b + 7 C + 7

I x/2 y/2 z/2

I labC¡ (P\ b) x y zI 1 1 1iI

1 11-X 1-yI c) a + 2x 17+ 2yi 2x 2y

tJ5

s

~tr¡IJ l'1: o

~ S

~,t~

rrl·:>

Klf:

® C9

2.- determinantes de orden 2 y 3. -...

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