TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

TEMA 5.- PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

1.- PUNTOS.

2° BACH(CN)

Sistema de referencia: Un sistema de referencia en el espacio 913 consiste en un conjunto

formado por un punto fijo, O, llamado origen y una terna de vectores B = {t,],k}, que

llamaremos base. Todo punto A del espacio 913 tiene asociadas unas coordenadas respectode un sistema de referencia. Estas coordenadas son equivalentes a las coordenadas del

vector fijo DA en la base del sistema de referencia.

-7

}-< -¿O J-7-;-)1

- - - -- - - - ';'1, I

1

I,1

, II 1I I

---7 L -7 I -) ---7

OP:= ai +: bj + ek1 1

I I, 1

--:7 I •.. -----;.j 1 ,,' bJ"

/.-'" - - - - - I "

~ v

ai

Se llama geometría vectorial a la geometría que sólo se ocupa de vectores yqeometría afín a la que además utiliza puntos del espacio. Por ejemplo, una suma devectores correspondería a geometría vectorial, pero si queremos calcular un punto a unacierta distancia de otro punto dado ya estaríamos trabajando dentro de la geometría afín:B=A+A'¡¡

Coordenadas del vector que une dos puntos: Las coordenadas de un vector que une los

puntos P(PPP2,pJ y Q(qpq2,q3) vienen dadas por el resultado de realizar la

operación PQ = OQ- OP y son PQ = (q¡ - Ppq2 - P2,q3 - P3)'

Coordenadas del punto medio de un seqmento: Dado el segmento PQ, donde P(PPP2,P3)

y Q(QI'Q2,Q3) son sus puntos extremos, se calcula el punto medio del segmento haciendo la

(p +Q P +Q P +Q )semi-suma de las coordenadas, es decir, M = ¡ ¡, 2 2, 3 3.

222

Coordenadas del punto simétrico de un punto respecto de otro: El simétrico de P(PI'P2,pJ

respecto de Q(QpQ2,Q3) es P'(a,fJ,S) si Qes el punto medio del segmento PP'. Las

coordenadas de P' se calculan despejando de las siguientes igualdades:

Q _ p¡ +a¡- 2

Observación: estas últimas fórmulas no es necesario aprendérselas, basta con sabercómo hallar el punto medio de un segmento.

DAVID RIVIER SANZ 1/6

TEMA 5.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

2.- RECTAS EN EL ESPACIO. ECUACIONES

2° BACH(CN)

Una recta en el espacio viene determinada por una dirección (un vector) y un puntopor el que pasa.

Dado el punto P(PPP2,P3) y el vector ii=(Ul,U2,U3) cualquier punto de la recta que

tiene por dirección al vector u y pasa por el punto P se puede construir a partir del punto P ysumándole una cierta cantidad de veces el vector ii .

De esta forma construimos la ecuación vectorial de la recta:

Q=P+tii, tE9t, que expresada en coordenadas equivale a

Igualando las coordenadas obtenemos las ecuaciones Daramétricas de la recta:

{X = p¡ + tUl

y = P2 + tU2

Z=P3+tu3

con t E iR

Eliminando el parámetro t en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación continua de larecta:

Observación: Esta notación puede ser utilizada en el caso en el que alguna coordenada delvector ii sea nula, siempre y cuando comprendamos que su significado es sólo notacional.

De esta ecuación continua obtenemos dos ecuaciones (ya que hay dos signos "="), ydespejándolas llegamos hasta las ecuaciones imDlícitas de la recta:

{AX+BY+CZ = DA' x + By +C'Z = D'

Observación: En realidad cada una de estas ecuaciones es un plano, luego la recta vista enecuaciones implícitas es en realidad la intersección de dos planos que se cortan en ella.

DAVID RIVIER SANZ 2/6

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

3.- PLANOS EN EL ESPACIO. ECUACIONES

2° BACH(CN)

Un plano en el espacio viene determinado por dos direcciones (dos vectores) y un punto porel que pasa.

Dado el punto P(P¡,P2,P3) y los vectores U=(Ul,U2,U3) y V=(Vl,V2,v3) (linealmente

independientes) cualquier punto del plano se puede obtener a partir del punto P y sumándoleuna combinación lineal de los vectores u y v.

De esta forma construimos la ecuación vectorial del Dlano:

Q = P + tu + SV, t, s E m, que expresada en coordenadas equivale a

Igualando las coordenadas obtenemos las ecuaciones Daramétricas del Dlano:

{X = P 1 + tu 1 + SV 1

y = P2 + tU2 + sV2

z = P 3 + tu 3 + SV 3

con t,s E m

Como los vectores son linealmente independientes, el rango de la matriz formada porambos será 2. De igual modo, si añadimos la columna de términos independientes(considerando como variables a t y a s), el rango también será 2. Por tanto el determinantedebe ser cero.

{X- Pl :tuI +svI

y- P2 -tu2 +sv2

z- P3 =tu3 +sv3 [X- P

rg y- P~

z- P3 Vlj x- Pl

v2 =2 ~ Y-P2

v3 Z - P3

De esta forma se obtiene la ecuación C1eneralo imDlícita del Dlano, resultando al operarel determinante:

Ax + By + Cz + D = O donde A,B,C,D E m

Observación: Dado que la ecuación general del plano se obtiene del determinante en el quedos de sus columnas son los vectores directores, la operación equivale a hacer el productovectorial de ellos. Por lo tanto el vector (A,B,C) es un vector perpendicular al plano, llamadovector normal.La ecuación de un plano a partir de un punto P y de un vector normal a viene dadapor:

~, ------------------------------------,

DAVID RIVIER SANZ 3/6

TEMA 5.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

4.- POSICIONES RELATIVAS

A) POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

2° BACH(CN)

{¡r : Ax + By + Cz = DDados dos planos existen varias posibilidades en cuanto a la

¡r': A'x+By+C'z = D'

posición relativa entre ellos: pueden cortarse en una recta, pueden ser paralelos o puedenser coincidentes. Para estudiar en cuál de los casos estamos, recurrimos a estudiar el rangode la matriz del sistema (M) formado por los dos planos y el rango de la matriz ampliada(M '). Esto es lo mismo que estudiar el número de soluciones que tiene el sistema:

i) Si rang(M)=rang(M')= 1 el sistema es compatible indeterminado. En particularuna ecuación es proporcional a la otra, por lo tanto los planos serán coincidentes,es decir, son el mismo plano.

ii) Si rang(M)=rang(M ')=2 el sistema es compatible indeterminado, pero en estecaso se cortarán en una recta (porque hay infinitas soluciones, pero no soncoincidentes. Esas infinitas soluciones forman una recta, que ya vimos en elapartado 1, en las ecuaciones implícitas de una recta). Se llaman secantes.

iii) Si rang(M)= b= 2=rang(M') entonces el sistema es incompatible, por lo tantono existe ninguna solución, es decir, ningún punto pertenece a los dos planos a lavez, por lo tanto serán paralelos.

Observación: dos planos serán paralelos si tienen el mismo vector normal, es decir si susecuaciones, omitiendo el término independiente, son proporcionales.

B) POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

{¡r : Ax + By + Cz = D

Dados tres planos ¡r': A' x + By + C' z = D' , existen varias posibilidades en cuanto a la

¡r": A" x + B" y + C"z = D"posición relativa entre ellos: pueden ser coincidentes los tres, o dos de ellos y el otro paraleloo cortarlos, pueden ser los tres paralelos, pueden cortarse entre ellos dos a dos, puedencortarse los tres en la misma recta o incluso pueden cortarse los tres en un único punto. Todoello dependerá de los rangos de la matriz de coeficientes (M) y de la matriz ampliada (M'):

i) Si rang(M)=rang(M ')=1 el sistema es compatible indeterminado, pero ademássabemos que todas las filas son proporcionales, por lo que estamos hablando deplanos coincidentes.

ii) Si rang(M)=bó 2=rang(M') el sistema es incompatible, no existe ningunasolución y por tanto existen dos posibilidades: que los tres planos seanparalelos o que dos sean paralelos y el tercero coincidente con uno deellos (esto dependerá de si una de las ecuaciones de proporcional a otra o no).

iii) Si rang(M)=2=rang(M') el sistema es compatible indeterminado, por lo tantotenemos infinitas soluciones. De nuevo tenemos dos posibilidades: que los tresplanos se corten en una recta o que dos sean coincidentes y el tercero loscorte en una recta (este caso ocurrirá cuando dos de las ecuaciones seanproporciona les).

iv) Si rang(M)=2;t 3=rang(M') El sistema es incompatible, es decir no existeninguna solución, o lo que es lo mismo, no hay ningún punto perteneciente a lostres planos a la vez por lo que podemos estar ante tres planos paralelos o dosparalelos y el tercero cortarlos (esta última posibilidad depende de que hayados ecuaciones proporcionales excepto en su término independiente).

v) Si rang(M)=3=rang(M') El sistema es compatible determinado por lo tantotiene una única solución, entonces los tres planos se cortan en un punto. Paracalcular ese punto sólo habrá que resolver el sistema.

DAVID RIVIER SANZ 4/6

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

C) POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

2° BACH(CN)

{AX+BY+CZ = DDados una recta y un plano: r: A'x+By+C'z = D' ,existen varias posibilidades en cuanto

7r : A" x + B" y + C"z = Da la posición relativa entre ellos: Pueden cortarse en un punto, pueden ser paralelos o puedeque la recta pertenezca al plano. Todo ello dependerá una vez más de los rangos de lasmatrices asociadas. En este caso partimos de que el rango de la matriz M no puede ser 1, yaque los dos primeros planos determinan una recta y por tanto no pueden ser paralelos.

i) Si rang(M)=2=rang(M '). El sistema es compatible indeterminado, luego hayinfinitas soluciones, por lo tanto la recta estará contenida en el plano. Y lassoluciones coinciden con los puntos de la propia recta.

ii) Si rang(M)=27o 3=rang(M '). El sistema es incompatible, por lo tanto no existeningún punto en común, es decir, la recta es paralela al plano.

iii) Si rang(M)=3=rang(M'). El sistema es compatible determinado, por lo tantoexiste una única solución, la recta corta al plano (el punto en el que se cortan larecta y el plano será la solución del sistema).

D) POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

r :{AX+BY+CZ = DA'x+By+C'z = D'

Dadas dos rectas: { , existen varias posibilidades en cuanto a su

ax+by+cz = ds :a'x +by +c' z = d'

poslclon relativa: pueden ser coincidentes, pueden ser paralelas, pueden cruzarse (sincortarse) y, por último, pueden cortarse en un punto. De nuevo hay que estudiar los rangosde las matrices del sistema. En este caso el rango de M es al menos 2, ya que cada dosplanos está definida una recta.

i) Si rang(M)=2=rang(M '). El sistema es compatible indeterminado, existeninfinitas soluciones, por lo tanto las dos rectas deben ser la misma, soncoincidentes.

ii) Si rang(M)=27o 3=rang(M '). El sistema es incompatible, por lo tanto no existeningún punto en común. Como el rang(M' )=3, hay un plano que contiene a lasdos rectas, por lo tanto son paralelas (por ser coplanarias y no cortarse).

iii) Si rang(M)=3=rang(M'). El sistema es compatible determinado, por tanto lasdos rectas se cortan en un punto.

iv) Si rang(M)=3 * 4=rang(M '). El sistema es incompatible por tanto no existeningún punto en común, pero en este caso las rectas no son coplanarias, luego secruzan.

DAVID RIVIER SANZ 5/6

TEMA 5.- PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

RESUMEN

2° BACH(CN)

{ ". : Ax + By + Cz = DPOSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS 7[': A' x + By + C'z = D'

M es la matriz del sistema formado Dar los dos Dianas v M' la matriz amDliada.rang(M)=rang(M ')=1

COINCIDENTES

rang(M)=rang(M ')=2

SECANTES

rang(M)=l *- 2=rang(M ')

PARALELOS

. rAx+~+Q~D

POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS 7[': A' X + By + C' z = D'7[": A" X + B" y + C" z = D"M es la matriz del sistema formado por los tres planos y M' la matriz amnliada.rang(M)=rang(M ')=1

COINCIDENTES

PARALELOSrang(M)= 1 *- 2=rang(M ') DOS PARALELOS Y UNO COINCIDENTE

SE CORTAN EN UNA RECTArang(M)=rang(M ')=2 DOS COINCIDENTES Y EL OTRO LOS CORTE EN UNA RECTA

PARALELOSrang(M)=2*- 3=rang(M ') DOS PARALELOS Y EL OTRO LOS CORTA

rang(M)=3=rang(M ')

SE CORTAN EN UN PUNTO

{AX+ By+Cz~ DPOSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO r: A' X + By +C'z = D'7[: A"x+B"y+C"z = D

M es la matriz del sistema formado Dar la recta v el Diana v M' la matriz amDliada.rang(M)=rang(M ')=2

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

rang(M)=2*- 3=rang(M ')

RECTA PARALELA AL PLANO

rang(M)=3=rang(M ')

SE CORTAN EN UN PUNTO

r : { Ax + By + Cz ~ DA'x+By+C'z = D'POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

S: {ax+bY +CZ ~ da' X + by +e'z = d'

M es la matriz del sistema formado Dar las rectas v M' la matriz amDliada.rang(M)=rang(M ')=2

COINCIDENTES

rang(M)=2* 3=rang(M ')

PARALELAS (COPLANARIAS)

rang(M)=3=rang(M ')

SECANTES (EN PUNTO)

rang(M)=3 *- 4=rang(M ')

SE CRUZAN

DAVID RIVIER SANZ 6/6

{.? EC. TA S

fN éL

Puntos

• Las coordenadas de lospuntos representados

s~ ) 1 I .~ en esta figura son:. : ../G y

x)i"ouiiu ...r(O, O,'3); (O, 3, 3); (3, 3, 3); (3, O, 3); (3, 0, O);(3, 3, O); (O, 3, O); (O, 3/2, 3); (0, 3, 3/2);(3, 3/2, O); (3, O, 3/2)

Asocia a cada punto sus coordenadas.

2' ¡Comprueba si los puntos A O, -2, 1), B(2, 3, O)Y C(-l, 0, -4) están alineados.

,.;si Calcula a y b para que los puntos AO, 2, -1),B(3, 0, -2) Y C(4, a, b) estén alineados.

D' . --7 3--7i:i~ ¡Halla los puntos P y Q tales que AQ = -::-AB)

--72--7

AP ="3 AQ, siendo A(2, 0,1) Y BO, 5, -4).

!J: 'Halla el simétrico del punto A (-2, 3, O) respec­to del punto MO, -1, 2).

rty Los puntos AO, 3,-1), B(2, 0, 2) YC(4, -1, -3) son vértices consecutivos de unparalelogramo. Halla el cuarto vértice, D, y elcentro del paralelogramo.

Redas

, ¡Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por

los puntos A (-3, 2, 1) Y B(-;, ;, o).

g Comprueba si existe alguna recta que pase porlos puntos P(3, 1, O), Q(O, -5, 1) Y R(6, -5, 1).

s ~TI Escribe las ecuaciones de la recta que pasa porel punto PO, -3, O) Y es paralela al vector--7 --7. --7 --7U X v, slendo uO, -1, 2) Y v(2, O, O).

s '~II Estudia la posición relativa de las siguientesrectas y halla el punto de corte, cuando seaposible:

x-1 y+2 z-la) r: -3- = -2- = -4-

x+2 _y-3 _z-2s:---------1 2 3

x-1 y-1 z-2b)1': --=--=---1 2 1

x-4 y-4 z-5S·--=--=--. 4 1 2

x z+lc) r: - = y - 1= --

2 3

{'X- 2y- 1 = O

s·. 3y-z+ 1 = O

{x= 3 + 4As:. y = 3 + 6Az= 4 + 8A

s'~;]¡Obtén el valor de a para el cual las rectas r ys se cortan:

r:x = y= z- a

2x-1 y+3 z-2s·---=--=--. 3 -2 O~

Calcula el punto de corte de r y s para el va­lor de a que has calculado .

•e- En s, divide por 2 el numerador y el denomina­dor de la primera fracción.

s íl¿¡, • Halla los valores de m y n para que las rectasr y s sean paralelas:

(;; Escribe las ecuaciones paramétricas y las ecua­ciones implícitas de los ejes de coordenadas.

s 'í (~ ¡Halla las ecuaciones (paramétricas, implícitas,forma continua ... ) de la recta que pasa por elpunto A (-4, 2, 5) Y es paralela al eje OZ. {X = 5 + 4A

r: y = 3 + A

z= - A

x y-1 z+3S:-=--=--m 3 n

521 1¿Son coplanarios los puntos A 0, O,O), B (O, 1, O),C(2,1, O) Y D(-l, 2, 1)?

!En caso afirmativo, escribe la ecuación del pla­!no que los contiene.

523 IEscribe l~ e:uación del piano que pasa por los.puntos SIguIentes:1, 0(0, O, O), A(2, 2, O), B(1, 1, 2)I

524 1 Estudia la posición relativa de la recta y el plano

l¡ siguientes:~_ .1 x- 3 y + 1 z¡r:-2-=-1-= -1,IIn: x - y + Z - 3 = O

1

52~ ¡Determina las ecuaciones paramétricas del pla-

1,no ~u~ contiene al punto P(2, 1, 2) Y a la rec­ta SIguIente:!

1 y-3 z-4r:x-2=--=--I -1 -3!

526 ¡Considera las rectas siguientes:!

Ix - 1 ~ {x - 2z = 5•r: -- = y = z - 2 s:

1 2 x- 2y = 11¡a) Comprueba que r y s son paralelas.i¡b) Halla la ecuación implicita del plano que1 contiene a r y a s.

523 1 Estudia la posición relativa de los hes planos encada uno de los siguientes,.casos:

I {X + 2y - z - 3 = O -.-

1 a) 3y + 2z - 1 = O

1 x+ y+ z-2=0

I {2x-Y+Z-3=O

1 b) x-y + Z - 2 = O

3x-y+z-4=O

{X-Y+Z-l=O

! c) 3x + y - 2z = O

1 2x + 2y - 3z + 4 = O """

5291 Calcula la ecuación del plano que determinan elIpunto A (1, O, 1) .Y la recta:

I r: { x + y - z + 1 = O1 2x-y+2z =0

c) y = 2

{X = 2A

s: y = -1 + A

z= A

b)x =-1

'i S Ia) Balla el vector director de la recta determina-

r . {x- y = O1 da por los planos .¡ y+z=2ií b) Escribe las ecuaciones paramétricas de la rec-

I ta anterior.1@ IExpresa la siguiente recta como intersección de

Idos planos: ~¡ x y+ 1lr:-=--=zi 2 -11

!1

5ti' 1 ¿Se puede construir un triángulo que tenga dos. de sus lados sobre las rectas r y s?1ii! x-l1 r: -- = y = z + 1j 2¡¡i¡¡Planos1¡

: 51~ ¡Halla la ecuación implicita de cada uno de losIsiguientes planos:1

1 a) Determinado por el punto A (1, -3, 2) Y por

I -t -tlos vectores u(2, 1, O) Y v(-l, O, 3).

1b) Pasa por e~unto P(2, -3, 1) Y su vectori normal es n (5, -3, -4).! .

Ix y+1 zc) Perpendicular a la recta ? = -- = - y queI - -1 3¡ pasa por el punto (1, O, 1).¡

~ ~ I¡ Halla las ecuaciones paramétricas e implícitasde los planos Oxy' OYZ, OXZ.Ii

2@ ¡Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos:j

la) z = 3¡i

2! ¡¿Cuáles el vector normal del plano x = -1?¡1 Escribe las ecuaciones de una recta perpendicu-I

1 lar-a ese plano que pase por A (2, 3, O).

522 1 Calcula m y n para que los planos siguientes1 sean paralelos:¡ja:mx+y-3z-1=01

Ip: 2x + ny - z - 3 = O1

I¿Pueden ser IX y pcoincidentes?

Calcula b para que las rectas r y s se corten.¿Cuál es el punto de corte?

x-1 y+5 z+lr·--=--=--. 2 -3 2

x y-b z-ls·_=--=--. 4 -1 2

Halla la ecuación del plano que contiene a la

{X = 2 + 3A

recta r: y = -1- le yes paralelo a:z= le

x-3 y+1 zs·--=--=-. 5 2 -3

s~: iDetermina, en cada' C'dSO, el valor de k paraque las rectas r y S sean coplanarias. Halla,después, el plano que las contiene:

x y-k za) r·-=--=-. 1 1 °

{X = 1+ le

s: y= 1-1ez= -1 + le

b) r: x - 6 = y - 3 _ z - 33 2 --1-

{X = 6 + 61e

s: y = 4 + kle

z= 3 +21e

s:'~é"; Calcula el valor de m para que los puntosAÚn, O, 1), BCO, 1, 2), C(1, 2, 3) Y DO, 2, 1)estén en un mismo plano.

¿Cuál es la ecuación de ese plano?

Dado el plano 1(;: 2x - 3y + Z = O Y la recta

x-1 y-2 z+lr: -- = -- = __ o halla la ecuación del1 -1 2' "

plano que contiene a la recta r y es perpendi­cular al plano 1(;.

Halla las ecuaciones de la recta determinada porla intersección de los planos 1(;1 y 1(;2:

{X = 2 - Jl.1tI: y = 31e + Jl. 1(;2:X +y - z = 3z= 3 - 31e

Halla la ecuación del plano que pasa por lospuntos A(2, 2, 1), B(6, 1, -1) Y C(O, -2, -1)de dos formas distintas:

Estudia la posición relativa de la recta y el planosiguientes:

• El vector dirección de s ha de ser f!mpendicularal vector dii-ección de r y al vector ndFiiUlIdel plano.

b) ¿Existe algún valor de a para el cual r seaperpendicular al plano?

{X - 2z+ 3 = ODados la recta r: 4 _ O Yel plano" y- z- -1(;: X + 2y + 3z - 1 = O, halla la ecuación de unarecta s contenida en el plano 1(; que pase porel punto PC2, 1, -1) Y sea perpendicular al'.

yel plano

1t: Z = 1{X = 3

r:

y=2

\

{3X-y+Z ";0Sean la recta 1":

2x -z+3=0ax - y + 4z- 2 = O.

a) Calcula el valor de a para que r sea para­lela al plano.

Dadas la recta r, determinada por los puntos(1, 1, 1) Y B(3, 1, 2), Yla recta:

{X -2z-1=0s:

y -2=0estudia su posición relativa y halla, si existe, laecuación del plano que las contiene.

b) Llamando ax + by + cz + d = O al plano yobligando a que los tres puntos cumplan laecuación. Se obtiene, así, un sistema de ecua­ciones.

a) Mediante vectores.

Halla la ecuación del plano que. pasa por lospuntos A(1, 3,2) Y B(-2, 5, O) yes paralelo

{X = 3 - le

alarecta y= 2+ A .z=-2 -3A

según los

Estudia las posiciones relativas del plano:

n:x+ ay-z= 1

{2x+y-az= 2r:

x-y- z=a-1y de la recta

valores de a.

Halla las ecuaciones de la recta r que pasa porel punto P(2, O,-1) Y corta a las rectas:

x-2 y-2 z+ls·--=--=--l· 2 -1 1

{x+ y + 4 = Os?:- y-3z+3=O

Dados los planos:

n:ax +y + Z = a y n':X - ay+ az = -1comprueba que se cortan en una recta paracualquier valor de a. Obtén el vector direcciónde esa recta en función de a.

55,2 ¡a) Halla la ecuación de un plano nI que pasapor el punto A (-1, -1, 1) Y cuyo vector nor­mal es v(1, -2, -1).

b) Determina las ecuaciones paramétricas de larecta r que se obtiene al cortarse nI conn2: z-l = o.

r: {3X - 2y + 1 = O2y + 3z- 3 = O

{X + a= 5r·. y+3z=5

TI) Pasa por el punto de intersección de la rectas con el plano n: •

x-l y~3 z+2s·--=--=--. 4 2 3

n: x - y + Z = 7.

Escribe la ecuación del plano que pasa por lospuntos A(1, -3,2) Y ECO, 1, 1) Yes paralelo ala recta:

Halla la ecuación de una recta que cumpla lascondiciones siguientes:

1) Es par<llela a la recta de ecuaciones:

Halla la ecuación de la recta que pasa por elpunto PO, 2, 3) y es perpendicular al planoque pasa por el origen y por los puntosE(1, 1, 1) Y C(l, 2, 1).

4tt, ¡Dados los planos mx + 2y - 3z - 1 = O Y2x - 4y + 6z + 5 = O, halla m para que sean:

a) Paralelos.

b) Perpendiculares.

5¿;¡'@ ¡Escribe la ecuación del plano que contiene a la

{ x+y -1=0recta 1": y es paralelo a2x-y+z =0

s~~~ j Considera las rectas siguientes:

r: { x - 3y + 6 = Oax -3z+3=01-x y z+2s--=-=--

. -2 3 -4·{X - 2ay+ 4a- 1 = O

s:2y- z- 4 = O

=1

548

-7 -7Dados los vectores u (2, 3, 5), v (6, -3, 2),-7 -7W (4, -6, 3), p (8, O, a), y los planos:

-7 -7n: (x, y, z) = (1,2,3) + /"'u + !-lv

-7 -7n': (x, y, z) = (1, 2, 3) + /"'w + !-lP

estudia la posición relativa de n y n' segúnlos valores de a.

Estudia la posición relativa de los siguientes pla­nos según los valores de 1n:

{x+ y

my+ z= O

x + (1 + m)y+ mz = m + 1

a) Averigua si existe algún valor de a para elcual las rectas están contenidas en un plano.En caso afIrmativo, calcula la ecuación de di­cho plano.

b) Determina, cuando sea posible, los valoresde a para los cuales las rectas son paralelasy los valores de a para los que las rectas secruzan.

Halla la ecuación de la recta que pasa porA (1, 1, 1), es paralela al plano n: x - y + z - 3 = O

{x= 1y corta la recta s: .

y=3