TEMA 12.- LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

TEMA 12.- LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

2° BACH(CN)

12.1.- INTRODUCCIÓN

Históricamente, el cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la

obtención de áreas de figuras planas. Los griegos lo abordaron, llegando a fórmulas para el

área de polígonos, círculo, segmentos de parábolas, etc. El método que emplearon consistía

en aproximar exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de

áreas conocidas.

Este procedimiento original de Eudoxo (406 a.e. - 355 a.e.) fue utilizado por Euclides

(hacia 300 a.e.) 'i por Arquímedes (286 a.e. - 212 a.e.).

Arquímedes calculó el área de un círculo aproximándolo, por defecto y por exceso, por

las áreas de polígonos regulares inscritos y circunscritos, respectivamente, con un número

elevado de lados:

Hacia el siglo XVI de nuestra era, este método pasó a llamarse método de exhaucióno método exhaustivo.

Basándose en ese método, los matemáticos del siglo XVII (Newton, Leibniz, etc.)

introdujeron el concepto más general de inteClral definida de una función, f, en un

intervalo. Este concepto fue posteriormente mejorado por Cauchy (1789-1857) y por

Riemann (1826 - 1866).

a

DAVID RIVIER SANZ

Figura 1

b

Figura 2

1/6

TEMA 12.- LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 2° BACH(CN)

El proceso que siguieron fue el siguiente:

Querían calcular el área que hay entre una función f(x) , el eje X y las abscisas x = a y

x = b. Se divide el intervalo [a,b] en n partes (no necesariamente iguales):

Por un lado, se construyen rectángulos de base

m¡ = mín(f(xi-!),f(xJ), dándonos como resultado una colección de rectángulos como los de

la Figura 1.

Por otro. lado, se construyen rectángulos de la misma base, pero de

alturaM¡ = máx(f(xi-!),f(xJ), obteniendo la situación presentada en la Figura 2.

Si sumamos el área de todos los rectángulos de la Figura 1 obtenemos una

aproximación por defecto del área que buscamos:n

m¡(x1 -xO)+m2(x2 -x¡}+ ... +mn(xn -xn_I)= ¿m¡(x¡ -Xi-!)¡=I

Si lo hacemos en la Figura 2 obtenemos una aproximación por exceso:n

M1(x1 -xO)+M2(X2 -x¡}+ ... +MJxn -Xn_¡} = ¿M¡(x¡ -Xi-!)¡=I

Evidentemente si el número de partes en el que dividimos el intervalo lo aumentamos,

el error que cometeremos será menor. y si en vez de coger el valor máximo o el mínimo de la

función en cada intervalo, tonamos un valor intermedio, la aproximación también será mejor

todavía.

Lo que tenemos es la siguiente situación:n n

S = ¿m¡ (X¡ - X¡_I)::; Área buscada::; ¿Mi (X¡ - Xi-!) = S¡=I i=1

12.2.- LA INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES.

Integral definida de una función continua

Sea f(x) una función continua en [a,b] tal que f(x);::: O. Llamamos r f, y se lee

integral entre a y b de f al área que hay entre la gráfica de f(x), el eje X y las abscisas

x=a y x=b.

A a y b se llaman límites de integración.

También se designa por r f(x) y por r f(x)dx.

Para calcular el área procederemos como se ha explicado en el punto anterior, cogiendo

particiones del intervalo cada vez más "finas", obteniendo así una sucesión aproximaciones

por defecto y otra por exceso:

DAVID RIVIER SANZ 2/6

TEMA 12.- LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

Propiedades

1.- ff(x)dx=O.

2.- r f(x) dx > O .

2° BACH(CN)

3.- Si la función es negativa, es decir está por debajo del eje X, el cálculo del área se

hará poniendo un signo menos delante de la integral.

4.- Si e es un punto interior al intervalo [a,b], se puede hacer el cálculo del área

descomponiendo en dos intervalos: r f(x)dx = f f(x)dx + r f(x)dx .

5.- Al cambiar los límites de integración, la integral cambia de signo:

r f(x)dx = - r f(x)dx

6.- r [¡(x) ± g(x)]dx = r f(x)dx ± r g(x)dx

7.- Si k es un número real, se verifica: r k· i(x)dx = k r f(x)dx

8.- Si f(x)::; g(x) \Ix E [a,b], entonces se verifica:

12.3.- TEOREMAS DEL CÁLCULO INTEGRAL

r f(x)dx ::; r g(x)dx

Teorema del valor medio (TVM) del cálculo intearal

Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces existe un

e E (a,b), tal que:

r f(x)dx = f(c)(b - a)

Cuando f(x) es definida positiva en el intervalo [a,b], este teorema significa

geométricamente que el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje X y entre

las abscisas x = a y x = b, es igual que el área del rectángulo cuya base es la longitud del

intervalo [a,b] y la altura es la ordenada correspondiente a un valor e E [a,b].

DAVID RIVIER SANZ 3/6

TEMA 12.- LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 2° BACH(CN)

El siguiente teorema relaciona la integral indefinida de f con sus primitivas. Ello nospermitirá calcular integrales definidas.

Teorema fundamental del cálculo intearal

Si j(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es la función:

F(x) = r j(t)dt con x E [a,b]

entonces F es derivable en [a,b] y además

F'(x) = j(x) Vx[a,b]

12.4.- REGLA DE BARROW

Teorema

Si j(x) es una función continua en [a,b] y F es una primitiva suya, entonces:!j(x)dx = F(b)- F(a)

Regla de Barrow

Para calcular la integral r j :

1°- Buscamos una primitiva F(x), de j(x): F(x) = fj(x)dx.

20- Calculamos F(b) y F(a).

3°- Hacemos r j(x)dx = [F(x)t:~ = F(b)-F(a)

12.5.- CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE INTEGRALES

Cálculo del área encerrada bajo una curva

Para calcular el área encerrada bajo una curva (es decir, el área encerrada entre lagráfica de una función, el eje X y entre las abscisas x = a y x = b) procederemos de lasiguiente forma:

10.- Resolveremos la ecuación j(x) = O (obtenemos los puntos de corte con el eje X).

20.- Escogemos las raíces del apartado anterior que estén dentro del intervalo [a,b].

3°. - Dividi mos: Área = r j(x)dx = I f j(x)dxl + I r j(x )dxl + ...+ I { j(x )dxl

DAVID RIVIER SANZ 4/6

TEMA 12.- LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 2° BACH(CN)

~ Ejemplo: Hallar el área comprendida entre la curva y = x3 -x, el eje X y las rectas

x=O y x=2.

Nos piden calcular r (x3 - x ~ .

Primero buscamos los puntos en los cuales f(x) = O, es decir,

x3 - X = O <=> x = O, x = -1 Y x = 1.

Ahora cogemos las raíces que estén en [a,b], y dividimos el intervalo: [0,2]= [0,1]u(1,2]

( \.3-. x4 x2Calculamos'una primitiva de y = x3 -x: J x3 -xfU = ---4 2

Por último:

Área = r(x' -x}tx ~ I!(x' -x}txl+!f (x' -x}txl ~ [x: - x; [ + [x: - x; I>=c; _1~)_(0:_0;)+(2: _2;)_(~ <) =1~lH2+:I~~u2

Cálculo del área encerrada entre dos curvas

Para calcular el área encerrada entre dos curvas f(x) y g(x) en un intervalo [a,b] es

igual al área encerrada por la función h(x) = f(x)- g(x), el eje X y las las abscisas x = a y

x = b. Por tanto, definiremos h(x) y procederemos como en el apartado anterior.

y = f(x)

x

~ Ejemplo: Hallar el área comprendida entre las curvas de las funciones y = x4 - x + 1

e y = x4 - x3 + 1 y las rectas x = O Y x = 2 .

Definimos una nueva función como la diferencia de ambas

h(x) = (x4 - x + 1)- (x4 - x3 + 1)= x3 - X , entonces el área que nos piden es:

Área = r (x3 - x ~ = %u2 (la misma que en el ejemplo anterior).

DAVID RIVIER SANZ 5/6

TEMA 12.- LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. 20 BACH(CN)

~ Ejemplo: Dos hermanas heredan una parcela que han de repartirse en partes

iguales. La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = 1.

Deciden dividir la parcela mediante una recta y = a, paralela a la recta y = 1. Halla el valor

de a.

Luego el área determinada

2U.

4

3Al ~ l,(1-X2)d<+<1

Las intersecciones de y = a con y = x2 son (.J;",a) y (-.J;", a).

AComo queremos que A2 =_1

2

12.6.- VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

Recibe el nombre de cuerpo o sólido de revolución, el cuerpo generado al girar

alrededor del eje X, la región limitada por la gráfica de la curva y = f(x), el eje X y las

gráficas de las rectas x = a y x = b. El eje X es un eje de simetría de dicho sólido y una

sección recta perpendicular al eje X es un círculo.

El volumen del cuerpo de revolución engendrado por

alrededor del eje X viene dado por la fórmula:

X E [a,b] al girar

~ Ejemplo: Halla el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del

. x2eJe X la curva y=-+l entre las rectas x=-l y x=2.

2

DAVID RIVIER SANZ 6/6

TEMA 12: LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES - EJERCICIOS RESUELTOS

Integral definida

Calcula la integral:

J4 (x2 + x -2)dx-1

Calculemos una primitiva de la función f(x) = x2 + x - 2:

J2 x3 x2G(x) = (x + x - 2)dx = - + - - 2x

3 2

Según la regla de Barrow:

J4 (X2 + x- 2)dx = G(4) - G(-l) =-1

= (~+ 42 _ 2.4) _ [(-1)3 + (_1)2 _ 2(-1)] = 128 _12 = 11532 3 2 666

La función corta al eje X en -2 y en 1. Para hallar el área, habrá quecalcular por separado el área entre -1 y 1 Y entre 1 y 4, cambiar de sig­no la negativa y sumarIas.

2 Área bajo una curva

Calcula el área que determinala curva

y=x2+x-2con el eje X entre las abscisas-ly4. J1 ? [x3 x2 ]1(x- + x - 2)dx = - + 2-2x-1 3-1

J4 [x3 x2 ]4(x2 + x - 2)dx = - + - - 2x =

1 3 2 1

Área' 1Q + 135 = 155 = 25 83 u2. 6 6 6 '

Este problema no es el mismo que el anterior,en el que la integral calculada nos da el resul­tado de restarle al área sobre el eje X (entre1y 4) el área bajo el eje X (entre -1 y 1).

3 Área baio una curva

Halla el área de la regi6n delplano encerrada por la curvay = ln x entre elpunto de cortecon el eje OX y el punto deabscisa x ='e.

• Resolvemos la ecuación In x = O ~ x = 1

La curva corta al eje OX en el punto de abscisa x = 1.

Entre 1 y e no hay raíces.

• .Primitiva de y = In x: G(x) ~ J In x dx = x In x - x (por partes)

• G(1) = 1 In 1 - 1 = -1; G(e) = e In e - e = O

· J; In x dx = G(e) - G(1) = 0- (-1) = 1; Área = 1u2

4 Área limitada por una curva y el eje OX

Calcula el área entre la curvay = x3 - 5x2 + 6x y el eje X

Hallamos el área sin dibujar el recinto:

- Resolvemos la ecuación x3 - 5x2 + 6x = O.

Las soluciones soo x = 0, x = 2 Y x = 3.

- Calculamos una primitiva de la función:

f o ? 6 x4 5x3 ?GCx)= (x:>-5x~+ x)dx=----+3x~

- 4 3

- Obtenemos el valor de la primitiva en cada uno de los puntos anteriores:

GCO)= O G(2) = ~3

G(3) = 2­4

- Calculamos la integral en cada tramo:

f2 fex)dx = GCl) - GCO)= ~O 3

f3 j(x)dx = G(3) - G(2) = 2- - ~ =_22 ' 4 3 12

-Área: ~ +1_21 = 37 23 12 12 u

5 Área entre dos curvas

Halla el área limitada por lasx2

parábolas y = - e y2 = 2x.2Representa el recinto cuyaárea sepide.

x2Representamos las dos parábolas, y = -,2

de eje vertical, e y2 = 2x, de eje horizontal, yhallamos sus puntos de corte:

? }

x-

-,Y = 2 x = 0, x = 2y2 = 2x

2

El área pedida es la comprendida entre las curvas Y = ~ e Y = &,- 2 -

que es igual al área comprendia entre la función diferencia'; a la que lla­mamos h (x), y el eje ox.

, x2 _ r;:::- f( x2 - r;:::-) 1 3 2{2 3/2hex) = - - 'I2x' G(x) = - - 'I2x dx = -x - --x'

2' 2 6 3

6 Área entre dos curvas

Geo) = O; G(2) = 8 _ 2{2 {86 3

f2 h (x) dx = G(2) - GeO) = -~.o 6', 8? 4 ?Area = - u- = - u-

6 3

Calcula el área comprendidaentre las curvas f y g:

f(x) = x4 + 5x3 -7x2 +2x-1

g(x) = x4 +4x3-8x2 + 4x-1

El área entre estas curvas es igual al área comprendida entre la funcióndiferencia y el eje X.

.lex) - gex) = x3 + x2 - 2x; fex) - g(x) = O -7 X = -2, x = 0, x = 1

f 2 ?x4 x3 ,Gex)= ex:>+x--2x)dX=T+3-x2

Ge-2) = _E. GCO) = o·12 ' ,

5

G(1) =-)'2

fo

_)(f - g) ex) dx = GCO) - Ge-2) = 321

_ 12

1 Área = 32 + 5 - 37 ?

50'!- g)(x) dx = G(1) _. G(O) = _2- 12 U - 12 u-12

7 Área de un recinto

Calcula el área del recinto co­loreado, donde la ecuación dela parábola es y = X2 - 1 Y lade la recta es y = 5 -x.

8 Área de un recinto

Obtenemos el punro A resolviendo el sistema:

F = x2 - 1 } x = 2Y = 5 - x x = -3 -1 No nos interesa.

Calculamos el área del recinto ABC como suma

de los recintos R] y R2.

2 [x3 ]2_2 (_2)=j,jR.1 = f 1 (x2 - Udx = 3. - X 1 - 3 - 3 3 Área = R) + R2 =

] - - 9 35 2

- ) ~ 7) = _ uR = f ~(5 - x) dx = [5x - x- . = ~ - 8 = '2 62· 2) _2 _

Representamos las rectas y la parábola para iclentificar el recinto.Calcula el área del recintoplano limitado por las l'ectasy = x, y = 2x y la parábola

?y =X-.

Puntos de corte:

y = x }y=2x x=O y=:\",}.:r=oy = x- x = 1))= 2xy = x2 } x = O

x=2

9 Volumen

Halla el volumen del cuerpo derevolución engendr:¡do al gi­rar alrededor del eje X lacurva

x2y=-+12entre las rectas x = -1 Y x = 2.

10 Volumen

Descomponemos el recinto OAB en Sllma deR¡ y R2.

f] .. [ )]1 1R¡ = <2x - xJd'X = x- =-:-

() 2 11 2

. f 2 ) [) x3 ] 2 /Rz = )(2x - x~)dx = x- - 3- 1 = :3

A'j'e'¡ - R + R 1 2 7 )< - 1 ? = - + - = - u-

~ 2 3 6

f2 f2 (X2 )2V = n: _11(x)2 dx = 11: -1 2 + 1 dx =

= n: f~) (:4 + x2 + 1) dx =

[ x5 x3 ] 2 [ 94 (83 )]= n: 20 + 3 + x -1= n: 15- -60 = 7,65 n: u3

Se hace exactamente igual que al girar en torno al eje X, pero ponien­do la función x = gCy). Así:

Halla el volumen engendradopor la curva y = -G al girar al­rededor del eje Y entre y = O ey=2. '

V = n: f: gCy)2 dy

En este caso: y = ~ -1 x = y2

i·--!-~Il~l i i I

1 ¡ : 1 \! ¡ ! ! ¡

1_1 1 ¡-, -:----:., ¡

¡ I ¡ fUI

ll,LLJ¡ ¡ ¡ ¡ :

f2 [ 5]2 3/V = n: ey2)2 dy = n: ~ = --7- n: u3

o ) o )

11 Volumen de una eS'¡:era

Calcula el volumen de la esferaengendrada por la semicircun­ferencia de centro C(3, O) yradio 2 al girar alrededor deleje OX

En primer lugar, escribimos la ecuación dela circunferencia de centro (3, O)Yradio 2:

ex - 3)2 + y2 = 4 -7 x2 - 6x + 5 + y2 = O

Una de las semicircunferencias es:

y = .y_x2 + 6x - 5

Los límites de integración son los puntosdonde la curva corta al eje OX:

12 Función integral

x?

Sea F(x) = L- (t2 -l)dt.

Halla los puntos extremos dedicha función.

x=ly=O => x2-6x+5=0< x=5

Por tanto, el volumen de la esfera es:

f5 ( )2 [ x3 ]5 ( 25 7 )V = re "1/ _x2 + 6x - 5 dx = re - - + 3x2 - 5x = re - + -

1 . 3 1 3 3

32re 3V=--u3

Por el teorema fundamental del cálculo, sabemos que:

F'(x) = [(x2i -1] 2x = 2x5 - 2x

Para ver cuáles son los posibles puntos extremos, hacemoJ "F'(x) = O Yobtenemos:

{FII(O) < O

F"(x) = 10x4 - 2 FilO) > O

F"(-l) > O

Hay un máximo relativo en xl = O Y dos mínimos relativos en x2 = 1 Yen x3=-1.

Los valores de estos extremos son:

f o f 1 [ t3 ]1 2FeO) = (t2 - l)dt = - (t2 - l)dt = - - - t =-

1 o 3 o 3

FO)= f: (t2-l)dt=O

F( -1) = f: (t2 - 1) dt = O

Máximo: (O, ~)

Mínimos: 0, O) Y (-1, O)

521 : Dihuja el recinto comprendido entre bs gr:'ític:¡,;

Representa la funciÓn g y calcula el valor de. ]:IS siguientes integrales ckfiniebs:

• ¡

.1= J g(xJc!.\·]

$19 •Si fe>;'} = {+ y gCx) = 11 - xl:

527 . Se consideran las curvas' l' = x2 e J' = a. don-de O < C/ < 1. Ambas curvas se cortan en el

'punto . exo' Yo) con abscisa positiva. Halla a. s:lhiendo que el área encerrada entre ambas

•curvas desde x = O hasta x = :\:1) es igual a lat:ncerrad<l entre ellas desde ,:\:= Xu hasta x = 1.

s~a Se:1i1 l' = a.\,2 e y = ay + a bs ecuaciones de

un:l parjhob p v de lIn:! recl:t r, respectiva­mente. Demuestra las siguientes afinl1<lciones;

toma valores positivos y negativos, halla el valorde 1<, de forma que el área de la regiÓn limitadapor e] eje X, las rectas x = -1, x = 2 Y la cur­va fCx) quede dividida por el eje X en dospartes con igual área.

Calcula a, b, e y d.

526 Teniendo en cuenta que la funciÓn:

ley) = 2x'-\ - 3.),,2 + k

b) Si St: duplica el valor de a, también se du­plica d :in:a encerrada entre p y r.

a) Lus plintos de corte de jJ )' r ne, dependencid valor de a.

525 De la funciÓn ¡ex) = ax3 + hx2 + ex + d se sabe

que tiene un m::íximo relativo en x = 1, un pun­]

; to de int1exiÓn en (O, ()) y que f fex)dx = 2.. o 4

l' = x . .1' = Hx. l' halla

si -2 S; x < O

si O S; x < 2

si 2 < x S; 4

1J' = ----, .

. .\'-

I)-E F'/ij\J l b A.-

{x2

g(x) = 2x

10 - 3x

: de ]a, funcione"

520 Se consider<\ la funciÓn;

f'"K = _.~,q(~\')dy

1= fl g(,\'Jd.\'-2

. a) Dibuja las do;; gr::íficas en un l11i;;n1,Oplano yhalla sus puntos de intersecciÓn ..•.. ··

. b) Determina el área del recinto encerrado entreambas gráficas.

:r. "Jr-E GRAL.

s3 1 Halla el valor de la integral definida de la fun­1

ción ¡(x) = -- - 3 Gas (2TC.-"C) en el intervalo, x+l

11= [O, 2].¡

57 1 Calcula el área de la región limitada por la curvay = (x - 1)2 (x + 1) y las rectas y = O, x = 2,x= 1.

s8 ICalcula el área de la región limitada por la curvax

y = 2 Y las rectas x = 2, x = 3, Y = O.x -2

EJ"€R..CI ClOS TéM~ .1 Z

1 f1t/452 Calcula: sen x Gas x dx

. o

s 1O I Cal~ula el área comprendida entre las curvas da­das en cada uno de los ejercicios siguientes:

a) y = 4 - x2; y = 8 - 2x2

b) y = x2; y = 4 - x2

c) y = x3 - 3x2 + 3x; y = x

d) y = x(x - 1) (x - 2); Y = O

e) y = x2; y = 1

f) Y = x2 - 2x; y = _x2 + 4x

g) y = _x2 + 4x - 4; Y = 2x - 7

529 HalLl el volumen del cuerpo limitado por la

36 ,Calcula el valor de a para que el área de la re­

· gión limitada por la curva y = -x2 + a.x: y el eje'X sea igual a 36.

35 .Sabiendo que el área de la región comprendida

entre la curva y = x2 y la recta y = hx es igual· 9· a -, calcula el valor de b.2

s 11 IDibuja y halla el área de la región limitada porla curva:

y = xC3 - x)

y la recta y = 2x- 2.

518 .Halla el área comprendida entre 1:1 curva:4

)1=-- .. 9 + 2x2

. el eje de abscisas y las rectas vel1icale;; que pa;;an•por los puntos de int1exión de dicha curva.

SlI :11'<:a .

522 C¡Jcula el in::1 cld recinto pbno limitado por la'Ctlr":l l' = .y2e" y l:is rectas x = O Y x = 'i.

523 .J J:¡!!:t el po!ino1l1io de segundo grado que pasapor los punlos en, 1) Y U, ()), sahiendo lJue el

• :.írea limitada por eS:1curva, el eje Y y e] eje X, positivo es .j/.~.

524 :Dada la curva y = x2 + 2.>;'+ 2, halla el :.írea

. limitada por la curva, la recta tangente en elpunto dunde la funciÓn tiene un extremo y latangente a la curv:1 con pendiente 6.

), x- .,

eiJpse -;:- + J'- =2) -

alrededor de ox.

::¡) dar una vuelta completa