estadÍstica (grupo 12personal.us.es/aggonzalez/docencia/tema_5.pdfrelación con las medidas de...

CAPÍTULO II.- ANÁLISIS DE UNA CARACTERÍSTICA (DISTRIBUCIONES

UNIDIMENSIONALES)

ESTADÍSTICA (GRUPO 12)

TEMA 5.- MEDIDAS DE DISPERSIÓNDE LA DISTRIBUCIÓN

DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

2© Antonio Pajares Ruiz

1. CONCEPTO DE DISPERSIÓN.

Definición

Grado de variabilidad existente en torno a los distintos valores de la distribución de frecuencias.

Relación con las medidas de posición de tendencia central

Interesan aquellas medidas que se expresen en relación a una determinada medida de posición central:

A mayor distancia entre dicha medida y el conjunto de valores, mayor será la dispersión existente en la distribución.Cuanto menor sea dicha separación, menor será tal dispersión.

Cuanto menor sea la dispersión respecto de una determinada de posición, mayor será la representatividad de dicha medida.


2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.

Concepto

Son aquellas que vienen expresadas en la misma unidad de medida que la variable.

Estas medidas no sirven para establecer comparaciones sobre la dispersión existente en distintas distribuciones.

Medidas elementales

Recorrido: R = xmáx- xmín

Recorrido intercuartílico: RIC = C3- C1

Recorrido interpercentílico: RIP = P99- P1


máx mínR x x= −


Ej.: Analizar la dispersión existente en la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un colectivo de 15 personas, a través del cálculo de las medidas elementales correspondientes.

15

14

11

5

Ni

1

3

6

5

ni

4

2

1

0

xiRecorrido: R 4 0 4 hijos= − =

315 11,25

4⋅ =

Recorrido intercuartílico:

115 3,75

4⋅ =

3C 2=

1C 0=

IC 3 1R C C= −

ICR 2 0 2 hijos= − =

9915 14,85

100⋅ =

Recorrido interpercentílico:

99P 4= 1P 0=115 0,15

100⋅ =

IP 99 1R P P= − IPR 4 0 4 hijos= − =


( )k

i ii 1

P

x P nDM

N=

− ⋅=∑

2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.DESVIACIONES MEDIAS RESPECTO

DE UNA MEDIDA DE POSICIÓN P

Desviación mediarespecto de P:

k

i ii 1

P

x P nDAM

N=

− ⋅=∑

Desviación absoluta media respecto de P:

( )k

2

i ii 1

P

x P nDCM

N=

− ⋅=∑

Desviación cuadrática media respecto de P: Medidas de dispersión óptimas

Son aquellas que, para una determinada medida de posición P, determinan valores mínimos para tales desviaciones.


( )k

i ii 1

P

x P nDM

N=

− ⋅=∑

2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.DESVIACIONES MEDIAS RESPECTO DE UNA MEDIDA DE

POSICIÓN P: MEDIDAS DE DISPERSIÓN ÓPTIMASDesviación media respecto de P

( )k

i ii 1

x

x x nDM 0

N=

− ⋅= =∑

P x=

( )k

2

i ii 1

P

x P nDCM

N=

− ⋅=∑

Desviación cuadrática media respecto de P

La desviación cuadrática media de los diversos valores de la variable respecto de la media aritmética se denomina varianza.

( )k

2

i i2i 1

x x

x x nDCM s

N=

− ⋅= =∑

P x=


2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.DESVIACIONES MEDIAS RESPECTO DE UNA MEDIDA DE

POSICIÓN P: MEDIDAS DE DISPERSIÓN ÓPTIMAS

k

i ii 1

P

x P nDAM

N=

− ⋅=∑

Desviación absoluta media respecto de Pk

i ii 1

Me

x Me nDAM

N=

− ⋅=∑

P Me=

k

i ii 1

P0

x P nDAIM

Nlímε

=

ε→

− ⋅=

∑

Desviación absoluta infinitesimal media respecto de P

k

i ii 1

Mo0

x Mo nDAIM

Nlimε

=

ε→

− ⋅=

∑

P Mo=

j jMo

N n nDAIM 1

N N−

= = −



113305

|xi-Me|·ni

1514115Ni

151365ni

4TOTAL

210xi

Ej.: Determinar para la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un colectivo de 15 personas las correspondientes medidas de dispersión absolutas óptimas respecto de mediana, moda y media aritmética.

DESVIACIONES MEDIAS RESPECTO DE UNA MEDIDA DE POSICIÓN P: MEDIDAS DE DISPERSIÓN ÓPTIMAS

Desviación absoluta media respecto de la mediana

Me 1 hijo=

N 157,5

2 2= = k

i ii 1

Me

x Me nDAM

N=

− ⋅=∑

Me

0 1 5 ... 4 1 1DAM

15− ⋅ + + − ⋅

= Me

11DAM 0,7333 hijos

15= =



1514115Ni

151365ni

4TOTAL

210xi



Desviación absoluta infinitesimal media respecto de la moda

Mo 1 hijo=

jMo

nDAIM 1

N= −

Mo

6DAIM 1 0,6

15= − =



16,93338,60442,61330,02675,6889

(xi-Media X)2·ni

151365ni

4TOTAL

210xi



Desviación cuadrática media respecto de la media aritmética

x 1,0667 hijos=

( )k

2

i i2 i 1x

x x ns

N=

− ⋅=∑

( ) ( )2 2

2 2x

0 1,0667 5 ... 4 1,0667 1s 1,1289 hijos

15− ⋅ + + − ⋅

= =


50153192,5190-195116,666715TOTAL

12104Ni

18,33335

43,3333|xi-Me|·ni

2185180-1906175170-1804165160-170nixiALTURA


Ej.: Determinar para la distribución de la variable “Altura en cm.”, definida sobre 15 personas, las correspondientes medidas de dispersión absolutas óptimas respecto de mediana, moda y media aritmética.


Desviación absoluta media respecto de la mediana (175,83)

Me

116,67DAM 7,78 cm.

15= =

k

i ii 1

Me

x Me nDAM

N=

− ⋅=∑

Me

165 175,83 4 ...DAM

15192,5 175,83 3

15

− ⋅ + +=

+ − ⋅





Desviación absoluta infinitesimal media respecto de la moda

jMo k

ii 1

dDAIM 1

d=

= −

∑

Mo

0,6DAIM 1 0,6667

1,8= − =

1,815-Total

0,635190-195

0,20,60,4di

210180-190610170-180410160-170niaiALTURA

Consideraremos los valores aproximados calculados según el primer criterio: 173,33 y 190.





Desviación cuadrática media respecto de la media aritmética

( )

( )

2

2x

2

165 177,17 4 ...s

15

192,5 177,17 315

− ⋅ + +=

+ − ⋅2 2x

1448,33s 96,56 cm.

15= =

Dado un valor de 177,17 para la media.

705,33577,53192,5190-1951448,332657,515TOTAL

3701050660xi·ni

122,722185180-19028,176175170-180592,114165160-170

(xi-Media)2·ninixiALTURA ( )k

2

i i2 i 1x

x x ns

N=

− ⋅=∑



VARIANZA

Concepto

Es la desviación cuadrática media de los diversos valores de la variable respecto de la media aritmética

Es la medida de dispersión absoluta óptima respecto de la media aritmética.

Viene expresada en las mismas unidades de medida de la variable,pero al cuadrado.

( )k

2

i i2 i 1x

x x ns

N=

− ⋅=∑

k2i i

2 2i 1x

x ns x

N=

⋅= −∑



VARIANZA

Propiedades

1. La varianza siempre es un valor mayor o igual que cero, siendo únicamente nula cuando la variable toma un solo valor.

2xs 0≥

i iy x a= +

2. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma les sumamos una constante a cualquiera (cambio de origen en la variable), la varianza de la variable transformada no varía respecto de la correspondiente a la variable primitiva.

2 2y xs s=


2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.VARIANZA

Propiedades

( )i iy b x ; b 0= ⋅ ≠

3. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma los multiplicamos por una constante b cualquiera, distinta de cero, (cambio de escala en la variable), la varianza de la variable transformada será igual a dicha constante elevada al cuadrado por la varianza de la primitiva.

2 2 2y xs b s= ⋅

( )i iy a b x ; b 0= + ⋅ ≠

4. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma les multiplicamos por una constante b cualquiera, distinta de cero, y a su resultado, les sumamos una constante a cualquiera, la varianza de la variable transformada será igual a la primera constante elevada al cuadrado por la varianza de la variable primitiva.

2 2 2y xs b s= ⋅



Propiedades

'i i i

i i

n k n ; x

y x

= ⋅ ∀

=

5. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a las frecuencias de todas los valores de la misma les multiplicamos por una constante k cualquiera, distinta de cero, la varianza de la variable transformada no variará respecto de la varianza de la variable primitiva.

2 2y xs s=

6. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X referida a una población, que se puede dividir en dos o subpoblaciones disjuntas entre si, la varianza de la variable se puede definir a partir de las varianzas y medias de esa variable para cada una de las subpoblaciones.


6. Descomposición de la varianza en una población desde las distribuciones de dos ó más subpoblaciones:

nhxh

Frec. Abs.Vals. X

NTOTALnkxk

n2x2

......nh+1xh+1

......

n1x12 2

2 1 1 2 2x

2 21 1 2 2

N s N ss

N NN (x x N (x x) )

N N

⋅ ⋅= + +

⋅ − ⋅ −+ +


Propiedades

N1 observ.

Media: 1x

Varianza:21s

N2 observ.

Media: 2x

Varianza:22s



DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR

Concepto

Es la raíz cuadrada con signo positivo de la varianza.

Es la media cuadrática de las desviaciones de los diversos valores de la variable respecto de la media aritmética.

Viene expresada en las mismas unidades de medida de la variable.

2x xs s= +

k2i i

2 2i 1x

x ns x

N=

⋅= + −

∑( )k

2

i ii 1

x

x x ns

N=

− ⋅= +

∑




Algunas propiedades (Recapitulación)

x x1. s 0 y s 0 si X toma un solo valor≥ =

i i2. y x a= + y xs s=

( )i i3. y b x ; b 0= ⋅ ≠ y xs b s= ⋅

( )i i4. y a b x ; b 0= + ⋅ ≠ y xs b s= ⋅



151365ni

4TOTAL

210xi

Ej.: Determinar la desviación típica de la variable “Número de hijos”, definida sobre un colectivo de 15 personas.


xs 1,1289 1,0625 hijos= + =

2 2xs 1,1289 hijos=

A partir del valor de la varianza, anteriormente calculado, concretamos el valor de la desviación típica.

Ej.: Determinar la desviación típica de la variable “Altura en cm.”, definida sobre un colectivo de 15 personas.

xs 96,5556 9,8263 cm.= + =

2 2xs 96,5556 cm.=

A partir del valor de la varianza, anteriormente calculado, concretamos el valor de la desviación típica.

3190-19515TOTAL

2180-1906170-1804160-170niALTURA


2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

Ej.: Después de analizar la distribución de la variable “Altura en cm.” de 15 personas, se comprobó que en todas las observaciones se habíamedido 0,1 cm. de más, por error del instrumento utilizado. Queremos conocer de qué forma afectaría ello a la varianza y desviación típica de la variable “Altura en metros”.

xs 9,8263 cm.=

2 2xs 96,5556 cm.=

X: Altura en centímetros(medición original)

Y: Altura en metros (medición corregida)

0,1 1Y X

100 100= − + ⋅

X 0,1Y

100−

=

y

1s 9,8263

100= ⋅

22y

1s 96,5556

100⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

ys 0,0983m.=2 2ys 0,0097m.=


2. MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS.CUASIVARIANZA

Concepto

Es igual a la suma de las desviaciones cuadráticas de los diversos valores de la variable respecto de la media aritmética dividida entre el total de observaciones menos uno.

Cuando el número de observaciones es suficientemente grande, losvalores de cuasivarianza y varianza prácticamente coinciden.

Se utiliza, en lugar de la varianza, para la estimación en el ámbito de la inferencia estadística, por sus mejores propiedades.

( )k

2

i i2 i 1cx

x x ns

N 1=

− ⋅=

−

∑ 2 2cx x

Ns s

N 1= ⋅

−( )

k2

i i2 i 1cx

x x nN

sN N 1

=

− ⋅= ⋅

−

∑

n → ∞ 2 2cx xs s→



CUASIDESVIACIÓN TÍPICA

Concepto

Es igual a la raíz cuadrada con signo positivo de la cuasivarianza.

Suele determinarse en las calculadores y en distintos programas informáticos bajo la notación de σn-1, en tanto que la desviación típica se calcula bajo la notación de σn.

2cx cxs s= + 2

cx x

Ns s

N 1= + ⋅

− cx x

Ns s

N 1= ⋅

−



151365ni

4TOTAL

210xi

Ej.: Determinar los valores de la cuasivarianza y de la cuasidesviacióntípica de la variable “Número de hijos”, definida sobre 15 personas.

CUASIVARIANZA Y CUASIDESVIACIÓN TÍPICA

2 2cx

15s 1,1289 1,2095 hijos

14= ⋅ =2 2

xs 1,1289 hijos=

A partir del valor de la varianza, anteriormente calculado, concretamos el valor de la cuasivarianza, y desde éste, él de la cuasidesviación típica.

Ej.: Determinar los valores de la cuasivarianza y de la cuasidesviacióntípica de la variable “Altura en cm.”, definida sobre 15 personas.

cxs 10,1712 cm.=3190-19515TOTAL

2180-1906170-1804160-170niALTURA

cxs 1,0998 hijos=cxs 1,2095= +

Operando de igual forma que en el ejemplo anterior:

2 2cx

15s 96,5556 103,4524 cm.

14= ⋅ =2 2

xs 96,5556 cm.=

cxs 103,4524= +


3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS.

Concepto

Son aquellas medidas que cuantifican el grado de variabilidad existente entre los valores de la distribución y que no vienen expresadas en unidad de medida alguna (adimensionales).

A través de las mismas, es posible comparar la dispersión existente en distintas distribuciones.

Sería deseable que la medida de dispersión, aparte de ser adimensional, hiciera referencia a una determinada medida de posición, para valorar así su representatividad.



máxx

mín

xA

x=

COEFICIENTE DE APERTURA O DE DISPARIDAD

Inconvenientes

Si el valor mínimo es nulo, no sería posible determinarlo.Si alguno de los valores es negativo, su resultado no es representativo directamente.

Ej.: ¿Cuál sería el coeficiente de apertura para la distribución del “Nº hijos” de 15 personas?

151365ni

4TOTAL

210xi

x

4A

0=

Ej.: ¿Cuál sería el coeficiente de apertura para la distribución de la “Altura en cm.” de 15 personas?

x

195A 1,2188

160= =

3190-19515TOTAL

2180-1906170-1804160-170niALTURA



Coeficiente de variación respecto de la medida de posición P:COEFICIENTE DE VARIACIÓN

PP

DOV

P=

k

i ii 1

Me

x Me n

NVMe

=

− ⋅

=

∑

DOP: Medida de dispersión absoluta óptima respecto de la medida de posición P.

Coeficiente de variación respecto de la mediana:

MeMe

DAMV

Me=

j

Mo

n1

NVMo

−=

Coeficiente de variación respecto de la moda:

MoMo

DAIMV

Mo=



Coeficiente de variación respecto de la media aritmética:

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

( )k

2

i ii 1

x

x x n

NVx

=

− ⋅

=

∑x

x

sV

x=

Sus características

Representa cuántas veces la desviación típica contiene a la media.

No es una medida adecuada cuando el valor de la media es próximoa cero.

Se conoce como coeficiente de variación de Pearson, coeficiente de variación respecto de la media o, simplemente, coeficiente de variación.



COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON

Propiedades

1. El coeficiente de variación nunca puede ser negativo, siendo únicamente nulo cuando la variable presenta un solo valor.

xv 0≥

i iy x a= +

2. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma les sumamos una constante a cualquiera, distinta de cero (cambio de origen en la variable), el coeficiente de variación de la variable transformada varía respecto del de la variable primitiva.

y x

y x as s= +=

y xy

s sv

y x a= =

+ y xv v≠


3. MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS.COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON

i iy b x= ⋅

3. Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, si a todos los valores de la misma les multiplicamos por una constante b cualquiera, distinta de cero (cambio de escala en lavariable), el coeficiente de variación de la variable transformada no varía respecto del de la variable primitiva.

y x

y b x

s b s

= ⋅

= ⋅y x x

y

s b s sv

y b x x⋅

= = =⋅ y xv v=

i iy a b x= + ⋅

4. Si en la distribución de una variable X, a todos sus valores lesmultiplicamos por una constante b cualquiera, distinta de cero y, a su resultado, le sumamos una constante a cualquiera, distinta de cero, el coeficiente de variación de la variable transformada varía respecto del de la variable primitiva.

y x

y a b x

s b s

= + ⋅

= ⋅y x

y

s b sv

y a b x⋅

= =+ ⋅ y xv v≠



COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON

Interpretación de sus valores

Si V<0,3:Existe poca dispersión respecto de la media.La media es muy representativa para la distribución.

Si V>0,7:Existe una dispersión muy elevada respecto de la media.La media es poca representatividad para la distribución.



Ej.: A partir de la distribución conocida del “Nº hijos” de 15 personas, determine el coeficiente de variación e interprételo.

15

1

3

6

5

ni

4

TOTAL

2

1

0

xi

xs 1,0625 h.=

Recordamos los valores previamente calculados de desviación típica y media:

xx

s 1,0625v

x 1,0667= =

Conclusiones:Dispersión alta.

Media poco representativa.

x 1,0667 h.=

xv 0,9961=



Recordamos los valores previamente calculados de desviación típica y media:

Conclusiones:Dispersión baja.

Media muy representativa.

Ej.: A partir de la distribución conocida de la “Altura en cm.” de 15 personas, determine el coeficiente de variación e interprételo.

3190-195

15N

2180-190

6170-180

4160-170

niALTURA

xs 9,8263 cm.= x 177,1667 cm.=

xx

s 9,8263v

x 177,1667= =

xv 0,0555=


4. TIPIFICACIÓN DE VARIABLES.Concepto de variable tipificada de una dada

Es aquella que se concreta restando a todos los valores de la primitiva su media y, a su resultado, dividiéndolo por su desviación típica.

Propiedades

1. La media de cualquier variable tipificada es 0:

Xx

X xZ

s−

= Xx x

x 1Z X

s s= − + ⋅

Variable tipificada de la variable X

2. La varianza de cualquier variable tipificada es igual a uno:

xx x

x 1z x 0

s s= − + ⋅ =

X

2 2Z x2

x

1s s 1

s= ⋅ =


5. TEOREMA DE TCHEBYCHEV.

Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, sabemos que, como máximo, el porcentaje de las observaciones quequedaría fuera del intervalo comprendido entre el valor medio de la variable menos k veces la desviación típica y tal valor medio más k veces esta desviación, sería igual al inverso de la cifra de k al cuadrado por 100.

i xx x k s 2

1f

k− > ⋅ <

Dada una determinada distribución de frecuencias para la variable X, sabemos que, como mínimo, el porcentaje de las observaciones quequedaría fuera del intervalo comprendido entre el valor medio de la variable menos k veces la desviación típica y tal valor medio más k veces esta desviación, sería igual uno menos el inverso de la cifra de k al cuadrado por 100:

i xx x k s 2

1f 1

k− ≤ ⋅ ≥ −

Enunciado



1

3

6

5

ni

4

2

1

0

xi

Ej.: A partir de la distribución conocida del “Nº hijos” de 15 personas, queremos saber qué porcentaje como máximo de las observaciones quedaría fuera del intervalo comprendido entre el nº medio de hijos menos dos veces la desviación típica y tal nº medio más dos veces esta desviación, sin utilizar ni la media ni la desviación típica.

Se quiere conocer el porcentaje de observaciones que queda fuera del intervalo:

( )x xx 2 s , x 2 s− ⋅ + ⋅

Aplicando este teorema, podemos saber que porcentaje como mucho puede quedar fuera del intervalo:

i xx x 2 s 2

1f 0,25

2− > ⋅ < =

Consecuentemente, el porcentaje de observaciones que como máximose situaría fuera de tal intervalo sería del 25%.



1365ni

1514115Ni

4210xi

Ej.: A partir de la distribución conocida del “Nº hijos” de 15 personas, queremos saber qué porcentaje exacto de los individuos quedaría fuera del intervalo comprendido entre el nº medio de hijos menos dos veces la desviación típica y tal nº medio más dos veces esta desviación, sin utilizar ni la media ni la desviación típica.

Recordando los valores de media y varianza, ya determinados anteriormente, podemos concretar los extremos del intervalo:

x 1,0667=

Se pide determinar el porcentaje de individuos que queda fuera del intervalo. Como quiera que no hay ningún individuo con menos de-1,06 hijos, bastará con averiguar qué porcentaje de individuos tiene más de 3,19 hijos. Ello se determinará concretando el orden delpercentil que igual a dicho valor.

xs 1,0625=

( )1,0667 2 1,0625;1,0667 2 1,0625− ⋅ + ⋅

( )1,0583; 3,1917−



1365ni

1514115Ni

4210xi

Ej.: A partir de la distribución conocida del “Nº hijos” de 15 personas, queremos saber qué porcentaje exacto de los individuos quedaría fuera del intervalo comprendido entre el nº medio de hijos menos dos veces la desviación típica y tal nº medio más dos veces esta desviación, sin utilizar ni la media ni la desviación típica.

Porcentaje de individuos con número de hijos fuera del intervalo:

rP 3,1917=

Consecuentemente, el porcentaje de observaciones por encima de dicho valor sería del 6,67%.

14r 100 93,33

15= ⋅ =

100 93,33 6,67− =

( )1,0583; 3,1917−

Orden del percentil que es igual a 3,1917:


5. TEOREMA DE TCHEBYCHEV.Ej.: A partir de la distribución conocida de la “Altura (en cm.)” de 15 personas, queremos saber qué porcentaje como mínimo de las 15 personas tienen alturas con un desfase respecto de la media de a lo sumo 1,5 veces su desviación típica.

Se quiere conocer el porcentaje de observaciones que queda dentro del intervalo:

( )x xx 1,5 s , x 1,5 s− ⋅ + ⋅

Aplicando el teorema, podemos saber que porcentaje mínimo de observaciones estaría en el intervalo:

i xx x 1.5 s 2

1f 1 0,5556

1,5− ≤ ⋅ ≥ − =

Consecuentemente, como mínimo, dentro del intervalo, estaría el 55,56% de las observaciones.

3

2

6

4

ni

190-195

180-190

170-180

160-170

ALTURA



Recordando los valores de media y varianza, ya determinados anteriormente, podemos concretar los extremos del intervalo:

x 177,1667=

Se quiere determinar el porcentaje de individuos que está dentro del intervalo. Para ello, bastará con averiguar qué porcentaje de individuos miden menos de 191,91 cm. y restar al mismo el porcentaje de individuos que miden menos de 162,43 cm. Para ello, procedemos a concretar el orden de los percentiles que son iguales a tales valores.

xs 9,8263=

( )177,1667 1,5 9,8263;177,1667 1,5 9,8263− ⋅ + ⋅

( )162,4273;191,9061

Ej.: A partir de la distribución conocida de la “Altura (en cm.)” de 15 personas, queremos saber qué porcentaje exacto de las 15 personas tienen alturas con un desfase respecto de la media de a lo sumo 1,5 veces su desviación típica.

3

2

6

4

ni

190-195

180-190

170-180

160-170

ALTURA



Porcentaje de individuos con alturas pertenecientes al intervalo:

rP 191,9061=

15r 12100191,9061 190 5

3

⋅ −= + ⋅

( )162,4273;191,9061Orden del percentil que es igual a 191,9061:


3

2

6

4

ni

15

12

10

4

Ni

190-195

180-190

170-180

160-170

ALTURA

rP 191,9061 (190, 195]= ∈

r 87,62=

Consecuentemente, un 87,62% de los individuos miden menos de 191,9061 cm.



Porcentaje de individuos con alturas pertenecientes al intervalo: ( )162,4273;191,9061


3

2

6

4

ni

15

12

10

4

Ni

190-195

180-190

170-180

160-170

ALTURA

rP 162,4273=

15r 0100162,4273 160 10

4

⋅ −= + ⋅

Orden del percentil que es igual a 162,4273:

rP 162,4273 (160, 170]= ∈

r 6,47=

Así, dado que un 6,47% de los individuos miden menos de 162,4273cm., el porcentaje de individuos que miden entre ambas alturas sería:

87,62 6,47 81,15%− =

estadÍstica (grupo 12personal.us.es/aggonzalez/docencia/tema_5.pdfrelación con las medidas de...

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