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Curso 2011 - 2012

TEMA 8: FUNCIONES Segundo Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.E.S de Fuentesaúco.

Manuel González de León.

2º E.S.O.

TEMA 08: Funciones

Página 2 de 16 Profesor: Manuel González de León. Curso: 2011 – 2012

Consejería de Educación

I.E.S. “FUENTESAÚCO”

1.- Correspondencia.

2.- Función.

3.- Representación Gráfica de Funciones.

4.- Ecuación Lineal o de Proporcionalidad Directa.

5.- Función Afín.

6.- Función de Proporcionalidad Inversa.

7.- Funciones Cuadráticas.

Llamamos correspondencia a la relación existente entre dos magnitudes, o entre los elementos de

un 1er

conjunto (Conjunto Inicial) y un 2º conjunto (Conjunto Final)

Ejemplo:

Marcas y modelos de coches

Concepto:

Una función es una correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la

primera magnitud le corresponde un solo valor de la segunda.

Ej: y = 2x

TEMA 8:FUNCIONES

1.- Correspondencia::.

2.- Función::.

FORD

OPEL

VOLVO

S40

ASTRA

FOCUS

PASSAT

FIESTA

1

2

3

x

2

4

6

y

C I C F

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Dominio

Llamamos dominio o campo de existencia de una función, al conjunto formado por todos los

elementos del conjunto inicial que tienen imagen.

Ej.: Dada la función que asigna a cada número entero su raíz cuadrada

y =

El dominio de la función sería: D 0, 1, 2, 3, 4,………

Recorrido o Imagen de una Función.

Es el conjunto formado por los elementos del conjunto final que son imagen de algún elemento

del conjunto inicial.

La Imagen de la función sería: I = , , ……

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

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Ecuación de una Función.

A cada una de las magnitudes de una función se las llama variables y cada una de estas

puede ser independiente o dependiente, según cuál de ellas fijemos previamente y cual se deduce

de la variable independiente

Ej. La venta de el nuevo CD de Joaquín Sabina y su precio de 6 €

La Ecuación de la función sería.

y = 6x

La ecuación de la función viene determinada por la relación que liga los elementos del

conjunto origen, con los elementos del conjunto imagen.

En el ejemplo anterior y = 6x

Y = f(x) = f (1) = 6 · 1 = 6

= f (2) = 6 · 2 = 12

= f (3) = 6 · 3 = 18

0

1

2

3

x

0

6

12

18

y

CD €

Variable Independiente

x

Variable Dependiente

y

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Tabla de Valores.

Son unas tablas donde se indican en dos columnas los valores de la “x” (variable

independiente) y de la “y” (variable dependiente).

En el caso anterior sería.

Ejercicios,1,2,20,21,22,23y24.

Las funciones se pueden representar mediante tres formas:

1. Mediante formulas o ecuaciones

Formula del cuadrado A=l2; ecuaciones del tipo y = 6x

2. Mediantes tablas

Lado, l (cm) 1 2 3 4 5 6 7

Área, A (cm2) 1 4 9 16 25 36 49

3. Mediante una representación gráfica.

Para realizar una representación gráfica correctamente tendremos que tener muy claro los

siguientes conceptos:

1. Ejes de coordenadas Cartesianas.

Son dos rectas perpendiculares

La recta “x” se llama eje de las “x” o eje de las abscisas.

La recta “y” se llama eje de las “y” o eje de las ordenadas.

3.- Representación de Funciones::.

x y

0 0

1 6

2 12

3 18

4 24

La recta “x” horizontal

La recta “y” vertical Que se cortan en el punto “0”

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2. Plano Cartesiano.

Llamamos plano cartesiano a la región de espacio que delimita la intersección de las

coordenadas cartesianas.

3. Coordenadas en un Punto

Cada punto del plano se representa por un par de números ( la abscisa y la ordenada),

escritos entre paréntesis (x,y) llamados coordenadas en un punto.

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Representación Gráfica.

Para representar gráficamente la función se forma la tabla de valores y se representan los pares

de valores de la tabla como puntos en el plano cartesiano.

Los valores de la “x” se escriben sobre el eje horizontal y los valores de la “y” en el eje vertical.

Conviene observar si se pueden unir todos los puntos obtenidos a partir de la tabla.

Entre las propiedades globales de las funciones podemos destacar:

1. Continuidad y discontinuidad.

a. Continuidad: Se dice que una función es continua cuando no existen ningún punto de

discontinuidad, o cuando se puede dibujar, su gráfica, sin levantar el lapicero.

b. Discontinuidad: Cuando tiene puntos discontinuos

4.- Propiedades Globales de las Funciones::.

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2. Crecimiento y decrecimiento.

a. Crecimiento: Una función es creciente si al aumentar la variable independiente, también

aumenta la variable dependiente.

b. Decrecimiento: Una función es decreciente si al aumentar la variable independiente,

disminuye el valor de la variable dependiente.

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3. Máximos y mínimos.

a. Máximo: Una función presenta un máximo en un punto, si a la izquierda de ese punto la

función crece y a la derecha decrece.

b. Mínimo: Una función presenta un mínimo en un punto, si a la izquierda de ese punto la

función decrece y a la derecha crece.

4. Puntos de cortes con los ejes.

Los puntos de cortes del eje x son de la forma (a,0)

Los puntos de cortes del eje y son de la forma (0,b)

Máximo

Mínimo

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1. Concepto.

Son aquellas funciones, cuya relación entre las magnitudes son directamente proporcionales.

Son ecuaciones del tipo.

y = ax

Pertenecen a este tipo de ecuaciones.

y = 7x, y = – 3x, y =

etc.

2. Representación Gráfica

Para representar gráficamente la función y = 3x

a. Escribimos la tabla de valores.

b. Representamos los puntos obtenidos en el plano cartesiano y unimos los puntos.

3. Características de las funciones lineales y = ax

5.- Función Lineal o de proporcionalidad Directa::.

x y – 3 – 9 – 2 – 6 – 1 – 3 0 0 1 3 2 6 3 9

F( – 3 ) → para x = – 3 → y = 3 · ( – 3 )→ y = – 9

F( – 2 ) → para x = – 2 → y = 3 · ( – 2 )→ y = – 6

F( – 1 ) → para x = – 1 → y = 3 · ( – 1 )→ y = – 3

F(0 ) → para x = 0 → y = 3 · 0 → y = 0

F(1 ) → para x = 1 → y = 3 · 1 → y = 3

F(2 ) → para x = 2 → y = 3 · 2 → y = 6

F(3 ) → para x = 3 → y = 3 · 3 → y = 9

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La gráfica de la función lineal y = ax es una recta que pasa por el origen de coordenadas

cartesianas, punto (0,0).

a es la pendiente o inclinación de la recta.

1. Concepto.

Las funciones del tipo y = ax + b, siendo b ≠ 0, se llaman funciones afines.

Pertenecen a este tipo las ecuaciones:

y = – 2x + 4 y = 3x – 5 y =

2. Representación Gráfica.

Para representar gráficamente la función y = 3x – 2

a. Escribiremos la tabla de valores.

b. Representamos los puntos en el plano cartesiano y unimos los puntos.

3. Características de las funciones afines y= mx + n (b ≠0)

La gráfica de la función afín y = mx + n ( n≠0) es una recta que no pasa por el origen de

coordenadas.

6.- Funciones Afines::.

x y – 3 – 11 – 2 – 8 – 1 – 5 0 – 2 1 1 2 4 3 9

F( – 3 ) → para x = – 3 → y = 3 · (–3) – 2 → y = – 11

F( – 2 ) → para x = – 2 → y = 3 · (–2) – 2 → y = – 8

F( – 1 ) → para x = – 1 → y = 3 · (–1) – 2 → y = – 5

F(0 ) → para x = 0 → y = 3 · 0 – 2 → y = – 2

F(1 ) → para x = 1 → y = 3 · 1 – 2 → y = 1

F(2 ) → para x = 2 → y = 3 · 2 – 2 → y = 4

F(3 ) → para x = 3 → y = 3 · 3 – 2 → y = 7

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m es la pendiente o inclinación de la recta.

Si m>0 la función es creciente.

Si m<0 la función es decreciente.

n es la ordenada para x =0 y se llama ordenada en el origen, es decir, la recta pasa por el

punto (0,n).

Ejercicio: ¿es una recta la ecuación 2y – 3x = 9?

Despejamos y

2y = 9 + 3x

Luego es una recta que pasa por el punto (0,

).

Su pendiente es

Ejercicio. ¿Podemos resolver gráficamente el sistema del tipo

2y – 3x = 9

3y + 6x = 3

Resolución numérica

}

3 · 3 + 6x = 3 → 9 + 6x = 3→ 6x = 3 – 9 → 6x = – 6 →

→ x = – 1

Luego estas dos rectas se cruzan, se cortan en el punto (–1,3).

Representación Gráfica.

2y – 3x = 9 →

2y – 3x = 9 3y + 6x = 3

4y – 6x = 18 3y + 6x = 3

7y = 21

y = 3

x y

– 2

– 1 3

0 1

1 – 2

2 – 3

F( – 2 ) → para x = – 2 → y =

· (–2) +

→ y =

F( – 1 ) → para x = – 1 → y =

· (–1) +

→ y = 3

F(0 ) → para x = 0 → y =

· 0 +

→ y = 1

F(1 ) → para x = 1 → y =

· 1 +

→ y = – 1

F(2 ) → para x = 2 → y =

· 2 +

→ y = – 3

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3y + 6x = 3 → 3y = 3 – 6x → 3y = – 6x + 3→ y = – 2x +1

Grafica

x y

– 2 5

– 1 3

0 1

1 – 1

2 – 3

F( – 2 ) → para x = – 2 → y = – 2 · (–2) + 1→ y = 5

F( – 1 ) → para x = – 1 → y = – 2 · (–1) +1 → y = 3

F(0 ) → para x = 0 → y = – 2 · 0 + 1 → y = 1

F(1 ) → para x = 1 → y = – 2 · 1 + 1 → y = – 1

F(2 ) → para x = 2 → y =– 2 · 2 + 1 → y = – 3

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Concepto:

Son aquellas funciones cuya relación entre las magnitudes son inversamente

proporcionales.

Son ecuaciones del tipo y =

Pertenecen a este tipo: y =

y =

Representación Gráfica de y =

Característica: La gráfica de la función se llama hipérbola.

6.- Funciones de Proporcionalidad Inversa::.

x y

– 2 1

– 1 – 2

0 ∞

1 2

2 1

F( – 2 ) → para x = – 2 → y =

→ y = – 1

F( – 1 ) → para x = – 1 → y =

→ y = – 2

F(0 ) → para x = 0 → y =

→ y = ∞

F(1 ) → para x = 1 → y =

→ y = 2

F(2 ) → para x = 2 → y=

→ y = 1

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Concepto:

Llamamos funciones cuadráticas a aquellas funciones del tipo y = ax2 + bx + c ( a≠0 )

Pertenecen a este tipo las ecuaciones de 2º grado

Representación gráfica

y = x2

Características:

La grafica de la función se llama parábola.

Si a>0 la parábola está abierta hacia arriba

Si a <0 la parábola está abierta hacia arriba

7.- Funciones Cuadráticas::.

x y

– 2 4

– 1 1

0 0

1 1

2 4

F( – 2 ) → para x = – 2 → y = (– 2 )2 → y = 4

F( – 1 ) → para x = – 1 → y = (– 1 )2 → y = 1

F(0 ) → para x = 0 → y = 02 → y = 0

F(1 ) → para x = 1 → y = 12 → y = 1

F(2 ) → para x = 2 → y= 22 → y = 4

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Ejemplo

máximo

mínimo

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