estrategias didácticas de problemas de proporcionalidad y funciones con énfasis en porcentaje

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS DE PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Y

FUNCIONES CON ÉNFASIS EN PORCENTAJE

ASESORÍA TÉCNICO PEDAGÓGICA EN PENSAMIENTO MATEMATICO

COORDINADOR: GERARDO RODRIGUEZ VEGA

ACÁMBARO GUANAJUATO JUNIO DE 2016

PROPÓSITO GENERAL• Que los docentes participantes conozcan y diseñen estrategias didácticas para

su aplicación en el aula, permitiéndoles desarrollar el pensamiento lógico matemático en sus alumnos y elevar, con ello, el aprovechamiento escolar de su grupo.

• PROPÓSITOS ESPECÍFICOS: Que los participantes:• Reflexionen sobre los procesos que se desarrollan en sus alumnos para el aprendizaje de las

Funciones y proporcionalidad como una herramienta para la resolución de problemas, esencialmente de porcentaje.

• Vivencien actividades que les permitan comprender la necesidad de diseñar estrategias acordes a los procesos de desarrollo del pensamiento lógico de los niños

• Trabajen colaborativamente en el diseño de estrategias didácticas para la adecuada resolución de los problemas de proporcionalidad y porcentaje.

PRIMERA SESIÓNActividad 1: BOTONES Y CAMISAS Tiempo Estimado: 25 minutos1. Reúnete con un compañero para resolver los siguientes problemas:a) Luisa trabaja en una fábrica de camisas. Para cada camisa de adulto se necesitan 15 botones.

Ayúdenle a encontrar las cantidades que faltan en la siguiente tabla Después, contesten las preguntas

CAMISAS DE ADULTOCANTIDAD DE CAMISAS 1 6 14 75 160CANTIDAD DE BOTONES

¿Cuántos botones se necesitan para 25 camisas? ___________ ¿Cómo lo supieron? __________________________________________________________

b) Luisa utilizó 96 botones en ocho camisas para niño. Ayúdenle a encontrar las cantidades que faltan en la siguiente tabla. Después, contesten la pregunta

CAMISAS DE NIÑOCANTIDAD DE CAMISAS 1 8 10 200CANTIDAD DE BOTONES 96 1440

¿Qué puede hacer Luisa para saber cuántos botones se necesitan para 140 camisas de niño?_______________________________________________________________________________________

c) En plenaria Argumentemos nuestros procedimientos de resolución.

2. Leamos y comentemos el siguiente texto.• Los problemas multiplicativos llamados de valor faltante son aquellos en los

que se conocen tres datos y se busca un cuarto; dichos datos corresponden a dos conjuntos de cantidades que guardan una relación de proporcionalidad… En este desafío se incluyen dos problemas de valor faltante en los que, por los datos que contienen, el valor unitario es un buen recurso para resolverlos.

• En el primero se da este valor unitario (número de botones por camisa); al identificarlo, los alumnos lo podrán utilizar para encontrar los demás valores. En el segundo problema no se conoce el valor unitario, es necesario calcularlo y utilizarlo para obtener los valores desconocidos.

• Para completar la tabla del segundo problema, los alumnos necesitan aplicar una estrategia diferente; por un lado, desconocen el valor unitario, pues no se sabe cuántos botones se requieren para una camisa de niño; por otro, uno de los datos desconocidos es el número de camisas y no la cantidad de botones. Se espera que los alumnos encuentren el valor unitario y lo utilicen para calcular valores faltantes.

• Actividad 2: ¿Qué pesa más? (2)

1. Reúnete con un compañero para resolver el siguiente problema:• El dueño de la tienda de abarrotes del pueblo está haciendo una tabla para saber

rápidamente el peso de uno o varios costales que contienen azúcar, trigo o maíz palomero Ayúdenle a completarla y después contesten la pregunta

Cantidades de costales Cantidad de Kilogramos de:Azúcar Trigo Maíz Palomero

1 21 63 785 170 420

¿Qué pesa más: cuatro costales de maíz palomero, cinco costales de azúcar o tres costales de trigo?________________________________________ ¿Por qué? ________________________________________________________________________

2. Leamos y comentemos el siguiente texto. • “El valor unitario explícito es el que se da como dato del

problema. El implícito es el que no aparece como dato, pero que se puede calcular.

• La razón interna es la relación multiplicativa que se establece entre dos datos de un mismo conjunto de cantidades. Por ejemplo, 63 kg es el triple de 21 kg; o bien, cinco costales es cinco veces un costal. La razón o el factor interno entre 21 y 63 kg es 3.

• Actividad 3: Tablas de Proporcionalidad Tiempo estimado: 25 Minutos

• Analiza, individualmente, la relación que hay entre los valores de las dos columnas en cada tabla. Determina en cada caso cuál es el número que debes multiplicar por los valores de la columna de la izquierda para obtener los valores de la columna de la derecha. Escríbelo debajo de cada tabla.

Tabla 16 309 45 2 1010 5012 60

Tabla 217 13615 1205 40

12 969 72

Tabla 37 84

15 1808 963 36

11 132

______________ _______________ ______________

Argumentemos nuestros procedimientos en plenaria

• Leamos y comentemos el siguiente texto.

• En una relación de proporcionalidad, al número entero o fraccionario que al multiplicarse por cualquier valor de la primera magnitud resulta el valor correspondiente de la segunda magnitud se le llama factor constante de proporcionalidad.

• Una vez identificado el factor constante y después de haber comprobado su validez, puede concluirse que se trata de una propiedad de una relación de proporcionalidad directa. También se puede afirmar que cada tabla representa una relación de proporcionalidad entre dos conjuntos de valores; al número encontrado se le llama factor constante de proporcionalidad.

• Actividad 4: Un valor Intermedio (4)

• Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:• Si por 4 lápices se pagaron $12, ¿cuánto habría que pagar por 6 lápices?

_______• Si 4 bolígrafos cuestan $36, ¿cuánto se tendrá que pagar por 16 bolígrafos?

____________• Si 3 paquetes de galletas cuestan $25, ¿cuánto costarán 6 paquetes?

________________• ¿Y cuánto 9 paquetes? _______________• Si por 3 chocolates se pagan $5, ¿cuántos chocolates se pueden comprar con

$15? _______________ • ¿Cuánto se tendría que pagar por 12 chocolates? _________________ • ¿Y cuánto por 18 chocolates? _____________________ • En plenaria Argumentemos nuestras respuestas

Leamos y comentemos el siguiente texto Es deseable que los alumnos utilicen una tabla para registrar los datos, ya sea para identificar la relación entre los datos conocidos y determinar los faltantes, o bien, para verificar la regularidad de éstos.

Si algún equipo utiliza el valor unitario, conviene dejar que lo haga y que, posteriormente, entre todos analicen este procedimiento y lo comparen con los anteriores, con la finalidad de averiguar la pertinencia y las ventajas. El costo aproximado de un chocolate es de $1.66; realizar cálculos con esta cantidad es mucho más complejo que utilizar números naturales, además de que los valores faltantes resultarían aproximados.

• Actividad 5: Reflexiones de la sesión• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades

de la sesión.• Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de comenzar

el estudio de Proporcionalidad y funciones usando las herramientas del valor unitario y de valores intermedios _____________________

• ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Comentemos nuestras conclusiones en grupo y modifiquemos nuestro escrito en caso de ser necesario.

• Tiempo estimado: 15 Minutos

Segunda Sesión• Actividad 6: En busca de descuentos (5) Tiempo estimado: 30 minutos

1. En equipo, observen los siguientes descuentos de una tienda comercial que festeja su aniversario. Posteriormente, contesten lo que se pide.

a) Si un descuento de 20% significa que por cada $100 de compra se descuentan $20, ¿qué significan los descuentos de 10%, de 25% y de 50%?

____________________________________________________________________________

b) De acuerdo con lo anterior, determinen el precio con descuento

c) ¿A cuánto equivale 35% de descuento de una compra de $400? ________• ¿Qué significa que en una compra te ofrezcan 45% de descuento? _______• Si se compran dos pantalones, dos playeras y un balón, ¿el descuento será

de más de 100%? _______• Expliquen su respuesta.___________________________________• En plenaria compartamos nuestras estrategias de solución

Artículo Descuento Precio con descuentoPlayeras 10% Pantalón 50% MP3 25% Balón 20%

• Leamos y comentemos el siguiente textos:

• Es importante comentar con todo el grupo los significados de los descuentos de 10, 20, 25 y 50%, para que los alumnos relacionen la escritura n% con la expresión “n de cada 100”.

• En el caso de 25, 15, 35%, etc., los alumnos pueden recurrir a la estrategia de calcular 10% y la mitad de lo obtenido representará 5%.

• La última pregunta tiene el propósito de que los alumnos se den cuenta de que en situaciones como la planteada no es correcto sumar los porcentajes y mucho menos pensar que pueda haber descuentos mayores a 100%. Para ayudarlos puede preguntarles: ¿qué significaría que un descuento fuese de 100%? ¿Qué significaría que fuese de más de 100%?

• Actividad 7: Recargos (6) • En equipo, hagan lo que se indica.• Cuando los almacenes venden productos a plazos, hacen un cargo extra de acuerdo con la cantidad de pagos

que haga el comprador.• El empleado de un almacén está calculando los cargos extra que se harán a algunos artículos. Ayúdenlo a

completar las siguientes tablas.

Precio base Cargo extra de 10%

$80 $8$50 $800 $80

$60 $120


$50$500 $900 $180

$200 $320


$50$180 $600 $150

$25$400


$50$1800 $2800 $1400

$600 $120

b) Si 25% se representa con la fracción 25/100, o bien, de manera simplificada con ¼, completen la tabla.

c) Si la mitad de una cantidad es 50%, ¿qué parte de la cantidad es 10%, 20%, 25% y 75%? _________________________________________________________• Utilicen estas relaciones para verificar los cálculos que hicieron al principio de

la actividad y en plenaria comentemos nuestros procedimientos de resolución.

Porcentaje n/100 Fracción Simplificada25% 25/100 ¼

20/100 ½

10%

ACTIVIDAD # 8 Mercancía con descuento Tiempo aproximado 30 minutos

• En equipos, resuelvan lo siguiente: Luis, Ana y Javier venden artesanías, cada quien en su puesto del mercado. Decidieron ofrecer toda su mercancía con 10% de descuento Completen la tabla:

Luis Ana JavierSARAPE Precio $ 100 140 80

Descuento $ 10 Precio rebajado$ 90

ARETES Precio $ 50 Descuento $ 6 4Precio rebajado$

BLUSA Precio $ Descuento $ 8 Precio rebajado$ 45 63

2. El 10% del precio de un artículo es igual a $13 Completen la siguiente tabla.

Porcentaje Descuento Precio con descuento5%

10% 13 11715% 20% 25% 30% 50% 6575%

3. Resuelve individualmente el siguiente problema: En un mercado de artesanías se ofrecen algunos artículos con atractivos descuentos Completa la tabla a partir de la información disponible en ella.

4. En plenaria argumentemos nuestros resultados.

Artículo Precio Descuento Cantidad a pagar

Collar $80 10% Rebozo $100 $75Pulsera $30 5%

Camisa de Manta

$90 $18

Florero $140 40% Mantel $120 $60

• Leamos y comentemos el siguiente texto:

• Es importante mencionar que en estos momentos de ninguna manera se pretende que los alumnos apliquen procedimientos estandarizados para el cálculo del porcentaje, por ejemplo, que para calcular 15% de una cantidad la multipliquen por 0.15. El propósito es que ellos construyan diversos procedimientos para el cálculo de porcentajes, basados en la comprensión de lo que significa tanto por ciento.

• Actividad 9: Tantos de cada 100 (8)

• En equipos, resuelvan el siguiente problema y argumentemos nuestros procedimientos en el grupo.

• En un almacén hay una promoción de 25% de descuento en todos los artículos, aunque también hay que pagar 16% de IVA ¿Cuál es el precio final de un refrigerador con un precio de lista de $4 200? ________________________

• Leamos el siguiente Texto y comentemos • Es muy probable que para resolver el problema, los estudiantes primero apliquen el

descuento de 25% y después al resultado le incrementen 16% de IVA. Una pregunta interesante para que reflexionen es: Si hay un descuento de 25% y un aumento de 16%, ¿se obtiene directamente el precio del refrigerador al descontar únicamente 9%? También valdría la pena que analizaran si el orden en el que se aplican el descuento y el incremento afecta el precio final.

• Por último, se sugiere advertir que, en general, el precio de un artículo con un descuento de 25% se puede obtener directamente al calcular el 75%, en lugar de calcular 25% y luego hacer la resta.

• Actividad 10: Reflexiones de la sesión• Materiales y Recursos: Material del participante• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la

sesión.• Escribamos nuestras conclusiones sobre la significación que debe tener

para los alumnos conceptuar que la proporcionalidad en el porcentaje es identificar “n de cada 100”. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


• TERCERA SESIÓN• Actividad 11: Ofertas y Descuentos (9)1. En equipos, resuelvan los siguientes problemasa) Pepe logró ahorrar $500.00 y con ese dinero decidió comprar un reloj que costaba $450.00; al pagarlo, se enteró de que tenía un descuento ¿Qué porcentaje le descontaron, si al salir de la tienda aún tenía $140.00 de sus ahorros? ___________________ b) En la tienda donde Pepe compró su reloj había otros artículos con descuento, pero la etiqueta sólo indicaba el precio de lista y el precio rebajado Encuentra los porcentajes de descuento y regístralos en la tabla.

c) En plenaria Argumentemos nuestros resultados• Leamos el texto y comentemos • Los porcentajes son de uso común, por tanto, se sugiere solicitar a los alumnos que investiguen

algunas aplicaciones y que inventen algunos problemas para proponerlos a todo el grupo.

Artículo Oferta DescuentoZapatos De $300.00 a $120.00 60%Sombrero De $70.00 a $45.50 Bolso de mano De $220.00 a $110.00 Playera De $145.00 a $123.25

• Actividad 12: El IVA (10)

En equipos, resuelvan los siguientes problemas Pueden auxiliarse con su calculadora

• El precio de una plancha es de $210.00 A esta cantidad se debe agregar 16% de IVA ¿Cuál es el precio de la plancha con el IVA incluido? ____________________

• Una licuadora cuesta $580.00, con el IVA incluido ¿Cuál es el precio de la licuadora sin el IVA? ________

• Argumentemos nuestros procedimientos de resolución

• Actividad 13: ¿Cuál es el mejor precio? (11)

• En equipos, resuelvan los siguientes problemas sin hacer operaciones. Argumenten sus respuestas

• El paquete A tiene 5 panes y cuesta $15, el paquete B tiene 6 panes y cuesta $12 ¿En qué paquete es más barato el pan? _______________________

• En la papelería una caja con 15 colores cuesta $30 y en la cooperativa de la escuela una caja con 12 colores de la misma calidad cuesta $36 ¿En qué lugar es preferible comprar los colores? ____________

• El paquete de galletas A cuesta $6 y contiene 18 piezas. El paquete B contiene 6 galletas y cuesta $3 ¿Qué paquete conviene comprar? ________________________

• En el mercado, un kilogramo de naranjas son 9 piezas y cuesta $10 En la huerta de don José 8 naranjas llegan a pesar un kilogramo y cuestan $8 ¿En dónde conviene comprar las naranjas? ______________

• Actividad 14: ¿Qué música prefieres? (12)

• En equipos resuelvan los siguientes problemas y compartamos nuestras estrategias en Plenaria

• A los alumnos de los grupos de sexto grado de una escuela primaria se les aplicó una encuesta sobre el tipo de música que prefieren La música de banda fue de las más elegidas; en el grupo A la seleccionaron 1 de cada 2 alumnos, en el B, 3 de cada 4, y en el C, 7 de cada 10 ¿compaQué grupo tiene mayor preferencia por este género de música? ____________________

• Con la misma encuesta, en los grupos de quinto grado se obtuvieron los siguientes resultados: en el grupo A, 50% de los estudiantes eligieron el hip hop y una cuarta parte la música de banda En el B, 2 de cada 5 niños prefirieron la música grupera y 1 de cada 2 eligió el hip hop ¿En qué grupo hay mayor preferencia por el hip hop? ______________________

• ¿Qué tipo de música, grupera o de banda, gusta más entre los alumnos de quinto grado? ___________

• Actividad 15: Reflexiones de la sesión• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la

sesión.• Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de seleccionar

procedimientos asociados a funciones, porcentaje o fracciones para la solución de problemas de Proporcionalidad, como una diversidad en la solución de estos problemas.

• ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Referencias Bibliográficas SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Quinto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG 1. Pp 62 – 64 2. Pp 67 – 68 3. Pp 117 – 118 4. Pp 173 – 175 5. Pp 301 – 303 6. Pp 304 – 306 SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Sexto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG 7. Pp 62 – 64 8. Pp 94 – 95 9. Pp 96 – 97 10. Pp 98 – 99 (Adaptación del desafío)11. Pp 159 – 160 12.Pp 214 – 215

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