proporcionalidad y funciones - … · identificación de las que corresponden a una relación de...

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONESAnálisis de representaciones que corresponden a una misma situación.Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, biología, economía y otras disciplinas.

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

Al realizar tanto el estudio como el registro de un experimento o encuesta, conviene hacer una representación de lo obtenido, ya sea por medio de:

Gráficos,

Representación Algebraico,

Tabulación de resultados.

ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ 2


Daniela realiza un experimento de Física, que consiste en fijar una liga y colocarle diferentes pesos para conocer la elongación que sufre.



Por cada peso, ella registró las siguientes longitudes:

ACT. CLAUDIA NAVARRO QUIROZ

PESO (GR) LONGITUD (CM)

0 4.5

25 5.5

75 7.5

150 10.5

200 12.5

400 20.5

500 24.54


Gráfico:


0

5

10

15

20

25

30

0 100 200 300 400 500 600

LON

GIT

UD

(CM

)

PESO (GR)

ELONGACIÓN

5


¿qué muestra el gráfico?

Crecimiento LINEAL.

Si aumenta el peso, entonces…LA ELONGACIÓN TAMBIÉN AUMENTA .

Por lo que CORRESPONDE A UNA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD.



Al investigar este fenómeno en su libro de Física, encuentra que este fenómeno tiene una EXPRESIÓN ALGEBRAICA:

Longitud=1

25𝑃𝑒𝑠𝑜 + 4.5



¡¡¡¿Les suena esa expresión conocida?!!!

y= 𝑚𝑥 +b

Longitud=1

25𝑃𝑒𝑠𝑜 + 4.5



Y ahooooora…

¡¡¡ EJERCICIOS!!!



…PARA EJERCITAR NUESTRA MENTE



Una de las formas que tienen las radiodifusoras de conocer laaceptación del público hacia algún programa, es mediante el registrodel aumento de radioescuchas; esto puede hacerse por día, porsemana o mes, dependiendo de las necesidades de cada estación deradio. Uno de los programas que se está revisando presenta lasiguiente gráfica de aumento en el número de radioescuchas.




-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

RA

DIO

ESC

UC

HA

S (C

IEN

TOS)

SEMANAS

ACEPTACIÓN DEL PÚBLICO AL PROGRAMA "X"

12


Construye una representación tabular para algunos de los valores quese presentan en la gráfica:


-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

RA

DIO

ESC

UC

HA

S (C

IEN

TOS)

SEMANAS


SEMANA RADIOESCUCHAS (CIENTOS)

0

5

10

15

20

25

28

13


¿es una relación de proporcionalidad la que se presenta?, ¿por qué?

¿Se podrá modelar la relación por medio de una expresiónmatemática?


y = 3.9108x - 4.8897

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

RA

DIO

ESC

UC

HA

S (C

IEN

TOS)

SEMANAS


14


En un estudio de calidad para una estufa, se coloca un litro de agua que estaba a 16ºc y se prende la flama, registrando con el termómetro el aumento de temperatura que se va dando. Se obtiene los siguientes datos:


TIEMPO (MINUTOS) TEMPERATURA (ºc)

0 16

2 24

5 36

8 48

10 56

15 76

17 84

18 88

19 92

20 96

21 100

15


Grafiquen los resultados.

La gráfica, ¿es lineal?


TIEMPO (MINUTOS) TEMPERATURA (ºc)

0 16

2 24

5 36

8 48

10 56

15 76

17 84

18 88

19 92

20 96

21 100

16


¿Cuál es la expresión matemática que representa los resultados obtenidos?

¿Es una relación de proporcionalidad?, ¿por qué?


0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25

TEM

PER

ATU

RA

(ºC)

TIEMPO (MINUTOS)

ESTUDIO DE CALIDAD DE UNA ESTUFA


En un lapso de tiempo, medido en segundos, la altura en metros que alcanza un proyectil sobre el nivel del suelo es proporcionado por la siguiente ecuación:

ℎ = 80𝑡 − 5𝑡2Donde

ℎ representa la altura medida en metros

𝑡 representa el tiempo medido en segundos.




Realicemos una tabla en dondenos informe la altura alcanzada porel proyectil al paso de segundos:𝑡

t h

0 0

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21



t h

0 0

1 75

3 195

5 275

7 315

9 315

11 275

13 195

15 75

17 -85

19 -285

21 -525

La altura alcanzada al tiempo , ¿es una relación proporcional?¿por qué?

Después de 15 segundos de haber lanzado el proyectil, ¿es lógico que, a nivel del suelo, alcance una altura negativa?

¿Qué significa que nos dé alturas negativas en la vida real?

𝑡



t h

0 0

1 75

3 195

5 275

7 315

9 315

11 275

13 195

15 75

17 -85

19 -285

21 -525

Si graficamos la información de la tabla:

¿Nos muestra una relación de proporcionalidad?

¿Dónde quedan ubicados las alturas positivas?, ¿y las negativas?

¿Qué nos indican las alturas negativas, es decir, qué interpretación se le debe dar?



t h

0 0

1 75

3 195

5 275

7 315

9 315

11 275

13 195

15 75

17 -85

19 -285

21 -525

0

75

195

275315 315

275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25A

ltur

a (m

etro

s)

Tiempo (segundos)

Lanzamiento vertical de un proyectil.



t h

0 0

1 75

3 195

5 275

7 315

9 315

11 275

13 195

15 75

17 -85

19 -285

21 -525

Si graficamos la información de la tabla:

¿Nos muestra una relación de proporcionalidad?

¿Dónde quedan ubicados las alturas positivas?, ¿y lasnegativas?

¿Qué nos indican las alturas negativas, es decir, quéinterpretación se le debe dar?

0

75

195

275315 315

275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Alt

ura

(met

ros)

Tiempo (segundos)




Ahora, si el proyectil alcanza una alturade 320 metros, ¿en cuánto tiempotardará el proyectil en alcanzar dichaaltura?

0

75

195

275315 315

275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Alt

ura

(met

ros)

Tiempo (segundos)




0

75

195

275315 315

275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Alt

ura

(met

ros)

Tiempo (segundos)

Lanzamiento vertical de un proyectil.Para determinar el tiempo que tarda el proyectil en tener una altura de 320 m, este valor se evalúa en la ecuación dada, es decir:

320 = 80𝑡 − 5𝑡2

Se obtiene una ecuación de segundo grado, la cual ahora se encontrará el valor del tiempo al que logrará la altura de 320 m:

𝑡



0

75

195

275315 315

275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Alt

ura

(met

ros)

Tiempo (segundos)


320 = 80𝑡 − 5𝑡2

5𝑡2-80𝑡-320 = 0

𝑡2-16𝑡-64 = 0

𝑡 − 8 2 = 0

𝑡 − 8 = 0

𝑡 = 8



320 = 80𝑡 − 5𝑡2

5𝑡2-80𝑡-320 = 0

𝑡2-16𝑡-64 = 0

𝑡 − 8 2 = 0

𝑡 − 8 = 0

𝑡 = 8

¿Cómo se interpreta este resultado?

0

75

195

275300 320 275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Alt

ura

(met

ros)

Tiempo (segundos)




Ahora, ¿en cuánto tiempo el proyectiltocó suelo?

0

75

195

275315 315

275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25A

ltur

a (m

etro

s)

Tiempo (segundos)




0

75

195

275315 315

275

195

75

-85

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Alt

ura

(met

ros)

Tiempo (segundos)

Lanzamiento vertical de un proyectil. 0 = 80𝑡 − 5𝑡2

5𝑡2-80𝑡 = 0

𝑡2-16𝑡 = 0

𝑡 𝑡 − 16 = 0



Primer caso:

𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 0

Segundo caso:

𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 16

075

195

275315 315

275

195

75

0

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Alt

ura

(met

ros)

Tiempo (segundos)




Primer caso:

𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 0

Segundo caso:

𝑡 𝑡 − 16 = 0𝑡 = 16

075

195

275315 315

275

195

75

0

-285

-525

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

Altu

ra (m

etro

s)

Tiempo (segundos)


¿Cómo se interpreta este resultado?

proporcionalidad y funciones - … · identificación de las que corresponden a una relación de...

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