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UNED ELCHE.

TUTORÍA DE PROBABILIDAD. MODELOS PROBABILÍSTICOS (GRADO EN ECONOMÍA) www.innova.uned.es/webpages/Ilde/Web/index.htm e-mail: [email protected]

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TEMA 7

DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDAD CONTINUAS

Distribución uniforme en el intervalo [a, b].-

Función de densidad: f(x) =

resto elen ,0

bxa,ab

1

Función de distribución: F(x) =

xb,1

bxa,ab

ax

ax,0

dx)x(fx

Momentos:

E() =

dx)x(xf

2

badx

ab

xb

a

E(2)=

dx)x(fx2

3

aabb

ab3

abdx

ab

x 2233b

a

2

Var() =

12

ab

12

aab2b

2

ba

3

aabb222222

Función característica: (t) = E[eit

] = itab

eedx

ab

e itaitbb

a

itx

Transformación integral.- Sea una variable aleatoria continua con función de distribución

F(x). Sea = F(). Entonces la función de distribución de :

G(y) = P(≤ y) = P[F()≤ y] = P[≤ F1

(y)] = F[F1

(y)] = y

luego se trata de la función uniforme en el intervalo [0, 1].

Distribución normal N(0;1).-

Función de densidad: f(x) = 2

x2

e2

1

, < x < +.

Se trata de una función de densidad porque

0

2

x

2

x

dxe2

2dxe

2

122

= (cambio

t2xt2

x2

dtt2

1dt

t2

1dx 2

1

) = 12

11dtet

1

0

t2

1

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Función de distribución: F(x) =

x

2

x

dxe2

12

Función característica (t) = E[eit

] =

dxee2

12

x

itx

2

dxe2

12

itx2x2

2

t

2

titx 222

edxe2

1

Derivando: ’(t) = t 2

t2

e

de donde E() = i

0' = 0

’’(t) = 2

t

22

t 22

ete

de donde E() =

1

1

1

i

0''2

Luego Var() = 1

Los momentos de orden impar son todos nulos por ser la función de densidad simétrica

respecto del origen. Los momentos de orden par responden a la fórmula 2k =

!k2

!k2k

Distribución N(; ).-

Dados y números reales tales que << + y 0 << + y una variable aleatoria

normal N(0,1), sea = + . Es decir, efectuamos un cambio de origen y de escala sobre la

variable . Tendremos entonces:

F(y) = P[ ≤ y] = P[ + ≤ y] =

yF

yP

Derivando respecto de y:

2

2

2

y

e2

1yf

1yf

y

yF

que es la función de

densidad de la variable a cuya distribución le llamaremos normal N(, ).

Es decir, las probabilidades de la N(, ) se reducen a probabilidades de la N(0, 1)

Se tiene que la esperanza de : E() = E( + ) = E() + =

y la varianza: Var() = Var( + ) = 2Var() =

2.

Si es N(, ), la variable

se llama tipificada y es N(0,1)

Función característica: (t) = E[eit

] = E[eit( + )

] = eit

E[eit

] = eit(t) = e

it 2

t22

e

=

= 22t

2

1it

e

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Propiedad aditiva o reproductiva:

Sean j, j = 1, 2, ..., n variables aleatorias normales N(j, j) e independientes. Entonces

=

n

1j

jjab es normal

n

1j

n

1j

2

j

2

jjja,abN

La demostración se hace calculando la función característica de (verla en el texto).

Manejo de tablas de la distribución N(0; 1)

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Ejemplos:

P[≥ 1,23]

P[ ≤ 1] = 1 P[> 1]

P[ ≥ 1,5] = 1 P[> 1,5]

P[1 ≤ ≤ 2] = P[≥1]P[>2]

Si la variable normal no es N(0,1). Sea por ejemplo N(1, 2). Entonces P[ ≥ 2] =

=

5,0

2

1P

2

12

2

1P tablas

Distribuciones derivadas de la distribución normal

1. Distribución 2 de Pearson

Sean 1, 2, ..., n, n variables aleatorias N(0,1) e independientes. Entonces se dice que la

variable = 2

n

2

3

2

2

2

1 ... sigue una distribución chi-cuadrado con n grados de libertad 2

n .

Su campo de variación es [0, +[.

Función de densidad: f(x; n) = x

2

11

2

n

2

nex

2

n2

1

(se recuerda que

0

x1p 0p,dxex)p( )

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Función característica: (t) = 2

n

it21

De aquí resulta que E[] = n; E[2] = n(n+2) luego

2 = 2n

Posee la propiedad aditiva o reproductiva, es decir, la suma de k variables independientes

2(nj), j=1, 2, ..., k es

k

1jj

2 n

Manejo de tablas.-

2. Distribución t de Studcnt.-

Consideremos las variables U N(0,1) y V 2

n independientes. Entonces a la distribución de la

variable t(n) =

n

V

Ule llamamos t de Student con n grados de lilbertad.

Su campo de variación es el intervalo ], +[

Función de densidad: 2

1n2

n

x1

2

nn

2

1n

xf

Esperanza = 0. Varianza = 2n

n

0

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Manejo de tablas.-

3. Distribución F de Fisher-Snedecor.-

Si U y V son dos variables independientes 2

m y

2

n respectivamente, entonces

decimos que la variable

n

Vm

U

sigue una distribución F de Fisher-Snedecor con m y n grados de

libertad.

Función de densidad: 2

nm12

m2

n

2

m

mxnx

2

n

2

m

2

nmnm

xf

,

para 0 ≤ x < +

Esperanza = 2n

n

, si n > 2. Varianza =

4n2nm

2nmn22

2

, si n > 4.

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Propiedad: m,nF

1n,mF

Manejo de tablas.-

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Distribución gamma.-

La variable sigue una distribución gamma G(p,q) , siendo p>0 y q>0, si su función de

densidad es f(x) =

qx1p

p

exp

q

, x > 0.

Se tiene que pq

kpE

k

k

, de donde:

E() = q

p y Var() =

22

2

2 q

p

q

p

q

)1p(p

La función característica

p

q

it1)t(

Propiedad aditiva o reproductiva: si j, j = 1, 2, ..., n son n variables aleatorias

G(pj, q) independientes, entonces la variable =

n

1j

jes

q,pGn

1j

j

La distribución gamma posee la propiedad de “falta de memoria” , es decir:

P( ≥ b+a/> a) = P( ≥ b).

La distribución gamma se utiliza en el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de

vida)

Distribución beta.-

La función beta B(p, q) = qp

qpdxx1x

1

0

1q1p

, p>0, q>0

Una variable aleatoria sigue une distribución beta si su función de densidad es:

f(x) = 1q1p x1x)q,p(B

1 , 0 ≤ x ≤ 1

Se tiene qieE() = qp

p

y E(

) =

1qpqp

1pp

,

de donde Var() = 1qpqp

pq2

Es una variable muy versátil.

Otras distribuciones continuas.-

Distribución logística.-

Función de densidad: f(x) = 2bxa

bxa

e1

be

, < x < +

Se utiliza en el estudio del crecimiento temporal de variables demográficas

Distribución de Pareto.-

Función de densidad: f(x) = 1b

b

0

x

bx

, x ≥ x0, x0> 0, b> 0.

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Se cumple que E() = 1b

bx0

y Var() =

20

2

1b2b

xb

En el análisis socioeconómico se aplica, por ejemplo, en el estudio de la distribución de

rentas personales.

EJERCICIOS

Solución.-

Solución.-

Representemos por Z la variable normal N(0,1)

a)P[> 2] =

2

1

12ZP = P[Z > 2] = (tablas) = 0,0228

b) La variable =”nº de estudiantes que invierten más de dos horas” es binomial

B(400; 0,0228), cuya = np = 9,12 y = 9853,29772,0·12,9 , luego es aproximadamente

normal N(9,12; 2,99). Así pues, P[ ≤ 2] =

99,2

12,92ZP = P[Z < –2,38] = (tablas) = 0,0087.

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Solución.-

No es necesario realizar ningún cálculo. Las respuestas a) y c) no pueden ser ciertas porque a

tiene que ser positivo para que P[<a ] = 0,9398. La respuesta b) tampoco puede ser cierta

porque en una normal N(2, 2), P[< 1,55 ] es menor que 0,5.

Solución.-

La función característica de la distribución normal N(, ) es (t) = 22t

2

1it

e

. Luego es

normal N(3, 2) . Así pues P( ≤ 1,2) =

9,0

2

3P = (tablas) = 0,1841.

Solución.-

Apartado b porque P(< 3) = 0,5, pero P(< 3) > 0,5.

Solución.-

Solución.-

La respuesta es d, porque en la distribución de Pareto, P(> 0) = 1.

Solución.-

La respuesta es c, ya que para la t-Student P(> 0) = 0,5 z independientemente de los grados

de libertad.

Solución.- b)

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Solución.-

Sea la variable aleatoria “ventas mensuales”. Se tiene que E() = 2

ba = 8 y

DT() = 32

ab = 3, de donde se obtiene que a = 338 y b = 338 . Luego la función de

densidad f(x) =

resto elen ,0

338x338,36

1

. La probabilidad de cierre será:

P(< 9) = 36

331dx

36

19

338

0,59623

Solución.-

La respuesta es d) ya que al no mencionarse la independencia de 1 y 2, no conocemos la

distribución de .

Solución.-

Sabemos que, para la N(, ), el coeficiente de curtosis 2= 34

4

= 0 , luego para la normal

N(0,1) debe ser E(4) = 4 = 3.

Solución.-

)n,1(F

n

)n(1

)1(

n

)n(

)1,0(N)n(t

n

)n(

)1,0(N)n(t

2

2

2

2

2

2

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Solución.-

Obtenemos que Var[1–22] = Var[1] – 4Cov[1,2] + 4 Var[2], de donde Cov[1,2] =

= 4

7

4

10161

= 1,75, luego =

2·1

75,10,875. Además, 1 y 2 son dependientes porque la

covarianza es 0.

Solución.-

940,3P1aP1940,3PaPa940,3P70,0 2

10

2

10

2

10

2

10

2

10

= aP940,3P 2

10

2

10 = (tablas) = 0,95 aP 2

10 aP 2

10 = 0,95 0,70 = 0,25 y

buscando en las tablas obtenemos que a = 12,549.

Solución.-

Por eliminación: a) y b) no cumplen la condición de que la media es el triple de la desviación

típica; c) no puede ser porque si = 2,4 entonces P(≤4) > 0,5

Solución.-

La variable 4–1/2

es t16. Se tiene que P[t16 ≤ x0] = 0,90 P[t16> x0] = 0,10 y buscando en

las tablas encontramos que x0 = 1,337.

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