modelos probabilísticos

MODELOS PROBABILÍSTICOS

Resultado de aprendizaje

Determina el comportamiento, propiedades y características de los resultados de la variable aleatoria conforme su distribución de propiedades discreta

Mtra. Ma. Luisa Ortega Cruz

Introducción

Partimos del concepto de lo que es variable aleatoria: función que asocia un numero real a cada punto del espacio muestral. Se representa como “ X ”

Es decir es una variable cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio EJEMPLO:

nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…) nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…


Se clasifica en : Variable aleatoria continua: El conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir. Variable aleatoria discreta: El conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que

sucede algo.

Ejemplo: a) nº de páginas de un libro → b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → c) nº de preguntas en una clase de una hora → d) cantidad de agua consumida en un mes →

discreta

continua

discreta

continua


función

Probabilidad Distribución


Ejemplo A:


Se lanzan dos monedas y se cuenta el numero de “soles”. Determina la función de probabilidad para este experimento y traza la gráfica correspondiente.

Solución. sea: S = sol, y A = águila.

Entonces determinamos el espacio muestral:

S = = { (A, A), (S, A), (A, S), (S, S)}


Realizamos su representación tabular y gráfica:

Resultados posibles X P(X)

(A, A) 0 ¼ = 0.25

(S, A), (A, S) 1 2/4 = 0.50

(S, S) 2 ¼ = 0.25

P(X)

X


Ejemplo B Podemos obtener las calificaciones de un curso y tabularlas

X f P(X) F(X)

1 Excelente 25 0.05 1.0

2 Suficiente 100 0.20 0.95

3 Insuficiente 200 0.40 0.75

4 No aprobado 175 0.35 0.35

n 500


Ambas funciones se representan gráficamente como:

Función probabilidad

Distribución de probabilidad

Función de distribución

La función de distribución describe el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria X asociada a un experimento aleatorio y se representa como: F(x) ó x


Esperanza matemática

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso


= xi pi

http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/esperanza_matematica.html

Varianza

La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media 2 = [(i - )2 P(i)]


http://www.monografias.com/trabajos37/interpretacion/interpretacion.shtml

Ejemplo


Siguiendo con el problema de las monedas esperando que caiga sol Diapositiva 7 Calculamos la esperanza matemática:

= 0*0.25 + 1*0.50 + 2*0.25

= 1

= xi pi

Ejemplo


Ahora para la varianza, tenemos que:

2 = (0 – 1)2*0.25 + >(1 - 1)2*0.50 + (2 – 1)2*0.25 = 0.50

Para la desviación estándar, tenemos:

= √0.50 = 0.7071

Modelo de Bernoulli

La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es

Donde: n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso.


Distribución binomial Un experimento sigue el modelo binomial o de Bernoulli si: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados:

el suceso A (éxito) y su contrario. 2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los

resultados obtenidos anteriormente. Un experimento que se ajusta al modelo binomial se suele representar por B(n, p), donde n es el número de pruebas de que consta el experimento y p es la probabilidad del suceso A (éxito). La probabilidad de Ac es 1− p, y la representamos por q.


http://www.youtube.com/watch?v=VbIyBmaoC-s

Distribución de Poisson Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson: Se tiene que cumplir que: “ p” < 0,10 “p * n” < 10 La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo

𝒑 𝒙 = 𝒌 = 𝒆− 𝝀 ∗ 𝝀𝒌

𝒌!


http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-29-est.htm

Distribución hipergeométrica

Modelo aplicable a experimentos al igual que en la distribución binomial en donde en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribución binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí. La distribución hipergeometrica se define como:


Donde:


Distribución geométrica

Esta distribución toma en cuenta el número de veces que debe repetirse el experimento hasta que ocurra éxito por primera vez, en cuyo caso, termina de realizarse el experimento. Aquí sólo ocurre éxito una sola vez. No interesa cuántos veces se deba repetir el ensayo. Su expresión se da como:


http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo3/B0C3m1t10.htm

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