Modelos probabilsticos comunes

Modelos probabilsticos comunesObjetivo: El alumno conocer algunas de las distribuciones mas utilizadas en la practica de la ingeniera y seleccionara la mas adecuada para analizar algn fenmeno aleatorio en particular.HiptesisSimplificadasRealidadModelos MatemticosSencillos4.1 Ensayo de Bernoulli. Distribucin de Bernoulli, determinacin de su media y varianciaEn la teora de probabilidad y estadstica, un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio en el que slo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como xito y fracaso). Se denomina as en honor a Jakob Bernoulli. Desde el punto de vista de la teora de la probabilidad, estos ensayos estn modelados por una variable aleatoria que puede tomar slo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiliza el 1 para representar el xito. Si p es la probabilidad de xito, entonces el valor del valor esperado de la variable aleatoria es p y su varianza, p(1-p).BERNOULLI HIPOTESISH1: Solo tiene dos resultados posibles xito y fracaso.H2: La probabilidad de xito es constante.H3: Los experimentos son independientes. xP(x)0q1p4.2 Ensayo binomial. Distribucin binomial, determinacin de su media y variancia. Distribucin hipergeomtrica. Distribucin geomtrica, determinacin de su media y variancia. Distribucin Binomial negativa su media y variancia.El proceso de Bernoulli se platea tres preguntas P1: Nmero de xitos en n intentos? P2: Nmero del experimento en donde ocurre el primer xito? P3: Cuntos experimentos antes de K-xitos?

PARA DARLE RESPUESTA SE TIENEN LAS SIGUIENTES DISTRIBUCIONES

R1: Distribucin binomial

R2: Distribucin geomtrica

R3: Distribucin de pascal. (binomial negativa)

X= nmero de xitos en n intervalos

X= 0,1,2,n

X= discreta

n= # de intervalos

P= probabilidad

ESPERANZA

E(x)= np

VARIANCIA

Var(x)= npqDISTRIBUCIN HIPERGEOMTRICA

Muchas veces en la prctica es difcil realizar pruebas con reposicin reemplazamiento. Por ejemplo, si en el control de calidad se pierde el elemento que se prueba, pues no se puede hacer reposicin directamente. Se planta entonces la prueba sin reposicin, donde los elementos de la muestra se toman todos a la vez y no individualmente donde el elemento seleccionado no se reintegra al experimento a la muestra nuevamente.La diferencia mas simple con la binomial es la forma de aplicar el muestreo. En efecto, en:

Binomial: Muestreo con reemplazamiento e independencia de pruebas ensayos.

Hipergeomtrica: Muestreo sin reemplazamiento y sin independencia entre pruebas ensayos.Ej.EUA tiene la visin de bombardear Irn

DatosP(E ind)=0.7 c/avinCuntos aviones tiene que mandar para tener una probabilidad de o.99 el primer xito?

P(x=8)=1-0.580096=0.419904xP(x)F(x)30.0640.06440.11520.179250.138240.3174460.138240.4556870.1244160.5800964.3 Proceso de Poisson. Distribucin de Poission, determinacin de su media y su variancia. Aproximacion entre las distribuciones binomial y poisson.Enestadsticaysimulacin, unproceso de Poisson,tambin conocido comoley de los sucesos raros, es unproceso estocsticode tiempo continuo que consiste en "contar" eventosraros(de ah el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene unadistribucin exponencialcon el parmetro , y cada uno de estos tiempos entre llegadas se supone que es independiente de otros tiempos entre llegadas.

Un uso muy frecuente de la distribucin de Poisson surge en situaciones en las cuales los eventos ocurren a lo largo del tiempo, por ejemplo: ocurrencia de terremotos, personas que ingresan a un banco, emisiones de partculas por una fuente radiactiva.Distribucin de Poisson

La distribucin de Poisson es discreta (como labinomial) pues los valores que puede tomar la variable aleatoria son nmeros naturales. Aunque en la distribucin de Poisson los casos posibles en teora son infinitos (numerable).La distribucin de Poisson se caracteriza por un solo parmetro landa. Su media es landa y su varianza tambin es landa.La media est representada por un tringulo y se puede interpretar como un punto de equilibrio. Al arrastrarlo se modifica tambin el parmetro landa.Se puede mostrar una curvanormalque tiene la misma media y varianza que la distribucin de Poisson. Esta curva normal aproxima a la de Poisson en algunos casos.Los puntos grises controlan la escala vertical y horizontal de la grfica y pulsando el boton derecho y arrastrando podemos moverla a derecha e izquierda.

Ej.Pasan en promedio 3 camiones por hora. Caul es la probabilidad que en los 15 min pasa mas de uno?

X= nmero de camiones pasan en 15 minPoissonDiscreta

=(3)(15)=0.75

P(x>1)=0.18

Cul es el nmero esperado de el paso del camin?

E(x)=0.75

Var(x)=0.75

xP(x)F(x)000.470.4710.35.082Aproximacin Poisson a la distribucin binomialOtra forma de generar el modelo probabilstico de Poisson, es considerar un nmero muy grande de repeticiones de un experimento de Bernoulli, con probabilidades de xito muy pequeas.En este caso se supone que cada repeticin del experimento de Bernoulli que genera el espacio muestral, ocurre en cada punto del intervalo y, por lo tanto, el nmero de repeticiones puede considerarse infinito.Bajo ciertas condiciones, la distribucin de la variableXdefinida como el nmero de xitos en lasnrepeticiones, se aproxima (cuandontiende a infinito) a la funcin de probabilidades de Poisson. Por esta razn se considera a veces al modelo de Poisson como una forma lmite de la distribucin Binomial y se le utiliza para aproximar probabilidades en sta.Deacuerdo con lo anterior, si se desea aproximar el clculo de probabilidades de una variable binomial por una Poisson, debemos tomar en cuenta que la media de la distribucin Binominal esnp, por la que la aproximacin se debe hacer haciendol=np. Debemos recordar que para que la aproximacin sea buena, se requiere quensea grande yppequea. Enseguida se presenta un ejemplo.

Ej. Suponga que una variable aleatoriaXtiene distribucin Binomial con n = 100 y p = 0.001. Enseguida se presentan algunas probabilidades usando la distribucin Binomial y su aproximacin mediante la distribucin de Poisson conl=np= (100)(0.001) = 0.1.

XBinomialPoisson con =0.100.900.9010.090.0920.0040.00430.000150.000154.4 Distribuciones continuas. Distribucin uniforme continua, determinacin de su media y variancia.

La distribucin de probabilidad uniforme es un ejemplo de una distribucin de probabilidad es continua. Una distribucin de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos devariablesaleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquiervalor, y que resultan principalmente delprocesodemedicin.Ejemplos de variables aleatorias continuas son:La estatura de ungrupode personasEltiempodedicado a estudiarLatemperaturaen una ciudadEs una distribucin en el intervalo [a,b] en la cual las probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados, desde el mnimo deahasta el mximo deb. El experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple ladistribucin uniforme, ya que todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.

Lafuncindedensidadde una distribucin uniforme (altura de cada rectngulo en la grfica anterior) es:

Donde:a = mnimo valor de la distribucinb = mximo valor de la distribucinb a = Rango de la distribucinLa media, valor medio esperado o esperanzamatemticade una distribucin uniforme se calcula empleando la siguiente frmula:

La varianza de una distribucin uniforme se calcula empleando la siguiente frmula:

La probabilidad de que unaobservacincaiga entre dosvaloresse calcula de la siguiente manera:

Ej.Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante recibe clases en un determinado da entre las siguientes horas: 7:00 - 8:00 - 9:00 - 10:00 - 11:00 - 12:00 - 13:001) Cul es la funcin de densidad de la variable X?2) Elaborar un grfico de la distribucin de probabilidades3) Calcular el valor medio esperado4) Calcular la desviacin estndar5) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera media hora6) Si recibe clases deEstadsticaAplicada de 10:00 a 12:15, calcular la probabilidad de recibir esta asignatura.Solucin:1) a = 7 y b = 13Reemplazando valores en la ecuacin de la funcin de densidad se obtiene:

2) Elaborando el grfico de la distribucin de probabilidad empleandoExcelse obtiene:

4.4 Distribucin expopnencial, determinacin de su media y variancia. Distribuciones normal y normal estndar. Uso de tablas de distribucin normal estndar. Aproximacin de la distribucin binomial a la distribucin normal

Antes de introducir la variable exponencial puede mirarse un origen natural de sta a partir de una variable aleatoria Poisson, la cual indica el nmero de veces que ocurre un evento en una unidad de tiempo. Si se escribe la funcin de probabilidad Poisson de la siguiente manera:

La probabilidad que no ocurra ningn evento, en el periodo hasta el tiempo t esta dada por:

De esta manera, puede definirse ahora una variable aleatoria continua x que mide el tiempo que tarda en ocurrir el primer evento de Poisson. Es decir:

Lo que permite construir la funcin de distribucin acumulada as:

Al derivar, con respecto ax se tiene lafuncin de densidad de la variable aleatoria exponencial x.La variable aleatoria x que es igual a la distancia (o tiempo) entre ocurrencias sucesivas de un proceso Poisson con media>0 tiene una distribucin exponencial con parmetro .Funcin de densidad de Probabilidad:

Valor esperado:

Varianza:

La distribucin normal La distribucin normal fue estudiada por Gauss. Se trata de una variable aleatoria continua (la variable puede tomar cualquier valor real). La funcin de densidad tiene forma de campana.Dos parmetros determinan una distribucin normal: la media y la desviacin tpica. Cuanto mayor sea la desviacin tpica mayor es la dispersin de la variable.La distribucin normal es simtrica respecto de la media.

La media est representada por un tringulo y se puede interpretar como un punto de equilibrio. Al arrastrarlo se modifica tambin la media. El mismo efecto tiene el mover el punto correspondiente en la cspide de la curva.Arrastrando el otro punto sobre la curva (que es uno de los dos puntos de inflexin de la curva) se modifica la desviacin tpica.Podemos ver la funcin de distribucin acumulada y cmo cambia al modificar la media (simple traslacin) y la desviacin tpica (reflejando la mayor o menor dispersin de la variable).Los puntos grises controlan la escala vertical y horizontal de la grfica y pulsando el boton derecho y arrastrando podemos moverla a derecha e izquierda.