Tema 6. Cálculo deductivo en lógica de primer orden

a. Conceptos básicos

En un tribunal inglés, un hombre llamado Home, que acusaba a un vecino de asesinato, fue procesado por calumnias. Sus palabras exactas fueron: "Sir Thomas

Holt tomó un hacha y golpeó a su cocinero en la cabeza, de modo que una parte de la cabeza cayó sobre un

hombro, y la otra parte sobre el otro hombro".

Home fue absuelto, a indicación del tribunal; los doctos jueces declararon que sus palabras no constituían una acusación de asesinato, ya que no afirmaban que el

cocinero hubiese muerto: esto era una simple inferencia.

(Ambrose Bierce, Diccionario del diablo)

La deducción de primer orden

• Las nociones básicas de deducción en L1 son idénticas a las de L0: la idea es progresar desde ciertas premisas (o, a veces, ninguna) hasta cierta conclusión aplicando determinadas reglas de inferencia.

• La diferencia es que, al tener fórmulas más complejas, con nuevos símbolos, necesitaremos nuevas reglas que los involucren: esto se aplica especialmente a los cuantificadores y la identidad.

La deducción de primer orden• Es decir, el cálculo de predicados hereda todas

las reglas de inferencia que empleábamos en el proposicional, y añade unas cuantas más.

• Al igual que teníamos reglas de introducción y eliminación para cada conectiva, necesitaremos reglas de introducción y eliminación de los dos tipos de cuantificador.

• La eliminación del cuantificador consiste en una ejemplificación.

• La introducción del cuantificador es la inversa: consiste en “generalizar” desde un ejemplar

Ejemplificación (o particularización)• Una idea crucial en la deducción de primer orden es la

de ejemplificación.• Ejemplificar es presentar un caso particular de una

expresión cuantificada:Universal: 1. Todo el mundo es culpable

1’. Gutiérrez es culpableExistencial: 2. Alguno es culpable

2’. Gutiérrez es culpable• Nótese la diferencia: Si 1 es verdad, 1’ también lo es,

pero si 2 es verdad, 2’ no tiene por qué serlo.

Ejemplificación• En términos formales, ejemplificar un cuantificador

consiste en eliminar dicho cuantificador, sustituyendo todas las ocurrencias de la variable que liga, por una determinada constante individual:

xPx => Pax(Px Qx) => Pa Qax¬(Px Qx) => ¬(Pa Qa)OJO! xy(Px Qy) => y(Pa Qy) x¬Px => ¬PaxRxx => Raa OJO! xyRxy => yRay

Ejemplificación• Un universal es como una conyunción gigante (tal vez

infinita). Si afirmo: Todo número par es divisible por 2

es equivalente a afirmar:2 es divisible por 2 y 4 es divisible por 2 y 6 es divisible

por 2 y ... y 234738 es divisible por 2 y ...

• Un existencial es como una disyunción gigante:Algún número par es primo

equivale a:2 es primo o 4 es primo o 6 es primo o... o 76 es primo o

Ejemplificación• Esto muestra por qué la ejemplificación de un

enunciado universal se sigue siempre de dicho enunciado, mientras que la ejemplificación de un enunciado existencial no se sigue de él, es decir, no es su consecuencia lógica:

De ( ) se siguen tanto como como De ( ) no podemos decir que se sigue ni

tampoco que se sigue ni , lo único que sabemos es que si aquella disyunción es verdadera, debe darse al menos uno de los tres, pero no sabemos cuál.

Por tanto: debemos tener mucho cuidado al ejemplificar un existencial

Introducir un cuantificador• Introducir un cuantificador es la operación inversa de

la ejemplificación: desde un enunciado particular obtenemos uno más general, bien porque lo extendemos a la totalidad (universal), a una parte indeterminada de ella (existencial):

1. Gutiérrez es panameño 1’ Todo el mundo es panameño

2. Gutiérrez es panameño 2’ Alguien es panameño

Ahora es 2’ la que se sigue de 2, mientras que 1’ no se sigue de 1.

Introducir un cuantificador• Podemos verlo de nuevo en términos de conyunciones

y disyunciones:

De se sigue ( ) y por tanto también se sigue ( ...), que viene a equivaler a un .

De no se sigue ( ...), que viene a equivaler a un .

Por tanto: en este caso hay que tener cuidado con la introducción del universal

Resumen• Tendremos 4 casos:

1. ELIMINACIÓN DEL UNIVERSAL2. INTRODUCCIÓN DEL EXISTENCIAL3. INTRODUCCIÓN DEL UNIVERSAL4. ELIMINACIÓN DEL EXISTENCIAL

Los casos problemáticos son 3 y 4, de manera que comenzaremos por los menos problemáticos.

Lo haremos primero de manera informal y luego formal.

1. Eliminación del universal• Consideremos esta deducción:A. Todo mayordomo es un criminalB. Adams es mayordomoPor tanto: C. Adams es un criminal

¿cómo llegamos de A a C?• Un modo informal de verlo es:(A) nos dice que si uno es mayordomo, es un criminal,

así que si Adams es mayordomo, Adams es criminal(B) nos da el antecedente del condicional anteriorPor tanto, (C) resulta de aplicar un modus ponens sobre

ese condicional.

1. Eliminación del universal• Lo que hemos hecho es ejemplificar (A), eliminando

el universal, para aplicar aquello que afirma (A) a un individuo cualquiera (dentro del dominio sobre el que hablamos)

• En términos formales:1. x(Mx Cx) Premisa2. Ma Premisa3. Ma Ca Eliminación del Universal 14. Ca MP 2, 3

1. Eliminación del universal• Consideremos otro ejemplo:A. Todo mayordomo odia a los cocinerosB. Bert es mayordomoC. Carl es cocineroPor tanto, D. Bert odia a Carl

• En este razonamiento seguimos la misma pauta que en el anterior, pero teniendo en cuenta que, como estamos relacionando dos grupos, necesitamos particularizar en un individuo para cada grupo. Lo que (A) dice es: si uno es mayordomo y otro es cocinero, el primero odia al segundo.

1. Eliminación del universal• Veámoslo de manera formal:

1. xy((Mx Cy) Oxy) Premisa2. Mb Premisa3. Cc Premisa4. y((Mb Cy) Oby) EU 15. (Mb Cc) Obc EU 46. Mb Cc IC 2, 37. Obc MP 5, 6

1. Eliminación del universal• Todo cuantificador lleva una variable. Al eliminar el

cuantificador universal, miramos la fórmula que cae bajo su alcance y sustituimos las ocurrencias de la variable por una constante individual cualquiera.

• Sólo es factible eliminar el universal cuando el cuantificador es el “símbolo dominante” de la fórmula, i.e., cuando el cuantificador no se aplica sólo a una parte de la fórmula.

x(Px Qx) => Pa Qax(Px yQy) => Pa yQyxPx xQx => Pa xQx INCORRECTO

=> Pa Qa INCORRECTOy(Pb Qy) => Pb Qay(Pb Qy) => Pb Qb

2. Introducción del existencial• Consideremos esta deducción:A. Adams es mayordomoPor tanto, B. Alguien es mayordomo

• Es decir, si decimos de un individuo particular que tiene cierta propiedad P, podemos decir que hay al menos un individuo que tiene dicha propiedad:

1. Ma Premisa2. xMxIntroducción del Existencial 1

2. Introducción del existencial• Para introducir el existencial en una fórmula, hay

que sustituir cada ocurrencia de la misma constante en dicha fórmula por una misma variable, y colocar la fórmula bajo el alcance del existencial, con la variable en cuestión:

A. Bert envenena a ClairePor tanto, B. Alguien envenena a alguien

1. Ebc Premisa2. xExc IE 13. xyExy IE 2

Podemos hacerlo en otro orden:1 Ebc Premisa2’ xEbx IE 13’ yxEyx IE 2

3 y 3’ expresan lo mismo

2. Introducción del existencial• Al introducir cuantificador existencial, sustituimos por

una variable cada aparición de la misma constante. Para constante diferente, introducimos un nuevo existencial, con una nueva variable:

Pa Qa => xPx Qx INCORRECTO Pa xQx => y(Py xQx) Pa xQx => yPy xQx INCORRECTOPa Qb => x(Px Qb)Pa Qb => x(Pa Qx)Pa Qb => x(Px Qx) INCORRECTOx(Px Qb) => yx(Px Qy) x(Px Qb) => xx(Px Qx) INCORRECTO

3. Introducción del universal• Consideremos esta deducción:A. Las amas de llaves son psicópatasB. Los psicópatas juegan bien al musLlamemos Ann al ama de llaves:Por (A) sabemos que Si Ann es ama de llaves, Ann es

psicópata. Concluimos que nuestra Ann es psicópata.Por (B) sabemos que si Ann es psicópata, juega bien al

mus. Concluimos que Ann juega bien al mus.Por tanto, Si Ann es ama de llaves, Ann juega bien al

mus. Pero lo que vale para Ann, vale para cualquier otro nombre que le hubiésemos dado. Por tanto:

C. Las amas de llaves juegan bien al mus

3. Introducción del universal• En términos formales:1. x (Ax Px)

premisa2. x (Px Jx)

premisa 3. Aa hipótesis 4. Aa Pa EU 1 5. Pa Ja EU 2 6. Pa MP 3, 4 7. Ja MP 5, 68. Aa Ja ICd 3-79. x (Ax Jx) IU 8

Nótese que esta deducción funciona igual sea cual sea laconstante individualpor la que sustituimosla x. Si en vez de a, usamos b o c nuestraconclusión no varía.Es decir, la conclusiónse cumple para todoindividuo del dominio.

3. Introducción del universal• Consideremos esta otra deducción:A. Antonoff es un estrangulador búlgaroPor tanto,

B. Todo el mundo es un estrangulador búlgaro ???

(B) es a todas luces una conclusión absurda. Sin embargo, puede ocurrir que lleguemos a ella si aplicamos mal la Introducción del Universal:

1. Ea Ba Premisa

2. x(Ex Bx) Introd. del Universal 1 ???

3. Introducción del universal• El problema es que hemos generalizado desde un caso

particular. Esto nos muestra una restricción en la aplicación de la Introducción del Universal:

NO DEBEMOS INTRODUCIR EL UNIVERSAL SOBRE CONSTANTES QUE APARECEN EN LAS PREMISAS

• De otro modo podríamos llegar a conclusiones que no se siguen de las premisas

3. Introducción del universal• Veamos otro ejemplo:A. Los búlgaros son inquietantesLlamemos B. Antonoff a un búlgaro.Por (A) sabemos que si Antonoff es búlgaro, es

inquietante. Así que Antonoff es inquietante.Y lo que vale para Antonoff, vale para cualquier otro

individuo, por ejemplo, Bertoff. Así que:

• Si Antonoff es búlgaro, Bertoff es inquietante???• De nuevo hemos llegado a una conclusión absurda:

que Bertoff sea o no inquietante no parece tener que ver con el que Antonoff sea búlgaro

3. Introducción del universalVeamos cómo llegar formalmentea ese absurdo:1. x(Bx Ix) premisa 2. Ba hipótesis 3. Ba Ia EU 1 4. Ia MP 2, 3

5. xIx IU ??? 6. Ib EU 57. Ba Ib ICd 2-7

El problema reside únicamente en el paso 5, donde hemos universalizado sobre unindividuo que habíamos introducido en unsupuesto (línea 2), y dicho supuesto aún nose ha cerrado.

3. Introducción del universal• Esto nos muestra una segunda restricción en la

aplicación de la Introducción del Universal:

NO DEBEMOS INTRODUCIR EL UNIVERSAL SOBRE CONSTANTES QUE APARECEN EN SUPUESTOS QUE AÚN NO HAYAMOS CERRADO

• Recuérdese que un supuesto sólo se puede cerrar por una Reducción al Absurdo o una Introducción del Condicional.

3. Introducción del universal• Si no podemos introducir el universal sobre

constantes procedentes de premisas o de supuestos no cancelados: ¿de dónde proceden las constantes sobre las que lo introducimos?

• De universales anteriores que hemos particularizado por la regla de Eliminación del Universal.

• La idea general es: las conclusiones universales se obtienen desde enunciados universales

3. Introducción del universalVeamos otro ejemplo de una deducción bien hecha:A. Los mayordomos son lacónicosB. Ningún lacónico es de fiarPor tanto: C. Ningún mayordomo es de fiar

1. x(Mx Lx) prem. 6. La ¬Fa EU 22. x(Lx ¬Fx) prem. 7. ¬Fa MP 5, 6 3. Ma hip. 8. Ma ¬Fa ICd 3-7 4. Ma La EU 1 9. x(Mx ¬Fx) IU 8 5. La MP 3, 4

...

4. Eliminación del existencialConsideremos esta deducción:A. Hay un matemático psicópataB. Los psicópatas son buenos bailarinesPor tanto: C. Hay un matemático que es buen bailarín

Un modo de razonar es el siguiente:Por (A) sabemos de la existencia de un cierto individuo

que es matemático y psicópata. Llamémosle Archie.Por (B) sabemos que si Archie es psicópata, es buen

bailarín. Así que Archie es un matemático buen bailarín. Es decir, concluimos la existencia de un cierto individuo con estas dos propiedades.

4. Eliminación del existencialFormalmente:1. x(Mx Px)2. x(Px Bx)

3. Ma Pa (EE 1)4. Pa Ba EU 25. Pa EC 36. Ba MP 4, 57. Ma EC 38. Ma Ba IC 6, 79. x(Mx Bx) IE 810. x(Mx Bx) EE 1, 3-9

4. Eliminación del existencial• La idea general de la eliminación del es:

i) Ejemplificamos el en un individuo: esto es muy similar a introducir un supuesto o a los casos en que damos un nombre arbitrario a alguien que desconocemos: “llamemos Smith al asesino...”

ii) Derivamos usando nuestras reglas de inferencia.iii) Llegamos a cierta conclusión: podemos ahora

sacarla fuera del supuesto (fuera de la barra), siempre y cuando no dependa de la elección de individuo que hagamos en el paso (i)

4. Eliminación del existencial• Hay 4 casos generales en los que la elección de

individuo para ejemplificar es incorrecta:

I. Aparece en las premisasII. Aparece en la conclusión a la que hemos

llegado tras ejemplificar el III. Aparece en el enunciado cuyo eliminamosIV. Aparece en un supuesto, o una eliminación

de que hemos iniciado, y que no hemos cancelado

4. Eliminación del existencialI. Aparece en las premisas:

A. Alguien odia a AdamsSupongamos que B. es Adams quien odia a Adams Por tanto, C. Alguien se odia a sí mismo

1. xOxapremisa 2. Oaa (EE1) ??? 3. xOxx IE 24. xOxx EE 1, 2-3

4. Eliminación del existencialII. Aparece en la conclusión a la que hemos llegado tras

ejemplificar el A. Alguien es un asesinoSupongamos que B. Adams es un asesino Por tanto, C. Adams es un asesino

1. xAx premisa 2. Aa (EE1) 3. Aa rep 24. Aa EE 1, 2-3 ???Y podríamos continuar: 5. xAx ¡Todos somos asesinos!

4. Eliminación del existencialIII. Aparece en el enunciado cuyo eliminamos

A. Alguien envenena a alguienSupongamos que B. Adams es el envenenadorSupongamos que C. Adams es el envenenado Por tanto, D. Alguien se envenena a sí mismo

1. xyExy premisa 2. yEay (EE1) 3. Eaa (EE2) ??? 4. xExx IE 3 5. xExx EE 2, 3-46. xExx EE 1, 2-5

4. Eliminación del existencialIV. Aparece en un supuesto no cancelado:

a) una eliminación de que hemos iniciado, y que no hemos canceladoA. Alguien es presidente de EEUUB. Alguien es presidente de RusiaSea C. Adams es presidente de EEUU

Sea D. Adams es presidente de Rusia Entonces, E. Adams es presid. de EEUU y RusiaPor tanto, F. Alguien es presid. de EEUU y Rusia

4. Eliminación del existencialIV. Aparece en una eliminación de que hemos

iniciado, y que no hemos cancelado

1. xPx premisa2. xRx premisa3. Pa (EE1) 4. Ra (EE2) ??? 5. Pa Ra IC 3, 4 6. x(Px Rx) IE 57. x(Px Rx) EE 2, 4-68. x(Px Rx) EE 1, 3-7

4. Eliminación del existencialIV. Aparece en un supuesto no cancelado:

b) otro supuesto sin cancelar:A. Alguien es presidente de EEUUB. Todo búlgaro es europeoSupongamos que C. Adams es búlgaro Supongamos que D. Adams es presid. de EEUU Por B y C sabemos, E. Adams es europeoPor tanto, obtenemos F. Adams es presid. de EEUU y

europeoPor tanto, G. Si Adams es búlgaro, alguien es presid. de

EEUU y europeo

4. Eliminación del existencialIV. Aparece en otro supuesto no cancelado:

1. xPx premisa 2. x(Bx Ex) premisa3. Ba hipótesis 4. Pa (EE1) ??? 5. Ba Ea EU 2 6. Ea MP 3, 5 7. Pa Ea IC 4, 6 6. x(Px Ex) IE 57. x(Px Ex) EE 1, 4-68. Ba x(Ex Rx) ICd 3-7

Elección de individuo• La idea fundamental, tanto en la Introducción del

Universal, como en la Eliminación del Existencial es QUE LA DEDUCCIÓN NO DEPENDA DE LA ELECCIÓN PARTICULAR DE INDIVIDUO QUE HEMOS EFECTUADO.

• El problema no es que generalicemos desde ejemplares individuales, sino que lo hagamos desde propiedades circunstanciales de tales ejemplares.

Reglas de la identidad• Introducción de la Identidad (reflexividad)• En cualquier momento de una deducción podemos

añadir como premisa que un individuo es igual a sí mismo:

A. Quien sea Jack el Destripador, es cruelPor tanto, B. Jack el Destripador es cruel

1. x(x = a Cx) premisa2. a = a Ca EU 13. a = a II4. Ca MP 2, 3

Reglas de la identidad• Sustitución de la Identidad• Si dos individuos resultan ser el mismo, las

propiedades de uno se extienden al otroA. Jack el Destripador es malvadoB. Jack el Destripador es el médico del reyPor tanto, C. El médico del rey es malvado

1. Ma premisa2. a = b premisa3. Mb SI 1, 2

Reglas de inferencia primitivasEliminación del universal EUx ______ [x, c] para cualquier constante individual c

Introducción del existencial IE (c)_____x [c, x] siempre que x no ocurra en la fórmula (c)

Reglas de inferencia primitivasIntroducción del universal IU (c)_____ siempre que c no esté en las premisas o en

un x [c, x] supuesto no cancelado

Eliminación del existencial EEx [x, c] ... ________ siempre que c no esté en , ni en , ni en las premisas, ni en un supuesto no cancelado

Reglas de inferencia primitivasIntroducción de la identidad II_____t = t para cualquier término individual

Sustitución de la identidad SI

c1 = c2 c2 = c1

(c1) (c1)_______ _______

[c1, c2] [c1, c2]para cualquier ocurrencia de c1

Reglas de inferencia derivadas• Tenemos ya las 6 reglas de inferencia primitivas

para el cálculo deductivo de primer orden. Es decir, podemos realizar cualquier deducción con estas reglas, más todas las reglas heredadas del cálculo proposicional.

• Pero, como ocurría en aquel cálculo, hay una serie de reglas derivadas,que podemos obtener aplicando una secuencia de reglas primitivas y que nos permiten abreviar dicha secuencia.

• Veremos un ejemplo de demostración de cada regla derivada.

Eliminación del universal generalizada x1 ... xn (x1 ... xn)_________________

[x1 ... xn , c1 ... cn] la constante puede ser la misma

1. xyz((Rxy Ryz) Rxz) premisa2. yz((Ray Ryz) Raz) EU 1 [x, a]3. z((Rab Rbz) Raz) EU 2 [y, b]4. (Rab Rbb) Rab EU 3 [z, b]

1. xyz((Rxy Ryz) Rxz) premisa2. (Rab Rbb) Rab EUG 1 [x, a; y/z, b]

Introducción del existencial generalizada (c1 ... cn)_________________

x1 ... xn (x1 ... xn) una variable distinta para cadaconstante distinta

1. (Pa Pb) Rab premisa2. x((Px Pb) Rxb) IE 1[a, x]3. yx((Px Py) Rxy) IE 2 [b, y]

1. (Pa Pb) Rab premisa 2. yx((Px Py) Rxy) IEG 1[a, x; b, y]

Equivalencias entre cuantificadores • Al hablar de formalización del lenguaje natural

veíamos algunas equivalentes:Nadie es perfecto:x¬Px para cualquier x, x no es P

es lo mismo que:¬xPx no hay un x tal que x sea P

• Estas equivalencias no son sino instancias de la equivalencia general entre y :

x expresa lo mismo que ¬x¬• Las 4 reglas derivadas siguientes se limitan a

recoger esta equivalencia.

Definición del universal por el existencial x ¬x¬ ______ ______¬x¬ x

1. x Px premisa2. x¬Px hipótesis 3. ¬Pa (EE 2) 4. Pa EU 1 5. Pa ¬Pa IC 3,46. Pa ¬Pa EE 2, 3-57. ¬x¬Px RA 2-6

Nótese que la EE en la línea 6aparentemente viola una restricciónde la regla, dado que la constante aaparece en la primera línea de dichaEE. Pero nótese que, al obtenerseuna contradicción, podría obtenersedesde ella otra contradiccióncualquiera (o cualquier otra fórmula).

Definición del universal por el existencial x ¬x¬ ______ ______¬x¬ x

1. ¬x¬Px premisa 2. ¬Pa hipótesis 3. x¬Px IE 2 4. x¬Px ¬x¬Px IC 1, 35. Pa RA 2-46. xPx IU 5

Nótese que la línea 2 abre una hipótesis, no una eliminación del existencial.Dicha hipótesis se cierra con una de las reglas apropiadas, en este caso la Reducción al Absurdo

Definición del existencial por el universal x ¬x¬ ______ ______¬x¬ x

1. xPx premisa 2. x¬Px hipótesis 3. Pa (EE 1) 4. ¬Pa EU 2 5. Pa ¬Pa IC 3, 4 6. Pa ¬Pa EE 1, 3-56. ¬x¬Px RA 2-6

Nótese que el juego entre la RA y la Eliminación delExistencial es justamenteel inverso a la demostraciónde DUE: ahora abrimos laEE dentro de la hipótesisintroducida con vistas ala Reducción al Absurdo.

Definición del existencial por el universal x ¬x¬ ______ ______¬x¬ x

1. ¬x¬Px premisa 9. xPx RA 2-8 2. ¬xPx hipótesis 3. Pa hipótesis 4. xPx IE 3 5. xPx ¬xPx IC 2, 4 6. ¬Pa RA 3-5 7. x¬Px IU 6 8. x¬Px ¬x¬Px IC 1, 7

Negación del existencial al universal ¬x x¬ ______ ______x¬ ¬x

Negación del universal al existencial ¬x x¬ ______ ______x¬ ¬x

En estas demostraciones se aplican estrategias similaresa las 4 anteriores. Quedan como ejercicio.

Simetría de la identidad t1 = t2

________

t2 = t1

1. a = b premisa c1 = c2

2. a = a II (c1)3. b = a SI 1, 2

Nótese que la regla de sustitución de la identidad no supone que sustituyamos todas las ocurrencias de la constante. En este caso nos limitamos a sustituir la a marcada en rojo.

Transitividad de la identidad t1 = t2

t2 = t3

________

t1 = t3

1. a = b premisa c2 = c1

2. b = c premisa (c1)3. a = c SI 1, 2

La transitividad no es más que un caso especial de la sustitución de la identidad. Recuérdese que el igualador no es sino un predicado binario “especial”