Método Deductivo

Razonamiento DeductivoEl razonamiento deductivo consiste en aplicar una verdad general (ya demostrada) en ciertos casos particulares. El razonamiento deductivo es la base de las demostraciones matemáticas. Demostrar una propiedad es deducirlas de otras anteriormente ya demostradas. Por ejemplo; una vez demostrado el teorema de Pitágoras sabemos que es válido para cualquier triangulo rectángulo. Esta generalización que produce la demostración permite la aplicación de un teorema dado a cualquier caso particular.

CASO

GENERAL

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Casos Particulares

Razonamiento Deductivo

Ejercicios de AplicaciónEjemplo 1

Halle el valor de E:

ResoluciónSabemos que:

Luego tenemos que:

𝐸=(7000)3−(6999)3−(6999)2−7 (6999 ) .103

𝐸=(7000−6999 ) (70002+69992+7000.6999 )−69992−7 (6999 ) .103

𝐸=70002+69992+7 (6999 ) .103−69992−7 (6999 ) .103

𝐸=70002

Resolución

Calcular:

Ejemplo 2

Trabajando por partes:3√9 𝑥10 𝑥11+103√(10−1)𝑥10 𝑥 (10+1)+10

3√(102−1)𝑥10+103√(103−10)+10=3√103=10

Reemplazando en la expresión:

𝐸=3√99 𝑥100 𝑥101+10 3√9 𝑥10 𝑥11+10

𝐸=3√99 𝑥100 𝑥101+10 𝑥 (10)𝐸=3√(100−1)𝑥100 𝑥 (100+1)+102

𝐸=3√ (1002−1 )𝑥100+102

𝐸=3√ (1003−100 )+102

𝐸=3√ (1003−102 )+102

𝐸=3√1003

𝐸=100

Diferencia de cuadrados

Diferencia de cuadrados

Ejemplo 3Deduzca el valor de “x”, sabiendo que y además:

ResoluciónHacemos un cambio de variable: √√𝑥−1=𝑎

𝑎3

+3𝑎

=2

𝑎2+93𝑎

=2

𝑎2+9=6 𝑎𝑎2−6𝑎+9=0(𝑎−3)2=0𝑎−3=0

𝑎=3

Reemplazando

√√𝑥−1=𝑎

√√𝑥−1=3√𝑥−1=9√𝑥=10

𝑥=100

𝐷𝑎𝑑𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎=3

Ejemplo 4Si: Además:

ResoluciónDato: 12√𝑦=√𝑥+√ 𝑦−√𝑥−√𝑦

𝑀=√𝑥+√𝑦+√𝑥−√𝑦x

12√𝑦 𝑀=(√𝑥+√ 𝑦−√𝑥−√𝑦 )(√𝑥+√𝑦+√𝑥−√𝑦 )Diferencia de cuadrados

12√𝑦 𝑀=(√𝑥+√𝑦 )2− (√𝑥−√𝑦 )2

12√𝑦 𝑀=(√𝑥+√𝑦 )2− (√𝑥−√𝑦 )212√𝑦 𝑀=𝑥+√𝑦−𝑥+√𝑦=2√𝑦

12√𝑦 𝑀=2√𝑦

𝑀=1 /6

Problemas sobre cifras terminales

En esta parte nos dedicamos a calcular la última cifra del resultado de un número que va a ser expuesto a sucesivas operaciones.

Caso I

Caso II

Para números que terminen en: 0, 1, 5 ó 6

(… 0)𝑛=…0

(…1)𝑛=…1

(…5)𝑛=…5

(…6 )𝑛=…6𝑛∈ℤ+¿¿

Para números que terminen en: 4 ó 9

41=4

42=16

43=64

44=256

(… 4)𝑝𝑎𝑟=…6

(… 4)𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟=…4

91=992=81

93=729

94=6561

(… 9)𝑝𝑎𝑟=…1

(…9 )𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟=…9

Caso III Para números que terminen en: 2, 3, 7 ó 8

Como:

21=222=423=824=16

25=3226=6427=12828=256

Cada grupo de 4 la

última cifra se repite

(… 4)4=…6

Ejemplo 1En que cifra termina el resultado de A:

ResoluciónBusquemos la relación existente entre el exponente y el múltiplo de 4

20005003

2003 4

2003=4+3

Así:

𝐴=(…2)4+3=(…2)3=(…8)

Ejemplo 2En que cifra termina E:

ResoluciónAnalicemos la última cifra de cada caso:

(200 0)3000=(…0)3000=(…0)(2001)3001=(…1)3001=(…1)(2002)3002=(…2)4+2=(…2)2=(… 4)

(200 4)3004=(… 4)𝑝𝑎𝑟=(…6)(2003)3003=(…3)4+ 3=(…3)3=(…7)

(2005)3005=(…5)3005=(…5)(2006)3006=(…6)3006=(…6)(2007)3007=(…7 )4+3=(…7)3=(…3)(200 8)3008=(…8)4+4=(…8)4=(…6)(200 9)3009=(… 9)𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟=(… 9)

Luego𝐸=(…0 )+(…1 )+(…4 )+(…7 )+ (…6 )+ (…5 )+(…6 )+(…3 )+(…6 )+(…9)

𝐸=(…7)