lógica y cálculo proposicional
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Matemáticas DiscretasLógica y Cálculo Proposicional
M. en C. Juliho Castillo29 de enero de 2017
Tec de Monterrey, Campus Ciudad de México
1
1 Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones CompuestasProposiciones compuestas
Operaciones Lógicas BásicasConjunción p ∧ q
Disjunción p ∨ q
Negación ¬p
Proposiciones y Tablas de Verdad
Tautologías y Contradicciones
Equivalencias Lógicas
Sentencias condicionales y bicondicionales
Argumentos
Funciones proposicionales y Cuantificadores
Cuantificador universal
Cuantificador existencial
Negación de Sentencias Cuantificadas
Ejercicios ResueltosProposiones y Tablas de Verdad
Sentencias condicionales
Argumentos
Cuantificadores y Funciones Proposicionales
2
Lógica y Cálculo Proposicional
3
Muchos algoritmos y demostraciones usan expresiones lógicastales como si p entonces q. Entonces es necesario conocerlos casos en los cuales esas expresiones son ciertas ofalsas. Discutiremos esto en esta unidad.
4
También investigamos el valor de verdad de enunciadoscuantificados, que son aquellos que usan los cuantificadoreslógicos para todo... y existe...
5
Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y DeclaracionesCompuestas
6
Una proposición es un enunciado declarativo que puede sercierto o falso, pero no ambos.
7
Ejemplo 1.1.¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición?
1 El hielo flota en el agua.2 China está en Europa.3 2 + 2 = 4
4 2 + 2 = 55 ¿A donde vas?6 Haz tu tarea.
8
Proposiciones compuestas
9
Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones mássimples, llamadas subproposiciones, por medio de conectoreslógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puededescomponerse en proposiciones más simples.
10
Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones mássimples, llamadas subproposiciones, por medio de conectoreslógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puededescomponerse en proposiciones más simples.
10
Por ejemplo, las siguientes proposiciones son compuestas
“Las rosas son rojas y las violetas son azules”“Juan es inteligente y estudía hasta muy noche”
11
La propiedad fundamental de una proposición compuesta esque su valor de verdad está completamente deteminado por losvalores de verdad de sus subproposiciones y la manera en lacual están conectadas para formar la proposición compuesta.
12
Lógica y Cálculo Proposicional
Operaciones Lógicas Básicas
13
En esta sección discutiremos las tres operaciones lógicalbásicas: conjunción , disjunción y la negación.
14
Conjunción p ∧ q
15
Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas porla palabra “y” para formar una proposición compuesta llamadaconjunción que se escribe p ∧ q.
16
Definición 1.1.Si tanto p como q son ciertas, entonces p∧ q es cierta; en otrocaso p ∧ q es falsa.
17
Observación 1.1.Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0representará falso
18
Observación 1.1.Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0representará falso
18
Tabla de Verdad 1 (Conjunción).
p q p ∧ q
1 1 11 0 00 1 00 0 0
19
En este curso, usaremos el sistema algebráico de computoSageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje deprogramación Python e incorpora diversos paquetes deOpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través dehttps://cloud.sagemath.com/
20
En este curso, usaremos el sistema algebráico de computoSageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje deprogramación Python e incorpora diversos paquetes deOpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través dehttps://cloud.sagemath.com/
20
Construimos la tabla de verdad de la conjunción en elsiguiente scritp https://goo.gl/hEF5os
21
Ejemplo 1.2.¿Cuál de las siguientes proposiciones es cierta?
1 El hielo flota y 2 + 2 = 42 El hielo flota y 2 + 2 = 53 China está en Europa y 2 + 2 = 44 China está en Europa y 2 + 2 = 5
22
Disjunción p ∨ q
23
Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas porla palabra “o” para formar una proposición compuesta llamadadisjunción que se escribe p ∨ q.
24
Definición 1.2.Si tanto p como q son falsas, entonces p ∨ q es falsa; en otrocaso p ∨ q es verdadera.
25
Tabla de Verdad 2 (Disjunción).
p q p ∨ q
1 1 11 0 10 1 10 0 0
26
Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguientescritp https://goo.gl/5kXzNI
27
Observación 1.2.Algunas veces ``p o q'' se entiende en el sentido exclusivo:Puede ocurrir p o q, pero no ambos, que es diferente a ladefinición anterior. Sin embargo, existe un conector llamado dehecho o exclusivo, que cumple esta definición yconsideraremos más adelante.
28
Negación ¬p
29
Dada cualquier proposición p, otra proposición llamadanegación de p puede ser formada escribien “No es ciertoque...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,decimos no p y escribimos ¬p.
30
Dada cualquier proposición p, otra proposición llamadanegación de p puede ser formada escribien “No es ciertoque...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,decimos no p y escribimos ¬p.
30
Definición 1.3 (Negación).Si p es cierta, entonces ¬p es falsa; pero si p es falsa, ¬p escierta.
31
Tabla de Verdad 3 (Negación).
p ¬p
1 00 1
32
Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguientescritp https://goo.gl/sgCfkC
33
Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Tablas de Verdad
34
Sea P (p, q, ...) una expresión construida con variables lógicasp, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otrosque discutiremos más adelante.
Tales expresiones P (p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35
Sea P (p, q, ...) una expresión construida con variables lógicasp, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otrosque discutiremos más adelante.
Tales expresiones P (p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35
La propiedad principal de una proposición P (p, q, ...) es quesus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es através de una tabla de verdad.
36
La propiedad principal de una proposición P (p, q, ...) es quesus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es através de una tabla de verdad.
36
Ejemplo 1.3.Contruir la tabla de verdad de la proposición
¬ (p ∧ ¬q) .
37
Construimos la tabla de verdad de la proposición anterior conel siguiente script https://goo.gl/V2Axzi
38
Tabla de Verdad 4 (¬ (p ∧ ¬q)).p q not q p and not q not( p and not q)1 1 0 0 11 0 1 1 00 1 0 0 10 0 1 0 1
39
Observación 1.3.Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas vecesadoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su veztiene prioridad sobre ∨.
40
Observación 1.3.Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas vecesadoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su veztiene prioridad sobre ∨.
40
Por ejemplo,¬p ∧ q
significa(¬p) ∧ q
y no¬(p ∧ q).
41
Por ejemplo,¬p ∧ q
significa(¬p) ∧ q
y no¬(p ∧ q).
41
Método alternativo de construir una tabla de verdad
p q ¬ (p ∧ ¬ q)1 11 00 10 0
42
Evaluación Continua 1.Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
1 p ∨ ¬p
2 p ∧ ¬p
3 ¬ (p ∨ q)4 ¬p ∧ ¬q
5 ¬ (p ∧ q)6 ¬p ∨ ¬q
43
Lógica y Cálculo Proposicional
Tautologías y Contradicciones
44
Algunas proposiciones P (p, q, ...) son siempre ciertas, noimporta los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45
Algunas proposiciones P (p, q, ...) son siempre ciertas, noimporta los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45
De manera similar, algunas proposiciones P (p, q, ...) sonsiempre falsas, no importa los valores de verdad de lasvariables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46
De manera similar, algunas proposiciones P (p, q, ...) sonsiempre falsas, no importa los valores de verdad de lasvariables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46
Ejemplo 1.4.Construya las tablas de verdad de p ∧ ¬p y p ∨ ¬p.
47
Lógica y Cálculo Proposicional
Equivalencias Lógicas
48
Diremos que dos proposiciones P (p, q, ...) y Q(p, q, ...) sonlógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P (p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49
Diremos que dos proposiciones P (p, q, ...) y Q(p, q, ...) sonlógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P (p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49
Ejemplo 1.5.Demostremos que
¬ (p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
50
Ejemplo 1.6.Reescriba la frase “No es cierto que: las rosas son rojas y lasvioletas son azules”, usando la equivalencia anterior.
51
Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyespara el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesarioverificar su validez a través de tablas de verdad.
52
Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyespara el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesarioverificar su validez a través de tablas de verdad.
52
Figura 1.1: Leyes para el álgebra de proposiciones
53
Lógica y Cálculo Proposicional
Sentencias condicionales ybicondicionales
54
Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de laforma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdascondicionales y son denotadas por
p→ q.
55
Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de laforma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdascondicionales y son denotadas por
p→ q.
55
El condicional p→ q es frecuentemente leído como “p implicaq” o “p sólo si q”.
56
Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Talessentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57
Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Talessentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57
Tabla de Verdad 5 (Condicional).
p q p→ q
1 1 11 0 00 1 10 0 1
58
Tabla de Verdad 6 (Bicondicional).
p q p←→ q
1 1 11 0 00 1 00 0 1
59
Ejemplo 1.7.Demuestre que
p→ q ≡ ¬p ∨ q.
60
Evaluación Continua 2.Determine cuales de las siguientes sentencias son tautologías,construyendo las correspondientes tablas de verdad.
1 ¬ (p ∨ ¬q)→ ¬p
2 p→ (q → r)3 (p→ q)→ r
4 (p→ q)→ (q → p)5 (p ∧ (p→ q))→ q
6 (p ∧ q)→ p
7 q → (¬p ∨ ¬q)8 ((p→ q) ∧ (q → r))→ (p→ r)
61
Lógica y Cálculo Proposicional
Argumentos
62
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado deproposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicionQ, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn ` Q.
63
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado deproposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicionQ, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn ` Q.
63
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado deproposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicionQ, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn ` Q.
63
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” seformaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn ` Q se dice que es válido si laproposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” seformaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn ` Q se dice que es válido si laproposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” seformaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn ` Q se dice que es válido si laproposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn)→ Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p→ q ` q es un argumento válido.2 Demuestre que p→ q, q ` p es una falacia.3 Demuestre que p→ q,¬q ` ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p→ q ` q es un argumento válido.2 Demuestre que p→ q, q ` p es una falacia.3 Demuestre que p→ q,¬q ` ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p→ q ` q es un argumento válido.2 Demuestre que p→ q, q ` p es una falacia.3 Demuestre que p→ q,¬q ` ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.9.Un principio fundamental del razonamiento lógico nos diceque:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p→, q, q → r ` p→ r.
66
Ejemplo 1.9.Un principio fundamental del razonamiento lógico nos diceque:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p→, q, q → r ` p→ r.
66
Ejemplo 1.9.Un principio fundamental del razonamiento lógico nos diceque:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p→, q, q → r ` p→ r.
66
67
Ejemplo 1.10.
Si sube el dólar, sube la gasolina.Si sube la gasolina, entonces hay inflación.∴ Si sube el dólar, entonces hay inflación.
68
Lógica y Cálculo Proposicional
Funciones proposicionales yCuantificadores
69
Una función proposicional (o sentencia abierta o condición)definida en un conjunto A es una expresión p(x) que tiene lapropiedad de que p(a) es cierta o falsa para cada a ∈ A.
70
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y elsubconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) escierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplementeTp = {x | p(x)} .
71
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y elsubconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) escierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplementeTp = {x | p(x)} .
71
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y elsubconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) escierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplementeTp = {x | p(x)} .
71
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en elconjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 72 p(x) : x + 5 < 33 p(x) : x + 5 > 1
72
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en elconjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 72 p(x) : x + 5 < 33 p(x) : x + 5 > 1
72
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en elconjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 72 p(x) : x + 5 < 33 p(x) : x + 5 > 1
72
Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador universal
73
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificadoruniversal.
74
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificadoruniversal.
74
Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdaddepende de cada x ∈ A), la afirmación
∀x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple para todo x ∈ A.
75
Por otro lado, si existe algún x ∈ A tal que p(x) es falso,entonces
∀x ∈ A : p(x)
es falso.
76
Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77
Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77
Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador existencial
78
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) esverdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificadorexistencial.
79
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) esverdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificadorexistencial.
79
Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdaddepende de cada x ∈ A), la afirmación
∃x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple algún x ∈ A.
80
Por otro lado, si para todo x ∈ A, p(x) es falso, entonces
∃x ∈ A : p(x)
es falso.
81
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82
Lógica y Cálculo Proposicional
Negación de Sentencias Cuantificadas
83
Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84
Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84
De manera simbólica, si M de ntoa el conjunto de estudiantesde ingeniería, la negación anterior se puede escribir como
¬ (∀x ∈M : x sabe programar)≡ ∃x ∈M : x no sabe programar.
85
Si en el ejercicio anterior definimos
p(x) : x sabe programar,
entonces podemos reescribir la equivalencia anterior como
¬ (∀x ∈M : p(x))≡ ∃x ∈M : ¬p(x).
86
De manera similar
No hay estudiante de ingeniería que sepa programar
se puede reescribir como
Cada uno de los estudiantes de ingeniería no saben programar.
87
De manera simbólica, podemos reescribir
¬ (∃x ∈M : p(x))≡ ∀x ∈M : ¬p(x).
88
Teorema 1.1 (DeMorgan).
¬ (∀x ∈M : p(x)) ≡ ∃x ∈M : ¬p(x) (1.3)¬ (∃x ∈M : p(x)) ≡ ∀x ∈M : ¬p(x). (1.4)
89
Ejemplo 1.13.
La negación de la siguiente afirmación
Para todo entero positivo n, tenemos que n + 2 > 8
es
Existe un entero positivo n tal que n + 2 ≤ 8.
90
Ejemplo 1.14.
La negación de la siguiente afirmación
Existe una persona viva con 150 años o más.
es
Toda persona viva tiene menos de 150 años.
91
Observación 1.4.Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92
Observación 1.4.Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| 6= 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 12 .
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto.
93
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| 6= 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 12 .
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto.
93
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| 6= 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 12 .
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto.
93
Lógica y Cálculo Proposicional
Ejercicios Resueltos
94
Proposiones y Tablas de Verdad
95
Ejercicio Resuelto 1.Sea p : ``Hace frío'' y q : ``Está lloviendo''.Proponga un enunciado verbal simple que describa cada unade las siguientes proposiciones:
1 ¬p;2 p ∧ q;3 p ∨ q;4 q ∨ ¬p.
96
Ejercicio Resuelto 2.Encuentre la tabla de verdad de ¬p ∧ q.
97
Ejercicio Resuelto 3.Demuestre que la propisición
p ∨ ¬ (p ∧ q)
es una tautología.
98
Ejercicio Resuelto 4.Muestre que las proposiciones ¬ (p ∧ q) y ¬p ∨ ¬q sonlógicamente equivalentes.
99
Ejercicio Resuelto 5.Use las leyes en la tabla 1.1 para mostrar que
¬ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ≡ ¬p
100
Sentencias condicionales
101
Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102
Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102
Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p→ q. La proposiones
q → p,¬p→ ¬q,¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s ap→ q?
103
Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p→ q. La proposiones
q → p,¬p→ ¬q,¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s ap→ q?
103
Ejercicio Resuelto 8.Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104
Ejercicio Resuelto 8.Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104
Ejercicio Resuelto 9.Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como seaposible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.2 El nada si y solo si el agua está tibia.3 Si neva, entonce no manejaré.
105
Ejercicio Resuelto 9.Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como seaposible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.2 El nada si y solo si el agua está tibia.3 Si neva, entonce no manejaré.
105
Ejercicio Resuelto 9.Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como seaposible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.2 El nada si y solo si el agua está tibia.3 Si neva, entonce no manejaré.
105
Argumentos
106
Ejercicio Resuelto 10.Muestre que el siguiente argumento es una falacia:
p→ q,¬p ` ¬q.
107
Ejercicio Resuelto 11.Muestre que el siguiente argumento es válido:
p→ q,¬q ` ¬p.
108
Ejercicio Resuelto 12.Muestre que el siguiente argumentos siempre es válido:
p→ ¬q, r → q, r ` ¬p.
109
Ejercicio Resuelto 13.Determine la validez del siguiente argumento:
Si 7 es menor que 4, entonces 7 no es número primo7 no es menor que 47 no es número primo.
110
Ejercicio Resuelto 14.Determine la validez del siguiente argumento:
Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los respectivos ángulos opuestos son igualesDos lados de un triángulo no son igualesLos respectivos ángulos opuestos no son iguales.
111
Cuantificadores y Funciones Proposicionales
112
Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
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Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
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Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
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Ejercicio Resuelto 15.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cadauno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
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Ejercicio Resuelto 16.Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientesafirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”(de referencia):
1 ∃x∀y : x2 < y + 1;2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12;3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12.
114
Ejercicio Resuelto 16.Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientesafirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”(de referencia):
1 ∃x∀y : x2 < y + 1;2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12;3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12.
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Ejercicio Resuelto 16.Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientesafirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”(de referencia):
1 ∃x∀y : x2 < y + 1;2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12;3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12.
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Ejercicio Resuelto 17.Encuentre la negación de cada una de las siguientesafirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);2 ∀x∀y : p(x, y);3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
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Ejercicio Resuelto 17.Encuentre la negación de cada una de las siguientesafirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);2 ∀x∀y : p(x, y);3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
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Ejercicio Resuelto 17.Encuentre la negación de cada una de las siguientesafirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);2 ∀x∀y : p(x, y);3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
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Ejercicio Resuelto 18.Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cadauno de los siguientes conjuntos:
1 N2 Z− = {−1,−2,−3, ...}3 C
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Ejercicio Resuelto 18.Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cadauno de los siguientes conjuntos:
1 N2 Z− = {−1,−2,−3, ...}3 C
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Ejercicio Resuelto 18.Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cadauno de los siguientes conjuntos:
1 N2 Z− = {−1,−2,−3, ...}3 C
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Bibliografía
Las notas de esta sección están basadas en el capítulo 4``Logic and Propositional Calculus'' del libro
Lipschutz, S. and Lipson, M.; Schaum's Outline ofDiscrete Mathematics; McGraw-Hill, 3th Edition.
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