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TEMA 4

ANÁLISIS DE PIEZAS FLECTADAS

1. INTRODUCCIÓN.

Supongamos una viga IPN simplemente apoyada de luz L, sometida a la carga de un forjado unidireccional. El forjado carga uniformemente sobre la viga, de manera que actúa una carga uniformemente repartida p, expresada en kN/m. Dicha carga p produce un momento flector en el centro de la viga igual a Mf=p*L²/8, y una ley de cortantes con máximo valor en los apoyos, de valor V=p*L/2 (figura 1).

p(kN/m)

L

Ley de Mf (kN*m)

p*L²/8

Ley de V (kN)p*L/2

p*L/2

Figura 1 El momento flector produce una ley de tensiones normales en cualquier sección de la viga que se puede calcular, en régimen elástico, mediante la conocida fórmula de Navier, vista en resistencia de materiales:

yIzMf ⋅

=σ

donde:

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• σ: tensión normal • Mf: momento flector actuando en la sección de cálculo • z: distancia del eje de la fibra neutra al punto donde se quiere

calcular la tensión normal σ • Iy: momento de inercia de la sección con respecto al eje principal

y-y (ver figura 2a) Esta ley de tensiones varía linealmente, siendo mínima en la fibra del eje y-y, y máxima cuanto más nos alejemos del eje y-y (figura 2b). Si se dan ciertas condiciones en la geometría de la sección, se admitiría un comportamiento plástico de la sección (secciones de clases 1 y 2), pudiendo llegar en el caso extremo a plastificar toda la sección (figura 2c).

y y

máx = -fy

máx = +fy

compresión- tracción+Convenio de signos:

Mf

tensiones normalesDistribución de

en régimen elástico

máx = -fy

máx = +fy

tensiones normalesDistribución de

en régimen plástico

z

a) b) c)

Figura 2 En una sección donde no se admita plastificación (secciones de clases 3 y 4) el agotamiento de la sección se presenta en la fase elástica cuando la tensión en el borde de la pieza, σmáx, alcanza el valor fy, que es el límite elástico del acero, y el momento de agotamiento en fase elástica sería Mel, llamado “momento elástico”. En una sección que sí tenga capacidad de plastificación (secciones de clases 1 y 2) el agotamiento de la sección se presenta cuando en toda la altura de la sección se alcanza el valor fy, y el momento de agotamiento en fase plástica sería Mpl, llamado “momento plástico”. Naturalmente una sección que puede desarrollar toda su plasticidad soporta más momento flector que una sección que trabaja sólo en régimen elástico, es decir siempre Mpl > Mel. En secciones doble T simétricas respecto al eje y-y (perfiles IPN, IPE, HEB, UPN, etc) aproximadamente el momento plástico es un 15% superior al momento elástico.

3

Volviendo a la viga simplemente apoyada, el esfuerzo cortante produce una ley de tensiones tangenciales en cualquier sección de la viga que se puede calcular, en régimen elástico, mediante la conocida fórmula:

wy

y

tIzSV

⋅⋅

=)(

τ

donde: • τ: tensión tangencial a la altura de la ordenada z (z=0 en el eje y-

y) • V: cortante actuando en la sección de cálculo • Sy(z): momento estático de la sección comprendida entre las fibras

de ordenadas z y h/2 con relación a la fibra neutra (siendo h el canto total del perfil), si la sección es simétrica (así ocurre en un IPN; casi todas las secciones que emplearemos en estructuras metálicas de edificación serán simétricas)

• Iy: momento de inercia de la sección con respecto al eje principal y-y (ver figura 3a)

• tw: espesor del alma del perfil En la figura 3b se observa la distribución de tensiones tangenciales, ante un cortante V determinado, para cualquier sección del IPN.

y y máx

tensiones tangencialesDistribución de

en régimen elástico

z V

a) b)

Figura 3

El CTE permite emplear un método mucho más sencillo para calcular las tensiones tangenciales. Ya que el cortante prácticamente se transmite por el alma, las tensiones tangenciales se pueden calcular con la expresión:

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wthV⋅

=τ

donde: • V: cortante actuando en la sección de cálculo • h: canto del perfil • tw: espesor del alma del perfil Esta expresión simplificada llevaría a una distribución de tensiones tangenciales que es la que se observa en la figura 3c, significando que se admite una redistribución de las tensiones tangenciales, que ahora resultan constantes en toda la altura, y colaborando todo el canto “h” de la sección en resistirlas.

y yz V

Figura 3c 2. CLASIFICACIÓN DE SECCIONES EN FUNCIÓN DE SU

CAPACIDAD DE PLASTIFICACIÓN. CLASES 1, 2, 3 Y 4. El CTE-DB-SE-A en su apartado 5.2.4 clasifica las secciones de acero en cuatro tipos (ver figura 4, tomada del borrador de la norma EAE):

• Secciones de clase 1 (plásticas): son aquellas secciones que pueden alcanzar simultáneamente en todas las fibras el límite elástico fy, y además su capacidad de rotación es suficiente para permitir una redistribución de momentos formando rótulas plásticas. En el cálculo se emplea toda la sección.

• Secciones de clase 2 (compactas): son aquellas secciones que pueden alcanzar simultáneamente en todas las fibras el límite elástico fy, pero donde su capacidad de rotación es limitada y no permite una redistribución de momentos para formar rótulas plásticas. En el cálculo se emplea toda la sección.

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• Secciones de clase 3 (semicompactas): son aquellas secciones que permiten el desarrollo del momento elástico, sin permitir, en la fibra más comprimida, superar el límite elástico fy. En el cálculo se emplea toda la sección.

• Secciones de clase 4 (esbeltas): son aquellas secciones en las que antes de alcanzarse en la fibra más comprimida el límite elástico fy, se presenta un fenómeno de inestabilidad local en dicha zona comprimida (abolladura). En el cálculo se emplea la sección eficaz (o reducida).

Figura 4

La clasificación de la sección depende de la ley de tensiones normales que actúa sobre ella, del límite elástico del acero, y de las esbelteces de las alas y almas de la sección, definidas por las relaciones cw/tw o cf/tf (figura 5). A mayor esbeltez de alas y almas, mayor es la clase de la sección. Es decir, cuanto más esbelta es el alma o alas de un perfil, el perfil empieza a pertenecer a clases 2-3-4… pues va aumentando el riesgo de pandeo local (abolladura) en alas y/o alma.

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Figura 5

El criterio seguido por el CTE para las secciones de clase 4 (esbeltas) consiste en utilizar sólo superficies eficaces ideales de ala y alma despreciando la aportación de las zonas afectadas por problemas de inestabilidad. Así por ejemplo, la viga representada en la figura 6a, solicitada a flexión simple, presenta en una fase precrítica una ley de tensiones lineal con la colaboración de toda la sección (figura 6b). Si la tensión en las alas supera el valor que hace pandear la chapa, fase postcrítica, las tensiones de compresión, en ala superior y zona comprimida del alma, no se distribuyen ya uniformemente (figura 6c); como simplificación el CTE adopta un ancho eficaz ideal, beff, con tensiones repartidas uniformemente que proporcionen igual resultante para las alas (figura 6d). En lo que respecta al alma de la viga se prescinde por abolladura de la zona intermedia representada en blanco en la figura 6e. La parte superior del alma solicitada por las compresiones máximas no puede pandear por estar estabilizada (o arriostrada) por el ala superior de la viga, y por tanto sí se considera en la sección eficaz. La superficie comprimida del alma por encima de la fibra neutra queda también estabilizada por la parte del alma traccionada que impide su pandeo local, y también se incluye en la sección eficaz. La sección eficaz resultante, figura 6e, traslada la fibra neutra hacia el ala traccionada.

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Figura 6

El CTE da unas fórmulas para clasificar la clase de sección, en función de la esbeltez del ala y la esbeltez del alma (ver tabla 1 para almas y tabla 2 para alas). Estas tablas se utilizan para definir las clases 1, 2 y 3 en los elementos comprimidos de la sección. Como cada elemento comprimido de una sección (ala o alma) puede pertenecer a clases diferentes, se asignará a la sección la clase menos favorable, que será la mayor. Por ejemplo: si el ala es de clase 2 y el alma de clase 3, la sección será de clase 3. Si el ala o el alma no pertenece a ninguna columna de las tablas (clases 1, 2 ó 3), es directamente de clase 4.

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Tabla 1. Clasificación de almas

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Tabla 2. Clasificación de alas

En el libro de Ramón Argüelles se dan unas tablas (ver Anexo A del tomo 1), para acero S275, donde se indican las clases a las que pertenecen todas las secciones comerciales: IPN, IPE, HEB, HEA, HEM, UPN, angulares, tubos circulares, tubos cuadrados y tubos rectangulares, en función de que trabajen a compresión, a flexión con respecto al eje y-y, o a flexión con respecto al eje z-z. Resulta lo siguiente:

• IPN: siempre son de clase 1, para cualquier solicitación • IPE: para flexión en sus dos ejes, siempre de clase 1. Si

trabajan en compresión (no es usual, pues se emplean en vigas

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pero no en pilares), los mayores perfiles de la serie incluso están en clase 4 (por ejemplo el IPE500)

• HEB: Siempre en clase 1 (tanto para compresión como para flexión en sus dos ejes) hasta HEB550. A partir de HEB600 entramos en clase 2 con solicitación de compresión. En perfiles superiores a HEB600 (la serie llega hasta el HEB1000) sí estamos ya en clases 3 y 4 para solicitación de compresión (ver prontuario de Constructalia). Para flexión siempre estamos en clase 1, incluso con HEB1000.

• HEA: para flexión en sus dos ejes, siempre en clase 1 (incluso con HEA1000, ver Constructalia). Si trabajan en compresión los mayores perfiles de la serie incluso están en clase 4.

• HEM: siempre son de clase 1 para solicitaciones de flexión (incluso con HEM1000, ver Constructalia). Siempre en clase 1 hasta HEM700 con solicitaciones de compresión. Por encima de HEM700 empieza a meterse en clases superiores para solicitaciones de compresión.

• UPN: siempre son de clase 1, para cualquier solicitación (la serie llega hasta UPN400)

• UPE: siempre son de clase 1, para cualquier solicitación (la serie llega hasta UPE400)

• Angulares (perfiles L): pueden estar hasta en clase 3-4, tanto en flexión como en compresión (ojo por tanto con estos perfiles cuando los empleemos en vigas y pilares)

• Tubos circulares: siempre son de clase 1, para cualquier solicitación

• Tubos cuadrados: casi siempre son de clase 1, en algún caso son de clase 2 (se da para ciertos casos en compresión y en flexión)

• Tubos rectangulares: en flexión siempre son de clase 1. En compresión pueden estar incluso en clase 3.

Como vemos, la mayoría de los perfiles comerciales fueron ideados para que no tuviesen problemas de inestabilidad, pues se encuentran en su inmensa mayoría en clase 1 ó 2, sobre todo los más usados: para trabajar en flexión en vigas (IPN, IPE), y para trabajar en compresión en pilares (HEB, HEM, UPN). ¡OJO!”: estamos hablando de acero S275, que es el más empleado en edificación convencional. Si empleamos acero S355 (o incluso S460) la clase podría subir para ciertas secciones, habría que hacer siempre la comprobación de en qué clase de sección está el perfil para otro acero distinto al S275.

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3. EJEMPLO DE CLASIFICACIÓN DE UNA SECCIÓN. OBTENCIÓN DEL MOMENTO DE AGOTAMIENTO ELÁSTICO. MÓDULO RESISTENTE PLÁSTICO DE UNA SECCIÓN. OBTENCIÓN DEL MOMENTO DE AGOTAMIENTO PLÁSTICO.

Cojamos el perfil del ejemplo numérico visto en el Tema 2, un IPN220, sometido a flexión simple. Emplearemos el prontuario de Constructalia para obtener los datos geométricos de la sección. Suponemos un acero S275. 1º) Clasificación de la sección del IPN220

• Clasificación del alma: o Esbeltez del alma: c/t = 175.8mm/8.1mm = 21.7 o El alma en toda su altura está sometida a flexión simple,

por tanto hay que entrar en la fila “Flexión simple”, tabla 1. Observamos que en la columna “Clase 1” el límite de esbeltez para encontrarnos en dicha clase 1 es: 72*ε = 72*√(235/fy) = 72*√(235/275) = 66.56. Como la esbeltez del alma es 21.7 <66.56 → el alma es de clase 1

• Clasificación del ala:

o Esbeltez del ala: c/t = [(98mm-8.1mm)/2]/12.2mm = 3.68

o El ala que estamos clasificando es el ala comprimida, por tanto hay que entrar en la fila “Compresión”, tabla 2. Observamos que en la columna “Clase 1” el límite de esbeltez para encontrarnos en dicha clase es: 9*ε = 9*√(235/fy) = 9*√(235/275) = 8.32. Como la esbeltez del alma es 3.68 <8.32 → el alma es de clase 1

Al ser el ala y el alma de clase 1, la sección en su conjunto es de clase 1. Si observamos el prontuario de Constructalia para perfiles IPN, para un S275 la sección ya viene clasificada como de clase 1 (interpolando entre S235 y S355).

2º) Obtención del momento de agotamiento elástico de la sección del IPN220 El módulo resistente elástico de la sección del IPN220, con respecto a su eje principal de inercia y-y, se deduce de la expresión de la fórmula de Navier, haciendo y=h/2, siendo h el canto total de la sección:

elyyy WMf

hIMf

IhMf

IyMf

=⋅

=⋅

=)2//(

2/σ

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Donde Wel es el módulo resistente elástico. Si adoptamos como tensión normal el límite elástico de cálculo del acero (σ=fyd) y despejamos Mf de la expresión anterior obtenemos el momento de agotamiento elástico de la sección Mel, que sería el máximo momento que podría soportar la sección en régimen elástico:

elelydel MWfWMf =⋅=⋅= σ

Operando numéricamente obtenemos un momento de agotamiento elástico: Mel = fyd*Wel = 275N/mm²/1.05*278000mm3 = 72809524 N*mm El módulo resistente elástico (Wel=278000mm3) está tabulado en el prontuario de Constructalia, y también se puede deducir del momento de inercia Iy, dividiendo el momento de inercia por la mitad del canto, h/2.

Wel = Iy / (h/2) = 30600000mm4 / (220mm/2) = 278182mm3 No sale exactamente igual, pero es por una cuestión de redondeo del prontuario. No obstante, la sección es de clase 1, y por tanto podemos aprovechar más el material ya que admite un comportamiento totalmente plástico. Calculemos ahora cuánto resiste la sección aprovechando su capacidad de plastificación. 3º) Módulo resistente plástico de la sección del IPN220 El momento de agotamiento plástico se calcularía empleando el módulo resistente plástico, que también aparece tabulado en el prontuario de Constructalia, vale Wpl = 324000mm3 El módulo resistente plástico Wpl se puede calcular de otro modo: es el doble del momento estático de la semisección con respecto al eje y-y→ Wpl = 2*Sy El momento estático es el producto del área por la distancia del centro de gravedad de dicha área al eje considerado (en nuestro caso el eje y-y). El perfil IPN tiene el ala con los bordes curvos y de espesor variable, pero podemos simplificar suponiendo espesor constante, obteniendo: Sy = (b-tw)*tf*(h/2 – tf/2) + h/2*tw*h/4 = (98mm-8.1mm)*12.2mm*(220m/2 – 12.2mm/2) + 220mm/2*8.1mm*220mm/4 = 162960.44 mm3

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Y por tanto el modulo resistente plástico es Wpl = 2*Sy = 2*162960.44mm3 = 325920.88mm3 ~ 324000mm3 (valor tabulado en el prontuario de Constructalia) 4º) Obtención del momento de agotamiento plástico de la sección del IPN220 Se calcularía igual que hicimos para calcular el momento de agotamiento elástico, pero empleando ahora el módulo resistente plástico en vez del elástico:

plplyd MWfMf =⋅=

Operando numéricamente obtenemos un momento de agotamiento plástico: Mpl = fyd*Wpl = 275N/mm²/1.05*324000mm3 = 84857143 N*mm Si observamos, el momento de agotamiento plástico es mayor que el momento de agotamiento elástico en un porcentaje igual a: Mpl/Mel = 84857143N*mm/72809524 N*mm ~ 1.16, un 16% mayor Es decir, calculando en régimen plástico, podemos aprovechar un 16% más la capacidad resistente de la sección en flexión simple. 4. INTERACCIÓN DE ESFUERZOS EN SECCIONES. 4.1. RESISTENCIA DE LAS SECCIONES A FLEXIÓN Y

CORTANTE. Vamos a analizar cómo se calculan las secciones sometidas a flexión y cortante según el CTE-DB-SE-A, sin tener en cuenta fenómenos de inestabilidad (pandeo o abolladura). Los tipos de cálculo que se pueden realizar, dependiendo de la clase de sección, son los siguientes:

• Secciones de clases 1 y 2: cálculo plástico o elástico, empleando toda la sección

• Secciones de clase 3: cálculo elástico, empleando toda la sección

• Sección de clase 4: cálculo elástico, sobre la sección eficaz

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4.1.1. Cálculo de secciones de clases 1 y 2 4.1.1.1. Cálculo elástico de secciones de clases 1 y 2 Es un cálculo que siempre nos deja del lado de la seguridad, ya que la capacidad de plastificación de las secciones de clase 1 y 2 permitiría siempre realizar un cálculo plástico, aprovechando mejor la capacidad resistente de la sección. En el cálculo elástico se emplea la fórmula de la tensión de comparación, según el criterio de Von Mises:

ydco f≤+= ²3² τσσ

siendo: • σco: tensión de comparación • σ: tensión normal (producida por el momento flector) • τ: tensión tangencial (producida por el cortante) • fyd: límite elástico de cálculo del acero, donde fyd=fy/γM0 Ejemplo numérico: Supongamos que proyectamos un edificio de viviendas con luces entre pilares de 5.0m en ambas direcciones principales del edificio, con pórticos metálicos de 3 vanos formados por pilares HEB y vigas IPN. Las cargas en la planta de vivienda son las siguientes:

• PP forjado: 3.0 kN/m2 (forjado de viguetas) • CP planta vivienda (suelos + techos): 1.5 kN/m2 • CP tabiquería planta vivienda: 1.0 kN/m2 • CP de cerramiento convencional de doble hoja: 7.0 kN/ml • SC uso planta vivienda: 2.0 kN/m2 Calculemos la viga del vano central en un pórtico interior del edificio. Dicha viga está biempotrada en los pilares HEB, en la figura 7 se observa la ley de momentos flectores y cortantes. Comprobamos si cumple con un IPN260 (Peso propio del IPN260: 0.419 kN/ml)

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p(kN/m)

L=5.00m

Ley de Mf (kN*m)

pL²/24

Ley de V (kN)pL/2

pL/2

__

+

-pL²/12 -pL²/12

Figura 7

A los esfuerzos debidos a las acciones gravitatorias se les sumará los esfuerzos debidos al viento, que en los extremos de la viga son: • Momento en la unión con el pilar debido al viento: 2.86kN*m • Cortante en la unión con el pilar debido al viento: 1.14 kN Momentos y cortantes sin mayorar debido a acciones gravitatorias:

• Acciones permanentes (G): o Momento flector sin mayorar en centro de vano: M =

pL²/24 = [0.419kN/m + 5m* (3kN/m² + 1.50kN/m² + 1.0kN/m²)]* (5.0m)²/24 = 29.09kN*m

o Momento flector sin mayorar en extremo de viga, en la unión con los pilares: M = pL²/12 = [0.419kN/m + 5m* (3kN/m² + 1.50kN/m² + 1.0kN/m²)]* (5.0m)²/12 = 58.17kN*m

o Cortante sin mayorar en extremo de viga, en la unión con los pilares: V = pL/2 = [0.419kN/m + 5m*(3kN/m²+1.50kN/m²+1.0kN/m²)]*5.0m/2 = 69.80kN

• Acciones variables (Q): o Momento flector sin mayorar en centro de vano: M =

pL²/24 = 5m* 2kN/m²* (5.0m)²/24 = 10.42kN*m o Momento flector sin mayorar en extremo de viga, en la

unión con los pilares: M = pL²/12 = 5m* 2kN/m²* (5.0m)²/12 = 20.84kN*m

o Cortante sin mayorar en extremo de viga, en la unión con los pilares: V = pL/2 = 5m*2N/m²*5.0m/2 = 25.0kN

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• Situaciones Persistentes, considerando la sobrecarga de uso

como variable principal (Q1) y el viento como concomitante:

La sección más desfavorable de la viga será la de su unión con el pilar, ya que en ella actuará el máximo momento flector y el máximo cortante. Calculamos aquí el momento mayorado y el cortante:

• Md = 1.35*58.17kN*m + 1.50*20.84kN*m+ 1.50*0.60*2.86kN*m = 112.37 kN*m

• Vd = 1.35*69.80kN + 1.50*25.0kN + 1.50*0.60*1.14kN = 132.76kN

La fibra más crítica de la sección a priori no sabemos cuál es, ya que la máxima tensión normal σ actúa en el borde superior o inferior de la sección (ver figura 2b), pero aquí la tensión tangencial τ es mínima (ver figura 3b). En el eje de flexión la tensión tangencial es máxima, pero la tensión normal es nula, luego esta fibra está descartada. Haremos dos comprobaciones de la tensión de comparación: en el borde superior de la pieza (o en el inferior, que daría igual, donde la tensión normal es máxima), y justo donde el alma se une con el ala (ya que aquí la tensión tangencial es ya muy grande, y también es muy grande la tensión normal).

Comprobación en la fibra del borde superior de la pieza

• ²/5.254105740

130*1037,11244

6

mmNmm

mmmmNIyMd

y

=⋅⋅⋅

=⋅

=σ

• ==≤=+=+= 0/²/50.2540*3²)²/5.254(²3² Myydco ffmmNmmN γτσσ

²/9.26105.1/²/275 mmNmmN == → CUMPLE •

Comprobación en la fibra de unión del alma con el ala

• ²/5.204105740

)2/9,208(*1037,11244

6

mmNmm

mmmmNIyMd

y

=⋅⋅⋅

=⋅

=σ

• ²/2.484,9105740

)]2/1,14130(*)1,14*113[(*132760)(44 mmN

mmmmmmmmmmmmN

tIzSV

wy

yd =⋅⋅

−=

⋅

⋅=τ

(o bien con la expresión simplificada que permite emplear el

CTE: ²/4.544,9260

132760 mmNmmmmN

thV

w

d =⋅

=⋅

=τ , que da un valor

bastante similar)

17

• ==≤=+=+= 0/²/9.220²)²/2.48(*3²)²/5.204(²3² Myydco ffmmNmmNmmN γτσσ

²/9.26105.1/²/275 mmNmmN == → CUMPLE

4.1.1.2. Cálculo plástico de secciones de clases 1 y 2

Se ha de verificar siempre (apartado 6.2.6 del CTE-DB-SE-A):

plydpld WfMM ⋅=<

siendo:

• Md: Momento de cálculo que solicita a la sección • Mpl: Momento plástico resistente de la sección • fyd: límite elástico de cálculo del acero, donde fyd=fy/γM0 • Wpl: módulo resistente plástico

Ejemplo numérico: Para el IPN260 del ejercicio anterior tenemos:

mkNmmNmmmmNWfM plydpl *62.134*6.134619047514000*05.1/²/275 3 ===⋅=Md = 112.37kN*m < Mpl = 134.62kN*m → CUMPLE En esta comprobación no se tiene en cuenta el cortante actuante en la viga. Esto permite hacerlo el CTE si el cortante de cálculo es menor que la mitad de la resistencia a cortante de la sección (cortante plástico resistente). La resistencia a cortante de la sección según el apartado 6.2.4 del CTE-DB-SE-A es:

3yd

vpl

fAV ⋅=

siendo:

• Vpl: Cortante plástico resistente de la sección • Av: Área a cortante (en secciones en I o H simplificadamente se

puede tomar Av=h*tw, donde h es el canto de la sección y tw es el espesor del alma del perfil)

• fyd: límite elástico de cálculo del acero, donde fyd=fy/γM0 Comprobemos que el cortante de cálculo es menor que la mitad de la resistencia a cortante de la sección:

18

kN

NmmNmmmmf

thf

AV ydw

ydvpl

6.369

2.3695593

05.1/²/275*4.9*26033

=

===⋅=⋅=

Vd = 132.76 kN < Vpl/2 = 369.6kN/2 = 184.8 kN → CUMPLE Si el cortante de cálculo es mayor que la mitad de la resistencia a cortante de la sección, según el CTE-DB-SE-A, apartado 6.2.8, hay que comprobar la siguiente expresión:

ydw

vplvd f

tAWMM ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

−=<4

²ρ → Para secciones en I o H

ydplvd fWMM ⋅−⋅=< )1( ρ → Para el resto de secciones

siendo:

• Md: Momento de cálculo que solicita a la sección • Mv: Momento plástico resistente a flexión y cortante

combinados • Wpl: módulo resistente plástico • ρ = (2*Vd/Vpl - 1)², donde Vd es el cortante de cálculo y Vpl el

cortante plástico resistente de la sección • Av: Área a cortante (en secciones en I o H simplificadamente se

puede tomar Av=h*tw, donde h es el canto de la sección y tw es el espesor del alma del perfil)

• tw: espesor del alma del perfil • fyd: límite elástico de cálculo del acero, donde fyd=fy/γM0

Para cargas usuales en edificación el cortante de cálculo es inferior a la mitad de la resistencia a cortante de la sección, por tanto se puede despreciar la contribución del cortante en el dimensionamiento de las piezas. 4.1.2. Cálculo de secciones de clase 3 En secciones simétricas de clase 3 el cálculo es siempre elástico, ya que una sección de clase 3 no tiene capacidad de redistribuir tensiones en régimen plástico cuando se alcanza el límite elástico en la fibra más comprimida. Se calcula con toda la sección resistente del perfil. Su cálculo es exactamente igual al cálculo elástico visto para secciones de clases 1 y 2 (apartado 4.1.1.1). Por tanto siempre tendremos que comprobar que se cumple el criterio de Von Mises (σco = √ [(σ)²+3*τ²] ), introduciendo en la expresión las tensiones normales σ

19

producidas por los momentos flectores, y las tensiones tangenciales τ producidas por los cortantes. No obstante, en secciones asimétricas de clase 3 donde se alcance antes el límite elástico en la fibra más traccionada que en la más comprimida, se puede permitir una plastificación de la zona traccionada, permitiéndose dicha plastificación hasta que se alcance el límite elástico en la fibra más comprimida. En la figura 8 se ilustra el fenómeno para una sección asimétrica de clase 3.

y yf.n.e.

a) Sección asimétricafase elástica

b) Diagrama final c) Diagrama límite

< fy

fy

f.n.e.f.n.p.

= fy

fy

Mf

Figura 8

4.1.3. Cálculo de secciones de clase 4 En secciones de clase 4 el cálculo es siempre elástico, ya que una sección de clase 4 no tiene capacidad de redistribuir tensiones en régimen plástico, con el agravante de que antes de alcanzarse en la fibra más comprimida el límite elástico fy, se presenta un fenómeno de inestabilidad local en dicha zona comprimida (abolladura). En el cálculo se emplea la sección eficaz (o reducida), para tener en cuenta este fallo previo por inestabilidad local. En este cálculo se desprecia la contribución de ciertas partes de las alas y del alma del perfil (ver figura 6). Ello conlleva la determinación de unas nuevas características mecánicas, las de la sección eficaz, que resulta un proceso laborioso, y sobre esta sección se hacen las comprobaciones estructurales. No entraremos más en el cálculo de las secciones de clase 4, ya que normalmente los perfiles que emplearemos en edificación serán perfiles laminados, encontrándose casi todos en clases 1, 2 y 3. Sobre todo los perfiles angulares (perfiles L) pueden estar en ciertos casos en clase 4, pero son perfiles menos empleados en la estructura resistente de un edificio.

20

Donde sí se da la clase 4 es en ciertos perfiles armados, compuestos por la unión de chapas independientes para alas y almas, que se montan soldándolas o atornillándolas para conseguir secciones mayores que las que nos proporcionan los perfiles laminados, para casos de grandes luces. Para consultar el cálculo de secciones de clase 4 puede seguirse el tema 9 (Secciones esbeltas) del libro de Ramón Argüelles, tomo 1. 4.2 FLEXIÓN ESVIADA La flexión esviada se produce cuando actúan sobre la sección un axil y dos momentos (un momento actuando según el eje principal y-y y otro momento actuando según el eje principal z-z). El CTE-DB-SE-A da las siguientes fórmulas de interacción de esfuerzos (apartado 6.2.8):

1≤++pl

d

pl

d

pl

d

MzMz

MyMy

NN

→ Para secciones de clases 1 y 2

1≤++el

d

el

d

pl

d

MzMz

MyMy

NN

→ Para secciones de clase 3

100

≤⋅+

+⋅+

+Mz

eNMzMy

eNMyNN NzddNydd

u

d → Para secciones de clase 4

donde: • Nd: axil de cálculo • Npl: resistencia de la sección a axil, con Npl=A*fy/γM0, donde A es el área

total de la sección • Myd: momento flector de cálculo actuando en el eje y-y • Mypl: momento plástico de la sección según el eje y-y, con Mypl =

Wpl,y*fy/γM0, donde Wpl,y es el módulo resistente plástico según el eje y-y • Mzd: momento flector de cálculo actuando en el eje z-z • Mzpl: momento plástico de la sección según el eje z-z, con Mzpl =

Wpl,z*fy/γM0, donde Wpl,z es el módulo resistente plástico según el eje z-z • Myel: momento elástico de la sección según el eje y-y, con Myel =

Wel,y*fy/γM0, donde Wel,y es el módulo resistente elástico según el eje y-y • Mzel: momento elástico de la sección según el eje z-z, con Mzel =

Wel,z*fy/γM0, donde Wel,z es el módulo resistente elástico según el eje z-z • Nu: resistencia de la sección a axil, con Nu=Aeff*fyd, donde Aeff es el área de

la sección eficaz • eNy: desplazamiento en la dirección y del centro de gravedad de la

sección debido a la pérdida de sección eficaz • eNz: desplazamiento en la dirección z del centro de gravedad de la

sección debido a la pérdida de sección eficaz

21

• My0 = Weff,y*fyd, donde Weff,y es el módulo resistente elástico de la sección eficaz respecto al eje y-y

• Mz0 = Weff,z*fyd, donde Weff,z es el módulo resistente elástico de la sección eficaz respecto al eje z-z

• fyd: resistencia de cálculo del acero: fy/γM0 • fy: límite elástico del acero • γM0: coeficiente parcial de seguridad del material, que en todos los

casos vale γM0=1.05 En estas fórmulas de interacción no se tiene en cuenta el cortante, que se puede despreciar siempre que el cortante de cálculo actuando en la sección no supere la mitad de la resistencia a cortante de la sección, circunstancia que ocurre casi siempre. En el caso de perfiles laminados en I o H el efecto del axil puede despreciarse si no llega a la mitad de la resistencia a tracción del alma (este comentario vale sobre todo para vigas o viguetas, donde esta circunstancia ocurre casi siempre pues apenas actúan axiles sobre vigas o viguetas). Ejemplo numérico: Sobre un perfil HEB200 de calidad S275 actúan los siguientes esfuerzos de cálculo (ver figura 9):

• Nd = 500kN • Myd = 88kN*m • Mzd = 20 kN*m

y y

z

z

z

z

y

y

MydMzd

Myd

Mzd

Nd

Figura 9

Comprobar si la sección es válida. Resolución: Como vimos en la página 10 y como se puede comprobar en el prontuario de Constructalia, el HEB200 siempre es de clase 1 (. Del prontuario de Constructalia obtenemos las características mecánicas:

• A: 7810 mm2 • Wpl,y: 642500 mm3

22

• Wpl,z: 305800 mm3 Resistencia de cálculo del acero: fyd=fy/γM0=275 N/mm²/1.05 = 261.9 N/mm²

1≤++pl

d

pl

d

pl

d

MzMz

MyMy

NN

=++²/9,261*800.305

*10*20²/9,261*500.642

*10*88²/9,261*²7810

000.5003

6

3

6

mmNmmmmN

mmNmmmmN

mmNmmN

= 1.017 > 1 → NO CUMPLE, habrá que emplear un perfil mayor (probar con el siguiente de la serie, el HEB220).