tema 5 - estructuras iii
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Tema 5 de la asignatura de Estructuras III de la ETSAG. Año de docencia 2012.TRANSCRIPT
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TEMA 5
PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIN. PANDEO
1. INTRODUCCIN. FUNDAMENTO TERICO DEL PANDEO POR FLEXIN.
A) FRMULA DE EULER
En una barra biarticulada axialmente comprimida por una fuerza N (ver figura 1), suponiendo la barra totalmente vertical y recta, con
mdulo de elasticidad (E) constante a lo largo de toda su longitud e igual momento de inercia (I) respecto a cualquier eje, y sin tensiones
residuales en el material que la compone, se dice que se alcanza la carga crtica de Euler cuando se cumple que:
L
IEN E
siendo:
NE: carga crtica de Euler
E: mdulo de elasticidad I: momento de inercia de la seccin
L: longitud de la pieza
N
L
N
Figura 1
A la carga NE le corresponde una tensin crtica de Euler de valor:
-
2
A
N EE
donde A es el rea de la seccin transversal de la barra.
Al aproximarse el axil N que sufre la barra a la carga crtica NE la
columna puede permanecer recta, si no existe causa que la aparte de dicha posicin, o iniciar su pandeo si existe alguna causa que altere
su equilibrio (imperfecciones en su forma, descentramiento de la carga, etc).
Para valores de N > NE se combara la barra, con una deformada que
se observa en la figura 2, apareciendo un momento (momento de 2 orden) de valor N*vmax generndose en un anlisis elstico una
tensin mxima en la barra de valor:
elW
vN
A
N maxmax
siendo:
N: esfuerzo axil de compresin
A: rea de la seccin de la columna vmax: flecha en el centro de la columna
Wel: mdulo resistente elstico de la seccin respecto al plano en el que flecta la barra
N
L
N
vmax
v = v *senmaxx
L
Figura 2
Para valores de N ligeramente superiores a NE la flecha mxima vmax se deduce de la siguiente expresin (ver libro de Argelles):
-
3
ENNLv /9.0max
donde N = N-NE
Para pequeos incrementos de carga N (por ejemplo de slo el 1.5%
de NE) la flecha resultante (vmax) es grande, provocando que en el clculo de la tensin de la barra el trmino correspondiente al
momento de segundo orden (N*vmax/Wel) alcance valores muy altos para ratios de incrementos de carga N muy pequeos, lo que hace
que coincidan prcticamente la carga crtica NE y la carga de
agotamiento de la pieza, sobreviniendo ste bajo tensiones de compresin = NE/A que pueden ser muy inferiores a la tensin de
rotura del material, o incluso a su lmite elstico, si la barra
comprimida es suficientemente esbelta.
B) LONGITUD DE PANDEO EN BARRAS AISLADAS
La frmula de Euler vista en el primer apartado de este tema est expresada para barras articuladas en su pie y cabeza.
La frmula de Euler se puede generalizar mediante la expresin:
)(
k
EL
IE
L
IEN
donde: : coeficiente de pandeo, que depende de las restricciones de los
extremos de la barra Lk: longitud de pandeo. Esta longitud coincide con la distancia
entre puntos de inflexin de la deformada de la barra En la figura 3 se refleja el valor del coeficiente de pandeo para
distintos casos de barras, tal y como se define en la tabla 6.1 del
CTE-DB-SE-A. En definitiva, adopta los valores 1.0 (biarticulada), 0.5
(biempotrada), 0.7 (empotrada-articulada), 1.0 (biempotrada desplazable) 2.0 (en mnsula).
-
4
N
L
N
1
BARRABIARTICULADA
N
L
N
2
BARRABIEMPOTRADA
(no desplazable) (no desplazable)
deslizadera
Lk=
L
Lk=
0.5
L
PI
PI
N
L
N
3
BARRAEMPOTRADA-ARTICULADA
(no desplazable)
Lk=
0.7
L
PI
4
BARRABIEMPOTRADA
N
L
N
deslizadera
Lk=
L
PI
PI
N
L
N
5
BARRAEN MNSULA
Lk=
2L
PI: punto de inflexin de la deformada
DESPLAZABLE
Figura 3
En el anlisis de barras a pandeo, ste se analizar normalmente segn dos planos principales, coincidentes con los ejes Y y Z del perfil
que compone la pieza. Las condiciones de contorno de un perfil pueden no coincidir segn sus dos planos principales. Por ejemplo
una columna puede estar biempotrada en una direccin de pandeo, pero empotrada-libre en la otra; por tanto se hablar en general de dos coeficientes de pandeo, y y z.
Por ejemplo, en la figura 4 se observa una columna (perfil IPN),
empotrada en su base y con las coacciones en cabeza que se observan: libre en cabeza en su flexin segn el eje Y (movimiento
horizontal en cabeza segn Z) y articulada en cabeza en su flexin segn el eje Z (movimiento horizontal en cabeza segn Y).
Figura 4
-
5
Los coeficientes de pandeo sern por tanto:
y = 2.0
z = 0.7
C) ESBELTEZ MECNICA ()
La esbeltez mecnica se define como:
= L/i
donde:
: esbeltez mecnica
L: longitud de la pieza que se analiza a pandeo
i: radio de giro = A
I, donde I es la inercia a flexin de la
seccin y A es el rea de la seccin
La esbeltez mecnica es un parmetro muy importante, que expresa directamente la mayor o menor robustez de una barra frente al
pandeo. Por ejemplo un pilar HEB (figura 5) tiende a pandear ms fcilmente segn el eje principal Z que segn el eje principal Y, ya
que la inercia a flexin segn el eje Y (eje fuerte) es mucho mayor.
Z
Y
Z
Y
Figura 5 Se hablar por tanto de dos esbelteces mecnicas, z y y, segn los
dos planos principales de flexin de la pieza.
Con objeto de predimensionar las piezas adecuadamente frente al pandeo, se recomienda no sobrepasar los siguientes lmites de
esbeltez mecnica:
En barras comprimidas de elementos principales (pilares por ejemplo) 200
-
6
En barras comprimidas de elementos secundarios o de
arriostramiento (diagonales de cruces de San Andrs por ejemplo) 250
En estructuras sometidas a cargas dinmicas (sismos, impactos,
estructuras esbeltas sometidas a viento) se recomienda rebajar prudentemente los valores anteriores
En barras traccionadas de la estructura principal la esbeltez mecnica no superar el valor de 300, pudiendo admitirse
valores de hasta 400 en las barras de arriostramiento
Posteriormente veremos cmo el CTE introduce la esbeltez mecnica
en la comprobacin de piezas a pandeo.
D) LONGITUD DE PANDEO EN BARRAS PERTENECIENTES A PRTICOS Y CERCHAS
Las estructuras metlicas ms usuales en edificacin no consisten en
barras aisladas. No obstante existen ciertos casos donde se podra analizar a pandeo una barra con los coeficientes de pandeo vistos
para barras aisladas.
Esto ocurre por ejemplo en los pilares de una nave que soporten unas cerchas en cubierta. En la figura 6 se observan dos soluciones (A y
B) para dicha nave.
Y
X
A) B)
Y
X cruces
cruces
Figura 6
En la solucin A la estructura no dispone de arriostramientos; ante acciones horizontales de viento o sismo en direccin X e Y, se mover
de manera que se puede considerar, a efectos del clculo a pandeo de los pilares, como barras aisladas empotradas en su base y libres en cabeza, por tanto el coeficiente de pandeo ser igual a 2.0 para
el pandeo de los pilares segn sus dos ejes principales.
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En la solucin B la estructura dispone de arriostramientos a base de
cruces de San Andrs en direccin Y, pero no en direccin X; ante acciones horizontales de viento o sismo en direccin Y la nave apenas
se desplazar en cabeza, pudiendo considerarse, a efectos de clculo, como barras aisladas empotradas en su base y articuladas en cabeza, por tanto el coeficiente de pandeo ser igual a 0.7 para pandeo de
los pilares segn esa direccin. Por el contrario en direccin X, la
nave no est arriostrada, por tanto s se mover en cabeza, y a efectos de clculo, los pilares se considerarn como barras aisladas
empotradas en su base y libres en cabeza, por tanto el coeficiente de pandeo ser igual a 2.0 para el pandeo de los pilares segn esa
direccin.
Para el anlisis de los pilares de un prtico de edificacin, o de las barras que componen la estructura triangulada de una cercha (las
que componen su viga), tendremos que calcular los coeficientes de pandeo segn otros procedimientos, que se exponen a
continuacin.
d.1) Pilares de prticos de edificios: se emplern las expresiones que
aparecen en el apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A, dadas para prticos intraslacionales o traslacionales.
La definicin de un prtico como intraslacional o traslacional es la
siguiente:
Prticos intraslacionales: cuando el edificio est arriostrado con sistemas triangulados (cruces de San Andrs u otros), o con
pantallas o ncleos de hormign armado, de manera que stos absorban ms del 80% de las fuerzas horizontales de viento o
sismo en la direccin considerada (el 20% restante de las fuerzas horizontales las absorbern los pilares). O lo que es lo mismo, el
sistema de rigidizacin reduce los desplazamientos en esa direccin en al menos un 80%, frente a la solucin sin
arriostramientos (slo con los pilares del prtico). Un edificio con pequeas acciones horizontales de viento o sismo tambin se
puede considerar instralacional, siempre que la suma de las fuerzas horizontales actuando sobre el edificio sean menores que
1/80 de la suma de las cargas gravitatorias (esto ocurrira por ejemplo en una vivienda de una sola planta, ubicada en un centro
urbano (accin de viento mnima) en un municipio sin sismo).
Prticos traslacionales: cuando no se cumpla lo anterior.
Los prticos traslacionales sufrirn mucho ms a pandeo, con coeficientes de pandeo mayores en el clculo.
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En las dos hojas siguientes se refleja el artculo 6.3.2.5 del CTE-DB-
SE-A para pandeo de prticos, suponiendo pilares continuos en toda su altura (nudos rgidos entre un pilar y su superior).
Como se observa, en prticos intraslacionales los coeficientes de pandeo en pilares oscilan entre 0.5 y 1.0, y en prticos
traslacionales los coeficientes de pandeo en pilares oscilan entre 1.0
y 5.0.
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9
-
10
d.2) Barras de elementos triangulados (cerchas o arriostramientos):
se adoptarn los valores de longitud de pandeo Lk que aparecen en el apartado 6.3.2.4 del CTE-DB-SE-A, que se refleja a continuacin.
En todo lo hablado hasta ahora sobre pandeo se supone que los
axiles son constantes en toda la longitud de la barra, y que la seccin de la pieza es constante en toda su longitud. Esto ocurre en
edificacin en la inmensa mayora de los casos, pues la seccin de un pilar, diagonal etc. suele ser constante en toda su longitud, y los
axiles suelen variar muy poco a lo largo de la longitud de la pieza, o se pueden considerar axiles constantes a efectos de clculo (por
ejemplo en pilares, donde el axil aumenta hacia abajo debido a su peso propio).
No obstante, existen apartados del CTE-DB-SE-A donde se analizan
los siguientes casos de barras comprimidas:
Barras con esfuerzos axiles variables (apartado 6.3.2.2), para analizar por ejemplo el pandeo fuera del plano del cordn
comprimido de una cercha Barras de seccin variable (apartado 6.3.2.3)
Barras de seccin compuesta (apartado 6.3.2.6)
2. PANDEO GLOBAL EN BARRAS RECTAS DE SECCIN CONSTANTE, SOMETIDAS A ESFUERZO AXIL CONSTANTE DE
COMPRESIN.
En este apartado trataremos barras comprimidas de seccin constante donde se puedan despreciar los esfuerzos de flexin,
actuando slo un axil constante de compresin.
Se debe cumplir la siguiente expresin:
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ydRdbd fANN , siendo:
Nd: axil de clculo en la barra
Nb,Rd: resistencia a pandeo de la barra : coeficiente de reduccin por pandeo
A: rea de la seccin transversal en secciones de clases 1, 2 y 3, rea eficaz (Aeff) en secciones de clase 4
fyd: resistencia de clculo del acero, fyd=fy/M1, donde fy es el
lmite elstico del acero, y M1 es el coeficiente de reduccin de
la resistencia del material (apartado 2.3.3 del CTE-DB-SE-A), de valor M1=1.05 para fenmenos de inestabilidad
El coeficiente depende de la esbeltez reducida () y de la curva de
pandeo correspondiente.
La esbeltez reducida se obtiene con la frmula:
cr
y
N
fA
donde:
A: rea de la seccin transversal en secciones de clases 1, 2 y
3, rea eficaz (Aeff) en secciones de clase 4
fy: lmite elstico del acero Ncr: carga crtica de pandeo
La carga crtica de pandeo (o de Euler) se obtiene con la frmula:
donde:
Lk: longitud de pandeo de la pieza E: mdulo de elasticidad
I: inercia a flexin segn el plano considerado donde se est comprobando el pandeo
El coeficiente de reduccin por pandeo se calcula con la expresin
analtica:
1)(
1
IEL
Nk
cr
2
-
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donde )2.0(15.0 ; el coeficiente es el coeficiente de imperfeccin elstica, que depende de las tensiones residuales de la seccin, y que adopta los valores de la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A en
funcin de la curva de pandeo a la que pertenezca el perfil que estamos comprobando. El proceso de clculo a realizar es el
siguiente:
1) Elegimos la curva de pandeo (a0, a, b, c d) de la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A, en funcin del tipo de perfil que compone la pieza, del
tipo de acero y del eje de pandeo que estemos analizando:
-
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2) Adoptamos el coeficiente de imperfeccin elstica
correspondiente:
Curva a0 = 0.13 Curva a = 0.21 Curva b = 0.34 Curva c = 0.49 Curva d = 0.76
Con y (sta ltima se calcula como se explica en el prrafo
anterior) calculamos el valor de 3) Con los valores de y calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo
4) Con el valor de comprobamos a pandeo con la expresin:
ydRdbd fANN , El coeficiente de reduccin por pandeo , aparte de con la expresin
analtica vista anteriormente, se puede obtener tambin de otras dos
maneras:
1. Directamente mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A:
-
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2. Directamente mediante la grfica de las curvas de pandeo de la figura 6.3 del CTE-DB-SE-A:
EJEMPLO DE CLCULO
Clculo a pandeo de un pilar interior de planta baja de un edificio de viviendas en Madrid.
Datos:
Edificio de viviendas en Madrid, dimensiones en planta
25mx15m, dos alturas, 3.0m de altura cada planta Estructura: Prticos de carga + forjado unidireccional de
viguetas metlicas + vigas de arriostramiento en las dos fachadas largas del edificio, en la direccin de las viguetas. No
existen vigas de arriostramiento en la direccin de las viguetas, entre pilares interiores. 6 prticos de carga de 3 vanos en la
direccin corta del edificio (vanos de 5.0m), luces de viguetas (separacin entre prticos de carga) de 5.0m
Nudos rgidos viga-pilar en la unin viga de carga-pilar, y en la unin viga de arriostramiento-pilar. Pilares HEB, vigas IPN.
Suponemos los pilares orientados segn su mxima inercia contenida en el plano de los prticos de carga
Acero S275
Cargas gravitatorias:
-
15
PP forjado: 3.0 kN/m2 (forjado de viguetas) en ambas plantas
CP planta vivienda (suelos + techos): 1.5 kN/m2 CP planta cubierta (cubierta no visitable): 2.0 kN/m
CP tabiquera planta vivienda: 1.0 kN/m2
CP de cerramiento convencional de doble hoja en planta de vivienda: 7.0 kN/ml
SC uso planta vivienda: 2.0 kN/m2 SC uso planta cubierta (conservacin): 1.0 kN/m SC nieve: 0.6 kN/m (~700m, zona 4, tabla E.2 CTE-DB-SE-
AE). No obstante, consideramos la nieve incluida en la SC de
conservacin de cubierta a efectos de clculo
Accin de viento:
0.72kN/m en fachada, en planta baja (presin + succin)
0.77kN/m en fachada, en planta 1 (presin + succin)
Clculo de esfuerzos realizado con SAP2000 para uno de los prticos de carga interiores. Esfuerzos de clculo:
Nd: 485 kN
Md: 8.3 kN*m (con viento actuando en cualquier direccin en planta del edificio) ~ podemos despreciar este momento, es
muy pequeo a efectos de clculo
Resolucin:
1) Clculo de la longitud de pandeo Lk del pilar interior de planta
baja. Se realiza con el apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A. Lo realizaremos para la dos direcciones posibles de pandeo del pilar.
Clasificamos primero el edificio como intraslacional o traslacional, en
cada direccin en planta. El edificio no tiene cruces de San Andrs ni pantallas de arriostramiento. Segn el CTE, si la suma de fuerzas
horizontales (viento en nuestro caso) no supera 1/80 veces la suma de las cargas gravitatorias, se puede considerar intraslacional. Esta
comprobacin habr que realizarla en las dos direcciones en planta del edificio, la realizamos con el conjunto de fuerzas que actan en el
edificio, que es ms exacto.
Direccin Y (prticos de carga):
Suma de fuerzas horizontales (viento): 0.72kN/m*25.0m*3.0m + 0.77kN/m*25.0m *3.0m = 111.75
kN
-
16
Suma de cargas gravitatorias: (3.0kN/m + 1.5kN/m +
1.0kN/m + 2.0 kN/m)*25.0m*15.0m + (3.0kN/m + 2.0kN/m + 1.0 kN/m)*25.0m*15.0m + 7.0kN/m*(2*25+2*15) = 5622.5kN aumentamos un 5%
para tener en cuenta el peso propio del prtico (pilares y vigas) 5622.5kN*1.05 = 5903.6kN
El cociente entre la suma de fuerzas horizontales y la suma de cargas gravitatorias es: 111.75kN/5903.6kN = 0.0189 ~ 1/53 > 1/80
estructura traslacional en direccin Y
Direccin X (en la direccin del forjado):
Suma de fuerzas horizontales (viento): 0.72kN/m*15.0m*3.0m + 0.77kN/m*15.0m *3.0m = 67.05
kN Suma de cargas gravitatorias: 5903.6kN
El cociente entre la suma de fuerzas horizontales y la suma de cargas gravitatorias es: 67.05kN/5903.6kN = 0.0114 ~ 1/88 < 1/80 estructura intraslacional en direccin X
Calculamos las rigideces de pilares y vigas Kc, K1, K2, K11, K12, K21,
K22, en cada direccin posible de pandeo del pilar interior de planta baja (ver apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A). Suponemos secciones
HEB200 para pilares e IPN220 para vigas de carga.
Rigideces en la direccin global Y de pandeo, cuya deformacin est contenida en los prticos de carga
Las rigidez de cada pilar ser E*I/L (HEB200), donde I es la inercia a
flexin segn el eje fuerte del pilar (Iy).
Las vigas son vigas de carga IPN220. En cuanto a las rigideces de las vigas, hay que elegir su valor de la tabla 6.5 del CTE-DB-SE-A.
Elegiremos el valor 0.5*E*I/L (entramos en la columna sin compresin relevante, con giro de igual valor absoluto y de signo opuesto, ya que los giros en cada extremo de la viga sern debidos a la deformacin de la viga ante acciones gravitatorias, el viento
apenas produce giros en la viga).
Kc=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm4/3000mm=3.99E9 N*mm
K1=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm4/3000mm=3.99E9 N*mm
K11=K12=0.5*E*I/L=1.5*210.000N/mm*30600000mm4/5000mm=
=6.43E8 N*mm
K2, K21 y K22 no se pueden calcular pues no existen esas posiciones
de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin).
-
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Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:
86.09643.09643.0999.3999.3
999.3999.3
12111
1
1
EEEE
EE
KKKK
KK
c
c
02 , valor que se asigna en el arranque del pilar en la cimentacin,
extremo empotrado. Si hubiese estado articulado el pilar en cimentacin se asignara 2 = 1.0 (ver Argelles, pgina D9 del Tomo
1).
Con la expresin (6.25) para prticos traslacionales obtenemos el coeficiente de pandeo :
63.1086.06.0)086.0(8.01
086.012.0)086.0(2.01
6.0)(8.01
12.0)(2.01
2121
2121
L
Lk
Si operamos directamente con el grfico de la figura 6.4 del CTE-DB-SE-A obtenemos igualmente un coeficiente de pandeo ~ 1.63
Despejamos la longitud de pandeo Lk del pilar Lk = *L =
1.63*3.0m = 4.89m; esta ser la longitud de pandeo segn el eje fuerte del pilar, Lk = 4.89m
Rigideces en la direccin global X de pandeo, cuya deformacin est
contenida en la direccin perpendicular a los prticos de carga
Las rigidez de cada pilar ser E*I/L (HEB200), donde I ahora es la inercia a flexin segn el eje dbil del pilar (IZ).
En cuanto a las rigideces de las vigas K11 y K12, estas vigas no existen
pues entre pilares interiores no hay vigas de arriostramiento. Esto quiere decir que K11=K12 = 0.
Kc=E*I/L=210.000N/mm*20030000mm
4/3000mm=1.4E9 N*mm
K1=E*I/L=210.000N/mm*20030000mm4/3000mm=1.4E9 N*mm
K11=K12=0
K2, K21 y K22 no se pueden calcular pues no existen esas posiciones
de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin). Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:
0.10094.194.1
94.194.1
12111
1
1
EE
EE
KKKK
KK
c
c
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02 , valor que se asigna en el arranque del pilar en la cimentacin,
extremo empotrado. Si hubiese estado articulado el pilar en cimentacin se asignara 2 = 1.0 (ver Argelles, pgina D9 del Tomo
1).
Con la expresin (6.24) para prticos intraslacionales obtenemos el coeficiente de pandeo :
Si operamos directamente con el grfico de la figura 6.4 del CTE-DB-SE-A obtenemos igualmente un coeficiente de pandeo ~ 0.70
Despejamos la longitud de pandeo Lk del pilar Lk = *L =
0.70*3.0m = 2.10m; esta ser la longitud de pandeo segn el eje dbil del pilar, Lk = 2.10m
2) Clculo de la carga crtica de pandeo:
Con respecto al eje fuerte del pilar:
Con respecto al eje dbil del pilar:
3) Clculo de la esbeltez reducida:
Con respecto al eje fuerte del pilar:
660.09.4937092
/2757810
N
mmNmm
N
fA
cr
y (adimensional)
Con respecto al eje dbil del pilar:
478.07.9413722
/2757810
N
mmNmm
N
fA
cr
y (adimensional)
4) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo
NmmmmNmm
IEL
Nk
cr 9.493709256960000/000.2104890
4
22
70.001247.0)01(364.02
01265.0)01(145.01
247.0)(364.02
265.0)(145.01
2121
2121
L
Lk
NmmmmNmm
IEL
Nk
cr 7.941372220030000/000.2102100
4
22
-
19
Primero tenemos que escoger la curva de pandeo. Al tratarse de
pilares HEB, en la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A entramos en la fila de perfiles laminados; segn el prontuario de Constructalia estamos con una relacin geomtrica h/b 1.2 y t 100mm.
Para el pandeo segn el eje fuerte del perfil (pandeo segn Y-Y), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo b de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.34
Para el pandeo segn el eje dbil del perfil (pandeo segn Z-Z), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo c de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.49
Calculamos el factor )2.0(15.0 : Para el pandeo segn el eje fuerte = 0.5*[1+0.34*(0.66-
0.2)+0.66] = 0.796 Para el pandeo segn el eje dbil = 0.5*[1+0.49*(0.478-
0.2)+0.478] = 0.682
Calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo: Para el pandeo segn el eje fuerte
1806.066.0796.0796.0
1
)(
1
y
Para el pandeo segn el eje dbil
1856.0478.0682.0682.0
1
)(
1
z
Otra manera de calcular los coeficientes de reduccin por pandeo es
mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A, donde obtenemos directamente los mismos valores para y y z que con la expresin
analtica.
Otra opcin para calcular es mediante la figura 6.3 del CTE-DB-SE-
A, donde obtenemos grficamente y y z.
Recordemos que se debe cumplir siempre que 1
5) Comprobacin a pandeo con el axil de clculo
Con respecto al eje fuerte del pilar:
ydyRdbd fANN ,
-
20
kNNd 485
kNNmmNmmfAN ydyRdb 16498.164865305.1//2757810806.0,
Con respecto al eje dbil del pilar:
ydzRdbd fANN ,
kNNd 485
kNNmmNmmfAN ydzRdb 17516.175092705.1//2757810856.0,
Se cumple holgadamente que Rdbd NN , , el pilar est muy sobrado.
Habr que rehacer los nmeros, buscando un perfil HEB ms pequeo
que cumpla para no desperdiciar tanto acero.
3. PANDEO GLOBAL EN BARRAS RECTAS DE SECCIN CONSTANTE, SOMETIDAS A FLEXIN ESVIADA,
DESPRECIANDO LOS EFECTOS DEL PANDEO POR TORSIN.
En el apartado anterior se han analizado a pandeo global barras
sometidas a axil de compresin, sin flexin.
Si la expresin estudiada a axil la reordenamos, obtendramos el primer trmino de la expresin que se emplea en el pandeo global en
flexin esviada, de la siguiente forma:
1,
yd
dydRdbd
fA
NfANN
En el caso de que acten adems dos momentos (My actuando segn el eje fuerte y Mz actuando segn el eje dbil de la seccin)
tendramos la expresin completa para el pandeo global en flexin esviada.
Las expresiones generalizadas para flexin esviada, con o sin el
efecto del pandeo por torsin, se presentan en el CTE-DB-SE-A en el apartado 6.3.4.2.
Para casos en los que se puedan despreciar los efectos del pandeo
por torsin las expresiones de clculo en flexin esviada son las siguientes:
-
21
a) Para secciones de clases 1, 2 y 3:
1*
,,
ydz
dzzm
zz
ydy
dyym
y
ydy
d
fW
Mck
fW
Mck
fA
N
1*
,,
ydz
dzzm
z
ydy
dyym
yy
ydz
d
fW
Mck
fW
Mck
fA
N
b) Para secciones de clase 4:
1*
,,,,
ydz
dzNdzzm
zz
ydy
dyNdyym
y
ydy
d
fW
NeMck
fW
NeMck
fA
N
1*
,,,,
ydz
dzNdzzm
z
ydy
dyNdyym
yy
ydz
d
fW
NeMck
fW
NeMck
fA
N
donde:
Nd: axil de clculo Myd: momento de clculo actuando segn el eje fuerte de la seccin Mzd: momento de clculo actuando segn el eje dbil de la seccin y: coeficiente de reduccin por pandeo segn el eje fuerte de la seccin z: coeficiente de reduccin por pandeo segn el eje dbil de la seccin A*: rea de la seccin (ver tabla 6.12 del CTE-DB-SE-A) Wy: momento resistente segn el eje fuerte de la seccin, ver tabla 6.12 del
CTE-DB-SE-A Wz: momento resistente segn el eje dbil de la seccin, ver tabla 6.12 del
CTE-DB-SE-A fyd: resistencia de clculo del acero: fy/M1
fy: lmite elstico del acero M1: coeficiente parcial de seguridad del material, que en todos los
casos vale M1=1.05
y, z: parmetros (ver tabla 6.12 del CTE-DB-SE-A)
eN,y, eN,z: desplazamientos que sufren los ejes principales de la
seccin bruta al considerar la seccin eficaz, en secciones de clase
4 (ver tabla 6.12 del CTE-DB-SE-A) ky, kz: factores de interaccin relacionados con la esbeltez reducida (ver
tabla 6.13 del CTE-DB-SE-A) cm,y, cm,z: factores de momento uniforme equivalente obtenidos en funcin
del diagrama de momentos flectores entre puntos arriostrados (ver tabla 6.14 del CTE-DB-SE-A)
-
22
-
23
EJEMPLO DE CLCULO:
Clculo a pandeo de un pilar interior de planta baja de un edificio de viviendas en Granada.
Edificio de viviendas en Granada, dimensiones en planta
25mx15m, dos plantas, 3.0m de altura cada planta Estructura: Prticos de carga + forjado unidireccional de
viguetas metlicas + vigas de arriostramiento entre todos los pilares en la direccin de las viguetas. 6 prticos de carga de 3
vanos en la direccin corta del edificio (vanos de 5.0m), luces de viguetas (separacin de prticos de carga) de 5.0m
Nudos rgidos viga-pilar. Pilares HEB, vigas IPN (tanto las de carga como las de arriostramiento). Suponemos los pilares
orientados segn su mxima inercia contenida en el plano de los prticos de carga
-
24
Acero S275
Cargas gravitatorias:
PP forjado: 3.0 kN/m2 (forjado de viguetas) en ambas
plantas CP planta vivienda (suelos + techos): 1.5 kN/m2 CP planta cubierta (cubierta no visitable): 2.0 kN/m
CP tabiquera planta vivienda: 1.0 kN/m2 CP de cerramiento convencional de doble hoja en planta de
vivienda: 7.0 kN/ml SC uso planta vivienda: 2.0 kN/m2
SC uso planta cubierta (conservacin): 1.0 kN/m SC nieve: 0.6 kN/m (Madrid~700m, zona 4, tabla E.2 CTE-
DB-SE-AE). Consideramos la nieve incluida en la SC de conservacin de cubierta a efectos de clculo
Accin de viento:
0.72kN/m en fachada, en planta baja (presin + succin)
0.77kN/m en fachada, en planta 1 (presin + succin)
Accin de sismo:
Aceleracin bsica: 0.23g Coeficiente de suelo: 1.60 (suelo tipo III)
Aceleracin de clculo: 0.27g Ductilidad: =2
Clculo de esfuerzos realizado con SAP2000 para uno de los prticos de carga interiores. Esfuerzos de clculo en pilar interior:
-
25
Hiptesis persistente:
4.8 kN*m
8.5 kN*m
Momentos Myd (con viento en la direccin de los prticos de carga)
4.8 kN*m
8.5 kN*m
481.5 kN
Axiles NdMomentos Mzd (con viento en la direccin de losprticos de arriostramiento)
484.3 kN
Hiptesis ssmica:
60.3 kN*m
147.7 kN*m
Momentos Myd (con sismo en la direccin de los prticos de carga)
299.4 kN
Axiles NdMomentos Mzd (con sismo en la direccin de losprticos de arriostramiento)
301.6 kN
60.3 kN*m
147.7 kN*m
Resolucin: 1) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo () del pilar
interior de planta baja. Para este edificio en Granada el clculo se hace como edificio traslacional en ambas direcciones en planta, ya
que el sismo es una accin horizontal muy fuerte y no tenemos arriostramientos con Cruces de San Andrs ni pantallas. Con total
seguridad se cumplir que la suma de fuerzas horizontales de sismo ser superior a 1/80 veces la suma de accin gravitatoria.
Habr que calcular dos coeficientes de reduccin por pandeo, uno para el eje fuerte del pilar (y) y otro para el eje dbil (z)
-
26
1.1. Coeficiente de reduccin por pandeo para el eje dbil (z):
1.1.1) Calculamos las rigideces de pilares y vigas Kc, K1, K2, K11, K12,
K21, K22 (ver apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A). Las rigidez de cada pilar ser E*I/L.
En cuanto a las rigideces de las vigas, hay que adoptar en la tabla 6.5
del CTE-DB-SE-A el valor 1.5*E*I/L (nudos rgidos, con giro igual y de igual signo, ya que los giros en los extremos de las vigas son
debidos fundamentalmente a la accin ssmica, que es una accin horizontal).
Kc=E*I/L=210.000N/mm*20030000mm
4/3000mm=1.4E9 N*mm
K1=E*I/L=210.000N/mm*20030000mm4/3000mm=1.4E9 N*mm
K11=K12=1.5*E*I/L=1.5*210.000N/mm*30600000mm4/5000mm=
=1.93E9 N*mm
K2, K21 y K22 no se pueden calcular pues no existen esas posiciones de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin).
Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:
42.0993.1993.194.194.1
94.194.1
12111
1
1
EEEE
EE
KKKK
KK
c
c
02 , valor que se asigna en el arranque del pilar en la cimentacin,
extremo empotrado. Si hubiese estado articulado el pilar en cimentacin se asignara 2 = 1.0 (ver Argelles, pgina D9 del Tomo
1).
Con la expresin (6.25) para prticos traslacionales obtenemos el coeficiente de pandeo :
18.1042.06.0)042.0(8.01
042.012.0)042.0(2.01
6.0)(8.01
12.0)(2.01
2121
2121
L
Lk
Si operamos directamente con el grfico de la figura 6.4 del CTE-DB-SE-A obtenemos igualmente un coeficiente de pandeo ~ 1.18
Despejamos la longitud de pandeo Lk del pilar Lk = *L =
1.18*3.0m = 3.54m
1.1.2) Clculo de la carga crtica de pandeo con respecto al eje dbil
del pilar:
NmmmmNmm
IEL
Nk
zcr 6.331278620030000/000.2103540
4
22
,
-
27
1.1.3) Clculo de la esbeltez reducida:
805.06.3312786
/2757810
N
mmNmm
N
fA
cr
y
z (adimensional)
1.1.4) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo z
Primero tenemos que escoger la curva de pandeo. Al tratarse de
pilares HEB, en la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A entramos en la fila de perfiles laminados; segn el prontuario de Constructalia estamos con una relacin geomtrica h/b 1.2 y t 100mm; analizamos el pandeo segn el eje dbil del perfil (pandeo segn Z-Z), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo c
Al ser la curva de pandeo c, de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.49
Calculamos el factor )2.0(15.0 = 0.5*[1+0.49*(0.805-0.2)+0.805] = 0.972
Calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo
1659.0805.0972.0972.0
1
)(
1
z
Otra manera de calcular es mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A,
donde obtenemos directamente un valor z ~ 0.66
Otra opcin para calcular es mediante la figura 6.3 del CTE-DB-SE-
A, donde obtenemos directamente un valor z ~ 0.66
Recordemos que se debe cumplir siempre que 1
1.2. Coeficiente de reduccin por pandeo para el eje fuerte (y):
1.2.1) Calculamos las rigideces de pilares y vigas Kc, K1, K2, K11, K12,
K21, K22 (ver apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A). Las rigidez de cada pilar ser E*I/L.
En cuanto a las rigideces de las vigas, hay que adoptar en la tabla 6.5
del CTE-DB-SE-A el valor 1.5*E*I/L (nudos rgidos, con giro igual y de igual signo).
Kc=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm
4/3000mm=3.99E9N*mm
K1=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm4/3000mm=3.99E9N*mm
K11=K12=1.5*E*I/L=1.5*210.000N/mm*30600000mm4/5000mm=
=1.93E9N*mm
-
28
K2, K21 y K22 no se pueden calcular pues no existen esas posiciones
de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin). Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:
67.0993.1993.1999.3999.3
999.3999.3
12111
1
1
EEEE
EE
KKKK
KK
c
c
02 , valor que se asigna en el arranque del pilar en la cimentacin,
extremo empotrado. Si hubiese estado articulado el pilar en cimentacin se asignara 2 = 1.0 (ver Argelles, pgina D9 del Tomo
1).
Con la expresin (6.25) para prticos traslacionales obtenemos el coeficiente de pandeo :
37.1067.06.0)067.0(8.01
067.012.0)067.0(2.01
6.0)(8.01
12.0)(2.01
2121
2121
L
Lk
Si operamos directamente con el grfico de la figura 6.4 del CTE-DB-SE-A obtenemos igualmente un coeficiente de pandeo ~ 1.37
Despejamos la longitud de pandeo Lky del pilar Lky = *L =
1.37*3.0m = 4.11m
1.2.2) Clculo de la carga crtica de pandeo con respecto al eje fuerte del pilar:
1.2.3) Clculo de la esbeltez reducida:
554.05.6988844
/2757810
,
N
mmNmm
N
fA
ycr
yy (adimensional)
1.2.4) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo y
Primero tenemos que escoger la curva de pandeo. Al tratarse de
pilares HEB, en la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A entramos en la fila de perfiles laminados; segn el prontuario de Constructalia estamos con una relacin geomtrica h/b 1.2 y t 100mm; analizamos el pandeo segn el eje fuerte del perfil (pandeo segn Y-Y), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo b
NmmmmNmm
IEL
Nyk
ycr 5.698884456960000/000.2104110
4
22
,
,
-
29
Al ser la curva de pandeo b, de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.34
Calculamos el factor )2.0(15.0 yyy = 0.5*[1+0.34*(0.554-0.2)+0.554] = 0.714
Calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo
1859.0554.0714.0714.0
1
)(
1
yyy
y
Otra manera de calcular es mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A,
donde obtenemos directamente un valor y ~ 0.86
Otra opcin para calcular es mediante la figura 6.3 del CTE-DB-SE-
A, donde obtenemos directamente un valor y ~ 0.86
Recordemos que se debe cumplir siempre que 1
2) Clculo de los coeficientes de interaccin Ky y Kz
Clculo de Ky En la tabla 6.13, nuestro pilar HEB200 es de clase 1 siempre (ver
prontuario de Constructalia) y es seccin abierta, por tanto:
Rdcy
dyy
N
NK
,
)2.0(1
donde Nc,Rd = A
**fyd, siendo A* el rea de la seccin del pilar (ver
tabla 6.12) y fyd la resistencia de clculo del acero
El valor de Ky ser distinto para la hiptesis persistente y para la ssmica, ya que Ky depende de Nd, distinto en cada hiptesis.
Para la hiptesis persistente:
098.105.1//2757810859.0
484300)2.0554.0(1)2.0(1
,
mmNmm
N
N
NK
Rdcy
dyy
Para la hiptesis ssmica:
061.105.1//2757810859.0
301600)2.0554.0(1)2.0(1
,
mmNmm
N
N
NK
Rdcy
dyy
Clculo de Kz
En la tabla 6.13, nuestro pilar HEB200 es de clase 1 siempre (ver prontuario de Constructalia) y es seccin abierta, por tanto:
-
30
Rdcz
dzz
N
NK
,
)6.02(1
donde Nc,Rd = A
**fyd, siendo A* el rea de la seccin del pilar (ver
tabla 6.12) y fyd la resistencia de clculo del acero
El valor de Kz ser distinto para la hiptesis persistente y para la ssmica, ya que Kz depende de Nd, distinto en cada hiptesis.
Para la hiptesis persistente:
363.105.1//2757810659.0
484300)6.0805.02(1)6.02(1
,
mmNmm
N
N
NK
Rdcz
dzz
Para la hiptesis ssmica:
226.105.1//2757810659.0
301600)6.0805.02(1)6.02(1
,
mmNmm
N
N
NK
Rdcz
dzz
3) Clculo de los coeficientes y y z
De la tabla 6.12 obtenemos para el pilar HEB200 (clase 1):
y = 0.6 z = 0.6
4) Clculo de los coeficientes del momento equivalente cm,y y cm,z
Se obtienen de la tabla 6.14:
Para la hiptesis persistente: viendo la ley de momentos en toda la altura del pilar, ver enunciado):
cm,y = 0.6 + 0.4*(-4.8/8.5) = 0.374 valor mnimo cm,i = 0.4
cm,z = 0.4
Para la hiptesis ssmica: viendo la ley de momentos en toda la altura
del pilar, ver enunciado):
cm,y = 0.6 + 0.4*(-60.3/147.7) = 0.437 0.4 cm,z = 0.437
5) Comprobacin del pandeo en hiptesis persistente:
5.1. Pandeo segn eje fuerte del pilar en hiptesis persistente (viento
actuando segn el eje dbil del pilar, que es ms desfavorable):
-
31
1*
,,
ydz
dzzm
zz
ydy
dyym
y
ydy
d
fW
Mck
fW
Mck
fA
N
05,1
/275305800
65,84,0363,16,00
05,1
/2757810859,0
484300
3 mmNmm
mmNE
mmNmm
N
CUMPLE 1311,00347,02756,0
5.2. Pandeo segn eje dbil del pilar en hiptesis persistente (viento actuando segn el eje dbil del pilar, que es ms desfavorable):
1*
,,
ydz
dzzm
z
ydy
dyym
yy
ydz
d
fW
Mck
fW
Mck
fA
N
05,1
/275305800
65,84,0363,10
05,1
/2757810659,0
484300
3 mmNmm
mmNE
mmNmm
N
CUMPLE 1418,00579,0359,0
6) Comprobacin del pandeo en hiptesis ssmica:
6.1. Pandeo segn eje fuerte del pilar en hiptesis ssmica (consideramos el 100% del sismo actuando segn el eje dbil, y el
30% del sismo actuando segn el eje fuerte, que es lo ms desfavorable):
1*
,,
ydz
dzzm
zz
ydy
dyym
y
ydy
d
fW
Mck
fW
Mck
fA
N
05,1
/275642500
67,1473.0437,0061,1
05,1
/2757810859,0
301600
3 mmNmm
mmNE
mmNmm
N
CUMPLEmmN
mm
mmNE
1887,0593,0122,0172,0
05,1
/275305800
67,147437,0226,16,0
3
6.2. Pandeo segn eje dbil del pilar en hiptesis ssmica (consideramos el 100% del sismo actuando segn el eje dbil, y el
30% del sismo actuando segn el eje fuerte, que es lo ms desfavorable):
-
32
1*
,,
ydz
dzzm
z
ydy
dyym
yy
ydz
d
fW
Mck
fW
Mck
fA
N
05,1
/275642500
67,1473,0437,0061,16,0
05,1
/2757810659,0
301600
3 mmNmm
mmNE
mmNmm
N
1285,1988,0073,0224,0
05,1
/275305800
67,147437,0226,1
3 mmNmm
mmNE
NO CUMPLE, HAY QUE AUMENTAR EL PERFIL (CUMPLE CON UN
HEB220, LA COMPROBACIN RESULTA 0,964 < 1)
7) Comprobacin a flexin esviada, sin pandeo
Por ltimo habra que comprobar que sin considerar los efectos del pandeo, el pilar cumple a flexin esviada con la expresin vista en el
Tema 4, apartado 4.2, con la expresin:
1plz
dz
ply
dy
pl
d
M
M
M
M
N
N
7.1. Hiptesis persistente (viento actuando segn el eje dbil del
pilar, que es ms desfavorable):
05,1
/275305800
65,80
05,1
/2757810
484300
3 mmNmm
mmNE
mmNmm
N
CUMPLE 1343,0106,0237,0
7.2. Hiptesis ssmica (consideramos el 100% del sismo actuando
segn el eje dbil, y el 30% del sismo actuando segn el eje fuerte, que es lo ms desfavorable):
05,1
/275642500
67,1473,0
05,1
/2757810
301600
3 mmNmm
mmNE
mmNmm
N
1254,2844,1263,0147,0
05,1
/275305800
67,147
3 mmNmm
mmNE
-
33
NO CUMPLE, LA COMPROBACIN SALE PEOR QUE A FLEXIN
ESVIADA CON PANDEO. ESTO ES DEBIDO A QUE AL SER UN
EDIFICIO DE SLO 2 PLANTAS, EL PILAR DE PLANTA BAJA QUE ESTAMOS COMPROBANDO TIENE POCO AXIL Y MOMENTOS
FLECTORES RELATIVAMENTE GRANDES DEBIDO A SISMO, POR TANTO RESULTA MS DESFAVORABLE LA FLEXIN ESVIADA SIN
PANDEO (CUMPLE CON UN HEB280, LA COMPROBACIN RESULTA 0,984 < 1)
POR TANTO EL PILAR INTERIOR DE PLANTA BAJA TENDR UN PERFIL
HEB280.