MÉTODO UNITARIO DE CALCULO Y SU APLICACIÓN A LOS TRANSFORMADORES

Con el fin de simplificar los cálculos y permitir una visualización mas sencilla de la característica de las maquinas eléctricas se utiliza el método de cálculo basado en el sistema de valores unitarios o porcentuales :El valor por unidad se define como:

Los valores por unidad se representan en letras minúsculas:Corriente por unidad : iTensión por unidad : vImpedancia por unidad : zPotencia activa por unidad : w

Valor por unidad ( p .u )=Magnitud Real (Encualquier unidad )Valor Base(Enlamismaunidad )

……(1)

El valor unitario porcentual se define como el que es igual a 100 veces el valor por unidad, es decir:

Si tenemos los VALORES REALES de : valor real de tensión : V Valor real de corriente : I valor real de impedancia : Z

Si seleccionamos los VALORES BASE de :

Valor Base de la tensión :

Valor unitario porcentual (% )= Valor realValor base ∗100…… (2)

Valor Base para la corriente :

Valor Base para la Impedancia :

𝑣%=𝑉𝑉 𝐵

∗100 ; 𝑖%=𝐼𝐼𝐵∗100 𝑦 𝑧%=

𝑍𝑉 𝐵

𝐼 𝐵

∗100

𝑣=𝑉𝑉 𝐵

; 𝑖= 𝐼𝐼 𝐵; 𝑧= 𝑍

𝑍𝐵=𝑍𝑉 𝐵

𝐼𝐵

Los valores por unidad sera :

Los valores unitario porcentual :

Veamos que el uso de valores por unidad no altera la razón de ser de valores y relaciones, sino solo simplifica. Sabemos que la 1ra ley de Ohm rige en corriente alterna como en corriente continua y es la ley que nos permite resolver los problemas:

si lo dividimos entre : se tiene

En efecto: (3) y (4) son iguales, sólo que se han multiplicado ambos miembros por la misma cantidad:

………(3)

𝑉𝑉 𝐵

= 𝑍𝑍𝐵

𝐼𝐼𝐵𝑍𝐵=

𝑉 𝐵

𝐼𝐵

𝑉𝑉 𝐵

=𝑍𝑉 𝐵

𝐼𝐵

𝐼𝐼𝐵

𝑉𝑉 𝐵

=𝑍𝐼𝑉 𝐵

…… (4 )

Remplazando

simplificando

ELECCIÓN DE LOS VALORES BASE

Los valores bases que se pueden escoger son solamente dos y los demas se deducen:

Si se elegimos: y , los demás se deducen:

Si elegimos

𝑍𝐵=𝑉 𝐵

𝐼𝐵𝑦𝑆𝐵=𝑉 𝐵 𝐼𝐵…… (5)

𝑍𝐵=𝑉 𝐵

𝐼𝐵=𝑉 𝐵

𝑆𝐵

𝑉 𝐵

=𝑉 𝐵

2

𝑆𝐵

𝑍𝐵=𝑉 𝐵

2

𝑆𝐵𝑦 𝐼 𝐵=

𝑆𝐵𝑉 𝐵

…… (6)

𝑧%=𝑍𝑆𝐵

𝑉 𝐵2∗100

𝑧%=𝑍∗(𝐾𝑉𝐴 )𝐵∗1000(𝐾𝑉 )𝐵

2∗10002∗100

Valor unitario de una impedancia

Si elegimos como bases :

……….. (7)

𝑧=𝑍𝑆𝐵

𝑉 𝐵2

𝑆𝐵=𝑉 𝐵 𝐼 𝐵 ……….. (8)

Reemplazando (8) en (7) :

𝑍𝐵=𝑉 𝐵

𝑆𝐵𝑉 𝐵

𝑍𝐵=𝑉 𝐵

2

𝐼𝐵………(9)

Sabemos que la impedancia por unidad es :

𝑧= 𝑍𝑍𝐵

Reemplazando (9) se tiene

En valor porcentual seria :

Si expresamos KV se tiene :

𝑧%=(𝐾𝑉𝐴 )𝐵

(𝐾𝑉 )𝐵2∗10

𝐼𝐶𝐶= 𝐼𝑁1

𝑉 𝑐𝑐1

𝑍 𝑒𝑞1

𝑉 𝐶𝐶1=𝑍𝑒𝑞1

𝐼𝑁1

Valor unitario de la tensión de cortocircuito

El circuito equivalente aproximado con la prueba de cortocircuito es :

De donde :

Si elegimos como base :

𝐼𝐵=𝐼𝑁 (𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙)

𝑉 𝐵=𝑉 𝑁(𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙)

𝑍𝐵=𝑉 𝐵

𝐼𝐵𝑍𝐵=

𝑉 𝑁1

𝐼𝑁 1

Despejando

𝑉 𝑁1=𝑍𝐵 𝐼 𝑁1

… ..(11)

En modulo ….(10)𝑣𝑐𝑐1

=𝑉 𝐶𝐶1

𝑉 𝐵

El valor por unidad de la tension es

𝑣𝑐𝑐1=𝑉 𝐶𝐶1

𝑉 𝑁1

….(12)

Reemplazando (10) y (11) en (12)

𝑣𝑐𝑐1=𝑍𝑒𝑞

𝑍𝐵

𝐼𝑁 1

𝐼𝑁 1

𝑣𝑐𝑐1=𝑧𝑒𝑞 1

Valor unitario de la tensión de cortocircuito

𝑣𝑐𝑐1=𝑍𝑒𝑞

𝑍𝐵

𝐼𝑁 1

𝐼𝑁 1

Simplificando:

𝑣𝑐𝑐1=𝑍𝑒𝑞

𝑍𝐵

Es decir la tensión de cortocircuito es igual a la impedancia equivalente unitaria

∆ 𝑃𝑐𝑢=𝑅𝑒𝑞1𝐼𝐶𝐶2;𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐼𝐶𝐶=𝐼𝑁 1

∆ 𝑃𝑐𝑢=𝑅𝑒𝑞1𝐼𝑁 1

2…… (13)

𝐼𝐵=𝐼𝑁 1;𝑆𝐵=𝑆𝑁1

𝑍𝐵=𝑉 𝐵

𝐼𝐵

Valor unitario de las perdidas en el cobre

De la prueba de cortocircuito

Si elegimos como base :

Tambien : 𝑆𝐵=𝑉 𝐵 𝐼 𝐵

𝑉 𝐵=𝑆𝐵

𝐼 𝐵

Remplazando en la impedancia base

𝑍𝐵=

𝑆𝐵𝐼𝐵𝐼𝐵

𝑆𝐵=𝑍𝐵 𝐼𝐵1

2

……(14)

Diviendo (13) (14)

𝑅𝑒𝑞1𝐼𝑁 1

2

𝑍𝐵 𝐼𝑁 1

2

∆ 𝑃𝑐𝑢

𝑆𝐵=¿

𝑅𝑒𝑞1

𝑍𝐵

∆ 𝑃𝑐𝑢

𝑆𝐵=¿

∆ 𝑝𝑐𝑢=𝑟𝑒𝑞1

Es decir que la perdida unitaria del cobrees igual a la resistencia equivalente unitaria

Impedancia equivalente unitaria referida al primario y secundario

deun transformador

𝒁 𝟐

𝑉 2

𝒁 𝟏

𝑉 1

𝑁1/𝑁 2

+

-

+

-𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

Bases del Primario: Bases del Secundario:

Impedancia equivalente unitaria referida al primario y secundario de

un transformadorLa impedancia equivalente del primario es :

𝑧𝑒𝑞1=𝑍𝑒𝑞1

𝑍𝐵1

𝑧𝑒𝑞1=𝑍𝑒𝑞1

𝑉 𝐵1

𝐼𝐵 1

𝑧𝑒𝑞1=𝑍𝑒𝑞1

𝐼𝐵1

𝑉 𝐵 1

𝑆𝐵1=𝑉 𝐵1 𝐼𝐵1𝐼𝐵1=

𝑆𝐵1

𝑉 𝐵1

Tambien

Reemplazando

𝑧𝑒𝑞1=𝑍𝑒𝑞1

𝑆𝐵1

𝑉 𝐵1𝑉 𝐵1

𝑆𝐵1=𝑆𝑁 1 𝑉 𝐵 1=𝑉𝑁 1Sabemos que

Luego 𝑧𝑒𝑞1=𝑍𝑒𝑞1

𝑆𝑁1

𝑉 𝑁1

2

Similarmente hallamos :

𝑧𝑒𝑞2=𝑍𝑒𝑞2

𝑆𝑁2

𝑉 𝑁2

2

Dividiendo 𝑧𝑒𝑞1

𝑧𝑒𝑞2

=𝑍𝑒𝑞1

𝑆𝑁1

𝑍 𝑒𝑞2𝑆𝑁2

(𝑉 𝑁1

𝑉𝑁 2)

2

Siendo : 𝑆𝑁 1=𝑆𝑁2

𝑉𝑁 1

𝑉𝑁 2

= 1𝑎2

reemplazando𝑧𝑒𝑞1

𝑧𝑒𝑞2

=𝑎2 1𝑎2

RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓNCon adecuado valores base, los transformadores se representan como un elemento serie sin la relación de transformación primario-secundario. Pues al ser Se puede eliminar el transformador del circuito obteniéndose así una simplificación muy notoria y útil, veamos; si tenemos un transformador.

Reduciendo la impedancia secundaria al primario, tendremos el circuito equivalente referido (reducido) al primario, pudiendo representarse la impedancia total equivalente como la suma de las impedancias del primario mas la impedancia del secundario referida al primario:

𝒁 𝟐

𝑉 2

𝒁 𝟏

𝑉 1

𝑁1/𝑁 2

+

-

+

-𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

𝒂❑𝟐 𝒁𝟐

𝑉 2

𝒁 𝟏

𝑉 1

𝑁1/𝑁 2

+

-

+

-𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

𝐼 1𝐼 2

Bases del Primario: Bases del Secundario:La potencia se mantiene igual.Sólo se transforma V e I:

Ecuaciones del circuito:

i) La relación de transformación en el sistema unitario () ene l transformador ideal seria:

Pero en la figura:

Además: ; reemplazando todo esto tenemos:

Por lo tanto:

𝑎𝜇=𝐸1𝑝 .𝑢

𝑉 2𝑝 .𝑢=

𝐸1

𝑉 𝐵1

𝑉 2

𝑉 𝐵2

=

𝐸1

𝑉 𝑁1

𝑉 2

𝑉 𝑁2

=𝐸1

𝐸2

𝑉𝑁 2

𝑉𝑁 1

𝐸1=𝑁1

𝑁2𝐸 2=𝑎 𝐸2 ;𝑐𝑜𝑚𝑜𝐸2=𝑉 2→𝐸1=𝑎𝑉 2

𝑎𝜇=𝑎𝑉 2

𝑉 2

𝑉 𝑁2

𝑎𝑉 𝑁 2

=1

𝑎𝜇=1 𝑦 𝑣1=𝑣2……

Así mismo, las corrientes unitarias del primario y secundario, siempre y cuando tengan la misma potencia de base, serán iguales.

Sabemos que: , luego:

De (1) y (2):

O sea, una misma corriente unitaria recorre todo el circuito equivalente formada por valores unitarios.

𝐼𝐵=𝐼𝑁 1=𝑆𝑁

𝑉𝑁

𝑖1= 𝐼1𝑝 .𝑢=𝐼 1

𝐼 𝐵1

=𝐼1

𝐼𝑁1

=𝐼 1

𝑉 𝑁 1

𝑆𝑁……(1)

𝑖2=𝐼2𝑝 .𝑢=𝐼2

𝐼𝐵2

=𝐼 2

𝐼𝑁 2

=𝐼 2

𝑉𝑁 2

𝑆𝑁…… (2)

𝑖1𝑖2

=𝐼1

𝐼2∗𝑉 𝑁1

𝑉 𝑁2

= 1𝑎 ∗𝑎=1

RELACIÓN DE CORRIENTES

𝑖1=𝑖2

VENTAJAS DEL CALCULO CON VALORES POR UNIDAD

1. Las operaciones algebraicas con cantidades unitarias san como resultado otras cantidades unitarias.

2. Liberar al operador del tedioso trabajo de estar reduciendo cantidades desde uno a otro lado de los transformadores, más aun cuando se trata de varios transformadores con diferentes relaciones de transformación; elimina así una de las causas del error del cálculo.

3. Transformación de las diferentes niveles de tensiones a valores del orden de 1 p.u.4. Facilidad de programación, en el cálculo de los sistemas de potencia eléctrica.5. Facilidad en el chequeo de los resultados.