MATEMÁTICAS BÁSICAS

Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza

Universidad Nacional de ColombiaSede Bogotá

Departamento de Matemáticas

29 de agosto de 2012

Parte I

Introducción a la geometría elemental

Nociones básicasLas nociones de punto , línea y plano no serán definidas, pero...

b

punto lınea plano

Nociones básicas

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se haceen un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquelque, a partir de un cierto número de postulados que sepresumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través deoperaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor deverdad es también positivo.

Cinco postulados de Euclides

1 Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una rectaque los une.

2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.

3 Se puede trazar una circunferencia con centro encualquier punto y de cualquier radio.

4 Todos los ángulos rectos son iguales.5 Por un punto exterior a una recta pasa una única paralela.

Nociones básicas

Una línea , un segmento y un rayo ...

Ángulos

DefiniciónUn ángulo es la unión de dos rayos que tienen un puntoextremo común. Cada uno de los rayos se llama lado delángulo, y el punto común se conoce como vértice .

Para medir ángulos se emplea una herramienta llamadatransportador.

Ángulos

Podemos clasificar los ángulo según su medida: agudo si midemenos de 90◦, recto si mide 90◦, obtuso si mide más de 90◦,pero menos de 180◦ y llano si mide 180◦.

Ángulos

Encuentre las medidas de los ángulos de la siguiente figura,sabiendo que ∠ABC es un ángulo recto.

Ángulos

Se dice que dos ángulos son complementarios si lasuma de sus medidas es 90◦.

Se dice que dos ángulos son suplementarios si la sumade sus medidas es 180◦.

Ángulos

EjercicioEl suplemento de un ángulo mide 10◦ más que el triple de sucomplemento. Calcule la medida del ángulo.

Rectas paralelas

Las rectas paralelas son aquellas que están en el mismoplano y no se intersecan. Una recta que interseca dos rectasparalelas se denomina transversal .

Ángulos entre paralelas

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversalse forman ocho ángulos, como se muestra en la figura.

Ángulos entre paralelas

∠5 y ∠4 se llaman ángulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.

∠1 y ∠8 se llaman ángulos alternos externos y ∠1 ∼= ∠8.

∠6 y ∠2 se llaman ángulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.

∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vértice , ∠7 ∼= ∠6.

Ángulos entre paralelas

EjercicioEncuentre otros pares de ángulos

alternos internos

alternos externos

correspondientes

opuestos por el vértice

Ángulos entre paralelas

EjercicioEn la figura m||n. Encuentre el valor de los ángulos que seindican.

(3x+2)o

(5x-40)o

Triángulos

Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.Podemos clasificar los triángulos por la medida de sus lados:equilátero es el que tiene todos sus lados congruentes,isósceles tiene dos lados congruentes y escaleno no tienelados congruentes.

Triángulos

También se pueden clasificar por la medida de sus ángulos:acutángulo tiene todos sus ángulos agudos, rectángulo tieneun ángulo de 90◦, obtusángulo tiene un ángulo obtuso.

Triángulos

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180◦.

Triángulos

EjercicioCalcule la medida de cada ángulo del triángulo de la figura.

Triángulos

DefiniciónEn el triángulo que se aprecia en la figura, los ángulos 1, 2 y 3se llaman ángulos interiores , mientras que los señalados conlos números 4, 5 y 6 se llaman ángulos exteriores deltriángulo.

Triángulos

La medida de un ángulo exterior de un triángulo, es igual a lasuma de las medidas de los dos ángulos interiores opuestos.

Triángulos

EjercicioCalcule las medidas de los ángulos interiores A, B y C deltriángulo de la figura, y la medida del ángulo exterior BCD.

Circunferencia

DefiniciónUna circunferencia es un conjunto de puntos en un plano, cadauno de los cuales está a la mismo distancia de un punto fijo.

Circunferencia

TeoremaCualquier ángulo inscrito en un semicírculo debe ser recto.

Circunferencia

Demostración

Circunferencia

EjercicioCon el uso de los puntos, segmentos y líneas de la figura, hagauna lista de: centro, radios, diámetros, cuerdas, secantes,tangentes.

Polígonos

Un polígono es una curva simple cerrada constituida sólo porsegmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y lospuntos en los que se tocan se llaman vértices.Los polígonos con todos sus ángulos y lados congruentes sonpolígonos regulares.

Polígonos

Clasificación de los polígonos de acuerdo con el número delados.

Número de lados Nombre3 Triángulo4 Cuadrilátero5 Pentágono6 Hexágono7 Heptágono8 Octágono9 Nonágono10 Decágono

Cuadriláteros

TrapecioEs un cuadrilátero conun par de ladosparalelos

Cuadriláteros

ParalelogramoEs un cuadrilátero condos pares de ladosparalelos

Cuadriláteros

RectánguloEs un paralelogramocon un ángulo recto ypor lo tanto, cuatroángulos rectos

Cuadriláteros

CuadradoEs un rectángulo cuyoslados tienen la mismalongitud

Cuadriláteros

RomboEs un paralelogramocuyos lados tienen lamisma longitud

Perímetro

DefiniciónEl perímetro de un polígono es la suma de las medidas de suslados.

Perímetro

EjemploUn terreno tiene forma de rectángulo. Si su largo es de 50 piesy ancho de 26 pies, ¿qué cantidad de cerca se necesita paraencerrar por completo el lote?

Perímetro

EjemploLa longitud de una etiqueta de forma rectangular es 1centímetro más que el doble del ancho. El perímetro es de 110centímetros. Calcule el largo y el ancho.

Área

DefiniciónEl área de una figura plana es la medida de la superficiecubierta por la figura.

Área

Área de unrectánguloEl área A de unrectángulo de largo b yancho h está dado porla fórmula

A = bh

Área

Área de un cuadradoEl área A de uncuadrado cuyo ladotiene longitud a es

A = a2

Área

Área de unparalelogramoEl área A de unparalelogramo conaltura h y base b es

A = bh

Área

Área de un trapecioEl área A de untrapecio con basesparalelas B y b y alturah es

A =12

h(B + b)

Área

Área de un triánguloEl área A de untriángulo con altura h ybase b es

A =bh2

Área

EjercicioLa siguiente figuramuestra el plano delpiso de un edificio,constituido por variosrectángulos. Si cadalongitud está enmetros, ¿cuántosmetros cuadrados derecubrimiento serequerirían para cubrirel piso del edificio?

Área

EjercicioCalcule el área delparalelogramo de lafigura.

Área

EjercicioCalcule el área deltrapecio de la figura,donde h = 6, b = 3 yB = 9.

Área

La región limitada porla circunferencia C deradio r se llama círculode radio r .La circunferencia operímetro de un círculode radio r está dadapor la fórmula

C = 2πr .

El área de un círculode radio r está dadapor

A = πr2.

Área

Ejercicio

(a) Un círculo tiene un diámetro de 12.6 centímetros. Calculesu circunferencia.

(b) El radio de un círculo es de 1.7 metros. Calcule sucircunferencia.

Área

EjercicioEn un negocio de entrega de pizzas a domicilio. El precio de unpizza de 8 pulgadas de diámetro de pepperoni es de $6,99,mientras que el de una de 16 pulgadas de diámetro es de$13,98. Un cliente que requiere varias pizzas para una reunión¿qué tipo de pizzas debería comprar para tener el mejorprecio?

Perímetro y Área

EjercicioLa siguiente figura tiene perímetro P = 38. Encuentre el valorde x y el área de la figura.

Perímetro y Área

EjercicioLa siguiente figura tiene área A = 30. Encuentre el valor de x .

Perímetro y Área

EjercicioEncuentre el área y el perímetro de la parte sombreada.

Perímetro y Área

EjercicioA partir del círculo con centro O y el rectángulo ABCO obtengael diámetro del círculo, sabiendo que AC = 13 pulgadas yAD = 3 pulgadas.

Triángulo rectángulo

DefiniciónEn un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulorecto se llaman catetos y el otro lado hipotenusa .

Teorema de Pitágoras

TeoremaSi los dos catetos deun triángulo rectángulotienen longitudes a y b,y la hipotenusa tienelongitud c, entonces

a2 + b2 = c2.

Teorema de Pitágoras

DemostraciónPensando en áreas:

(a + b)2 = 4(

ab2

)

+ c2

a2 + b2 = c2

Teorema de Pitágoras

EjercicioUna terna pitagórica es una terna de números a, b, c quecumplen que a2 + b2 = c2. Si se demuestra que (x , x + 1, y)es una terna pitagórica entonces también lo es

(3x + 2y + 1, 3x + 2y + 2, 4x + 3y + 2).

Utilice esta idea para encontrar tres ternas pitagóricas.Comience con 3, 4, 5.

Teorema de Pitágoras

TeoremaLa hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 centímetromás que el doble del cateto más corto, y el cateto más largomide 9 centímetros menos que el triple del cateto más corto.Determine las longitudes de los tres lados del triángulo.

Área y perímetro

Dada la figura, encuentre el perímetro y el área.

4

5

8

Área y perímetro

Si la proporción entre AD y DC es de 1 a 3, AC mide 16 cm yDB mide 3 cm, encuentre el área y el perímetro de lostriángulos △ADB, △BDC y △ABC.

A

B

CD

Triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y elmismo tamaño, esto es, si tienen lados y ángulos congruentes.

Criterios de congruenciaLos siguientes son criterios para determinar si dos triángulosson congruentes

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un triánguloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro triángulo, entonces los triángulos soncongruentes.

LAL Lado-ángulo-lado Si dos lados de un triángulo yel ángulo comprendido entre ellos soncongruentes respectivamente a dos lados y elángulo comprendido de un segundo triángulo,entonces los triángulos son congruentes.

ALA Ángulo-lado-ángulo Si dos ángulos y el ladocomún de un triángulo son congruentesrespectivamente con dos ángulos y el lado comúnde un segundo triángulo, entonces los triángulosson congruentes.

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma perono necesariamente el mismo tamaño.

Criterios de semejanza

Los siguientes son criterios para determinar si dos triángulosson semejantes

AA Ángulo-ángulo Si dos ángulos de un triánguloson congruentes con dos ángulos de otrotriángulo, entonces los triángulos son semejantes.

LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un triánguloson proporcionales a los tres lados de otrotriángulo, entonces los dos triángulos sonsemejantes.

LAL Lado-ángulo-lado Si un ángulo de un triánguloes congruente con un ángulo de otro triángulo, y silos lados correspondientes que incluyen el ánguloson proporcionales, entonces los triángulos sonsemejantes.

Semejanza de triángulos

Encuentre el valor de x .

A

6

C

B

x

4

3

E

Semejanza de triángulos

Como el △BDE es rectángulo y ∠D es recto, podemos utilizarel teorema de Pitágoras, es decir,

BE2 = BD2 + DE2

Por consiguiente tenemos:

BE2 = 42 + 32 = 25

BE =√

25 = 5

Los triángulos △ABC y △DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que sonopuestos por el vértice; por tanto, por el criterio AA se concluyeque △ABC △DBE .

Semejanza de triángulos

Utilizando este hecho podemos afirmar que

ACDE

=BCBE

De donde se tiene:63

=x5

,

es decir, x = 10.

Volumen

Volumen de unparalelepípedoEl volumen de una cajade largo l , ancho a yaltura h es

V = lah

y el área de susuperficie es

S = 2la + 2ah + 2lh

Volumen

Volumen de un cuboEl volumen de un cubode lado a es

V = a3

y su área superficial es

S = 6a2

Volumen

Volumen de uncilindroEl volumen de uncilindro circular rectode altura h y radio desu base r es

V = πr2h

y el área de susuperficie es

S = 2πrh + 2πr2

Volumen

Volumen de unaesferaEl volumen de unaesfera de radio r es

V =43πr3

y el área de susuperficie es

S = 4πr2

Volumen

Volumen de un conoEl volumen de un conocircular recto con alturah y radio de la base res

V =13πr2h

y el área de susuperficie es

S = πr√

r2 + h2 + πr2

Volumen

Volumen de unapirámideSi B representa el áreade la base de unapirámide y h la altura,entonces el volumenestá dado por

V =13

Bh