tema 1 - conceptos fundamentales de geometria(1)

8/16/2019 Tema 1 - Conceptos Fundamentales de Geometria(1)

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Fundamentos de Matemáticas II Tema 1 – Conceptos fundamentales de Geometría

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Tema 1 – Conceptos fundamentales de Geometría

1. Plano, recta, punto, semiplano y semirrecta ........................................................................ 3

Plano .............................................................................................................................. 31.1.

Recta .............................................................................................................................. 31.2.

Punto ............................................................................................................................. 31.3.

Semiplano ...................................................................................................................... 41.4.

Semirrecta ..................................................................................................................... 41.5.

2. Segmentos ............................................................................................................................. 4

Definicin ...................................................................................................................... 42.1.

Suma !e segmentos ...................................................................................................... 52.2.

"e!iatri# !e un segmento ............................................................................................ 52.3.

3. $ngulos .................................................................................................................................. %

Definicin ...................................................................................................................... %3.1.

&lasificacin por su colocacin ...................................................................................... '3.2.

&lasificacin por su a(ertura ......................................................................................... '3.3.

)tra clasificacin ........................................................................................................... *3.4.

"e!i!a !e un ángulo .................................................................................................... +3.5.

)peraciones con ángulos ............................................................................................ 113.%.

Suma .................................................................................................................... 113.%.1.

Resta .................................................................................................................... 123.%.2.

"ultiplicacin por un nmero ............................................................................ 133.%.3.

Di-isin por un nmero ....................................................................................... 153.%.4.

isectri# !e un ángulo ................................................................................................. 1'3.'.

$ngulos complementarios y suplementarios .............................................................. 1*3.*.

4. Paralelismo y perpen!iculari!a! ......................................................................................... 1+

Rectas paralelas y perpen!iculares ............................................................................. 1+4.1.

$ngulos forma!os en !os paralelas y una secante ............................................. 2/4.1.1.

5. Poligonal y pol0gono ............................................................................................................ 21

0nea poligonal ............................................................................................................ 215.1.

Pol0gono ....................................................................................................................... 225.2.

&lasificacin por el nmero !e la!os .................................................................. 225.2.1.

Pol0gonos con-eos y cnca-os........................................................................... 235.2.2.

Per0metro !e un pol0gono ................................................................................... 235.2.3.

Diagonales !e un pol0gono .................................................................................. 235.2.4.

&ircunferencia ............................................................................................................. 245.3.%. "e!i!a !e los ángulos !e los pol0gonos regulares ............................................................. 25


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Sumas !e los ángulos !e un triángulo ......................................................................... 25%.1.

Sumas !e los ángulos !e un pol0gono ......................................................................... 25%.2.

"e!i!a !e ca!a ángulo !e un pol0gono regular ......................................................... 2%%.3.

"e!i!a !el ángulo eterior !e un triángulo. .............................................................. 2%%.4.


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1.

Plano, recta, punto, semiplano y semirrecta

Plano1.1.

s un conunto !e infinitos puntos. Se representa por las letras !el alfa(eto griego , , …

Recta1.2.

s un su(conunto !e infinitos puntos !el plano situa!os en una misma !ireccin. Serepresenta por , ,.

∩

&omo es imposi(le representar los infinitos puntos !e una recta, se 6ace so(re un plano.

Punto1.3.

s la interseccin !e !os rectas. Se representan por , , …

∩

Por un punto pasan infinitas rectas Por !os puntos pasa una sola recta


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Si marcamos tres puntos , , si están alinea!os pasa una sola recta por ellos.

n caso contrario7

emiplano1.4.

s ca!a una !e las !os partes en 8ue una recta !i-i!e a un plano.

Toda recta divide a un plano en dos semiplanos.

emirrecta1.5.

s ca!a una !e las partes en 8ue un punto !i-i!e a una recta.

Toda recta queda dividida en dos semirrectas por un punto

!. e"mentos

#efinici$n2.1.

Si en una recta r se9alamos !os puntos A y B, el conunto !e puntos !e la recta situa!os entream(os, es un segmento. os puntos A y B se llaman etremos.

Se nom(ra primero el punto !e la i#8uier!a (A) segui!o !el punto !e la !erec6a (B).

Dos o más segmentos se !icen sucesi-os o concatena!os cuan!o ca!a uno tiene un etremocomn con el segmento siguiente.


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&uan!o !os o más segmentos son concatena!os y están en la misma recta se llamanconsecuti-os.

uma de se"mentos2.2.

a suma !e !os segmentos es otro segmento 8ue tiene por inicio el origen !el primersegmento y como final el final !el segun!o segmento.

a longitu! !el segmento suma es igual a la suma !e las longitu!es !e los !os segmentos 8uelo forman.

Para sumar !os segmentos, !i(uamos una l0nea recta. n el origen i#8uier!o se marca elpunto A. &on el compás se mi!e la longitu! entre los !os puntos A y B y se 6ace una marca enla recta inicial con esa me!ia. l punto !e corte 8ue mar8ue el compás so(re la recta !es!e elpunto A será el etremo B=C . Se mi!e la longitu! !el segun!o segmento con el compás y setrasla!a esta me!ia!a a la recta inicial !es!e el punto B=C . a marca !e corte será el punto D

y el segmento será la suma !e los segmentos y .

Mediatri% de un se"mento2.3.

s la recta perpen!icular al segmento, tra#a!a por su punto me!io.

Po!emos !i(uar la me!iatri# mi!ien!o el segmento con una regla y marcan!o el punto me!io!el mismo. &on ayu!a !e una escua!ra o carta(n tra#aremos la perpen!icular por el puntomarca!o anteriormente.

l m:to!o anterior pue!e no ser totalmente eacto y es preferi(le utili#ar un compás y unaregla.

Di(uamos el segmento. "arcamos una apertura en el compás, compren!i!a entre la mita! yel total !el segmento ;la apertura !el compás !e(e ser superior a la mita! !el segmento


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os puntos !e la me!iatri# son e8ui!istantes con los etremos !el segmento.

&. 'n"ulos

#efinici$n3.1.

s el conunto !e puntos !el plano compren!i!o entre !os semirrectas !e origen comn ;O 8ue el 2>, 8ue sean iguales o 8ue est:nmás cerra!os.


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Clasificaci$n por su colocaci$n3.2.

Dos ángulos en un mismo plano pue!en ser

a


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''#

(


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"; !


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c<

e"undo sea"esimal Si un minuto seagesimal lo !i-i!imos en %/ partes iguales,ca!a una !e ellas reci(e el nom(re !e segun!o seagesimal.Se presenta con el nmero y una !o(le coma a mo!o !e eponente. Por eemplo KIJJ.

n general para epresar la me!i!a !e un ángulo usamos el formato


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)(tenemos un resto 8ue !e(eremos con-ertir a minutos. n este caso !i-i!iremosKIIHJJ OI para o(tener el nmero !e minutos, ya 8ue KJ OIJJ.

Ainalmente el resto !e esta !i-isin es el total !e segun!os en la con-ersin.

Por lo 8ue o(tenemos la e8ui-alencia FENTIHJJ KKTG KOJ FHJJ.

*peraciones con án"ulos3.%.

uma3.%.1.

Para sumar !os ángulos los ponemos consecuti-os. l ángulo es el !etermina!o por los la!osno comunes.

Z V Z M FNG V HIG [NG

Para calcular la suma !e manera anal0tica, !e(emos sumar los segun!os, minutos y gra!os !eam(os ángulos. Si al sumar los segun!os o(tenemos un -alor superior a %/, !e(emosaumentar en una uni!a! el -alor !e los minutos y !ear como -alor para los segun!os el -alor!e la suma menos las %/ uni!a!es ;ya 8ue KJ OIJJ


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ste pro(lema se re!uce a reali#ar una suma en (ase %/. os -alores !e los gra!os, minutos ysegun!os, son en esencia, los !0gitos !el nmero en (ase %/. Si al sumar los !0gitos alcan#amosla (ase ;%/


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incrementar el -alor !e los segun!os en %/ uni!a!es. Po!emos restar esta uni!a! !e losminutos !el minuen!o o incrementar en una uni!a los minutos !el sustraen!o.

Del mismo mo!o operamos con los minutos. Si el -alor !e los minutos !el sustraen!o supera al-alor !e los minutos !el minuen!o, se pro!ucirá una lle-a!a !es!e el -alor !e los gra!os !elminuen!o 6acia los minutos !el minuen!o, incrementan!o este -alor en %/ uni!a!es y, o (ien,!ecrementan!o el -alor !e los gra!os !el minuen!o en una uni!a! o incrementan!o el -alor!e los gra!os !el sustraen!o en una uni!a!.

ste pro(lema se re!uce a reali#ar una resta en (ase %/. os -alores !e los gra!os, minutos ysegun!os, son en esencia, los !0gitos !el nmero en (ase %/.

Bamos a -er un eemplo para clarificar esta operacin anal0tica.

0emplo2

&alcula la resta !e los siguientes ángulos TNG FNJ KOJJ ` FEG HTJ E\JJ

&omo po!emos o(ser-ar, KO]] es inferior a E\]]. =8u0 se pro!uce una lle-a!a o acarreo!es!e el -alor !e los minutos !el minuen!o 6acia los segun!os !el mismo. l -alor !e lossegun!os !el minuen!o se incrementa en %/ uni!a!es y, o (ien, !ecrementamos el -alor!e los minutos !el minuen!o en una uni!a! o incrementamos el -alor !e los minutos !elsustraen!o en una uni!a!.

Si ocurriera lo mismo con los minutos, proce!er0amos !el mismo mo!o, pro!uci:n!ose elacarreo !es!e los gra!os.

' # TNG FNJ KOJJ ` FEG HTJ E\JJ aSQ R a_JJ J

Multiplicaci$n por un n3mero3.%.3.

=l multiplicar un ángulo por un nmero natural n, se o(tiene otro ángulo !e amplitu! elpro!ucto !e n por la amplitu! !el ángulo !a!o.

Para calcular el pro!ucto !e un ángulo por un nmero natural !e manera anal0tica, !e(emosmultiplica los segun!os, minutos y gra!os !el ángulo en cuestin por el nmero natural.


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Si al reali#ar el pro!ucto !el numero n por el -alor !e los segun!os o(tenemos un nmerosuperior a %/, !e(eremos proce!er suman!o tantas uni!a!es !e acarreo como -eces seso(repase la (ase %/. Proce!eremos !el mismo mo!o con los minutos y los gra!os.

ste pro(lema se re!uce a reali#ar un pro!ucto en (ase %/. os -alores !e los gra!os, minutosy segun!os, son en esencia, los !0gitos !el nmero en (ase %/.


0emplo2

&alcula el pro!ucto !el siguiente ángulo por el natural 4 KTG ENJ FHJJ < F

&omo po!emos o(ser-ar, al multiplicar los segun!os por el multiplica!or bFc, FH


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#i(isi$n por un n3mero3.%.4.

l cociente !e un ángulo por un numero natural n es otro ángulo !e me!i!a el cociente !e!i-i!ir la me!ia! !el ángulo entre n.

=l igual 8ue en el resto !e operaciones con ángulos, :sta se re!uce a reali#ar una !i-isin en

casca!a, acumulan!o los restos en las uni!a!es !e or!en inferior.

n primer lugar, !i-i!imos el -alor !e los gra!os !el !i-i!en!o entre el !i-isor. se -alor será elresulta!o final para los gra!os !el ángulo resultante. l resto !e esta !i-isin se lo sumamos alos minutos !el !i-i!en!o, multiplicán!olo por %/ ;recor!a! 8ue KG OIJc.

Proce!emos !el mismo mo!o con los minutosC !i-i!imos el -alor !e los minutos !el !i-i!en!oentre el !i-isor. se -alor será el resulta!o final para los minutos !el ángulo resultante. l resto!e esta !i-isin se lo sumamos a los segun!os !el !i-i!en!o, multiplicán!olo por %/ ;recor!a!8ue KJ OIJJc.

Di-i!imos finalmente el -alor !e los segun!os !el !i-i!en!o entre el !i-isor. se -alor será elresulta!o final para los segun!os !el ángulo resultante. l resto !e esta !i-isin será la parte

in!i-isi(le y se !eará in!ica!o.


0emplo2

&alcula el cociente !el siguiente ángulo entre el natural 5 TOG H[J FIJJ e N

Di-i!imos en primer lugar los gra!os entre el !i-isorC T O e N, o(tenien!o un cociente !e 17 yun resto !e 1. l ángulo resultante ten!rá K[G. l resto se lo sumamos a los minutos !el

ángulo. &omo KG OIJ entonces !e(eremos !i-i!ir \[] bOI V H[c entre 5.

Proce!emos !el mismo mo!o con los minutosC !i-i!imos el -alor !e los minutos ;tenien!o encuenta el resto anterior< !el !i-i!en!o entre el !i-isor. \ [ e N , o(tenien!o un cociente !e 19

y un resto !e 2. l ángulo resultante ten!rá K\J. l resto se lo sumamos a los segun!os !elángulo. &omo KJ OIJJ, entonces !e(eremos !i-i!ir KOI]] bOI


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Di-i!imos finalmente el -alor !e los segun!os !el !i-i!en!o entre el !i-isor

bOI


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TOG H[J FIJJ e N P_Q Pg SdJJ J

4isectri% de un án"ulo3.'.

s la semirrecta 8ue !i-i!e a un ángulo en !os ángulos iguales.

Para !i(uar la (isectri# !e un ángulo po!emos seguir los siguientes pasos 6acien!o uso !e una

regla, carta(n o escua!ra y un compás1.

Di(uamos el ángulo !el cual 8ueremos reali#ar su (isectri#.

2.

legimos una me!i!a en el compás inferior al segmento y reali#amos unasemicircunferencia !es!e el punto O cortan!o el segmento . acemos lo mismo!es!e el punto O 6asta cortar el segmento . n este proceso es muy importante nocam(iar la me!i!a !el compás.

Semicircunferencia !es!e O cortan!o a Semicircunferencia !es!e O cortan!o a

3. Reali#amos el mismo proceso !e nue-o, pero toman!o como centro !e lasemicircunferencia el punto B y el Punto A. stas semirrectas se cortan en el punto E.


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Semicircunferencia !es!e Semicircunferencia !es!e =

4.

a (isectri# será la semirrecta !es!e el punto ) 6asta el punto E b= c.

'n"ulos complementarios y suplementarios3.*.

a<

Complementarios Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto

b\IGc.

Z HIG h OIG i(' j&'j#, # k Z V HIG V OIG \IG

Beamos un eemplo FSon o no complementarios los siguientes ángulosG

TOG H[J FIJJ [FG KKJ EHJJ

Reali#aremos la suma !e estos ángulos para -er si su resulta!o es \IG IJ IJJ.

0stos dos án"ulos si son complementarios

(<

uplementarios Dos ángulos son suplementarios cuan!o su suma es un ángulo llanobKTIGc.


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Z TNG h \NG i(' &'j#,# k Z V TNG V \NG KTIG

Beamos un eemplo FSon o no suplementarios los siguientes ángulosG

FTG E[J HNJJ KHKG HEJ ENJJ

Reali#aremos la suma !e estos ángulos para -er si su resulta!o es KTIG IJ IJJ.

0stos dos án"ulos si son suplementarios

Suplemento !e un ángulo es la parte 8ue le falta para ser un ángulo llano.

emplo 1 F&uál es el suplemento !e 450G

Para o(tener el suplemento nicamente tenemos 8ue !arle solucin a la operacin

%&'jbFNGc KTIG ` FNG KHNG

emplo 1 F&uál es el suplemento !e KING FEJ H[JJG

Para o(tener el suplemento nicamente tenemos 8ue !arle solucin a la operacin

%&'jbKING FEJ H[JJc KTIG IJ IJJ ` KING FEJ H[JJ l l l

' #m %&'jbKING FEJ H[JJc [FG K[J EHJJ

5. Paralelismo y perpendicularidad

Rectas paralelas y perpendiculares4.1.

Dos rectas son paralelas cuan!o su interseccin es el conunto -ac0o bnc, es !ecir, no tienenningn punto en comn.


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as rectas r y s son paralelas y se epresa !e la siguiente manera o . Dos rectas paralelas nose cortan nunca.

&uan!o !os rectas se cortan en un punto se llaman secantes. Pue!en ocurrir 8ue al cortarsegeneren ángulos iguales o !istintos. n el caso !e 8ue los cuatro ángulos sean iguales, lasrectas se llaman perpen!iculares ;ortogonales< y se representa por el s0m(olo bpc.

Rectas Secantes Rectas perpen!iculares

p

'n"ulos formados en dos paralelas y una secante4.1.1.

Dos rectas paralelas o , al ser corta!as por una recta secante m forma oc6o ángulos.

•

$ngulos internos H, F, N, O • $ngulos eternos K, E, [, T

• $ngulos alternosHinternos H N , F O

• $ngulos alternosHeternos K [ , E T

• $ngulos correspon!ientes Ino interior y otro eterior, situa!o al mismo la!o y no

a!yacentes. K N , E O , H [ , F T

• $ngulos conuga!os internos Jnternos a un mismo la!o. F N , H O

• $ngulos conuga!os eternos ternos a un mismo la!o. K T , E [

Se pue!e compro(ar


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H N F O -(' #' `

K [ E T -(' #' `


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as l0neas poligonales cerra!as pue!en ser

• &on-eas Son l0neas poligonales cerra!as 8ue no pue!en ser corta!as en más !e !ospuntos.

• &nca-as. Son l0neas poligonales cerra!as 8ue pue!en ser corta!as en más !e !ospuntos.

Polí"ono5.2.

s la porcin !el plano compren!i!a !entro !e una l0nea poligonal cerra!a. a me!i!a !e unpol0gono es su área.

os la!os, -:rtices y ángulos !e la l0nea poligonal cerra!a 8ue forma el (or!e !el pol0gono sontam(i:n la!os, -:rtices y ángulos !el pol0gono.

In pol0gono !e n la!os, tiene n -:rtices y n ángulos.

Clasificaci$n por el n3mero de lados5.2.1.

n funcin !el nmero !e la!os, los pol0gonos reci(en un nom(re u otro. =ten!ien!o al n> !ela!os, nos po!emos encontrar con

Triángulo Pol0gono !e 3 la!os, 3 -:rtices y 3 ángulos.

&ua!rilátero Pol0gono !e 4 la!os, 4 -:rtices y 4 ángulos.

Pentágono Pol0gono !e 5 la!os, 5 -:rtices y 5 ángulos.

eágono Pol0gono !e % la!os, % -:rtices y % ángulos.

eptágono Pol0gono !e ' la!os, ' -:rtices y ' ángulos.

)ctgono Pol0gono !e * la!os, * -:rtices y * ángulos.

neágono Pol0gono !e + la!os, + -:rtices y + ángulos.

Decágono Pol0gono !e 1/ la!os, 1/ -:rtices y 1/ ángulos.

n!ecágono Pol0gono !e 11 la!os, 11 -:rtices y 11 ángulos.

Do!ecágono Pol0gono !e 12 la!os, 12 -:rtices y 12 ángulos.

Penta!ecágono Pol0gono !e 15 la!os, 15 -:rtices y 15 ángulos.

Jcoságono Pol0gono !e 2/ la!os, 2/ -:rtices y 2/ ángulos.

1/|11|12|13|14|

15|1%|1'|1*|1+

!eca | en!eca |!o!eca | tri!eca | tetra!eca |

penta!eca | 6ea!eca | 6epta!eca | octo!eca | enea!ecaHgono


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os pol0gonos 8ue tienen to!os sus la!os y ángulos iguales son polí"onos re"ulares.

Polí"onos con(eos y c$nca(os5.2.2.

In pol0gono se llama con-eo cuan!o su (or!e es una l0nea poligonal con-ea.

In pol0gono se llama cnca-o cuan!o su (or!e es una l0nea poligonal cnca-a.

Perímetro de un polí"ono5.2.3.

l per0metro !e un pol0gono irre"ular se o(tiene suman!o la me!i!a !e to!os sus la!os.

l per0metro !e un pol0gono re"ular se o(tiene multiplican!o la me!i!a !e cual8uier la!o;nota! 8ue to!os son iguales, por eso es regular< por el nmero total !e la!os !el pol0gono.

jstuWvwxyuz{ ' < , $$ ' '#$ | $ '#$

emplo F&uánto mi!e el per0metro !e un octgono regular !e la!o 1/cmG

Puesto 8ue un octgono tiene * la!os y es regular, el per0metro será

' < KI < T TI j

#ia"onales de un polí"ono5.2.4.

a !iagonal !e un pol0gono es el segmento 8ue uno !os -:rtices no consecuti-os.

n general, po!emos calcular el nmero !e !iagonales !e un pol0gono con la frmula

b ` Hc

E $ | $ '#$ $' &'(

Triángulo Ko tiene !iagonales. &ua!rilátero Tiene !os !iagonales.


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}{~z•xyut b ` Hc

E

H bH ` Hc

E

H € I

E I yz‚{~uiƒw{t

b ` Hc

E

F bF ` Hc

E

F € K

E E

Pentágono Tiene cinco !iagonales.

sw•ƒixt•t b ` Hc

E

N bN ` Hc

E

N € E

E N

eágono Tiene nue-e !iagonales.

„wixt•t b ` Hc

E

ObO ` Hc

E

O € H

E \

Circunferencia5.3.

s una l0nea cerra!a plana cuyos puntos e8ui!istan !e un punto interior llama!o centro.

n una circunferencia po!emos !istinguir

•

Punto Interior &ual8uier punto 8ue está !entro !e la circunferencia ;I


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‡ & , , ˆ ‰ Š#W

‡ & ; & ' & ) &


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% hY

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j K V Z KTI ‹ Z KTI ` KKN ONG

j E V Z KTI ‹ Z KTI ` KFI FIG

j Z V V Z KTIG ‹ FI V V ON KTI ‹ KTI ` KIN [NG

25 12 83.82 “q aQQ , ”q _^Q – —q R^Q

tema 1 - conceptos fundamentales de geometria(1)

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