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TEMA 1 Métodos Matemáticos en FísicaL3. Oscilaciones en sistemas discretos

En parte Según Cap.1 Libro Levanuyk+Cano

Antes de tratar aplicación de método Fourier para sistemas continuoshttp://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=no7ZPPqtZEg=>Consideramos sistemas discretos en ejemplo de Oscilador Armónico (OA) / OAs acoplados

Buscamos desplazamientos horizontales x(t)

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x(t) describe movimiento armónico si

Ec. Diferencial que describe movimiento

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Para muelle ideal y movimiento si rozamientoF(x)=-kx ( k – constante de muelle)

Ley Newton

asignando

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Nota: Ec. análogos describen movimiento deoscilador en campo gravitatorio

U- potencial de campo gravitatorio

2 / 2U mgz mgax

F mgax

= =

= −

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-Oscilador electrónico ( Capacidad+inductancia)-(Q- Carga)

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Otros tipos de Osciladores armónicos

-Basados en solo cargas eléctricas?-Dipolos magnéticos?-Concentración local en gases?-Calor???

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Solución general (OA) es una combinaciónlineal de dos soluciones particulares linealmente independientes entre si.

Se denomina vibraciones (o oscilaciones) propias a aquellas vibraciones que tienen lugar enausencia de fuerzas externas.

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Una función (f3) es linealmente independiente de otras dos (f1, f2)

si no se puede expresar como su combinación lineal:

f3≠Af1+Bf2

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Buscamos solución de Ec.

en forma de una función exponencial

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Entonces dos funciones linealmente independientes satisfacen a Ec.

Solución general es suma (con peso) de todos posibles soluciones linealmente independientes

x(t)=A exp(+iωt)+B exp(-iωt)

CLASE: Hallar Solución general de Ec. X´´-ω02X=0

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CLASE: Hallar Solución general de Ec. X´´-ω02X=0

1 0 2 0exp( ) exp( )X C x C xω ω= + + −

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PresentacionPresentacion alternativaalternativa de Solución general de Ec. X´´-ω0

2X=0

1 0 2 0sinh( ) cosh( )X C x C xω ω= +

+

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Como solución debe ser real x*(t)=x(t)

A*exp(-iωt)+B*exp(+iωt)=Aexp(+iωt)+Bexp(-iωt)

=>A*=B; B*=A

A=c+idB=c-id

Volvemos analizar solucion de Ec:

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x(t)=(c+id) exp(+iωt)+(c-id)exp(-iωt)=

=2c[exp(+iωt)+exp(-iωt)]/2+

+2id[exp(+iωt)-exp(-iωt)]/2

=2cCos(ωt)-2dSen(ωt)

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Entonces Solución general:

Para mostrar sentido físico reescribamos Solucion así:

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Como Sen(α+β)=Sen(α)Cos(β)+Cos(α)Sen(β)

Podemos presentar Solucion también así:

Con

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ω0- frecuencia angular propia

A- Amplitud máxima de modo correspondiente

δ- indica en que estado esta oscilador en momento t=0

[ o cuando ωt=2πn ( n- entero)]

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Lo que es mas habitual para sistemas físicos es saber desplazamiento y velocidad en determinado momento

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Supongamos siguiente información:

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Con estos condiciones iniciales obtendremos

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Otra posibilidad: golpe instantáneo en t=0

SOLUCIONa partir de Sol.General?

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Buscando la solución

Aplicando Condiciones Iniciales C1=0,

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Desplazamiento + velocidad inicial para t=0

*

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Hasta ahora siempre obtuvimos la única soluciónx(t)

Veamos que ocurre si suponemos otro tipo de condiciones:

Por. Ej. x=0 para t=0 y x=0 para t=T

De primera condición la solución da: x(t)=C2Sen(ω0t)

De la segunda condición implica:

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Hay dos posibilidades:

Solución trivial

Segunda opción es valida si:

(n- entero)

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Entonces tendremos una solución con infinidad de posiblesSoluciones con DISTINTASfrecuencias posibles:

Los llamados “problemas Sturm-Louville” (SL)

(los que veremos en próximo futuro)

QUE también tendrán una infinidad de soluciones

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Mas adelante veremos que cualquier movimiento periódico x(t) con periodo T puede ser descrito por serie Fourier

( ) n n n nn

x t C Sen t D Cos tω ω= +∑

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Oscilador con muelle en campo gravitatorio

2

2

0

02

2

situacion estatica: /

a Ec. de Oscilador harmonico cambiando variablesx´=x-x

´ ´ 0

xm x mgt

Desplazamiento x mg

volvemos

xm xt

β

β

β

∂= − +

∂=

∂+ =

∂

x0

g

VOLVEMOS a OSCILADORcomplicando Ec.de movimiento

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En realidad en la naturaleza siempre hay fuerzas de amortiguamientoLa relación mas sencilla es cuando rozamiento Es proporcional a la velocidad

Ecuación resultante: con

INFLUENCIA de AMORTIGUAMIENTO

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Buscamos desplazamiento horizontales x(t)

Sustituyendo en Ec. de movimiento:

Obtenemos:

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si

Solución para (a) son números complejos

Solución general será

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Vibraciones en x(t) desaparecen si aumentamos la viscosidad

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Relajador Cuando

para

Con

movimiento NO depende de masa!!!

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Es porque en este limite Ec. para x(t) es:

Ec. De UN RELAJADOR:

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Vibraciones bajo la acción de fuerzas externas:1. Fuerza constante ( sin amortiguamiento)

Debemos resolver una ecuación no homogénea.

Su solución general es la suma de la solución de la ecuación homogénea + +una solución particular de la ecuación completa (x=f0/ω0

2)

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Supongamos siguientes CI (Condiciones Iniciales):

Oscilador se encuentra en reposo en t=0

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Fuerza y desviación vs. Tiempo:

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Suponiendo presencia de pequeño rozamiento:

Clase (sin usar libro APL): Hallar solución de problema anterior imponiendo CI x(o) = x`(o)=0

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SOLUCION

Imponiendo CI x(o) = 0

Imponiendo CI x`(o)=0


Solución final

FIGURA_libro_APLcorecto???

0 2 4 6 8 10

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0 γ/ω0

2=0

x(t)

tiempo

γ/ω0

2=0.2

Deberia ser asi

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Vibraciones forzadas armónicamente

Buscamos solución particularEn forma

Sustituyendo en Ec.x0

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Solución general

Vibraciones forzados sin rozamiento

C1,2 se determina de CI

En el caso de presencia de rozamiento, a tiemposbastante grandes, influencia de CI se borra ( C1,2 0)

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Ec. a solucionar

Podemos presentar Ec.

Buscamos Solucion y luego tomamos Im (Solución)

como

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Buscamos

Al sustituir en Ec. Hallamos x0

Con

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Finalmente

Son llamadas curvas de resonancia: amplitud y fase de respuesta de oscilador forzado harmónicamentehttp://techtv.mit.edu/videos/769-mit-physics-demo----driven-mechanical-oscillator

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Solución general en el limite de pequeño amortiguamiento

Son llamadas curvas de resonancia: amplitud y fase de respuesta de oscilador forzado harmónicamente

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Para CI x(0)=x`(0)=0

C2

=0 C1

d/dt =0

t=0

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Resonancia parametrica

http://il.youtube.com/watch?v=kQI3AWpTWhM

Oscilador NO-linear Spectrum vs. FrecuenciaSe transforma de Lorentiano a hysteretico

2 3¨ ( )mx x x xβ α η= − + +

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Una fuerza externa arbitraria: función de Green

Antes relación (*) en Pág. 20 demostró el resultado deuna fuerza instantánea sobre un oscilador harmónico

Aprovechamos de este resultado para considerar influencia de una fuerza externa arbitraria

**

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Modo de presentar f(t) como suma de golpes instantáneos

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Resultado de uno de golpes en momento (i)

Resultado de todos golpes (hasta momento t):

52


En limite

Sin embargo, esta solución NO es solución general ya que NO contiene dos constantes arbitrarias

[que deberia tener solucion de Eq.** de segundo orden].

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Usaremos un método matemático ( llamado de variación de las constantes) que permite obtener soluciones particulares deecuaciones diferenciales no homogéneas [1.54-1.62 de libro APL].

Buscamos solución de Ecuaciónen forma con C1,2(t) - incógnitas

con C1,2(t) - incógnitas

SOL.

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Imponemos condición adicional que C1,2(t) cambian muy poco con el tiempo

Sustituyendo SOL. en Ec. (**) a resolver

1

2

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Sumado dos ultimas ecuaciones (1+2) obtenemos

Integrando:

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Restando (1-2)

Integrando

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Es la solución general con constantes C1,2 dependientes deposición y velocidad de oscilador en instante (t0)

Sol particular de Ec NO Homogénea

Sol. de Ec. Homogénea

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En relación anterior t0<t ya que posición de oscilador es determinada por fuerzas que actúan antes del momento, no de futuro

Si CI son conocidos solo para

0 debido a fuerzas de rozamiento finitas

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La solución se convierte en sol particularQue obtuvimos anteriormente

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Las soluciones de los problemas físicos de tipo causa-efecto que involucran ecuaciones lineales se suelen presentar como

G(t,t´) es denominada función GREEN

En nuestro caso particular

+∞

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Es la solución de siguiente Ec.

La condicion de velocidad inicial x´(0)=v0se puede presentar como “fuerza” en Ec, no-homogenea

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Entonces el movimiento de Oscilador sera descrito por función Green multiplicado por v0

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Solución para un oscilador inicialmente en reposo (t<0) bajo una fuerza periódica con frecuencia de resonancia f=f0Sen(ω0t) [t>0]

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Influencia de amortiguamiento

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Osciladores Armónicos (OA) acoplados

http://www.youtube.com/watch?v=XOxDK74DRJg

DEMO_ Osciladores magnéticos acoplados

Desplazamientos intermitentes

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Tratamos ejemplo de 2 OA acoplados

x1,2 son desplazamientos de cada una de masas (1,2)

Fc- fuerza del muelle CENTRAL

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Buscamos oscilaciones harmónicas para cada masa

( ) exp( )T t i tω=Sustituyendo

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Como dichas soluciones tienes que ser mismos y Entonces soluciones del mismo tipo de ecuaciones, presentamos:

Y imponemos(se trata de la mismaecuacion)

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Entonces Condiciones para tener soluciones no triviales:

o

Frecuencias correspondientes:

Son modos normales de osciladores acoplados

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Movimiento general de las masas

Se presenta como suma de movimientos harmónicos simples


Analógicamente problema de N osciladores acoplados

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( ) ( ) ( )n i i i ii N

x t A f n Sen tω ϕ= =>

= +∑fi función que describe amplitud de modo (i) en sitio (n)

De modo similar en este curso presentaremos soluciones complejas en forma de sumatorio por todos modos sencillos(modos normales) que son funciones periódicas harmónicas

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