tema 1 matemáticas secundaria

8/10/2019 Tema 1 Matemticas secundaria

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Carlos M. Abrisqueta Valcrcel, 2001 Temario Especfico Tema 1

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TEMAS DE MATEMTICAS

(Oposiciones de Secundaria)

TEMA 1

EL NMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIN.

1. Introduccin.2. Construccin de .

2.1.Definicin Axiomtica.2.2.Forma Constructiva.

3. Adicin de Nmeros Naturales.3.1.Definicin.3.2.Propiedades.

3.2.1.

Asociativa.3.2.2. Existencia de Elemento Neutro.

3.2.3. Conmutativa.4. Producto de Nmeros Naturales.

4.1.Definicin.

4.2.Propiedades.4.2.1. Distributiva del Producto respecto de la Adicin.

4.2.2. Existencia de Elemento Absorbente.4.2.3. Existencia de Elemento Neutro.4.2.4. Conmutativa.

4.2.5.

Asociativa.4.3.Conclusiones.

5. Orden en .6. Otras propiedades de .7.

Conjuntos Finitos.

8. Divisin Eucldea.9.

Sistemas de Numeracin.

9.1.Cambio de sistemas de numeracin.Bibliografa.


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TEMA 1

EL NMERO NATURAL. SISTEMAS DE NUMERACIN.

1. INTRODUCCIN.

Los nmeros naturales aparecen debido a la necesidad que tiene el hombre de

contar. Un nmero cualquiera como el 5 es una abstraccin, es una determinadapropiedad de algunos conjuntos.

Podemos construir los nmeros naturales de dos maneras:

a)

Desde el punto de vista axiomtico.b) De manera constructiva, con ayuda de la Teora de Conjuntos.

2. CONSTRUCCIN DE .

2.1.Definicin Axiomtica.

Construimos con un nmero infinito de elementos, todos ellos distintos, llamadosnmeros naturales.

={0, 1, 2, 3, 4,}

Cada uno de los smbolos anteriores, excepto el que figura en primer lugar, es el

siguiente de aquel que le precede.

Se verifican los siguientes axiomas, llamadospostulados de Peano:

Axioma 1: 0

Axioma 2: A cada nmero a se le asigna un siguiente s(a)=a* que tambin esnatural y se verifica:

a; aS(a)/ a; a b; b, si a=b S(a)=S(b)

Axioma 3: No existe ningn natural cuyo siguiente sea el 0.

a; a S(a)0

Axioma 4:a, b S(a)=S(b) a=b

Axioma 5(de induccin matemtica o induccin completa):

K, K / 0K y a, aK S(a)K K=

Tambin es posible establecer el uno 1 como primer nmero natural, siendo la

construccin la misma.


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PROPIEDADES

1) a, b, si ab a*b* (axioma 4)

2) a aa* (axioma 5)

Construimos K={a / ay aa*}

Veamos que K. Por el axioma 3: 0K.

Supongamos que aK a*(a*)* a*K K

3) ay a0 b / a=b*

Construimos K={0}{a; ba=b*}

K0, ya que 0K. Supongamos aK, como K contiene todos los siguientes,a*K K=

2.2.Forma Constructiva.

DEF Si K es un conjunto, llamamos siguiente de K al conjunto K*=K{K}

A partir de este momento designaremos al conjunto por el smbolo 0.

= 0

0* = 0{0} = {0} = 11* = 1{1} = {0, 1} = 22* = 2{2} = {0, 1}{2} = 3

Hemos de asegurarnos de que este proceso puede continuar de forma indefinida y

que llegamos a obtener un determinado conjunto infinito. Para ello necesitamos elAxioma del Infinito.

AXIOMA DEL INFINITO

Existe al menos un conjunto K0que cumple:

a) 0K0b) aK0a*K0

(Decimos que K0es recurrente)

Sea ahora K la familia de todos los conjuntos que verifican el axioma anterior

(conjuntos recurrentes) y llamamos =K con KK.

es no vaco, ya que al menos existe un conjunto recurrente.es recurrente (es trivial su comprobacin).


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es el conjunto recurrente ms pequeo, ya que si K es un conjunto recurrente, por

definicin de se tiene que verificar que NK.

El conjunto definido anteriormente verifica los axiomas de Peano vistos

anteriormente.

Por la construccin de , los axiomas 1, 2 y 5 son evidentes.

El axioma 3 se verifica si tenemos en cuenta que n*=n{n}=, entonces {n}=yde aqu n, lo que no tiene sentido.

Para poder comprobar el axioma 4 necesitamos de unos resultados previos:

DEF Un conjunto K es Transitivo a (aK aK)

LEMA Todo nmero natural es transitivo

dem.

Vamos a realizar la demostracin por induccin.

Llamamos C={n/ n es transitivo}

1) 0C, porque 0 es vaco y se cumple la condicin por vacuidad.2)

Supongamos que nC, entonces

mnmnn*mn*mn* n*C C= c.q.d.m=nm=nn*mn*

Podemos Probar ya el Axioma 4.

Supongamos m*=n* y supongamos mn

Entonces mm*=n*=n{n}, lo que implica mn pues mn y tambinnn*=m*=m{m}, lo que implica nm

Se tiene mn y nm y como ambos son transitivos se verifica que nm y mny por tanto m=n, lo cual es una contradiccin.

3. ADICIN DE NUMEROS NATURALES.

3.1.Definicin.

Sea f:xtal que (x,y)x, f(x,y)verificando:

1)

f(x,0)=x, x

2)

f(x,y*)=[(f(x,y)*] x,y


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Esta aplicacin existe y es nica.

dem.

1) Existencia

Sea M={x/ fx :{x}x, verificando fx(x,0)=x, fx(x,y*)=[fx(x,y)]*, y}

0M, ya que f0 :{0}x/ f0(0,y)=y, y.

f0(0,0)=0, f0(0,y*)=y*=(f0(0,y))*, y

Supongamos que xM, x*M?

fx*:{x*}x/ fx*(x*,0)=x*, fx*(x*,y*)=[ fx*(x*,y)]*

Esta fx*ser fx*(x*,y)=[ fx(x,y)]* x*M, por tanto M=

Como esto se verifica x, podemos garantizar que f:x

2) Unicidad

Supongamos Mx={y / f(x,y)=g(x,y)}, x con f y g satisfaciendo lascondiciones 1) y 2).

0Mx?, f(x,0)=g(x,0)=x

Si yMx, y*Mx?

f(x,y*)=[f(x,y)]*=[g(x,y)]*=g(x,y*) y*Mx

Luego Mx=, y como esto es x f=g

Por tanto, (x,y)podemos obtener f(x,y). A esta aplicacin se le conoce con elnombre de adiccin de nmeros naturales.Se simboliza por +.

Definicin axiomtica:

La aplicacin de nmeros naturales es una aplicacin +:x tal que(x,y)x existe un nico nmero, llamado x+y=+(x,y) tal que:

1)

+(x,0)=x+0=x

x,y2) +(x,y*)=x+y*=(x+y)*

Se Verifica:

1) x, x+1=x*


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2) x+y=0x=0y=0

3.2.Propiedades.

3.2.1. Asociativa.

a,b,c, se tiene :(a+b)+c=a+(b+c)

Para la demostracin definiremos un conjunto M formado por todos los numerosnaturales que verifican la propiedad. Comprobaremos que M=

Sea M={x/ (a+b)+x=a+(b+x) a,b}

0M, ya que (a+b)+0=a+b=a+(b+0)

Supongamos que xM (a+b)+x*=((a+b)+x)*=(a+(b+x))*=a+(b+x*)Luego x*M M=

3.2.2. Existencia de Elemento Neutro.

0/ xx+0=0+x=x

Sea el conjunto M={x/ x+0=0+x}0M, trivialmente.si xM Comprobemos que x*M

x*+0=x*=(x+0)*=(0+x)*=0+x*x*M y por tanto M=

3.2.3. Conmutativa.

a,bse verifica: a+b=b+a

Sea el conjunto A={x / x, x+1=1+x}

0A, trivialmente.si zAz*+1=(z+1)+1=(1+z)+1=1+(z+1)=1+z* A=

Sea el conjunto B=={x / x, x+a=a+x}

0B, ya que 0 es el elemento neutro.Comprobemos que z*Ba+z*=a+(z+1)=(a+z)+1=(a+z)*=(z+a)*=(z+a)+1=z+(a+1)=z+(1+a)=

=(z+1)+a=z*+a B=

Con estas tres propiedades tenemos que (,+) es semigrupo aditivo de los nmeros

naturales.

Para ser un grupo le falta tener la propiedad de Elemento Opuesto.


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4. PRODUCTO DE NMEROS NATURALES.

4.1.Definicin.

Sea f:x / (x,y)x, f(x,y), verificando:

a) f(x,0)=0, xb) f(x,y*)=f(x,y)+x, x,y

Esta aplicacin existe y es nica.

dem.

1)

Existencia.

Sea M={x/ fx :{x}x, verificando fx(x,0)=0, fx(x,y*)=fx(x,y)+x, y}

0M, pues si definimos fxcomo la aplicacin nula f0, verifica las condiciones.

Supongamos que xM y vamos a comprobar que x*M

fx*:{x*}x/ fx*(x*,0)=0, fx*(x*,y*)=fx*(x*,y)+x*

Esta fx* ser fx*(x*,y)=fx(x,y)+y; As definida veamos que cumple las doscondiciones para pertenecer a M

1)

fx*(x*,0)=fx(x,0)+0=fx(x,0)=02) fx*(x*,y*)=fx(x,y*)+y*= fx(x,y)+x+y*= fx(x,y)+x+(y+1)=

fx(x,y)+(x+1)+y= fx(x,y)+x*+y= fx(x,y)+y+x*= fx*(x*,y)+x*

Por tanto x*M lo cual implica que M=

2) Unicidad.

Supongamos que existen f y g dos funciones verificando las dos condiciones del

producto.

Sea M={y/ fx(x,y)=gx(x,y) x} Comprobemos que M=

0M ya que fx(x,0)=0=gx(x,0) x

Supongamos que yM y veamos que y*M

fx(x,y*)=fx(x,y)+x=gx(x,y)+x=gx(x,y*)

Por tanto M=lo cual significa que f=g

Se simboliza por


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Definicin Axiomtica de multiplicacin de nmeros naturales:

A cada par x e y se le asocia uno y slo un nmero natural, que designaremospor xy=(x,y) y que se llama producto de x por y, y verifica:

a)

x0=0 xb) xy*=xy+x, x,y

Se verifica que x1=x x

4.2.Propiedades.

4.2.1. Distributiva de la multiplicacin respecto de la adicin.

Distributiva por la derecha (a+b)c=ac+bc

a,b,cDistributiva por la izquierda c(a+b)=ca+cb

Para la demostracin definiremos un conjunto M formado por todos los numerosnaturales que verifican la propiedad. Comprobaremos que M=

Sea el conjunto M={x / x, (a+b)x=ax+bx}

0M ya que (a+b)0=0=a0+b0

Supongamos que zM, comprobemos que z*M

(a+b)z*=(a+b)z+(a+b)=az+bz+a+b=az+a+bz+b=az*+bz*

Por tanto M= (anlogamente por la izquierda).

4.2.2. Existencia de Elemento Absorbente en ( ,)

El cero 0 es el elemento absorbente de (,) pues

bse verifica b0=0=0b

ab+0=ab=(a+0)b=ab+0b 0b=0 Como b0=0 b0=0b

Una demostracin alternativa puede ser:

b0=b(0+0)=b0+b0 b0=0

Anlogamente para 0b=0

4.2.3. Existencia de Elemento Neutro en ( ,).

El uno 1 es el elemento neutro ya que verifica a1=a=1a

Para comprobarlo definimos M={x/ 1x=x}


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0M, ya que es el elemento neutro: 10=0

Supongamos que zM y comprobemos que z*M

1z*=1(z+1)=1z+1=z1+1=z+1=z*

Por tanto z*M M=

4.2.4. Conmutativa.

ab=baa,b

Sea M={x/ ax=xa a}

0M, trivialmente.

Supongamos que zM

az*=a(z+1)=az+a=a+az=a+za=(1+z)a=z*a

Entonces M=

4.2.5. Asociativa.

(ab)c=a(bc) a,b,c

Sea M={x/ (ab)x=a(bx)}

Como (ab)0=0= a(b0)=a0 0M

Supongamos que xM. Veamos que x*M

(ab)x*=(ab)(x+1)=(ab)x+ab=a(bx)+ab=a(bx+b)=a(b(x+1))=a(bx*)

Entonces x*M

Por lo tanto M=

Teniendo en cuenta las propiedades de la adicin y la multiplicacin de nmerosnaturales, podemos decir que (,+,) es un semianillo conmutativo con elementounidad.

4.3.Conclusiones.

1) En (,) no existen divisores de cero.

m0 y n0 mn0

2)

Ley de Simplificacin.


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a) Si a+b=a+c b=c ab) Si ab=acb=c a-{0}

3)

Ley de Monotona

a)

Si a=b a+c=b+c cb) Si a=b ac=bc c

5. ORDEN EN .

DEF Dados los nmeros naturales a y b, se dice que a es menor que b y se escribea


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Para comprobar que es una relacin de orden hemos de comprobar que severifican las propiedades reflexiva, antisimtrica y transitiva.

1)

Reflexiva: aa ya que a+0=0 a.

2)

Antisimtrica:Como ab c/ a+c=bComo ba d/ b+d=aEntonces a+c+d=a y por tanto c+d=0 lo que signifi-ca que c=d=0 y por tanto a=b

3)

Transitiva:

Como ab d/ a+d=bComo bc e/ b+e=c

De ambas expresiones obtenemos a+(d+e)=c

Y como d+eac

6. OTRAS PROPIEDADES DE .

PROP El conjunto con la relacion est bien ordenado. Es decir, todo subconjunto Cde tiene elemento mnimo (Se entiende por elemento mnimo mC / mc cC).

dem.

Tenemos Ccon C.

Podemos encontrarnos dos situaciones:

1) 0C. En este caso 0=minC2) 0C

Sea el conjunto A={x/ x0 / x+d=c xc cC xC AC=

Luego A

0A, por tanto A es no recurrente

Debe existir a0A / ao* A

Como a0


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OBS La relacin de orden es compatible con las operaciones suma y productodefinidas anteriormente:

1) ab a+c b+c c2) ab ac bc c

TEOREMA DEL EXTREMO

Toda parte A de no vaca y acotada superiormente tiene elemento mnimo.

dem.

Sea S el conjunto formado por las cotas superiores de A.

Teniendo en cuenta la propiedad anterior,

s0S / s0=minS

Si s0=0 A={0} y 0=maxASi s00 s0=maxA ya que el anterior, r0, a s0no sera cota superior, lo

que significa que a0A / r0


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8. DIVISIN EUCLDEA.

PROP Dados D,dcon d0, existen c,rnicos verificando D=dc+r con r


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TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIN.

Sea bcon b>1. Entonces todo nse puede expresar de forma nica comon=n0+n1b+n2b

2+n3b3++npb

p

con n0, n1, n2,,np, np0 y ni


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PROP Sea n=npnp-1n2n1n0 un nmero escrito en base b. Si multiplicamos el nmeron por una potencia cualquiera de la base, entonces

nbk= npnp-1n2n1n0000 con k ceros

dem.

Como n=npnp-1n2n1n0, escribiendolo de forma polinmica tenemos

n=n0+n1b+n2b2+n3b

3++npbp

Si multiplicamos los dos miembros de la expresin por bk queda:

nbk=n0bk+n1b

k+1+n2bk+2+n3b

k+3++npbk+p

y completando el polinomio:

nbk=0+0b+0b2++0bk-1+n0bk+n1bk+1+n2bk+2+n3bk+3++npbk+p

volviendo a escribir n segn el convenio establecido, obtenemos la expresin

buscada.

PROP n en base b tiene p+1 cifras bpn


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PROP Sean n y n dos nmeros en base b que tienen p y p cifras respectivamente.Entonces p


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Tambin podemos calcular el valor del polinomio con slo obtener el resto de ladivisin del polinomio por la base, utilizando para ello la regla de Ruffini.

b)

Dado un nmero en base 10, hallar su expresin en una base cualquiera b.

Dado el nmero n en base 10, consiste en calcular los coeficientes del polinomion=n0+n1b+n2b

2+n3b3++npb

p

Basta dividir el nmero sucesivamente hasta conseguir un cociente que sea menor

que b. El nmero en base b estar formado por el ltimo cociente y la sucesin de restosobtenida en orden inverso.

c)

Dado un nmero n en base b, hallar su expresin en otra base b.

Este cambio se realiza pasando el nmero n en base b a base decimal y luego debase decimal a base b.

9.2.Operaciones bsicas entre nmeros en una base cualquiera.

a)

Suma.

En un sistema de base b, para sumar dos nmeros se procede de forma anloga a

como se hace en el sistema decimal.

En cualquier base se usan las mismas reglas ya establecidas para el sistema

decimal.

b)

Producto.

Las reglas de la multiplicacin en una base cualquiera son anlogas a las del

sistema decimal. Es necesario saber las tablas de multiplicar para los nmeros menoresque la base.

9.3.Sistemas de Numeracin ms utilizados.

El sistema binario (base 2) es el ms utilizado como lenguaje interno de losordenadores (cdigo mquina). Los smbolos que utiliza son 0 y 1.

Debido a la cantidad de dgitos que se requieren para representar en binario lainformacin en un ordenador, se recurre a usar los sistemas octal y hexadecimal.

El sistema octal es el sistema de numeracin en base 8 y utiliza por tanto ocho

smbolos para representar las cantidades. Los smbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y7. Cada cifra octal corresponde a tres dgitos binarios.

El sistema hexadecimal es el sistema de numeracin en base 16 y utiliza dieciseissmbolos para representar las cantidades. Los smbolos utilizados son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Cada cifra hexadecimal corresponde a 4 dgitos binarios.


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Bibliografa.

Matemticas Bsicas, curso de acceso. UNEDEstructura y tecnologa de Computadores I. UNED.

Anlisis Matemtico I. Aut: J. A. Fernndez Via

Anlisis Matemtico. Aut. Julio Rey Pastor, Pedro Pi, Cesar Trejo. Ed. KapeluszAnlisis Matemtico I. Aut. Jess Fernndez Novoa. Ed. UNED

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