tema cuerpo de profesores de enseñanza secundaria tema 23 · 390 cuerpo de profesores de...

TEMA

2323

Funciones circulares e

hiperbólicas y sus recíprocas.

Situaciones reales

en las que aparecen

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Jesús Gómez Gómez

TEMA

2323

Funciones circulares e

hiperbólicas y sus recíprocas.

Situaciones reales

en las que aparecen

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Jesús Gómez GómezTEMA

2323

Funcionescircularese

hiperbólicasysusrecíprocas.

Situacionesreales

enlasqueaparecen

CuerpodeProfesoresdeEnseñanzaSecundaria

JesúsGómezGómez

TEMA

2323

Funcionescircularese

hiperbólicasysusrecíprocas.

Situacionesreales

enlasqueaparecen

CuerpodeProfesoresdeEnseñanzaSecundaria

JesúsGómezGómez

ÍNDICE SISTEMÁTICO

1. INTRODUCCIÓN

2. FUNCIONES CIRCULARES2.1. Ángulos orientados2.2. Definición de “seno” y “coseno”2.3. Definición de las demás funciones circulares2.4. Propiedades inmediatas2.5. Periodicidad.2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares2.7. Gráficas de las funciones circulares.

2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno2.7.2. Gráficas de las funciones tangentes y cotangentes2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecante

3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

4. FUNCIONES HIPERBÓLICAS4.1. Definición4.2. Propiedades inmediatas4.3. Gráficas de las funciones hiperbólicas

5. FUNCIONES INVERSAS DE LA HIPERBÓLICAS

6. SIMILITUDES ENTRE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y LAS HIPERBÓLICAS6.1. Una interpretación geométrica análoga6.2. Definición a partir de la exponencial6.3. Tabla de derivadas de las funciones circulares e hiperbólicas y de sus inversas

7. SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES CIRCULARES

8. SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

390 CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen I. Matemáticas

ÍNDICE SISTEMÁTICO

1. INTRODUCCIÓN

2. FUNCIONES CIRCULARES2.1. Ángulos orientados2.2. Definición de “seno” y “coseno”2.3. Definición de las demás funciones circulares2.4. Propiedades inmediatas2.5. Periodicidad.2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares2.7. Gráficas de las funciones circulares.

2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno2.7.2. Gráficas de las funciones tangentes y cotangentes2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecante

3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES: FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

4. FUNCIONES HIPERBÓLICAS4.1. Definición4.2. Propiedades inmediatas4.3. Gráficas de las funciones hiperbólicas

5. FUNCIONES INVERSAS DE LA HIPERBÓLICAS

6. SIMILITUDES ENTRE LAS FUNCIONES CIRCULARES Y LAS HIPERBÓLICAS6.1. Una interpretación geométrica análoga6.2. Definición a partir de la exponencial6.3. Tabla de derivadas de las funciones circulares e hiperbólicas y de sus inversas

7. SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES CIRCULARES

8. SITUACIONES REALES EN QUE INTERVIENEN LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS



ÍNDICESISTEMÁTICO

1.INTRODUCCIÓN

2.FUNCIONESCIRCULARES2.1.Ángulosorientados2.2.Definiciónde“seno”y“coseno”2.3.Definicióndelasdemásfuncionescirculares2.4.Propiedadesinmediatas2.5.Periodicidad.2.6.Continuidadyderivabilidaddelasfuncionescirculares2.7.Gráficasdelasfuncionescirculares.

2.7.1.Gráficasdelasfuncionessenoycoseno2.7.2.Gráficasdelasfuncionestangentesycotangentes2.7.3.Gráficasdelasfuncionessecanteycosecante

3.FUNCIONESINVERSASDELASCIRCULARES:FUNCIONESCICLOMÉTRICAS

4.FUNCIONESHIPERBÓLICAS4.1.Definición4.2.Propiedadesinmediatas4.3.Gráficasdelasfuncioneshiperbólicas

5.FUNCIONESINVERSASDELAHIPERBÓLICAS

6.SIMILITUDESENTRELASFUNCIONESCIRCULARESYLASHIPERBÓLICAS6.1.Unainterpretacióngeométricaanáloga6.2.Definiciónapartirdelaexponencial6.3.Tabladederivadasdelasfuncionescircularesehiperbólicasydesusinversas

7.SITUACIONESREALESENQUEINTERVIENENLASFUNCIONESCIRCULARES

8.SITUACIONESREALESENQUEINTERVIENENLASFUNCIONESHIPERBÓLICAS

390CUERPODEPROFESORESDEENSEÑANZASECUNDARIA

VolumenI.Matemáticas

ÍNDICESISTEMÁTICO

1.INTRODUCCIÓN

2.FUNCIONESCIRCULARES2.1.Ángulosorientados2.2.Definiciónde“seno”y“coseno”2.3.Definicióndelasdemásfuncionescirculares2.4.Propiedadesinmediatas2.5.Periodicidad.2.6.Continuidadyderivabilidaddelasfuncionescirculares2.7.Gráficasdelasfuncionescirculares.

2.7.1.Gráficasdelasfuncionessenoycoseno2.7.2.Gráficasdelasfuncionestangentesycotangentes2.7.3.Gráficasdelasfuncionessecanteycosecante


4.FUNCIONESHIPERBÓLICAS4.1.Definición4.2.Propiedadesinmediatas4.3.Gráficasdelasfuncioneshiperbólicas

5.FUNCIONESINVERSASDELAHIPERBÓLICAS

6.SIMILITUDESENTRELASFUNCIONESCIRCULARESYLASHIPERBÓLICAS6.1.Unainterpretacióngeométricaanáloga6.2.Definiciónapartirdelaexponencial6.3.Tabladederivadasdelasfuncionescircularesehiperbólicasydesusinversas

7.SITUACIONESREALESENQUEINTERVIENENLASFUNCIONESCIRCULARES

8.SITUACIONESREALESENQUEINTERVIENENLASFUNCIONESHIPERBÓLICAS



1. INTRODUCCIÓNLas funciones circulares fueron introducidas por la vía geométrica a partir de la trigonometría plana.

Los musulmanes ya disponían de grandes avances en este campo. Así pues, Al Habas (770?-870?) introdu-ce la función trigonométrica de tangente y confecciona tablas de sen y tg, que luego perfeccionaríanAbul-Wafa (940-998) y Al-Biruni (973-1048).

A comienzos del siglo XVI la trigonometría estaba aún vinculada a la astronomía. De hecho en laobra de Copérnico titulada De revolutionibus orbium coelestium, tres capítulos están dedicados a las fun-ciones circulares. Dos de esos capítulos habían aparecido ya en 1542, año anterior al de la publicación de laobra de Copérnico, en un escrito de su editor Georg Joachim, llamado Rhaeticus, a quien se debe el estudiosistemático de las seis funciones circulares en 1551, apareciendo por primera vez en Europa definidas so-bre la circunferencia fundamental. Fuera del seno y del coseno Rhaeticus no dio nombre especial a ningunade las otras. Los nombres de tangente y secante aparecen en una obra de Thomas Fincke de 1583.

En el Barroco temprano se producen nuevas contribuciones. Así pues, los continuadores de Rhaeti-cus (Otto, Pitiscus, ...) construyeron tablas con precisión asombrosa de tales funciones.

La vinculación con otros problemas como la cuadratura del círculo y la aproximación del número �hace que el estudio de las funciones circulares cobre vigor, sobresaliendo la figura de Viète (1540-1603),quien, entre otras muchas aportaciones, ideó un método de biparticiones para obtener valores tabulados delas funciones circulares y empezó a desarrollar los teoremas fundamentales.

Más tarde, el desarrollo de los métodos infinitesimales permitió un enfoque nuevo basado en las se-ries. Así por ejemplo, hay contribuciones diversas (Pascal, Fermat, Wallis, Newton, Leibniz, Bernouilli,etc.) motivadas por el polémico estudio de la cicloide, que originó la aparición de su compañera, la sinuoi-de. Un manejo eficaz de esta curva se debe a Roverbal en su método de los indivisibles para determinar elárea de la cicloide y el volumen del cuerpo engendrado por su revolución.

Por su parte Huygens se ocupó del estudio de la catenaria, donde intervienen la funciones hiperbóli-cas, mientras que Gregory estudió las funciones circulares inversas.

Aunque las funciones hiperbólicas fueron introducidas en 1757 por Ricatti, Lambert les da en 1769 lamisma importancia que a las trigonométricas y calcula una tabla para aquellas. Se ocupó del estudio de lasfunciones hiperbólicas en conexión con la teoría de las paralelas y demostró la irracionalidad de � partien-do del desarrollo en fracción continua de tg x.

Pero probablemente sea Euler, el matemático más relevante del siglo XVIII, el que más aportó al co-nocimiento de las funciones trascendentes. A él se debe la relación entre las funciones circulares e hiperbó-licas con las exponenciales. En su obra Introductio in analysin infinitorum hace un tratamientoestrictamente analítico (y no geométrico) de las funciones trigonométricas. El seno de un ángulo, porejemplo, ya no es un segmento, sino simplemente un número, la ordenada de un punto de la circunferencia

unidad, o bien la suma de la serie z –z

3!

z

5!–

z

7!...

3 5 7

� � para algún valor de z.

Cabe destacar por último al francés Fourier, que, en su estudio de las funciones analíticas, aportó conlas llamadas series trigonométricas una extensión del concepto euleriano de función.

Podemos decir que las funciones que se van a estudiar en el presente tema han sido objeto de estudio alo largo de la historia, en conexión tanto otras parcelas de la matemática, como la geometría o el álgebra,pero también motivado por la investigación en otros campos de la ciencia y de la técnica, como la astrono-mía, la mecánica o la electrónica.

2. FUNCIONES CIRCULARES2.1. Ángulos orientados

Partiremos de la noción intuitiva de “ángulo orientado” (o “diri-gido”), como par ordenado (s1,s2) de semirrectas con un origen común.

Figura 1.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A 391

Funciones circulares e hiperbólicas y sus recíprocas

O

S2

S1

1. INTRODUCCIÓNLas funciones circulares fueron introducidas por la vía geométrica a partir de la trigonometría plana.

Los musulmanes ya disponían de grandes avances en este campo. Así pues, Al Habas (770?-870?) introdu-ce la función trigonométrica de tangente y confecciona tablas de sen y tg, que luego perfeccionaríanAbul-Wafa (940-998) y Al-Biruni (973-1048).

A comienzos del siglo XVI la trigonometría estaba aún vinculada a la astronomía. De hecho en laobra de Copérnico titulada De revolutionibus orbium coelestium, tres capítulos están dedicados a las fun-ciones circulares. Dos de esos capítulos habían aparecido ya en 1542, año anterior al de la publicación de laobra de Copérnico, en un escrito de su editor Georg Joachim, llamado Rhaeticus, a quien se debe el estudiosistemático de las seis funciones circulares en 1551, apareciendo por primera vez en Europa definidas so-bre la circunferencia fundamental. Fuera del seno y del coseno Rhaeticus no dio nombre especial a ningunade las otras. Los nombres de tangente y secante aparecen en una obra de Thomas Fincke de 1583.

En el Barroco temprano se producen nuevas contribuciones. Así pues, los continuadores de Rhaeti-cus (Otto, Pitiscus, ...) construyeron tablas con precisión asombrosa de tales funciones.

La vinculación con otros problemas como la cuadratura del círculo y la aproximación del número �hace que el estudio de las funciones circulares cobre vigor, sobresaliendo la figura de Viète (1540-1603),quien, entre otras muchas aportaciones, ideó un método de biparticiones para obtener valores tabulados delas funciones circulares y empezó a desarrollar los teoremas fundamentales.

Más tarde, el desarrollo de los métodos infinitesimales permitió un enfoque nuevo basado en las se-ries. Así por ejemplo, hay contribuciones diversas (Pascal, Fermat, Wallis, Newton, Leibniz, Bernouilli,etc.) motivadas por el polémico estudio de la cicloide, que originó la aparición de su compañera, la sinuoi-de. Un manejo eficaz de esta curva se debe a Roverbal en su método de los indivisibles para determinar elárea de la cicloide y el volumen del cuerpo engendrado por su revolución.

Por su parte Huygens se ocupó del estudio de la catenaria, donde intervienen la funciones hiperbóli-cas, mientras que Gregory estudió las funciones circulares inversas.

Aunque las funciones hiperbólicas fueron introducidas en 1757 por Ricatti, Lambert les da en 1769 lamisma importancia que a las trigonométricas y calcula una tabla para aquellas. Se ocupó del estudio de lasfunciones hiperbólicas en conexión con la teoría de las paralelas y demostró la irracionalidad de � partien-do del desarrollo en fracción continua de tg x.

Pero probablemente sea Euler, el matemático más relevante del siglo XVIII, el que más aportó al co-nocimiento de las funciones trascendentes. A él se debe la relación entre las funciones circulares e hiperbó-licas con las exponenciales. En su obra Introductio in analysin infinitorum hace un tratamientoestrictamente analítico (y no geométrico) de las funciones trigonométricas. El seno de un ángulo, porejemplo, ya no es un segmento, sino simplemente un número, la ordenada de un punto de la circunferencia

unidad, o bien la suma de la serie z –z

3!

z

5!–

z

7!...

3 5 7

� � para algún valor de z.

Cabe destacar por último al francés Fourier, que, en su estudio de las funciones analíticas, aportó conlas llamadas series trigonométricas una extensión del concepto euleriano de función.

Podemos decir que las funciones que se van a estudiar en el presente tema han sido objeto de estudio alo largo de la historia, en conexión tanto otras parcelas de la matemática, como la geometría o el álgebra,pero también motivado por la investigación en otros campos de la ciencia y de la técnica, como la astrono-mía, la mecánica o la electrónica.

2. FUNCIONES CIRCULARES2.1. Ángulos orientados

Partiremos de la noción intuitiva de “ángulo orientado” (o “diri-gido”), como par ordenado (s1,s2) de semirrectas con un origen común.

Figura 1.



O

S2

S1

1.INTRODUCCIÓNLasfuncionescircularesfueronintroducidasporlavíageométricaapartirdelatrigonometríaplana.

Losmusulmanesyadisponíandegrandesavancesenestecampo.Asípues,AlHabas(770?-870?)introdu-celafuncióntrigonométricadetangenteyconfeccionatablasdesenytg,queluegoperfeccionaríanAbul-Wafa(940-998)yAl-Biruni(973-1048).

AcomienzosdelsigloXVIlatrigonometríaestabaaúnvinculadaalaastronomía.DehechoenlaobradeCopérnicotituladaDerevolutionibusorbiumcoelestium,trescapítulosestándedicadosalasfun-cionescirculares.Dosdeesoscapítuloshabíanaparecidoyaen1542,añoanterioraldelapublicacióndelaobradeCopérnico,enunescritodesueditorGeorgJoachim,llamadoRhaeticus,aquiensedebeelestudiosistemáticodelasseisfuncionescircularesen1551,apareciendoporprimeravezenEuropadefinidasso-brelacircunferenciafundamental.FueradelsenoydelcosenoRhaeticusnodionombreespecialaningunadelasotras.LosnombresdetangenteysecanteaparecenenunaobradeThomasFinckede1583.

EnelBarrocotempranoseproducennuevascontribuciones.Asípues,loscontinuadoresdeRhaeti-cus(Otto,Pitiscus,...)construyerontablasconprecisiónasombrosadetalesfunciones.

Lavinculaciónconotrosproblemascomolacuadraturadelcírculoylaaproximacióndelnúmero�hacequeelestudiodelasfuncionescircularescobrevigor,sobresaliendolafiguradeViète(1540-1603),quien,entreotrasmuchasaportaciones,ideóunmétododebiparticionesparaobtenervalorestabuladosdelasfuncionescircularesyempezóadesarrollarlosteoremasfundamentales.

Mástarde,eldesarrollodelosmétodosinfinitesimalespermitióunenfoquenuevobasadoenlasse-ries.Asíporejemplo,haycontribucionesdiversas(Pascal,Fermat,Wallis,Newton,Leibniz,Bernouilli,etc.)motivadasporelpolémicoestudiodelacicloide,queoriginólaaparicióndesucompañera,lasinuoi-de.UnmanejoeficazdeestacurvasedebeaRoverbalensumétododelosindivisiblesparadeterminareláreadelacicloideyelvolumendelcuerpoengendradoporsurevolución.

PorsuparteHuygensseocupódelestudiodelacatenaria,dondeintervienenlafuncioneshiperbóli-cas,mientrasqueGregoryestudiólasfuncionescircularesinversas.

Aunquelasfuncioneshiperbólicasfueronintroducidasen1757porRicatti,Lambertlesdaen1769lamismaimportanciaquealastrigonométricasycalculaunatablaparaaquellas.Seocupódelestudiodelasfuncioneshiperbólicasenconexiónconlateoríadelasparalelasydemostrólairracionalidadde�partien-dodeldesarrolloenfraccióncontinuadetgx.

PeroprobablementeseaEuler,elmatemáticomásrelevantedelsigloXVIII,elquemásaportóalco-nocimientodelasfuncionestrascendentes.Aélsedebelarelaciónentrelasfuncionescircularesehiperbó-licasconlasexponenciales.EnsuobraIntroductioinanalysininfinitorumhaceuntratamientoestrictamenteanalítico(ynogeométrico)delasfuncionestrigonométricas.Elsenodeunángulo,porejemplo,yanoesunsegmento,sinosimplementeunnúmero,laordenadadeunpuntodelacircunferencia

unidad,obienlasumadelaseriez–z

3!

z

5!–

z

7!...

357

��paraalgúnvalordez.

CabedestacarporúltimoalfrancésFourier,que,ensuestudiodelasfuncionesanalíticas,aportóconlasllamadasseriestrigonométricasunaextensióndelconceptoeulerianodefunción.

Podemosdecirquelasfuncionesquesevanaestudiarenelpresentetemahansidoobjetodeestudioalolargodelahistoria,enconexióntantootrasparcelasdelamatemática,comolageometríaoelálgebra,perotambiénmotivadoporlainvestigaciónenotroscamposdelacienciaydelatécnica,comolaastrono-mía,lamecánicaolaelectrónica.

2.FUNCIONESCIRCULARES2.1.Ángulosorientados

Partiremosdelanociónintuitivade“ánguloorientado”(o“diri-gido”),comoparordenado(s1,s2)desemirrectasconunorigencomún.

Figura1.

TEMARIODEMATEMÁTICAS.PRUEBAA391

Funcionescircularesehiperbólicasysusrecíprocas

O

S2

S1

1.INTRODUCCIÓNLasfuncionescircularesfueronintroducidasporlavíageométricaapartirdelatrigonometríaplana.

Losmusulmanesyadisponíandegrandesavancesenestecampo.Asípues,AlHabas(770?-870?)introdu-celafuncióntrigonométricadetangenteyconfeccionatablasdesenytg,queluegoperfeccionaríanAbul-Wafa(940-998)yAl-Biruni(973-1048).

AcomienzosdelsigloXVIlatrigonometríaestabaaúnvinculadaalaastronomía.DehechoenlaobradeCopérnicotituladaDerevolutionibusorbiumcoelestium,trescapítulosestándedicadosalasfun-cionescirculares.Dosdeesoscapítuloshabíanaparecidoyaen1542,añoanterioraldelapublicacióndelaobradeCopérnico,enunescritodesueditorGeorgJoachim,llamadoRhaeticus,aquiensedebeelestudiosistemáticodelasseisfuncionescircularesen1551,apareciendoporprimeravezenEuropadefinidasso-brelacircunferenciafundamental.FueradelsenoydelcosenoRhaeticusnodionombreespecialaningunadelasotras.LosnombresdetangenteysecanteaparecenenunaobradeThomasFinckede1583.

EnelBarrocotempranoseproducennuevascontribuciones.Asípues,loscontinuadoresdeRhaeti-cus(Otto,Pitiscus,...)construyerontablasconprecisiónasombrosadetalesfunciones.

Lavinculaciónconotrosproblemascomolacuadraturadelcírculoylaaproximacióndelnúmero�hacequeelestudiodelasfuncionescircularescobrevigor,sobresaliendolafiguradeViète(1540-1603),quien,entreotrasmuchasaportaciones,ideóunmétododebiparticionesparaobtenervalorestabuladosdelasfuncionescircularesyempezóadesarrollarlosteoremasfundamentales.

Mástarde,eldesarrollodelosmétodosinfinitesimalespermitióunenfoquenuevobasadoenlasse-ries.Asíporejemplo,haycontribucionesdiversas(Pascal,Fermat,Wallis,Newton,Leibniz,Bernouilli,etc.)motivadasporelpolémicoestudiodelacicloide,queoriginólaaparicióndesucompañera,lasinuoi-de.UnmanejoeficazdeestacurvasedebeaRoverbalensumétododelosindivisiblesparadeterminareláreadelacicloideyelvolumendelcuerpoengendradoporsurevolución.

PorsuparteHuygensseocupódelestudiodelacatenaria,dondeintervienenlafuncioneshiperbóli-cas,mientrasqueGregoryestudiólasfuncionescircularesinversas.

Aunquelasfuncioneshiperbólicasfueronintroducidasen1757porRicatti,Lambertlesdaen1769lamismaimportanciaquealastrigonométricasycalculaunatablaparaaquellas.Seocupódelestudiodelasfuncioneshiperbólicasenconexiónconlateoríadelasparalelasydemostrólairracionalidadde�partien-dodeldesarrolloenfraccióncontinuadetgx.

PeroprobablementeseaEuler,elmatemáticomásrelevantedelsigloXVIII,elquemásaportóalco-nocimientodelasfuncionestrascendentes.Aélsedebelarelaciónentrelasfuncionescircularesehiperbó-licasconlasexponenciales.EnsuobraIntroductioinanalysininfinitorumhaceuntratamientoestrictamenteanalítico(ynogeométrico)delasfuncionestrigonométricas.Elsenodeunángulo,porejemplo,yanoesunsegmento,sinosimplementeunnúmero,laordenadadeunpuntodelacircunferencia

unidad,obienlasumadelaseriez–z

3!

z

5!–

z

7!...

357

��paraalgúnvalordez.

CabedestacarporúltimoalfrancésFourier,que,ensuestudiodelasfuncionesanalíticas,aportóconlasllamadasseriestrigonométricasunaextensióndelconceptoeulerianodefunción.

Podemosdecirquelasfuncionesquesevanaestudiarenelpresentetemahansidoobjetodeestudioalolargodelahistoria,enconexióntantootrasparcelasdelamatemática,comolageometríaoelálgebra,perotambiénmotivadoporlainvestigaciónenotroscamposdelacienciaydelatécnica,comolaastrono-mía,lamecánicaolaelectrónica.

2.FUNCIONESCIRCULARES2.1.Ángulosorientados

Partiremosdelanociónintuitivade“ánguloorientado”(o“diri-gido”),comoparordenado(s1,s2)desemirrectasconunorigencomún.

Figura1.



O

S2

S1

Si tomamos en el plano un sistema de referencia OXY or-tonormal (ejes rectangulares), podemos considerar como semi-rrecta inicial s1 la mitad positiva del eje de abcisas (OX+), yentonces el ángulo orientado vendrá dado por la semirrecta ter-minal, más concretamente por el ángulo barrido por ésta al gi-rar con centro O. De esa manera puede considerarse un ánguloorientado como un ángulo de giro, se puede generalizar la no-ción de ángulo admitiendo ángulos superiores a una vuelta y sepueden establecer dos sentidos de giro (usualmente como posi-tivo el contrario al de las agujas del reloj).

Figura 2.

2.2. Definición de seno y coseno

Tomemos ahora la circunferencia de centro O y radio unidad

C = {(u, v) � u2 + v 2= 1}

Está claro que toda semirrecta con origen en O determina un único punto P(u,v) de C. Ello significaque para cada ángulo orientado �, situado sobre el sistema de referencia OXY de la forma establecida, ob-tendremos un punto P(u,v) cumpliendo u2 + v2 = 1. Entonces definiremos coseno y seno de � como lascoordenadas del punto P. O sea:

Observación:

Sabido es que podríamos haber tomado una circunferencia de radio r cualquiera y las definiciones se-

ríancosu

r�� , sen

v

r�� . Es fácil probar la independencia de tales definiciones con respecto al radio

elegido, con lo cual tomamos r = 1 (circunferencia goniométrica), sin restar generalidad.

Tratamos de que las definiciones dadas nos permitan construir dos funciones reales de variable real.Pero para ello es preciso que un ángulo orientado � quede identificado mediante un número real x.

En realidad no nos interesa tanto la perspectiva geométricacomo la del análisis real, y en ese sentido hay otras formas de llegar alas funciones que pretendemos, si recurrir siquiera a la noción de án-gulo. No obstante, la introducción del radián puede ser, al menos enprimera aproximación, una manera de solventar la cuestión. En efec-to, con la definición clásica lo que hacemos es asignar valor 1 al ángu-lo dirigido en sentido contrario al de las agujas del reloj y tal que lalongitud del arco es 1, es decir, al ángulo central cuyo arco correspon-diente tiene la misma longitud que el radio.



u

v

P

cos = usen = v

��A (1, 0)

�

O

1

x longitud

Figura 3.

Figura 4.

Si tomamos en el plano un sistema de referencia OXY or-tonormal (ejes rectangulares), podemos considerar como semi-rrecta inicial s1 la mitad positiva del eje de abcisas (OX+), yentonces el ángulo orientado vendrá dado por la semirrecta ter-minal, más concretamente por el ángulo barrido por ésta al gi-rar con centro O. De esa manera puede considerarse un ánguloorientado como un ángulo de giro, se puede generalizar la no-ción de ángulo admitiendo ángulos superiores a una vuelta y sepueden establecer dos sentidos de giro (usualmente como posi-tivo el contrario al de las agujas del reloj).

Figura 2.

2.2. Definición de seno y coseno

Tomemos ahora la circunferencia de centro O y radio unidad

C = {(u, v) � u2 + v 2= 1}

Está claro que toda semirrecta con origen en O determina un único punto P(u,v) de C. Ello significaque para cada ángulo orientado �, situado sobre el sistema de referencia OXY de la forma establecida, ob-tendremos un punto P(u,v) cumpliendo u2 + v2 = 1. Entonces definiremos coseno y seno de � como lascoordenadas del punto P. O sea:

Observación:

Sabido es que podríamos haber tomado una circunferencia de radio r cualquiera y las definiciones se-

ríancosu

r�� , sen

v

r�� . Es fácil probar la independencia de tales definiciones con respecto al radio

elegido, con lo cual tomamos r = 1 (circunferencia goniométrica), sin restar generalidad.

Tratamos de que las definiciones dadas nos permitan construir dos funciones reales de variable real.Pero para ello es preciso que un ángulo orientado � quede identificado mediante un número real x.

En realidad no nos interesa tanto la perspectiva geométricacomo la del análisis real, y en ese sentido hay otras formas de llegar alas funciones que pretendemos, si recurrir siquiera a la noción de án-gulo. No obstante, la introducción del radián puede ser, al menos enprimera aproximación, una manera de solventar la cuestión. En efec-to, con la definición clásica lo que hacemos es asignar valor 1 al ángu-lo dirigido en sentido contrario al de las agujas del reloj y tal que lalongitud del arco es 1, es decir, al ángulo central cuyo arco correspon-diente tiene la misma longitud que el radio.



u

v

P

cos = usen = v

��A (1, 0)

�

O

1

x longitud

Figura 3.

Figura 4. SitomamosenelplanounsistemadereferenciaOXYor-tonormal(ejesrectangulares),podemosconsiderarcomosemi-rrectainicials1lamitadpositivadelejedeabcisas(OX

+),y

entonceselánguloorientadovendrádadoporlasemirrectater-minal,másconcretamenteporelángulobarridoporéstaalgi-rarconcentroO.Deesamanerapuedeconsiderarseunánguloorientadocomounángulodegiro,sepuedegeneralizarlano-cióndeánguloadmitiendoángulossuperioresaunavueltaysepuedenestablecerdossentidosdegiro(usualmentecomoposi-tivoelcontrarioaldelasagujasdelreloj).

Figura2.

2.2.Definicióndesenoycoseno

TomemosahoralacircunferenciadecentroOyradiounidad

C={(u,v)�u2

+v2=1}

EstáclaroquetodasemirrectaconorigenenOdeterminaunúnicopuntoP(u,v)deC.Ellosignificaqueparacadaánguloorientado�,situadosobreelsistemadereferenciaOXYdelaformaestablecida,ob-tendremosunpuntoP(u,v)cumpliendou

2+v

2=1.Entoncesdefiniremoscosenoysenode�comolas

coordenadasdelpuntoP.Osea:

Observación:

Sabidoesquepodríamoshabertomadounacircunferenciaderadiorcualquieraylasdefinicionesse-

ríancosu

r��,sen

v

r��.Esfácilprobarlaindependenciadetalesdefinicionesconrespectoalradio

elegido,conlocualtomamosr=1(circunferenciagoniométrica),sinrestargeneralidad.

Tratamosdequelasdefinicionesdadasnospermitanconstruirdosfuncionesrealesdevariablereal.Peroparaelloesprecisoqueunánguloorientado�quedeidentificadomedianteunnúmerorealx.

Enrealidadnonosinteresatantolaperspectivageométricacomoladelanálisisreal,yenesesentidohayotrasformasdellegaralasfuncionesquepretendemos,sirecurrirsiquieraalanocióndeán-gulo.Noobstante,laintroduccióndelradiánpuedeser,almenosenprimeraaproximación,unamaneradesolventarlacuestión.Enefec-to,conladefiniciónclásicaloquehacemosesasignarvalor1alángu-lodirigidoensentidocontrarioaldelasagujasdelrelojytalquelalongituddelarcoes1,esdecir,alángulocentralcuyoarcocorrespon-dientetienelamismalongitudqueelradio.



u

v

P

cos=usen=v

�� A(1,0)

�

O

1

xlongitud

Figura3.

Figura4.

SitomamosenelplanounsistemadereferenciaOXYor-tonormal(ejesrectangulares),podemosconsiderarcomosemi-rrectainicials1lamitadpositivadelejedeabcisas(OX

+),y

entonceselánguloorientadovendrádadoporlasemirrectater-minal,másconcretamenteporelángulobarridoporéstaalgi-rarconcentroO.Deesamanerapuedeconsiderarseunánguloorientadocomounángulodegiro,sepuedegeneralizarlano-cióndeánguloadmitiendoángulossuperioresaunavueltaysepuedenestablecerdossentidosdegiro(usualmentecomoposi-tivoelcontrarioaldelasagujasdelreloj).

Figura2.

2.2.Definicióndesenoycoseno

TomemosahoralacircunferenciadecentroOyradiounidad

C={(u,v)�u2

+v2=1}

EstáclaroquetodasemirrectaconorigenenOdeterminaunúnicopuntoP(u,v)deC.Ellosignificaqueparacadaánguloorientado�,situadosobreelsistemadereferenciaOXYdelaformaestablecida,ob-tendremosunpuntoP(u,v)cumpliendou

2+v

2=1.Entoncesdefiniremoscosenoysenode�comolas

coordenadasdelpuntoP.Osea:

Observación:

Sabidoesquepodríamoshabertomadounacircunferenciaderadiorcualquieraylasdefinicionesse-

ríancosu

r��,sen

v

r��.Esfácilprobarlaindependenciadetalesdefinicionesconrespectoalradio

elegido,conlocualtomamosr=1(circunferenciagoniométrica),sinrestargeneralidad.

Tratamosdequelasdefinicionesdadasnospermitanconstruirdosfuncionesrealesdevariablereal.Peroparaelloesprecisoqueunánguloorientado�quedeidentificadomedianteunnúmerorealx.

Enrealidadnonosinteresatantolaperspectivageométricacomoladelanálisisreal,yenesesentidohayotrasformasdellegaralasfuncionesquepretendemos,sirecurrirsiquieraalanocióndeán-gulo.Noobstante,laintroduccióndelradiánpuedeser,almenosenprimeraaproximación,unamaneradesolventarlacuestión.Enefec-to,conladefiniciónclásicaloquehacemosesasignarvalor1alángu-lodirigidoensentidocontrarioaldelasagujasdelrelojytalquelalongituddelarcoes1,esdecir,alángulocentralcuyoarcocorrespon-dientetienelamismalongitudqueelradio.



u

v

P

cos=usen=v

�� A(1,0)

�

O

1

xlongitud

Figura3.

Figura4.

De esta manera el ángulo orientado � definido por P se identifica con la longitud x del arco AP to-mando como unidad el radio de la circunferencia, si para ir de A a P hay que seguir el sentido contrario delas agujas del reloj. Si para ir de A a P vamos en sentido de las agujas del reloj entonces identificaremos �con el número –x. Decimos en cada caso que la medida de � es x radianes o –x radianes.

Cuando recorremos la circunferencia completa partiendo desde A(1,0) en sentido positivo hasta vol-ver a A de nuevo, el ángulo dirigido en que ambas semirrectas inicial y terminal son OA corresponde en-tonces a la longitud total de la circunferencia unidad, que es 2�.

De ese modo, si nos ceñimos a tan sólo la primera vuelta obtendremos una biyección entre los puntosdel círculo unidad C y el intervalo de números reales [0,2�]

Hay otra forma de interpretar la asignación de un número real a un ángulo orientado. Teniendo encuenta la proporcionalidad directa entre el área de un sector del círculo unidad y el arco correspondiente, larazón de dicha proporcionalidad viene dada por

área círculo

long circunferencia.� �

�

�2

1

2

Para un sector de arco x, el área seráx

2. Es decir, a un ángulo dirigido

positivo de la primera vuelta, le asignamos como medida un número real xentre 0 y 2�, que viene a ser el doble del área del sector S correspondiente.

Supongamos ahora un ángulo generalizado superior a una vuelta. El arco contado a partir de A es ahorasuperior a 2� (y lo mismo ocurre con el doble del área del sector barrido). Es como si el arco se fuera arro-llando sobre el círculo unidad. Resultaría, pues, que el ángulo de x radianes y el de x + 2� radianes corres-ponderían al mismo punto P sobre el círculo unidad, y lo mismo ocurriría con el de x + 4�, x + 6�, ...radianes. Si vamos arrollando al revés, es decir, en sentido de las agujas del reloj, tendríamos que los ángulosde x – 2�, x – 4�, x – 6�, … radianes también corresponden al mismo punto P. Si llamamos �: R � C a lafunción de arrollamiento, tendríamos que � (x + 2�k) = �(x) = P(u,v) para todo k � Z

Nuestra definición dada de seno y coseno, se traduce ahora en:

Para todo x � (–�,+�) es:

cos x = abcisa de � (x) = u

sen x = ordenada de � (x) = v



0 �/2 �/2 2�

Figura 5.

S

x

OA

P

Figura 6.

v

u

C�

1

0

0 � 2� 3��/2 3 /2� 5 /2�– /2�–�–3 /2�–2�–5 /2�

R

Figura 7.

De esta manera el ángulo orientado � definido por P se identifica con la longitud x del arco AP to-mando como unidad el radio de la circunferencia, si para ir de A a P hay que seguir el sentido contrario delas agujas del reloj. Si para ir de A a P vamos en sentido de las agujas del reloj entonces identificaremos �con el número –x. Decimos en cada caso que la medida de � es x radianes o –x radianes.

Cuando recorremos la circunferencia completa partiendo desde A(1,0) en sentido positivo hasta vol-ver a A de nuevo, el ángulo dirigido en que ambas semirrectas inicial y terminal son OA corresponde en-tonces a la longitud total de la circunferencia unidad, que es 2�.

De ese modo, si nos ceñimos a tan sólo la primera vuelta obtendremos una biyección entre los puntosdel círculo unidad C y el intervalo de números reales [0,2�]

Hay otra forma de interpretar la asignación de un número real a un ángulo orientado. Teniendo encuenta la proporcionalidad directa entre el área de un sector del círculo unidad y el arco correspondiente, larazón de dicha proporcionalidad viene dada por

área círculo

long circunferencia.� �

�

�2

1

2

Para un sector de arco x, el área seráx

2. Es decir, a un ángulo dirigido

positivo de la primera vuelta, le asignamos como medida un número real xentre 0 y 2�, que viene a ser el doble del área del sector S correspondiente.

Supongamos ahora un ángulo generalizado superior a una vuelta. El arco contado a partir de A es ahorasuperior a 2� (y lo mismo ocurre con el doble del área del sector barrido). Es como si el arco se fuera arro-llando sobre el círculo unidad. Resultaría, pues, que el ángulo de x radianes y el de x + 2� radianes corres-ponderían al mismo punto P sobre el círculo unidad, y lo mismo ocurriría con el de x + 4�, x + 6�, ...radianes. Si vamos arrollando al revés, es decir, en sentido de las agujas del reloj, tendríamos que los ángulosde x – 2�, x – 4�, x – 6�, … radianes también corresponden al mismo punto P. Si llamamos �: R � C a lafunción de arrollamiento, tendríamos que � (x + 2�k) = �(x) = P(u,v) para todo k � Z

Nuestra definición dada de seno y coseno, se traduce ahora en:

Para todo x � (–�,+�) es:

cos x = abcisa de � (x) = u

sen x = ordenada de � (x) = v



0 �/2 �/2 2�

Figura 5.

S

x

OA

P

Figura 6.

v

u

C�

1

0

0 � 2� 3��/2 3 /2� 5 /2�– /2�–�–3 /2�–2�–5 /2�

R

Figura 7.

Deestamaneraelánguloorientado�definidoporPseidentificaconlalongitudxdelarcoAPto-mandocomounidadelradiodelacircunferencia,siparairdeAaPhayqueseguirelsentidocontrariodelasagujasdelreloj.SiparairdeAaPvamosensentidodelasagujasdelrelojentoncesidentificaremos�conelnúmero–x.Decimosencadacasoquelamedidade�esxradianeso–xradianes.

CuandorecorremoslacircunferenciacompletapartiendodesdeA(1,0)ensentidopositivohastavol-veraAdenuevo,elángulodirigidoenqueambassemirrectasinicialyterminalsonOAcorrespondeen-toncesalalongitudtotaldelacircunferenciaunidad,quees2�.

Deesemodo,sinosceñimosatansólolaprimeravueltaobtendremosunabiyecciónentrelospuntosdelcírculounidadCyelintervalodenúmerosreales[0,2�]

Hayotraformadeinterpretarlaasignacióndeunnúmerorealaunánguloorientado.Teniendoencuentalaproporcionalidaddirectaentreeláreadeunsectordelcírculounidadyelarcocorrespondiente,larazóndedichaproporcionalidadvienedadapor

áreacírculo

longcircunferencia .��

�

�2

1

2

Paraunsectordearcox,eláreaseráx

2.Esdecir,aunángulodirigido

positivodelaprimeravuelta,leasignamoscomomedidaunnúmerorealxentre0y2�,quevieneasereldobledeláreadelsectorScorrespondiente.

Supongamosahoraunángulogeneralizadosuperioraunavuelta.ElarcocontadoapartirdeAesahorasuperiora2�(ylomismoocurreconeldobledeláreadelsectorbarrido).Escomosielarcosefueraarro-llandosobreelcírculounidad.Resultaría,pues,queelángulodexradianesyeldex+2�radianescorres-ponderíanalmismopuntoPsobreelcírculounidad,ylomismoocurriríaconeldex+4�,x+6�,...radianes.Sivamosarrollandoalrevés,esdecir,ensentidodelasagujasdelreloj,tendríamosquelosángulosdex–2�,x–4�,x–6�,…radianestambiéncorrespondenalmismopuntoP.Sillamamos�:R�Calafuncióndearrollamiento,tendríamosque�(x+2�k)=�(x)=P(u,v)paratodok�Z

Nuestradefinicióndadadesenoycoseno,setraduceahoraen:

Paratodox�(–�,+�)es:

cosx=abcisade�(x)=u

senx=ordenadade�(x)=v



0�/2�/22 �

Figura5.

S

x

OA

P

Figura6.

v

u

C�

1

0

0�2�3� �/23/2 �5/2 � –/2 � –� –3/2 � –2� –5/2 �

R

Figura7.

Deestamaneraelánguloorientado�definidoporPseidentificaconlalongitudxdelarcoAPto-mandocomounidadelradiodelacircunferencia,siparairdeAaPhayqueseguirelsentidocontrariodelasagujasdelreloj.SiparairdeAaPvamosensentidodelasagujasdelrelojentoncesidentificaremos�conelnúmero–x.Decimosencadacasoquelamedidade�esxradianeso–xradianes.

CuandorecorremoslacircunferenciacompletapartiendodesdeA(1,0)ensentidopositivohastavol-veraAdenuevo,elángulodirigidoenqueambassemirrectasinicialyterminalsonOAcorrespondeen-toncesalalongitudtotaldelacircunferenciaunidad,quees2�.

Deesemodo,sinosceñimosatansólolaprimeravueltaobtendremosunabiyecciónentrelospuntosdelcírculounidadCyelintervalodenúmerosreales[0,2�]

Hayotraformadeinterpretarlaasignacióndeunnúmerorealaunánguloorientado.Teniendoencuentalaproporcionalidaddirectaentreeláreadeunsectordelcírculounidadyelarcocorrespondiente,larazóndedichaproporcionalidadvienedadapor

áreacírculo

longcircunferencia .��

�

�2

1

2

Paraunsectordearcox,eláreaseráx

2.Esdecir,aunángulodirigido

positivodelaprimeravuelta,leasignamoscomomedidaunnúmerorealxentre0y2�,quevieneasereldobledeláreadelsectorScorrespondiente.

Supongamosahoraunángulogeneralizadosuperioraunavuelta.ElarcocontadoapartirdeAesahorasuperiora2�(ylomismoocurreconeldobledeláreadelsectorbarrido).Escomosielarcosefueraarro-llandosobreelcírculounidad.Resultaría,pues,queelángulodexradianesyeldex+2�radianescorres-ponderíanalmismopuntoPsobreelcírculounidad,ylomismoocurriríaconeldex+4�,x+6�,...radianes.Sivamosarrollandoalrevés,esdecir,ensentidodelasagujasdelreloj,tendríamosquelosángulosdex–2�,x–4�,x–6�,…radianestambiéncorrespondenalmismopuntoP.Sillamamos�:R�Calafuncióndearrollamiento,tendríamosque�(x+2�k)=�(x)=P(u,v)paratodok�Z

Nuestradefinicióndadadesenoycoseno,setraduceahoraen:

Paratodox�(–�,+�)es:

cosx=abcisade�(x)=u

senx=ordenadade�(x)=v



0�/2�/22 �

Figura5.

S

x

OA

P

Figura6.

v

u

C�

1

0

0�2�3� �/23/2 �5/2 � –/2 � –� –3/2 � –2� –5/2 �

R

Figura7.

Como consecuencias:

1. cos (x + 2�k) = cos x, sen (x + 2�k) = sen x, para cualquier k � Z.

2. cos2 x + sen2 x = u2 + v2 = 1, pues P(u,v) está sobre la circunferencia unidad.

2.3. Definición de las demás funciones circulares

A partir de sen x y cos x , definimos:

Tangente tg xsen x

cos x�

Cotangente cotg xcos x

sen x

1

tg x� �

Secante sec x1

cos x�

Cosecante cosec x1

sen x�

Puede darse un significado geométrico sobre el círculo unidad C a tales funciones, enlazando con ladefinición anterior de las funciones cos x y sen x, como las coordenadas (u,v) del punto �(x) = P. Si supo-

nemos 0 < x <�

2, la longitud del arco será menor que un cuarto de circunferencia y estaremos en el primer

cuadrante. La semejanza de triángulos nos da:

sen x = v = PQ

cos x = u = OQ

tg x =v

u

TA

OA

TA

1TA� � �

cotg x =u

v

NB

OB

NB

1NB� � �

sec x =1

u

OP

OQ

OT

OA

OTOT� � � �

1

cosec x =1

v

OP

PQ

ON

OB

ONON� � � �

1

En este caso, todos los valores son positivos por serlo u y v. Para los restantes cuadrantes se puedehacer una interpretación similar, pero hay que tener en cuenta los signos correspondientes. Así pues,para sen x, cos x y tgx , las líneas trigonométricas serían:



NB

AO

P T

Qu

v

OA = OB = OP = r = 1

Figura 8.

Q A

T

P

O QA

TP

O

T

AQ

P

O

Figura 9.

Como consecuencias:

1. cos (x + 2�k) = cos x, sen (x + 2�k) = sen x, para cualquier k � Z.

2. cos2 x + sen2 x = u2 + v2 = 1, pues P(u,v) está sobre la circunferencia unidad.

2.3. Definición de las demás funciones circulares

A partir de sen x y cos x , definimos:

Tangente tg xsen x

cos x�

Cotangente cotg xcos x

sen x

1

tg x� �

Secante sec x1

cos x�

Cosecante cosec x1

sen x�

Puede darse un significado geométrico sobre el círculo unidad C a tales funciones, enlazando con ladefinición anterior de las funciones cos x y sen x, como las coordenadas (u,v) del punto �(x) = P. Si supo-

nemos 0 < x <�

2, la longitud del arco será menor que un cuarto de circunferencia y estaremos en el primer

cuadrante. La semejanza de triángulos nos da:

sen x = v = PQ

cos x = u = OQ

tg x =v

u

TA

OA

TA

1TA� � �

cotg x =u

v

NB

OB

NB

1NB� � �

sec x =1

u

OP

OQ

OT

OA

OTOT� � � �

1

cosec x =1

v

OP

PQ

ON

OB

ONON� � � �

1

En este caso, todos los valores son positivos por serlo u y v. Para los restantes cuadrantes se puedehacer una interpretación similar, pero hay que tener en cuenta los signos correspondientes. Así pues,para sen x, cos x y tgx , las líneas trigonométricas serían:



NB

AO

P T

Qu

v

OA = OB = OP = r = 1

Figura 8.

Q A

T

P

O QA

TP

O

T

AQ

P

O

Figura 9.

Comoconsecuencias:

1.cos(x+2�k)=cosx,sen(x+2�k)=senx,paracualquierk�Z.

2.cos2

x+sen2

x=u2

+v2

=1,puesP(u,v)estásobrelacircunferenciaunidad.

2.3.Definicióndelasdemásfuncionescirculares

Apartirdesenxycosx,definimos:

Tangentetgxsenx

cosx�

Cotangentecotgxcosx

senx

1

tgx��

Secantesecx1

cosx�

Cosecantecosecx1

senx�

PuededarseunsignificadogeométricosobreelcírculounidadCatalesfunciones,enlazandoconladefiniciónanteriordelasfuncionescosxysenx,comolascoordenadas(u,v)delpunto�(x)=P.Sisupo-

nemos0<x<�

2,lalongituddelarcoserámenorqueuncuartodecircunferenciayestaremosenelprimer

cuadrante.Lasemejanzadetriángulosnosda:

senx=v=PQ

cosx=u=OQ

tgx=v

u

TA

OA

TA

1TA ��

cotgx=u

v

NB

OB

NB

1NB ��

secx=1

u

OP

OQ

OT

OA

OTOT ��

1

cosecx=1

v

OP

PQ

ON

OB

ONON ��

1

Enestecaso,todoslosvaloressonpositivosporserlouyv.Paralosrestantescuadrantessepuedehacerunainterpretaciónsimilar,perohayquetenerencuentalossignoscorrespondientes.Asípues,parasenx,cosxytgx,laslíneastrigonométricasserían:



NB

A O

PT

Q u

v

OA=OB=OP=r=1

Figura8.

QA

T

P

OQA

TP

O

T

AQ

P

O

Figura9.

Comoconsecuencias:

1.cos(x+2�k)=cosx,sen(x+2�k)=senx,paracualquierk�Z.

2.cos2

x+sen2

x=u2

+v2

=1,puesP(u,v)estásobrelacircunferenciaunidad.

2.3.Definicióndelasdemásfuncionescirculares

Apartirdesenxycosx,definimos:

Tangentetgxsenx

cosx�

Cotangentecotgxcosx

senx

1

tgx��

Secantesecx1

cosx�

Cosecantecosecx1

senx�

PuededarseunsignificadogeométricosobreelcírculounidadCatalesfunciones,enlazandoconladefiniciónanteriordelasfuncionescosxysenx,comolascoordenadas(u,v)delpunto�(x)=P.Sisupo-

nemos0<x<�

2,lalongituddelarcoserámenorqueuncuartodecircunferenciayestaremosenelprimer

cuadrante.Lasemejanzadetriángulosnosda:

senx=v=PQ

cosx=u=OQ

tgx=v

u

TA

OA

TA

1TA ��

cotgx=u

v

NB

OB

NB

1NB ��

secx=1

u

OP

OQ

OT

OA

OTOT ��

1

cosecx=1

v

OP

PQ

ON

OB

ONON ��

1

Enestecaso,todoslosvaloressonpositivosporserlouyv.Paralosrestantescuadrantessepuedehacerunainterpretaciónsimilar,perohayquetenerencuentalossignoscorrespondientes.Asípues,parasenx,cosxytgx,laslíneastrigonométricasserían:



NB

A O

PT

Q u

v

OA=OB=OP=r=1

Figura8.

QA

T

P

OQA

TP

O

T

AQ

P

O

Figura9.

2.4. Propiedades inmediatas

1. sen 0 = 0, sen�

2= 1, sen � = 0, sen

3

2

�= –1

2. cos 0 = 1, cos�

2= 0, cos � = –1, sen

3

2

�= 0

3. La función seno es impar: sen (–x) = –sen x, x � R

4. La función coseno es par: cos (–x) = cos x, x � R

5. sen (x +�

2) = cos x, cos (x +

�

2) = –sen x

6. sen (x + �) = –sen x, cos (x + �) = –cos x

7. sen (x +3

2

�) = cos x, cos (x +

3

2

�) = –sen x

8. sen (�

2– x) = cos x, cos (

�

2– x) = sen x

9. sen (� – x) = sen x, cos (� – x) = –cos x

10. sen(3

2

�– x) = –cos x, cos(

3

2

�– x) = –sen x

11. sen (x + 2k�) = sen x, k � Z

12. cos (x + 2�) = cos x, k � Z

13. tg (x + k�) = tg x, k � Z

14. cotg (x + k�) = tg x, k � Z

15. sen (x + y) = sen x · cos y + cos x · sen y

16. cos (x + y) = cos x · cos y – sen x · sen y

17. sen (x – y) = sen x · cos y – cos x · sen y

18. cos (x – y) = cos x · cos y + sen x · sen y

19. sen 2x = 2sen x · cos x

20. cos 2x = cos2 x – sen2 x

21. cos2 x + sen2 x = 1

22. 1 + tg2 x = sec2 x

23. cotg2 x + 1 = cosec2 x

24. sen2 x =1– cos 2x

2

25. cos2 x =1+ cos 2x

2

26. sen x + sen y = 2 senx y

2

��

�

�

��· cos

x – y

2

�

�

�

��

27. sen x – sen y = 2 cosx y

2

��

�

�

��· sen

x – y

2

�

�

�

��



2.4. Propiedades inmediatas

1. sen 0 = 0, sen�

2= 1, sen � = 0, sen

3

2

�= –1

2. cos 0 = 1, cos�

2= 0, cos � = –1, sen

3

2

�= 0

3. La función seno es impar: sen (–x) = –sen x, x � R

4. La función coseno es par: cos (–x) = cos x, x � R

5. sen (x +�

2) = cos x, cos (x +

�

2) = –sen x

6. sen (x + �) = –sen x, cos (x + �) = –cos x

7. sen (x +3

2

�) = cos x, cos (x +

3

2

�) = –sen x

8. sen (�

2– x) = cos x, cos (

�

2– x) = sen x

9. sen (� – x) = sen x, cos (� – x) = –cos x

10. sen(3

2

�– x) = –cos x, cos(

3

2

�– x) = –sen x

11. sen (x + 2k�) = sen x, k � Z

12. cos (x + 2�) = cos x, k � Z

13. tg (x + k�) = tg x, k � Z

14. cotg (x + k�) = tg x, k � Z

15. sen (x + y) = sen x · cos y + cos x · sen y

16. cos (x + y) = cos x · cos y – sen x · sen y

17. sen (x – y) = sen x · cos y – cos x · sen y

18. cos (x – y) = cos x · cos y + sen x · sen y

19. sen 2x = 2sen x · cos x

20. cos 2x = cos2 x – sen2 x

21. cos2 x + sen2 x = 1

22. 1 + tg2 x = sec2 x

23. cotg2 x + 1 = cosec2 x

24. sen2 x =1– cos 2x

2

25. cos2 x =1+ cos 2x

2

26. sen x + sen y = 2 senx y

2

��

�

�

��· cos

x – y

2

�

�

�

��

27. sen x – sen y = 2 cosx y

2

��

�

�

��· sen

x – y

2

�

�

�

��



2.4.Propiedadesinmediatas

1.sen0=0,sen�

2=1,sen�=0,sen

3

2

�=–1

2.cos0=1,cos�

2=0,cos�=–1,sen

3

2

�=0

3.Lafunciónsenoesimpar:sen(–x)=–senx,x�R

4.Lafuncióncosenoespar:cos(–x)=cosx,x�R

5.sen(x+�

2)=cosx,cos(x+

�

2)=–senx

6.sen(x+�)=–senx,cos(x+�)=–cosx

7.sen(x+3

2

�)=cosx,cos(x+

3

2

�)=–senx

8.sen(�

2–x)=cosx,cos(

�

2–x)=senx

9.sen(�–x)=senx,cos(�–x)=–cosx

10.sen(3

2

�–x)=–cosx,cos(

3

2

�–x)=–senx

11.sen(x+2k�)=senx,k�Z

12.cos(x+2�)=cosx,k�Z

13.tg(x+k�)=tgx,k�Z

14.cotg(x+k�)=tgx,k�Z

15.sen(x+y)=senx·cosy+cosx·seny

16.cos(x+y)=cosx·cosy–senx·seny

17.sen(x–y)=senx·cosy–cosx·seny

18.cos(x–y)=cosx·cosy+senx·seny

19.sen2x=2senx·cosx

20.cos2x=cos2

x–sen2

x

21.cos2

x+sen2

x=1

22.1+tg2

x=sec2

x

23.cotg2

x+1=cosec2

x

24.sen2

x=1–cos2x

2

25.cos2

x=1+cos2x

2

26.senx+seny=2senxy

2

� �

�

�

��·cos

x–y

2

�

�

�

��

27.senx–seny=2cosxy

2

� �

�

�

��·sen

x–y

2

�

�

�

��



2.4.Propiedadesinmediatas

1.sen0=0,sen�

2=1,sen�=0,sen

3

2

�=–1

2.cos0=1,cos�

2=0,cos�=–1,sen

3

2

�=0

3.Lafunciónsenoesimpar:sen(–x)=–senx,x�R

4.Lafuncióncosenoespar:cos(–x)=cosx,x�R

5.sen(x+�

2)=cosx,cos(x+

�

2)=–senx

6.sen(x+�)=–senx,cos(x+�)=–cosx

7.sen(x+3

2

�)=cosx,cos(x+

3

2

�)=–senx

8.sen(�

2–x)=cosx,cos(

�

2–x)=senx

9.sen(�–x)=senx,cos(�–x)=–cosx

10.sen(3

2

�–x)=–cosx,cos(

3

2

�–x)=–senx

11.sen(x+2k�)=senx,k�Z

12.cos(x+2�)=cosx,k�Z

13.tg(x+k�)=tgx,k�Z

14.cotg(x+k�)=tgx,k�Z

15.sen(x+y)=senx·cosy+cosx·seny

16.cos(x+y)=cosx·cosy–senx·seny

17.sen(x–y)=senx·cosy–cosx·seny

18.cos(x–y)=cosx·cosy+senx·seny

19.sen2x=2senx·cosx

20.cos2x=cos2

x–sen2

x

21.cos2

x+sen2

x=1

22.1+tg2

x=sec2

x

23.cotg2

x+1=cosec2

x

24.sen2

x=1–cos2x

2

25.cos2

x=1+cos2x

2

26.senx+seny=2senxy

2

� �

�

�

��·cos

x–y

2

�

�

�

��

27.senx–seny=2cosxy

2

� �

�

�

��·sen

x–y

2

�

�

�

��



28. cos x + cos y = 2 cosx y

2

��

�

�

��· cos

x – y

2

�

�

�

��

29. cos x – cos y = –2 senx y

2

��

�

�

��· sen

x – y

2

�

�

�

��

Las propiedades anteriores se pueden justificar geométricamente, en consonancia con nuestra intro-ducción de las funciones circulares a partir de ángulos orientados sobre el círculo unidad. Otras construc-ciones más formales por la vía analítica, que no se basan tanto en la noción de ángulo, exigen otro tipo dedemostraciones, como veremos adelante.

2.5. Periodicidad

Es esta una característica fundamental de las funciones circulares, que las hace sumamente importan-tes para el tratamiento de multitud de fenómenos (ondas, vibraciones, oscilaciones,...)

Dada una función f(x) definida en un dominio D, un “período” es todo número p que cumple:

a) x � D � x + p � D

b) f(x + p) = f(x), x � D

Si existe algún número con las condiciones anteriores a f(x) se le denomina “función periódica”.

Se verifican:

– Todo múltiplo de un período es también un período, es decir: f(x + kp) = f(x), x � D.

– La diferencia de dos períodos es otro período.

– Si f(x) es una función periódica, no constante, sus períodos son los múltiplos del menor períodopositivo, y sólo ellos. Al menor período positivo le llamaremos T (período primitivo).

Las seis funciones circulares son periódicas. En el caso del seno, coseno, secante y cosecante el perío-do primitivo es T = 2�.

En el caso de la tangente el período primitivo es T = �, ya que tg ( x +�) =sen (x )

cos (x )

–sen x

–cos xtg x

�

��

�

�, y

análogamente para la cotangente.

2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares

Se utilizará de nuevo aquí la notación inicial introducida en la sección 2.2. Así pues, el círculo unidades C = {(u, v) � u2 + v2 = 1} y �(x) la función de arrollamiento de R en C, que a cada número real x asocia elpunto P(cos x, sen x) de C, siendo x la longitud del arco desde A(1,0) al punto P.

Sea I = [a,b] un intervalo de R con amplitud suficientemente pequeña. Puesto que al arrollar I sobre Cno se produce estiramiento, tendremos un arco de longitud |a – b| entre �(a) y �(b).

�(a) = (cos a, sen a)

�(b) = (cos b, sen b)



|sen a – sen b|

|cos a – cos b|

�(a)

�(b)

Figura 10.

28. cos x + cos y = 2 cosx y

2

��

�

�

��· cos

x – y

2

�

�

�

��

29. cos x – cos y = –2 senx y

2

��

�

�

��· sen

x – y

2

�

�

�

��

Las propiedades anteriores se pueden justificar geométricamente, en consonancia con nuestra intro-ducción de las funciones circulares a partir de ángulos orientados sobre el círculo unidad. Otras construc-ciones más formales por la vía analítica, que no se basan tanto en la noción de ángulo, exigen otro tipo dedemostraciones, como veremos adelante.

2.5. Periodicidad

Es esta una característica fundamental de las funciones circulares, que las hace sumamente importan-tes para el tratamiento de multitud de fenómenos (ondas, vibraciones, oscilaciones,...)

Dada una función f(x) definida en un dominio D, un “período” es todo número p que cumple:

a) x � D � x + p � D

b) f(x + p) = f(x), x � D

Si existe algún número con las condiciones anteriores a f(x) se le denomina “función periódica”.

Se verifican:

– Todo múltiplo de un período es también un período, es decir: f(x + kp) = f(x), x � D.

– La diferencia de dos períodos es otro período.

– Si f(x) es una función periódica, no constante, sus períodos son los múltiplos del menor períodopositivo, y sólo ellos. Al menor período positivo le llamaremos T (período primitivo).

Las seis funciones circulares son periódicas. En el caso del seno, coseno, secante y cosecante el perío-do primitivo es T = 2�.

En el caso de la tangente el período primitivo es T = �, ya que tg ( x +�) =sen (x )

cos (x )

–sen x

–cos xtg x

�

��

�

�, y

análogamente para la cotangente.

2.6. Continuidad y derivabilidad de las funciones circulares

Se utilizará de nuevo aquí la notación inicial introducida en la sección 2.2. Así pues, el círculo unidades C = {(u, v) � u2 + v2 = 1} y �(x) la función de arrollamiento de R en C, que a cada número real x asocia elpunto P(cos x, sen x) de C, siendo x la longitud del arco desde A(1,0) al punto P.

Sea I = [a,b] un intervalo de R con amplitud suficientemente pequeña. Puesto que al arrollar I sobre Cno se produce estiramiento, tendremos un arco de longitud |a – b| entre �(a) y �(b).

�(a) = (cos a, sen a)

�(b) = (cos b, sen b)



|sen a – sen b|

|cos a – cos b|

�(a)

�(b)

Figura 10.

28.cosx+cosy=2cosxy

2

� �

�

�

��·cos

x–y

2

�

�

�

��

29.cosx–cosy=–2senxy

2

� �

�

�

��·sen

x–y

2

�

�

�

��

Laspropiedadesanterioressepuedenjustificargeométricamente,enconsonanciaconnuestraintro-duccióndelasfuncionescircularesapartirdeángulosorientadossobreelcírculounidad.Otrasconstruc-cionesmásformalesporlavíaanalítica,quenosebasantantoenlanocióndeángulo,exigenotrotipodedemostraciones,comoveremosadelante.

2.5.Periodicidad

Esestaunacaracterísticafundamentaldelasfuncionescirculares,quelashacesumamenteimportan-tesparaeltratamientodemultituddefenómenos(ondas,vibraciones,oscilaciones,...)

Dadaunafunciónf(x)definidaenundominioD,un“período”estodonúmeropquecumple:

a)x�D�x+p�D

b)f(x+p)=f(x),x�D

Siexistealgúnnúmeroconlascondicionesanterioresaf(x)seledenomina“funciónperiódica”.

Severifican:

–Todomúltiplodeunperíodoestambiénunperíodo,esdecir:f(x+kp)=f(x),x�D.

–Ladiferenciadedosperíodosesotroperíodo.

–Sif(x)esunafunciónperiódica,noconstante,susperíodossonlosmúltiplosdelmenorperíodopositivo,ysóloellos.AlmenorperíodopositivolellamaremosT(períodoprimitivo).

Lasseisfuncionescircularessonperiódicas.Enelcasodelseno,coseno,secanteycosecanteelperío-doprimitivoesT=2�.

EnelcasodelatangenteelperíodoprimitivoesT=�,yaquetg(x+�)=sen(x)

cos(x)

–senx

–cosxtgx

�

��

�

�,y

análogamenteparalacotangente.

2.6.Continuidadyderivabilidaddelasfuncionescirculares

Seutilizarádenuevoaquílanotacióninicialintroducidaenlasección2.2.Asípues,elcírculounidadesC={(u,v)�u

2+v

2=1}y�(x)lafuncióndearrollamientodeRenC,queacadanúmerorealxasociael

puntoP(cosx,senx)deC,siendoxlalongituddelarcodesdeA(1,0)alpuntoP.

SeaI=[a,b]unintervalodeRconamplitudsuficientementepequeña.PuestoquealarrollarIsobreCnoseproduceestiramiento,tendremosunarcodelongitud|a–b|entre�(a)y�(b).

�(a)=(cosa,sena)

�(b)=(cosb,senb)



|sena–senb|

|cosa–cosb|

�(a)

�(b)

Figura10.

28.cosx+cosy=2cosxy

2

� �

�

�

��·cos

x–y

2

�

�

�

��

29.cosx–cosy=–2senxy

2

� �

�

�

��·sen

x–y

2

�

�

�

��

Laspropiedadesanterioressepuedenjustificargeométricamente,enconsonanciaconnuestraintro-duccióndelasfuncionescircularesapartirdeángulosorientadossobreelcírculounidad.Otrasconstruc-cionesmásformalesporlavíaanalítica,quenosebasantantoenlanocióndeángulo,exigenotrotipodedemostraciones,comoveremosadelante.

2.5.Periodicidad

Esestaunacaracterísticafundamentaldelasfuncionescirculares,quelashacesumamenteimportan-tesparaeltratamientodemultituddefenómenos(ondas,vibraciones,oscilaciones,...)

Dadaunafunciónf(x)definidaenundominioD,un“período”estodonúmeropquecumple:

a)x�D�x+p�D

b)f(x+p)=f(x),x�D

Siexistealgúnnúmeroconlascondicionesanterioresaf(x)seledenomina“funciónperiódica”.

Severifican:

–Todomúltiplodeunperíodoestambiénunperíodo,esdecir:f(x+kp)=f(x),x�D.

–Ladiferenciadedosperíodosesotroperíodo.

–Sif(x)esunafunciónperiódica,noconstante,susperíodossonlosmúltiplosdelmenorperíodopositivo,ysóloellos.AlmenorperíodopositivolellamaremosT(períodoprimitivo).

Lasseisfuncionescircularessonperiódicas.Enelcasodelseno,coseno,secanteycosecanteelperío-doprimitivoesT=2�.

EnelcasodelatangenteelperíodoprimitivoesT=�,yaquetg(x+�)=sen(x)

cos(x)

–senx

–cosxtgx

�

��

�

�,y

análogamenteparalacotangente.

2.6.Continuidadyderivabilidaddelasfuncionescirculares

Seutilizarádenuevoaquílanotacióninicialintroducidaenlasección2.2.Asípues,elcírculounidadesC={(u,v)�u

2+v

2=1}y�(x)lafuncióndearrollamientodeRenC,queacadanúmerorealxasociael

puntoP(cosx,senx)deC,siendoxlalongituddelarcodesdeA(1,0)alpuntoP.

SeaI=[a,b]unintervalodeRconamplitudsuficientementepequeña.PuestoquealarrollarIsobreCnoseproduceestiramiento,tendremosunarcodelongitud|a–b|entre�(a)y�(b).

�(a)=(cosa,sena)

�(b)=(cosb,senb)



|sena–senb|

|cosa–cosb|

�(a)

�(b)

Figura10.

La longitud de la cuerda que une �(a) y �(b) es menor que el arco que la subtiende, y en consecuencia

(cos a – cos b) (sen a – sen b) |a – b|2 2� �

Son obvias las inigualdades

(cos a – cos b)2 � (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2

(sen a – sen b)2 � (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2

que combinadas con la anterior nos llevan a

|cos a – cos b| � |a – b|

|sen a – sen b| � |a – b|

Ahora podemos utilizar estos resultados para probar la continuidad de la funciones seno y coseno encualquier punto x0.

En efecto, dado cualquier � > 0 existe � = �, tal que si |x – x0| < �, entonces

|cos x – cos x0| � |x – x0| < �

|sen x – sen x0| � |x – x0| < �

Resulta, pues, que:

Las funciones reales f(x) = cos x y g(x) = sen x son continuas en todo R (la continuidad es ade-más uniforme).

Para las demás funciones circulares vale el teorema relativo a la continuidad de la función cociente dedos funciones continuas. Esto es, la función cociente es continua salvo en aquellos puntos donde la del de-nominador se anula. Así pues:

– Las funciones tg x y sec x son continuas en R –(2k – 1)

,k Z�

2�

��

��

– Las funciones cotg x y cosec x son continuas en R – {k� / k � Z}

Veamos ahora la derivabilidad. La demostración clásica de que las funciones seno y coseno son deri-vables en todo R se basa en las fórmulas de adición (propiedades 15. y 16. de la sección 2.4.) y en el límite

limsen h

h1

h 0�� .

Para probar dicho límite, consideraremos |h| <�

2, pues nos va a interesar lo que ocurre para h pequeño. Si

es 0 < h <�

2, podemos recurrir a la figura y poner:

Área (� OAP) � Área (Sector OAP) � Área (� OAT)

1

2sen h �

1

2h �

1

2tg h

Dividiendo entre sen h: 1 �h

sen h

1

cos h�

Tomando inversos: cos h �sen h

h1� (*)

Si fuese –�

2< h< 0 tomando – h > 0 tendríamos cos (–h) �

sen (–h)

–h1� , y como cos (–h) = cos h,

sen (–h) = –sen h, queda de nuevo (*).

Ahora basta tomar límites en (*) y aplicar la regla del sandwich.



T

O Q A(1,0)

1

P(cos h,sen h)

Figura 11.

La longitud de la cuerda que une �(a) y �(b) es menor que el arco que la subtiende, y en consecuencia

(cos a – cos b) (sen a – sen b) |a – b|2 2� �

Son obvias las inigualdades

(cos a – cos b)2 � (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2

(sen a – sen b)2 � (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2

que combinadas con la anterior nos llevan a

|cos a – cos b| � |a – b|

|sen a – sen b| � |a – b|

Ahora podemos utilizar estos resultados para probar la continuidad de la funciones seno y coseno encualquier punto x0.

En efecto, dado cualquier � > 0 existe � = �, tal que si |x – x0| < �, entonces

|cos x – cos x0| � |x – x0| < �

|sen x – sen x0| � |x – x0| < �

Resulta, pues, que:

Las funciones reales f(x) = cos x y g(x) = sen x son continuas en todo R (la continuidad es ade-más uniforme).

Para las demás funciones circulares vale el teorema relativo a la continuidad de la función cociente dedos funciones continuas. Esto es, la función cociente es continua salvo en aquellos puntos donde la del de-nominador se anula. Así pues:

– Las funciones tg x y sec x son continuas en R –(2k – 1)

,k Z�

2�

��

��

– Las funciones cotg x y cosec x son continuas en R – {k� / k � Z}

Veamos ahora la derivabilidad. La demostración clásica de que las funciones seno y coseno son deri-vables en todo R se basa en las fórmulas de adición (propiedades 15. y 16. de la sección 2.4.) y en el límite

limsen h

h1

h 0�� .

Para probar dicho límite, consideraremos |h| <�

2, pues nos va a interesar lo que ocurre para h pequeño. Si

es 0 < h <�

2, podemos recurrir a la figura y poner:

Área (� OAP) � Área (Sector OAP) � Área (� OAT)

1

2sen h �

1

2h �

1

2tg h

Dividiendo entre sen h: 1 �h

sen h

1

cos h�

Tomando inversos: cos h �sen h

h1� (*)

Si fuese –�

2< h< 0 tomando – h > 0 tendríamos cos (–h) �

sen (–h)

–h1� , y como cos (–h) = cos h,

sen (–h) = –sen h, queda de nuevo (*).

Ahora basta tomar límites en (*) y aplicar la regla del sandwich.



T

O Q A(1,0)

1

P(cos h,sen h)

Figura 11.

Lalongituddelacuerdaqueune�(a)y�(b)esmenorqueelarcoquelasubtiende,yenconsecuencia

(cosa–cosb)(sena–senb)|a–b|22��

Sonobviaslasinigualdades

(cosa–cosb)2�(cosa–cosb)

2+(sena–senb)

2

(sena–senb)2�(cosa–cosb)

2+(sena–senb)

2

quecombinadasconlaanteriornosllevana

|cosa–cosb|�|a–b|

|sena–senb|�|a–b|

Ahorapodemosutilizarestosresultadosparaprobarlacontinuidaddelafuncionessenoycosenoencualquierpuntox0.

Enefecto,dadocualquier�>0existe�=�,talquesi|x–x0|<�,entonces

|cosx–cosx0|�|x–x0|<�

|senx–senx0|�|x–x0|<�

Resulta,pues,que:

Lasfuncionesrealesf(x)=cosxyg(x)=senxsoncontinuasentodoR(lacontinuidadesade-másuniforme).

Paralasdemásfuncionescircularesvaleelteoremarelativoalacontinuidaddelafuncióncocientededosfuncionescontinuas.Estoes,lafuncióncocienteescontinuasalvoenaquellospuntosdondeladelde-nominadorseanula.Asípues:

–LasfuncionestgxysecxsoncontinuasenR–(2k–1)

,kZ�

2�

��

��

–LasfuncionescotgxycosecxsoncontinuasenR–{k�/k�Z}

Veamosahoraladerivabilidad.Lademostraciónclásicadequelasfuncionessenoycosenosonderi-vablesentodoRsebasaenlasfórmulasdeadición(propiedades15.y16.delasección2.4.)yenellímite

limsenh

h1

h0 ��.

Paraprobardicholímite,consideraremos|h|<�

2,puesnosvaainteresarloqueocurreparahpequeño.Si

es0<h<�

2,podemosrecurriralafigurayponer:

Área(�OAP)�Área(SectorOAP)�Área(�OAT)

1

2senh�

1

2h�

1

2tgh

Dividiendoentresenh:1�h

senh

1

cosh�

Tomandoinversos:cosh�senh

h1 �(*)

Sifuese–�

2<h<0tomando–h>0tendríamoscos(–h)�

sen(–h)

–h1 �,ycomocos(–h)=cosh,

sen(–h)=–senh,quedadenuevo(*).

Ahorabastatomarlímitesen(*)yaplicarlaregladelsandwich.



T

OQA(1,0)

1

P(cosh,senh)

Figura11.

Lalongituddelacuerdaqueune�(a)y�(b)esmenorqueelarcoquelasubtiende,yenconsecuencia

(cosa–cosb)(sena–senb)|a–b|22��

Sonobviaslasinigualdades

(cosa–cosb)2�(cosa–cosb)

2+(sena–senb)

2

(sena–senb)2�(cosa–cosb)

2+(sena–senb)

2

quecombinadasconlaanteriornosllevana

|cosa–cosb|�|a–b|

|sena–senb|�|a–b|

Ahorapodemosutilizarestosresultadosparaprobarlacontinuidaddelafuncionessenoycosenoencualquierpuntox0.

Enefecto,dadocualquier�>0existe�=�,talquesi|x–x0|<�,entonces

|cosx–cosx0|�|x–x0|<�

|senx–senx0|�|x–x0|<�

Resulta,pues,que:

Lasfuncionesrealesf(x)=cosxyg(x)=senxsoncontinuasentodoR(lacontinuidadesade-másuniforme).

Paralasdemásfuncionescircularesvaleelteoremarelativoalacontinuidaddelafuncióncocientededosfuncionescontinuas.Estoes,lafuncióncocienteescontinuasalvoenaquellospuntosdondeladelde-nominadorseanula.Asípues:

–LasfuncionestgxysecxsoncontinuasenR–(2k–1)

,kZ�

2�

��

��

–LasfuncionescotgxycosecxsoncontinuasenR–{k�/k�Z}

Veamosahoraladerivabilidad.Lademostraciónclásicadequelasfuncionessenoycosenosonderi-vablesentodoRsebasaenlasfórmulasdeadición(propiedades15.y16.delasección2.4.)yenellímite

limsenh

h1

h0 ��.

Paraprobardicholímite,consideraremos|h|<�

2,puesnosvaainteresarloqueocurreparahpequeño.Si

es0<h<�

2,podemosrecurriralafigurayponer:

Área(�OAP)�Área(SectorOAP)�Área(�OAT)

1

2senh�

1

2h�

1

2tgh

Dividiendoentresenh:1�h

senh

1

cosh�

Tomandoinversos:cosh�senh

h1 �(*)

Sifuese–�

2<h<0tomando–h>0tendríamoscos(–h)�

sen(–h)

–h1 �,ycomocos(–h)=cosh,

sen(–h)=–senh,quedadenuevo(*).

Ahorabastatomarlímitesen(*)yaplicarlaregladelsandwich.



T

OQA(1,0)

1

P(cosh,senh)

Figura11.

Además

cos h – 1

h

(cos h – 1)(cos h 1)

h(cos h 1)

cos h – 1

h(co

2

��

��

s h 1)–

sen h

h(cos h 1)–

sen h

h

1

cos h 1sen h

2

��

��

��

y al pasar al límite tendremos: limcos h – 1

h0

h 0�� .

Entonces:

D sen x = limsen (x + h) – sen x

hcos x lim

sen h

hsen

h 0 x 0� ��

�

�

�

�� x lim

cos h – 1

hcos x

x 0�

�

�

�

��

D cos x = limcos (x + h) – cos x

hcos x lim

cos h – 1

h– s

h 0 x 0� ��

�

�

�

�� en x lim

sen h

h–sen x

x 0�

�

�

�

��

Las derivadas de las demás funciones circulares se obtienen aplicando las conocidas reglas de derivación.

2.7. Gráficas de las funciones circulares

La gráfica de una función periódica se da, por lo general, solamente en un período. Como la gráfica serepite a intervalos regulares de amplitud T, bastaría deslizar la porción dada en ambas direcciones siguien-do el eje OX, para obtener la gráfica completa.

Por otro lado, la interpretación geométrica de las funciones circulares en el intervalo [0,2�], permiteconstruir la gráfica en dicho intervalo de cada una viendo cómo varía la línea trigonométrica correspon-diente (ver epígrafe 2.3.) al recorrer el círculo unidad una vuelta.

Acompañaremos dicha construcción con una síntesis de las propiedades más relevantes que se refle-jan en la gráfica.

2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno

De cos2 x + sen2 x = 1 se desprenden |cos x| � 1, |sen x| � 1, x � R. Es decir, son funciones acota-das sobre R, siendo –1 � cos x � 1, –1 � sen x � 1, x � R.

Puesto que sen�

2= cos 0 = 1 y sen =

3

2

�= cos � = –1, se tendrá que –1 y +1 son los valores máximo y

mínimo absolutos de tales funciones y por tanto, el recorrido de ambas funciones es el intervalo [–1,+1].

El período de ambas funciones es 2�, como ya vimos. Además, son continuas y derivables en todo R,siendo (sen x)’ = cos x, (cos x)’ = –sen x.



Y

X1

–10 �

2––�4

–– �

32�––

2�

y = sen x

Y

X

1–1

0 �2––�

4–– � 3

2�––

2�

y = cos x

Y

X

1

�2––�

4–– � 3

2�–– 2�

2

0

–1

–2

–�

+�

y = tg x

–�

Figura 12.

Además

cos h – 1

h

(cos h – 1)(cos h 1)

h(cos h 1)

cos h – 1

h(co

2

��

��

s h 1)–

sen h

h(cos h 1)–

sen h

h

1

cos h 1sen h

2

��

��

��

y al pasar al límite tendremos: limcos h – 1

h0

h 0�� .

Entonces:

D sen x = limsen (x + h) – sen x

hcos x lim

sen h

hsen

h 0 x 0� ��

�

�

�

�� x lim

cos h – 1

hcos x

x 0�

�

�

�

��

D cos x = limcos (x + h) – cos x

hcos x lim

cos h – 1

h– s

h 0 x 0� ��

�

�

�

�� en x lim

sen h

h–sen x

x 0�

�

�

�

��

Las derivadas de las demás funciones circulares se obtienen aplicando las conocidas reglas de derivación.

2.7. Gráficas de las funciones circulares

La gráfica de una función periódica se da, por lo general, solamente en un período. Como la gráfica serepite a intervalos regulares de amplitud T, bastaría deslizar la porción dada en ambas direcciones siguien-do el eje OX, para obtener la gráfica completa.

Por otro lado, la interpretación geométrica de las funciones circulares en el intervalo [0,2�], permiteconstruir la gráfica en dicho intervalo de cada una viendo cómo varía la línea trigonométrica correspon-diente (ver epígrafe 2.3.) al recorrer el círculo unidad una vuelta.

Acompañaremos dicha construcción con una síntesis de las propiedades más relevantes que se refle-jan en la gráfica.

2.7.1. Gráficas de las funciones seno y coseno

De cos2 x + sen2 x = 1 se desprenden |cos x| � 1, |sen x| � 1, x � R. Es decir, son funciones acota-das sobre R, siendo –1 � cos x � 1, –1 � sen x � 1, x � R.

Puesto que sen�

2= cos 0 = 1 y sen =

3

2

�= cos � = –1, se tendrá que –1 y +1 son los valores máximo y

mínimo absolutos de tales funciones y por tanto, el recorrido de ambas funciones es el intervalo [–1,+1].

El período de ambas funciones es 2�, como ya vimos. Además, son continuas y derivables en todo R,siendo (sen x)’ = cos x, (cos x)’ = –sen x.



Y

X1

–10 �

2––�4

–– �

32�––

2�

y = sen x

Y

X

1–1

0 �2––�

4–– � 3

2�––

2�

y = cos x

Y

X

1

�2––�

4–– � 3

2�–– 2�

2

0

–1

–2

–�

+�

y = tg x

–�

Figura 12.

Además

cosh–1

h

(cosh–1)(cosh1)

h(cosh1)

cosh–1

h(co

2

��

��

sh1)–

senh

h(cosh1)–

senh

h

1

cosh1senh

2

��

��

��

yalpasarallímitetendremos:limcosh–1

h0

h0 ��.

Entonces:

Dsenx=limsen(x+h)–senx

hcosxlim

senh

hsen

h0x0 ��

�

�

�

��xlim

cosh–1

hcosx

x0 �

�

�

�

��

Dcosx=limcos(x+h)–cosx

hcosxlim

cosh–1

h–s

h0x0 ��

�

�

�

��enxlim

senh

h–senx

x0 �

�

�

�

��

Lasderivadasdelasdemásfuncionescircularesseobtienenaplicandolasconocidasreglasdederivación.

2.7.Gráficasdelasfuncionescirculares

Lagráficadeunafunciónperiódicaseda,porlogeneral,solamenteenunperíodo.ComolagráficaserepiteaintervalosregularesdeamplitudT,bastaríadeslizarlaporcióndadaenambasdireccionessiguien-doelejeOX,paraobtenerlagráficacompleta.

Porotrolado,lainterpretacióngeométricadelasfuncionescircularesenelintervalo[0,2�],permiteconstruirlagráficaendichointervalodecadaunaviendocómovaríalalíneatrigonométricacorrespon-diente(verepígrafe2.3.)alrecorrerelcírculounidadunavuelta.

Acompañaremosdichaconstrucciónconunasíntesisdelaspropiedadesmásrelevantesqueserefle-janenlagráfica.

2.7.1.Gráficasdelasfuncionessenoycoseno

Decos2

x+sen2

x=1sedesprenden|cosx|�1,|senx|�1,x�R.Esdecir,sonfuncionesacota-dassobreR,siendo–1�cosx�1,–1�senx�1,x�R.

Puestoquesen�

2=cos0=1ysen=

3

2

�=cos�=–1,setendráque–1y+1sonlosvaloresmáximoy

mínimoabsolutosdetalesfuncionesyportanto,elrecorridodeambasfuncioneseselintervalo[–1,+1].

Elperíododeambasfuncioneses2�,comoyavimos.Además,soncontinuasyderivablesentodoR,siendo(senx)’=cosx,(cosx)’=–senx.



Y

X1

–10�

2–– �4

––�

32�––

2�

y=senx

Y

X

1–1

0�2–– �

4––�3

2�––

2�

y=cosx

Y

X

1

�2–– �

4––�3

2�––2�

2

0

–1

–2

–�

+�

y=tgx

–�

Figura12.

Además

cosh–1

h

(cosh–1)(cosh1)

h(cosh1)

cosh–1

h(co

2

��

��

sh1)–

senh

h(cosh1)–

senh

h

1

cosh1senh

2

��

��

��

yalpasarallímitetendremos:limcosh–1

h0

h0 ��.

Entonces:

Dsenx=limsen(x+h)–senx

hcosxlim

senh

hsen

h0x0 ��

�

�

�

��xlim

cosh–1

hcosx

x0 �

�

�

�

��

Dcosx=limcos(x+h)–cosx

hcosxlim

cosh–1

h–s

h0x0 ��

�

�

�

��enxlim

senh

h–senx

x0 �

�

�

�

��

Lasderivadasdelasdemásfuncionescircularesseobtienenaplicandolasconocidasreglasdederivación.

2.7.Gráficasdelasfuncionescirculares

Lagráficadeunafunciónperiódicaseda,porlogeneral,solamenteenunperíodo.ComolagráficaserepiteaintervalosregularesdeamplitudT,bastaríadeslizarlaporcióndadaenambasdireccionessiguien-doelejeOX,paraobtenerlagráficacompleta.

Porotrolado,lainterpretacióngeométricadelasfuncionescircularesenelintervalo[0,2�],permiteconstruirlagráficaendichointervalodecadaunaviendocómovaríalalíneatrigonométricacorrespon-diente(verepígrafe2.3.)alrecorrerelcírculounidadunavuelta.

Acompañaremosdichaconstrucciónconunasíntesisdelaspropiedadesmásrelevantesqueserefle-janenlagráfica.

2.7.1.Gráficasdelasfuncionessenoycoseno

Decos2

x+sen2

x=1sedesprenden|cosx|�1,|senx|�1,x�R.Esdecir,sonfuncionesacota-dassobreR,siendo–1�cosx�1,–1�senx�1,x�R.

Puestoquesen�

2=cos0=1ysen=

3

2

�=cos�=–1,setendráque–1y+1sonlosvaloresmáximoy

mínimoabsolutosdetalesfuncionesyportanto,elrecorridodeambasfuncioneseselintervalo[–1,+1].

Elperíododeambasfuncioneses2�,comoyavimos.Además,soncontinuasyderivablesentodoR,siendo(senx)’=cosx,(cosx)’=–senx.



Y

X1

–10�

2–– �4

––�

32�––

2�

y=senx

Y

X

1–1

0�2–– �

4––�3

2�––

2�

y=cosx

Y

X

1

�2–– �

4––�3

2�––2�

2

0

–1

–2

–�

+�

y=tgx

–�

Figura12.

De ahí que los puntos singulares de ambas funciones (donde presentan los máximos y mínimos loca-

les) se obtienen de las relacionescos(2k – 1)

2

�= 0 y sen k� = 0, para todo k � Z. Tendríamos que los pun-

tos críticos o estacionarios de la función seno se obtienen para x =(2k – 1)

2

�, mientras que la función

coseno los presenta para x = k�.

Las gráficas extendidas a todo R son las siguientes:

2.7.2. Gráficas de las funciones tangente y cotangente

El período de las funciones es ahora �, presentando discontinuidades de salto infinito en los puntos en

que anulan cos x y sen x. Así pues, la función y = tg x es discontinua en x =(2k – 1)

2

�( k � Z), mientras

que la función y = cotg x lo es en x = k� ( k � Z). Las gráficas tienen asíntotas verticales en tales puntos.

Podemos tomar para y = tg x el período comprendido entre –�

2y

�

2, y para la función y = cotg x el

comprendido entre 0 y �. Las gráficas completas se obtienen por repetición a intervalos regulares a iz-quierda y derecha del de partida.



y

1

–1

0

x

–2� –� � 2� 3��/2

–�/2

y = sen xFigura 13.

y

1

–1

0

x

–2� –� � 2�

�/2

y = cos x

3�/2

Figura 14.

y

x

0–�

– /2� �/2

�

y = tg x

y

x

0–�– /2� �/2

�

y = cotg x

–3 /2� 3 /2�

Figura 15.

De ahí que los puntos singulares de ambas funciones (donde presentan los máximos y mínimos loca-

les) se obtienen de las relacionescos(2k – 1)

2

�= 0 y sen k� = 0, para todo k � Z. Tendríamos que los pun-

tos críticos o estacionarios de la función seno se obtienen para x =(2k – 1)

2

�, mientras que la función

coseno los presenta para x = k�.

Las gráficas extendidas a todo R son las siguientes:

2.7.2. Gráficas de las funciones tangente y cotangente

El período de las funciones es ahora �, presentando discontinuidades de salto infinito en los puntos en

que anulan cos x y sen x. Así pues, la función y = tg x es discontinua en x =(2k – 1)

2

�( k � Z), mientras

que la función y = cotg x lo es en x = k� ( k � Z). Las gráficas tienen asíntotas verticales en tales puntos.

Podemos tomar para y = tg x el período comprendido entre –�

2y

�

2, y para la función y = cotg x el

comprendido entre 0 y �. Las gráficas completas se obtienen por repetición a intervalos regulares a iz-quierda y derecha del de partida.



y

1

–1

0

x

–2� –� � 2� 3��/2

–�/2

y = sen xFigura 13.

y

1

–1

0

x

–2� –� � 2�

�/2

y = cos x

3�/2

Figura 14.

y

x

0–�

– /2� �/2

�

y = tg x

y

x

0–�– /2� �/2

�

y = cotg x

–3 /2� 3 /2�

Figura 15.

Deahíquelospuntossingularesdeambasfunciones(dondepresentanlosmáximosymínimosloca-

les)seobtienendelasrelacionescos(2k–1)

2

�=0ysenk�=0,paratodok�Z.Tendríamosquelospun-

toscríticosoestacionariosdelafunciónsenoseobtienenparax=(2k–1)

2

�,mientrasquelafunción

cosenolospresentaparax=k�.

LasgráficasextendidasatodoRsonlassiguientes:

2.7.2.Gráficasdelasfuncionestangenteycotangente

Elperíododelasfuncionesesahora�,presentandodiscontinuidadesdesaltoinfinitoenlospuntosen

queanulancosxysenx.Asípues,lafuncióny=tgxesdiscontinuaenx=(2k–1)

2

�(k�Z),mientras

quelafuncióny=cotgxloesenx=k�(k�Z).Lasgráficastienenasíntotasverticalesentalespuntos.

Podemostomarparay=tgxelperíodocomprendidoentre–�

2y

�

2,yparalafuncióny=cotgxel

comprendidoentre0y�.Lasgráficascompletasseobtienenporrepeticiónaintervalosregularesaiz-quierdayderechadeldepartida.



y

1

–1

0

x

–2�–��2�3� �/2

–�/2

y=senxFigura13.

y

1

–1

0

x

–2�–��2�

�/2

y=cosx

3�/2

Figura14.

y

x

0–�

–/2 ��/2

�

y=tgx

y

x

0 –�–/2 ��/2

�

y=cotgx

–3/2 �3/2 �

Figura15.

Deahíquelospuntossingularesdeambasfunciones(dondepresentanlosmáximosymínimosloca-

les)seobtienendelasrelacionescos(2k–1)

2

�=0ysenk�=0,paratodok�Z.Tendríamosquelospun-

toscríticosoestacionariosdelafunciónsenoseobtienenparax=(2k–1)

2

�,mientrasquelafunción

cosenolospresentaparax=k�.

LasgráficasextendidasatodoRsonlassiguientes:

2.7.2.Gráficasdelasfuncionestangenteycotangente

Elperíododelasfuncionesesahora�,presentandodiscontinuidadesdesaltoinfinitoenlospuntosen

queanulancosxysenx.Asípues,lafuncióny=tgxesdiscontinuaenx=(2k–1)

2

�(k�Z),mientras

quelafuncióny=cotgxloesenx=k�(k�Z).Lasgráficastienenasíntotasverticalesentalespuntos.

Podemostomarparay=tgxelperíodocomprendidoentre–�

2y

�

2,yparalafuncióny=cotgxel

comprendidoentre0y�.Lasgráficascompletasseobtienenporrepeticiónaintervalosregularesaiz-quierdayderechadeldepartida.



y

1

–1

0

x

–2�–��2�3� �/2

–�/2

y=senxFigura13.

y

1

–1

0

x

–2�–��2�

�/2

y=cosx

3�/2

Figura14.

y

x

0–�

–/2 ��/2

�

y=tgx

y

x

0 –�–/2 ��/2

�

y=cotgx

–3/2 �3/2 �

Figura15.

2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecanteA partir de las propiedades de coseno y seno son inmediatas las siguientes consideraciones acerca de

las funciones y = sec x e y = cosec x

– El recorrido de ambas es ]–�, –1] � [+1,�[

– El período de ambas es 2�

– La función y = sec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anu-

la cos x, o sea, en x =(2k – 1)

2

�( k � Z)

– La función y = cosec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde seanula sen x, o sea, en x = k�� k�Z)

3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES:FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

La función sen: R � [–1,+1] no es uno a uno, pues sen x = sen (x + 2k�). Ni siquiera si nos ceñimos ala primera vuelta, o sea, para x � [0,2�], ya que para un mismo valor del intervalo [–1,+1], salvo para !1 y+1 , hay dos números de [0,2�] cuyo seno tiene dicho valor.

Sin embargo, si restringimos el dominio de la función seno a un intervalo conveniente podemos cons-truir una función uno a uno f que tendrá una recíproca f!1. Existen muchas maneras de hacerlo. Algunos

dominios posibles son: [–�

2,�

2], [

�

2,3

2

�], [

3

2

�,

5

2

�], etc., y en realidad cualquiera de ellos se puede elegir in-

distintamente. Se acostumbra, sin embargo, a elegir el intervalo [–�

2,�

2].

Podemos hacer uso de un enunciado general, que es consecuencia inmediata del teorema de Darbouxo de valores intermedios para una función continua en un intervalo cerrado y acotado.

PROPOSICIÓN:

Si f: [a,b] � R es estrictamente creciente/decreciente y continua, entonces define una biyección de[a,b] en [f(a),f(b)] y su recíproca f�1 es también continua y estrictamente creciente/decreciente.

Los intervalos elegidos para la restricción a una función uno a uno son el [–�

2,�

2] para el caso de las

funciones seno y tangente, y el [0,�] para el caso de coseno y cotangente.

Obtenemos así las restricciones biyectivas:

sen: [–�

2,�

2] � [–1,+1] tg: [–

�

2,�

2] � ]–�,+�[

cos: [0,�] � [–1,+1] cotg: [0,�] � ]–�,+�[



y

x

– /2� �/2

�

y = sec x

1

0

–1

3 /2�

y

x

�/2

�

y = cosec x

1

0

–1

3 /2�

2�

Figura 16.

2.7.3. Gráficas de las funciones secante y cosecanteA partir de las propiedades de coseno y seno son inmediatas las siguientes consideraciones acerca de

las funciones y = sec x e y = cosec x

– El recorrido de ambas es ]–�, –1] � [+1,�[

– El período de ambas es 2�

– La función y = sec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde se anu-

la cos x, o sea, en x =(2k – 1)

2

�( k � Z)

– La función y = cosec x presenta discontinuidades (asíntotas verticales) en los puntos donde seanula sen x, o sea, en x = k�� k�Z)

3. FUNCIONES INVERSAS DE LAS CIRCULARES:FUNCIONES CICLOMÉTRICAS

La función sen: R � [–1,+1] no es uno a uno, pues sen x = sen (x + 2k�). Ni siquiera si nos ceñimos ala primera vuelta, o sea, para x � [0,2�], ya que para un mismo valor del intervalo [–1,+1], salvo para !1 y+1 , hay dos números de [0,2�] cuyo seno tiene dicho valor.

Sin embargo, si restringimos el dominio de la función seno a un intervalo conveniente podemos cons-truir una función uno a uno f que tendrá una recíproca f!1. Existen muchas maneras de hacerlo. Algunos

dominios posibles son: [–�

2,�

2], [

�

2,3

2

�], [

3

2

�,

5

2

�], etc., y en realidad cualquiera de ellos se puede elegir in-

distintamente. Se acostumbra, sin embargo, a elegir el intervalo [–�

2,�

2].

Podemos hacer uso de un enunciado general, que es consecuencia inmediata del teorema de Darbouxo de valores intermedios para una función continua en un intervalo cerrado y acotado.

PROPOSICIÓN:

Si f: [a,b] � R es estrictamente creciente/decreciente y continua, entonces define una biyección de[a,b] en [f(a),f(b)] y su recíproca f�1 es también continua y estrictamente creciente/decreciente.

Los intervalos elegidos para la restricción a una función uno a uno son el [–�

2,�

2] para el caso de las

funciones seno y tangente, y el [0,�] para el caso de coseno y cotangente.

Obtenemos así las restricciones biyectivas:

sen: [–�

2,�

2] � [–1,+1] tg: [–

�

2,�

2] � ]–�,+�[

cos: [0,�] � [–1,+1] cotg: [0,�] � ]–�,+�[



y

x

– /2� �/2

�

y = sec x

1

0

–1

3 /2�

y

x

�/2

�

y = cosec x

1

0

–1

3 /2�

2�

Figura 16.

2.7.3.GráficasdelasfuncionessecanteycosecanteApartirdelaspropiedadesdecosenoysenosoninmediataslassiguientesconsideracionesacercade

lasfuncionesy=secxey=cosecx

–Elrecorridodeambases]–�,–1]�[+1,�[

–Elperíododeambases2�

–Lafuncióny=secxpresentadiscontinuidades(asíntotasverticales)enlospuntosdondeseanu-

lacosx,osea,enx=(2k–1)

2

�(k�Z)

–Lafuncióny=cosecxpresentadiscontinuidades(asíntotasverticales)enlospuntosdondeseanulasenx,osea,enx=k�� k�Z)


Lafunciónsen:R�[–1,+1]noesunoauno,puessenx=sen(x+2k�).Nisiquierasinosceñimosalaprimeravuelta,osea,parax�[0,2�],yaqueparaunmismovalordelintervalo[–1,+1],salvopara!1y+1,haydosnúmerosde[0,2�]cuyosenotienedichovalor.

Sinembargo,sirestringimoseldominiodelafunciónsenoaunintervaloconvenientepodemoscons-truirunafunciónunoaunofquetendráunarecíprocaf

!1.Existenmuchasmanerasdehacerlo.Algunos

dominiosposiblesson:[–�

2,�

2],[

�

2,3

2

�],[

3

2

�,

5

2

�],etc.,yenrealidadcualquieradeellossepuedeelegirin-

distintamente.Seacostumbra,sinembargo,aelegirelintervalo[–�

2,�

2].

Podemoshacerusodeunenunciadogeneral,queesconsecuenciainmediatadelteoremadeDarbouxodevaloresintermediosparaunafuncióncontinuaenunintervalocerradoyacotado.

PROPOSICIÓN:

Sif:[a,b]�Resestrictamentecreciente/decrecienteycontinua,entoncesdefineunabiyecciónde[a,b]en[f(a),f(b)]ysurecíprocaf

�1estambiéncontinuayestrictamentecreciente/decreciente.

Losintervaloselegidosparalarestricciónaunafunciónunoaunosonel[–�

2,�

2]paraelcasodelas

funcionessenoytangente,yel[0,�]paraelcasodecosenoycotangente.

Obtenemosasílasrestriccionesbiyectivas:

sen:[–�

2,�

2]�[–1,+1]tg:[–

�

2,�

2]�]–�,+�[

cos:[0,�]�[–1,+1]cotg:[0,�]�]–�,+�[



y

x

–/2 ��/2

�

y=secx

1

0

–1

3/2 �

y

x

�/2

�

y=cosecx

1

0

–1

3/2 �

2�

Figura16.

2.7.3.GráficasdelasfuncionessecanteycosecanteApartirdelaspropiedadesdecosenoysenosoninmediataslassiguientesconsideracionesacercade

lasfuncionesy=secxey=cosecx

–Elrecorridodeambases]–�,–1]�[+1,�[

–Elperíododeambases2�

–Lafuncióny=secxpresentadiscontinuidades(asíntotasverticales)enlospuntosdondeseanu-

lacosx,osea,enx=(2k–1)

2

�(k�Z)

–Lafuncióny=cosecxpresentadiscontinuidades(asíntotasverticales)enlospuntosdondeseanulasenx,osea,enx=k�� k�Z)


Lafunciónsen:R�[–1,+1]noesunoauno,puessenx=sen(x+2k�).Nisiquierasinosceñimosalaprimeravuelta,osea,parax�[0,2�],yaqueparaunmismovalordelintervalo[–1,+1],salvopara!1y+1,haydosnúmerosde[0,2�]cuyosenotienedichovalor.

Sinembargo,sirestringimoseldominiodelafunciónsenoaunintervaloconvenientepodemoscons-truirunafunciónunoaunofquetendráunarecíprocaf

!1.Existenmuchasmanerasdehacerlo.Algunos

dominiosposiblesson:[–�

2,�

2],[

�

2,3

2

�],[

3

2

�,

5

2

�],etc.,yenrealidadcualquieradeellossepuedeelegirin-

distintamente.Seacostumbra,sinembargo,aelegirelintervalo[–�

2,�

2].

Podemoshacerusodeunenunciadogeneral,queesconsecuenciainmediatadelteoremadeDarbouxodevaloresintermediosparaunafuncióncontinuaenunintervalocerradoyacotado.

PROPOSICIÓN:

Sif:[a,b]�Resestrictamentecreciente/decrecienteycontinua,entoncesdefineunabiyecciónde[a,b]en[f(a),f(b)]ysurecíprocaf

�1estambiéncontinuayestrictamentecreciente/decreciente.

Losintervaloselegidosparalarestricciónaunafunciónunoaunosonel[–�

2,�

2]paraelcasodelas

funcionessenoytangente,yel[0,�]paraelcasodecosenoycotangente.

Obtenemosasílasrestriccionesbiyectivas:

sen:[–�

2,�

2]�[–1,+1]tg:[–

�

2,�

2]�]–�,+�[

cos:[0,�]�[–1,+1]cotg:[0,�]�]–�,+�[



y

x

–/2 ��/2

�

y=secx

1

0

–1

3/2 �

y

x

�/2

�

y=cosecx

1

0

–1

3/2 �

2�

Figura16.

cuyas gráficas son:

Haciendo uso de la proposición anterior podemos definir las funciones recíprocas de las anteriores:sen–1, cos–1, tg–1 y cotg–1. Usualmente se denominan respectivamente arco seno, arco coseno, arco tangen-te y arco cotangente:

arcsen: [–1,+1] � [–�

2,�

2] arctg: ]–�,+�[ � [–

�

2,�

2]

arccos: [–1,+1] � [0,�] arccotg: ]–�,+�[ � [0,�]

Las gráficas correspondientes se obtienen de las anteriores tomando las simétricas respecto a la rectay = x, con lo que resultan las siguientes:



0

1

–1

y

x

�/2– /2�

y = sen x

0

1

–1

y

x�/2�

y = cos x

– /2� �/20

y

x1

–1

y = tg x

0 1–1

y

x

�/2

– /2� 0 1–1

y

x

�/2

�

– /2�

�/2

0

y

x

y = arctg x

y = sen x

y = arccos x

Figura 17.

Figura 18.

cuyas gráficas son:

Haciendo uso de la proposición anterior podemos definir las funciones recíprocas de las anteriores:sen–1, cos–1, tg–1 y cotg–1. Usualmente se denominan respectivamente arco seno, arco coseno, arco tangen-te y arco cotangente:

arcsen: [–1,+1] � [–�

2,�

2] arctg: ]–�,+�[ � [–

�

2,�

2]

arccos: [–1,+1] � [0,�] arccotg: ]–�,+�[ � [0,�]

Las gráficas correspondientes se obtienen de las anteriores tomando las simétricas respecto a la rectay = x, con lo que resultan las siguientes:



0

1

–1

y

x

�/2– /2�

y = sen x

0

1

–1

y

x�/2�

y = cos x

– /2� �/20

y

x1

–1

y = tg x

0 1–1

y

x

�/2

– /2� 0 1–1

y

x

�/2

�

– /2�

�/2

0

y

x

y = arctg x

y = sen x

y = arccos x

Figura 17.

Figura 18.

cuyasgráficasson:

Haciendousodelaproposiciónanteriorpodemosdefinirlasfuncionesrecíprocasdelasanteriores:sen

–1,cos

–1,tg

–1ycotg

–1.Usualmentesedenominanrespectivamentearcoseno,arcocoseno,arcotangen-

teyarcocotangente:

arcsen:[–1,+1]�[–�

2,�

2]arctg:]–�,+�[�[–

�

2,�

2]

arccos:[–1,+1]�[0,�]arccotg:]–�,+�[�[0,�]

Lasgráficascorrespondientesseobtienendelasanteriorestomandolassimétricasrespectoalarectay=x,conloqueresultanlassiguientes:



0

1

–1

y

x

�/2 –/2 �

y=senx

0

1

–1

y

x �/2�

y=cosx

–/2 ��/2 0

y

x 1

–1

y=tgx

01 –1

y

x

�/2

–/2 �01 –1

y

x

�/2

�

–/2 �

�/2

0

y

x

y=arctgx

y=senx

y=arccosx

Figura17.

Figura18.

cuyasgráficasson:

Haciendousodelaproposiciónanteriorpodemosdefinirlasfuncionesrecíprocasdelasanteriores:sen

–1,cos

–1,tg

–1ycotg

–1.Usualmentesedenominanrespectivamentearcoseno,arcocoseno,arcotangen-

teyarcocotangente:

arcsen:[–1,+1]�[–�

2,�

2]arctg:]–�,+�[�[–

�

2,�

2]

arccos:[–1,+1]�[0,�]arccotg:]–�,+�[�[0,�]

Lasgráficascorrespondientesseobtienendelasanteriorestomandolassimétricasrespectoalarectay=x,conloqueresultanlassiguientes:



0

1

–1

y

x

�/2 –/2 �

y=senx

0

1

–1

y

x �/2�

y=cosx

–/2 ��/2 0

y

x 1

–1

y=tgx

01 –1

y

x

�/2

–/2 �01 –1

y

x

�/2

�

–/2 �

�/2

0

y

x

y=arctgx

y=senx

y=arccosx

Figura17.

Figura18.

tema cuerpo de profesores de enseñanza secundaria tema 23 · 390 cuerpo de profesores de...

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