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Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

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Juan Vera López

Víctor López Fenoy

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Matemáticas

Relación de títulos que componen esta especialidad:

• Temario Vol. I

•

• Temario Vol. III

• Volumen Práctico

Temario Vol. II

MatemáticasEl tema que nos ocupa es el de la Programación Didáctica y laelaboración de las Unidades Didácticas, cuya confección espara muchos aspirantes un arcano alejado de todos sus intere-ses y actividades anteriores, y que ahora se encuentran en lanecesidad de prepararla y defenderla con suficiente fe comopara ser creíble ante un tribunal de expertos.

En este libro no se proporciona el pez, sino el aparejo completo.De esta forma, enseñando a pescar (programar), el pez (Progra-mación Didáctica y Unidades Didácticas) será único, exclusivo,personal y, sin duda, mucho más satisfactorio.

Otra cuestión importante es el debate al final de la segunda prue-ba. Es evidente que el debate exige una preparación y unasestrategias que también se podrán encontrar en este libro.

A lo largo del texto se han ido introduciendo conceptos íntima-mente ligados al proceso de la Programación y se han definidosus componentes, sus funciones, etc., de forma que se preten-de no sólo que el lector-opositor sea capaz de hacer su propiaProgramación, sino que conozca bien su fundamentación y seacapaz de contestar a preguntas referidas a la misma con sufi-ciente soltura.

PES0290.prnP:\OPOSICIONES DE PROFESORES\SECUNDARIA\MATEMATICAS\PES0290 Matematicas Programacion\Portada\PES0290.cdrmiØrcoles, 05 de diciembre de 2007 12:09:21

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Cuerpo de Profesoresde Enseñanza Secundaria

Matemáticas

Matemáticas

Programación Didáctica

Coordinación: Isabel García LucasTRIVIUM. Centro de Oposiciones de Murcia


Juan Vera LopezCatedrático de Matemáticas.Doctor en Matemáticas.Asesor del C.E. de la Región de Murcia.

Victor López FenoyDoctor en Ciencias Geológicas.Catedrático de Ciencias Naturales.Inspector de Educación.

© Editorial MAD, S.L. © Los autores.Segunda edición, diciembre 2007.Depósito Legal: SE-5686-2007 (278 páginas)Derechos de edición reservados a favor de EDITORIAL MAD, S.L.Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor.IMPRESO EN ESPAÑA.Diseño Portada: EDITORIAL MAD, S.L.Edita: EDITORIAL MAD, S.L.Plg. Merka, c/B. Nave 1. 41500 ALCALÁ DE GUADAÍRA (Sevilla).Telf.: +34 902 452 900.WEB: www.mad.esISBN-13: 978-84-665-8585-9.ISBN-10: 84-665-8585-0.

Presentación

La promulgación de la Ley Orgánica 2/2006, de Educación, ha llevado consigo una serie de novedades en el ordenamiento jurídico educativo referidas algunas de ellas al ámbito de los cuerpos de funcionarios docentes. Esto, entre otras medidas legislativas, ha obligado a establecer un marco jurídico para reglamentar el acceso a los cuerpos de funcionarios docentes.

Este marco jurídico se establece en el Real Decreto 276/2007, de 23 de febrero, por el que se aprueba el reglamento de ingreso, accesos y adquisición de nuevas especialidades en los centros docentes.

El opositor a los cuerpos docentes, que viene preparando concienzudamente su oposición, nor-malmente tiene unos vacíos en cuanto a cuestiones legales y organizativas que son difíciles de rellenar si no existe un instrumento diseñado para que esto ocurra. Éste es el caso de la situación actual. Un opositor que no conoce desde dentro la práctica docente se encuentra desmarcado en cuanto a la preparación de una Programación Didáctica y de una Programación de Aula.

Aunque existen en el mercado editorial muchos libros sobre Programación, no están encamina-

licenciados universitarios no pedagogos.

Por otra parte, con el nuevo Reglamento de Acceso a los Cuerpos Docentes, se introducen nue-vos ejercicios y normas hasta ahora no practicadas y es normal que muchos opositores se encuentren inquietos y no tengan la base de experiencias anteriores (propias o ajenas) para seguir una norma en su preparación. Con este libro pretendemos rellenar ese hueco, proporcionando al lector-opositor los

El tema que nos ocupa es el de la Programación Didáctica y la elaboración de las Unidades Didácticas, cuya confección es para muchos aspirantes un arcano alejado de todos sus intereses y actividades anteriores, y que ahora se encuentran en la necesidad de prepararla y defenderla con

En este libro no se proporciona el pez, sino el aparejo completo. De esta forma, enseñando a pescar (programar), el pez (Programación Didáctica y Unidades Didácticas) será único, exclusivo, personal y, sin duda, mucho más satisfactorio. Es una preparación real y sincera.

-les pueden ser los motivos del debate? Evidentemente la respuesta es inmediata: la Programación Didáctica y las Unidades Didácticas presentadas. Sin embargo esta respuesta es demasiado simple. En la educación, en general, y en nuestro sistema educativo, en particular, existen numerosos temas, tan relacionados entre sí, que una simple pregunta se puede complicar con una segunda repregunta y así, como un manojo de cerezas, ir tirando una de otra alejándose cada vez más del objeto primitivo. En previsión de esta circunstancia procuramos salir en ayuda del opositor y para ello, a lo largo del texto se han ido introduciendo conceptos íntimamente ligados al proceso de la Programación y se han

sea capaz de hacer su propia Programación, sino que conozca bien su fundamentación y sea capaz de

Pero puede no acabarse el debate en la propia Programación de curso y de aula. Una cosa lleva a la otra y se puede, consciente o inconscientemente, escarbar en los conocimientos que pueda tener el opositor sobre cuestiones diversas, de difícil tratamiento por su enorme extensión.

-

-to que haya sugerido al tribunal una repregunta.

Los autores

TRIVIUM. Centro de Oposiciones de Murcia.

ÍndiceParte I. La Programación ................................................................................................ 11

1. Concepto y sentido de la Programación ........................................................... 13

2. Características de la Programación .................................................................. 14

3. Funciones de la Programación ......................................................................... 15

4. Programación Didáctica y Programación de Aula ........................................... 16

5. Elementos de la Programación ......................................................................... 17

6. Después de la Programación ............................................................................ 43

7. Cómo elaborar la Programación Didáctica ...................................................... 43

8. La Programación de Aula. La Unidad Didáctica .............................................. 50

9. Notas importantes ............................................................................................. 60

Parte II. Programaciones de las asignaturas del Departamento de Matemáticas ..... 63

Programacion Didáctica de las asignaturas de Matemáticas del 2.º ciclo de la ESO 67

Programación Didáctica de la asignatura de Matemáticas I de Bachillerato ....... 185

Parte III. Actuación ante el tribunal .............................................................................. 249

1. Generalidades ................................................................................................... 251

2. Defensa de la Programación ............................................................................. 253

3. Presentación de la Unidad Didáctica ................................................................ 254

4. El debate ........................................................................................................... 255

Bibliografía ....................................................................................................................... 273

Parte I. La Programación



ÍNDICE SISTEMÁTICO

1. CONCEPTO Y SENTIDO DE LA PROGRAMACIÓN

2. CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓN

3. FUNCIONES DE LA PROGRAMACIÓN

4. PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Y PROGRAMACIÓN DE AULA

5. ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓN5.1. ¿Para qué enseñar? Los objetivos

5.1.1. Objetivos de la enseñanza. Concepto y función de la educación intelectual 5.1.2. Objetivos en la Programación

5.2. ¿Qué enseñar? Los contenidos5.3. ¿Cómo enseñar? Metodología, recursos, actividades

5.3.1. Metodología 5.3.2. Recursos 5.3.3. Actividades 5.3.4. Atención a la diversidad 5.3.5. Educación en valores

5.4. ¿Qué hay que evaluar, cuándo y cómo? 5.4.1. ¿Para qué evaluar? 5.4.2. ¿Qué evaluar? 5.4.3. ¿Cómo evaluar? 5.4.4. ¿Cuándo evaluar?

6. DESPUÉS DE LA PROGRAMACIÓN

7. CÓMO ELABORAR LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA7.1. Primer paso7.2. Segundo paso7.3. Tercer paso7.4. Cuarto paso7.5. Quinto paso7.6. Sexto paso7.7. Séptimo paso7.8. Octavo paso7.9. Noveno paso

8. LA PROGRAMACIÓN DE AULA. LA UNIDAD DIDÁCTICA

9. NOTAS IMPORTANTES9.1. La extensión9.2. El currículo

MATEMÁTICAS 13

1. CONCEPTO Y SENTIDO DE LA PROGRAMACIÓNAunque hay diferentes acepciones del término programar, en su sentido más amplio se en-

tiende como idear y ordenar las acciones necesarias para realizar un proyecto (RAE. Dicciona-rio de la Lengua Española).

La planificación es un aspecto esencial de cualquier actividad organizada y sistemática y hacereferencia, en general, a la previsión de unos medios para conseguir unas metas determinadas.

Continuamente estamos planificando, haciendo planes. A la hora de pensar en cualquier tareaque vayamos a llevar a cabo, con toda seguridad nos preguntamos, si es el caso, con quién, cómola vamos a hacer, qué necesitamos para hacerla, en qué momento..., en definitiva, estamos ini-ciando el proceso de planificación. Hay, sin embargo, algunas actividades que no planificamos,son aquellas que realizamos de manera automática.

Cuanto más compleja sea la tarea que vayamos a realizar, más necesidad tendremos deplanificarla. Así, se habla de planificación económica, planificación empresarial, planificaciónfamiliar, etcétera.

Planificar (en sentido riguroso) es prever racional y sistemáticamente las acciones que hay que realizar para la consecución adecuada de unos objetivos previamente establecidos.

La planificación es una exigencia que se impone en todos los ámbitos de la actividad humanacon un cierto grado de complejidad. No tiene sentido “hacer por hacer”, sin prever qué pretende-mos, por qué motivos, con quién, cuándo y cómo se va ha realizar.

Cuando hablamos del proceso de enseñanza-aprendizaje, la planificación, la elaboración deun plan que prevea su puesta en práctica, suele recibir el nombre de Programación.

La Programación, en el contexto pedagógico, es el conjunto de acciones mediante las cuálesse transforman las intenciones educativas más generales en propuestas didácticas concretas quepermitan alcanzar los objetivos previstos.

Entendemos con Gimeno y Pérez Gómez (1985) que la Programación responde a un intento

Programar es, por tanto, realizar un diseño de cómo queremos orientar la acción antes de improvisadamente o de forma rutinaria.

La Programación Didáctica

14 CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Los términos “programación”, “planificación”, “diseño”… se refieren al proceso de toma dedecisiones mediante el cual el profesor prevé su intervención educativa de una forma deliberaday sistemática (De Pablo y otros, 1992).

El término Programación presenta dos significados: por una parte, el que alude a su sentidodinámico (la Programación como proceso) y el que se refiere al resultado a que da lugar dichoproceso (la Programación como producto).

La enseñanza es una actividad intencionada, y no se puede dudar de que un criterio básicopara realizar una actividad intencionada es confeccionar un plan de actuación, que será más omenos riguroso y sistemático en función de las personas que lo realicen, el contexto donde seinscriba o la complejidad de la actividad a desarrollar.

Es obvio que la Programación es una cuestión que no aparece como consecuencia de losnuevos criterios derivados de las reformas educativas, sino que ha estado presente desde siempreen el profesorado. En el centro educativo siempre se ha programado la tarea educativa, aunque nosiempre se ha puesto el énfasis en los mismos aspectos de la misma.

La necesidad de diseñar una Programación que sistematice el proceso en el desarrollo de laacción didáctica está ampliamente justificada porque (Imbernón, 1992), (Pérez, 1995):

– Nos ayudará a eliminar el azar (en sentido negativo), lo cual no significa eliminar lacapacidad de añadir nuevas ideas, corregir errores, rectificar previsiones, etcétera.

– Evitará pérdidas de tiempo.

– Sistematizará y ordenará el proceso de enseñanza-aprendizaje.

– Permitirá adaptar el trabajo pedagógico a las características culturales y ambientales delcontexto.

Al mismo tiempo, frente a algunas concepciones cerradas y rígidas, a nuestro entender, laProgramación ha de contar con la suficiente flexibilidad y apertura para dejar posibilidades a lacreatividad y a la reforma de sus elementos.

La Programación es un proceso continuo que se preocupa no sólo de la meta hacia donde ir,sino también de cómo transitar hacia ella, a través de los medios y caminos adecuados.

El hecho de estar decidiendo continuamente los medios más idóneos para llegar a donde pre-tendemos convierte a la Programación en una actividad siempre dinámica, no acabada ni rígida.Su función será determinar constantemente las prácticas educativas adecuadas al contexto para laconsecución de los objetivos previstos.

2. CARACTERÍSTICAS DE LA PROGRAMACIÓNLa Programación es, ante todo, un instrumento de planificación de la actividad del aula. Por ello

es necesario que tenga unas características generales, de las que se pueden destacar las siguientes:

– Adecuación. La Programación debe adecuarse a un determinado contexto, como es el en-torno social y cultural del centro, las características del alumnado, la experiencia previa delprofesor, lo que implica tener en cuenta los aspectos más relevantes de dicho contexto quepuedan incidir de forma significativa en los elementos que la componen.

Esta especial atención al contexto permite atender las necesidades especiales de los dis-tintos alumnos. Así es que la Programación deberá prever medidas para dar respuestaa los alumnos que presenten importantes dificultades de aprendizaje, bien sea por sus

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 15

carencias, bien sea por ser extranjeros, pertenecer a grupos marginados, etc. Del mismomodo, y dentro de este grupo de alumnos con necesidades educativas especiales, habráque prever la existencia de alumnos superdotados.

– Concreción. La Programación debe concretar el plan de actuación que se ha de llevar acabo en el aula, para que resulte un instrumento realmente útil. Para ello debe contar contodos los elementos que se desarrollan en el apartado.

– Flexibilidad. Aparentemente contradictoria con la característica de la concreción, perono es así. A pesar de ser un propósito concreto, debe entenderse como un plan de actua-ción abierto, como una hipótesis de trabajo que puede y debe ser revisado, parcialmenteo en su conjunto, cuando se detecten problemas o situaciones no previstas que requieranintroducir cambios durante el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por tanto, hay que tenerpreparados los instrumentos de retroalimentación y de actuaciones alternativas.

– Viabilidad. Es necesario que la Programación sea viable para que pueda cumplir ade-cuadamente con sus funciones, que se ajuste al tiempo disponible, que se cuente conlos espacios y recursos previstos para llevar a cabo las actuaciones programadas y quela realización de las distintas actuaciones esté al alcance de todos los alumnos a los quevayan dirigidas. En este sentido, la experiencia docente y la revisión permanente de lapropia práctica son referentes fundamentales para asegurar una Programación realista.

3. FUNCIONES DE LA PROGRAMACIÓNLa Programación como agente de concreción del currículo tiene, entre otras, asignadas las

siguientes funciones:

1. Planificar el proceso enseñanza-aprendizaje que se desarrolla en el aula. Para evitar ac-tuaciones improvisadas y poco coherentes, contando con un instrumento de gran utilidad paraintroducir las correcciones que sean necesarias en los distintos elementos de la planificación.

2. Asegurar la coherencia entre las intenciones educativas del centro y la práctica docente. En las Programaciones toman cuerpo las propuestas concretas de actuacióndocente que emanan del claustro y del propio Proyecto Educativo.

3. Proporcionar elementos para el análisis, la revisión y la evaluación del Proyecto Educativo del centro. La Programación permite conocer de manera directa e inmediatael grado de adecuación y operatividad de los planes o acuerdos generales adoptados.

4. Promover la reflexión sobre la propia práctica docente. La puesta en práctica de laProgramación permite que cada departamento didáctico y cada profesor se enfrente a sutarea de forma reflexiva, haciendo explícitas sus concepciones sobre el proceso de ense-ñanza-aprendizaje y permite establecer un vínculo con el resto de los profesores, com-partiendo experiencias, revisando y evaluando resultados y, en definitiva, aprendiendo ymejorando la práctica docente.

5. Facilitar la progresiva implicación de los alumnos en su propio proceso de apren-dizaje. La Programación Didáctica, siempre a disposición de los alumnos, favorece laimplicación de éstos en el proceso educacional, ya que les permite saber de antemanoqué van a aprender, cómo van a trabajar y de qué manera van a ser evaluados.

6. Atender a la diversidad de intereses, motivaciones y características del alumnado.El hecho de la diversidad está presente en toda Programación, por lo que se aproxima alos intereses del alumno.



4. PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA Y PROGRAMACIÓN DE AULAProgramar supone tomar en consideración los distintos elementos que intervienen en la ac-

ción enseñanza-aprendizaje, elementos que no constituyen entes aislados sino que, entre ellos,existen relaciones de interdependencia.

Las decisiones en torno a los objetivos, contenidos, metodología, recursos didácticos y cri-terios y procedimientos de evaluación constituyen el núcleo de la Programación Didáctica quedebe elaborar cada uno de los departamentos didácticos según se desprenda del currículo oficialde la Comunidad Autónoma o del Estado según los casos1.

Partiendo de la Programación Didáctica, cada profesor del departamento debe concretar suplan de actuación que le va a servir de guía detallada de su actuación docente durante el curso es-colar para cada uno de sus cursos y asignaturas. Esta segunda parte de la Programación Didácticase suele denominar Programación de Aula.

La Programación Didáctica, que forma parte de la Programación General Anual2, organizalas enseñanzas de cada asignatura a lo largo de la etapa correspondiente. En ella el DepartamentoDidáctico establece la adecuación, organización y secuencia de los objetivos, contenidos y crite-rios de evaluación para cada curso y asignatura y acuerda los principios metodológicos y recursosque se emplearán en la actuación docente.

1 En el caso de Ceuta, Melilla y los centros en el extranjero, el currículo de aplicación es el elaborado por el Estado. En todos los demáscasos el currículo oficial es el de cada una de las Comunidades Autónomas.

2 La Programación General Anual (PGA) es un documento que elabora el Centro Educativo a través del Claustro de Profesores, elConsejo Escolar y, de forma definitiva, la Dirección, en el que basándose en lo establecido en el Proyecto Educativo del Centro serealiza un proyecto para el desarrollo del curso. En él se incluyen las Programaciones de los Departamentos Didácticos y del deOrientación, horarios, actividades complementarias y extraescolares, etc.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 17

La Programación de Aula deberá organizarse en una secuencia de Unidades Didácticas.Mientras que la responsabilidad de la Programación Didáctica es del departamento didáctico, laProgramación de Aula lo es de cada profesor. No obstante, parece aconsejable que se elabore en-tre todos los profesores del departamento que impartan docencia en el mismo curso, en diferentesgrupos, para obtener una mayor coherencia.

Según lo explicado parece que se puede producir un conflicto de intereses entre el profesorcomo individuo autónomo, amparado en su práctica docente por la Constitución Española en suartículo 20.1.3 y la dependencia orgánica y funcional del propio departamento didáctico.

PROGRAMACIÓN PARTICIPANTES ÁMBITO ELABORACIÓN

Didáctica Profesorado del departamento Etapa A principio de curso

De aulaProfesorado del mismo curso Curso A principio de curso

Profesor de grupo Grupo A lo largo del curso

5. ELEMENTOS DE LA PROGRAMACIÓNDiseñar y especificar los elementos de la Programación supone responder a una serie de

preguntas que el docente tiene que plantearse cuando planifica su actuación didáctica. Dichaspreguntas están reflejadas en el cuadro siguiente.

3 Se reconocen y protegen los derechos:a) A expresar libremente los pensamientos, ideas y opiniones mediante la palabra, el escrito o cualquier otro medio de reproducción.

c) A la libertad de cátedra.d) A comunicar o recibir libremente información veraz por cualquier medio de difusión. La ley regulará el derecho a la cláusula de

conciencia y al secreto profesional en el ejercicio de estas libertades.Aunque todos estos derechos afectan de una manera u otra a la profesión docente, especialmente el c) es exclusivo de ésta.



Respecto a dichos elementos de la Programación no hay un acuerdo unánime entre los espe-cialistas sobre cómo debe ser exactamente el diseño, el orden y el contenido preciso de cada uno.

Lo primordial, a nuestro modo de ver, es tener claro lo que queremos hacer y dar una res-puesta adecuada y coherente a la actuación didáctica que vamos a realizar. La Programación nodebe ser un fin en sí mismo, ha de ser un instrumento puesto al servicio del proceso de enseñan-za-aprendizaje.

Las características de cada uno de los elementos dependerán, a su vez, del tipo de Programa-ción que vamos a desarrollar.

Desde nuestro punto de vista lo importante de la Programación no es su aspecto formal, lamanera de diseñarla. Hay muchas maneras de realizar una Programación y en ningún caso sepuede entender que es una fórmula mágica que va a resolver todos nuestros problemas.

Lo verdaderamente importante es contar con un recurso que nos sirva de guía de las acti-vidades que vamos a emprender y que constituya un instrumento de reflexión continua sobre elproceso, de tal manera que nos permita mejorarlo y, al mismo tiempo, mejorar nuestra propiaformación.

Pasamos ya a abordar cada una de las respuestas a las preguntas que nos hemos planteadoanteriormente.

5.1. ¿Para qué enseñar? Los objetivos

intelectualLa educación intelectual representa un determinado perfeccionamiento de las potencias cog-

noscitivas del ser humano. Sin embargo, su concepto específico es preciso y restringido. Educarel intelecto no es sólo suministrarle determinados conocimientos (informarlo), que pueden inclu-so ser inútiles o superficiales, sino también dar forma, es decir, una estructura, unas dimensiones,un orden a los conocimientos, lo que deriva en una determinada posesión, estable y profunda, delas bases de lo escible (formarlo).

La correcta asimilación de los conocimientos es lo que, con una expresión clásica, se ha de-nominado instrucción (de instruere, construir dentro).

Un ulterior aspecto de la educación intelectual es la adquisición de hábitos, es decir, capaci-dades consolidadas para adquirir una nueva ciencia, para seleccionar ideas y hechos, para elabo-rar por cuenta propia datos básicos y conceptos derivados.

Los objetivos constituyen una guía inmediata para la planificación del aprendizaje y han deformularse explícitamente.

A través de los objetivos se definen las intenciones educativas con respecto a los alumnos.

Al mismo tiempo, proporcionan criterios de valoración del proceso y de los resultados.

Los objetivos son el referente indispensable para la evaluación del grado de los diferentestipos de capacidades adquiridos por los alumnos.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 19

Dependiendo del tipo de Programación, tendremos que concretar más (de aula) o menos(didáctica) los objetivos, respectivamente. Según el grado de concreción se suele hablar de obje-tivos generales para la Programación Didáctica y de objetivos específicos o didácticos para unaProgramación de las Unidades Didácticas.

El mayor grado de concreción lo constituyen los objetivos operativos en los que se requiereexplicitar los comportamientos observables esperados, el contenido, las condiciones en que sedesarrolla el aprendizaje y el criterio de evaluación.

Numerosos autores han criticado este enfoque de los objetivos por entender que coartan la li-bertad y la creatividad haciendo que el proceso sea muy cerrado y mecanizado. Otros, en cambio,resaltan su eficacia, sobre todo cuando se trata de aprender contenidos relacionados con técnicas,habilidades, trabajos muy concretos, etcétera.

La formulación o diseño de los objetivos debe adaptarse a la realidad de los alumnos, al pro-ceso de instrucción y a los resultados que se esperan obtener.

Los objetivos se suelen redactar con el verbo en infinitivo, aunque desde nuestro punto devista este aspecto no tiene una gran trascendencia.

Ejemplos de objetivos serían los siguientes:

– Para el ámbito conceptual: comprender, entender, reflexionar, relacionar, identificar,reconocer, definir...

– Para el ámbito procedimental: aplicar, dibujar, construir, experimentar, diseñar, elabo-rar, transportar, cavar, enseñar…

– Para el ámbito actitudinal: aceptar, tolerar, responsabilizarse, apreciar, valorar, colabo-rar, cooperar...

En conclusión, los objetivos señalan las capacidades que esperamos que desarrollen los alum-nos como consecuencia del proceso de enseñanza-aprendizaje y cumplen dos funciones básicas:

– Servir de guía al proceso.

– Proporcionar criterios para su control.

5.2. ¿Qué enseñar? Los contenidosLos contenidos se pueden definir como el conjunto de saberes: hechos, conceptos, habilidades,

actitudes, en torno al cual se organizan las actividades en el lugar de enseñanza (taller, aula, etc.).

Constituyen el elemento que el profesor trabaja con los alumnos para conseguir las capacida-des expresadas en los objetivos.

Las nuevas corrientes pedagógicas suelen distinguir tres tipos de contenidos. Estos conteni-dos son de diversa naturaleza: conceptuales, procedimentales y actitudinales.

a) Contenidos conceptuales: recogen los hechos conceptuales y principios de los bloquedel contenido citado anteriormente.

b) Contenidos procedimentales: responden a la pregunta ¿cómo enseñar? Y además seña-lan procedimientos y estrategias de enseñanza como los siguientes:

– Manejo de instrumentos de medida sencillos (balanza, probeta, termómetro...) e ins-trumentos de decantación, filtración, centrifugación...



– Identificación y análisis de situaciones de la vida cotidiana en las que intervenganfenómenos y hechos estudiados por la asignatura.

– Utilización del método científico en la elaboración de hipótesis explicativas de fenó-menos estudiados.

– Análisis y comparación de modelos y elaboración de conclusiones e identificación,mediante claves y experiencias, de seres, datos, fenómenos, hechos, etc., en las ma-terias experimentales.

– Utilización de instrumentos específicos como brújula, ordenador, microscopio, lupas,mapas, tablas, textos, dibujos, figuras, etc., propios de cada materia, área o asignatura.

– Investigación de gráficas.– ….

c) Contenidos actitudinales: responden a la pregunta ¿por qué enseñar? como:– Reconocimiento de la importancia de los modelos y de su confrontación con los

hechos empíricos.– Valoración de la provisionalidad del conocimiento científico y el carácter cambiante

de la ciencia.– Toma de conciencia de la limitación de los recursos y valoración de la utilización ra-

cional de los recursos e importancia de las intervenciones humanas en la Naturaleza.– Valoración de la capacidad de la ciencia para dar respuesta a innumerables interro-

gantes humanos.– Ponderación en los juicios y valoración de las opiniones ajenas.– Solidaridad con los desfavorecidos.– Tolerancia y respeto por las diferencias individuales.– Valoración de la higiene y sus efectos en el cuidado del propio cuerpo.– Actitud responsable y crítica ante las sugerencias del consumo de drogas.– Sensibilidad hacia la realización cuidadosa de experiencias, con la elección adecua-

da de instrumentos de medida y el manejo correcto de los mismos.– ….

Por otra parte, los contenidos se deben especificar más o menos según el tipo de programación.Respecto a la secuenciación o sucesión ordenada de los contenidos, se suele hacer en relación a su

grado de dificultad o en base a la lógica interna de la materia o tipo de trabajo que se pretende enseñar.

5.3. ¿Cómo enseñar? Metodología, recursos, actividades

La metodología hace referencia a los criterios y decisiones que organizan la acción didácticay comprende diversos aspectos: papel que juega el profesor (más o menos directivo), papel de losalumnos (más o menos activos), técnicas didácticas (métodos inductivos, deductivos, de descu-brimiento, de exposición, de demostración, cooperativos, competitivos, etc.) y tipos de agrupa-miento de los alumnos (individuales o de grupo).

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 21

5.3.1.1. Principios metodológicos generalesI. Partir del nivel de desarrollo del alumno

Esto exige tener en cuenta las características del nivel evolutivo en que se encuentra el alum-no, que determinan, en gran medida, las capacidades que posee, así como sus posibilidades derazonamiento y aprendizaje, todo lo cual constituye su nivel de competencia cognitiva.

Por otra parte, es necesario tener en cuenta también los conocimientos y representaciones que elalumno ya posee y que le sirven como punto de partida e instrumento de interpretación de la nuevainformación que le llega. Es lo que se suele denominar “conocimientos previos pertinentes”.II. Asegurar la construcción de aprendizajes significativos

El proceso de enseñanza y aprendizaje puede dar lugar tanto a aprendizajes significativoscomo a aprendizajes repetitivos.

Para asegurar un aprendizaje significativo deben cumplirse una serie de condiciones. Enprimer lugar, el contenido debe ser potencialmente significativo, tanto desde el punto de vista dela estructura lógica de la disciplina o área que se esté trabajando, como desde el punto de vista dela estructura psicológica del alumno. Una segunda condición se refiere a la necesidad de que elalumno tenga una actitud favorable para aprender significativamente, es decir, que esté motivadopara conectar lo nuevo que está aprendiendo con lo que ya sabe.

La significatividad del aprendizaje está muy vinculada a su funcionalidad. El aprendizaje funcional es aquel que puede ser aplicado y generalizado a contextos y situaciones distintas deaquellas en las que se originó.III. Posibilitar que los alumnos realicen aprendizajes significativos por sí solos

Se trata de conseguir que los alumnos sean capaces de aprender a aprender. Por tanto, hay que pres-tar especial atención a la adquisición de estrategias cognitivas de planificación y regulación de la propiaactividad de aprendizaje. Todo aprendizaje significativo supone memorización comprensiva: la memo-ria no es sólo el recuerdo de lo aprendido, sino el punto de partida para realizar nuevos aprendizajes.IV. Modificar los esquemas de conocimiento que el alumno posee

La estructura cognitiva del sujeto se concibe como un conjunto de esquemas de conocimientoque recoge informaciones que pueden estar organizadas en mayor o menor grado y, por tanto, sermás o menos adecuadas a la realidad.

Durante el proceso de aprendizaje, el alumno debería recibir información que entre en algunacontradicción con los conocimientos que hasta ese momento posee, y que de ese modo rompa elequilibrio inicial de sus esquemas de conocimiento. Si la tarea que se le propone está excesiva-mente alejada de su capacidad, no conseguirá conectar con los conocimientos previos; por tanto,no supondrá ninguna modificación de sus esquemas de conocimiento. Si la tarea que se le planteaes, por el contrario, excesivamente familiar al alumno, éste la resolverá de una manera automáti-ca, sin que le suponga un nuevo aprendizaje. Esa fase inicial de desequilibrio debe ir seguida deun nuevo reequilibrio, el cual depende en gran medida de la intervención educativa, es decir, delgrado y tipo de ayuda pedagógica que el alumno reciba.V. Propiciar una intensa actividad-interactividad por parte del alumno

Esta actividad consiste en establecer relaciones ricas entre el nuevo contenido y los esquemasde conocimiento ya existentes, y se concibe como un proceso de naturaleza fundamentalmenteinterna y no simplemente manipulativa. Si después de la manipulación no se produce un procesode reflexión sobre la acción, no se está llevando a cabo una verdadera actividad intelectual.

En la educación escolar hay que distinguir entre aquello que el alumno es capaz de hacer y deaprender por sí solo y lo que es capaz de aprender con la ayuda de otras personas.



La zona que se configura entre estos dos niveles (zona de desarrollo próximo) delimita elmargen de incidencia de la acción educativa. El profesor debe intervenir en aquellas actividadesque un alumno todavía no es capaz de realizar por sí mismo, pero que puede llegar a solucionarsi recibe la ayuda pedagógica conveniente.

La intervención educativa es un proceso de interactividad profesor-alumno o alumno-alum-no. De ahí que se hable de un proceso de enseñanza y aprendizaje en el que destacan los dos polosque en él se producen.

La mejor ayuda pedagógica será aquella que se plasme en diferentes grados de intervención,según los casos. Por lo que se refiere a la interacción alumno-alumno, las actividades que favo-recen trabajos cooperativos, aquellas que provocan conflictos sociocognitivos en los que se con-frontan distintos puntos de vista, o aquellas en las que se establecen relaciones de tipo tutorial enlas que un alumno cumple la función de profesor con otro compañero, son las que han mostradorepercusiones más positivas en el proceso de enseñanza y aprendizaje.VI. El enfoque globalizador

A medida que se van sucediendo las etapas educativas la enseñanza va pasando de más glo-balizada a más disciplinar.

El enfoque globalizador presupone que debe partirse de realidades significativas para el alum-no de temas de trabajo que contemplen la complejidad y generalidad con la que en su mundo seplantean los hechos y acontecimientos, para después pasar a una reflexión de los mismos y a losconsiguientes análisis que hagan posible, a su nivel, una explicación ajustada de esa realidad.

Compartimos con Zabala (1992) la idea de que no se trata, en este caso, de elegir un modelometodológico con unas pautas totalmente definidas (como, por ejemplo, el método de la globali-zación propuesto por Declory, que, por otra parte, tiene interesantes aplicaciones), sino, más bien,de adoptar un punto de vista, un enfoque.

Los núcleos o centros en torno a los cuales se trabajen los distintos contenidos deben partir delos intereses de los alumnos (más o menos explícitos o concretos) que deben ser detectados porlos profesores mediante diferentes procedimientos.

El enfoque globalizador permite que se establezcan el mayor número de relaciones entre losconocimientos múltiples y variados que tiene el alumno y los nuevos que va a aprender. Se rela-ciona, así, el enfoque globalizador con el aprendizaje significativo. Este planteamiento dará lugara que el alumno sea capaz de atribuirle más sentido a lo que aprende y, por tanto, da más posibili-dades a que ese aprendizaje pueda ser utilizado en otros momentos (aprendizaje funcional).

Lo verdaderamente importante, más que la aplicación de métodos concretos, es que el enfo-que sea globalizador, que el aprendizaje de los contenidos no se realice de forma más o menosarbitraria, sino situándolo en función de unas necesidades de conocimiento, o de respuesta a unosproblemas más amplios que los puramente disciplinarios.

5.3.1.2. AgrupamientosEn el grupo clase se pueden dar distintos tipos de agrupamiento (Rubio, 2000) según el ta-

maño de los grupos: gran grupo, grupo medio, grupo pequeño, trabajo individual. Nosotros nosdetendremos en los tres últimos:

a) Grupo medio (grupo clase), para:– Debates, puesta en común.– Soluciones de problemas, acuerdos y desacuerdos.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 23

– Mejora de las relaciones personales.– Determinar normas.

b) Grupo pequeño (equipos de trabajo de 4/5 alumnos para desarrollo de proyectos, expe-riencias, discusión, etc.). Útil para:– Favorecer la individualización y aprendizaje significativo.– Actitudes cooperativas.– Introducir nuevos conceptos de especial dificultad.– Aclarar información que se ha dado previamente en el gran grupo.– Enriquecer al grupo con aportaciones diferenciadas.– Autonomía y responsabilidad.

c) Trabajo individual para favorecer la reflexión y la práctica sobre los diversos conteni-dos de forma personalizada:– Afianzar conceptos.– Comprobar nivel del alumno.– Detectar dificultades.– Lecturas, observación, redacción, reflexión, preparación, explicación oral a los com-

pañeros de trabajos.– Trabajo de automatismos, técnicas, etc.

Ayuso (1990), citado por Rubio (2000), establece una clasificación de los diferentes agrupa-mientos en el aula, relacionándola con su utilización y analizando las ventajas e inconvenientesde los mismos (adaptado por el autor):

a) Pequeño grupo (4-5 alumnos). Indicado para la realización de trabajos que exijan bús-queda de información, aclaración de consignas y conceptos dados previamente en grangrupo, para desarrollar actitudes cooperativas.Ventajas:– Permite el trabajo cooperativo, el intercambio de opiniones y la búsqueda de solu-

ciones conjuntas.– Forma más adecuada para entrenarles en la solución de problemas.– Aumenta el número de variables (opiniones desde diferentes puntos de vista).– Permite observar el comportamiento de los alumnos en grupo (inhibición, pasotis-

mo, liderazgo...).– Los alumnos adaptan el tiempo a su propio ritmo.– Permite detectar necesidades individuales.Inconvenientes:– Requiere planificación cuidada de las tareas a realizar.– Dificultad para evaluar lo realizado y aprendido por cada alumno.– Puede haber alumnos que no participen.– Se diluyen los éxitos individuales en los resultados grupales.



– No aconsejable para tareas de alta concentración del alumno.– Requiere una cierta madurez para aprender interactuando.

b) Trabajo individual. Permite mayor grado de individuación adecuándose al ritmo y posi-bilidades de cada uno, proporcionándole todo tipo de ayuda y estructurando la situación.Ventajas:– Es la forma más adecuada, a veces la única, de enseñar a algunos alumnos determi-

nadas habilidades.– Se puede adaptar la intervención a las necesidades concretas, ofreciéndole ayudas

específicas según las dificultades.– Permite altos índices de sistematización y estructuración de las tareas y situaciones,

así como centrar al alumno en aspectos concretos.– Permite conocer y evaluar al alumno con profundidad.Inconvenientes:– Requiere tiempo por parte del profesor (planificación de tareas, preparación de ma-

teriales individuales, intervención).– Requiere una determinada organización de los elementos personales, materiales y

del aula.– No permite enseñar y aprender determinadas habilidades sociales.– Limita el uso del lenguaje funcional como elemento de comunicación espontánea.

5.3.1.3. El esfuerzo y la responsabilidad en el trabajoLa Ley Orgánica de la Calidad de la Educación de 23 de diciembre de 2002, parcialmente

derogada, subraya la importancia del esfuerzo (cultura del esfuerzo) y la responsabilidad para laconsecución de los aprendizajes. En diversos apartados de la citada Ley aparecen el esfuerzo y laresponsabilidad como aspectos relevantes.

Por otra parte, la Ley Orgánica 2/2006, de Educación (LOE), abunda en este criterio estable-ciendo en el artículo 1. Principios:

El sistema educativo español, configurado de acuerdo con los valores de la Consti-tución y asentado en el respeto a los derechos y libertades reconocidos en ella, se inspira en los siguientes principios:

...g) El esfuerzo individual y la motivación del alumnado.h) El esfuerzo compartido por alumnado, familias, profesores y centros...

En el artículo 23. Objetivos (ESO), destaca:a) Asumir responsablemente sus deberes...b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en

equipo como condición necesaria para la realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

5.3.2. RecursosEstán constituidos por diversos materiales y equipos que ayudarán al profesor a presentar y

desarrollar los contenidos, y a los alumnos a adquirir los conocimientos y destrezas necesarias.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 25

Es muy importante a la hora de programar decidir con qué recursos vamos a contar, si estándisponibles, si hay que adquirirlos o construirlos, etc.

En cualquier caso, los recursos nunca son un fin en sí mismos sino un medio para alcanzarlos objetivos.

Los recursos materiales constituyen un elemento muy importante en la metodología y prác-tica educativa. De su selección y buen uso depende, en gran medida, el éxito en el cumplimientode los objetivos.

La selección de los recursos materiales debe responder a criterios que tengan en cuenta el contextoeducativo, las características de los alumnos y sobre todo que se utilicen con esos fines e intenciones.

Siguiendo a Dale, el material didáctico se pude clasificar en cuatro grandes grupos:

a) Poco simbólicos. Son de participación directa del alumno y pueden ser de actividades de tipo directo (utilizando objetos y material “real”) y de actividades reconstruidas (mode-los o maquetas).

b) De observación directa. Como en las demostraciones del profesor o en las excursionesy visitas fuera del aula.

c) Audiovisuales. Implican un mayor grado de codificación: diapositivas, películas, ví-deos, murales, láminas, programas informáticos, etc.

d) Simbólicos. Como los libros (de texto o de consulta), representaciones gráficas, ecuacio-nes, diagramas, etc.

Como se puede comprobar, la clasificación de Dale va desde lo más concreto a lo más abs-tracto o general. Esta gradación se puede aplicar a un mismo tema o unidad, e incluso, si se utilizaun medio inductivo, por ese mismo orden.

5.3.2.1. ModelosLos contenidos abstractos del currículo deben ser relacionados, en lo posible, con la realidad

concreta para obtener el mejor éxito docente. Para ello, y para no caer en el excesivo formalismoy simbolismo, es necesario que se aplique la metodología de modelos.

Se puede hablar de modelos analógicos cuando se pretende alcanzar un razonamiento poranalogía. Muchos filósofos y científicos, para explicar sus teorías, recurren al símil analógico.Por ejemplo, se suelen interpretar fenómenos y procesos de orden psicobiológico utilizando ana-logías con redes o circuitos eléctricos.

Esta metodología es de máximo interés en alumnos de Primaria y primer ciclo de Secundaria,con menor capacidad de abstracción.

Algunas analogías se plasman en modelos analógicos, que se fabrican y distribuyen, comocircuitos de agua para explicar la ley de Ohm, modelos espaciales que simulan enlaces químicoso redes cristalinas, etc.

Por otra parte, los modelos a escala representan mayor fidelidad a los entes reales y no “porcomparación”, como los analógicos, con ampliación o reducción de las dimensiones naturales(maquetas, planetarios, seres naturales clásticos o desmontables, modelos de fábricas, etc.).

En todos los casos hay que reflexionar sobre el alcance de la identificación entre el modeloy el hecho real. Hay que tener en cuenta, y el alumno debe ser muy consciente de ello, que losmodelos tienen solamente carácter representativo, evitando caer en el error de la identificaciónabsoluta modelo-hecho real.



5.3.2.2. Material audiovisualEs cada vez más completa la oferta de este tipo de material docente. La aparición de las nue-

vas tecnologías ha supuesto un cambio en las teorías clásicas de la comunicación y permiten alusuario ser emisor y receptor de mensajes:

MATERIALES AUDIOVISUALES

Aparatos de registro y/o reproducción de

imágenes

Aparatos de registro y/o reproducción de imágenes y sonido

Medios de comunicación

de masas

Aparatos de registro y/o reproducción de

sonidos

– Cámara fotográfica.– Fotocopiadora.– Proyector de diaposi-

tivas.– Retroproyector.– Proyector de opacos.

Equipos de vídeo:– Magnetoscopio.– Televisor/monitor.– Cámara.– Auxiliares (mesas de

edición, efectos, etc.).

– Radio.– Televisión.

– Sintonizador de radio.– Magnetófonos.– Radiocasetes.– Reproductor de CD.– Reproductor de DVD.

5.3.2.3. Material informáticoEs el máximo exponente de las nuevas tecnologías. Estos recursos se dividen en Hardware

y Software. El Hardware es el conjunto de soportes físicos que componen el ordenador y susdispositivos. El Software es el conjunto de programas que contienen la información y con los quepueden realizarse distintas utilidades.

En resumen, los recursos informáticos se representan en el siguiente esquema:

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 27

Criterios para el análisis y selección de los materiales didácticos

Todos los recursos materiales propuestos son importantes para el desarrollo del currículo.El análisis del material didáctico puede comenzar con la observación de sus características y laexploración de sus posibilidades de utilización. Es necesario distinguir los materiales didácticoscomo medios, herramientas o tecnologías de los contenidos que se transmiten a través de ellos.

En este sentido, en la informática es clara la distinción entre Hardware y Software. En elprimero, nuestro análisis se dirige a tratar de comprender su funcionamiento y reflexionar sobrecómo y cuándo puede sacársele el mejor partido. Sin embargo, respecto al segundo, tenemos queentrar a valorar los contenidos concretos de diferentes programas, comparando sus cualidadesdidácticas, para seleccionar aquéllos que mejor se adapten a nuestra programación.

Lo mismo ocurre con los medios audiovisuales. Por ejemplo, las cámaras, proyectores, mag-netoscopio, televisor, etc., son materiales didácticos de indudable utilidad, por lo que la preocupa-ción del profesorado respecto a ellos se deberá centrar en mejorar su capacitación para utilizarlos.Pero los materiales de paso: diapositivas, cintas, transparencias, etc., soportan la información quese transmite a través de estos aparatos, por lo que habrá que analizar y valorar sus contenidos.

La selección de recursos del entorno e instrumentales estará en función de su utilidad concre-ta para las distintas unidades didácticas de la Programación.

Los criterios para el análisis y selección del material didáctico pueden ser: de carácter prác-tico, basados en las cualidades del propio recurso, pedagógicos y psicológicos.

– Criterios prácticos. Se refieren a la facilidad para conseguir y disponer temporalmentede un determinado recurso. Aunque éste sea considerado de gran utilidad para desarrollaralguna actividad de aprendizaje, el profesor tendrá que considerar si le es posible con-seguirlo, en qué condiciones y durante cuánto tiempo va a poder disfrutar de su uso, sisabe manejarlo o necesita formación para ello, etc. Después podrá decidir si incluye eserecurso en su Programación o busca otra alternativa.

La durabilidad y la polivalencia son características valiosas del material. Algunos tienenuna única forma de utilización y su interés se agota rápidamente. Sin embargo, otros sonmás abiertos a la creatividad, ya que pueden usarse de varias formas, sirven para desarrollarmuchos contenidos o incluso permiten al profesor descubrir nuevas formas de aplicación.

Cualidades propias del material didáctico. Pueden ser materiales, formales o de contenidos:

* Cualidades materiales: se refieren a las cualidades técnicas, el tamaño y la resistencia.

* Cualidades formales: como la presentación, el diseño, las ilustraciones, etc., que in-fluyen en la capacidad para atraer la atención y motivar el interés hacia su utilización.

* Cualidades de contenidos: abarcan la precisión y la validez de los conceptos quetransmite el recurso, la claridad con que los expone y la coherencia o lógica internade la estructura y secuencialidad del material.

– Criterios pedagógicos. En el análisis del material hay que considerar una serie de crite-rios de carácter pedagógico que tienen la finalidad de valorar la relación existente entrecualidades propias del material y su utilidad educativa. En concreto habrá que respondera las siguientes preguntas.

* ¿Los objetivos que subyacen en el material se corresponden con alguno de los obje-tivos que perseguimos?

* ¿Los contenidos que presenta el material se corresponden con los contenidos quepretendemos trabajar?



* Las actividades que se proponen en el material o se pueden realizar con él, ¿son adecuadasa los contenidos? ¿Cumplen las condiciones necesarias para que se produzcan aprendiza-jes significativos? ¿Están secuenciadas con una progresión y continuidad adecuada?

* ¿Es compatible con la metodología que queremos aplicar en el aula?

* ¿Es adecuado para el contexto concreto de nuestro centro?

– Criterios psicológicos. Al valorar el material didáctico, lógicamente se habrá de tenertambién en cuenta al alumnado. En este sentido, podemos analizar la capacidad de éstepara conectar con los intereses de los alumnos y la adecuación a sus capacidades cogni-tivas según el nivel evolutivo propio de la edad. La conexión del material didáctico conlos intereses de los alumnos depende de:

* La capacidad motivadora de los contenidos que transmite y las actividades que propone.

* La posibilidad de realizar aprendizajes funcionales con él.

* La capacidad del medio empleado para atraer y mantener la atención.

* La posibilidad de que el alumno interactúe con el material utilizado.

5.3.2.4. Recursos impresos– Libros de texto

En los últimos años, y sobre todo a partir de la implantación de la LOGSE, el conceptotradicional de libro de texto ha sufrido un rotundo cambio, paralelo al que ha soportadola metodología didáctica, en general.

En efecto, en los libros de texto actuales se reducen sensiblemente los contenidos, pasan-do de manuales extensos y descriptivos a ser concisos y concretos. Los distintos proyectoscontemplan unos pocos esquemas conceptuales sobre los que se articula. Se trata de queel alumno sea un sujeto activo en el aprendizaje al enfrentarse no a un sinfín de conceptossino a reflexiones, relaciones, problemas y cuestiones de naturaleza discursiva.

En algunos países se han suprimido los libros de texto en su sentido estricto y han sidosustituidos por unas unidades didácticas en las que se incluyen dilemas a los que hay queencontrar respuesta adecuada a través de diversas fuentes (experiencias, bibliografía deaula, revistas, etc.).

Existe una relación inversa respecto a la importancia del libro del profesor respecto al detexto del alumno, por lo que, últimamente, el libro del profesor es imprescindible parapoder guiar al docente en la potenciación de la acción personal del alumno.

En este contexto se hace necesario hacer una profunda reflexión antes de decidir qué libro detexto se va a adoptar. Owen considera que hay que tener en cuenta los siguientes criterios:

1. Análisis de los puntos de vista del autor, reflejados en el prólogo y en diferentes lugares.

2. Adaptabilidad de los contenidos a los objetivos de curso previstos.

3. Valor como instrumento de enseñanza-aprendizaje.

4. Grado en que el libro incorpora elementos de pensamiento crítico.

5. Análisis epistemológico de las leyes, teoremas, generalizaciones y modelos presentados.Ver si el libro ofrece argumentos experimentales, inductivo-deductivos e históricos queavalen y den sentido a todas sus estructuras conceptuales.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 29

6. Grado de interés del libro para los estudiantes (analizar las reacciones de los alum-nos ante su utilización).

7. Fluidez de expresión y sencillez de lectura (analizar las dificultades de comprensióndel texto por parte de los alumnos).

8. Valor de las ilustraciones como elementos de refuerzo de aprendizaje.9. Grado de actualidad de las materias y los temas incluidos.10. Modos de tratar los temas más difíciles o controvertidos. Es en estos temas donde

mejor se pone de manifiesto la habilidad didáctica del autor o autores del libro.– Otro material impreso

* Materiales curriculares. El currículo oficial del Ministerio, los desarrollos curricu-lares de las Comunidades Autónomas, el proyecto educativo del centro, la Progra-mación del departamento...

* Libros de consulta. También pueden ser considerados materiales curriculares. Labibliografía necesaria puede incluir libros y artículos referidos a didáctica general,didáctica específica del área, fuentes epistemológicas (teorías científicas, historiade la ciencia, coleccionismo, divulgación, etc.), o fuentes psicológicas (teorías deaprendizaje, psicología de la percepción, creatividad, etc.).

* Esquemas. Los mapas conceptuales son gráficos que organizan, relacionan y jerar-quizan conceptos. Muchas veces serán realizados por los alumnos como estrategiade aprendizaje y servirán al profesor para detectar las ideas previas sobre un de-terminado tema. También pueden ser utilizados por el profesor como apoyo a susexplicaciones sobre contenidos conceptuales.

* Fichas de trabajo. Algunas son instrumentos que sirven para el aprendizaje de losalumnos. Constan de una serie de preguntas que los alumnos tendrán que contestarde forma escrita o gráfica. Pueden ser:a) Fichas de observación o registro de datos.b) Fichas de análisis o elaboración, con informaciones de las que hay que extraer

conclusiones.c) Encuestas o entrevistas dirigidas a detectar hábitos o actitudes previas en torno

a un tema.d) Fichas de evaluación inicial y final para detectar las ideas previas y los aprendi-

zajes conseguidos.e) Otras: de prácticas, de visitas, etc.

* Guías (de campo, de visitas, catálogos de museos, etc.). Especialmente útiles enCiencias de la Naturaleza y Geografía e Historia.

* Periódicos y revistas tanto para consulta de profesores como de alumnos. Los tra-bajos de divulgación científica de algunos periódicos pueden servir como origen detrabajos grupales de investigación.

5.3.3. ActividadesSon la manera activa y ordenada de llevar a cabo las experiencias de aprendizaje.

El desarrollo de las actividades de manera adecuada es un elemento esencial para la consecu-ción de los objetivos y la asimilación de los contenidos.



Las actividades recogerán contenidos de los diversos tipos y regularán las acciones, compor-tamientos y relaciones entre el profesor y los alumnos y las de éstos entre sí, en el desarrollo delproceso de enseñanza-aprendizaje.

En las actividades estarán contenidos explícita o implícitamente: el espacio, los recursos, laspersonas que participan, el tipo de agrupamiento, el tipo de tarea...

A la hora de estructurar las actividades debemos tener en cuenta una serie de criterios:

– De lo conocido a lo desconocido.

– De los fácil a lo difícil.

– De lo concreto a lo abstracto.

– De lo particular a lo general.

Como criterios para seleccionarlas y diseñarlas señalamos los siguientes:

– Su articulación con los contenidos, objetivos y metodología.

– Que sean motivadoras.

– Que sean variadas.

– Que se utilicen recursos y métodos variados.

– La previsión del tiempo para su realización.

En relación con la secuenciación de las actividades se suelen determinar diversos tipos que,en líneas generales, suelen seguir el siguiente orden:

– De introducción: sirven para averiguar las ideas previas y para la motivación.

– De desarrollo: el alumno se pone en contacto con los contenidos, con las tareas, etc.

– De consolidación: sirven para afianzar y aplicar los aprendizajes asimilados.

– De refuerzo: para aquellos alumnos con dificultades, para los que no han asimilado su-ficientemente los contenidos, etc.

– De ampliación.

– De evaluación.

5.3.4. Atención a la diversidadEs evidente que los alumnos son diferentes y que estas diferencias se refieren a diversos fac-

tores: capacidades, motivaciones, intereses, situación social, etc., por lo tanto, el profesor deberáatender estas diferencias y ajustar a ellas su intervención educativa. Entre esas diferencias unaparte de los alumnos pueden tener necesidades educativas específicas.

Los alumnos que tienen necesidades educativas específicas son aquéllos que o tienen másdificultades que sus compañeros para acceder al aprendizaje determinado en los currículos co-rrespondientes a su edad, o los que tienen condiciones personales de sobredotación intelectual ocon altas habilidades.

En el artículo 36.3 de la LOGSE se propugna que:La atención al alumnado con necesidades educativas especiales se regirá por los

principios de normalización y de integración escolar.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 31

Y en el 37.2 que:La atención a los alumnos con necesidades educativas especiales se iniciará desde

el momento de su detección. A tal fin, existirán los servicios educativos precisos para estimular y favorecer el mejor desarrollo de estos alumnos y las Administraciones Edu-cativas competentes garantizarán su escolarización.

Las propuestas para la escolarización de estos alumnos, así como la identificación de losque requieran apoyos y medios complementarios a lo largo de su proceso educativo, se efectúanpor parte de la Administración educativa competente, fundamentadas en una evaluación psico-pedagógica que tiene en cuenta tanto las condiciones y características del alumno como las de suentorno familiar y escolar.

En el artículo 27.1. de la LOE se establecen las condiciones de acceso a los programas dediversificación curricular.

5.3.4.1. Ámbitos de diversidadSon fundamentalmente:

– Capacidad para aprender. No es sinónimo de “capacidad intelectual”, como algo ge-nético e independiente de los contenidos y procedimientos, sino que más bien se necesitaun reajuste de la ayuda pedagógica por parte del profesor.

– Motivaciones. Aprender es un proceso complejo que condiciona la capacidad de apren-der de los alumnos. Es necesario que los contenidos que se ofrezcan a los alumnos po-sean significado lógico y sean funcionales para ellos.

– Estilos de aprendizaje. Es preciso saber si el alumno, en función de su forma de apren-der, es:

* Reflexivo o impulsivo: según medite más o menos las respuestas.

* o analítico: según la dirección del razonamiento.

Es asimismo necesario conocer:

a) La modalidad sensorial preferente, es decir, que sus conocimientos sean percibidosprincipalmente auditiva o visualmente.

b) El nivel de atención en la tarea según el tiempo que sean capaces de mantenerse atentosen el trabajo, dedicarle mucho tiempo ininterrumpido o necesitar frecuentes descansos.

c) Tipo de refuerzo más adecuado. Unos continuamente, otros nunca, otros intermiten-temente, con posibilidades de agrupamientos para el refuerzo, según los casos.

– Intereses interrelacionados entre sí. Se diversifican en estas edades y conectan con elfuturo académico o laboral.

Los cuatro ámbitos establecidos deparan diferencias acusadas en el alumnado. En consecuen-cia, el profesor debe ajustar la ayuda pedagógica a las diferentes necesidades de los alumnos yfacilitar recursos o estrategias variadas que permitan dar respuesta a la diversidad que presentael alumnado de estas edades.

Los mecanismos o vías del tratamiento a la diversidad son varios y no excluyentes:

– La naturaleza del currículo.

– Vías específicas, que se tratan en los siguientes apartados.



5.3.4.2. El currículo y la atención a la diversidadEl hecho de que el planteamiento curricular sea abierto y flexible, proporciona un instrumen-

to esencial para el tratamiento de la diversidad.El currículo prescribe las intenciones educativas, definidas en términos de objetivos generales

de área, de grandes núcleos de contenidos y de criterios de evaluación para cada una de ellas, cuyoacceso debe garantizarse a todos los alumnos. Estas prescripciones deben materializarse en las pro-gramaciones.

Las programaciones deben prever adaptaciones específicamente dirigidas a determinados gru-pos de alumnos con características especiales. Es atender a la diversidad de forma anticipada.

La mejor manera de atender a la diversidad será elaborar proyectos y programaciones quefavorezcan aquellos cambios habituales que el profesorado introduce en su enseñanza para darrespuesta a las diferencias individuales en estilos de aprendizaje, motivaciones, intereses o difi-cultades transitorias de aprendizaje.

Esto exige asumir las diferencias en el interior del grupo, así como la realización de unaevaluación inicial individualizada.

Lo que caracteriza a estos ajustes es que:– Las medidas tienen carácter ordinario.– No afectan a los componentes prescriptivos del currículo.

5.3.4.3. Metodologías diversasEl mejor método de enseñanza para alumnos con unas determinadas características puede no

serlo para alumnos con características diferentes, y a la inversa. En este sentido, los métodos deenseñanza no son mejores o peores en términos absolutos, sino en función de que el tipo de ayudaque ofrecen responda a las necesidades que en cada momento demandan los alumnos.

Las adaptaciones en metodología didáctica son un recurso que se puede introducir en lasformas de enfocar o presentar determinados contenidos o actividades como consecuencia de losdistintos grados de conocimientos previos detectados en los alumnos, o ante la existencia dediferentes grados de autonomía y responsabilidad entre los alumnos, o por la identificación dedificultades en procesos anteriores con determinados alumnos, etc.

Estas modificaciones no deberán producirse sólo como respuesta a la identificación de difi-cultades sino como prevención de las mismas.

En cualquier caso, no son aconsejables metodologías basadas en la homogeneización y en elalumno medio, que prevén unas actividades y unos recursos materiales uniformes cualesquieraque sean los contenidos de que se trate, el nivel de partida de los alumnos, estilos de aprendizaje,etc.; tampoco lo son aquellas cuyas características hacen inviable la intervención activa del alum-no y la observación efectiva de esa intervención por parte del profesor.

5.3.4.4. Propuestas de actividades diferenciadasAdaptar las actividades a las motivaciones y necesidades de los alumnos constituye otro

recurso importante de atención a la diversidad.Las actividades educativas que se planifiquen se han de hacer de tal forma que ni sean dema-

siado fáciles y, por consiguiente, poco motivadoras para algunos alumnos, ni que estén tan aleja-das de lo que pueden realizar que les resulten igualmente desmotivadoras, además de contribuira crear una sensación de frustración nada favorable para el aprendizaje.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 33

Si se trata de alumnos que manifiestan alguna dificultad para trabajar determinados conte-nidos, se debe ajustar el grado de complejidad de la actividad y los requerimientos de la tarea, asus posibilidades.

Han de prepararse también actividades referidas a los contenidos considerados complemen-tarios o de ampliación con la perspectiva de aquellos alumnos que pueden avanzar más rápida-mente o que lo hacen con menos necesidad de ayuda y que, en cualquiera de los casos, puedenprofundizar en contenidos a través de un trabajo más autónomo.

La adaptación de actividades, en cualquier caso, supone un ambiente de trabajo que favorez-ca la autonomía y el trabajo en grupo, de tal forma que permita al profesor una mayor disponibi-lidad para ir ajustando las actividades que en cada caso se requieren.

Si este clima se produce, es posible disponer del tiempo necesario, en primer lugar, para iden-tificar los alumnos que necesitan ayuda y, en segundo lugar, para proporcionar el tipo de ayudamás conveniente en cada caso.

5.3.4.5. Materiales didácticos no homogéneosLa selección y uso de los materiales, especialmente los libros de texto, debe respetar un prin-

cipio básico que es considerar que la calidad de la enseñanza pasa por atender de manera diversi-ficada a los alumnos, ajustando la ayuda pedagógica a la variedad de necesidades educativas.

Por tanto, los materiales deben ofrecer una amplia gama de actividades didácticas que res-pondan a los distintos grados de aprendizaje, bien estableciendo en cada unidad didáctica los di-ferentes grupos de actividades, bien presentando todas ellas ordenadas secuencialmente, a modode banco de actividades graduadas, de las que el profesor, o en algunos casos el alumno, puedeelegir directamente las más adecuadas.

El modelo de “banco de actividades graduadas” permite ofrecer un conjunto de actividades quecubran de manera pormenorizada todos los pasos del proceso, lo que resulta muy aconsejable paratrabajar con alumnos con problemas de aprendizaje que necesitan desmenuzar los contenidos y tra-bajar uno mismo de distintas maneras. A su vez, esto no supone un inconveniente para los alumnoscon un ritmo de aprendizaje superior a la media, siempre que exista la posibilidad de recorridos másrápidos que permitan a estos alumnos ir saltando a través de las actividades más significativas.

5.3.4.6. Agrupamientos flexibles y ritmos distintosLa organización de grupos de trabajo flexibles en el seno del grupo básico permite que los

alumnos puedan situarse en diferentes tareas, proponer actividades de refuerzo o profundizaciónsegún las necesidades de cada grupo, adaptar el ritmo de introducción de nuevos contenidos, etc.

Este tipo de adaptaciones requiere de una reflexión sobre cuáles son los aprendizajes básicose imprescindibles para seguir progresando, la incorporación de una evaluación que detecte lasnecesidades de cada grupo, así como el uso de materiales didácticos específicamente preparadospara las finalidades que se pretenden.

En determinadas ocasiones, cuando las dificultades de aprendizaje son más generalizadas yprofundas, será preciso recurrir a otros mecanismos.

La salida del grupo clase de referencia para actividades de refuerzo en grupos pequeños, enaquellos procedimientos y métodos de trabajo que pueden estar en la base de sus dificultades,puede resultar una estrategia adecuada.



Al subdividir el gran grupo de alumnos en grupos homogéneos, resulta más sencillo ajustarla ayuda pedagógica a sus necesidades específicas. Los grupos homogéneos deben contemplarsede manera flexible para el aprendizaje de los contenidos que lo exigieran y, por tanto, durante unaparte del horario, con una evaluación clara que lo justifique y con un material didáctico especialy adaptado a los objetivos que se pretenden.

Asimismo, las agrupaciones deben revisarse con flexibilidad, de modo que los alumnos sólose mantengan en los grupos el tiempo necesario para atender sus necesidades.

5.3.4.7. Medidas especiales de atención a la diversidad. Las adaptacionescurriculares

Ya se ha dicho que la mejor manera de atender a la diversidad es prevenir con una buenaprogramación que favorezca la individualización de la enseñanza. No obstante, a pesar de ello,seguirán apareciendo dificultades de aprendizaje en los alumnos, aunque éstas sean menos fuertesy numerosas.

Las dificultades pueden analizarse como un continuo, en uno de cuyos polos estarían losalumnos que colman sus necesidades con el “currículo y atención a la diversidad” ya mencionadoy en el otro los que necesitan que se incorporen medidas extraordinarias.

En paralelo al continuo anterior aparece el continuo de la significatividad o alcance de lasadaptaciones que es necesario hacer en cada caso, es decir, a mayor dificultad, mayor nivel deadaptación curricular, o mejor dicho, mayor necesidad de medidas extraordinarias.

Se entiende por Adaptación Curricular al conjunto de modificaciones realizadas en uno o variosde los componentes del currículo y/o en los elementos de acceso al mismo, para un alumno concreto.

1. Las adaptaciones curriculares individualizadas pueden tener distintos grados de signifi-cación, desarrollándose, de este modo, a lo largo de un continuo que oscila desde lo pocosignificativo a lo muy significativo.

2. Son adaptaciones poco significativas aquellas modificaciones en los elementos de acce-so al currículo que permitirán al alumno o alumna desarrollar las capacidades enunciadasen los objetivos generales de etapa, tales como organización de los recursos humanos,distribución de espacios, disposición del aula, equipamiento y recursos didácticos, ho-rario y agrupamiento de alumnos, empleo de programas de medición (enriquecimientocognitivo, lingüístico, habilidades sociales...) o métodos de comunicación alternativas(Bliss, Braille, Cueed Speech, Bimodal...).

3. Serán consideradas como más significativas las adaptaciones que afectan a los elementosbásicos del currículo objetivos educativos, metodología, contenidos y evaluación.

Las adaptaciones curriculares tienen como funciones básicas las siguientes:

– Concretar la respuesta educativa que se le dará al alumno, indicando el proceso educati-vo a seguir.

– Responder desde la programación de ciclo/aula a las necesidades educativas de los alumnos.

– Especificar la intervención coordinada con cada alumno concreto de los servicios educa-tivos internos y externos.

– La evaluación del alumno se realiza en referencia a la ACI y a los criterios de evaluaciónen ella contenidos.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 35

5.3.4.8. Grupos de diversificaciónLos alumnos de ESO, mayores de 16 años y menores de 18 que, previa evaluación psico-

pedagógica, el equipo docente considere que sólo pueden obtener las capacidades generales deesta etapa mediante programas específicos, pueden acogerse a programas de DiversificaciónCurricular.

Los centros docentes que impartan estos programas han de tener en cuenta que:

– El alumno de 16 años, según lo estime el equipo docente, podrá seguir programas de unoo dos años de duración y el de 17 años sólo podrá seguir programas de un año.

– Se dedicará, al menos, 18 horas al conjunto de los ámbitos lingüístico-social y científico-tecnológico, en los que se incluirán las áreas que el centro determine. El resto de las áreasse cursarán bien en grupos ordinarios, bien en grupos específicos.

– Cada ámbito será impartido por un solo profesor.

Por su parte, el alumno destinatario de estos programas de diversificación curricular debecumplir los siguientes requisitos:

– Tener cumplidos 16 años y menos de 18 a 31 de diciembre del curso que se inicia.

– Haber sido propuesto por el equipo docente del grupo tras el informe de la evaluaciónpsicopedagógica.

– Estar informados los padres o representantes legales.

La programación de las áreas de los grupos de diversificación corresponde a los departamen-tos que incluyen respectivamente.

5.3.4.9. Necesidades educativas especiales en la LOCELa Ley Orgánica de la Calidad de la Educación de 23 de diciembre de 2002, parcialmente

derogada, mantiene que los alumnos con necesidades “específicas” se deben diferenciar en tresgrupos: los alumnos con necesidades educativas especiales, los alumnos extranjeros con difi-cultad de aprendizaje a consecuencia del idioma y de sus conocimientos previos, y los alumnossuperdotados.

5.3.5. Educación en valoresLa Ley Orgánica de Ordenación del Sistema Educativo (LOGSE) de 3 de octubre de 1990,

dice en su Preámbulo:...En la educación se transmiten y ejercitan los valores que hacen posible la vida en

sociedad, singularmente el respeto a todos los derechos y libertades fundamentales, se adquieren los hábitos de convivencia democrática y de respeto mutuo, se prepara para la participación responsable en las distintas actividades e instancias sociales. La madurez de las sociedades se deriva, en muy buena medida, de su capacidad para integrar, a partir de la educación y con el concurso de la misma, las dimensiones individual y comunitaria...

Diversas normas legales posteriores de la aplicación de los principios de la ley, desarrollaronla manera de introducir en el currículo la educación en valores.



El fin último de la educación es el desarrollo integral del alumnado. Esto supone atender nosólo a las capacidades cognitivas o intelectuales de los alumnos sino también a sus capacidadesafectivas, motrices, de relación interpersonal y de inserción y actuación social.

Extraemos algunos párrafos de la Resolución de 7 de septiembre de 1994, de la Secretaría deEstado de Educación, por la que se dan orientaciones para el desarrollo de la educación en valoresen las actividades educativas de los centros docentes:

El sistema educativo tiene entre sus finalidades proporcionar a los niños y jóvenes una formación que favorezca todos los aspectos de su desarrollo, y que no puede consi-derarse completa y de calidad si no incluye la conformación de un conjunto de valores que no siempre se adquieren de manera espontánea [...]. La evolución reciente de los problemas básicos de convivencia ha ido generando la necesidad de que los ciudada-nos adopten principios y desarrollen hábitos en ámbitos, hasta hace poco, ajenos a los contenidos escolares [...] se ha ido delimitando un conjunto de temas que recogen los contenidos educativos relacionados con cada uno de estos ámbitos [...]. Estos temas son llamados transversales.

En la Ley de Ordenación General del Sistema Educativo (LOGSE) se contemplan los as-pectos considerados fundamentales para su tratamiento educativo en las aulas de los centrosescolares. Estos principios, junto con los fines enunciados en la LOGSE, conforman un modelopedagógico que fundamenta los diversos desarrollos curriculares de las distintas etapas y niveles.De entre los fines y principios se pueden extraer los siguientes:

– Fines:

* La formación en el respeto de los derechos y libertades fundamentales y en el ejerci-cio de la tolerancia y libertad dentro de los principios democráticos de convivencia.

* La formación para la paz, la cooperación y la solidaridad entre los pueblos.

– Principios:

* La formación personalizada, que propicie la educación integral en conocimientos,destrezas y valores morales de los alumnos en todos los ámbitos de la vida, personal,familiar, social y profesional.

* La efectiva igualdad de derechos entre sexos, el rechazo a todo tipo de discrimina-ción y el respeto a todas las culturas.

* El desarrollo de las capacidades creativas y el espíritu crítico.

* La formación en el respeto y defensa del medio ambiente.

La educación en valores ha contado en los currículos escolares con un reducido espacio parasu tratamiento, a veces como actuación aislada en las conmemoraciones (día de la paz, del ár-bol...), y también como lección ocasional, o en el propio currículo oculto, en el que cada profesorrealiza tratamientos no programados, pero sí concretos en el aula.

La ausencia de la educación en valores en el currículo provocaba una situación de escasaatención a la formación integral, en una sociedad en la que predominan los contravalores en elambiente. Son de fuerte arraigo social: el desprecio de los demás, el triunfo personal y social porencima, incluso, de comportamientos poco éticos, el consumismo desmedido, la falta de respetoal medio, las actitudes insolidarias y racistas, etc.

De ahí la imperiosa necesidad de incluir en el currículo de forma prescriptiva el contrapeso dela educación en actitudes tolerantes, solidarias, de igualdad de oportunidades, de igualdad de sexos,de hábitos saludables, de consumo racional, de preocupación por el mantenimiento del medio, etc.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 37

La formación ético-moral junto con la formación científica debe posibilitar la formación inte-gral del alumnado.

Si bien es cierto que la educación en valores, implantada por la LOGSE y las disposicioneslegales derivadas de la misma, significan un gran paso en la educación integral del alumnado,no lo es menos que la LOCE da un salto cualitativo importante, recordando que son valores fun-damentales algunos olvidados por la normativa anterior: el valor del trabajo, del esfuerzo, de ladisciplina, el respeto, obediencia al profesor, etc. Cuestiones éstas no rechazadas ni eliminadaspor la posterior LOE.

5.3.5.1. Promoción de la lecturaEn una sociedad inmersa en el desarrollo de las nuevas tecnologías y en la que, cada día que

pasa, es más sencillo mirar que leer o pensar, se hace necesario un decidido apoyo a todas lasiniciativas encaminadas a incentivar el hábito de la lectura. Es primordial el desarrollo de hábitoslectores en las primeras edades, para lo que la Literatura Infantil es un instrumento de incuestio-nable valor, al que no siempre se le presta la necesaria atención. Esto no obsta para seguir incen-tivando la lectura en los adolescentes.

El interés cultural y formativo que tiene la lectura lo corrobora la propia historia de la huma-nidad: desde la revolución que supuso la invención de la imprenta a mediados del siglo XV, loslibros y sus diferentes lecturas han hecho posible una nueva comunicación de ideas, emociones,sentimientos, experiencias y aventuras entre los hombres, sea cual sea su cultura, su lengua, sureligión, su pensamiento o la época en que viven o han vivido.

5.3.5.2. Utilización de las tecnologías de la información y comunicación (TIC)La promoción de la lectura, en gran medida motivada por la invasión de los medios audiovi-

suales que han relegado a ésta a un segundo plano, si no a su desaparición en muchos hogares, noobsta para aprovechar al máximo los beneficios que pueden reportar las nuevas tecnologías de lainformación y la comunicación.

Si ya es importante que en las etapas de infantil y primaria la introducción de las TIC consti-tuya un cometido importante (por lo que supone como preparación para los alumnos de cara a lanormalización, desde la escuela, de lo que en el contexto más inmediato, familiar y social, ya loes) en la etapa de secundaria es absolutamente necesaria.

En los decretos de currículo que parten de la LOGSE se contempla la necesidad de educar alalumno en el uso de los medios de comunicación. Es a esta educación audiovisual o educación paralos medios y las nuevas tecnologías de la información y comunicación a lo que algunos autoreshan denominado “educación multimedia”. Tres parcelas son las que justifican su ubicación en elcurrículo: si se incluye como parte de otras materias, como transversal o como asignatura inde-pendiente. Todavía se podría añadir otra parcela: el uso de las tecnologías como recurso que puedefacilitar el acceso a la información, favorecer la comunicación, estimular la paulatina participaciónen el proceso de formación y colaborar en el logro de mayores cotas de orientación profesional.

En realidad, las aulas siguen centradas casi exclusivamente en el lenguaje verbal mientrasque en la información proporcionada por los medios de comunicación predomina claramente ellenguaje de la imagen visual y sonora. Los currículos derivados de la LOGSE incluyen claras re-ferencias a la necesidad de educar para los nuevos lenguajes y medios. No se trata, por supuesto,de restar importancia a la enseñanza del lenguaje verbal para dársela al lenguaje de la imagen. De



hecho, ambos aparecen integrados en la mayor parte de los productos de los medios de comuni-cación y ambos han de ser estudiados conjuntamente.

La plena integración de España en el contexto europeo comporta una mayor apertura y exige un mayor grado de homologación y flexibilidad del sistema educativo. Exige tam-

o la de aprovechar las nuevas tecnologías para todo ello, resultan hoy irrenunciables. Estas

de cualificación y de experiencia personal, del nuevo espacio educativo europeo.

5.4. ¿Qué hay que evaluar, cuándo y cómo? Parece claro que toda actividad (y más aún las de carácter social, como la educación) debe

incluir una valoración de la misma que permita tomar decisiones razonadas sobre su práctica.

Mediante la evaluación se trata de concretar el modo de valorar la actividad educativa y to-mar decisiones sobre ella.

Querámoslo o no, la evaluación siempre está presente en la actividad educativa, marcándola ycondicionándola. ¿Quién no tiene una opinión sobre sus alumnos? En muchas ocasiones, las opi-niones que los profesores tenemos sobre nuestros alumnos, las valoraciones que hacemos sobre sumodo de trabajo, sus actitudes, sus comportamientos, son muy arriesgadas y poco documentadas.

Se tratará, por tanto, de llevar a cabo una evaluación, en el sentido profesional del término, quenos permita analizar la actividad educativa que estamos desarrollando lo más objetivamente posi-ble, de modo que las decisiones que tengamos que tomar respecto a ella sean las más adecuadas.

Se puede definir la evaluación educativa como:La valoración del proceso de enseñanza-aprendizaje que se hace en función de una

toma de datos sobre dicho proceso y que permite tomar decisiones ajustadas para que se (De Pablo y otros, 1992).

Puesto que, normalmente, ese conjunto de actividades que componen la evaluación no se daespontáneamente, habrá que hacer una planificación.

Como cualquier proyecto y desarrollo de la actividad humana, se trata de definir: qué preten-demos, para qué, cómo se va a conseguir y cuándo se va a poner en práctica.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 39

Cuando nos preguntamos para qué evaluar estamos refiriéndonos al sentido de la evaluación,a las funciones que cumple.

Según lo que pretendamos la evaluación cumplirá unas u otras funciones.

Si lo que queremos es realizar una calificación de los resultados del aprendizaje nos bastarácon establecer una serie de pruebas en determinados momentos del proceso y al final del mismo.De esta manera, situamos a la evaluación fuera del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Si por el contrario pretendemos verificar, a través de la recogida y el tratamiento de datos, lamarcha del proceso, introducir modificaciones para mejorarlo y comprobar los resultados, esta-mos situando la evaluación dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje.

La evaluación debe entenderse como un conjunto de actividades programadas para recoger yanalizar información y por ello debe dotarse de técnicas e instrumentos que garanticen su calidadhaciendo de ella un proceso riguroso y sistemático.

Evaluar es, por tanto, mucho más que calificar; significa enjuiciar, tomar decisiones sobrenuevas acciones a emprender y, en definitiva, transformar para mejorar. La detección y satisfac-ción de las necesidades educativas es lo que da sentido a la evaluación.

Desde este punto de vista la evaluación cumple tres funciones fundamentales:

– Permitir el ajuste de la ayuda pedagógica a las características individuales de losalumnos.

– Determinar el grado en que se han conseguido los objetivos previstos.

– Valorar la programación y el conjunto de la intervención pedagógica.

La evaluación deberá proporcionar datos que van a servir a los profesores y a los alumnos:

a) A los profesores para:

– Descubrir las dificultades de aprendizaje de los alumnos y prever estrategias para susuperación.

– Valorar el aprendizaje de los alumnos apreciando el grado de desarrollo de las capa-cidades previstas y de asimilación de los contenidos conceptuales, procedimentalesy actitudinales.

– Realizar modificaciones en la Programación.

b) A los alumnos para:

– Conocer la evolución realizada desde la situación de partida.

– Corregir estrategias y comportamientos inadecuados.

– Identificar las dificultades de su proceso de aprendizaje para superarlas.

– Calificar el progreso realizado por el alumno.



Una vez determinadas las finalidades de la evaluación cabe preguntarse qué debemosevaluar.

Para dar una respuesta a esta pregunta, acorde con las funciones que le hemos asignado a laevaluación, deberemos considerar, por un lado, el ámbito de los alumnos y, por el otro, el ámbitodel profesor.

a) Ámbito de los alumnos: dependerá de los objetivos que nos hemos propuesto. En líneasgenerales y sólo a modo de ejemplo se podrían considerar los siguientes aspectos:

– Conocimientos, habilidades y destrezas:

* Conocimientos que se pretenden alcanzar, utilización de métodos de trabajo, utili-zación de instrumentos y utensilios, capacidad para desarrollar el trabajo, etcétera.

– Actitudes y hábitos de trabajo:

* Actitud frente al trabajo: iniciativa, capacidad de organizar, memoria, constan-cia, responsabilidad, ritmo, concentración, etcétera.

* Realización del trabajo: originalidad-creatividad, limpieza, orden, estructura-ción, grado en el que completa sus trabajos, etcétera.

– Actitud, comportamiento e integración respecto al grupo:

* Relación consigo mismo: estado de humor, autoestima, grado de autonomía,hábitos de higiene y orden, responsabilidad, iniciativa, seguridad en sí mismo,tolerancia, agresividad, etcétera.

* Relación con los compañeros: grado de colaboración, solidaridad, aceptaciónpor los compañeros, respeto, etcétera.

* Relación con el profesor: dependencia, autonomía, confianza, respeto, etcétera.

b) Ámbito del profesor: dependerá de los elementos que queramos analizar y valorar paramejorar nuestra práctica. En este sentido se podrían señalar:

– Adecuación de la programación y de sus diferentes elementos al proceso que se hadesarrollado.

– Actitud y grado de implicación del profesor en dicho proceso.

A la pregunta de cómo evaluar se puede responder describiendo las técnicas e instrumentos,es decir, los procedimientos de evaluación. Por otra parte, hay que tener en cuenta que dada lacomplejidad del proceso evaluador que estamos planteando, no es posible utilizar un único pro-cedimiento sino más bien una combinación de ellos. En sí mismo no existe un procedimientomejor que otro; se trata de que cada profesor reflexione en cada momento sobre las condiciones(ventajas y desventajas) de cada una de ellas y la función que debe cumplir, para elegir la másadecuada.

Las técnicas de evaluación hacen referencia al método que se utiliza para la obtención de lainformación. El instrumento se refiere al recurso específico que se emplea.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 41

TÉCNICAS E INSTRUMENTOS PARA LA EVALUACIÓN DEL PROCESO DE APRENDIZAJE

Técnicas Instrumentos Contenido Momento

Observación– Escala de observación.– Lista de control.– Registro anecdótico.

ProcedimientosActitudes

En todo momento

Revisión de tareas Guías y fichas para elregistro.

ConceptosProcedimientos

ActitudesHabitualmente

Entrevistas Guiones más o menosestructurados.

ProcedimientosActitudes

En situaciones que lorequieran

Cuestionarios Guiones más o menosestructurados.

ConceptosActitudes

Autoevaluación, iniciode aprendizaje

Pruebaso

exámenes

Orales Preguntas de clasesistematizadas.


Durante la fase deaprendizaje

Escritas

– Estructuradas (test).

– Semiestructuradas.

– No estructuradas.


Durante y al final de lafase de aprendizaje

Las son aplicables en cualquier momento de la evaluación continua,aunque encuentran su mayor utilidad en la recogida de datos para valorar el dominio de procedi-mientos y el desarrollo de actitudes durante el trabajo diario de los alumnos en el aula.

Las listas de control contienen una serie de rasgos a observar, ante los que el profesor señalasu presencia o ausencia durante el desarrollo de la actividad o tarea.

Las escalas de valoración contienen un listado de rasgos en los que se gradúa el nivel deconsecución del aspecto observado a través de una serie de valoraciones progresivas (de nunca asiempre, de poco a mucho, de nada a todo, etc.).

El registro anecdótico consiste en una ficha para recoger comportamientos no previsibles deantemano y que pueden aportar una información significativa para evaluar carencias o actitudespositivas.

La entrevista tiene por objeto la obtención de información sobre estímulos o experiencias quepueden aportar datos útiles para el conocimiento de una conducta a través de un proceso de interro-gación verbal. Su eficacia depende de unas mínimas condiciones en su planteamiento y desarrollo:

– Evitar plantearla como la única oportunidad para saberlo “todo” del alumno.

– Crear un clima relajado, evitando las apariencias de solemnidad.

– Plantearla de manera no directiva con el fin de suscitar la reflexión del alumno.

– Evitar informaciones o juicios de valor que puedan dificultar o romper la buena comuni-cación.



La autoevaluación va a permitir conocer las referencias y valoraciones que, sobre el proceso,pueden proporcionar los alumnos. De esta forma la información obtenida por otros medios podráenriquecerse con la inclusión de nuevos matices.

El desarrollo de la autoevaluación requiere la elaboración de cuestionarios mediante los cua-les se puede indagar la opinión de los alumnos sobre diversos aspectos.

Centrándonos en la evaluación de los alumnos debemos considerar tres fases en el desarrollodel proceso de evaluación:

1. Evaluación inicial. La evaluación inicial nos va a permitir conocer y valorar la situaciónde partida de los alumnos y empezar desde el principio con una intervención ajustada alas necesidades, intereses y posibilidades de los mismos. La evaluación inicial tambiénnos va a permitir valorar el progreso realizado por los alumnos, ya que para conocer loque se ha avanzado es necesario tener en cuenta cual era el nivel de partida.

2. Evaluación continua. El término evaluación continua hace referencia a que la evalua-ción debe estar incluida, de una manera dinámica, en el propio proceso educativo, pro-porcionando una información permanente sobre el mismo.

El desarrollo de una evaluación así concebida facilitará:

– Información constante sobre si el proceso se adapta o no a las posibilidades de losalumnos.

– Elementos de juicio para comprobar la calidad de los componentes del proceso conrespecto al logro de los objetivos que se pretenden.

– Elementos de juicio para decidir si modificar o no aquellos elementos distorsionantes.

– Información suficiente al alumno sobre cada momento de su aprendizaje.

3. Evaluación final. Al concluir una fase o secuencia de aprendizaje y al finalizar el cursose debe realizar una valoración de las capacidades desarrolladas y de los contenidos asi-milados.

La evaluación final constituye, por tanto, la culminación del proceso de evaluación continua.

Durante el transcurso del proceso se estuvieron obteniendo datos y resultados parcialescon los que realizar un análisis y valoración de la que acontecía.

El objetivo de la evaluación final es sintetizar lo más relevante de esa información para,a partir de ella, realizar una estimación global del avance de cada alumno en el desarrollode las capacidades expresadas en los objetivos y, en su caso, tomar las decisiones perti-nentes.

Para que la evaluación cumpla las funciones que le hemos asignado es necesario que sea útily posible. Queremos decir que, al igual que en el caso de la Programación, la evaluación no puedeconsiderarse como un fin en sí mismo; tanto uno como otra son instrumentos para la mejora delproceso de enseñanza-aprendizaje en su conjunto.

Es imposible evaluarlo todo y en todo momento. Se trata (De Pablo y otros, 1992) de selec-cionar lo que es necesario en función de la intencionalidad educativa, pero, a la vez, lo que esposible. Se trata de guardar un equilibrio entre la importancia y la necesidad de la evaluación y laidea de que estamos ante un elemento más, no el único, del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 43

Aunque la evaluación debe ser un elemento del proceso e incluir entre lo evaluable todos lospasos y elementos de éste, es importante seleccionar aquellos especialmente válidos para valorary tomar decisiones; no sería conveniente caer en una desenfrenada toma de datos, que posterior-mente no se puedan utilizar, o no sepamos para qué pueden valer.

6. DESPUÉS DE LA PROGRAMACIÓNProgramar es el primer acto de la intervención educativa, pero si la Programación no se pu-

siese en práctica mediante la comunicación y la interacción, ésta no tendría sentido.

En la puesta en acción de las actividades hemos de tener en cuenta varios factores:

– La motivación.

– El seguimiento constante de las actividades.

– La orientación de los alumnos y las diferencias individuales en el aprendizaje.

– El control constante mediante la evaluación formativa.

– La flexibilidad de la aplicación de la Programación, que permita adecuarse a las diferen-tes circunstancias que pueden surgir.

La Programación es un instrumento imprescindible en el trabajo didáctico y, por consiguien-te, siempre ha de ser el punto de mira de la evaluación. Una reflexión constante sobre la puesta enpráctica de las unidades de programación nos ayudará a mejorar la práctica educativa. Una Pro-gramación nunca ha de ser cerrada, sino que por, el contrario, en el momento de su confección de-bemos tener siempre presente este concepto de carácter abierto y mejorable (Imbernón, 1992).

7. CÓMO ELABORAR LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICAAtendiendo a la legislación actual la elaboración de la Programación Didáctica para un curso

es una tarea que debe realizar cada departamento didáctico de forma colegiada, si bien la respon-sabilidad directa es del jefe del departamento. Cuanto mayor sea el grado de acuerdo de los pro-fesores del departamento, tanto más sencilla será la elaboración de la Programación Didáctica.

La Programación ha de partir del currículo de la asignatura correspondiente, de las directricesemanadas del Proyecto Educativo y del claustro de profesores.

Para su elaboración se dan las siguientes orientaciones:

7.1. Primer pasoEn primer lugar, en la elaboración de la Programación Didáctica se realiza su contextualiza-

ción. Se trata de hacer una descripción muy sucinta del centro:

– Ubicación del centro: rural, urbano (centro de la ciudad, periférico), costero, etc.

– Características del centro: dependencias, recursos humanos, recursos materiales,alumnado, relación con las familias, etc.

– Características del grupo de alumnos: número, necesidades educativas específicas.



Teóricamente no es imprescindible realizar la contextualización, sin embargo, desde nuestropunto de vista tiene varias ventajas:

a) En primer lugar, permite concretar la Programación. Estamos considerando un centroconcreto, unos alumnos concretos. Frente a la consideración de una Programación “enabstracto”, que valdría para cualquier alumno imaginario, estamos abordando una Pro-gramación que se acerca mucho más a la realidad de las aulas.

b) En segundo lugar la concreción nos va a proporcionar recursos para hacer una Progra-mación más personal, teniendo en cuenta, además, que podemos establecer las variablesque estimemos oportunas, que más se adapten a nuestros intereses y aptitudes.

c) En tercer lugar nos va a facilitar la defensa que tendremos que realizar ante el tribunal y don-de podremos relacionar la situación de partida con la Programación que hemos realizado.

Como cuestión práctica sería muy interesante la toma de contacto con un centro concreto,un aula concreta. Siempre podemos contar con un amigo, compañero, familiar, el centro donderealizamos las prácticas para la obtención del CAP, etc. Dicho contacto nos va a facilitar la elabo-ración de este primer paso, el partir de una situación real.4

7.2. Segundo pasoConsiste en concretar la duración de la Programación Didáctica. Entendemos que la dura-

ción más adecuada para la Programación que tenemos que realizar debe ser un curso, por tantodebemos escoger el curso sobre el que vamos a programar, de entre: 1º, 2º, 3º y 4º de EducaciónSecundaria Obligatoria, 1º y 2º de Bachillerato, módulos de los ciclos formativos de Grado Me-dio y Grado Superior. Hay que indicar que también debemos escoger la asignatura concreta enalgunos casos (por ejemplo en 2º de Bachillerato hay dos asignaturas de la especialidad de Físicay Química: la Física y la Química, en Biología y Geología puede haber hasta tres asignaturas enese mismo curso: Biología, Geología y Ciencias de la Tierra y del Medio Ambiente, etc.).

7.3. Tercer pasoSe debe realizar una fundamentación de la enseñanza de la asignatura y curso que vamos a

impartir. Dicha fundamentación se puede obtener del temario de la especialidad. Como no se tratade escribir un libro, nos puede valer un resumen de la fundamentación del área que se refleja enel currículo de la Comunidad por la que nos presentemos.5

7.4. Cuarto pasoSe debe reflejar o hacer referencia a los objetivos generales de la etapa y a los objetivos genera-

les de la asignatura en la etapa que estamos considerando, así como a los contenidos de la misma.

Dichos objetivos se extraen del Decreto de Currículo de la Comunidad.

4 En nuestra programación indicaremos una contextualización imaginaria por cada uno de los cursos que se programa, con el fin de realizar untrabajo, por una parte más completo y por otro más próximo a la realidad, si bien, como se ha dicho, no es absolutamente imprescindible.

5 En el caso de que el opositor se presente en Ceuta y Melilla deberá referir su Programación al currículo del Estado, pues las ciudadesautónomas carecen de potestad legislativa en materia de Educación y el que desarrollan es el que el Ministerio elabora para estasciudades y los centros en el extranjero.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 45

Puede ser conveniente establecer una relación entre los objetivos generales de la etapa y losobjetivos de la asignatura en el sentido de señalar que los objetivos de la asignatura van a ayudara conseguir los objetivos generales de la etapa.

Hasta aquí podemos decir que hemos hecho un análisis previo de la situación que nos va apermitir, a continuación, realizar el diseño del proceso de enseñanza y aprendizaje que constituyela Programación

7.5. Quinto pasoComienza nuestra labor de programación, ya que empezamos a responder a las preguntas

que hemos considerado anteriormente, en este caso ¿para qué enseñar? Debemos, por tanto,formular los objetivos de la asignatura en el curso que estamos programando.

Dichos objetivos deben formularse en infinitivo y no es preciso que se concreten excesivamen-te. La referencia de los objetivos se encuentra en los objetivos generales del currículo oficial.

Como referencia nos pueden servir las guías didácticas de las diferentes editoriales, librosde texto, etc.

La organización y secuencia de objetivosEste aspecto de la Programación obedece a la necesidad de concretar los objetivos generales

de la asignatura de forma que se especifiquen las capacidades que se pretenden desarrollar en lasdistintas etapas.

Consiste en adecuar las capacidades que se han establecido en los objetivos generales de cadamateria a las características del alumnado del curso correspondiente.

7.6. Sexto pasoSe desarrollan los contenidos de la asignatura para el curso, se establecen criterios de

secuenciación y se fijan las unidades didácticas (que posteriormente serán objeto de una Progra-mación más pormenorizada).

La organización y secuencia de contenidosCon el currículo oficial actual, que modifica esencialmente el derivado de la LOGSE, el

problema de la organización y secuencia de contenidos está solucionado, ya que vienen determi-nados por curso.

Hay que tener en cuenta que los contenidos no son sólo conceptuales (conceptos, hechos,datos...) sino también procedimentales (procedimientos intelectuales o manipulativos) y actitudi-nales (actitudes personales y sociales positivas).

También, en función de la contextualización previa, se deberán en este punto establecer losniveles de los contenidos según las capacidades de los alumnos.



7.7. Séptimo pasoCorresponde a la metodología. Se trata de establecer los principios metodológicos generales

que van a presidir nuestra intervención didáctica (actividad, aprendizaje significativo...), papeldel profesor, tipos de agrupamientos, tipos de actividades. En definitiva se trata de explicar cómotenemos previsto que se desarrolle el trabajo en el aula (no debemos olvidar que posteriormente,en la explicación de la unidad didáctica, debemos demostrar cómo trabajamos en al aula, y dichaexplicación debe ser coherente con lo que hayamos planteado en la metodología.

La metodología es la respuesta que da el docente (o el departamento didáctico) a la preguntade “¿cómo enseñar los contenidos de la asignatura?”

La libertad de cátedra permite utilizar la metodología que cada profesor considere pertinentey no hay en la normativa legal ninguna prescripción concreta. Por otra parte, no hay un métodomejor que otro en términos absolutos, sino que, en definitiva, es mejor un método cuanto másefectivo sea para lograr los objetivos previstos.

La adopción de un enfoque metodológico determinado depende fundamentalmente de dosfactores: la propia materia, que a veces obliga a adoptar una determinada metodología, y la idio-sincrasia del profesor, que se siente más identificado con una u otra praxis educativa.

Por otra parte, los criterios del tipo “de lo simple a lo complejo”, “de lo concreto a lo abstrac-to”, “de lo conocido a lo desconocido”, “de lo general a lo particular”, implican forzosamente unasecuenciación y organización determinada de los contenidos.

No obstante, se pueden diferenciar claramente dos tendencias metodológicas: el conducti-vismo y el constructivismo. Mientras que el conductivismo pretende que la práctica docente seatotalmente dirigida (exposición magistral de las clases, profesor agente activo y alumno objetopasivo, conducción ordenada de la lección...), el constructivismo pretende que el alumno seacapaz de “construir” ciencia partiendo de sus propias experiencias (los datos que puede obtener oque se le proporcionan) guiado por el profesor en lo imprescindible.

Ambas tendencias metodológicas son de imposible aplicación, el conductivismo por ser unsistema caduco, poco acorde con la actividad y el protagonismo que ha alcanzado el alumno enlos últimos tiempos, y el constructivismo por la imposibilidad de reproducir, con medios escola-res y la formación propia de la edad de nuestros alumnos, los avances del conocimiento humano,máxime cuando muchos saberes científicos han tardado siglos en alcanzarse y sólo por grandesinvestigadores y sabios.

Por eso es difícil, si no imposible, optar por una u otra metodología. Se puede ser moderada-mente constructivista, si la meta del docente es modesta y utiliza la enseñanza activa, con granparticipación del alumno y con toma de decisiones personales, utilizando el aprendizaje signifi-cativo; o moderadamente conductivista haciendo participar al alumno en el proceso educativo deforma más activa que en el pasado y utilizando todos los recursos de los que dispone un centrodocente moderno, con actividades y recreación de los avances de la ciencia.

La metodología tiene diversas vertientes que podrían agruparse en:

– Opciones metodológicas propias.

– Criterios para el agrupamiento del alumnado.

– Organización de los espacios y los tiempos.

– Recursos didácticos.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 47

Opciones metodológicas propiasLos departamentos didácticos, en función de las asignaturas que les correspondan, tomarán

las decisiones metodológicas que más se adapten a la especificidad de éstas. No obstante, puedeaplicarse una metodología con perspectiva globalizadora en todas las materias, bien a través detrabajos por proyectos, por centros de interés, por planes de trabajo específicos, etc.

Sin embargo hay que aplicar estrategias diversas según el tipo de contenidos de que se trate, yaque no se puede abordar de la misma manera la enseñanza de conceptos que la de procedimientoso la de actitudes. Especialmente la formación en valores (contenidos actitudinales) exige, inde-pendientemente de la metodología adoptada para la adquisición de conocimientos conceptuales,discusión de dilemas morales, actividades de clarificación de valores, debates sobre temas actualescontrovertidos, etc., sin que tenga que disociarse del aprendizaje de los otros contenidos, sino quese afianza con el conocimiento de los conceptos y hechos, como puede ser la necesidad del cono-cimiento de fenómenos medioambientales para debatir sobre si las actitudes humanas reportan unbeneficio o un perjuicio social.

Criterios para el agrupamiento del alumnadoEsta simple cuestión, que podría parecer irrelevante, es en realidad muy importante, ya que hay

que decidir qué se pretende con los posibles desdobles, la organización de actividades fuera o dentro delcentro, grupos más o menos compensados para las actividades de laboratorio, de investigación, etc.

Algunas estrategias metodológicas implican formas concretas de organizar el trabajo de losalumnos, en cuanto a su agrupamiento se refiere. Por ejemplo, una metodología basada en la rea-lización de proyectos trae consigo la formación de equipos de trabajo. Estos grupos pueden serestables para todo un curso o tener la duración del desarrollo del proyecto.

Organización de los espacios y los tiemposLos departamentos deberán determinar el uso de los espacios propios (seminarios, laborato-

rios, aulas específicas, etc.) así como el de los comunes (aula de audiovisuales, biblioteca, salade usos múltiples, patios, etc.), ya que esto repercutirá en la organización de las enseñanzas queimparten y la mejor atención a la diversidad del alumnado.

En algunas materias también hay que organizar el tiempo disponible de manera especial,por ejemplo en algunos cursos de las Ciencias Experimentales, Tecnología, Dibujo... puede serconveniente establecer dos periodos lectivos consecutivos para facilitar los trabajos de carácterpráctico o experimental, que por su duración, no podrían llevarse a cabo en un solo periodo.

Recursos didácticosEl departamento didáctico seleccionará los recursos que considere convenientes para servir

de apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje que se desarrolla:

– En la clase (medios audiovisuales, programas informáticos, material de laboratorio, cal-culadoras, CDs, etc.).

– Fuera del aula (libros, calculadoras, cuadernos de actividades, etc.).

Es importante adoptar criterios de selección de recursos didácticos acordes con la Programa-ción elaborada, con las características del alumnado y con los medios disponibles en el centro.



7.8. Octavo pasoHace referencia a la atención al alumnado con necesidades educativas específicas. No

debe olvidarse que la metodología adoptada debe servir para facilitar la atención a la diversi-dad del alumnado. Esto es un determinante respecto a la necesidad de aplicación de estrategiasdiferentes para alumnos diferentes. En todo caso, partir de los conocimientos previos, ya seancurriculares, ya sean extracurriculares, es siempre una estrategia aplicable.

Aquí se tratará de dar respuestas generales a estos alumnos en los tres aspectos que se hancitado:

– Alumnos extranjeros, con formación inicial diferente, escasa o nula y en la mayoría delos casos desconocedores de la lengua (castellana y/o vernácula).

– Alumnos superdotados, con inteligencia superior a la media y con necesidades conti-nuas de ampliación y de dedicación especial.

– Alumnos con necesidades educativas especiales, motivadas por su propia identidad, suentorno social, su pertenencia a grupos marginales, etc.

A qué elementos de la acción didáctica afecta las necesidades específicas de los alumnos delaula (objetivos, contenidos, metodología, evaluación espacios, agrupamientos...).

7.9. Noveno pasoConsiste en la planificación de la evaluación y de los criterios de evaluación que se obtie-

nen del currículo correspondiente, coherentes con los objetivos y contenidos que se ha seleccio-nado anteriormente.

El lector que se aproxima por primera vez a estas cuestiones de nomenclatura, para él hastaahora desconocidas, puede sorprenderse de la diferenciación que se hace entre “Criterios de Eva-luación” y “Criterios de Calificación”. Ciertamente es una terminología poco acertada, ya quepuede inducir fácilmente a error.

Los Criterios de evaluación son formulaciones de objetivos a cumplir y que los alumnosdeben conocer al finalizar el proceso de aprendizaje. No se trata, por tanto, de “cómo se va a eva-luar” sino “qué se va a evaluar”. Por el contrario, los criterios de calificación son más coherentescon su formulación, se trata de establecer el mecanismo para obtener la calificación en su másamplio sentido.

La calificación y la evaluación pueden ser confundidas, y con frecuencia lo son, inclusopor muchos profesores. Mientras que la calificación es la expresión objetiva de los resultados delaprendizaje, la evaluación consiste en la obtención de información sobre el proceso de enseñanzay aprendizaje para ajustarlo a las necesidades de los alumnos.

Se pueden distinguir dos tipos de evaluación según el objeto: evaluación del aprendizaje yevaluación de la práctica docente.

– Evaluación del aprendizaje. Se trata de determinar en la Programación los procedi-mientos que se van a aplicar en los distintos momentos (inicial, durante el proceso yfinal). Respecto a las distintas técnicas se ha tratado anteriormente.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 49

– Evaluación de la práctica docente. Debe realizarse periódicamente mediante la utiliza-ción de diversos procedimientos e instrumentos que proporcionen información acerca desi el desarrollo de la Programación es tal como se previó o por el contrario es necesarioincluir rectificaciones en los propios elementos de la Programación.

En resumen, deben quedar reflejados en la Programación Didáctica los criterios de evalua-ción, los criterios de calificación y el mecanismo de evaluación del proceso docente-discente. Esde enorme importancia, ya que la evaluación en su conjunto debe servir para mejorar el procesoeducativo, es decir, para adoptar medidas que contribuyan al ajuste progresivo de la ayuda quepuedan necesitar los alumnos.

Aunque todos estos pasos se han indicado por separado, para una mejor concreción, hay quetener en cuenta que todos estos elementos no han de contemplarse de manera independiente oaislada, sino como los componentes que integran y estructuran la Programación Didáctica.

La organización de los distintos elementos, según el criterio del profesor (del departamentodidáctico), puede ser muy distinta, pero siempre debe seguir un orden lógico y escalonado en elque se advierta la interrelación entre ellos.

En el cuadro de la página siguiente se presenta un esquema orientativo de cómo organizarlos diferentes elementos de la Programación Didáctica, distribuyéndolos en bloques que agrupandecisiones de naturaleza similar.

– Primer bloque: adecuación al contexto.

– Segundo bloque: organización y secuencia de los objetivos, contenidos y criterios deevaluación.

– Tercer bloque: metodología.

– Cuarto bloque: evaluación.

Obsérvese que no sigue el orden que se ha establecido anteriormente. Esto no debe importaral profesor programador.

Como se ha dicho, la organización de la Programación puede seguir distintos pasos.

En primer y segundo bloque se trata de los elementos que vienen impuestos, primero por elentorno y el Proyecto Educativo del Centro y el segundo por el currículo oficial de la Comunidad.

Puede llamar la atención que los criterios de evaluación se incluyan en el bloque segundo yno en el cuarto, que trata específicamente de la evaluación. Sin embargo no debe extrañar, ya quelos criterios de evaluación emanan directamente de los objetivos de la materia (área, asignatura omódulo) así como de los contenidos.

Por otra parte, en el bloque de metodología se incluyen todos los aspectos que se han tratadoanteriormente, relacionados con ella.

Por último el bloque dedicado a la evaluación es especialmente importante y debe ser impres-cindiblemente conocido por los alumnos desde el principio del curso. Se trata de que los alumnosconozcan las reglas del juego.

La Programación Didáctica no debe ser sólo el instrumento guía de la actuación docente,sino también un referente para profesores y alumnos, una especie de contrato que establece eldepartamento con la comunidad educativa.



ESTRUCTURA DE LA PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA

Adecuación al contexto

– Características del Centro y del alum-nado de la etapa.

– Prioridades educativas que se hayan establecido en el Proyecto Educativo o en la Programación General Anual.

En este apartado se pueden recoger las peculiarida-des del centro y del entorno que deban tenerse encuenta para adecuar las programaciones al alumna-do de la etapa correspondiente. Se trata de volver aconsiderar el análisis del contexto, realizado en elmarco del Proyecto Educativo, desde la óptica delas enseñanzas propias de cada departamento.

Organización y secuencia de los objeti-vos, contenidos y criterios de evaluación

– Objetivos de cada curso.

– Distribución temporal de los conteni-dos de los contenidos de cada curso.

– Criterios de evaluación de cada curso.

En las Programaciones Didácticas de las mate-rias de ESO se especificarán para cada curso loselementos curriculares prescritos en el currículooficial. Y lo mismo para las materias de cadacurso de Bachillerato. La determinación de taleselementos debe tener en cuenta su concreción yadecuación a la diversidad del alumnado.

Metodología

– Opciones metodológicas propias.

– Criterios para el agrupamiento del alumnado.

– Acuerdos sobre utilización o adaptación de espacios y organización del tiempo.

– Selección de materiales y otros recur-sos didácticos.

– Actividades complementarias y ex-traescolares.

Se agrupan aquí todas las decisiones que se refierenal cómo enseñar: desde las opciones metodológicasque mejor se ajusten a los contenidos propios decada materia y a las características del alumnado delas distintas etapas, hasta las decisiones sobre recur-sos didácticos, agrupamientos de alumnos o aqué-llas que se relacionen con el uso de los espacios ylos tiempos disponibles. Junto con todas estas deci-siones, deberán figurar también las que específica-mente se adopten sobre cómo abordar la formaciónintegral del alumno y sobre las medidas previstaspara atender a la diversidad del alumnado.

Evaluación

– Procedimientos e instrumentos para la evaluación de aprendizajes y de la práctica docente.

– Criterios de calificación.

En este apartado se deben recoger todos los acuer-dos que adopten los departamentos sobre cómo ycuándo evaluar los aprendizajes del alumnado y lapropia práctica docente, junto a los criterios de cali-ficación que se van a aplicar en cada materia. Todoello deberá ser coherente con lo establecido, concarácter general para todo el centro, en cada etapa.

8. LA PROGRAMACIÓN DE AULA. LA UNIDAD DIDÁCTICAMientras que con la Programación Didáctica se pretende obtener un instrumento de planifica-

ción común de los departamentos didácticos respecto a las materias que se les tienen asignadas, laProgramación de Aula tiene por misión la planificación individualizada del profesor o, en el casoideal, la planificación compartida de los profesores de un mismo curso y materia, que se concretaposteriormente para cada grupo de alumnos.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 51

En esta Programación se debe especificar la secuencia de las unidades didácticas, aunque lapráctica docente deberá adaptarse a las peculiaridades que presenten los alumnos de cada grupoy a la personalidad del profesor.

La Programación de Aula no es sólo una distribución y temporalización de contenidos yactividades, sino un proceso de adaptación de las decisiones adoptadas para dar respuesta a lasnecesidades del grupo.

Se puede decir que los componentes de la Programación de Aula son las Unidades Didácti-cas, que están configuradas por los componentes siguientes:

– Presentación de la Unidad Didáctica

Aunque no es imprescindible, para hacer un buen planteamiento es muy convenienteconocer la base sobre la que ha de sustentarse la unidad, cuál es su eje conductor, quérelación tiene con las demás unidades didácticas, qué conocimientos previos se necesitanpara que pueda ser bien comprendida y asimilada, cuál es el momento idóneo del cursopara impartirla, estudiarla, trabajarla.

En la presentación podremos incluir el apartado de la motivación. El motivo puede seruna exposición de diapositivas, una visualización de un vídeo o un planteamiento dis-tinto, pero atractivo a los ojos de los alumnos a los que va encaminada. El objetivo esclaro, se trata de “enganchar” al alumno. A veces cuestiones controvertidas, paradójicaso chocantes hacen que los alumnos vean con otros ojos los contenidos que a priori se lespudieran antojar pesados o dificultosos.

– Objetivos didácticos

Deben concretar al máximo los aprendizajes que se esperan que adquieran los alumnos altérmino de la unidad. Por tanto, cada Unidad Didáctica será un referente de qué enseñary de qué evaluar.

Los objetivos didácticos tienen que:

* Servir para concretar las capacidades incluidas en los objetivos del curso.

* Hacer referencia a contenidos específicos que determinen el tipo (conceptuales,procedimentales o actitudinales) y el grado (profundidad) de aprendizaje.

* Elaborarse teniendo en cuenta los criterios de evaluación.

* Identificar los que sean prioritarios por referirse a aprendizajes fundamentales o básicos.

* Ser variados en cuanto al grado para atender a la diversidad.

– Contenidos

Debe ser una concreción de los objetivos didácticos que se han enunciado anteriormente,con secuenciación de actividades de enseñanza-aprendizaje.

Para detallar los contenidos de la Unidad Didáctica se debe tener en cuenta que:

* Guarden íntima relación con los objetivos didácticos.

* Se distinga entre contenidos básicos o fundamentales y los de ampliación.

* Se diferencien expresamente los contenidos de los tres tipos.



– Actividades

En la Unidad Didáctica se pueden seleccionar actividades ya elaboradas o prepararlaspara el grupo especialmente, pero en todo caso deben ser adaptadas a cada grupo concre-to en función de las características del mismo.La selección de actividades debe hacerse de forma meticulosa y es conveniente que:* Se ajusten a los objetivos y contenidos seleccionados.* Estén secuenciadas de forma que se favorezca la progresión en el aprendizaje.* Sean significativas y motivadoras.

* Resulten diversificadas y permitan adoptar distintos enfoques.

* Presenten distintos grados de dificultad para que, al menos las básicas, estén al al-cance de todos los alumnos.

* Faciliten la adquisición de los conceptos de los tres tipos.

* Promuevan la interacción en el aula y la implicación del alumnado.

* Favorezcan la autonomía en el aprendizaje y la autoevaluación.

– Metodología

Para diseñar cómo se han de realizar las actividades de enseñanza-aprendizaje es impres-cindible temporizarlas, aunque no necesariamente de forma rígida, sino como ajuste enel tiempo para repartirlo equitativamente.

Las tareas programadas y, dependiendo de cada una de ellas, resultarán apropiados unosu otros agrupamientos de alumnos, porque es conveniente cambiar la formación de ungrupo según los objetivos que se persigan en la actividad a realizar.

Los recursos didácticos deben preverse en coherencia con las diversas actividades pro-gramadas, ya sean de uso del profesor como de los propios alumnos.

Siempre hay que comprobar que los materiales seleccionados no contengan factoresdiscriminantes por razón de sexo, raza, religión, cultura, etc.

Debe preverse en la programación de la metodología las adaptaciones necesarias paraatender a la diversidad del alumnado.

– Actividades e instrumentos de evaluación

Las actividades de evaluación, al menos la mayoría de ellas, no deben diferenciarse de las queno lo son. En todo caso, aquéllas que serán destinadas exclusivamente a ser instrumento eva-luador deben también ser programadas en la Unidad Didáctica como las demás actividades.

En la evaluación continua, es decir, la inmersa en el propio proceso de enseñanza-apren-dizaje, es totalmente imprescindible esta planificación a la que se ha hecho referencia.No hay que esperar a la evaluación final para ir dando respuesta evaluatoria a los alum-nos para que vayan produciéndose las correspondientes modificaciones encaminadas aalcanzar el máximo rendimiento.

Los instrumentos que se han descrito anteriormente deben ser plasmados en la UnidadDidáctica de forma detallada, incluso deben citarse textualmente algunos ítems o cues-tiones de las pruebas previstas.

En el siguiente cuadro se resume lo expuesto respecto a la Programación de Aula.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 53

ELEMENTOS DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

1. Presentación de la unidad:

–

– Situación respecto al curso.

– Duración.

– Conocimientos previos necesarios.

En este apartado se deberán incluir todos los as-pectos que caracterizan la Unidad Didáctica comotal, así como los conocimientos previos que se re-quieran para alcanzar los objetivos propuestos, elnúmero de sesiones de trabajo que se prevé nece-sario, su relación con otras unidades y el momentodel curso más idóneo para su desarrollo.

2. Objetivos didácticos:– Expresan capacidades indicando

tipo y grado de aprendizaje.– Identifican aprendizajes básicos.– Funcionan como criterios de evalua-

ción de la Unidad Didáctica.

Concretan los aprendizajes que los alumnos de-ben alcanzar al finalizar la Unidad, subrayandolos conocimientos básicos que deben adquirirtodos ellos. Orientan la selección de contenidos yla secuencia de actividades de enseñanza y apren-dizaje y de evaluación. En la formulación de losobjetivos didácticos debe estar presente cómo sepuede incidir en la formación de valores que sevan a abordar en el desarrollo de los contenidos.

3. Contenidos:– Conceptos.– Procedimientos.– Actitudes.

Deben concretarse diferenciando los que seplantean como básicos o nucleares y los que seproponen para ampliar o profundizar conoci-mientos. También deben quedar explícitos losque se seleccionan para la educación en valores(actitudinales).

4. Secuencia de actividades y metodología:– Tipos de actividades y secuencia de

las mismas.– Papel del profesor y de los alumnos

en cada una de ellas.– Recursos didácticos.– Espacios y tiempos.– Tratamiento de la diversidad

La selección de las actividades es el último pasode la programación de las Unidades Didácticas.Deben incorporar todos los elementos necesariospara su puesta en práctica en el aula. La secuen-cia completa de las actividades debe incluirdistintos tipos (de motivación, de detección deconocimientos previos, de desarrollo, de re-fuerzo o ampliación...), con el fin de asegurar laadquisición de los aprendizajes básicos por partede todos los alumnos.

5. Actividades e instrumentos de evalua-ción:– Al comienzo de la Unidad Didáctica.– A lo largo del proceso.– Al finalizar la Unidad Didáctica.

Las actividades de enseñanza y aprendizaje pue-den y deben servir como actividades de evalua-ción, pues permiten obtener información sobreel punto de partida de cada alumno, su procesode aprendizaje y los conocimientos alcanzadosal finalizar la Unidad. No obstante, puede seroportuno seleccionar actividades explícitamenteprevistas para evaluar los aprendizajes logradosen un momento determinado.



Algunos modelos de Unidades DidácticasEn la presentación de la Programación de Aula, las Unidades Didácticas, a pesar de entrar

en los más íntimos detalles de la planificación, no tienen que ser excesivamente amplias. Puedensolucionarse con una o dos páginas.

A continuación se exponen tres modelos de Unidades Didácticas. Estos modelos que se pre-sentan no son rígidos, sino que pueden combinarse. Concretamente, los modelos 1 y 2 puedenverse enriquecidos con aportaciones del modelo 3, que está basado en el que ha utilizado editorialMAD en los libros de Aplicaciones didácticas.

Unidad Didáctica nº ____

1. Introducción y ubicación de la Unidad Didáctica– Situación. Esta Unidad Didáctica corresponde a la __________(primera, segunda,

tercera...) parte del capítulo________ (uno, dos, tres...) que hemos denominado“________” (“El aparato circulatorio”, “El Islam”, “Ácidos y bases”...).

– Ubicación en el currículo oficial. Corresponde al bloque____ (I, II, III...) del currí-culo de ________ (Matemáticas, Tecnología, Dibujo...) de ______(1º de ESO, 2º deBachillerato...) de la Comunidad Autónoma de (Andalucía, Murcia, Cataluña...).

2. Objetivos didácticos. Los alumnos deberán alcanzar los siguientes objetivos:– 1. (“Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la altura de un edificio” o “Reco-

nocer los minerales más comunes por sus propiedades físicas”, etc.).– 2.– 3.– ...

3. Contenidos– Conceptuales.

* 1. (“El Teorema de Pitágoras” o “Propiedades físicas de los minerales”).* 2.* 3.* .....

– Procedimentales.* (“Practicar el cálculo de raíces cuadradas” o “Determinar la dureza de un mine-

ral utilizando la escala de Mohs reducida”).* .....

– Actitudinales.* (“Reconocimiento de las aplicaciones prácticas, en la vida cotidiana, del Teore-

ma de Pitágoras” o “Actitud crítica con respecto al comportamiento del hombreen cuanto el trato que da a la naturaleza...”).

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 55

4. Actividades de aprendizaje. El alumno, para alcanzar los objetivos de unidad, deberá:– Contestar a todas las preguntas que se formulan en el libro de texto, de las páginas____.– Realizar un resumen (o un mapa conceptual o...) de lo explicado.– Realizar las actividades prácticas e indicar la solución.– ....

5. Estrategias didácticas– Situación de los conocimientos previos. Coloquio breve de 5 minutos.– Se inicia la sesión con un vídeo (o diapositivas, transparencias...) sobre el tema... que

sirve de motivación inicial.– Se realiza la actividad ____ para que por inducción se adquiera fácilmente el con-

cepto de______– En la parte _____ se aplicará el constructivismo, partiendo de_____ deducir que_______– Se realizarán las actividades de ________ (laboratorio, traducción, análisis, etc.)

siguientes:* 1. (“Disección de corazón de cordero”, “Traducción de un párrafo de César”,

“Realización de análisis sintácticos de...”, etc.).* 2.* ....

6. Materiales que se utilizarán– El profesor:

* Bibliográficos: _______* Informáticos:_______* De laboratorio: _______* ....

– Los alumnos:* Bibliográficos: _______* Informáticos:_______* De laboratorio: _______* ....

7. Tiempo y lugar– La Unidad Didáctica se desarrolla en el contexto del capítulo___, aproximadamente

_____ (principio, mediado, final) del ________ (primer, segundo, tercer) trimestre.

– Se desarrollará en el aula (y en el laboratorio, o taller, biblioteca, el campo...).8. Actividades de evaluación y criterios de evaluación

Los criterios de evaluación serán (aquí se establecen los criterios en función de los obje-tivos didácticos):– “Los alumnos deben saber no sólo la teoría y definición del Teorema de Pitágoras

sino también aplicaciones a situaciones reales” o “El alumnado sabrá distinguir entrelas propiedades físicas (escalares y vectoriales) de los minerales y sabrán utilizarlaspara el diagnóstico”...

– .....



9. Actividades y criterios de recuperaciónLa recuperación de los alumnos que han quedado retrasados en el dominio de los conceptosbásicos de esta Unidad Didáctica serán observados durante la siguiente y se seguirá la obser-vación de los que ya venían atrasados de la Unidad anterior. Al final del capítulo se realizaráuna pequeña prueba para todos los alumnos en la que se utilizará un 20% de ítems de alta ymediana dificultad, 50% de ítems de dificultad media y un 30% de baja dificultad.(Aquí se relaciona una prueba estructurada –objetiva– con ítems que a juicio del profesortienen la dificultad indicada).

Modelo 2Unidad Didáctica nº ____

(Tomado y modificado de los Libros del Profesor de EDELVIVES)

OBJETIVOS

1.

2.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1.

2.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

1.

2.

3.

4.

PROCEDIMIENTOS

1.

2.

3.

4.

ACTITUDES

1.

2.

3.

ACTIVIDADES

1.

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

1. De observación directa.

2. De la realización de las actividades.

3. De la prueba final de capítulo.

4. De otros instrumentos de evaluación.

ALGUNAS CONEXIONES INTERESANTES:

www...

CONSULTAS EN LA RED PARA ALUMNOS

www...

Para el lector es sencillo completar el cuadro con los mismos criterios que se han expuesto eneste apartado y siguiendo los ejemplos del modelo 1.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 57

para que pueda ser aplicado al temario A, por si el opositor se inclina

Unidad Didáctica nº ____

1. Inserción del tema en el currículo. ______ (Indicación de la relevancia del tema).

– Etapa de Educación Secundaria Obligatoria:

(Referencia legal)

– Etapa de Bachillerato:

(Referencia legal)

– Nivel en el que se sitúa la unidad didáctica: ____ (asignatura y curso).

La unidad didáctica la denominamos: ___________

2. Justificación del tema. (Explicación sucinta de porqué se ha adaptado el tema a unadeterminada etapa y curso).

3. Objetivos generales y capacidades de la etapa. (Enumeración de los objetivos de laetapa de que se trate).

4. Objetivos generales de la asignatura. (Enumeración de los objetivos de la asignaturadentro de la etapa de que se trate).

5. Objetivos específicos de la unidad. (Aquí hay que indicar los objetivos didácticos,como se ha hecho en las anteriores modelos de Unidades Didácticas).

6. Contenidos que pretende desarrollar este tema. ¿Qué aprender? (Aquí hay que indi-car los contenidos como se ha hecho en las anteriores modelos de Unidad Didáctica).

– Conceptuales.

– Procedimentales (procedimientos, estrategias, destrezas, habilidades).

– Actitudinales (actitudes, valores y normas).

7. Estrategias metodológicas. ¿Cómo aprender?

Los principios metodológicos sobre los que se sustenta el desarrollo docente de estaUnidad Didáctica son, especialmente: (se expresan aquéllos que se consideren oportunospara la unidad elegida. No son excluyentes, por lo que todos pueden ser expresados):

– Motivación. El estudio de esta unidad puede verse motivado por... (vídeo ___, pro-yección de diapositivas ____, debate sobre___).

– Diversidad. Se utilizarán sistemáticamente técnicas de trabajo diversas, sin olvidarla... (específicas de la unidad).

– Metodología activa. La participación de los alumnos en debates y controversiases.... (importante, poco importante, irrelevante por tal motivo...).

– Inducción. Como consecuencia de lo anterior, el método inductivo, con un cons-tructivismo moderado... (es o no es de aplicación porque...).



– Expositivo. Es natural que los conceptos nuevos, puramente científicos, han de serexplicados con la autoridad que confiere el conocimiento, por parte del profesor. Porlo tanto... (es necesaria o innecesaria esta metodología...).

– Interdisciplinar. El objeto de estudio de esta unidad se puede considerar relaciona-do con otras disciplinas, especialmente... (citar las materias con las que se relaciona,se apoya o ayuda).

– Coloquial. Se hace necesario que al final del estudio de la unidad, independiente-mente de la participación en debates a lo largo de su desarrollo, que se mantenga uncoloquio final con aclaración de dudas y resumen de aportaciones.

8. Actividades prácticas posibles. (Como en los modelos anteriores).

9. Recursos (material didáctico, bibliográfico, instrumental). (Quitar o poner según lamateria y unidad de que se trate).

– Libro(s) de texto de la asignatura. Cuaderno de clase y de actividades prácticas.Libros de consulta de la biblioteca del centro o propios.

– Magnetoscopio. Cintas de vídeo.

– Proyector de diapositivas. Diapositivas.

– Retroproyector de transparencias.

– Papel milimetrado y logarítmico.

– Ordenador.

– Microscopio...

10. Temporalización y secuenciación. ¿Cuándo? ¿Cuánto tiempo? (Igual tratamientoque en modelos anteriores).

11. Ámbito de actuación. ¿Dónde? (Quitar o poner según la materia y unidad de que se trate).

– Aula: para el desarrollo del proceso enseñanza-aprendizaje común.

– Laboratorio: para la realización de actividades prácticas.

– Taller: para la realización de prácticas y proyectos.

– Biblioteca: para realizar el trabajo propuesto con la bibliografía suficiente.

– Campo: para actividades de la Naturaleza (Biología, Geología, Ecología), de Geo-grafía, de Matemáticas, de Dibujo...

– Aula específica (de Música, de Dibujo...).

– .....

12. Atención a la diversidad. Esta unidad se planifica adaptada a la diversidad de la si-guiente manera:

– Alumnos extranjeros: (lecturas comentadas de textos sobre el tema...).

– Alumnos sobredotados: (investigación real o bibliográfica de hechos, conceptos,experiencias...).

– Alumnos con necesidades educativas especiales: (lecturas, manipulaciones sencillas...).

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 59

13. Utilización de las nuevas tecnologías. Se utilizarán los medios informáticos:

– Modelos de EAO (enseñanza asistida por ordenador).

– Utilización de Internet para obtener información referente al tema...

14. Evaluación ¿Qué, cuándo, cómo, a quién? Instrumentos y ejemplos.

La evaluación será siempre continua y no sólo sobre el aprendizaje de los alumnos,sino también sobre todo el proceso de enseñanza-aprendizaje: objetivos de la unidaddidáctica, los contenidos expuestos, los propios criterios de evaluación, los materialesdidácticos y el propio profesor a través de su programación.

a) Autoevaluación del profesor. Se hará un análisis que responda a las siguientespreguntas:

– ¿Ha sido adecuada la relación profesor-grupo y se ha sido capaz de motivar ac-ciones positivas en el alumno desde la propia conducta, tanto pedagógica comohumana?

– ¿Se considera idóneo el planteamiento didáctico que se ha diseñado para elaprendizaje de esta unidad en cuanto a los objetivos planteados, contenidosprogramados, temporalización, etc., o hay algún aspecto que deba ser modi-ficado?

– ¿Se han provocado situaciones de aprendizaje fértiles, coherentes y bien estruc-turadas?

– ¿Se han obtenido resultados idóneos en la mayoría de los alumnos del grupo,alcanzando las capacidades programadas?

– ¿Se ha atendido razonablemente las necesidades de los alumnos con mayor difi-cultad de aprendizaje?

– ¿Han sido atendidos los alumnos con sobredotación o al menos con mayoresdemandas que la generalidad del grupo?

b) Evaluación de los alumnos. Se hará en aplicación de los Criterios de Evaluaciónque se proponen a continuación:

– (Indicados como se ha hecho en los modelos anteriores).

– ...

Estos Criterios de Evaluación se proponen coincidentes con los mínimos exigiblesa los alumnos, ya que se trata de evaluar los conocimientos adquiridos sobre losconceptos básicos de la unidad.

Por otra parte, se realizará un amplio sondeo de ideas previas en una evaluación ini-cial. En ella habrá cuestiones que habrían de conocer de cursos anteriores, del propiocurso en esta u otra materia, o por el conocimiento significativo. La misión de estaevaluación inicial es doble: por una parte se tiene conciencia de la base sobre la quese van a cimentar los nuevos conocimientos y, por otra, se pueden corregir errorespreconceptuales.

En la evaluación formativa y en la evaluación final deberán manejar con solturaconceptos, leyes y principios comprobables, a través de pruebas o cuestiones como:

(Siguiendo el mismo criterio que en los modelos anteriores).



9. NOTAS IMPORTANTESEl opositor deberá tener SIEMPRE en cuenta las particularidades de la convocatoria de la

oposición de la Comunidad Autónoma. En ésta se establecen las características que ha de tenerla Programación:

– Número de páginas.

– Tipo y tamaño de letra y espaciado.

– Otras posibles (como el currículo de aplicación).

9.1. La extensiónLa extensión del texto máximo autorizado es una grave limitación. En las convocatorias ante-

riores han oscilado entre 50 y 60 páginas con letra de tamaño 12 a doble espacio. Esta limitaciónobliga al opositor a renunciar, en gran medida, a una programación completa y exhaustiva y ha detomar una determinación de entre los siguientes planteamientos:

a) Explicar con suficiente amplitud las características, rasgos específicos, justificación,etc., de la Programación presentada y, por consiguiente, con la simple enumeración delas Unidades Didácticas (en definitiva, amplio desarrollo de la Programación Didácticacon drástica reducción de la programación de aula).

b) Desarrollar mínimamente la Programación Didáctica en beneficio de la Programacióncompleta y detallada de las Unidades Didácticas o Programaciones de Aula (aunque conla extensión de referencia no podría ser tan completa y detallada).

c) Tomar una postura ecléctica y desarrollar los principios de la Programación tratando to-dos los aspectos de la misma de forma escueta, aunque completa, y esbozar el desarrollode las Unidades Didácticas.

La alternativa primera es la que más se adapta a la letra de las convocatorias realizadas, aunqueestamos convencidos que no responde al espíritu de las mismas, pues puede planificar y justificarpero no explica la praxis docente cotidiana, siendo, por tanto, poco operativa.

El desarrollo exhaustivo de las Unidades Didácticas sí marcaría la pauta del desarrollo curri-cular, sin embargo, no sería una correcta Programación, pues dejaría de explicar qué se pretendey cuáles son los principios que la sostienen.

Entendemos, pues, que la Programación que se adecua más claramente al espíritu de lasconvocatorias es la tercera alternativa, que responde a todas las expectativas, si bien es de másdifícil elaboración.

Nuestra propuesta se deriva del convencimiento de que es precisamente este planteamientolo que se espera del opositor, pero no excluye otras alternativas que pudieran tomarse. Tenemosconstancia de que también han sido bien recibidas por algunos tribunales Programaciones enlas que se ha hecho una extensa explicación en temas tan importantes como la psicología de losalumnos a quienes va dirigida o el tratamiento detallado de la función del tutor, en perjuicio de unmínimo desarrollo de las Unidades Didácticas propuestas.

En resumen, como ejemplo a seguir, planteamos unas Programaciones que el opositor puede,e incluso debe, modificar, alterar, sustituir o manipular, según su propio criterio, siguiendo lapropuesta indicada.

Aspectos generales

MATEMÁTICAS 61

6 Recuérdese quenúcleos de contenidos y de criterios de evaluación para cada una de ellas, cuyo acceso debe garantizarse a todos los alumnos. Estas prescripciones deben materializarse en las Programaciones.

9.2. El currículoEl currículo sobre el que versa la programación6 es distinto según la Comunidad Autónoma,

por lo que es imposible plasmar en este libro Programaciones que en su totalidad satisfagan losdiversos currículos.

No obstante, existe el currículo “marco” llamado de “enseñanzas comunes” o de “mínimos”en el que se establecen los objetivos, contenidos y criterios de evaluación que han de considerarsede manera obligada en los distintos currículos autonómicos. A este currículo común la Comuni-dad Autónoma puede añadir lo que considere oportuno para completar el suyo propio, general-mente con contenidos característicos de su Geografía, Historia, Naturaleza, etc.

Además, el Ministerio de Educación elabora su currículo propio, que podría servir para mo-delo de los autonómicos, cuyo objetivo es su aplicación en las ciudades autonómicas de Ceuta yMelilla, así como en los centros españoles en el extranjero.

Precisamente por ello, nuestra programación, mientras no se diga lo contrario, se basa en loscurrículos de comunes del Estado y el opositor deberá hacer su adaptación a los de la ComunidadAutónoma por la que se presenta.

Parte II. Programaciones de las asignaturasdel Departamento

de Matemáticas

Juan Vera López


Con objeto de facilitar la elaboración de la Programación Didáctica del opositor, hemos diseñado las programaciones de tres cursos de Matemáticas. Las dos primeras corresponden a las materias del segundo ciclo de la ESO, es decir a 3.º y 4.º de ESO, en su opción B, y, la última, a la asignatura de Matemáticas I que se imparte en los actuales Bachilleratos Tecnológico y de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud.

La elección de los cursos del segundo ciclo que se imparten en Educación Secundaria Obli-gatoria se debe a que las Matemáticas del primer ciclo suelen ser impartidas por los maestros especialistas adscritos al departamento y, las del segundo, por los profesores de l cuerpo de secundaria.

La elección de las Matemáticas I de Bachillerato se basa fundamentalmente en muestro de-seo de incluir una asignatura de la etapa de secundaria no obligatoria, el Bachillerato, para que el opositor contraste y compare su propia programación con las de la etapa anterior. Por otra parte, el hecho de que esta asignatura sea la del primer curso se debe a que, en la práctica, la programación de las asignaturas de segundo curso está fuertemente mediatizada por los tema-rios de las Pruebas de Acceso a la Universidad.

Cada una de estas tres programaciones contiene una parte general que cumple con los requi-

con la suficiente amplitud, los aspectos fundamentales de las distintas unidades de los tres cursos seleccionados. De esta manera se facilita la preparación de la Unidad Didáctica que el opositor elija, de acuerdo con sus preferencias personales, para defenderla ante el tribunal de oposición.

Marco legalLa Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE), ha derogado todas las grandes

-posición final primera.

Una vez publicada la LOE, el gobierno ha promulgado una serie de Reales Decretos enca-minados al desarrollo de la citada Ley. El primero de ellos es el Real Decreto 806/2006, de 30 de junio, por el que se establece el calendario de aplicación de la nueva ordenación del sistema educativo, establecida por la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Según este calendario, y en lo que atañe a la Educación Secundaria Obligatoria (ESO) y el Bachillerato, durante el curso 2007/2008 deberán implantarse con carácter general los nuevos currículos de

Con relación a los nuevos currículos de ESO, el Ministerio de Educación y Ciencia ha pu-

mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. En desarrollo de esta norma básica, las Comunidades Autónomas han ido publicando sus Decretos de currículo de ESO a lo largo de los primeros meses de 2007 con la intención de que puedan ser implantados a partir del curso 2007/2008, tal como especifica el calendario de la LOE.

Con respecto al Bachillerato, se ha producido una importante demora en los plazos esta-blecidos por el MEC para la publicación de los nuevos currículos de enseñanzas mínimas toda

diciembre de 2006 como fecha tope para dicha publicación. Este incumplimiento de plazos por parte del MEC conlleva, como es lógico, el retraso forzado de los currículos de Bachillerato au-tonómico, aunque es preciso relativizar la gravedad de esta demora, toda vez que el nuevo Bachi-

para que el MEC y las Comunidades Autónomas elaboren y publiquen los nuevos currículos,

En espera de la publicación del Real Decreto de enseñanzas mínimas de Bachillerato, nos parece adecuado basar la programación de las materias de ESO en el borrador de dicho Real Decreto que, a fecha de hoy, ha sido dictaminado por el Consejo Escolar del Estado y, por tanto, es de inminente publicación.

Programación Didácticade las asignaturas de Matemáticas

del 2.º ciclo de la ESO


1. ANÁLISIS DEL CONTEXTO

2. FUNDAMENTACIÓN

3. OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA DE ENSEÑANZA SECUNDARIAOBLIGATORIA

4. OBJETIVOS GENERALES DEL ÁREA DE MATEMÁTICAS EN LA ESO

5. COMPETENCIAS BÁSICAS

6. CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN6.1. Tercer curso de la ESO6.2. Cuarto curso de la ESO

7. METODOLOGÍA

8. TEMAS TRANSVERSALES

9. ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD9.1. Utilización de las TIC9.2. El trabajo individual y el trabajo en equipo9.3. Atención a los alumnos inmigrantes

10. EVALUACIÓN10.1. ¿Qué evaluar?10.2. ¿Cómo evaluar?10.3. ¿Cuándo evaluar?

11. CRITERIOS DE CALIFICACIÓN

12. BIBLIOGRAFÍA

13. DIRECCIONES DE INTERNET

PROGRAMACIÓN DE AULA DE 3.er CURSO DE ESO

PROGRAMACIÓN DE AULA DE 4.º CURSO DE ESO

MATEMÁTICAS 69

1. ANÁLISIS DEL CONTEXTOEn una primera etapa analizaremos las características del contexto del centro educativo, que

deben de figurar en el Proyecto Educativo del Centro (PEC), para averiguar en qué forma incidenen la elaboración personalizada de nuestra Programación Didáctica. Como aspectos más signifi-cativos, nuestro análisis debe contemplar:

1. La localización del centro educativo: se trata de precisar las características geográficasde la localidad en la que se sitúa el centro educativo, precisando su número de habitantes,distancia a la capital, ámbito de influencia, análisis del entorno natural…

2. Las características socioeconómicas: en este apartado analizaremos el nivel socioeco-nómico de la población a la que nuestro centro presta sus servicios.

3. Las características del alumnado: reflejaremos en este apartado el número de alumnosy alumnas así como el porcentaje de repetidores, emigrantes, con necesidades educati-vas especiales, de diversificación, con altas capacidades…, es decir, el perfil de nuestroalumnado en orden a establecer las pautas metodológicas, de apoyo… más adecuadas.

4. Las características del centro educativo: este apartado debe de incluir, entre otras, las eta-pas educativas que imparte y el número de líneas autorizadas en cada una de ellas, la ratiomedia del alumnado en las distintas etapas educativas, los recursos humanos (profesores, per-sonal de servicios…), recursos educativos (material informático, audiovisual, biblioteca…).

Con el fin de precisar nuestra Programación Didáctica trataremos de situar nuestro análisisen un centro típico del ámbito semi-urbano, ya que éste suele ser el primer destino de cualquierprofesor de enseñanza secundaria.

De forma muy sucinta imaginaremos que se trata de un instituto situado en una localidad demenos de 10.000 habitantes, situada a unos 50 km de la capital. Se trata de un centro cuyo entor-no viene condicionado por actividades económicas que conjugan un perfil socioeconómico quecombina la atención a familias de la localidad con otras que tienen sus ocupaciones en el campoo en los pueblos y aldeas colindantes.

El instituto tiene autorizadas 4 líneas de ESO, en las que se escolarizan la mayor parte delalumnado, dos Bachilleratos (el de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y el de Humanidadesy Ciencias Sociales) y un Ciclo Formativo de Grado Medio. El alumnado del centro proviene dela localidad y de otras aldeas y pedanías limítrofes y, en los últimos años, se han incrementado elnúmero de inmigrantes que, en la actualidad, constituyen el 20% de la población escolar.

El instituto es relativamente nuevo y está bien equipado. Los profesores son jóvenes y, en un40%, ocupan la plaza en régimen de interinidad.



Por último, los alumnos se pueden clasificar, de forma mayoritaria, en un nivel medio, coninterés y motivación por los estudios que se ven dificultados por los problemas de adaptaciónde los alumnos inmigrantes y la escasez de recursos educativos propios, sobre todo en aquellosalumnos que proceden del medio rural.

2. FUNDAMENTACIÓNComo se ha dicho anteriormente, la programación de las matemáticas de ESO se basará en el

Real Decreto 1.631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimascorrespondientes a la Educación Secundaria Obligatoria. Es preciso advertir que esta norma afec-tará, desde el curso 2007/2008, a los currículos de matemáticas de 1.º y 3.º de ESO, demorándosela implantación de los currículos de 2.º y 4.º para el curso 2008/2009.

Aunque el nuevo Real Decreto introduce pocos cambios cualitativos en los contenidos ma-temáticos propiamente dichos, nos parece mucho más amplio y detallado que el anterior, lo que,a nuestro juicio, parece colisionar con los propios criterios sostenidos por el MEC de ofrecer uncurrículo abierto y susceptible de ser desarrollado y ampliado, en distintos grados de concreción,por las distintas comunidades autónomas e, incluso, por los centros educativos.

La novedad más sobresaliente, que afecta a todas las materias del currículo, es la inclusiónde las competencias básicas que, de acuerdo con el artículo 7 del Real Decreto, deben adquirirtodos los alumnos al finalizar la etapa de Educación Secundaria Obligatoria. Todas las programa-ciones de las distintas materias del currículo, en sus diferentes grados de concreción, deben estarorientadas a tal fin.

Otras novedades significativas son las siguientes

– En cada curso se incluye un primer bloque de “Contenidos comunes” que contieneestrategias, procedimientos y actitudes que deben trabajarse, de forma transversal,en los demás bloques del currículo.

– El bloque de “Aritmética y álgebra” del currículo anterior se escinde en dos, deno-minados “Números” y “Álgebra”.

– Los criterios de evaluación vuelven a estar enfocados a la adquisición de capacidades.

En general, pensamos que en la elaboración de este nuevo currículo se han mantenido mu-chos de los aspectos que considerábamos positivos en el currículo anterior. Así, además de res-petarse la mayor parte de los contenidos y su secuenciación, la redacción mantiene un tipo delenguaje que evita los tecnicismos psicopedagógicos, lo cual, a nuestro entender, agradecerá lamayor parte del profesorado.

En el preámbulo del currículo, además de las competencias básicas, a las que dedicamos elapartado 5 de esta publicación, se analizan las características de las matemáticas y se justifica suaprendizaje. Asimismo se establecen los principios y las pautas metodológicas que deben regir enesta disciplina, enfatizándose que:

…para que el aprendizaje sea efectivo, los nuevos conocimientos que se pretende que los alumnos construyan han de apoyarse en los que ya posee, tratando siempre de relacionarlos con su propia experiencia y de presentarlos preferentemente en un contexto de resolución de problemas. Algunos conceptos deben ser abordados desde situaciones preferiblemente intuitivas y cercanas al alumnado para luego ser retomados desde nuevos puntos de vista que añadan elementos de complejidad. La consolidación de los contenidos considerados complejos se realizará de forma gradual y cíclica, planteando situaciones que permitan abordarlos desde perspectivas más amplias o en conexión con nuevos contenidos.

Matemáticas del 2.º Ciclo de la ESO

MATEMÁTICAS 71

Tal como se ordena en el artículo 5.3 del ya referido Real Decreto 1631/2006, las adminis-traciones educativas podrán configurar las matemáticas de cuarto curso en dos opciones diferen-ciadas, con el fin de atender a la diversidad de motivaciones, intereses y ritmos de aprendizaje delos alumnos. A las matemáticas de la opción A se les asigna un carácter terminal que conlleva unmenor uso del simbolismo abstracto y una menor exigencia de precisión o rigor matemático, loque se traduce en una selección menos extensa de contenidos y, sobre todo, en la forma en queéstos habrán de ser tratados.

En esta publicación hemos optado por incluir, únicamente, la programación de las matemáti-cas de la opción B, de carácter propedéutico, acogiéndonos a su carácter básico extensible a todoel territorio nacional, ya que tal como se estipula en el artículo 8.2 del Real Decreto 1.631/2006:

En el caso de que la administración educativa no haga uso de la facultad establecida en el artículo 5.3, los contenidos y criterios de evaluación de las enseñanzas mínimas de la materia de Matemáticas correspondientes al cuarto curso, serán los que recoge el Anexo II como Matemáticas B.

Para finalizar, precisar que aunque los objetivos generales y criterios de evaluación de cadacurso son los que especifica el MEC en su Real Decreto de enseñanzas mínimas, al elaborar lasprogramaciones de aula de las dos materias seleccionadas hemos tenido en cuenta los contenidosque, en mayor o menor medida, han ido añadiendo las distintas comunidades autónomas, con elfin de que sean extensibles a todo el territorio nacional.

3. OBJETIVOS GENERALES DE LA ETAPA DE ENSEÑANZASECUNDARIA OBLIGATORIA

De acuerdo con el artículo 23 de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (LOE),la educación secundaria obligatoria contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las ca-pacidades que les permitan:

a) Asumir responsablemente sus deberes, conocer y ejercer sus derechos en el respeto a losdemás, practicar la tolerancia, la cooperación y la solidaridad entre las personas y gru-pos, ejercitarse en el diálogo afianzando los derechos humanos como valores comunesde una sociedad plural y prepararse para el ejercicio de la ciudadanía democrática.

b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipocomo condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje ycomo medio de desarrollo personal.

c) Valorar y respetar la diferencia de sexos y la igualdad de derechos y oportunidades entreellos. Rechazar los estereotipos que supongan discriminación entre hombres y mujeres.

d) Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la personalidad y en susrelaciones con los demás, así como rechazar la violencia, los prejuicios de cualquier tipo,los comportamientos sexistas y resolver pacíficamente los conflictos.

e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, consentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en elcampo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.

f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en dis-tintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemasen los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.



g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sen-tido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar,tomar decisiones y asumir responsabilidades.

h) Comprender y expresar con corrección, oralmente y por escrito, en la lengua castellanay, si la hubiere, en la lengua cooficial de la Comunidad Autónoma, textos y mensajescomplejos, e iniciarse en el conocimiento, la lectura y el estudio de la literatura.

i) Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras de manera apropiada.j) Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los

demás, así como el patrimonio artístico y cultural.k) Conocer y aceptar el funcionamiento del propio cuerpo y el de los otros, respetar las

diferencias, afianzar los hábitos de cuidado y salud corporales e incorporar la educaciónfísica y la práctica del deporte para favorecer el desarrollo personal y social. Conocer yvalorar la dimensión humana de la sexualidad en toda su diversidad. Valorar críticamentelos hábitos sociales relacionados con la salud, el consumo, el cuidado de los seres vivosy el medio ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.

l) Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestacionesartísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

Estos objetivos generales son aplicables a todas las áreas que componen el currículo de laESO. Se precisa, por tanto, concretarlos en nuestra área mediante unas adecuadas referencias,para lo cual adjuntamos a cada objetivo general del área las letras descriptivas de los objetivosgenerales de etapa con los que se conectan.

4. OBJETIVOS GENERALES DEL ÁREA DE MATEMÁTICASEN LA ESO

La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como finalidad el desarrollo de las si-guientes capacidades:

1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de argu-mentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos mate-máticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana (a, b, c, d, g, h).

2. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemá-ticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultadosutilizando los recursos más apropiados (b, e, f, g).

3. Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla mejor: utilizartécnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisisde los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculosapropiados a cada situación (b, e, f, g).

4. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálcu-los, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes deinformación, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos mate-máticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes (e, f, g, l).

5. Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, ana-lizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza quegeneran al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación (e, f, g, l).


MATEMÁTICAS 73

6. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores,etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones deíndole diversa y también como ayuda en el aprendizaje (e, f, g).

7. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modospropios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas,la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseve-rancia en la búsqueda de soluciones (f, g, h).

8. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identifica-ción y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorandola conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y desu carácter exacto o aproximado (e, f, g).

9. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y mostrar confianza enla propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito y adquirir un nivel de autoestimaadecuado que le permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos yutilitarios de las matemáticas (b, g, l).

10. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desdelas distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica (e, f).

11. Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un puntode vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar lascompetencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales comola diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad degénero o la convivencia pacífica (j, k, l).

5. COMPETENCIAS BÁSICASEl afán por mejorar los resultados obtenidos por nuestros alumnos en las últimas evalua-

ciones del programa PISA, que pone el acento en la adquisición de competencias en vez de encontenidos específicos, ha motivado, a nuestro modo de ver, que las autoridades del MEC hayandecidido incluir las Competencias Básicas en los nuevos currículos de la ESO, a modo de ejesvertebradores que deben orientar, de forma integradora, el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Tal como se explicita en el Anexo I del Real Decreto, el propósito que se persigue con lainclusión de las competencias básicas en el currículo es el de enfatizar los aprendizajes que seconsideran imprescindibles, desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación prácti-ca de los conocimientos adquiridos por los alumnos. En el marco de la propuesta realizada por laUnión Europea se han identificado las siguientes ocho competencias básicas:

a) Competencia en comunicación lingüística.

b) Competencia matemática.

c) Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

d) Tratamiento de la información y competencia digital.

e) Competencia social y ciudadana.

f) Competencia cultural y artística.

g) Competencia para aprender a aprender.

h) Autonomía e iniciativa personal.



En el preámbulo de cada materia se incluye un apartado donde se recoge la forma en quedicha materia contribuye a la adquisición de las competencias básicas. En el caso de las mate-máticas parece claro que, tal como manifiesta el propio documento:

Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje.

En un plano más concreto se indica que:

– Los contenidos geométricos contribuyen a profundizar la competencia en conocimien-to e interacción con el mundo físico, en tanto en cuanto refuerzan la capacidad de discri-minación de formas, relaciones y estructuras geométricas, y desarrollan la visión espacialy la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio.

– El tratamiento de la información y la competencia digital se fortalece a través de la in-corporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje ypara la resolución de problemas; la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico; y lainteracción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométricoy algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia delos alumnos.

– Las matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística en tanto encuanto utilizan la expresión oral y escrita en la formulación y expresión de las ideas. Porello, es importante que en cualquier situación relacionada con la enseñanza de esta ma-teria, y sobre todo en las que se plantean con la resolución de problemas, se profundiceen la expresión oral y escrita de los procesos realizados y de los razonamientos seguidos.En este sentido, el documento resalta que:

…el propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de

abstracto.

– Las matemáticas también contribuyen a la adquisición de la competencia en expresióncultural y artística porque esta disciplina es, en sí misma, una expresión universal de lacultura. A esta misma competencia contribuye, de un modo muy especial, la geometríaque subyace como base racional de una gran parte de las manifestaciones artísticas de lahumanidad, permitiendo, asimismo, describir y comprender el mundo que nos rodea yapreciar la belleza de sus estructuras naturales.

– La autonomía e iniciativa personal del alumnado se beneficia de los procesos involucra-dos en la resolución de problemas, que requieren de la utilización de estrategias persona-les, la asunción de retos y la toma de decisiones.

– Las técnicas heurísticas revierten en la adquisición de destrezas involucradas en la com-petencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistemati-zación, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados delpropio trabajo.

– La aportación a la competencia social y ciudadana de las matemáticas se deriva del rigorde esta materia, del trabajo en equipo necesario para abordar, de forma constructiva,algunos de sus contenidos, lo que permite valorar los puntos de vista ajenos en plano deigualdad con los propios.


MATEMÁTICAS 75

6. CONTENIDOS Y CRITERIOS DE EVALUACIÓN

6.1. Tercer curso de la ESO

ContenidosBloque 1. Contenidos comunes.

– Planificación y utilización de estrategias en la resolución de problemas tales como elrecuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines, y comproba-ción del ajuste de la solución a la situación planteada.

– Descripción verbal de relaciones cuantitativas y espaciales, y procedimientos de re-solución utilizando la terminología precisa.

– Interpretación de mensajes que contengan informaciones de carácter cuantitativo osimbólico o sobre elementos o relaciones espaciales.

– Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las rela-ciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.

– Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en lamejora de las encontradas.

– Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico,algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de pro-piedades geométricas.

Bloque 2. Números.– Números decimales y fracciones. Transformación de fracciones en decimales y vice-

versa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz.– Operaciones con fracciones y decimales. Cálculo aproximado y redondeo. Cifras

significativas. Error absoluto y relativo. Utilización de aproximaciones y redondeosen la resolución de problemas de la vida cotidiana con la precisión requerida por lasituación planteada.

– Potencias de exponente entero. Significado y uso. Su aplicación para la expresiónde números muy grandes y muy pequeños. Operaciones con números expresados ennotación científica. Uso de la calculadora.

– Representación en la recta numérica. Comparación de números racionales.Bloque 3. Álgebra.

– Análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas.– Sucesiones recurrentes. Las progresiones como sucesiones recurrentes.– Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y propiedades que

aparecen en conjuntos de números.– Traducción de situaciones del lenguaje verbal al algebraico.– Transformación de expresiones algebraicas. Igualdades notables.– Resolución de ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita. Sistemas de

dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.



– Resolución de problemas mediante la utilización de ecuaciones, sistemas y otrosmétodos personales. Valoración de la precisión, simplicidad y utilidad del lenguajealgebraico para resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana.

Bloque 4. Geometría.

– Determinación de figuras a partir de ciertas propiedades. Lugar geométrico.

– Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras a la resolución de problemas geomé-tricos y del medio físico.

– Traslaciones, simetrías y giros en el plano. Elementos invariantes de cada movi-miento.

– Uso de los movimientos para el análisis y representación de figuras y configuracio-nes geométricas.

– Planos de simetría en los poliedros.

– Reconocimiento de los movimientos en la naturaleza, en el arte y en otras construc-ciones humanas.

– Coordenadas geográficas y husos horarios. Interpretación de mapas y resolución deproblemas asociados.

– Curiosidad e interés por investigar sobre formas, configuraciones y relacionesgeométricas.

Bloque 5. Funciones y gráficas.

– Análisis y descripción cualitativa de gráficas que representan fenómenos del entornocotidiano y de otras materias.

– Análisis de una situación a partir del estudio de las características locales y globalesde la gráfica correspondiente: dominio, continuidad, monotonía, extremos y puntosde corte. Uso de las tecnologías de la información para el análisis conceptual y reco-nocimiento de propiedades de funciones y gráficas.

– Formulación de conjeturas sobre el comportamiento del fenómeno que representauna gráfica y su expresión algebraica.

– Análisis y comparación de situaciones de dependencia funcional dadas mediantetablas y enunciados.

– Utilización de modelos lineales para estudiar situaciones provenientes de los dife-rentes ámbitos de conocimiento y de la vida cotidiana, mediante la confección de latabla, la representación gráfica y la obtención de la expresión algebraica.

– Utilización de las distintas formas de representar la ecuación de la recta.

Bloque 6. Estadística y probabilidad.

– Necesidad, conveniencia y representatividad de una muestra. Métodos de selecciónaleatoria y aplicaciones en situaciones reales.

– Atributos y variables discretas y continuas.

– Agrupación de datos en intervalos. Histogramas y polígonos de frecuencias.


MATEMÁTICAS 77

– Construcción de la gráfica adecuada a la naturaleza de los datos y al objetivo deseado.

– Media, moda, cuartiles y mediana. Significado, cálculo y aplicaciones.

– Análisis de la dispersión: rango y desviación típica. Interpretación conjunta de lamedia y la desviación típica.

– Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar comparacio-nes y valoraciones. Actitud crítica ante la información de índole estadística.

– Utilización de la calculadora y la hoja de cálculo para organizar los datos, realizarcálculos y generar las gráficas más adecuadas.

– Experiencias aleatorias. Sucesos y espacio muestral. Utilización del vocabularioadecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.

– Cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace. Formulación y comproba-ción de conjeturas sobre el comportamiento de fenómenos aleatorios sencillos.

– Cálculo de la probabilidad mediante la simulación o experimentación.– Utilización de la probabilidad para tomar decisiones fundamentadas en diferentes

contextos. Reconocimiento y valoración de las matemáticas para interpretar, descri-bir y predecir situaciones inciertas.

Criterios de evaluación1. Utilizar los números racionales, sus operaciones y propiedades, para recoger, transfor-

mar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.Se trata de valorar la capacidad de identificar y emplear los números y las operacionessiendo conscientes de su significado y propiedades, elegir la forma de cálculo apropiada:mental, escrita o con calculadora, y estimar la coherencia y precisión de los resultadosobtenidos. Es relevante también la adecuación de la forma de expresar los números:decimal, fraccionaria o en notación científica, a la situación planteada. En los problemasque se han de plantear en este nivel adquiere especial relevancia el empleo de la notacióncientífica así como el redondeo de los resultados a la precisión requerida y la valoracióndel error cometido al hacerlo.

2. Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada mediante un enunciado y observar regularidades en secuencias numéricas obtenidas de situaciones reales mediante la obtención de la ley de formación y la fórmula correspondiente, en casos sencillos.A través de este criterio, se pretende comprobar la capacidad de extraer la informaciónrelevante de un fenómeno para transformarla en una expresión algebraica. En lo referen-te al tratamiento de pautas numéricas, se valora si se está capacitado para analizar regu-laridades y obtener expresiones simbólicas, incluyendo formas iterativas y recursivas.

3. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad para aplicar las técnicas de manipu-lación de expresiones literales para resolver problemas que puedan ser traducidos pre-viamente a ecuaciones y sistemas. La resolución algebraica no se plantea como el únicométodo de resolución y se combina también con otros métodos numéricos y gráficos,mediante el uso adecuado de los recursos tecnológicos.



4. Reconocer las transformaciones que llevan de una figura geométrica a otra median-te los movimientos en el plano y utilizar dichos movimientos para crear sus propias composiciones y analizar, desde un punto de vista geométrico, diseños cotidianos, obras de arte y configuraciones presentes en la naturaleza.

Con este criterio se pretende valorar la comprensión de los movimientos en el plano, paraque puedan ser utilizados como un recurso más de análisis en una formación natural oen una creación artística. El reconocimiento de los movimientos lleva consigo la iden-tificación de sus elementos característicos: ejes de simetría, centro y amplitud de giro,etc. Igualmente los lugares geométricos se reconocerán por sus propiedades, no por suexpresión algebraica. Se trata de evaluar, además, la creatividad y capacidad para mani-pular objetos y componer movimientos para generar creaciones propias.

5. Utilizar modelos lineales para estudiar diferentes situaciones reales expresadas me-diante un enunciado, una tabla, una gráfica o una expresión algebraica.

Este criterio valora la capacidad de analizar fenómenos físicos, sociales o provenientesde la vida cotidiana que pueden ser expresados mediante una función lineal, construir latabla de valores, dibujar la gráfica utilizando las escalas adecuadas en los ejes y obtenerla expresión algebraica de la relación. Se pretende evaluar también la capacidad paraaplicar los medios técnicos al análisis de los aspectos más relevantes de una gráfica yextraer, de ese modo, la información que permita profundizar en el conocimiento delfenómeno estudiado.

6. Elaborar e interpretar informaciones estadísticas teniendo en cuenta la adecuación de las tablas y gráficas empleadas, y analizar si los parámetros son más o menos significativos.

Se trata de valorar la capacidad de organizar, en tablas de frecuencias y gráficas, in-formación de naturaleza estadística, atendiendo a sus aspectos técnicos, funcionales yestéticos (elección de la tabla o gráfica que mejor presenta la información), y calcular,utilizando si es necesario la calculadora o la hoja de cálculo, los parámetros centrales(media, mediana y moda) y de dispersión (recorrido y desviación típica) de una distribu-ción. Asimismo, se valorará la capacidad de interpretar información estadística dada enforma de tablas y gráficas y de obtener conclusiones pertinentes de una población a partirdel conocimiento de sus parámetros más representativos.

7. Hacer predicciones sobre la posibilidad de que un suceso ocurra a partir de infor-mación previamente obtenida de forma empírica o como resultado del recuento de posibilidades, en casos sencillos.

Se pretende medir la capacidad de identificar los sucesos elementales de un experimentoaleatorio sencillo y otros sucesos asociados a dicho experimento. También la capacidadde determinar e interpretar la probabilidad de un suceso a partir de la experimentacióno del cálculo (regla de Laplace), en casos sencillos. Por ello tienen especial interés lassituaciones que exijan la toma de decisiones razonables a partir de los resultados de laexperimentación, simulación o, en su caso, del recuento.

8. Planificar y utilizar estrategias y técnicas de resolución de problemas tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines y comprobar el ajuste de la solución a la situación planteada y expresar verbalmente con preci-sión, razonamientos, relaciones cuantitativas, e informaciones que incorporen ele-mentos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello.


MATEMÁTICAS 79

Se trata de evaluar la capacidad para planificar el camino hacia la resolución de un pro-blema e incorporar estrategias más complejas a su resolución. Se evalúa, así mismo, laperseverancia en la búsqueda de soluciones, la coherencia y ajuste de las mismas a lasituación que ha de resolverse así como la confianza en la propia capacidad para lograrlo.También, se trata de valorar la precisión del lenguaje utilizado para expresar todo tipo deinformaciones que contengan cantidades, medidas, relaciones, numéricas y espaciales,así como estrategias y razonamientos utilizados en la resolución de un problema.

6.2. Cuarto curso de la ESO (opción B)

ContenidosBloque 1. Contenidos comunes.

– Planificación y utilización de procesos de razonamiento y estrategias de resoluciónde problemas, tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generaliza-ción.

– Expresión verbal de argumentaciones, relaciones cuantitativas y espaciales y proce-dimientos de resolución de problemas con la precisión y rigor adecuados a la situa-ción.

– Interpretación de mensajes que contengan argumentaciones o informaciones de ca-rácter cuantitativo o sobre elementos o relaciones espaciales.

– Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas, comprender las rela-ciones matemáticas y tomar decisiones a partir de ellas.

– Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones a los problemas y en lamejora de las encontradas.

– Utilización de herramientas tecnológicas para facilitar los cálculos de tipo numérico,algebraico o estadístico, las representaciones funcionales y la comprensión de pro-piedades geométricas.

Bloque 2. Números.– Reconocimiento de números que no pueden expresarse en forma de fracción. Núme-

ros irracionales.– Representación de números en la recta real. Intervalos. Significado y diferentes for-

mas de expresar un intervalo.– Interpretación y uso de los números reales en diferentes contextos eligiendo la nota-

ción y aproximación adecuadas en cada caso.– Expresión de raíces en forma de potencia. Radicales equivalentes. Comparación y

simplificación de radicales.– Utilización de la jerarquía y propiedades de las operaciones para realizar cálculos

con potencias de exponente entero y fraccionario y radicales sencillos.– Utilización de la calculadora para realizar operaciones con cualquier tipo de expre-

sión numérica. Cálculos aproximados. Reconocimiento de situaciones que requieranla expresión de resultados en forma radical.



Bloque 3. Álgebra.

– Manejo de expresiones literales. Utilización de igualdades notables.

– Resolución gráfica y algebraica de los sistemas de ecuaciones. Resolución de proble-mas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas.

– Resolución de otros tipos de ecuaciones mediante ensayo-error o a partir de métodosgráficos con ayuda de los medios tecnológicos.

– Resolución de inecuaciones. Interpretación gráfica. Planteamiento y resolución deproblemas en diferentes contextos utilizando inecuaciones.

Bloque 4. Geometría.

– Razones trigonométricas. Relaciones entre ellas. Relaciones métricas en los triángulos.

– Uso de la calculadora para el cálculo de ángulos y razones trigonométricas.

– Aplicación de los conocimientos geométricos a la resolución de problemas métricosen el mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes.

– Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

Bloque 5. Funciones y gráficas.

– Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o ex-presión analítica. Análisis de resultados.

– La tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo.Análisis de distintas formas de crecimiento en tablas, gráficas y enunciados verbales.

– Funciones definidas a trozos. Búsqueda e interpretación de situaciones reales.

– Reconocimiento de otros modelos funcionales: función cuadrática, de proporcio-nalidad inversa, exponencial y logarítmica. Aplicaciones a contextos y situacionesreales. Uso de las tecnologías de la información en la representación, simulación yanálisis gráfico.

Bloque 6. Estadística y probabilidad.

– Identificación de las fases y tareas de un estudio estadístico.

– Análisis elemental de la representatividad de las muestras estadísticas.

– Gráficas estadísticas: gráficas múltiples, diagramas de caja. Análisis crítico de tablasy gráficas estadísticas en los medios de comunicación. Detección de falacias.

– Representatividad de una distribución por su media y desviación típica o por otrasmedidas ante la presencia de descentralizaciones, asimetrías y valores atípicos. Va-loración de la mejor representatividad en función de la existencia o no de valoresatípicos. Utilización de las medidas de centralización y dispersión para realizar com-paraciones y valoraciones.

– Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbolpara el recuento de casos y la asignación de probabilidades. Probabilidad condicionada.

– Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones rela-cionadas con el azar.


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Criterios de evaluación1. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades,

para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas rela-cionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico.

Se trata de valorar la capacidad de identificar y emplear los distintos tipos de númerosy las operaciones siendo conscientes de su significado y propiedades, elegir la formade cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora) y estimar la coherencia yprecisión de los resultados obtenidos. En este nivel adquiere especial importanciaobservar la capacidad para adecuar la solución (exacta o aproximada) a la precisiónexigida en el problema, particularmente cuando se trabaja con potencias, radicales ofracciones.

2. Representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas utilizando símbolos y métodos algebraicos para resolver problemas.

Este criterio va dirigido a comprobar la capacidad de usar el álgebra simbólica pararepresentar y explicar relaciones matemáticas y utilizar sus métodos en la resolución deproblemas mediante inecuaciones, ecuaciones y sistemas.

3. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas direc-tas e indirectas en situaciones reales.

Se pretende comprobar la capacidad de desarrollar estrategias para calcular magnitudesdesconocidas a partir de otras conocidas, utilizar los instrumentos de medida disponibles,aplicar las fórmulas apropiadas y desarrollar las técnicas y destrezas adecuadas para rea-lizar la medición propuesta.

4. Identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de fun-ción que puede representarlas, y aproximar e interpretar la tasa de variación media a partir de una gráfica, de datos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica.

Este criterio pretende evaluar la capacidad de discernir a qué tipo de modelo de entre losestudiados, lineal, cuadrático, de proporcionalidad inversa, exponencial o logarítmica,responde un fenómeno determinado y de extraer conclusiones razonables de la situaciónasociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías de lainformación. Además, a la vista del comportamiento de una gráfica o de los valores nu-méricos de una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el fenómenoestudiado. Para ello será preciso la aproximación e interpretación de la tasa de variaciónmedia a partir de los datos gráficos, numéricos o valores concretos alcanzados por laexpresión algebraica.

5. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros esta-dísticos más usuales en distribuciones unidimensionales y valorar cualitativamente la representatividad de las muestras utilizadas.

En este nivel adquiere especial significado el estudio cualitativo de los datos disponiblesy las conclusiones que pueden extraerse del uso conjunto de los parámetros estadísticos.Se pretende, además, que se tenga en cuenta la representatividad y la validez del procedi-miento de elección de la muestra y la pertinencia de la generalización de las conclusionesdel estudio a toda la población.



6. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferen-tes situaciones y problemas de la vida cotidiana.

Se pretende que sean capaces de identificar el espacio muestral en experiencias simplesy compuestas sencillas, en contextos concretos de la vida cotidiana, y utilicen la regla deLaplace, los diagramas de árbol o las tablas de contingencia para calcular probabilidades.Se pretende, además, que los resultados obtenidos se utilicen para la toma de decisionesrazonables en el contexto de los problemas planteados.

7. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de pro-blemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización, y ex-presar verbalmente, con precisión y rigor, razonamientos, relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello.

Se trata de evaluar la capacidad para planificar el camino hacia la resolución de un pro-blema, comprender las relaciones matemáticas y aventurar y comprobar hipótesis, con-fiando en su propia capacidad e intuición. También, se trata de valorar la precisión yel rigor del lenguaje utilizado para expresar todo tipo de informaciones que contengancantidades, medidas, relaciones, numéricas y espaciales, así como estrategias y razona-mientos utilizados en la resolución de un problema.

7. METODOLOGÍA

El binomio enseñanza-aprendizaje en toda la etapa de ESO se asienta sobre una serie decaracterísticas que deben ser tratadas de forma simultánea y desde múltiples aspectos, entre ellasdestacamos las siguientes:

– Los alumnos son protagonistas de su propio aprendizaje, por lo que se constituyen enel centro del mismo. No existe un único tipo de enseñanza-aprendizaje dirigido desde lalección magistral del profesor hacia el grupo de alumnos. Cada uno de ellos construirá supropio aprendizaje, a su ritmo, partiendo de sus capacidades individuales que deben serreforzadas con la ayuda del profesor y de todos y cada uno de los variados elementos queconstituyen el proceso educacional. Se pretende, pues, la implantación de un aprendiza-je significativo en el que lo importante es que cada alumno pueda construir significadosy atribuir sentido a lo que aprende.

– Será objetivo primordial, la formación en valores productora de ciudadanos libres, res-ponsables, críticos y abiertos a la participación, cooperación...

– Se deberá de potenciar el desarrollo de capacidades en detrimento de la mera acumula-ción conceptual.

– Cada Unidad Didáctica deberá incluir actividades de iniciación, refuerzo y ampliación,con las que atender la diversidad de nuestros alumnos.

En lo que a nuestra materia, las Matemáticas, se refiere, no hay que olvidar que su valor educa-tivo se concreta en tres aspectos que deberán de ser atendidos de manera equilibrada y que son:

– Formativo de capacidades intelectuales y cognitivas.

– Funcional, en cuanto la actividad matemática posibilita un mejor tratamiento de losproblemas derivados del ámbito extraescolar.


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– Instrumental, por cuanto se proporciona una base científica unificadora de otras mu-chas actividades encasilladas en otras áreas del currículo educativo.

Como consecuencia de todo lo anterior, nuestra metodología a la hora de enseñar Matemáti-cas deberá de partir de los hechos que habitualmente ocurren en el contexto social del individuo yse desarrollará de manera empírica e inductiva, a través de la experiencia personal de cada alumnoy alumna. El aprendizaje matemático se asemejará, de esta manera, al desarrollo histórico del pro-pio conocimiento matemático, siendo especialmente aconsejables todas aquellas actividades querequieran un esfuerzo investigador por parte del alumnado, como la resolución de problemas o lospequeños trabajos de investigación que requieren del trabajo en equipo. Conforme se vaya avan-zando en el proceso educativo y en función de la maduración matemática de nuestro alumnado seirán introduciendo actividades que potencien el razonamiento deductivo y de la abstracción.

De modo esquemático, nuestra actuación metodológica deberá de guiarse por los siguientesprincipios, en los que se basa la teoría del aprendizaje significativo:

1. El proceso de enseñanza-aprendizaje debe estar relacionado con los intereses, las nece-sidades y experiencias de los alumnos en su entorno inmediato, es decir, se ajustará a laestructura psicológica del alumnado.

2. La información que se le proporcione a los alumnos deberá de ser, en todo momento,comprensible, lógica y de utilidad, bien porque se le haga ver su relación con otras ma-terias del currículo o su aplicación a la vida cotidiana.

3. Es importante que los alumnos den significado a los nuevos conocimientos y los relacio-nen con los que ya poseen.

4. Se debe de cuidar el trabajo conjunto entre profesor y alumnos de manera que se produz-can interacciones que faciliten la socialización del grupo.


Uno de los aportes más significativos de la LOGSE es la obligación de incorporar en todaslas áreas del currículo diversos elementos educativos básicos agrupados en los siguientes temastransversales:

– Educación para la igualdad de oportunidades entre ambos sexos.

– Educación del consumidor.

– Educación sexual.

– Educación para la paz.

– Educación medioambiental.

– Educación para la salud.

– Educación vial.

– Educación moral y cívica.

La educación del consumidor es un tema que puede trabajarse en casi todas las unidadesdel currículo, a través de actividades específicas relacionadas con compras, ventas, matemáticasfinancieras, gráficas de consumo, recibos, estadísticas…



La educación medioambiental también resulta bastante apropiada para figurar en el contextode muchas actividades que pueden estar relacionadas, por ejemplo, con el deterioro medioam-biental producido por la mano del hombre (destrucción de bosques, contaminación atmosférica,deshechos radioactivos…), la escasez y distribución de alimentos o de agua…

La educación para la salud también puede trabajarse a través de actividades específicas rela-cionadas con los hábitos alimenticios, los aspectos nocivos de las drogas, los efectos saludablesdel ejercicio físico…

La educación vial puede trabajar mediante actividades sobre escalas, planos, mapas, auto-móviles, semáforos, estudios estadísticos sobre número de accidentes que se deben a no llevar elcaso puesto cuando se conduce una moto…

Por último, en estadística se deberán incluir actividades que estén relacionadas con los derechosde la infancia, la igualdad del hombre y la mujer, la situación de la población del tercer mundo…Estas actividades y una especial atención a la educación en valores, incluida también en el currícu-lo, deben ser las bases fundamentales con las que atenderemos a los demás temas transversales.

9. ATENCIÓN A LA DIVERSIDADLos grupos de Matemáticas de ESO suelen ser bastante heterogéneos, es decir, están formados

por alumnos de muy diversa índole que tienen distintas motivaciones, intereses o aptitudes. Así, enun grupo normal podremos tener sobre un 10% de alumnos que son repetidores, otros pocos alum-nos que presentan graves problemas de adaptación, de los cuales, algunos pueden ser inmigrantesy otros estar incluidos en grupos de diversificación curricular. También habrá un porcentaje eleva-do de alumnos de nivel medio y otro pequeño porcentaje de alumnos de nivel superior.

Una vez que el profesor ha evaluado (evaluación inicial) las capacidades iniciales de sus alum-nos y tomado nota de la situación de cada uno de ellos, deberá programar un plan de atención a ladiversidad que conlleve una atención preferente a los alumnos más necesitados y que se plasmeen la elaboración de materiales y metodologías especiales, lo que se suele denominar adaptacionescurriculares. De estas adaptaciones curriculares estarán exentos los alumnos que ya están inclui-dos en un grupo de diversificación curricular, ya que éstos no seguirán el normal desarrollo de lasclases de Matemáticas, sino que se agruparán con otros profesores, dependientes del Departamentode Orientación, que reciben distintos nombres según la comunidad de procedencia (profesores deámbito…). Los demás alumnos que destaquen de la normalidad, ya sea por su nivel bajo o alto, sonlos que deben de recibir este tratamiento especial que, en términos generales, se concreta en unametodología de atención personalizada y en unas posibles adaptaciones personales del currículoque incluyen la modificación parcial de objetivos, criterios de evaluación, contenidos o de técnicasde valuación, pero siempre respetando unos mínimos establecidos para todo el grupo.

Centrándonos en los alumnos de nivel bajo o que presentan una cierta repulsa hacia las Ma-temáticas, existen algunas técnicas, además de la adaptación de las actividades, que suelen darbuenos resultados. Entre ellas destacaremos el empleo de las TIC (Tecnología de la Informacióny de la Comunicación, como puede ser el ordenador, el material audiovisual, la calculadora grá-fica…) o el trabajo en equipo.

9.1. Utilización de las TICLa utilización de las TIC es altamente satisfactoria en la recuperación de los alumnos de bajo

rendimiento, ya que suele ser un elemento motivador de enorme importancia.


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Los institutos disponen de un aula de Informática en la que el profesor puede disponer deprogramas que le ayuden en la enseñanza de las Matemáticas. Aunque existen programas espe-cíficos, tipo Derive o Mathematica, estos no son los más adecuados para esta etapa, ya que estánenfocados a la Matemática superior. Más adecuados nos parecen otros tipos de programas, comola hoja de cálculo Excel o el procesador de textos Word, con los que se pueden realizar cálculosaritméticos, estadísticos y gráficas de todo tipo. Este tipo de programas tiene la ventaja de sermuy populares, por lo que los alumnos podrán manejarlos en sus propias casas.

Otros recursos importantes que los alumnos pueden manejar en la propia clase son las cal-culadoras científicas o las calculadoras gráficas. La calculadora científica es un instrumentobien conocido de enorme importancia en la enseñanza de las Matemáticas. La calculadora grá-fica es un recurso menos conocido y, por tanto, menos empleado, que, sin embargo, facilita elaprendizaje de cualquier tipo de alumnos y, sobre todo, de aquellos que necesitan de un especialrefuerzo educativo en clase de Matemáticas. Si bien el manejo de una calculadora gráfica es máscomplicado que el de una calculadora normal esto no suele ser un problema importante para losniños de estas edades, más hábiles que los profesores a la hora de manejarse con cualquier tipode aparato electrónico. Una vez que los alumnos han aprendido el significado y el manejo de lasdistintas teclas de la calculadora (aprendizaje que suelen hacer de forma rápida, por el sistema deensayo-error), las ventajas de su utilización como recurso didáctico son evidentes, así, en relacióncon los contenidos de aritmética:

– La pantalla de la calculadora gráfica, más grande que la normal, permite visualizar cual-quier tipo de operación numérica y corregirla.

– Una vez introducida una operación combinada se puede alterar su estructura para que losalumnos vean cómo el cambio de signo o el cambio de paréntesis, por ejemplo, alteran elresultado final.

– Se puede razonar sobre las propiedades de las operaciones numéricas, sobre todo con lapropiedad distributiva.

– Facilita el cálculo con decimales y con fracciones, incrementando el grado de autoestimade aquellos alumnos que son incapaces de realizar una sencilla operación con númerosfraccionarios.

– Las operaciones sencillas que se realizan con la calculadora pueden, posteriormente,ser efectuadas de forma manual en la pizarra de forma más comprensible para aquellosalumnos que, en su momento, presentaron serias dificultades de aprendizaje.

– Al liberar a los alumnos del cálculo manual, les proporciona tiempo para centrarse enotros aspectos de aquellos problemas que requieran de una mayor reflexión.

En un nivel superior, la calculadora gráfica también puede ser de gran ayuda en la compren-sión de relaciones algebraicas y en la elaboración e interpretación de gráficas.

9.2. El trabajo individual y el trabajo en equipo

Está probado que los alumnos se ayudan y aprenden unos de otros de una forma más sig-nificativa cuando lo hacen en equipo. Las agrupaciones puntuales para resolver un problema oelaborar un determinado proyecto son una buena estrategia que posibilita, no sólo el aprendizajede las matemáticas, sino que sirve también para que los alumnos se relacionen y adquieran con-tenidos de carácter actitudinal.



Los distintos tipos de agrupamiento se clasifican según el número de alumnos que participany en consonancia con los objetivos específicos que se persiguen. Aunque existen distintas clasifi-caciones, nosotros propondremos solamente tres, que denominaremos como gran grupo, grupopequeño y trabajo individual.

– Gran grupo: engloba el total de la clase y es un agrupamiento útil para realizar debates(por ejemplo al inicio de un tema, cuando se repasan conceptos previos o cuando seexponen conclusiones); para solucionar problemas que implican la mejora de las relacio-nes entre los alumnos o las de éstos con el profesor y para acordar normas de actuaciónconsensuadas.

– Pequeño grupo: está compuesto de una media de 4 o 5 alumnos y es el agrupamientoideal para la realización de actividades de cierta importancia o complejidad que nece-siten de un trabajo cooperativo. La ventaja de este tipo de agrupamientos es que losalumnos son más participativos y se expresan con más libertad que en el gran grupo.

– Trabajo individual: permite que cada alumno trabaje a su ritmo, con la ayuda del pro-fesor que, a su vez, podrá comprobar el nivel y rendimiento de cada alumno, detectar susdificultades y asignarle tareas motivadoras que le impulsen en su aprendizaje.

9.3. Atención a los alumnos inmigrantes

La metodología a aplicar en el caso de los alumnos inmigrantes debe:

– Evaluar el nivel de conocimientos inicial del alumno inmigrante para precisar qué obje-tivos y criterios de evaluación se le va aplicar.

– Vigilar el nivel de comprensión de los alumnos ante cualquier actividad que se les enco-mienden.

– Prestar una especial atención a la enseñanza de las operaciones aritméticas elementales,relacionándolas con situaciones reales de la vida cotidiana y presentándolas en un con-texto de resolución de problemas.

– Trabajar los contenidos relacionados con la medida de forma experimental, establecien-do comparaciones entre nuestras unidades de medida y la de los países de origen de losalumnos inmigrantes.

– Trabajar de forma manipulativa los contenidos de Geometría y relacionarlos con lasfiguras y objetos que nos rodean, naturales o artificiales.

– Trabajar, en colaboración con el departamento de Lengua, el lenguaje usual a emplearen clase de matemáticas para evitar, por ejemplo, el empleo de frases coloquiales quepueden confundir a los alumnos.

10. EVALUACIÓN

Evaluar el proceso de enseñanza-aprendizaje en Matemáticas requiere de una profunda pla-nificación, ya que no se trata solamente de medir los conocimientos adquiridos por nuestrosalumnos sino, también, de disponer de las fuentes fiables y necesarias que nos permitan elaborarpropuestas destinadas a favorecer el desarrollo intelectual de los mismos y corregir nuestra propiapráctica docente.


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La evaluación es, por tanto, un proceso que debe incardinarse en el proyecto global del currí-culo de Matemáticas, enfocado a la construcción de aprendizajes significativos y al desarrollo delas actividades intelectuales de los alumnos. No procede, en consecuencia, definir la evaluacióncomo el resultado de una medida objetiva basada en una serie de pruebas que, en cualquier caso,son una componente más del proceso evaluativo.

La siguiente tabla comparativa nos muestra las diferencias entre los fines y objetivos de laevaluación tradicional y la que se propugna en este documento:

EVALUACIÓN TRADICIONAL EVALUACIÓN MODERNA

Solamente se evalúa a los alumnos.Se evalúan los alumnos y la labor del profesor, sumetodología y las actividades que ha desarrolladoen el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Se refleja en datos cuantitativos. Se refleja en datos cuantitativos y cualitativos.

Se basa en las respuestas de los alumnos.Además de las respuestas de los alumnos tiene encuenta, también, los procesos y los procedimientosque han utilizado para inferirlas.

La calificación mide lo que el alumno sabeexpresar o reproducir de forma oral o escrita.

La calificación distingue entre lo que el alumnosabe realmente y la forma en que lo expresa.

Se evalúa solamente los contenidos especí-ficos que se han impartido a los alumnos.

Se evalúan los conocimientos, las habilidades in-telectuales y las destrezas adquiridas por los alum-nos durante el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Un aspecto importante de la evaluación, que todo profesor de Matemáticas debe de tener encuenta es la detección de errores significativos en sus alumnos. Esta detección de errores requiereuna profunda reflexión sobre los mecanismos procedimentales que los alumnos aplican al resol-ver una determinada actividad, lo que requiere de una continua interrelación entre el profesor ylos alumnos. Desde esta óptica, el nuevo concepto de evaluación se configura como un procesosistemático y continuo, basado en la observación y en el diálogo, que nos da información signi-ficativa sobre las componentes fundamentales del proceso global de enseñanza-aprendizaje y, enparticular, sobre nuestra tarea de docentes de manera que, en un momento determinado, podamosreconducirla. Las decisiones de evaluación deben de responder a las clásicas preguntas de:

– ¿Qué evaluar?– ¿Cómo evaluar?– ¿Cuándo evaluar?– ¿Para qué evaluar?La respuesta a la cuarta pregunta ya ha sido suficientemente contestada en la explicación que

antecede a este párrafo, por tanto, intentaremos responder de forma adecuada a las otras tres.

10.1. ¿Qué evaluar?En respuesta a esta primera pregunta destacaremos que, sobre todo, convendrá establecer

unos criterios claros y precisos que nos permitan obtener información objetiva sobre:1. El aprendizaje de los alumnos, incluidos:

– Los conceptos asimilados.– Los procedimientos que son capaces de ejecutar.



– Las destrezas adquiridas.

– La capacidad de resolver problemas.

– La capacidad para comunicarse.

– La capacidad para razonar.

– Las habilidades intelectuales.

– Las actitudes.

2. La metodología aplicada por el profesor.

3. La adecuación de los recursos utilizados y de las actividades desarrolladas en clase yfuera de clase.

4. La fiabilidad de los instrumentos de medida que utilizamos para evaluar.

Si nos centramos en el aprendizaje de los alumnos, conviene matizar que:

– La asimilación de los conceptos, por parte del alumno, debe de ser evaluada en relación conla forma en que éste es capaz de reconocer y de comprender los conceptos estudiados y, enun estadio más avanzado, las estructuras y esquemas conceptuales que los engloban y rela-cionan. Esta comprensión sobrepasa la mera memorización de hechos, definiciones o pro-posiciones matemáticas e involucra otras capacidades no estrictamente memorísticas, comoson la de poder dar distintas interpretaciones de un mismo concepto, comparar conceptosdiferentes o equivalentes o conectarlos empleando esquemas y diagramas adecuados.

– La evaluación de los procedimientos requiere analizar los distintos pasos en los que sepuede descomponer el procedimiento o los procedimientos que los alumnos ponen enpráctica para ejecutar una operación, dibujar una gráfica, resolver una ecuación o realizaruna construcción geométrica, por poner unos pocos ejemplos.

– La evaluación de las destrezas implica una observación sobre la confianza y la habilidadcon que el alumno es capaz de efectuar todo tipo de cálculos numéricos directos (men-tales, manuales o con la calculadora), utilizar los recursos habituales que se utilizan enclase de Matemáticas (útiles de dibujo, calculadora, ordenador…).

– Para evaluar la capacidad de un alumno a la hora de comunicarse en términos matemá-ticos deberemos prestar atención a la claridad y la precisión del lenguaje que utiliza.En este sentido se hará un seguimiento de la forma en que expresa un concepto o cómodescribe un procedimiento determinado. De igual manera observaremos la forma en queutiliza el lenguaje matemático a la hora de argumentar o defender determinadas posturas,en situaciones de diálogo o de discusión.

– Los métodos que nos permiten evaluar la capacidad de un alumno a la hora de resolverun problema son muy variados. Entre ellos destacaremos la observación sistemática delalumno cuando se enfrenta con un problema, ya sea en solitario o en grupo, la atención alas explicaciones que el alumno da en relación con sus propios procesos mentales o sobrelas estrategias que va a utilizar en la resolución del problema…

– La capacidad para razonar se evalúa a través de la capacidad de los alumnos para conje-turar, inferir, analizar, generalizar, elaborar argumentos, formular hipótesis… El razona-miento tiene distintos componentes que se relacionan con las distintas áreas del currícu-lo, así habrá alumnos que muestren una especial capacidad de razonamiento inductivo,deductivo o lógico que, a su vez, estará relacionado con los contenidos de aritmética,álgebra, geometría…


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– En relación con las habilidades adquiridas por nuestros alumnos, prestaremos atencióna la forma en que utilizan sus capacidades para calcular, inferir, comunicar, imaginar,estimar, medir, analizar, organizar, crear o generalizar.

– Para calibrar las actitudes de un alumno, en relación con el aprendizaje de Matemáticas,deberemos prestar una especial atención a la confianza que manifiesta en sus interven-ciones durante el desarrollo de las clases, su grado de participación en los debates, sucuriosidad, su perseverancia, su capacidad de esfuerzo, el interés que pone en realizarlas tareas que se les encomienda, si es ordenado y lleva el cuaderno al día o si entregapuntualmente las tareas recomendadas.

10.2. ¿Cómo evaluar?En relación con el ¿cómo evaluar el aprendizaje de los alumnos? existen muchas técnicas

que nos permiten obtener información relevante y significativa sobre el progreso realizado pornuestros alumnos, en relación con las características anteriormente reseñadas. Entre ellas, y sinánimo de ser exhaustivos, destacaremos las siguientes:

– Los cuestionarios.– Las entrevistas.– La autoevaluación.– La coevaluación.– El análisis y corrección de actividades en clase.– Pruebas escritas de distintos modelos: de opción múltiplo, abiertas…– Ejecución de tareas extraescolares.– Control del cuaderno de clase.– Control de faltas.– Control de conducta.

10.3. ¿Cuándo evaluar?Sobre el ¿cuándo evaluar? existen tres momentos que se corresponden con:

– La evaluación de diagnóstico: se realiza al principio del proceso de enseñanza-aprendiza-je e informa sobre el nivel de las capacidades iniciales de los alumnos, permitiendo realizarlas modificaciones pertinentes a la Programación Didáctica, para que esté en consonanciacon las necesidades generales del grupo de alumnos. Cuando, a través de la evaluaciónde diagnóstico, se detecte algún problema de mayor alcance será necesario efectuar otrascomprobaciones (cuestionarios, entrevistas con el alumno afectado y con sus padres, in-tervención del Departamento de Orientación…) para analizar en mayor profundidad lanecesidades educativas que conllevan el problema o los problemas detectados y programarsoluciones, que se pueden traducir en las correspondientes adaptaciones curriculares.

– La evaluación formativa: se realiza a lo largo de todo el proceso de enseñanza-apren-dizaje y facilita una información puntual y periódica sobre el progreso de los alumnos.Este tipo de evaluación requiere de una cuidadosa observación del trabajo diario de losalumnos, reflejado en el cuaderno de clase, sus intervenciones para hacer propuestas,



aclarar dudas, resolver actividades en la pizarra o en el pupitre solos o en grupos… Estaevaluación, además de informarnos sobre los avances de los alumnos, nos ofrece unainformación adicional sobre la eficacia de nuestra metodología, de los contenidos pro-gramados o de las actividades propuestas para realizar las oportunas modificaciones que,posteriormente, serán incorporadas a la programación de aula.

– La evaluación final: se trata de una evaluación sumativa en la que se tienen en cuentanumerosos factores, que se efectúa al final de cada proceso y que informa sobre la con-secución de los objetivos propuestos. Este tipo de evaluación, que se realiza al final delperiodo lectivo, también conviene efectuarla al final de cada bloque de contenidos paraextraer conclusiones relevantes sobre la oportunidad de seguir con los demás contenidosprogramados, modificarlos o repasar los del periodo evaluado, ya que, dada la estructuracíclica de las Matemáticas, no es conveniente que los alumnos pasen de un contenido aotro sin haber afianzado, suficientemente, el primero de ellos.

11. CRITERIOS DE CALIFICACIÓNLos criterios de calificación describen la forma en la que los profesores elaboramos las notas

o calificaciones de nuestros alumnos. En este apartado, obligatorio en cualquier ProgramaciónDidáctica, no hay un acuerdo ni una pauta clara sobre qué elementos del currículo tienen mayorpeso específico a la hora de aplicar una nota final.

Nuestra propuesta es la de que, a la hora de calificar, se deberán tener en cuenta todas lasobservaciones que conduzcan a medidas objetivas y subjetivas sobre el rendimiento y el grado deprogresión de los alumnos. Los criterios de calificación deben de ser conocidos por los alumnoscon la suficiente antelación, es decir, al principio de curso, y especificarán aspectos tales como:

– La actitud de los alumnos, que engloba su comportamiento, interés, motivación… y a laque algunos profesores aplican entre el 10% y el 20% de la nota final.

– El trabajo individual y colectivo de los alumnos, que se refiere a las tareas que ha cum-plimentado, la limpieza con que las ha ejecutado, las actividades en las que ha participa-do, el cuaderno de clase… Este apartado supone entre el 20% y el 30% de la nota final.

– El rendimiento escolar, observado a través de preguntas de clase, autoevaluacionesy evaluaciones objetivas del profesor. Este apartado suele ser el más valorado, ya quesupone entre el 50% y el 70% de la nota final.

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Portales matemáticos en español– http://www.google.com/Top/World/Espa%C3%B1ol/Ciencia_y_tecnolog%C3%ADa/

Matem%C3%A1ticas/

Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a cientos de direc-ciones, en español, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.

– http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

Página de Redemat, altamente recomendada por la cantidad y calidad de los recursos queofrece a los profesores de Matemáticas.

– http://galeon.com/pezgris/secciones/matemat.htm

Directorio con muchos recursos matemáticos que se pueden descargar.

– http://nti.educa.rcanaria.es/ntint/matematicas/

Página con una interesante y variada colección de accesos a otras páginas de Matemáti-cas, en español y en inglés.

– http://www.satd.uma.es/matap/svera/links/

Página personal de Salvador Vera, con una colección interesante de recursos y enlacesmatemáticos en español.


MATEMÁTICAS 95

– http://www.matematicas.net/

El Paraíso de las Matemáticas ofrece apuntes, ejercicios, exámenes, juegos, enlaces, dic-cionario de términos y de etimología, historia y otros recursos útiles para el alumno deenseñanza media.

– http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

Interesante página personal del profesor de matemáticas Antonio Pérez.

– http://www.rinconmatematico.com/

Interesante revista electrónica de matemáticas básicas. Muy recomendable.

– http://www.xtec.es/~jcorder1/

Interesante página con enlaces y recursos para la enseñanza de las Matemáticas de Pri-maria y Secundaria.

Portales matemáticos en inglés– http://www.ams.org/

Página oficial de la sociedad americana de matemáticas (American Mathematical Socie-ty). En inglés pero de visita obligada.

– http://www.internet4classrooms.com/index.htm

Esta dirección, aunque en inglés, está recomendada para los profesores que impartanmatemáticas a nivel de Primaria y Secundaria.

– http://falcon.jmu.edu/~ramseyil/math.htm

Página en inglés que contiene multitud de enlaces matemáticos a asociaciones, revis-tas, instituciones públicas y privadas, grupos de discusión, historia de las Matemáticas,didáctica, bibliografía, software… Una página muy completa de obligada visita paracualquier profesor de Matemáticas.

– http://www.ex.ac.uk/cimt/welcome.html

Página oficial de Centre for Innovation in Mathematics Teaching, dedicada, como sunombre indica, a la formación del profesorado de Matemáticas.

– http://directory.google.com/Top/Science/Math/

Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a miles de direc-ciones, en inglés, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.



PROGRAMACIÓN DE AULA DE 3.ER CURSO DE ESOLas Matemáticas de 3.º y 4.º de ESO se desglosan en 14 unidades a las que hemos asignado

un cómputo temporal, aproximado, de 35 semanas que, a razón de cuatro periodos lectivos sema-nales, arroja un total de 140 periodos.

Al repartir este tiempo entre las distintas unidades hemos procurado minorarlo para preverotro tipo de circunstancias, como fiestas locales, ausencias del profesor…

La secuencia de estas unidades se rige por el criterio lógico de impartir primero aquelloscontenidos que nos pueden servir de apoyo para otros posteriores, respetando, en todo caso, lasecuencia natural impuesta por los bloques de contenidos determinados por el MEC.

Al diseñar las distintas unidades hemos tenido en cuenta, no solo los contenidos mínimos ela-borados por el MEC, sino aquellas posibles aportaciones que, para completarlos, puedan añadirlas distintas administraciones educativas y que, como se ha expuesto en otra parte de esta obra,pueden suponer el 45% o el 35% del currículo, dependiendo de que la comunidad tenga, o no, len-gua cooficial propia. El resultado pretende ser una programación amplia y compacta, susceptiblede ser adaptada, con un mínimo de retoques, al currículo particular de cada comunidad autónomay a las preferencias particulares de cada opositor/a

Recordar, por último, que todas estas previsiones deben ser consensuadas y asumidas por to-dos los miembros del departamento, y consultadas con los miembros de los demás departamentosdel ámbito científico tecnológico, cuyas materias guardan una estrecha relación de interdepen-dencia con las Matemáticas.

Unidad Didáctica 1. Números racionales

OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

– Conocer las fracciones de números na-turales y de números enteros y utilizarlaspara cuantificar e interpretar situacionesrelacionadas con la vida real, siendo cons-cientes de los diferentes usos que puedenhacerse con las mismas: como operadores,como cocientes, como medidas.

– Identificar, diferenciar y relacionar núme-ros naturales, enteros y racionales.

– Adquirir un conocimiento práctico sobre lasdiferencias existentes entre números frac-cionarios y números racionales, basadas enel concepto de equivalencia numérica.

– Comparar, ordenar y representar gráfica-mente números racionales dados en formafraccionaria.

– Conocer y utilizar de forma correcta las pro-piedades de las operaciones elementales y dela potenciación de exponente entero entre nú-meros racionales.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Comparar y relacionar fracciones de núme-

ros naturales y de números enteros.– Diferenciar y relacionar los conceptos de

fracción y número racional.– Leer, escribir y calcular expresiones numéri-

cas con números enteros y fraccionarios quecombinen las cuatro operaciones básicas conun paréntesis.

– Aplicar las propiedades básicas de la poten-ciación en el cálculo con potencias de baseracional y exponente entero.

– Aplicar razonadamente los procedimien-tos propios de la divisibilidad entre nú-meros naturales a la conversión y simpli-ficación de las fracciones.

– Determinar el tipo de cálculo (manual,mental, con calculadora) que se muestramás adecuado para su ejecución ante unasituación concreta.

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MATEMÁTICAS 97

– Utilizar y potenciar las técnicas de cálculo men-tal en las operaciones con racionales, sobre todolas relativas a simplificación de fracciones.

– Calcular expresiones numéricas sencillasque combinen sumas, restas, multiplicacio-nes, divisiones y potencias de exponente en-tero de números racionales dados en formafraccionaria, aplicando con soltura la priori-dad operacional y el uso del paréntesis.

– Resolver problemas sencillos basados enlas fracciones de números enteros y con-textualizadas en la realidad cotidiana delos alumnos.

– Utilizar razonadamente la calculadora y losrecursos propios de las nuevas tecnologías,sin crear dependencia en su uso.

– Resolver problemas en los que se empleen lascuatro operaciones básicas de los números ra-cionales y las potencias de exponente entero.

– Valorar la adecuación de un resultado alcontexto de la situación problemática de laque se obtiene.

CONTENIDOS

Conceptos Procedimientos Actitudes

– Fracciones de números na-turales y enteros. Sus dis-tintos significados.

– Equivalencia entre fracciones.– Amplificación y simplifica-

ción de fracciones. Fraccionesreducibles e irreducibles.

– Concepto de número racio-nal. El conjunto de los nú-meros racionales.

– Representación gráfica delos números racionales enla recta graduada.

– Ordenaciónnuméricaygráficade los números racionales.

– Valor absoluto de un núme-ro racional.

– Reducción de fracciones acomún denominador.

– Suma y resta de númerosracionales. Propiedades.

– Multiplicación y división deracionales. Propiedades.

– Utilización conveniente de lasfracciones en diferentes con-textos numéricos y en funciónde sus diferentes significados.

– Conversión de fracciones,por amplificación o simpli-ficación de las mismas.

– Aplicación razonada delmáximo común divisor y mí-nimo común múltiplo de doso más números en las opera-ciones con fracciones.

– Esquematización de los pro-cesos empleados para la re-presentación gráfica de unafracción de números enteros.

– Ordenación y clasificaciónde un conjunto de fraccionesde números enteros por su re-presentación gráfica o paso adenominador común

– Esquematización procesualde las operaciones básicas delas fracciones con tendencia ala simplificación y a la aplica-ción de mecanismos de cálcu-lo puramente mentales

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje numérico pararepresentar, comunicar oresolver diferentes situacio-nes de la vida cotidiana.

– Sensibilidad, interés y va-loración crítica ante las in-formaciones y mensajes denaturaleza numérica.

– Sensibilidad y gusto por lapresentación ordenada yclara del proceso seguido yde los resultados obtenidosen problemas y cálculos nu-méricos.

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– Potencia de base racionaly exponente entero. Pro-piedades.

– Aplicación de las reglasde jerarquía y manejo deparéntesis en el cálculo deoperaciones combinadasde números enteros.

– Cálculo con potencias debase fraccionaria y expo-nente entero.

– Manejo racional de la cal-culadora.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad

1. Números racionales. Conceptos básicos ......................................2 sesiones

– Fracciones de números naturales.

– Fracciones de números enteros.

– El conjunto de los números racionales.

– Ordenación de los números racionales.

2. Operaciones con números racionales ..........................................4 sesiones

– Operaciones elementales.

– Potencias de números racionales.

– Operaciones combinadas.

Evaluación .............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicas

En las tres primeras sesiones y tras las actividades de exploración inicial, que deben deocupar la mitad de una sesión, el profesor repasará, de forma breve, las peculiaridades de cadauno de los conjuntos de números que ya conocen los alumnos para motivar la introduccióndel concepto de número racional, al que se llega de forma natural a través de la equivalenciaentre fracciones de números enteros. De forma paralela se repasarán una serie de procedimien-tos básicos, ya conocidos por los alumnos, como son la ampliación y simplificación de unafracción, el concepto de fracción irreducible, la reducción a denominador común, las distintasestrategias que se pueden utilizar para comparar fracciones o la representación gráfica de éstasen la recta graduada.

En las seis siguientes sesiones se abordarán las operaciones con fracciones, contextualizán-dolas en actividades problemáticas sencillas.

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MATEMÁTICAS 99.../...

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos yactividades de la unidad en tres niveles de dificultad.

Primer Nivel Segundo Nivel Tercer Nivel

Los alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:

– La interpretación de unafracción de números natu-rales, en sus distintos signi-ficados.

– El reconocimiento de equi-valencias entre fracciones.

– Las operaciones básicas dedos fracciones.

– La resolución de proble-mas muy sencillos de arit-mética.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:

– La simplificación de frac-ciones.

– La resolución de opera-ciones combinadas contres fracciones y un pa-réntesis.

– La resolución de proble-mas aritméticos típicosque se apoyen en opera-ciones del tipo anterior.


– La interpretación de las frac-ciones de números enteros.

– La conversión de fraccio-nes y el reconocimiento delas propiedades de los nú-meros naturales.

– La resolución de operacio-nes combinadas con poten-cias y dos paréntesis.

– La resolución de proble-mas atípicos que requieranestrategias personales.

Unidad Didáctica 2. Números reales


– Conocer y manejar con soltura las relacionesentre las fracciones y sus representacionesdecimales, así como los procesos para con-vertir unas en otras.

– Adquirir una idea intuitiva de los concep-tos de número irracional y número real, através de sus expresiones decimales. Rela-cionarlos con los demás tipos de números.

– Expresar, representar gráficamente y orde-nar los números reales a través de sus ex-presiones decimales.

– Utilizar los números reales y sus representa-ciones decimales para cuantificar e interpre-tar situaciones relacionadas con la vida real.

– Calcular expresiones combinadas sencillascon números reales, en un contexto de re-solución de problemas, eligiendo, de formaracional, el tipo de cálculo adecuado a cadasituación (mental, manual, con calculadora).

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Clasificar las expresiones decimales ge-

neradas por las fracciones de números en-teros reconociendo la composición de suparte decimal.

– Calcular las fracciones generatrices deexpresiones decimales exactas, periódicaspuras y periódicas mixtas.

– Utilizar las expresiones decimales exactas,periódicas y no periódicas para escribir, in-terpretar, comparar y ordenar los númerosreales.

– Redondear un número decimal o una expre-sión decimal no exacta hasta una cifra dada,acotando y valorando, en razón del tipo demedida efectuada, el error absoluto, relati-vo o porcentual cometido en un contexto deresolución de problemas numéricos.



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– Identificar y decidir sobre el tipo de me-dida y aproximación que conviene aplicara una determinada situación asociada a larealidad cotidiana de los alumnos, en fun-ción del error absoluto, relativo o porcen-tual cometido.

– Utilizar la calculadora científica y otrosrecursos tecnológicos para la realizaciónde cálculos, estimaciones, conversiones yaproximaciones en un contexto de resolu-ción de problemas numéricos.

– Conocer, convertir y operar con decimalesen notación científica.

– Conocer, relacionar y diferenciar los con-ceptos de raíces y radicales cúbicos y cua-dráticos.

– Conocer y utilizar las propiedades de lasoperaciones y procedimientos básicos delos radicales cuadráticos y cúbicos.

– Elaborar diferentes estrategias para la co-dificación de la información y para plan-tear y resolver problemas numéricos.

– Valorar y analizar las estrategias empleadasante una situación concreta o en un contex-to de resolución de problemas, a la vista delos resultados obtenidos y la utilidad de losmismos.

– Manejar con soltura la suma, resta, multi-plicación, división y potenciación de nú-meros reales dados en forma decimal, deforma manual y con calculadora, en uncontexto de resolución de problemas nu-méricos.

– Determinar el tipo de cálculo (manual,mental, con calculadora) que se muestramás adecuado para su ejecución ante unasituación concreta.

– Manejar con soltura la multiplicación, di-visión y potenciación de números realesdados en notación científica, de forma ma-nual y con calculadora.

– Conocer y aplicar las reglas básicas delcálculo de radicales cuadrados o cúbicosasí como los procedimientos básicos quepermiten su transformación (extracción eintroducción de factores en el radical, sim-plificación de expresiones combinadas desumas y restas de radicales).

CONTENIDOS


– Expresión decimal deuna fracción de númerosenteros. Clasificación.

– Fracción generatriz deuna expresión decimalexacta, periódica pura operiódica mixta.

– Clasificación decimal delos números racionales.

– Números irracionales y nú-meros reales.

– Aproximaciones decima-les. Errores absoluto, rela-tivo y porcentual.

– Obtención y análisis de laexpresión decimal de unafracción de números enteros.

– Clasificación de la expre-sión decimal de un númeroracional a partir de la des-composición factorial desu fracción irreducible.

– Obtención razonada de lafracción generatriz de unaexpresión decimal exacta,periódica pura o periódicamixta.

– Aplicación de las reglas deredondeo.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje numérico para re-solver, representar o inter-pretar situaciones y proble-mas de la vida cotidiana.

– Sensibilidad, curiosidad einterés ante informacionesy mensajes de naturalezanumérica.

– Reconocimiento y valora-ción crítica de la calcula-dora y otros medios infor-máticos, en las aplicacionesnuméricas con decimales.

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MATEMÁTICAS 101

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– Notación científica. Ope-raciones.

– Raíces cuadradas y radi-cales cuadráticos.

– Raíces cúbicas y radica-les cúbicos.

– Operaciones elementa-les con radicales cuadrá-ticos y cúbicos.

– Acotación y valoracióndel error absoluto, relativo yporcentual cometido al efec-tuar una aproximación pordefecto o por exceso.

– Conversión de númerosdecimales a notación cien-tífica y viceversa, de formamanual y con la ayuda dela calculadora científica.

– Operaciones con núme-ros expresados en notacióncientífica, de forma manualy con la ayuda de la calcula-dora científica.

– Utilización de las reglas bá-sicas que permiten multipli-car y dividir raíces cuadra-das y cúbicas expresadas enforma radical.

– Introducción y extracciónde factores en un radicalcuadrado o cúbico.

– Simplificación de expresio-nes combinadas de radica-les, cuadrados o cúbicos.

– Interés y valoración porlos cálculos numéricos enun contexto de estimacióny aproximación decimal.

– Adquisicióndehábitosde tra-bajo adecuados (orden, clari-dad, precisión, limpieza) enla realización de actividadesnuméricas con decimales.

– Confianza y autoestima so-bre las propias capacidadesa la hora de afrontar pro-blemas y realizar cálculos yestimaciones numéricas.


1. Números reales...............................................................................3 sesiones

– Expresión decimal de una fracción.

– Fracciones generatrices.

– El conjunto de los números reales.

– Aproximaciones decimales. Errores absoluto, relativo y porcentual.

2. Operaciones con números reales ..................................................4 sesiones

– Notación científica. Operaciones en notación científica.

– Raíces cuadradas y raíces cúbicas.

– Raíces y radicales n-ésimos.

– Operaciones con radicales.




Observaciones metodológicasTras las actividades de exploración inicial, que deben de ocupar la mitad de una sesión, el

profesor repasará en sesión interactiva con el alumnado y de forma breve las relaciones entrefracciones y decimales. El concepto de número real irracional se irá creando de forma inductivaa través de sencillas actividades fundamentadas en lecturas relacionadas con el descubrimientohistórico de los números inconmensurables.

El concepto de aproximación decimal y error debe de contextualizarse en situaciones de lavida cotidiana cercanas a los alumnos.

En toda la unidad se requerirá el uso de la calculadora, no sólo para el cálculo con decimaleso las operaciones en notación científica sino, también, como recurso educativo que ayude a losalumnos a interpretar las propiedades numéricas.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADCada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos y ac-tividades de la unidad en tres niveles de dificultad.

Primer Nivel Segundo Nivel Tercer NivelLos alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La interpretación de los

distintos tipos de expresio-nes decimales.

– Los redondeos y estima-ciones.

– El uso de la calculadora enoperaciones con decimalesy en el cálculo de raícescuadradas y cúbicas.

– El producto y el cocientede dos raíces cuadradas ocúbicas.

– La resolución de proble-mas muy sencillos sobrenúmeros decimales.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La obtención de fracciones

generatrices.– La acotación de errores.– El uso de la calculadora en

operaciones con notacióncientífica.

– El producto, cociente ypotenciación de raícescuadradas o cúbicas.

– La resolución de problemasaritméticos típicos sobreestimaciones, redondeos yacotación de errores.

Los alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:– La comprobación razonada

de la irracionalidad de unnúmero real.

– La identificación y clasifi-cación de los distintos tiposde números.

– La representación gráficade los números reales.

– La resolución de operacio-nes combinadas en nota-ción científica.

– La simplificación de com-binaciones de sumas o res-tas de radicales.


Unidad Didáctica 3. Proporcionalidad numérica


– Conocer y manejar los conceptos de razón,proporción y serie numérica, así como los pro-cedimientos básicos que permiten construiruna proporción o una serie de razones iguales apartir de los términos de una proporción dada.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Comprobar si cuatro números dados están

o no en proporción.

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MATEMÁTICAS 103

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– Conocer los conceptos de cuarto y medioproporcional y calcularlos por métodos al-gebraicos.

– Detectar posibles relaciones de proporcio-nalidad directa o inversa entre dos magni-tudes comparables, calculando e interpre-tando sus constantes de proporcionalidad.

– Utilizar la regla de tres simple (directa einversa) y la regla de tres compuesta, pararesolver problemas de proporcionalidadcontextualizados en la vida cotidiana delos alumnos.

– Aplicar los conceptos y procedimientosbásicos de la proporcionalidad (regla detres simple directa o inversa, regla de trescompuesta, cálculo de porcentajes, interéssimple, repartos proporcionales, mezclas yaportaciones) a la resolución de problemaselementales de matemática comercial.

– Trabajar con razones numéricas en activi-dades relacionadas con la comparación decantidades homogéneas.

– Obtener nuevas proporciones a partir deuna proporción dada.

– Identificar series proporcionales de tres omás razones y construirlas a partir de unaproporción.

– Obtener cuartos y medios proporcionalespor métodos algebraicos

– Detectar posibles relaciones de proporcio-nalidad directa o inversa entre las cantida-des de dos magnitudes comparables.

– Calcular e interpretar las constantes deproporcionalidad directa o inversa.

– Utilizar la regla de tres simple (directa einversa) y la regla de tres compuesta pararesolver problemas de proporcionalidadcontextualizados en la vida cotidiana delos alumnos.

– Resolver sencillos problemas basados en laaplicación de porcentajes, simples o enca-denados y en el interés simple.

– Resolver sencillos problemas de repartosproporcionales directos o inversos, mez-clas y aportaciones.

CONTENIDOS


– Razón de dos números. Ra-zón directa y razón inversa.

– Proporción numérica.– Propiedad fundamental de

las proporciones numéri-cas.

– Series de razones iguales.– Cuarto proporcional de

tres números.– Medio proporcional de

dos números.– Magnitudes directamente

proporcionales. Constantede proporcionalidad directa

– Construccióndeproporcio-nes a partir de una dada.

– Construcción de una se-rie proporcional de treso más razones a partir deuna proporción.

– Cálculo del cuarto propor-cional de tres números.

– Cálculo del medio propor-cional de dos números.

– Obtención de las cons-tantes de proporcionali-dad entre dos magnitudesdirectas o inversamenteproporcionales.

– Curiosidad por investigar re-laciones entre magnitudes ofenómenos.

– Valoración crítica de situa-ciones que involucren po-sibles relaciones de propor-cionalidad

– Confianza en las propias ca-pacidades para afrontar pro-blemas de proporcionalidady realizar cálculos y estima-ciones numéricas.

– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes a los problemas de pro-porcionalidad.



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– Magnitudes inversamen-te proporcionales. Cons-tante de proporcionalidadinversa.

– Regla de tres simple di-recta.

– Regla de tres simple in-versa.

– Regla de tres compuesta.

– Porcentajes. Porcentajesencadenados.

– Capital e interés simple.

– Repartos proporcionalesdirectos e inversos.

– Mezclas y aportaciones.

– Sistematización procesalde la regla de tres simpledirecta.

– Sistematización procesalde la regla de tres simpleinversa.

– Sistematización procesalde la regla de tres com-puesta.

– Cálculo de porcentajes yporcentajes encadenados.

– Aplicación de la regla querelaciona capital, tiempoe interés.

– Planteamiento y resolu-ción de los problemas dereparto proporcional di-recto e inverso.

– Planteamiento y resolu-ción de los problemas demezclas y aportaciones.

– Interés y respeto por las es-trategias y soluciones a pro-blemas sobre proporcionali-dad distintas de las propias.

– Sensibilidad y gusto por lapresentación ordenada y claradel proceso seguido y de losresultados obtenidos en pro-blemas y cálculos relaciona-dos con la proporcionalidad.


1. Proporcionalidad ...........................................................................3 sesiones

– Razones y proporciones.

– Cuarto proporcional de tres números.

– Proporciones continuas. Medio proporcional de dos números.

– Proporcionalidad entre magnitudes.

2. Problemas de proporcionalidad ...................................................4 sesiones

– Regla de tres simple y compuesta.

– Problemas de porcentajes.

– Problemas de repartos proporcionales.

– Problemas de mezclas.

– Problemas de aportaciones.




Observaciones metodológicasTras las actividades de exploración inicial, que deben de ocupar la mitad de una sesión, el

profesor repasará en sesión interactiva con el alumnado, y de forma breve, los conceptos y pro-cedimientos que, en su mayoría, ya han sido estudiados por los alumnos y que, en consecuencia,pueden estar al alcance de cualquier alumno de nivel medio.

La segunda parte de la unidad es más práctica y se debe de dar protagonismo a los alumnospara que resuelvan problemas sencillos relacionados con el tratamiento de las proporciones y losporcentajes, repartos proporcionales, mezclas y aportaciones.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La interpretación de una

razón y una proporción.– El reconocimiento de pro-

porciones.– La proporcionalidad entre

dos magnitudes.– La regla de tres simple y la

aplicación de porcentajes.– La resolución de proble-

mas muy sencillos deproporcionalidad directa einversa.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La construcción de pro-

porciones.– La obtención del cuarto y

el medio proporcional.– La regla de tres compuesta.– La resolución de proble-

mas sencillos de porcen-tajes y repartos proporcio-nales directos.

Los alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:– La aplicación razonada de

las propiedades de las pro-porciones.

– La resolución de proble-mas de repartos proporcio-nales directos e inversos.

– La resolución de problemasde mezclas y aportaciones.


Unidad Didáctica 4. Sucesiones numéricas


– Descubrir pautas y regularidades en las su-cesiones numéricas.

– Obtener e interpretar los términos genera-les representativos de una determinada su-cesión numérica.

– Conocer las fórmulas derivadas de las pro-gresiones aritméticas, para la obtención deltérmino general o de la suma de los n pri-meros términos de la progresión, y aplicarlaen un contexto de resolución de problemasasociados al entorno cotidiano del alumno.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Identificar y descubrir regularidades, pau-

tas y relaciones entre los términos de unasucesión numérica.

– Obtener el término general de una progre-sión, aritmética o geométrica, mediante unaaplicación adecuada de la fórmula corres-pondiente.



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– Conocer la fórmula con la que obtiene eltérmino general de una progresión geomé-trica y aplicarla en un contexto de reso-lución de problemas asociados al entornocotidiano del alumno.

– Elaborar estrategias propias en la resolu-ción de problemas relacionados con suce-siones y progresiones numéricas.

– Conocer y aplicar las fórmulas del interéssimple e interés compuesto siendo conscien-tes de sus diferencias y de las situacionesproblemáticas a las que se pueden aplicar.

– Conocer y aplicar correctamente las fórmu-las de la suma de los n primeros términosde una progresión aritmética o geométrica.

– Conocer y aplicar la fórmula del interés com-puesto en determinadas operaciones banca-rias como el cálculo de un capital ahorrado.

CONTENIDOS


– Secuencias. Tipos.– Pautas y regularidades.– Sucesión numérica. Ter-

minología asociada.– Sucesiones recurrentes.– Progresión aritmética. Tér-

mino general.– Suma de los n primeros

términos de una progre-sión aritmética.

– Progresión geométrica.Término general.

– Suma de los n primerostérminos de una progresióngeométrica.

– Interés compuesto.

– Identificación de relacionesy regularidades en sucesio-nes sencillas.

– Construcción de sucesionesrecurrentes.

– Cálculo de los términos deuna sucesión a partir de sutérmino general.

– Obtencióndel términogeneralde una progresión aritmética apartir del primer término de lamisma y de su diferencia.

– Obtencióndel términogeneralde una progresión geométricaa partir del primer término dela misma y de su razón.

– Obtención del término gene-ral de una sucesión numéricacuyos términos sigan una pau-ta fácil de identificar o seanfracciones en las que los nu-meradores y denominadoressigan pautas de formación co-rrespondientes a progresionesaritméticas o geométricas.

– Obtención de la suma delos n primeros términos deuna progresión, aritméticao geométrica, a partir de lasfórmulas correspondientes.

– Curiosidad por investigarpautas y regularidades ensucesiones numéricas.

– Sensibilidad, interés y va-loración crítica de las re-gularidades existentes ensucesiones numéricas.

– Sensibilidad y gusto porla precisión, el orden y laclaridad en el tratamientosistemático de sucesionesnuméricas.


MATEMÁTICAS 107

.../...

– Elaboración de estrategiaspropias en la resolución deproblemas sobre secuencias ysucesiones relacionadas conla realidad cotidiana y los in-tereses del alumno.

– Obtención del capital final co-rrespondiente a una cantidadprestada a interés compuesto.


1. Sucesiones numéricas ....................................................................3 sesiones

– Pautas y secuencias.

– Sucesiones numéricas.

– Término general de una sucesión.

2. Progresiones aritméticas y geométricas .......................................6 sesiones

– Progresiones aritméticas:

* Término general.

* Suma de los n primeros términos.

– Progresiones geométricas:

* Término general.

* Suma de los n primeros términos.

– Aplicaciones. Interés compuesto.


Metodología

En esta unidad, que puede enfocarse como nexo de unión entre la aritmética y el álgebra, setratarán los conceptos y procedimientos básicos asociados con las sucesiones numéricas, impor-tantes por sus múltiples aplicaciones matemáticas, también se tratará el problema de la identifica-ción de pautas y regularidades que aparecen en otros tipos de construcciones, como determinadasconfiguraciones geométricas. El tratamiento didáctico de la unidad es eminentemente práctico yconstructivo, en tanto en cuanto estos conceptos y procedimientos se van introduciendo a partirde ejemplos y actividades abiertas, sugeridos por cuestiones cuidadosamente elaboradas que con-ducen a su descubrimiento.

El reconocimiento de pautas y regularidades requiere un importante esfuerzo de creatividadpor parte del alumno y la resolución de problemas relacionados con las progresiones aritméticas ygeométricas precisan de la elaboración de estrategias personales, objetivos ambos especialmentedestacados en este curso de la etapa de Enseñanza Secundaria Obligatoria.



ATENCIÓN A LA DIVERSIDADCada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos yactividades de la unidad en tres niveles de dificultad.

Primer Nivel Segundo Nivel Tercer NivelLos alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La detección de pautas y re-

gularidades elementales enlas sucesiones numéricas.

– La obtención de los tér-minos generales de lasprogresiones aritméticaso geométricas, a partir desus fórmulas.

– La obtención de términosde una progresión a partirdel término general.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La detección de pautas y

regularidades en las suce-siones recurrentes.

– La obtención razonada detérminos generales de suce-siones recurrentes.

– La aplicación de las fór-mulas de la suma de n tér-minos de una progresiónaritmética o geométrica.

– La resolución de problemassencillos de progresiones.

– El uso del interés compues-to en problemas de capitali-zación.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La obtención de términos

generales que no estén su-jetos a reglas establecidas.

– Larelaciónentredos términoscualesquiera de una progre-sión aritmética o geométrica.

– La interpolación de untérmino de una progresiónaritmética o geométricaentre dos dados.

– El uso del interés compuestoen problemas de préstamos.

– La resolución de problemasatípicos que requieran es-trategias personales.

Unidad Didáctica 5. Polinomios

OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN– Trasladar al lenguaje algebraico informacio-

nes numéricas contextualizadas en la vidacotidiana o basadas en conceptos y procedi-mientos matemáticos cercanos a los alumnos.

– Formular expresiones algebraicas en len-guaje ordinario, reconociendo e identifi-cando sus componentes.

– Valorar la universalidad y precisión dellenguaje algebraico a la hora de interpretardiferentes situaciones matemáticas, facti-bles de ser presentadas mediante fórmulas,identidades, polinomios, etc.

– Conocer y manejar algunos tipos especialesde expresiones algebraicas, como los mo-nomios y los polinomios, identificando loscomponentes esenciales de su estructura.

– Conocer y aplicar, con soltura, las reglasbásicas de la suma, resta, multiplicación,potenciación y división de polinomios.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:

– Traducir al lenguaje algebraico sencillasfrases del lenguaje ordinario basadas enconceptos y procedimientos matemáticosya conocidos por los alumnos.

– Leer e interpretar expresiones algebraicasque combinen polinomios sencillos de unaindeterminada, identificando con precisióncada uno de sus componentes.

– Obtener valores numéricos de polinomios,para valores racionales de sus indeterminadas.

– Identificar monomios y polinomios deotras expresiones algebraicas.

– Identificar y reconocer monomios seme-jantes.

– Reconocer el grado de un monomio y de unpolinomio, de una o varias indeterminadas.

.../...


MATEMÁTICAS 109

.../...

– Aplicar con soltura la prioridad operacio-nal y el uso del paréntesis para reducirexpresiones combinadas de polinomiossencillas en las que intervengan las cuatrooperaciones elementales.

– Conocer y aplicar algunas técnicas senci-llas para descomponer factorialmente unpolinomio de segundo grado.

– Completar y ordenar polinomios de una in-determinada.

– Sumar, restar y multiplicar polinomios deuna sola indeterminada y coeficientes sen-cillos, en forma horizontal o vertical.

– Calcular y reducir expresiones algebraicassencillas que combinen, a lo sumo, tres polino-mios ligados por las operaciones elementales.

– Dividir dos polinomios sencillos de coefi-cientes enteros.

– Conocer y saber aplicar el algoritmo de ladivisión para comprobar el resultado deuna división entre polinomios.

– Conocer las identidades notables y aplicar-las con soltura en el cálculo con polinomioso en la descomposición factorial de éstos.

CONTENIDOS


– Expresiones algebraicas.– Valor numérico de una

expresión algebraica.– Expresiones algebraicas

equivalentes.– Monomios y polinomios.

Concepto y composición.– Suma, resta, multiplica-

ción y potenciación demonomios y polinomios.

– Identidades notables.– Divisibilidad de polino-

mios. Múltiplos y divisores.– División de polinomios.– Algoritmo de la división.– Descomposición factorial

de un polinomio.

– Construcción de expre-siones algebraicas.

– Cálculo del valor numéricode una expresión algebraica.

– Obtención de sumas, restasy multiplicaciones de polino-mios superpuestos o en línea.

– Utilización de las identida-des notables en los cálculosy factorización de polino-mios.

– Utilización de la regla deprioridad y del uso delparéntesis en la reducciónde expresiones combina-das de polinomios.

– Obtención del cociente yel resto de una división depolinomios.

– Utilización de la propie-dad fundamental de ladivisión en la comproba-ción del resultado de unadivisión de polinomios.

– Valoracióndelaprecisión,sim-plicidad y utilidad del lenguajealgebraico para representar ointerpretar situaciones y pro-blemas de la vida cotidiana.

– Sensibilidad, curiosidad e inte-rés ante informaciones y men-sajes de naturaleza algebraica.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, limpie-za) en la realización de acti-vidades algebraicas.

– Confianza y autoestima so-bre las propias capacidadesa la hora de afrontar proble-mas y realizar cálculos alge-braicos con polinomios.

– Perseverancia en la búsquedade soluciones a las actividadesde cálculo con polinomios.



Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Polinomios. Operaciones elementales .......................................... 4 sesiones

– Expresiones algebraicas.– Monomios y polinomios. Suma y multiplicación.– Identidades notables.– Operaciones combinadas.

2. Divisibilidad de polinomios .......................................................... 4 sesiones– División de un polinomio entre un monomio.– División entre polinomios. Algoritmo de la división.– Descomposición factorial de polinomios.

Evaluación ............................................................................................. 1 sesión

MetodologíaEl concepto de polinomio debe de introducirse con las debidas reservas y siempre como un

caso particular del concepto de expresión algebraica, que ya lo conocen los alumnos de cursosanteriores. No se trata, por tanto, de dar una definición formal de los polinomios sino de insertar-los en el proceso natural del aprendizaje algebraico de nuestros alumnos y de conseguir que éstossean capaces de manejarlos con soltura en sus operaciones y procedimientos básicos.

La distribución de los contenidos incluidos en la unidad se ha hecho de manera que en la pri-mera parte se desarrollan los de repaso y afianzamiento que, en teoría, pueden ser abordados porla mayoría de los alumnos y, en la segunda parte, los que están relacionados con la divisibilidady que deben de contemplarse como contenidos de ampliación.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La elaboración de expresio-

nes algebraicas sencillas.– La obtención del valor nu-

mérico de un polinomio.– La suma, resta y multiplica-

ción de polinomios sencillos.– La aplicación de las iden-

tidades notables.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La interpretación de ex-

presiones algebraicas.– La resolución de operacio-

nes combinadas de poli-nomios que contengan unparéntesis.

– La división de dos polino-mios sencillos.

– La descomposición de poli-nomios cuadráticos sencillos.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La resolución de operacio-

nes combinadas con dosparéntesis.

– La aplicación del algorit-mo de de la división.

– La descomposición, pordiversas técnicas (tanteo,factor común…), de poli-nomios sencillos.

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MATEMÁTICAS 111

.../...– La resolución de proble-

mas sencillos sobre laobtención y aplicación defórmulas polinómicas.


Unidad Didáctica 6. Ecuaciones y sistemas


– Conocer los conceptos de ecuación y siste-ma de ecuaciones y valorar su utilidad en laresolución de problemas.

– Identificar y clasificar los distintos tiposde ecuaciones polinómicas según su grado,número de incógnitas y compatibilidad.

– Conocer las reglas de equivalencia entreecuaciones y aplicarlas para resolver ecuacio-nes de primer grado con una sola incógnita.

– Establecer relaciones entre el álgebra y lageometría, a partir de la interpretación delas soluciones de una ecuación lineal condos incógnitas.

– Discutir y resolver sistemas de ecuacioneslineales con dos incógnitas, eligiendo el pro-cedimiento adecuado, algebraico o gráfico, ala forma en que se presenten e interpretandosus soluciones en un contexto de resoluciónde problemas relacionados con las propiasMatemáticas, la Física, la naturaleza o conel entorno cotidiano de los alumnos.

– Aprender nuevas estrategias de resoluciónde problemas que se basen en el plantea-miento y resolución de ecuaciones de pri-mer grado con una incógnita o de sistemasde ecuaciones lineales con dos incógnitas.

– Valorar la sencillez y precisión que el len-guaje algebraico aporta en el planteamien-to y en la resolución algebraica de los pro-blemas numéricos.

– Valorar la utilidad de las nuevas tecnolo-gías en el tratamiento, algebraico o gráfico,de los problemas relacionados con las ecua-ciones de primer grado y con los sistemasde ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Identificar y clasificar las ecuaciones po-

linómicas de primer o de segundo gradosegún su número de incógnitas y tipo decompatibilidad.

– Resolver ecuaciones sencillas de primergrado con una incógnita que puedan incor-porar fracciones y paréntesis, haciendo unuso adecuado de las reglas de equivalencia.

– Obtener distintas soluciones de una ecuaciónlineal con dos incógnitas y comprobar si unpar ordenado dado es solución de la misma.

– Representar gráficamente las ecuacioneslineales con dos incógnitas.

– Interpretar y resolver gráficamente un sistemade ecuaciones lineales con dos incógnitas.

– Resolver algebraicamente un sistema de ecua-ciones lineales con dos incógnitas por el mé-todo de sustitución o el método de reducción.

– Conocer y aplicar distintas estrategias perso-nales para resolver problemas algebraicos apartir del planteamiento y resolución de unaecuación de primer grado con una incógnita.

– Conocer y aplicar distintas estrategias perso-nales para resolver problemas sencillos, a par-tir del planteamiento y resolución de un siste-ma de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

– Interpretar la solución o soluciones de unsistema de ecuaciones lineales con dos in-cógnitas, de acuerdo con el enunciado delproblema del que se derive.

– Conocer y manejar algún programa infor-mático sencillo que permita la aplicaciónde procedimientos, algebraico y gráfico,relacionados con las ecuaciones de gradocon una incógnita o con las ecuaciones li-neales con dos incógnitas.



CONTENIDOS

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES– Ecuaciones. Compatibilidad.– Ecuaciones equivalentes.

Reglas de equivalencia.– Ecuaciones de primer gra-

do con una incógnita.– Ecuaciones de segundo

grado con una incógnita.– Ecuación lineal con dos

incógnitas.– El plano cartesiano. Ecua-

ción de la recta.– Sistemas de dos ecuacio-

nes lineales con dos in-cógnitas.

– Identificación de ecuacio-nes e identidades.

– Identificación de ecuacio-nes compatibles o incom-patibles.

– Resolución de ecuacionesde primer grado con unaincógnita.

– Resolución de ecuacionesincompletas de segundogrado con una incógnita.

– Resolución de ecuacionescompletas de segundo gra-do con una incógnita por elmétodo de factorización.

– Resolución de ecuacionescompletas de segundo gra-do con una incógnita porel método de conversión acuadrados.

– Resolución algebraica deproblemas mediante ecua-ciones de primer gradocon una incógnita.

– Interpretación gráfica deuna ecuación lineal condos incógnitas.

– Interpretación y resolu-ción gráfica de un sistemade ecuaciones lineales condos incógnitas.

– Resolución algebraica deun sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitaspor los métodos de susti-tución y de reducción.

– Reconocimiento y valora-ción de las ecuaciones ylos sistemas de ecuacionescomo vía para plantear yresolver situaciones pro-blemáticas contextualiza-das en la vida cotidiana delos alumnos.

– Confianza en las propiascapacidades para afrontarproblemas y resolverlospor métodos algebraicos.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Ecuaciones ...................................................................................... 6 sesiones

– Concepto de ecuación. Ecuaciones equivalentes.– Ecuaciones de primer grado con una incógnita.– Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.


MATEMÁTICAS 113

2. Sistemas de ecuaciones .................................................................. 4 sesiones– Ecuaciones lineales con dos incógnitas.– Representación gráfica de una ecuación lineal con dos incógnitas.– Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.– Resolución algebraica de un sistema de ecuaciones lineales.


Observaciones metodológicasEn esta unidad se repasan y afianzan los contenidos relacionados con las ecuaciones de pri-

mer grado con una incógnita y los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, que seintroducen en el curso anterior. Además, se introducen los contenidos básicos de la ecuación desegundo grado, que se repasarán y ampliarán en cuarto de la ESO.

Tras la exploración inicial se establecerá un diálogo con los alumnos para repasar y afianzarlos conceptos de ecuación, equivalencia de ecuaciones y resolución de ecuaciones de primer gra-do que irán motivadas por problemas sencillos relacionados con la geometría, las ciencias de lanaturaleza o con situaciones de la vida cotidiana de los alumnos.

La ecuación de segundo grado completa es un contenido que en este curso se puede conside-rar de ampliación, ya que será tratado con mayor profundidad en 4.º de ESO.

El tratamiento de los sistemas de ecuaciones se iniciará con un problema inicial sencillo quese haya resuelto en la primera parte con una sola ecuación. En esta se resolverá con un sistema deecuaciones y el profesor relacionará ambos métodos para que los alumnos analicen las ventajas ydesventajas de uno respecto del otro. Añadir, por último, que, por sus características, se trata deun tema ideal para trabajar las distintas estrategias de resolución de problemas, sobre todo aque-llas que utilizan herramientas algebraicas.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La resolución de ecuacio-

nes sencillas de primergrado.

– La resolución de ecuacio-nes de segundo grado in-completas.

– La resolución de un siste-ma de ecuaciones sencillo,por sustitución.

– La resolución de proble-mas con ecuaciones de pri-mer grado sencillas.


nes de primer grado con unparéntesis.

– La resolución de ecuacio-nes de segundo grado com-pletas.

– La resolución de un siste-ma de ecuaciones por lostres métodos clásicos.

– La resolución de proble-mas con sistemas de ecua-ciones sencillos.

Los alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:– La resolución generalizada de

ecuaciones de primer grado.– Elestudiodelacompatibilidad

de un sistema de ecuaciones.– La interpretación gráfica de

un sistema de ecuaciones.– La resolución de problemas,

eligiendo el tipo de ecua-ción o sistema apropiado.

– La resolución de problemasatípicos que requieran es-trategias personales.



Unidad Didáctica 7. Métrica del triángulo

OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN– Percibir e identificar relaciones de igual-

dad y semejanza entre figuras geométricasasociadas al entorno cotidiano o en situa-ciones problemáticas de carácter elemen-tal basadas en los conceptos de proporcio-nalidad y semejanza.

– Utilizar la terminología y la notación ade-cuada para describir con precisión situa-ciones de semejanza entre figuras planas.

– Manejar y aplicar las relaciones de pro-porcionalidad a los elementos constituti-vos de los polígonos en general y de lostriángulos, en particular.

– Conocer y aplicar los teoremas de Talesy de Pitágoras, para resolver problemascontextualizados en el entorno cotidianode los alumnos.

– Identificar, relacionándolos con la rea-lidad las representaciones que en formade planos, mapas o figuras geométricasaparecen en los medios de comunicacióny adquirir una cierta práctica en las repre-sentaciones de tipo topográfico.

– Conseguir un cierto grado de formaliza-ción en los razonamientos inductivos yconstructivos involucrados en la demos-tración y justificación de las propiedadesde los triángulos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Conocer y justificar el teorema de Tales y

aplicarlo para resolver problemas geomé-tricos sencillos basados en la proporciona-lidad entre segmentos.

– Calcular e interpretar la razón de semejan-za a partir de las relaciones entre los ladoshomólogos de dos polígonos semejantes.

– Construir triángulos y polígonos sencillos,semejantes a otros dados a partir de la ra-zón de semejanza.

– Conocer los criterios de semejanza entrepolígonos en general y entre triángulos enparticular y utilizarlos en la resolución deproblemas geométricos sencillos contex-tualizados en el entorno cotidiano de losalumnos.

– Conocer el teorema de Pitágoras, así comolos teoremas del cateto y de la altura, y uti-lizarlos para obtener distancias y otras me-didas de longitudes y áreas, en problemascontextualizados en el entorno cotidiano delos alumnos.

– Utilizar estrategias sencillas basadas en larealización de “croquis” o dibujos para laresolución de problemas geométricos ele-mentales.

CONTENIDOS


– Teorema de Tales.– Triángulos en posición de

Tales.– División de un segmento

en partes proporcionales.– Cuarto proporcional de

tres segmentos dados.– Tercero proporcional de

dos segmentos dados.Sección Áurea.

– Demostración procesual delteorema de Tales y sus apli-caciones más inmediatas.

– División de un segmento enpartes iguales o proporcionales.

– Construcción del cuartoproporcional de tres seg-mentos dados.

– Construcción del terceroproporcional de dos seg-mentos dados.

– Valoración de la pre-cisión, simplicidad yutilidad del lenguajegeométrico para resolver,representar o interpretarsituaciones y problemasde la vida cotidiana.

.../...


MATEMÁTICAS 115

.../...

– Relación de semejanza.– Razón de semejanza.– Criterios de semejanza en-

tre polígonos.– Criterios de semejanza en-

tre triángulos.– Criterios de semejanza en-

tre triángulos rectángulos.– Razón entre perímetros de

figuras planas semejantes.– Razón entre áreas de figu-

ras planas semejantes.– Razón entre volúmenes de

cuerpos semejantes.– Teorema del cateto.– Teorema de la altura.– Teorema de Pitágoras en

el plano.– Teorema de Pitágoras en

el espacio.– Relaciones entre los la-

dos de un triángulo cual-quiera.

– Detección y descripción defiguras geométricas seme-jantes en el entorno coti-diano.

– Construcción de polígonossemejantes a uno dado.

– Lectura e interpretación delos datos aportados por ma-pas y planos.

– Identificación de elementosproporcionales en figurassemejantes a partir de unaactividad o en un problema,enumeración de elementosconocidos y por conocer.

– Utilización de los útilesde dibujo en la interpre-tación gráfica de un pro-blema y en la práctica dela estrategia basada en elprincipio geométrico deque “lo que se construyegráficamente, existe y sepuede comprobar”.

– Demostración y aplicaciónde los teoremas de la alturay del cateto.

– Demostración y aplicacióndel teorema de Pitágoras,en el plano y en espacio.

– Obtención y aplicación delas relaciones entre los la-dos de un triángulo cuales-quiera.

– Sensibilización ante lascualidades estéticas quela semejanza aporta en elmundo del arte, la técnicay la naturaleza.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades geométricas

– Valoración, cuidado yprecisión en el manejo delos instrumentos de dibu-jo y medida.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Proporcionalidad geométrica .......................................................3 sesiones

– El teorema de Tales. Proporcionalidad.

– Aplicaciones del teorema de Tales.

– Figuras planas semejantes.

– Triángulos semejantes.

– Aplicaciones métricas de la semejanza.



2. El teorema de Pitágoras ................................................................. 4 sesiones

– Teoremas métricos de los triángulos.

– El teorema de Pitágoras en el plano y en el espacio.

– Aplicaciones métricas del teorema de Pitágoras.

– Relaciones entre los lados de un triángulo cualesquiera.


Observaciones metodológicasEn esta unidad se repasan y afianzan los contenidos de geometría métrica relacionados con la

aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras. Estos contenidos ya se han estudiado en el cursoanterior y volverán a estudiarse en 4.º de ESO, como enlace con los de trigonometría plana. Lametodología, en principio manipulativa, debe ir dando paso a enfoques más deductivos que en laetapa anterior, pero siempre con las debidas reservas y prestando atención a la diversidad.

Como método general se sugiere, por tanto, que, tras una revisión breve de los conceptos yprocedimientos desarrollados, los alumnos afronten las actividades empleando distintas estrate-gias que no excluyan la utilización de sencillos razonamientos deductivos.


Cada alumno/a trabajará a su propio ritmo, escalonándose la dificultad de los contenidos yactividades de la unidad en tres niveles de dificultad



– La aplicación directa delteorema de Tales

– El reconocimiento de figu-ras semejantes.

– La aplicación directa delteorema de Pitágoras en elcálculo de longitudes y en laidentificación de triángulosrectángulos.

– La aplicación directa de losteoremas métricos del cate-to y de la altura.

– La resolución de proble-mas muy sencillos de cál-culo de longitudes y áreasmediante la aplicación delteorema de Pitágoras.


– Problemas relacionados conla aplicación del teorema deTales.

– Identificación de razonesde semejanza y aplicaciónde esta para dibujar figu-ras semejantes.

– Resolución de problemasmétricos que requieran laaplicación del teorema dePitágoras en el plano y enel espacio.

– La resolución de proble-mas sobre áreas y perí-metros de figuras planas ycuerpos del espacio.


– La relación entre los dife-rentes teoremas métricosdel triángulo.

– La resolución de proble-mas de geometría comple-jos que requieran de técni-cas y estrategias atípicas.


MATEMÁTICAS 117

Unidad Didáctica 8. Lugares geométricos


– Utilizar la terminología y la notación ade-cuada para describir las cónicas y otroslugares geométricos elementales.

– Conocer algunos procedimientos sencillosque permiten representar gráficamente unlugar geométrico plano, con la ayuda delos útiles de dibujo habituales.

– Conocer los elementos característicos delas cónicas, tanto geométricos como arit-méticos, y su relación con la forma o dibu-jo de cada una de ellas.

– Reconocer la importancia de las cónicasen el ámbito científico, a través de algunasde las múltiples aplicaciones físicas quelas caracterizan.

– Apreciar la belleza de las formas geomé-tricas que se configuran en torno a los lu-gares geométricos en general y a las cóni-cas, en particular.

– Aplicar diferentes formas de razonamien-to inductivo y, en menor medida, deduc-tivo en el planteamiento y resolución deproblemas geométricos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Describir y dibujar algunos lugares geomé-

tricos elementales como la mediatriz o elarco capaz de un segmento, la bisectriz deun ángulo…, en un contexto de resoluciónde problemas de la geometría elemental.

– Utilizar el teorema de Pitágoras para calcu-lar la distancia entre dos puntos del planocartesiano y obtener la ecuación de la me-diatriz de un segmento o de una circunfe-rencia.

– Relacionar los elementos característicos delos distintos tipos de cónicas y utilizar estasrelaciones para obtener unos elementos enfunción de otros.

– Conocer y aplicar las fórmulas de la longi-tud de la circunferencia y de las áreas decírculos y recintos elípticos, en un contextode resolución de problemas asociados al en-torno cotidiano de los alumnos.

– Representar, por el método de trazado porpuntos, una elipse, una hipérbola o una pará-bola a partir de sus elementos característicos.

CONTENIDOS

Conceptos Procedimientos Actitudes– Lugar geométrico.– Mediatriz de un segmento.– Paralela media.– Bisectriz de un ángulo.– Arco capaz de un segmento.– Distancia entre dos puntos

del plano cartesiano.– Ecuación de la mediatriz

de un segmento.– La circunferencia. Elementos.– Ecuación de la circunfe-

rencia.– La elipse. Elementos.

– Trazado de la mediatriz deun segmento.

– Trazado de la paralela me-dia a dos rectas paralelas.

– Trazado de la bisectriz deun ángulo.

– Trazado del arco capaz deun segmento.

– Cálculo de la distancia dedos puntos del plano car-tesiano.

– Obtención de la mediatrizde un segmento a partir delas coordenadas de sus ex-tremos.

– Reconocimiento y valora-ción crítica de la presenciade los lugares geométricos,en general, y de las cónicas,en particular, en el entornocotidiano de los alumnos.

– Sensibilización ante las cuali-dades estéticas que las cónicasaportan en el mundo del arte,la técnica y la naturaleza.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades a lahora de afrontar problemasde carácter geométrico.

.../...



.../...– Relación pitagórica entre

los semiejes y la mitad dela distancia focal de unaelipse.

– Excentricidad de la elipse.– Área del recinto elíptico.– La hipérbola. Elementos.– Relación pitagórica entre

los semiejes y la mitad dela distancia focal de unaelipse.

– Excentricidad de la hipér-bola.

– La parábola. Elementos.

– Obtención de la ecuaciónde una circunferencia apartir de su radio y las co-ordenadas de su centro.

– Trazado de una elipse porel método “del jardinero”.

– Obtención de los semiejeso de la mitad de la distan-cia focal de una elipse, apartir de la fórmula quelos relaciona.

– Cálculo del área de un re-cinto elíptico.

– Obtención de los semiejeso de la mitad de la distan-cia focal de una hipérbola,a partir de la fórmula quelos relaciona.

– Trazado por puntos de unaelipse, una parábola o unahipérbola.

– Valoración, cuidado y preci-sión en el manejo de los ins-trumentos de dibujo y en lasconstrucciones geométricasmanuales.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Lugares geométricos ...................................................................... 4 sesiones

– Lugares geométricos elementales.– Ejemplos de lugares geométricos:

* Mediatriz de un segmento.

* Rectas paralelas.

* Bisectriz de un ángulo.

* Ángulo capaz.

– Lugares geométricos en el plano cartesiano.– Distancia entre dos puntos del plano cartesiano.– Ecuación de la mediatriz de un segmento.

2. Cónicas ........................................................................................... 4 sesiones– La circunferencia. Elementos y propiedades elementales.– Ecuación de la circunferencia.– La elipse. Elementos y propiedades elementales.– La hipérbola. Elementos y propiedades elementales.– La parábola. Elementos y propiedades elementales.

Evaluación .............................................................................................. 1 sesión


MATEMÁTICAS 119

Observaciones metodológicasLa inclusión, en este nivel, de los lugares geométricos constituye una novedad ya que, hasta

ahora, estos conceptos se habían desarrollado en cursos posteriores. Para evitar desfases y quetodos los alumnos avancen a su propio ritmo, la unidad debe desarrollarse en distintos grados deprofundidad, comenzando con una metodología manipulativa y descriptiva, orientada a la com-prensión del concepto de lugar geométrico y a su ejemplificación en figuras geométricas elementa-les que los alumnos conocen de cursos anteriores. Posteriormente, se pueden estudiar los distintostipos de cónicas y, si el nivel de la clase lo permite, la obtención de las ecuaciones de mediatrices ycircunferencias pero siempre con las debidas reservas y prestando atención a la diversidad.




Los alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:– Compresión del concepto

de lugar geométrico.– La construcción y manejo

de lugares geométricos ele-mentales, como: lamediatrizde un segmento, la bisectrizde un ángulo, el ángulo ca-paz y la circunferencia.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La construcción y manejo

de los distintos tipos decónicas.

– La relación entre los ele-mentos característicos delas cónicas.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La obtención de ecuacio-

nes de mediatrices y cir-cunferencias.

Unidad Didáctica 9. Isometrías planas


– Conocer el concepto de transformacióngeométrica plana y diferenciar las que sonisométricas de las que no lo son.

– Conocer y manejar los conceptos y proce-dimientos elementales asociados a los vec-tores del plano.

– Utilizar la terminología adecuada que per-mita describir, representar, relacionar, es-tructurar y analizar los movimientos apli-cados a figuras planas.

– Percibir e identificar relaciones isométricasen figuras geométricas próximas al entornocotidiano de los alumnos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Diferenciar vectores fijos y vectores libres

y representar gráficamente un vector librea partir de sus coordenadas y viceversa.

– Sumar vectores libres de forma gráfica yanalítica y calcular sus módulos a partir desus coordenadas.

– Obtener el centro y el ángulo de un giro eidentificar el giro mínimo que deja inva-riante a una figura plana.

– Obtener los centros, ejes y planos de si-metría de una figura plana o de un cuerpogeométrico elemental.

.../...



– Percibir e identificar relaciones de isometríaentre figuras geométricas asociadas a situa-ciones problemáticas de carácter elemental.

– Adquirir un cierto grado de capacidad men-tal para percibir figuras y formas geomé-tricas que no vengan asociadas a soportesmanipulables.

– Adquirir un cierto conocimiento de la utili-dad y empleo de las transformaciones isomé-tricas como medio de relacionar, clasificar yembellecer configuraciones geométricas.

– Construir figuras planas mediante la apli-cación de isometrías a otras previamentedadas.

– Sensibilizarse ante la belleza aportada porlos elementos geométricos manifestados através de la naturaleza y de la obra humanaen general.

– Aplicar a una figura plana una composiciónde dos o más traslaciones, de dos giros deigual o de distinto centro, de dos simetríascentrales o de dos simetrías axiales y uti-lizar estos procedimientos para analizar lacomposición de frisos y mosaicos.

CONTENIDOS


– Transformación geométri-ca plana.

– Isometrías.– Semejanzas.– Traslaciones. Propiedades

elementales.– Vectores fijos del plano.– Atributos de un vector

fijo: origen, extremo, mó-dulo, dirección y sentido.

– Vectores libres del plano.– Atributos de un vector li-

bre: módulo, dirección ysentido.

– Vectores opuestos.– Coordenadas de un vector

libre.– Suma de vectores.– Giros.– Simetrías axiales y sime-

trías centrales.– Figuras simétricas.– Composición de traslaciones.

– Identificación de transfor-maciones isométricas y noisométricas.

– Identificación de vectoresfijos y vectores libres.

– Aplicación a una figuraplana de una traslación devector dado.

– Representación gráfica deun vector a partir de suscoordenadas.

– Obtención del módulo deun vector a partir de suscoordenadas.

– Obtención gráfica y analíti-ca de la suma de vectores.

– Aplicación a una figuraplana de un giro de centroy ángulo dado.

– Obtención del centro y delángulo de un giro.

– Aplicación a una figuraplana de una simetría cen-tral de centro dado.

– Sensibilidad ante las cua-lidades estéticas de lasconfiguraciones geométri-cas obtenidas mediante laaplicación de isometríasplanas, reconociendo supresencia en la naturaleza,en el arte y en la técnica.

– Curiosidad e interés porinvestigar sobre formas,configuraciones y relacio-nes geométricas.

– Flexibilidad para enfren-tarse a situaciones geomé-tricas desde distintos pun-tos de vista.

– Interés y respeto por lasestrategias y solucionesa problemas geométricosdistintas de las propias.

– Sensibilidad y gusto porla realización sistemáticay presentación cuidado-sa y ordenada de trabajosgeométricos.

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MATEMÁTICAS 121

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– Composición de giros deigual centro.

– Composición de giros dedistinto centro.

– Composición de simetríascentrales.

– Composición de simetríasaxiales.

– Isometrías en el espacio.Ejes y planos de simetría.

– Frisos y mosaicos.

– Aplicación a una figuraplana de una simetría axialde eje dado.

– Obtención de los centrosy ejes de simetría de unafigura plana.

– Aplicación a una figuraplana de una composiciónde dos o más traslacionesde vectores dados.

– Aplicación a una figura planade una composición de dos omás giros de igual centro.

– Aplicación a una figura pla-na de una composición dedos giros de distinto centro.

– Aplicación a una figuraplana de la composiciónde dos simetrías centrales.

– Aplicación a una figuraplana de la composiciónde dos simetrías axiales deejes paralelos.

– Aplicación a una figuraplana de la composiciónde dos simetrías axiales deejes secantes.

– Búsqueda de propiedades,regularidades y relacionesen figuras y configuracio-nes geométricas planas.

– Detección e identificacióndel centro, ejes y planosde simetría de un cuerpogeométrico elemental.

– Construcción de un friso.– Construcción de un mosaico.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Traslaciones, giros y simetrías ....................................................... 4 sesiones

– Transformaciones geométricas.

– Vectores. Operaciones con vectores. Coordenadas de un vector.

– Traslaciones. Propiedades.



– Obtención del módulo de un vector a partir de sus coordenadas.– Giros. Obtención del centro y del ángulo de un giro.– Simetrías centrales y simetrías axiales.– Figuras simétricas.– Simetrías en el espacio. Cuerpos simétricos.

2. Composición de isometrías ........................................................... 4 sesiones– Composición de traslaciones.– Composición de giros de igual y distinto centro.– Composición de simetrías:

* Composición de simetrías centrales.* Composición de simetrías axiales.* Composición de simetrías de ejes paralelos.* Composición de simetrías de ejes no paralelos.

– Frisos y mosaicos.Evaluación .............................................................................................. 1 sesión

Observaciones metodológicasA partir del concepto de transformación geométrica plana se abordarán los contenidos bá-

sicos relacionados con cada uno de los tres tipos de isometrías: traslación, giro y simetría. Pa-ralelamente con el concepto de traslación se estudian los de vector fijo y vector libre, pero sinprofundizar en sus aspectos formales, que quedan para cursos posteriores.

En la segunda parte de la unidad se estudiará la composición que se puede dar entre dos si-metrías del mismo tipo: dos traslaciones, dos giros de igual o de distinto centro y dos simetrías,axiales o centrales.

Estos contenidos son mínimos en tanto en cuanto se pretende que los alumnos alcancen unaexperiencia básica de lo que es una composición de isometrías planas. Al término de la unidad, elprofesor podrá proponer, si así lo estima conveniente, el estudio de otros tipos de composicionesque, a modo de ampliación, sirvan para realizar pequeñas tareas de investigación que pueden serllevadas a cabo por algunos grupos de alumnos.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La identificación gráfica de

los atributos de un vector.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– El reconocimiento de vec-

tores libres.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Las combinaciones linea-

les de tres o más vectores..../...


MATEMÁTICAS 123

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– La suma y resta de vecto-res por la regla del parale-logramo.

– La construcción e interpre-tación gráfica de una trasla-ción, un giro o una simetría.

– La resolución manipulati-va y gráfica de problemassobre traslaciones, giros ysimetrías.

– La obtención de los ele-mentos generadores y laconstrucción de frisos ymosaicos.

– Lautilizacióndecoordenadasen operaciones con vectoresy el cálculo de módulos.

– La composición de trasla-ciones, giros de igual cen-tro y simetrías centrales yaxiales de ejes paralelos.

– La búsqueda y descrip-ción de invariantes iso-métricos de algunos cuer-pos geométricos elemen-tales.

– La resolución de proble-mas sencillos sobre trasla-ciones, giros y simetrías.

– La composición de girosde distinto centro y de si-metrías axiales de ejes noparalelos.


Unidad Didáctica 10. La esfera y el globo terráqueo


– Reconocer e identificar esferas y partes deesferas que pueden aparecer en la vida realy utilizar la terminología adecuada quepermite describirlos y clasificarlos.

– Obtener información sobre las medidas li-neales de los elementos característicos delas esferas y sus partes a partir de maquetaso representaciones gráficas de las mismas.

– Manejar la formulación relativa al cálcu-lo de áreas y volúmenes de las esferas ysus partes, en un contexto de resolución deproblemas asociados a la realidad cotidia-na del alumno.

– Conocer los elementos básicos que distin-guen a la esfera terrestre y utilizarlos encálculos métricos y de orientación.

– Aplicar diferentes formas de razonamientoinductivo y, en menor medida, deductivo,en el planteamiento y resolución de pro-blemas geométricos relacionados con loscuerpos esféricos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Identificar y reconocer los elementos cons-

titutivos de la esfera, la superficie esféricay las partes de éstas.

– Resolver problemas elementales de cálcu-lo de áreas y volúmenes de esferas y sec-ciones esféricas, asociados a la realidadcotidiana del alumno.

– Reconocer e identificar los elementos de laesfera terrestre.

– Resolver problemas elementales de orien-tación geográfica, en los que haya que lo-calizar un punto del globo terráqueo o deun mapa, a partir de sus coordenadas geo-gráficas o calcular estas últimas.

– Resolver problemas elementales relaciona-dos con la medida del tiempo y el empleode los husos horarios.

– Utilizar distintos recursos geométricosy cartográficos, como las escalas y lascurvas de nivel, para calcular longitudes,pendientes y áreas en una superficie geo-gráfica representada por un mapa topo-gráfico.



CONTENIDOS


– La esfera y la superficieesférica.

– Elementos de la esfera:centro, radio, paralelos,meridianos, polos, ecua-dor y hemisferios.

– Volumen de la esfera.

– Área de la superficie esférica.

– Geometría no euclídea.

– Partes de la superficie esfé-rica: casquete esférico, zonaesférica y huso esférico.

– Áreas de las partes de lasuperficie esférica.

– Partes de la esfera: seg-mento esférico de una odos bases y cuña esférica.

– Volúmenes de las partesde la esfera.

– El globo terráqueo. Ele-mentos.

– Coordenadas geográficas:longitud y latitud.

– Distancia entre dos puntosdel mismo meridiano.

– Husos horarios.

– Proyecciones cartográficas.

– Mapas topográficos.

– Escalas.

– Curvas de nivel.

– Obtención del volumen deuna esfera.

– Obtención del área de unasuperficie esférica.

– Obtención del área de uncasquete esférico.

– Obtención del área de unazona esférica.

– Obtención del área de unhuso esférico.

– Obtención del volumen deun segmento esférico deuna base.

– Obtención del volumen deun segmento esférico dedos bases.

– Obtención del volumen deuna cuña esférica.

– Cálculo de la distancia en-tre dos puntos de una su-perficie esférica.

– Obtención de las coordena-das geográficas de un lugar.

– Localización de un lugargeográfico a partir de suscoordenadas geográficas.

– Cálculo de la distancia en-tre dos lugares geográficossituados en el mismo me-ridiano.

– Utilización de los husoshorarios para calcular lahora de un lugar.

– Utilización de la escalapara calcular medidas enun mapa topográfico.

– Utilización de las curvas denivel para calcular desnive-les y pendientes de terreno.

– Reconocimiento y valora-ción crítica del empleo delas esferas y sus configura-ciones geométricas asocia-das en el entorno cotidianodel alumno.

– Sensibilización ante lascualidades estéticas quelos objetos redondos apor-tan en el mundo del arte, latécnica y la naturaleza.

– Sensibilización por losproblemas medioambien-tales y preocupación porla conservación de nuestroentorno natural.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades a lahora de afrontar problemasde carácter geométrico.

– Valoración, cuidado yprecisión en el manejo delos instrumentos de dibu-jo y en las construccionesgeométricas manuales.



Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Cuerpos esféricos .......................................................................... 4 sesiones

– La esfera. Área y volumen de la esfera.

– Geometría de la superficie esférica.

– Partes de la superficie esférica: casquete esférico, zona esférica y huso esférico.

– Partes de la esfera: segmento esférico de una y dos bases, y cuña esférica.

2. La Tierra ....................................................................................... 4 sesiones

– El globo terráqueo. Elementos.

– Coordenadas geográficas: longitud y latitud.

– Distancia entre dos puntos del mismo meridiano.

– Husos horarios.

– Proyecciones cartográficas.

– Mapas topográficos. Escalas y curvas de nivel.


Observaciones metodológicasEsta unidad trata sobre la esfera y sus aplicaciones cartesianas, en tanto en cuanto constituye

el modelo sobre el que se representa el mundo en el que vivimos. Los contenidos de la unidad sehan distribuido de manera que, en la primera parte, se repasan los que son estrictamente geomé-tricos, que los alumnos han estudiado en cursos anteriores, y, en la segunda, se abordan aquellosque giran en torno al globo terráqueo y a las distintas formas de representar la superficie terrestre.La metodología, en principio manipulativa, debe de ir dando paso a enfoques más deductivos queen la etapa anterior, pero siempre con las debidas reservas y prestando atención a la diversidad.

Como método general se sugiere, por tanto, que, tras una revisión breve de los conceptos yprocedimientos desarrollados, los alumnos afronten las actividades empleando distintas estrate-gias que no excluyan la utilización de sencillos razonamientos deductivos.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La identificación de los

distintos tipos de cuerposesféricos y de sus propie-dades elementales.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La resolución de proble-

mas de áreas de las partesde una superficie esférica.


mas métricos topográficos,utilizando los conceptos deescala y curva de nivel.



– El cálculo de áreas y volú-menes de cuerpos esféricospor aplicación directa de lasfórmulas correspondientes.

– La resolución de proble-mas métricos con la esferay la superficie esférica.

– La identificación de meri-dianos, paralelos y coor-denadas terrestres.

– La resolución de proble-mas de volúmenes de laspartes de una esfera.

– La resolución de problemassobre coordenadas terrestres.

– La utilización de los husosesféricos para relacionar lahora entre dos puntos delglobo terráqueo.


Unidad Didáctica 11. Funciones


– Conocer el concepto de función, en cual-quiera de sus expresiones, y familiarizarsecon su terminología.

– Utilizar el lenguaje gráfico para valorar einterpretar, global o parcialmente, sencillassituaciones de tipo funcional relacionadascon las ciencias o con el entorno cotidianodel alumno, relacionando los resultados conla información requerida a la actividad o si-tuación problemática de la que se derive.

– Identificar y clasificar los objetos gráficosque aparecen en los medios de comunica-ción visuales, obteniendo las relacionesfuncionales en el caso de que estas existan.

– Conocer las propiedades básicas de los dis-tintos tipos de funciones elementales (cons-tantes, lineales, afines, de proporcionalidadinversa y cuadráticas), en cualquiera de susexpresiones (algebraica y gráfica), y fami-liarizarse con su terminología.

– Reconocer el tipo de familia funcional que secorresponde con un modelo funcional dadoa través de una gráfica o de una ecuación.

– Reconocer e interpretar relaciones senci-llas susceptibles de ser tratadas a travésde las funciones elementales, que puedanaparecer en los medios de comunicación,las ciencias o en el entorno cotidiano de losalumnos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Conocer y relacionar las diferentes formas

de expresar una función: a través de una re-gla, una tabla, una ecuación o una gráfica.

– Reconocer y obtener el dominio y el reco-rrido de una función a partir de su gráfica.

– Localizar e interpretar los intervalos decrecimiento o decrecimiento de una fun-ción a través de su representación gráfica.

– Localizar e interpretar los puntos extremosde una función a partir de su representa-ción gráfica.

– Localizar e interpretar las posibles sime-trías de una función a partir de su repre-sentación gráfica.

– Localizar e interpretar la periodicidad deuna función a partir de su representacióngráfica.

– Reconocer y clasificar los distintos tiposde funciones elementales estudiadas en launidad, a partir de una tabla, una ecuación,una regla verbal o de una gráfica.

– Representar gráficamente funciones cons-tantes, afines, lineales o de proporcionali-dad inversa, precisando e interpretando susdominios, recorridos y puntos de corte conlos ejes.

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MATEMÁTICAS 127

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– Elaborar y valorar estrategias diferentespara la codificación de la información através de tablas, ecuaciones y gráficas,en orden al planteamiento y resolución deproblemas relacionados con las ciencias ocon el entorno cotidiano del alumno.

– Conocer y valorar la utilidad de las nuevastecnologías en relación con el estudio e in-terpretación de gráficas y funciones.

– Representar gráficamente funciones cua-dráticas elementales, precisando e inter-pretando sus dominios, recorridos, vérticesy puntos de corte con los ejes.

– Representar e interpretar gráficamente fe-nómenos de la vida cotidiana que se rela-cionen mediante funciones elementales deltipo que se estudian en la unidad.

– Comparar dos gráficas e interpretar elsignificado de sus puntos de corte en uncontexto de resolución de problemas rela-cionados con las ciencias o el entorno coti-diano de los alumnos.

– Utilizar algún programa informático senci-llo que permita la representación y el análi-sis gráfico de una función elemental.

CONTENIDOS


– Función. Dominio. Recorri-do. Imagen de un número.

– Variable dependiente y va-riable independiente.

– Ecuación de una función.

– Distintas formas de expre-sar una función (verbal,tabla, ecuación, gráfica).

– Crecimiento y decreci-miento de una función.

– Puntos extremos de unafunción.

– Simetrías de una función.

– Periodicidad de una fun-ción.

– Continuidad de una fun-ción.

– Funciones constantes. Pro-piedades.

– Funciones lineales. Pro-piedades.

– Descripción verbal de fun-ciones dadas en forma de ta-blas, ecuaciones o gráficas.

– Representación de puntosy tablas de puntos, infi-riendo posibles formas decompletar la gráfica de unafunción más compleja.

– Transformación de enun-ciados y ecuaciones a ta-blas y de éstas a gráficas.

– Elaboración de gráficas aescalas convenientes, deacuerdo con el enunciadode la función.

– Reconocimiento y obten-ción del dominio y delrecorrido de una función apartir de su gráfica.

– Reconocimiento de gráfi-cas funcionales y no fun-cionales.

– Reconocimiento y valora-ción de la utilidad del len-guaje gráfico para repre-sentar y resolver proble-mas de la vida cotidiana.

– Curiosidad por investigarrelaciones de proporciona-lidad directa o inversa entremagnitudes o fenómenos.

– Reconocimiento y valo-ración crítica de las rela-ciones entre el lenguajegráfico, el algebraico y elordinario aplicado a situa-ciones en las que se mani-fiesta una proporcionali-dad directa o inversa.

– Sensibilidad y gusto porla precisión, el orden y laclaridad en el tratamientoy presentación de tablas ygráficas.

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– Funciones afines. Propie-dades.

– Funciones de proporciona-lidad inversa. Hipérbolas.Propiedades.

– Funciones cuadráticas.Propiedades.

– Análisis gráfico de la mo-notonía, puntos extremos,simetrías, periodicidad ycontinuidad de una función

– Estudio comparativo dedos gráficas funcionales.

– Interpretación funcionalde la proporcionalidad, di-recta e inversa.

– Identificación algebraica ygráfica de una función ele-mental (constante, lineal,afín, de proporcionalidadinversa o cuadrática).

– Descripción de las propie-dades gráficas característi-cas de las rectas, las hipér-bolas y las parábolas.

– Interpretación gráfica yalgebraica de la traslaciónplana de una recta.

– Interpretación de las propie-dades gráficas de una fun-ción elemental de acuerdocon el contexto del proble-ma del que se derive.

– Utilización de programasinformáticos en la repre-sentación gráfica y en elanálisis de las propieda-des básicas de una funciónelemental.

– Valoración de la inciden-cia de los nuevos mediostecnológicos en el trata-miento y representacióngráfica de informacionessusceptibles de ser inter-pretadas a través de unafunción elemental.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Funciones y gráficas .......................................................................4 sesiones

– Concepto de función.

– Distintas formas de describir funciones.

– Propiedades gráficas de las funciones.

– Estudio conjunto de dos gráficas funcionales.

2. Funciones elementales ....................................................................8 sesiones

– Funciones constantes.

– Funciones lineales.


MATEMÁTICAS 129

– Funciones afines.

– Aplicaciones de las funciones lineales y afines.

– Funciones de proporcionalidad inversa.

– Funciones cuadráticas.

Evaluación ..............................................................................................1 sesión

Observaciones metodológicasEn esta unidad se repasa y afianza el concepto de función introducido en el curso anterior, sus

propiedades gráficas elementales (monotonía, puntos extremos, simetría, periodicidad y continui-dad) y las funciones elementales más sencillas (constantes, lineales, afines y de proporcionalidadinversa). También se inicia el estudio elemental de la función cuadrática que se completará en elcurso siguiente.

Como método general, los contenidos se presentarán de una forma sencilla, apoyada enejemplos, a ser posible extraídos de los medios de comunicación, que sean fácilmente interpre-tables por los alumnos y evitando, en la medida de lo posible, el empleo de cualquier tipo deformalismo.





– La descripción de funcio-nes a través de gráficas ytablas.

– La descripción de las pro-piedades gráficas de lasfunciones.

– La representación de fun-ciones de proporcionali-dad directa.

– La utilización de tablasy gráficas para resolverproblemas de proporcio-nalidad.


– La descripción de funcio-nes a través de ecuaciones.

– La obtención e interpreta-ción del dominio y el reco-rrido de una función.

– La representación de fun-ciones de proporcionali-dad inversa.

– Las propiedades caracte-rísticas de las funciones deproporcionalidad, directae inversa.

– La resolución de proble-mas de proporcionalidadde carácter científico ocercano a las experienciasde los alumnos.


– La representación de fun-ciones cuadráticas.

– Las propiedades caracte-rísticas de las funcionescuadráticas.

– La resolución de proble-mas sobre funciones querequieran de técnicas y es-trategias atípicas.



Unidad Didáctica 12. Tablas y gráficas estadísticas


– Conocer el lenguaje básico de la estadísticadescriptiva y utilizarlo con corrección paradistinguir, describir y relacionar datos y con-ceptos, en situaciones de tipo estadístico.

– Detectar los errores habituales que apare-cen en el lenguaje ordinario y en los me-dios de comunicación, cuando se aplica,sin conocimiento técnico, a la descripciónde fenómenos estadísticos.

– Organizar una información estadística sen-cilla mediante recuentos, tablas y gráficasestadísticas.

– Interpretar la información estadística con-tenida en una tabla de distribución de fre-cuencias.

– Interpretar y construir gráficas estadísticas,adecuadas a cada situación, que relacionenlos datos con sus frecuencias.

– Analizar e interpretar informaciones ysituaciones problemáticas de la vida coti-diana que se relacionen con conceptos yprocedimientos propios de la estadísticadescriptiva.

– Interpretar y analizar de manera correctalas informaciones estadísticas, asociadas adistribuciones unidimensionales discretasy continuas sencillas, que, de forma pe-riódica, suelen aparecer en los medios decomunicación.

– Conocer y valorar la utilidad de las nuevastecnologías en el tratamiento de los pro-blemas relacionados con la presentaciónde datos estadísticos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Mostrar un conocimiento adecuado de los

términos asociados al lenguaje estadístico.– Efectuar el recuento ordenado de los valo-

res de una variable estadística sencilla, cua-litativa o cuantitativa discreta, y construirsu correspondiente tabla de frecuencias.

– Distribuir los valores de una variable cuan-titativa continua sencilla en un númeroadecuado de intervalos de clase y elaborarla correspondiente tabla de frecuencias.

– Elegir el gráfica estadística más adecuadapara representar una determinada distribu-ción de frecuencias.

– Interpretar la información estadística que pro-porciona un diagrama de barras, un histogra-ma, un polígono de frecuencias o un diagra-ma de sectores asociado a una distribución.

– Interpretar la información estadística re-cogida en otros tipos de gráficas: carto-gramas, pictogramas, series cronológicasy pirámides de población utilizados pararepresentar las características socioeconó-micas o culturales de un país o región.

– Detectar errores estadísticos en la infor-mación ofrecida a través de diferentesmodelos gráficos que suelen ser utilizadoscon una cierta libertad en los medios deinformación.

– Conocer algún programa informático quesirva para elaborar gráficas estadísticas.

CONTENIDOS


– Población estadística. Ta-maño. Muestra. Individuo.

– Variable estadística. Tipos.– Frecuencia: absoluta, rela-

tiva y porcentual.

– Recuento ordenado de da-tos estadísticos.

– Obtención de las frecuenciasabsolutas, relativas y porcen-tuales de un dato estadístico.

– Reconocimiento y valora-ción de la utilidad del len-guaje estadístico para repre-sentar y resolver problemasde la vida cotidiana.

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MATEMÁTICAS 131

– Tablas de frecuencia.– Intervalos de clase. Mar-

cas de clase.– Diagrama de barras. Diagra-

ma de barras acumulado.– Polígono de frecuencias.

Polígono de frecuenciasacumulado.

– Histograma. Histogramaacumulado.

– Diagrama de sectores.– Otras gráficas estadísticas:

pirámides de población,cartogramas y series cro-nológicas.

– Errores estadísticos.

– Elaboración de una tablade frecuencias.

– Distribución de una seriede datos estadísticos en in-tervalos de clase.

– Construcción de un diagra-ma de barras.

– Construcción de un diagra-ma de barras acumulado.

– Construcción de un polí-gono de frecuencias.

– Construcción de un polígonode frecuencias acumulado.

– Construcción de un histo-grama.

– Construcción de un histo-grama acumulado.

– Construcción de un diagra-ma de sectores.

– Obtención de frecuenciasa partir de un gráfico esta-dístico.

– Interpretación de una pirámi-de de población, un cartogra-ma o una serie cronológica.

– Detección e interpretaciónde errores estadísticos.

– Utilización de programas in-formáticos para la obtenciónde gráficas estadísticas.

– Valoración de la inciden-cia de los nuevos mediostecnológicos en el trata-miento y representacióngráfica de informacionesde índole muy diversa.

– Sensibilidad, interés y va-loración crítica del uso dellenguaje estadístico en in-formaciones y argumenta-ciones sociales, políticas yeconómicas.

– Reconocimiento y valora-ción del trabajo en equipocomo manera más eficazpara realizar determinadastareas (planificar y llevara cabo experiencias, tomade datos, etc.).

– Sensibilidad y gusto porla precisión, el orden y laclaridad en el tratamientoy presentación de datos yresultados relativos a ob-servaciones, experienciasy encuestas.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Tablas estadísticas .......................................................................... 3 sesiones

– Población y muestra.– Observaciones y variables estadísticas.– Frecuencias y tablas estadísticas.– Distribución en intervalos de clase.

2. Gráficas estadísticas ...................................................................... 4 sesiones– Diagramas de barras.– Histogramas.

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– Polígonos de frecuencias.

– Diagramas de sectores.

– Otras gráficas estadísticas.

– Los errores estadísticos.


Observaciones metodológicasEn esta unidad trataremos que los alumnos se familiaricen con los contenidos y usos de la

estadística descriptiva en lo relativo a recogida, organización y representación, mediante tablas ygráficas, de una colección de datos cuantitativos o cualitativos.

Aunque a lo largo de la unidad prevalecen los procedimientos sobre los conceptos, se deberácuidar con especial interés la correcta utilización de los términos constitutivos del lenguaje esta-dístico. Existe en el lenguaje ordinario una gran cantidad de acepciones diferentes para las pala-bras que se emplean normalmente en Estadística: población, muestra, frecuencia, tamaño, etc.,que son susceptibles de interpretaciones muy diferentes en muy variados contextos. Comentar laprensa diaria, en clase, haciéndonos eco de la forma, correcta o errónea, con que se dan los datosestadísticos nos parece una forma ideal de aplicar los contenidos expuestos en la unidad.

Como complemento de las actividades de clase, el profesor puede dividir a sus alumnos engrupos y encargarles algún trabajo que pueden realizar fuera de clase (una encuesta, la elabora-ción de un censo,…). También es interesante dedicar un poco de tiempo a explicar cómo se puedeconstruir una gráfica estadística, con un sencillo procesador de textos que los alumnos puedanmanejar en casa.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La correcta utilización de

los términos estadísticos.– La recogida y organiza-

ción de datos.– La construcción de una ta-

bla de frecuencias.– La resolución de proble-

mas sobre frecuencias es-tadísticas.

– Larepresentacióndediagra-mas de barras y polígonosde frecuencias.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Las distribuciones en in-

tervalos de clase.– La construcción e inter-

pretación de las gráficasestadísticas estudiadas enla unidad, incluidos loshistogramas y los diagra-mas de sectores.

– La resolución de proble-mas sobre interpretaciónde gráficas estadísticas.


mas que se basen en larelación entre gráficas ytablas.

– La resolución de proble-mas de estadística atípicosque requieran de técnicasy estrategias personales.



Unidad Didáctica 13. Parámetros estadísticos


– Conocer y utilizar los parámetros de cen-tralización (media, moda, mediana y cuar-tiles) de una distribución cuantitativa ocualitativa, discreta o continua, para enjui-ciar su comportamiento.

– Conocer y utilizar los parámetros de disper-sión (rango o recorrido, desviación media,varianza, desviación típica y coeficiente devariación) de una distribución cuantitativa,discreta o continua, para enjuiciar su com-portamiento.

– Identificar los tipos de medidas estadísti-cas más convenientes a una determinadadistribución de frecuencias en actividadesrelacionadas con el entorno cotidiano delalumno o con otras instrumentadas a travésde los medios de comunicación.

– Utilizar las diferentes medidas estadísticaspara analizar las similitudes y diferenciasentre distribuciones susceptibles de sercomparadas.

– Manejar la calculadora de manera racionalen la obtención de las medidas estadísticasde una distribución cuantitativa y valorar lassoluciones que las nuevas tecnologías apor-tan en los estudios de índole estadística.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Conocer los distintos parámetros estadísti-

cos y las fórmulas con las que se obtienen.– Obtener la moda de una distribución cuali-

tativa.– Obtener los parámetros estadísticos de

centralización y de dispersión de una dis-tribución discreta sencilla, a partir de unatabla estadística adecuada.

– Obtener la media y la desviación típica deuna distribución discreta utilizando la cal-culadora científica.

– Obtener la moda y la mediana de una dis-tribución discreta sencilla a través de ungráfico estadístico que la represente.

– Obtener los parámetros estadísticos decentralización y de dispersión de una dis-tribución de clases sencilla, a partir de lasmarcas de clase de sus intervalos.

– Interpretar adecuadamente el significadode los distintos parámetros estadísticos, deacuerdo con la distribución que representen.

– Analizarelcomportamientodedosdistribucio-nes de frecuencias a partir del estudio conjuntode sus medias y sus desviaciones típicas.

– Obtener e interpretar el coeficiente de va-riación de una distribución.

– Comparar dos distribuciones a partir desus coeficientes de variación.

CONTENIDOS


– Moda.– Mediana.– Cuarteles.– Media aritmética.– Rango o recorrido.

– Obtención e interpreta-ción de la moda de unadistribución.

– Interpretación gráfica dela moda.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje estadístico pararesolver, representar ointerpretar situaciones yproblemas de la vida co-tidiana.



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– Desviación media.– Varianza.– Desviación típica.– Coeficiente de variación.

– Obtención e interpretaciónde la mediana de una dis-tribución.

– Obtención e interpretaciónde los cuartiles de una dis-tribución.

– Interpretación gráfica dela mediana.

– Obtención de la media arit-mética de una distribución.

– Obtención e interpretacióndel rango o recorrido deuna distribución.

– Obtención e interpretaciónde la desviación media deuna distribución.

– Obtención e interpretaciónde la varianza de una dis-tribución.

– Obtención e interpretaciónde la desviación típica deuna distribución.

– Obtención de los paráme-tros estadísticos de unadistribución de intervalosde clase.

– Uso de la calculadora cien-tífica en la obtención de lamedia y la desviación típi-ca de una distribución.

– Análisis de dos distribu-ciones comparables a par-tir del estudio conjunto desus medias y sus desvia-ciones típicas.

– Obtención e interpretacióndel coeficiente de varia-ción de una distribución.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización delos cálculos estadísticos.

– Valoración, cuidado yprecisión en el manejo dela calculadora, normal ycientífica, y otros mediosinformáticos para su apli-cación en los cálculos es-tadísticos.

– Reconocimiento y valora-ción del trabajo en equipocomo la manera más efi-caz para la realización detareas relacionadas con laestadística: planificaciónde tareas, toma de datos,obtención e interpretaciónde medidas estadísticas,debate de conclusiones...

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Parámetros de centralización ........................................................4 sesiones

– Moda.

– Mediana.


MATEMÁTICAS 135

– Cuartiles.

– Media aritmética.

– Aplicación a los intervalos de clase.

2. Parámetros de dispersión ............................................................. 5 sesiones

– Rango o recorrido.

– Desviación media.

– Varianza y desviación típica.

– Estudio conjunto de la media y la desviación típica.



En esta unidad, que se complementa con la anterior, los alumnos deberán ejercitarse en elcálculo e interpretación de los parámetros estadísticos básicos de una distribución.

Se recomienda que todos los alumnos utilicen una calculadora científica de la misma marca.Asimismo nos parece adecuado que el empleo de la calculadora responda a criterios racionalesde eficacia y se circunscriba a los cálculos largos o reiterativos.





– La correcta utilización delos términos estadísticos.

– El cálculo de la moda,mediana, cuartiles, media,rango y desviación mediade una serie pequeña dedatos estadísticos.

– El uso de la calculadoraen el cálculo de la media,varianza y desviación típi-ca de una serie pequeña dedatos estadísticos.

– La resolución de proble-mas sencillos sobre pará-metros estadísticos.


– El cálculo manual de losdistintos parámetros decentralización y disper-sión de una serie pequeñade datos estadísticos.

– El uso de la calculadora enel cálculo e interpretaciónde la media, varianza y ladesviación típica de unaserie discreta de datos es-tadísticos.

– La resolución de proble-mas sobre parámetros es-tadísticos.


– El uso de la calculadora enel cálculo y valoración delos parámetros de una dis-tribución de intervalos declase.

– El estudio conjunto de lamedia y la desviación típi-ca.




Unidad Didáctica 14. Azar y probabilidad


– Conocer y utilizar el vocabulario mínimoque permita distinguir y describir sencillosfenómenos aleatorios.

– Conocer y utilizar algunos métodos ele-mentales del cálculo probabilístico, comola regla de Laplace y la asignación experi-mental de probabilidades en base a las fre-cuencias relativas de un suceso aleatorio.

– Analizar e interpretar informaciones y re-solver situaciones problemáticas sencillasque puedan surgir en la vida cotidiana o enlos medios de comunicación y que esténrelacionados con situaciones propias delazar y del cálculo de probabilidades.

– Detectar los errores habituales que apare-cen en el lenguaje ordinario y periodísticocuando se aplica, sin conocimiento técnico,a la descripción de situaciones aleatorias yprobabilísticas.

– Valorar la incidencia de los nuevos mediostecnológicos en el tratamiento y represen-tación de informaciones relacionadas conel azar y la probabilidad.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Reconocer situaciones en las que intervie-

ne el azar.– Construir el espacio muestral asociado a

un experimento aleatorio sencillo.– Identificar y representar en forma de con-

junto los sucesos generados por experi-mentos aleatorios sencillos.

– Asignar probabilidades mediante el méto-do experimental basado en la aplicación dela Ley de los Grandes Números.

– Asignar probabilidades a través de la Re-gla de Laplace.

– Calcular la probabilidad de un suceso com-puesto a partir de las probabilidades de lossucesos elementales que lo constituyen.

– Utilizar las propiedades de la probabilidadpara efectuar cálculos probabilísticos.

– Calcular probabilidades en experimentoscompuestos sencillos mediante la cons-trucción y empleo de diagramas de árbol.

– Calcular probabilidades en experimentoscompuestos sencillos mediante la construc-ción y empleo de tablas de contingencia.

CONTENIDOS


– Experimentos deterministasy experimentos aleatorios.

– Espacio muestral.– Suceso aleatorio.– Sucesos elementales y su-

cesos compuestos.– Suceso seguro y suceso

imposible.– Sucesos contrarios.

– Obtención del espacio mues-tral asociado a un experimen-to aleatorio.

– Relación entre sucesos alea-torios y subconjuntos delespacio muestral.

– Interpretación probabilís-tica de la frecuencia rela-tiva de un suceso.

– Asignación de probabili-dades experimentales.

– Reconocimiento y valo-ración de la utilidad dellenguaje y métodos proba-bilísticos para representary resolver problemas de lavida cotidiana.

– Valoración de la inciden-cia de los nuevos mediostecnológicos en el trata-miento y representacióngráfica de informacionesde índole muy diversa.

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MATEMÁTICAS 137

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– Ley de los grandes números.– Sucesos equiprobables.– Regla de Laplace.– Diagramas de árbol.– Tablas de contingencia.– Experimentos compuestos.

– Asignación de probabili-dades mediante la Reglade Laplace.

– Cálculo de la probabilidadde un suceso compuesto apartir de las probabilidadesde los sucesos elementalesque lo constituyen.

– Cálculos probabilísticos quese derivan de las propieda-des de la probabilidad.

– Asignación de probabi-lidades en experimentoscompuestos mediante laconstrucción y empleo dediagramas de árbol.

– Asignación de probabi-lidades en experimentoscompuestos mediante laconstrucción y empleo detablas de contingencia.

– Sensibilidad, interés y va-loración crítica del uso dellenguaje probabilístico eninformaciones y argumen-taciones sociales, políticasy económicas.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Experimentos y sucesos .................................................................. 4 sesiones

– Experimentos aleatorios.– Sucesos aleatorios.– Frecuencia y probabilidad de un suceso.– Propiedades de la probabilidad.– Regla de Laplace.

2. Experimentos compuestos ............................................................. 5 sesiones– Diagramas de árbol.– Problemas con urnas.– Tablas de contingencia.


Observaciones metodológicasEn esta unidad se profundiza en los conceptos de azar y probabilidad, introducidos de forma

muy elemental en el curso anterior.

En nuestro enfoque metodológico sugerimos la utilización de algunos contenidos básicos dela teoría de conjuntos con el fin de representar los sucesos asociados a un experimento aleatorio yfacilitar el cálculo posterior de probabilidades asociadas a experimentos aleatorios simples.



La definición de probabilidad precisará de un acercamiento previo, basado en la interpreta-ción de palabras parecidas como “posible”, “probable”… y en estimaciones porcentuales que losalumnos pueden efectuar mentalmente.

En la segunda parte de la unidad los alumnos se iniciarán en el análisis de experimentos aleato-rios compuestos, que se abordan a través de diagramas de árbol y tablas de contingencia, sin profun-dizar en los aspectos formales de la probabilidad condicionada, más apropiada para 4.º de la ESO.





los términos relacionadoscon el azar.

– La asignación experimen-tal de probabilidad.

– La utilización de la reglade Laplace.

– El uso de los diagramas deárbol.

– La resolución de problemassencillos sobre probabilidad.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La determinación de suce-

sos aleatorios.– La aplicación de las pro-

piedades de la probabilidaden experimentos simples.

– Los problemas de probabi-lidad en experimentos com-puestos.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La construcción y empleo

de tablas de contingencia.– La resolución de problemas

de probabilidad atípicosque requieran de técnicas yestrategias personales.


MATEMÁTICAS 139

PROGRAMACIÓN DE AULA DE 4.º CURSO DE ESO. OPCIÓN B



– Escribir, traducir e interpretar con seguridadexpresiones numéricas sencillas que involu-cren números racionales e irracionales, en-tendiendo su significado.

– Emplear los números racionales e irracionales,siendo conscientes de sus diferentes particulari-dades para cuantificar e interpretar, a través desus expresiones decimales, situaciones relaciona-das con la vida real, obteniendo recuentos, resul-tados y relaciones mediante cálculos adecuados.

– Conocer y manejar con soltura las relacionesde orden, igualdad y equivalencia entre nú-meros reales.

– Calcular expresiones combinadas sencillas connúmeros reales, en un contexto de resolución deproblemas, eligiendo, de forma racional, el tipode cálculo adecuado a cada situación (mental,manual, con calculadora).

– Identificar y decidir sobre el tipo de mediday aproximación que conviene aplicar a unadeterminada situación asociada a la realidadcotidiana de los alumnos, en función del errorabsoluto, relativo o porcentual cometido.

– Manejar con soltura la calculadora y otrosrecursos tecnológicos en los cálculos aproxi-mados con expresiones decimales, racionalese irracionales, que involucren las operacioneselementales, tomando conciencia de los erro-res cometidos y realizando una adecuada valo-ración de los mismos.

– Interpretar adecuadamente la recta graduadacomo una representación gráfica del conjun-to de los números reales.

– Conocer, interpretar y manejar los intervalosde la recta real como subconjuntos del con-junto de los números reales.

– Conocer y manejar los conceptos de valorabsoluto y distancia, pilares básicos de lamétrica de la recta real.

– Elaborar estrategias personales para el plantea-miento y resolución de problemas numéricos.

– Calcular y simplificar expresiones combina-das de fracciones de números enteros.

– Utilizar las expresiones decimales exactas, pe-riódicas y no periódicas, para escribir, interpre-tar, comparar y ordenar los números reales.

– Redondear un número decimal o una expre-sión decimal no exacta hasta una cifra dada,acotando y valorando, en razón del tipo demedida efectuada, el error absoluto, relativo oporcentual cometido en un contexto de resolu-ción de problemas numéricos.

– Determinar el tipo de cálculo (manual, men-tal, con calculadora) que se muestra másadecuado para su ejecución ante una situa-ción concreta.

– Efectuar operaciones con números reales,dados en forma decimal, de forma manualy con calculadora, en un contexto de resolu-ción de problemas numéricos.

– Valorar la adecuación de un resultado numé-rico al contexto de la situación problemáticade la que se obtiene.

– Mostrar un conocimiento suficiente de laspropiedades métricas de la recta real basadasen los conceptos de valor absoluto y de dis-tancia.

– Conocer y distinguir los distintos tipos deintervalos que pueden establecerse sobre larecta real.

– Interpretar y relacionar las distintas formas deexpresar un intervalo de la recta real.

– Determinar, de forma gráfica y simbólica, elresultado de la unión o la intersección de dosintervalos de la recta real.

– Conocer, manejar y relacionar los conceptosde distancia y valor absoluto.

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CONTENIDOS


– Número racional. Opera-ciones.

– Número irracional.– Número real.

– Aproximación decimal deun número real. Trunca-miento y redondeo.

– Errores absoluto, relativo yporcentual de una aproxi-mación decimal.

– Acotación de errores.– Representación gráfica de los

números reales. La recta real.– Intervalos. Tipos de inter-

valos.– Unión e intersección de

intervalos.– Ordenación de los núme-

ros reales.– Valor absoluto. Propiedades.– Distancia entre dos puntos

de la recta real.

– Operaciones con expresio-nes fraccionarias.

– Aplicación de las técni-cas de redondeo y trun-camiento en la aproxima-ción decimal de un núme-ro real.

– Determinación de las cotasde los errores absoluto yrelativo cometidos en unaaproximación decimal.

– Empleo de la calculadoracientífica en el cálculocon expresiones decima-les aproximadas.

– Representación gráfica deun número real.

– Determinación, interpreta-ción y clasificación de in-tervalos de la recta real.

– Operaciones con interva-los de la recta real.

– Determinación de la distan-cia entre dos números repre-sentados en la recta real.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje numérico.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, limpie-za) en la realización de ac-tividades numéricas.

– Confianza en las propiascapacidades al afrontar ac-tividades de cálculo connúmeros reales.

– Reconocimiento y valora-ción crítica del manejo dela calculadora en la resolu-ción de actividades numé-ricas.

– Perseverancia y flexibi-lidad en la búsqueda desoluciones y estrategias enun contexto de resoluciónde problemas por métodosnuméricos.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Números reales................................................................................3 sesiones

– Números racionales.– Números irracionales.– Aproximaciones decimales.– Errores: absoluto, relativo y porcentual.

2. La recta real ....................................................................................3 sesiones– Representación numérica en la recta real.– Intervalos de la recta real. Tipos de intervalos. Operaciones.– Ordenación de los números reales.– Valor absoluto de un número real.




Observaciones metodológicasTras las actividades de exploración inicial, que pueden ocupar la mitad de una sesión, el pro-

fesor establecerá un turno de preguntas y respuestas con los alumnos para repasar, de una formainteractiva, los conceptos y procedimientos relacionados con los números racionales que fueronestudiados en el curso anterior. En las siguientes sesiones se abordarán los contenidos propios delos números irracionales a los que se llegarán mediante el análisis de situaciones de medida queno puedan ser cuantificadas por fracciones.

La segunda parte de la unidad es de ampliación y, por tanto opcional. Sus contenidos estándirigidos a los alumnos que, habiendo asimilado los de la primera parte, muestren la suficiente ca-pacitación. Se propondrán actividades para que el alumno refuerce su práctica en el cálculo men-tal y manual de las operaciones con números decimales, aproximaciones, estimaciones y determi-nación de errores. La calculadora se utilizará para resolver expresiones combinadas de númerosdecimales y para razonar sobre los conceptos y procedimientos desarrollados en la unidad.


Primer Nivel Segundo Nivel Tercer NivelLos alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:– Las operaciones elementa-

les con fracciones.– El manejo de los distintos

tipos de decimales y su re-lación con las fracciones.

– Estimaciones, redondeos yerrores.

– El uso de la calculadora enoperaciones con decimales.

– El reconocimiento de nú-meros reales e intervalosen la recta real.

– La resolución de problemasmuy sencillos sobre núme-ros decimales.

Los alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:– La demostración razonada

de la irracionalidad de algu-nos números reales.

– La identificación y clasifica-ción de los distintos tipos denúmeros.

– La representación geométri-ca de números reales en larecta real.

– Los intervalos y sus operaciones.– Valores absolutos y distancias.– La resolución de problemas

aritméticos típicos sobre es-timaciones, redondeos y aco-tación de errores.

Los alumnos resolverán activi-dades relacionadas con:– La resolución de proble-

mas numéricos atípicosque requieran estrategiaspersonales.

Unidad Didáctica 2. Operaciones con números reales

OBJETIVOS DIDÁCTICOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN– Conocer, relacionar y diferenciar los con-

ceptos de potencias, raíces, radicales y lo-garitmos de números reales.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Utilizar con soltura las propiedades de las

potencias en el cálculo de potencias de basereal y exponente entero o fraccionario.



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– Conocer y manejar con soltura las propieda-des y las reglas básicas que permiten operarcon potencias, radicales y logaritmos de nú-meros reales.

– Conocer y aplicar las reglas que permitenlas representaciones y operaciones en nota-ción científica y valorar las ventajas de estanotación, en orden a comparar y estimar eltamaño de los números.

– Utilizar las expresiones en notación cientí-fica, así como las potencias, raíces y logar-timos de los números reales para cuantificare interpretar situaciones de carácter práctico,científico, o relacionadas con la vida real,obteniendo resultados y relaciones a travésde cálculos adecuados.

– Operar con expresiones sencillas en las queintervengan potencias, raíces o logaritmos denúmeros reales, en un contexto de resoluciónde problemas numéricos, eligiendo, de formaracional, el tipo de cálculo adecuado a cadasituación (mental, manual, con calculadora).

– Utilizar la calculadora científica y otros recur-sos tecnológicos para la realización de cálcu-los relacionados con potencias, raíces y loga-ritmos de números reales, en un contexto deresolución de problemas numéricos.

– Elaborar estrategias diferentes para la codifica-ción de la información y en el planteamiento yresolución de problemas numéricos.

– Convertir y operar con números reales ennotación científica, de forma manual y conla calculadora científica.

– Distinguir entre raíces y radicales de igualíndice.

– Relacionar los radicales con las potencias deexponente fraccionario.

– Utilizar la calculadora científica con solturaen los cálculos, exactos o aproximados, deraíces y logaritmos decimales o neperianos.

– Operar con radicales en forma simbólica enlos cálculos que impliquen la extracción ointroducción de factores bajo el símbolo ra-dical, la obtención de radicales semejantes,la multiplicación, la división, la potencia-ción y la radicación.

– Simplificar expresiones combinadas senci-llas de sumas y restas de radicales.

– Racionalizar fracciones sencillas con radica-les en el denominador.

– Relacionar las potencias con los logaritmos.– Conocer y aplicar con soltura las reglas del

producto, cociente, potencias y raíces de loslogaritmos.

CONTENIDOS


– Potencias de exponente en-tero. Operaciones.

– Notación científica. Opera-ciones.

– Raíces y radicales.– Multiplicación, división,

potenciación y radicaciónde radicales.

– Radicales equivalentes.

– Aplicación de las propie-dades de la potenciación enel cálculo con potencias debase real y exponente enteroo fraccionario.

– Conversión de un númeroreal a notación científica yviceversa.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad del len-guaje numérico para resolver,representar o interpretar situa-ciones y problemas de la vidacotidiana.

– Sensibilidad, curiosidad einterés ante informacionesy mensajes de naturalezanumérica.


MATEMÁTICAS 143

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– Suma y resta de radicales.– Racionalización de fraccio-

nes con radicales.– Potencias de exponente

real.– Logaritmo de un número

real.– Logaritmos decimales y

neperianos.– Logaritmo de un producto.– Logaritmo de un cociente.– Logaritmo de una potencia.– Relación entre logaritmos

decimales y no decimales.

– Aplicación de las reglas quepermiten operar en notacióncientífica, ya sea de formamanual o con la calculadoracientífica.

– Multiplicación, división ypotenciación de radicalesen forma simbólica.

– Introducción y extracciónde factores en un radical.

– Conversión de radicalesequivalentes.

– Simplificación de expre-siones combinadas de su-mas y restas de radicales.

– Racionalización de frac-ciones con radicales.

– Utilización de la calculadoracientífica en la obtención depotencias, raíces y logarit-mos de los números reales.

– Aplicación de las propie-dades de los logaritmos enactividades de cálculo ysimplificación numérica.

– Reconocimiento y valora-ción crítica de la calculado-ra y otros medios informá-ticos, en las aplicacionesnuméricas que impliquencálculos con potencias,raíces y logaritmos.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades numéricas conpotencias, radicales y loga-ritmos.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Potencias y raíces ............................................................................ 6 sesiones

– Potencias de exponente natural y exponente entero.– Notación científica. Operaciones.– Raíces y radicales. Operaciones:

* Multiplicación y división de radicales de igual índice.* Introducción y extracción de factores en un radical.* Potencias y raíces de un radical.* Radicales equivalentes.* Multiplicación y división de radicales con distinto índice.* Suma y resta de radicales.* Racionalización de fracciones con radicales.

– Potencias de exponente racional.

– Potencias de exponente irracional.



2. Logaritmos ...................................................................................... 3 sesiones

– Logaritmo de un número real. Logaritmos decimales y neperianos.

– Operaciones con logaritmos:

* Logaritmo de un producto.

* Logaritmo de un cociente.

* Logaritmo de una potencia.

* Relación entre logaritmos decimales y no decimales.


MetodologíaEn esta unidad se desarrollan los conceptos y técnicas básicas de cálculo relacionadas con

las potencias, raíces y logaritmos de números reales. Se trata de una unidad que está dirigida,principalmente, a los alumnos de la opción B de cuarto, en aquellas comunidades que tienen au-torizada esta opción. En la primera parte de la unidad se completa el estudio de las potencias debase y exponente real, así como las raíces y radicales de los números reales, iniciados en el cursoanterior. Las operaciones básicas del cálculo simbólico con radicales y potencias de exponentefraccionario, por su especial dificultad, deberán ser graduadas en función de las aptitudes delos alumno. En la segunda parte de la unidad se introduce el concepto general de logaritmo, encontraposición con el de potencia de base y exponente real, y se estudian las propiedades básicaspermiten el cálculo con logaritmos de distintas bases. Los contenidos funcionales y algebraicos,relacionados con los logaritmos, serán tratados en la unidad 10.





– Las potencias de exponen-te entero.

– La notación científica.

– Las operaciones de multipli-cación, división, potencia-ción y radicación de radica-les cuadráticos o cúbicos.

– El uso de la calculadora enlos cálculos con logarit-mos.


– Las operaciones de multi-plicación, división, poten-ciación y radicación de radi-cales con igual índice.

– La simplificación de com-binaciones de sumas o res-tas de radicales.

– La racionalización de frac-ciones con radicales.

– La aplicación de las pro-piedades de los logarit-mos


– Las operaciones de multi-plicación, división, poten-ciación y radicación de ra-dicales con distinto índice.



MATEMÁTICAS 145

Unidad Didáctica 3. Polinomios y fracciones algebraicas


– Escribir, traducir e interpretar con seguri-dad expresiones algebraicas polinómicas,comprendiendo su significado.

– Utilizar el lenguaje algebraico como he-rramienta fundamental a la hora de inter-pretar diferentes situaciones matemáticas,factibles de ser presentadas mediante poli-nomios o fracciones algebraicas.

– Conocer y utilizar de forma correcta las pro-piedades y los procedimientos habituales delas operaciones de suma, multiplicación, di-visión y potenciación entre polinomios.

– Aplicar con soltura la prioridad operacio-nal y el uso del paréntesis en la resoluciónde algoritmos algebraicos sencillos conpolinomios.

– Conocer y aplicar, de manera correcta, la Re-gla de Ruffini para la división simplificadade un polinomio por otro de la forma x - a.

– Conocer y comprender el teorema del res-to junto con sus aplicaciones inmediatas,en un contexto de actividades relativas ala divisibilidad y descomposición factorialde los polinomios.

– Saber obtener la descomposición factorialde un polinomio sencillo a partir del cálcu-lo de sus raíces enteras.

– Conocer y calcular el MCD y el mcm dedos o más polinomios sencillos a partir desu descomposición factorial.

– Utilizar la descomposición factorial de unpolinomio para simplificar o amplificaruna fracción algebraica.

– Conocer y aplicar los procedimientos ha-bituales de las operaciones de suma, resta,multiplicación y división de fracciones al-gebraicas sencillas.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Saber utilizar el lenguaje algebraico como

herramienta fundamental para interpretardiferentes situaciones matemáticas, facti-bles de ser presentadas mediante polino-mios o fracciones algebraicas.

– Operar de forma correcta con expresionespolinómicas sencillas que involucren ope-raciones de suma, resta, multiplicación ypotenciación.

– Efectuar con soltura divisiones sencillasentre polinomios, en aquellos casos en queel cociente entre los coeficientes sean nú-meros enteros.

– Aplicar el algoritmo de la división paracomprobar la exactitud de la división rea-lizada y para descomponer factorialmenteun polinomio.

– Aplicar, con soltura, la regla de Ruffini enla división de un polinomio por otro de laforma x - a, siendo a un número entero ofraccionario, positivo o negativo.

– Conocer y aplicar el teorema del Resto asícomo las propiedades que de este se derivan.

– Determinar con total precisión las raícesenteras de un polinomio y aplicar este co-nocimiento a la descomposición factorialdel mismo.

– Aplicar la descomposición factorial de doso más polinomios al cálculo del MCD ydel mcm de los mismos.

– Conocer el concepto de fracción algebraicay su paralelismo con el de número racionalrepresentado de forma fraccionaria.

– Saber amplificar y simplificar fraccionesalgebraicas mediante la descomposiciónfactorial del numerador y denominador.

– Saber operar con fracciones algebraicas encasos sencillos de suma, resta, multiplica-ción y división.



CONTENIDOS


– Polinomios en una inde-terminada. Terminologíaasociada.

– El conjunto de polinomiosR[x].

– Valor numérico de un poli-nomio.

– Adicción y sustracción depolinomios. Propiedades.

– Multiplicación de polino-mios. Propiedades.

– Potencias de polinomioscon exponente natural.

– División de polinomios.Algoritmo de la división.

– Regla de Ruffini.

– Teorema del resto.

– Descomposición factorialde un polinomio.

– Divisores y múltiplos deun polinomio.

– MCD y mcm de dos o máspolinomios.

– Fracciones algebraicas.

– Fracciones algebraicasequivalentes.

– Amplificación y simplifi-cación de fracciones alge-braicas.

– Adicción y sustracción defracciones algebraicas.

– Multiplicación y divisiónde fracciones algebraicas.

– Potencias de fraccionesalgebraicas con exponenteentero.

– Elaboración de expresio-nes polinómicas que seadapten a enunciados con-cretos.

– Cálculo y simplificaciónde operaciones combina-das con polinomios.

– Esquematización procesualde la división entre polino-mios.

– Determinación y cálculode las raíces enteras de unpolinomio.

– Esquematización procesualde la factorización de unpolinomio.

– Esquematización procesualde la construcción del MCDy del mcm de dos o máspolinomios.

– Esquematización procesualde la simplificación y am-plificación de fraccionesalgebraicas.

– Cálculo y simplificaciónde expresiones combina-das con fracciones alge-braicas.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje algebraico pararepresentar o interpretarsituaciones y problemasde la vida cotidiana y delámbito científico.

– Sensibilidad, curiosidad einterés ante informacionesy mensajes de naturalezaalgebraica.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades algebraicas.

– Confianza y autoestimasobre las propias capaci-dades a la hora de afron-tar problemas y realizarcálculos algebraicos conpolinomios y fraccionesalgebraicas.


MATEMÁTICAS 147

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Polinomios ....................................................................................... 5 sesiones

– Concepto de polinomio. El conjunto R[x].– Suma y multiplicación de polinomios.– División de polinomios.– El teorema del resto.– Descomposición factorial de un polinomio.– Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

2. Fracciones algebraicas ................................................................... 3 sesiones– Concepto de fracción algebraica.– Fracciones algebraicas equivalentes.– Operaciones con fracciones algebraicas.


MetodologíaEn la primera parte de la unidad se afianza y completa el estudio de los polinomios iniciado

en 3.º de la ESO. Desde un punto de vista didáctico, se deberá dar un mayor protagonismo adeterminados aspectos formales relacionados con las propiedades de las operaciones entre poli-nomios y con el desarrollo de las proposiciones y resultados más importantes que se derivan delTeorema del Resto.

En la segunda parte de la unidad se completa el estudio sobre la divisibilidad de polinomios,a través del concepto de fracción algebraica que debe de seguir un tratamiento didáctico análogoal de fracción de números enteros.





nes combinadas de poli-nomios que contengan unparéntesis.

– La división de dos polino-mios sencillos.

– La división por Ruffini.


nes combinadas de polino-mios que contengan dosparéntesis.

– La obtención de las raícesenteras de un polinomiosencillo y su utilización enla descomposición facto-rial del mismo.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La resolución de opera-

ciones combinadas de po-linomios con más de dosparéntesis.

– La resolución de operacio-nes combinadas de frac-ciones algebraicas.

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– La descomposición, pordiversas técnicas (tanteo,factor común, identidadesnotables…), de polino-mios sencillos.

– La suma y resta de frac-ciones algebraicas de igualdenominador.

– El producto y el cocientede fracciones algebraicas.

– La obtención del MCD ymcm de dos polinomios.

– La simplificación y am-pliación de fracciones al-gebraicas.

– La suma y la resta de frac-ciones algebraicas de dis-tinto denominador.

– La resolución de proble-mas sencillos sobre laobtención y aplicación defórmulas polinómicas.


Unidad Didáctica 4. Ecuaciones y sistemas


– Escribir, con seguridad, expresiones alge-braicas sencillas, dictadas oralmente, com-prendiendo su significado.

– Traducir e interpretar, en lenguaje oral, ex-presiones algebraicas sencillas, compren-diendo su significado.

– Utilizar el lenguaje algebraico como he-rramienta fundamental a la hora de inter-pretar diferentes situaciones matemáticas,factibles de ser presentadas mediante fór-mulas, identidades, ecuaciones o sistemasde ecuaciones.

– Utilizar el lenguaje algebraico como herra-mienta fundamental a la hora de interrela-cionar datos e incógnitas en un contexto deresolución de problemas.

– Reconocer situaciones en las que se preci-sa la utilización de ecuaciones polinómicasde primer y segundo grado o de sistemas deecuaciones lineales con dos incógnitas, enun contexto de resolución de problemas.

– Aplicar con soltura los procedimientos clási-cos conducentes a la resolución algebraica deecuaciones convertibles en ecuaciones poli-nómicas de primer o de segundo grado, sien-do conscientes de la necesidad de comprobarla solución obtenida para verificar la fiabili-dad del proceso seguido en la resolución.


– Interpretar algebraicamente situacionesmatemáticas factibles de ser presentadasmediante fórmulas, identidades, ecuacio-nes o sistemas de ecuaciones.

– Interrelacionar datos e incógnitas en uncontexto de resolución de problemas.

– Resolver ecuaciones de primer grado y desegundo grado con una incógnita que in-volucren coeficientes numéricos, enteros oracionales, fáciles de operar.

– Resolver ecuaciones bicuadradas, confracciones algebraicas o con radicalessencillas que sean fácilmente reducibles aecuaciones de primer o de segundo grado einterpretar la validez de sus soluciones.

– Aplicar las técnicas estudiadas en la unidadanterior, sobre la descomposición factorialde polinomios, a la resolución de ecuacio-nes polinómicas de grado mayor que dos.

– Completar la factorización de polinomiosde grado mayor o igual a dos, aplicando lastécnicas estudiadas en la unidad anterior ylas que se derivan de la utilización de lasraíces de las ecuaciones cuadráticas.

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MATEMÁTICAS 149

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– Conocer y aplicar la relación existente en-tre los coeficientes de una ecuación cua-drática y sus soluciones, en un contexto deresolución de problemas.

– Conocer y aplicar algunas técnicas ele-mentales que permiten la resolución dealgunas ecuaciones sencillas (bicuadradas,con fracciones algebraicas o con radicales)que sean fácilmente reducibles a otras desegundo grado, e interpretar la validez desus soluciones.

– Conocer y aplicar algún procedimiento sen-cillo, basado en la descomposición factorial,que permite resolver una ecuación con unasola incógnita que no sea, necesariamente,de primer grado o de segundo grado.

– Interpretar de manera geométrica las ecua-ciones que forman un sistema lineal condos incógnitas.

– Resolver algebraicamente sencillos siste-mas de ecuaciones lineales con dos incóg-nitas, eligiendo el método más adecuado ala situación planteada.

– Resolver problemas por métodos algebrai-cos, identificando datos conocidos, desco-nocidos (incógnitas) e irrelevantes; plan-teando la ecuación o el sistema de ecua-ciones adecuado y siendo conscientes dela racionalidad del proceso seguido en laresolución y de la necesidad de comprobarlos resultados finales.

– Perseverar en la búsqueda de estrategias per-sonales para resolver problemas susceptiblesde ser resueltos por métodos algebraicos.

– Interpretar la resolubilidad de una ecua-ción cuadrática a partir del análisis de sudiscriminante.

– Conocer la relación que existe entre loscoeficientes de una ecuación cuadrática yla suma y el producto de sus soluciones yaplicarla en un contexto de resolución deproblemas.

– Resolver algebraicamente sistemas linea-les de dos ecuaciones con dos incógnitaspor los métodos clásicos de reducción,igualación y sustitución, eligiendo el mé-todo más adecuado a las características delos mismos.

– Interpretar gráficamente las soluciones deuna ecuación lineal con dos incógnitas ola posible solución de un sistema formadocon dos ecuaciones de este tipo.

– Analizar la compatibilidad de un sistemade dos ecuaciones lineales con dos incóg-nitas, a partir del estudio de la proporcio-nalidad de los coeficientes de sus incógni-tas y de sus términos independientes.

– Plantear y resolver problemas sencillosmediante la aplicación de ecuaciones po-linómicas de primer grado y segundo conuna incógnita o de sistemas de ecuacioneslineales con dos incógnitas.

CONTENIDOS


– Identidades y ecuaciones.

– Ecuaciones compatibles yecuaciones incompatibles.

– Ecuaciones equivalentes.Reglas de equivalencia.

– Elaboración de expresionesalgebraicas que se adapten aenunciados concretos.

– Elaboración de ecuacionesa partir del enunciado con-creto de un determinadoproblema.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje algebraico pararepresentar o interpretar si-tuaciones y problemas de lavida cotidiana.

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– Ecuaciones de primer gra-do con una incógnita. In-terpretación gráfica.

– Ecuaciones cuadráticas.Interpretación gráfica.

– Discusión de una ecuacióncuadrática.

– Suma y producto de lassoluciones de una ecua-ción cuadrática.

– Factorización de una ecua-ción cuadrática.

– Ecuaciones polinómicasde grado mayor que dos.

– Ecuaciones bicuadradas.Resolución y discusión.

– Ecuaciones con fraccionesalgebraicas.

– Ecuaciones con radicales.– Sistemas de ecuaciones li-

neales con dos incógnitas.Interpretación gráfica.

– Sistemas de ecuacionesequivalentes.

– Resolución algebraica deun sistema de dos ecuacio-nes lineales con dos incóg-nitas.

– Compatibilidad de un sis-tema de dos ecuaciones li-neales con dos incógnitas.

– Sistemas de tres ecuacio-nes lineales.

– Sistemas de ecuaciones nolineales.

– Simplificación de ecua-ciones de primer gradoa través de la aplicacióncombinada de las reglasde equivalencia.

– Resolución intuitiva de al-gunas ecuaciones sencillassusceptibles de ser resuel-tas mentalmente.

– Análisis e interpretaciónde una ecuación cuadráticao bicuadrada, atendiendo asu compatibilidad.

– Aplicación sistemática delas reglas que posibilitanla resolución las ecuacio-nes cuadráticas y las ecua-ciones bicuadradas.

– Interpretación geométricade las soluciones de unaecuación polinómica deprimer o de segundo grado.

– Aplicación generalizadadel método de descompo-sición factorial en la reso-lución de ecuaciones poli-nómicas de grado mayorque 2.

– Construcción de ecuacio-nes polinómicas a partirde sus soluciones.

– Reducción de ecuacionescon fracciones o con radi-cales a otras de ecuacionespolinómicas de primer ode segundo grado.

– Obtención e interpretacióngeométrica de las solucio-nes de un sistema de ecua-ciones lineales.

– Aplicación sistemática delas reglas que posibilitanla resolución algebraica deun sistema de ecuacioneslineales con dos incóg-nitas por los métodos deigualación, sustitución yreducción.



– Confianza y autoestimasobre las propias capaci-dades a la hora de afron-tar problemas susceptiblesde ser resueltos medianteecuaciones o sistemas deecuaciones.

– Perseverancia en la búsque-da de estrategias par resol-ver problemas susceptiblesde ser tratados algebraica-mente.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en unadiscusión sobre aplicaciónde estrategias o resoluciónde ecuaciones y sistemasde ecuaciones.

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MATEMÁTICAS 151

– Análisis e interpretacióndeunsistemadeecuaciones linealescon dos incógnitas, atendien-do a su compatibilidad.

– Elaboración de sistemasde ecuaciones a partir delenunciado concreto de undeterminado problema.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Ecuaciones con una incógnita ........................................................5 sesiones

– Concepto de ecuación.– Ecuaciones polinómicas:

* Ecuaciones de primer grado.* Ecuaciones de segundo grado. Propiedades.* Ecuaciones de grado mayor que dos. Ecuaciones bicuadradas.

– Ecuaciones con fracciones algebraicas.– Ecuaciones con radicales.

2. Sistemas de ecuaciones ...................................................................4 sesiones– Ecuación lineal con dos incógnitas.– Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:

* Resolución gráfica.* Resolución algebraica.

– Criterios de compatibilidad.– Otros sistemas de ecuaciones.


Observaciones metodológicasEn la primera parte de la unidad se repasarán los conceptos y procedimientos relativos a la

resolución de ecuaciones de primer y de segundo grado, que los alumnos han estudiado en cursosanteriores. Estos contenidos se ampliarán con la inclusión de otros tipos de ecuaciones que pue-den reducirse a las anteriores, como son las ecuaciones bicuadradas, las ecuaciones con fraccio-nes algebraicas o con radicales. El estudio de ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos selimitará a ejemplos muy sencillos que den lugar a polinomios de fácil factorización.

Los contenidos básicos de la segunda parte de la unidad, que son un repaso de los del cursoanterior, se completan incrementando el grado de formalización en la discusión y análisis de lacompatibilidad de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas e introduciendo al-

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gunas de las técnicas básicas que posibilitan la resolución de sistemas con tres o más ecuacioneslineales con dos incógnitas y sistemas de ecuaciones no lineales. El objetivo que se persigue conestos últimos contenidos es que los alumnos de este nivel, preferentemente los de la opción B decuarto, adquieran una mayor visión de la problemática generada por la resolución de un sistemade ecuaciones cualesquiera.





– La resolución de ecuacio-nes de primer grado y se-gundo grado.

– La interpretación gráficade un sistema de dos ecua-ciones lineales con dos in-cógnitas.

– La resolución de un siste-ma de ecuaciones linealessencillo, por sustitución.

– La resolución de proble-mas con ecuaciones deprimer grado sencillas.


– La resolución de ecuacio-nes bicuadradas.

– El estudio de la compatibi-lidad de un sistema de dosecuaciones lineales condos incógnitas.

– La resolución de un siste-ma de ecuaciones linealescon dos incógnitas por lostres métodos clásicos.

– La resolución de proble-mas con sistemas de ecua-ciones sencillos.


– La resolución de ecuacio-nes con radicales.

– La resolución de sistemaslineales con más de dosecuaciones o incógnitas.

– La resolución de sistemasque contengan algunaecuación cuadrática.


Unidad Didáctica 5. Inecuaciones


– Utilizar el lenguaje algebraico como he-rramienta fundamental a la hora de inter-pretar diferentes situaciones matemáticas,factibles de ser presentadas mediante ine-cuaciones.

– Utilizar el lenguaje algebraico como herra-mienta fundamental a la hora de interrela-cionar datos e incógnitas en un contexto deresolución de problemas sobre inecuaciones.

– Reconocer situaciones en las que se precisala utilización de inecuaciones polinómicas deprimer y segundo grado o de sistemas de ine-cuaciones lineales con una o dos incógnitas,en un contexto de resolución de problemas.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Interpretar algebraicamente situaciones

matemáticas factibles de ser presentadasmediante inecuaciones o sistemas de ine-cuaciones.

– Interrelacionar datos e incógnitas en uncontexto de resolución de problemas sobreinecuaciones.

– Resolver inecuaciones de primer grado conuna incógnita que involucren coeficientesnuméricos, enteros o racionales, fáciles deoperar e interpretar de manera gráfica sussoluciones.

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MATEMÁTICAS 153

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– Conocer y utilizar de forma correcta laspropiedades de las desigualdades numé-ricas así como las reglas de equivalencia,que de estas se derivan, en la resolución deinecuaciones.

– Establecer la adecuada relación entre lassemirrectas e intervalos de la recta realgraduada y las soluciones de una inecua-ción de primer o segundo grado o de unsistema de inecuaciones de primer grado.

– Interpretar y resolver, de manera geomé-trica, inecuaciones lineales y sistemas deinecuaciones con dos incógnitas.

– Perseverar en la búsqueda de estrategiaspersonales para resolver problemas sus-ceptibles de ser resueltos por métodos al-gebraicos.

– Resolver sistemas de dos inecuaciones deprimer grado con una incógnita que invo-lucren coeficientes numéricos, enteros oracionales, fáciles de operar e interpretarde manera gráfica sus soluciones.

– Resolver inecuaciones de segundo gradocon una incógnita que sean sencillas defactorizar e interpretar de manera gráficasus soluciones.

– Resolver inecuaciones lineales sencillascon dos incógnitas e interpretar de maneragráfica sus soluciones.

– Resolver sistemas de dos inecuaciones li-neales sencillas con dos incógnitas e inter-pretar de manera gráfica sus soluciones.

– Utilizar las inecuaciones polinómicas deprimer grado y segundo con una incógni-ta o de sistemas de inecuaciones linealescon dos incógnitas para plantear y resolversencillos problemas basados en situacionescotidianas de los alumnos.

CONTENIDOS


– Resolver sistemas de dosinecuaciones de primergrado con una incógnitaque involucren coeficien-tes numéricos, enteros oracionales, fáciles de ope-rar e interpretar de maneragráfica sus soluciones.

– Resolver inecuaciones desegundo grado con una in-cógnita que sean sencillas defactorizar e interpretar de ma-nera gráfica sus soluciones.

– Resolver inecuaciones li-neales sencillas con dos in-cógnitas e interpretar de ma-nera gráfica sus soluciones.

– Resolver sistemas de dosinecuaciones lineales sen-cillas con dos incógnitas einterpretar de manera grá-fica sus soluciones.

– Utilización de las propie-dades de las desigualdadespara transformar una ine-cuación en otra equivalente.

– Resolución de inecuacio-nes lineales con una in-cógnita.

– Resolución de un sistemade dos inecuaciones linea-les con una incógnita.

– Transformación de unainecuación producto o co-ciente en un sistema de dosinecuaciones lineales conuna incógnita.

– Resolución de inecuacio-nes cuadráticas con unaincógnita.

– Resolución de inecuacioneslineales con dos incógnitas.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje algebraico pararepresentar o interpretar si-tuaciones y problemas de lavida cotidiana.



– Confianza y autoestimasobre las propias capaci-dades a la hora de afron-tar problemas susceptiblesde ser resueltos medianteinecuaciones o sistemas deinecuaciones.

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– Utilizar las inecuacionespolinómicas de primergrado y segundo con unaincógnita o de sistemas deinecuaciones lineales condos incógnitas para planteary resolver sencillos proble-mas basados en situacionescotidianas de los alumnos

– Desigualdades numéricas.Propiedades.

– Desigualdades algebrai-cas. Inecuaciones.

– Clasificación de las ine-cuaciones.

– Inecuaciones lineales conuna incógnita. Conjuntosolución.

– Sistemas de inecuacioneslineales con una incógnita.

– Inecuaciones con produc-tos o cocientes.

– Inecuaciones cuadráticascon una incógnita.

– Inecuaciones lineales condos incógnitas.

– Sistemas de dos inecua-ciones lineales.

– Sistemas de tres inecua-ciones lineales.

– Resolución de sistemascon dos o tres inecuacio-nes lineales con una in-cógnita.

– Interpretación gráfica delconjunto solución de unainecuación o de un sistemade inecuaciones.

– Elaboración de una ine-cuación o de un sistema deinecuaciones a partir delenunciado concreto de unproblema.

– Perseverancia en la bús-queda de estrategias parresolver problemas sus-ceptibles de ser tratadosalgebraicamente.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en unadiscusión sobre aplicaciónde estrategias o resoluciónde inecuaciones y sistemasde inecuaciones.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Inecuaciones con una incógnita ..................................................... 3 sesiones

– Desigualdades numéricas. Propiedades.

– Inecuaciones lineales.

– Sistemas de inecuaciones lineales.

– Inecuaciones cuadráticas.

2. Inecuaciones con dos incógnitas .................................................... 3 sesiones

– Inecuaciones lineales.

– Sistemas de inecuaciones lineales.



MATEMÁTICAS 155

Observaciones metodológicasEn la primera parte de la unidad se estudiarán los conceptos y procedimientos relativos a la

resolución de inecuaciones de primer y de segundo grado con una sola incógnita. Al tratarse decontenidos de iniciación hay que utilizar ejemplos muy elementales que puedan ser seguidos porla mayoría de los alumnos; así, por ejemplo, el concepto de inecuación convendrá introducirloa partir del concepto de desigualdad numérica, cuyas propiedades nos servirán para justificar elproceso de resolución de una ecuación, siguiendo una línea metodológica parecida a la de lasecuaciones, que el alumno está habituado a manejar.

En esta la parte de la unidad se inicia el estudio, a través de ejemplos sencillos contextuali-zados con el entorno cotidiano de los alumnos, de las inecuaciones lineales con dos incógnitas ysus sistemas, en un primer acercamiento a los procesos de programación lineal que los alumnosdeberán estudiar, con mayor profundidad, en el Bachillerato.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Las desigualdades numé-

ricas y sus propiedades.– La resolución gráfica y

algebraica de una inecua-ción sencilla de primergrado con una incógnita.

– La resolución gráfica deun sistema de inecuacio-nes de primer grado conuna incógnita.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La resolución gráfica y al-

gebraica de inecuacionescuadráticas.

– La resolución gráfica deinecuaciones y sistemasde dos inecuaciones linea-les con dos incógnitas.

– La resolución de proble-mas sencillos de inecua-ciones.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La resolución gráfica de

sistemas de tres inecuacio-nes lineales con dos incóg-nitas.


Unidad Didáctica 6. Trigonometría plana


– Percibir e identificar relaciones de igual-dad y semejanza entre figuras y cuerposgeométricos asociados al entorno cotidia-no o en situaciones problemáticas de ca-rácter elemental basadas en los conceptosde proporcionalidad y semejanza.

– Manejar y aplicar las relaciones de pro-porcionalidad en figuras planas y cuerposgeométricos al cálculo de longitudes, áreasy volúmenes.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Hallar la razón de semejanza entre dos

figuras o cuerpos semejantes y utilizarlapara resolver problemas de cálculo de lon-gitudes, áreas y volúmenes.

– Operar con ángulos expresados en formasexagesimal, de forma manual o con la cal-culadora científica.

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– Relacionar los conceptos de proporcionali-dad, semejanza y trigonometría plana.

– Adquirir un cierto grado de capacidad men-tal para percibir figuras y formas geomé-tricas que no vengan asociadas a soportesmanipulables.

– Utilizar la calculadora científica y otrosrecursos informáticos de manera racionalpara la obtención de datos, cálculos y resul-tados, angulares y lineales, en problemasrelacionados con la trigonometría plana.

– Conocer y utilizar sencillos aparatos demedida angular y lineal, como cintas mé-tricas, teodolitos, transportadores angu-lares, reglas… que posibiliten los cálcu-los trigonométricos, en medidas directasefectuadas, bien sobre el terreno o sobreun croquis o representación gráfica de lasituación trigonométrica que se pretenderesolver.

– Decidir sobre el tipo de medida, directa oindirecta, y cálculos, exactos o aproxima-dos, que sean más convenientes en funcióndel fenómeno o de la actividad a los que seapliquen, en un contexto de resolución deproblemas de trigonometría plana.

– Percibir e identificar relaciones de igual-dad y semejanza entre figuras geométricasasociadas a situaciones problemáticas decarácter elemental basadas en la trigono-metría plana.

– Valorar y analizar las estrategias emplea-das ante una situación concreta o en uncontexto de resolución de problemas rela-tivos a la trigonometría plana, a la vista delos resultados obtenidos y la utilidad de losmismos.

– Conocer el significado de las distintas ra-zones trigonométricas y sus propiedadeselementales.

– Conocer las razones trigonométricas de losángulos notables y los procedimientos se-guidos en la obtención de las mismas.

– Conocer las fórmulas fundamentales de latrigonometría que ligan el seno, el cosenoy la tangente de un ángulo y utilizarlas consoltura en la resolución de sencillos pro-blemas que requieran de la transformaciónde una expresión trigonométrica.

– Obtener las razones trigonométricas de unángulo agudo a partir de los lados de untriángulo rectángulo.

– Combinar adecuadamente las propieda-des de la relación de semejanza y los teo-remas métricos, estudiados en la unidadanterior, y las razones trigonométricas afin de calcular elementos desconocidos deun triángulo rectángulo a partir de otrosconocidos.

– Utilizar la calculadora científica para hallarlas razones trigonométricas de un ángulodado y el valor de un ángulo del que se co-noce una de sus razones trigonométricas.

– Mostrar un conocimiento suficiente de lacircunferencia goniométrica que permitala representación gráfica, aproximada, deángulos a partir de sus razones trigono-métricas y la obtención, aproximada, delas razones trigonométricas de un ángulodado.

– Conocer y utilizar, de forma razonada, lasrelaciones entre las razones trigonométri-cas de ángulos cualesquiera y las de losángulos del primer cuadrante de la circun-ferencia goniométrica.

– Resolver sencillos problemas de trigono-metría plana que estén relacionados con larealidad cotidiana de los alumnos, valoran-do el resultado al contexto de la situaciónproblemática de la que se obtiene y utili-zando un lenguaje claro y preciso.


MATEMÁTICAS 157

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– Utilizar estrategias sencillas en la resolu-ción de problemas de trigonometría plana,basadas en la realización de “croquis” odibujos y en el empleo racional de la cal-culadora científica.

– Resolver problemas métricos en el mundofísico, relacionados con la obtención delongitudes, áreas y volúmenes.

CONTENIDOS


– Semejanza entre figuras ycuerpos geométricos.

– Razón entre longitudes,áreas y volúmenes de cuer-pos semejantes.

– El sistema métrico sexa-gesimal.

– Razones trigonométricas deun ángulo agudo.

– Seno y coseno de ánguloscomplementarios.

– Razones trigonométricas deángulos notables.

– Razones trigonométricas deángulos cualesquiera.

– Ángulos orientados.– La circunferencia gonio-

métrica.– Razones trigonométricas de

0º, 90º, 180º y 360º.– Relaciones entre las razo-

nes trigonométricas de án-gulos situados en distintoscuadrantes de la circunfe-rencia goniométrica.

– Fórmulas notables de latrigonometría.

– Resolución de triángulosrectángulos.

– Manejo de la calculadoracientífica en las conver-siones y operaciones conmagnitudes angulares ex-presadas en forma sexa-gesimal.

– Determinación de las ra-zones trigonométricas deun ángulo agudo a partirde los elementos conoci-dos de un triángulo rec-tángulo.

– Determinación de razonestrigonométricas en fun-ción de los valores cono-cidos de otras mediante laaplicación de las fórmulasnotables.

– Aplicación de las fórmulasnotables de la trigonome-tría plana en la transfor-mación de expresionestrigonométricas.

– Interpretación y manejode la circunferencia gonio-métrica en la obtención derelaciones trigonométricasde ángulos de distintoscuadrantes.

– Manejo de la calculadoracientífica en la obtenciónde las razones trigonomé-tricas de un ángulo.

– Reconocimiento y valo-ración de la utilidad de lamedida para transmitir in-formaciones precisas rela-tivas al entorno.

– Cuidado y precisión en eluso de los diferentes instru-mentos de medida y en larealización de mediciones.

– Adquisición de hábitosde trabajo adecuados (or-den, claridad, precisión,limpieza) en la realiza-ción de actividades trigo-nométricas.

– Confianza y autoestimaen las propias capacidadesa la hora de afrontar pro-blemas relativos a cálculostrigonométricos.

– Perseverancia y flexibili-dad en la búsqueda de so-luciones y estrategias, enun contexto de resoluciónde problemas de trigono-metría plana.



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– Manejo de la calculadoracientífica en la obtencióndel valor de un ánguloconocido el de una razóntrigonométrica del mismo.

– Aplicación de las razonestrigonométricas y de losteoremas métricos a la re-solución de triángulos rec-tángulos.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Razón de semejanza .......................................................................3 sesiones

– Semejanza entre figuras y cuerpos geométricos.

– Razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

2. Razones trigonométricas ................................................................5 sesiones

– El sistema métrico sexagesimal.

– Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

– Razones de ángulos notables.

– Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera:

* La circunferencia goniométrica.

* Reducción al primer cuadrante.

– Fórmulas fundamentales de la trigonometría.

3. Resolución de triángulos ................................................................5 sesiones

– Resolución de un triángulo rectángulo.

– Aplicaciones geométricas.


Observaciones metodológicasEn esta unidad se inician los contenidos de trigonometría que se afianzarán y ampliarán en las

Matemáticas I de Bachillerato. En la primera parte de la unidad se repasa el concepto de semejan-za, estudiado en el curso anterior, ampliándose a la relación entre cuerpos semejantes con el finde incorporar actividades relacionadas con la obtención y la aplicación de la razón de longitudes,áreas y volúmenes. A continuación se introduce el concepto de razón trigonométrica, apoyado enlas propiedades de la relación de semejanza entre triángulos rectángulos. Como materia de am-pliación se puede iniciar a los alumnos en la manipulación de la circunferencia goniométrica y enla ampliación consiguiente del concepto de razón trigonométrica de un ángulo cualesquiera. La



tercera parte de la unidad es de carácter eminentemente práctico, ya que en ella se trabajará consituaciones problemáticas relacionadas con la métrica del triángulo rectángulo en contextos quepueden ser totalmente geométricos (métrica de un triángulo cualesquiera, de un cuadrilátero…) otopográficos. Los cálculos trigonométricos de ángulos no notables se realizarán con la ayuda dela calculadora, por lo que es deseable que todos los alumnos dispongan de un mismo modelo queserá objeto de un estudio previo al inicio de la segunda parte de la unidad.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Reconocimiento y aplica-

ción de la razón de longitu-des de figuras semejantes.

– Los cálculos en el sistemasexagesimal.

– Las razones trigonométri-cas elementales de un án-gulo agudo.

– Las razones notables.– La fórmula fundamental

de la trigonometría.– La utilización de la calcu-

ladora científica.– Los problemas sencillos

de resolución de triángu-los rectángulos.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Reconocimiento y aplica-

ción de la razón de áreasy volúmenes de figuras ycuerpos semejantes.

– La obtención de ángulos apartir de razones trigono-métricas conocidas.

– La representación de ra-zones en la circunferenciagoniométrica.

– La resolución de proble-mas que se basen en lamétrica del triángulo rec-tángulo.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La reducción al primer

cuadrante y la relación deángulos situados en distin-tos cuadrantes de la cir-cunferencia goniométrica.

– La resolución de proble-mas métricos de triángulosno rectángulos, polígonosregulares…


Unidad Didáctica 7. Geometría analítica


– Reconocer los distintos tipos de vectoresplanos, fijos y libres, identificando los atri-butos que los caracterizan.

– Conocer el concepto de coordenadas vec-toriales y utilizarlo para estructurar el con-junto V2 de los vectores libres del plano.

– Operar con vectores libres del plano a par-tir de sus representaciones gráficas o desus coordenadas.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Distinguir entre vectores fijos y vectores

libres.– Establecer la dirección, sentido, módulo y

posición de un vector fijo.– Establecer la dirección, sentido y módulo

de un vector libre.



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– Relacionar los vectores libres del planocon los puntos del plano cartesiano y uti-lizar estas relaciones en la resolución alge-braica de problemas geométricos.

– Elegir, de entre todos los vectores fijos que re-presentan a un mismo vector libre, el que re-sulta más adecuado a la actividad propuesta.

– Sumar, restar y multiplicar por escalareslos vectores libres del plano representados,gráficamente, por flechas orientadas.

– Reconocer cuando dos vectores libres formanunabasedeV2 yasignarcoordenadasa losvec-tores de este conjunto, respecto de dicha base.

– Determinar cuando dos vectores tienen lamisma dirección.

– Sumar, restar y multiplicar por escalareslos vectores libres del plano representadospor sus coordenadas.

– Construir combinaciones lineales de dos omás vectores a partir de sus representacio-nes gráficas o de sus coordenadas.

– Identificar las componentes, puntuales yvectoriales, que determinan un sistema dereferencia cartesiano.

– Describir el vector de posición de un puntodel plano cartesiano y las relaciones queligan los vectores libres con los puntos delplano cartesiano.

– Aplicar el teorema de Pitágoras para calcu-lar el módulo de un vector.

– Calcular las coordenadas de los puntos quedividen a un segmento en partes iguales.

– Establecer las relaciones que deben darseentre las coordenadas de cuatro puntos paraque sean vértices de un paralelogramo.

– Establecer las relaciones que deben darseentre las coordenadas de tres o más puntospara que estén alineados.

CONTENIDOS


– Vectores fijos y vectoreslibres del plano.

– Atributos de un vector.– Suma de vectores. Regla

del paralelogramo.

– Reconocimiento de losatributos que distinguena un vector fijo y a unvector libre.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje vectorial para re-presentar o interpretar situa-ciones geométricas y pro-blemas de la vida cotidiana.


MATEMÁTICAS 161

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– Vectores opuestos. Dife-rencia de vectores.

– Producto de un númeropor un vector.

– Dependencia lineal entrevectores.

– Combinación lineal devectores.

– Bases de V2. Coordenadasde un vector.

– Operaciones con coorde-nadas vectoriales.

– Sistema de referencia delplano cartesiano.

– Relación entre puntos yvectores del plano carte-siano.

– Vector de posición de unpunto.

– Vector determinado pordos puntos.

– Representación gráfica devectores a partir de susatributos.

– Representación gráfica dela suma y la resta de dosvectores y del producto deun vector por un número.

– Representación gráfica deuna combinación lineal devectores.

– Cálculo de las coordena-das de la suma y la restade dos vectores y del pro-ducto de un vector por unnúmero.

– Establecimiento de rela-ciones entre los puntos delplano cartesiano y los vec-tores libres.

– Cálculo algebraico delmódulo de un vector.

– Cálculo de las coordena-das del punto medio de unsegmento.

– Cálculo de las coordena-das de los puntos que di-viden a un segmento enpartes iguales.

– Relación entre los vérticesde un paralelogramo.

– Condición para que trespuntos estén alineados.

– Flexibilidad para enfren-tarse a situaciones geomé-tricas desde distintos pun-tos de vista.

– Sensibilidad y gusto porla realización sistemáticay presentación cuidadosay ordenada de trabajosgeométricos.


1. Vectores del plano ...........................................................................3 sesiones

– Vectores fijos y vectores libres.

– Operaciones con vectores libres.

– Dependencia lineal entre vectores.

– Coordenadas de un vector.

– Operaciones con coordenadas vectoriales.


2. Puntos y vectores del plano cartesiano ....................................... 3 sesiones

– Relación entre las coordenadas de los puntos y los vectores del plano cartesiano.

– División de un segmento en partes iguales.

– División de un segmento en partes proporcionales.


Observaciones metodológicasLa primera parte de la unidad constituye un repaso de los contenidos relacionados con los

vectores del plano, en su doble acepción de vectores fijos y vectores libres, que deben de habersido estudiados por los alumnos en el curso anterior. Una vez afianzado el concepto de vector y,sin entrar en formalismos innecesarios en esta etapa, los alumnos comenzarán a aplicar la regladel paralelogramo para efectuar sumas y diferencias entre vectores libres, en ejemplos preparadospara introducir el concepto de dependencia lineal. El concepto de base vectorial, que tampocoprecisa de mayor formalización sino del apoyo visual de los ejemplos adecuados, es necesariopara asignar coordenadas a los vectores, que es un objetivo importante, toda vez que su ausenciaimposibilita el seguimiento del resto de la unidad.

En la segunda parte de la unidad se relacionan las coordenadas de un vector con las de suspuntos origen y extremo, en la forma usual, y se aplican estas relaciones para efectuar algunasconstrucciones geométricas, como la división de un segmento, de forma algebraica. Este tipo deconstrucciones también la efectuarán alumnos con la ayuda de los útiles de geometría, de maneraque puedan establecer comparaciones e investigar sobre otras posibles relaciones entre el álgebray la geometría.




Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La identificación y dife-

renciación de vectores fi-jos y vectores libres.

– La suma y resta de vecto-res por la regla del parale-logramo.

– Lautilizacióndecoordenadasen operaciones con vectores.

– La relación entre las coorde-nadas de puntos y vectores.

– El cálculo de puntos me-dios de segmentos.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Las operaciones gráficas y

con coordenadas de com-binaciones lineales de treso más vectores.

– La división de un segmen-to en partes iguales.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– El concepto de base.– La división de un segmento

en partes proporcionales.– La resolución de proble-

mas de geometría comple-jos que requieran de técni-cas y estrategias atípicas.




Unidad Didáctica 8. Rectas y circunferencias


– Entender y valorar la precisión que, en ladescripción y orientación de los elementosbásicos del plano, aporta la identificaciónde sus puntos con las coordenadas.

– Valorar la precisión de las ecuaciones alge-braicas para determinar y describir ciertasfiguras del plano cartesiano.

– Conocer los elementos básicos que permi-ten la determinación de una recta y, a partirde ellos, dibujarla en el plano cartesiano.

– Conocer las diferentes formas en que sepuede presentar la ecuación de una recta,pasando de una a otra e identificando, encada momento, los elementos constitutivosde las mismas.

– Conocer y aplicar el concepto de lugargeométrico del plano cartesiano como ge-nerador de ecuaciones de aquellas figurasgeométricas que, como las circunferencias,puedan ser interpretadas como tales.

– Conocer los elementos básicos que permi-ten la determinación de una circunferenciay, a partir de ellos, obtener su ecuación.Dibujarla en el plano cartesiano.

– Saber interpretar, desde su doble aspec-to geométrico-algebraico, las posicionesrelativas de rectas y circunferencias en elplano cartesiano.

– Perseverar en la búsqueda y adquisiciónde estrategias personales para resolverproblemas geométricos susceptibles de serresueltos por métodos algebraicos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Dibujar una recta en el plano cartesiano a

partir de dos puntos, de un punto y un vec-tor o de un punto y del ángulo que formacon el semieje positivo de abscisas.

– Calcular las distintas ecuaciones de una rec-ta (paramétrica, continua, explícita e implí-cita) conocidos dos puntos de la misma, unpunto y un vector director o un punto y supendiente.

– Relacionar las distintas ecuaciones quepueden tener una misma recta y saber pa-sar de una a otra.

– Interpretar geométricamente los coeficien-tes de la ecuación de una recta.

– Razonar sobre las posibles opciones,geométricas o algebraicas, que plantean laposición relativa de dos rectas en el planocartesiano.

– Conocer y aplicar el concepto de lugargeométrico del plano como generadorde ecuaciones en figuras geométricas ycurvas susceptibles de ser interpretadascomo tales.

– Obtener la ecuación de la recta mediatrizde un segmento.

– Representar una circunferencia de centro yradio dado.

– Obtener la ecuación general de una circun-ferencia conocidas las coordenadas de sucentro y su radio.

– Discutir si una ecuación cuadrática con dosincógnitas representa a una circunferenciay, en caso afirmativo, obtener el centro y elradio de la misma.

– Razonar sobre las posibles opciones,geométricas o algebraicas, que plantean laposición relativa de dos circunferencias enel plano cartesiano.



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– Razonar sobre las posibles opciones,geométricas o algebraicas, que plantean laposición relativa de una recta y una circun-ferencia en el plano cartesiano.

– Resolver con técnicas algebraicas senci-llos problemas geométricos relacionadoscon los contenidos de la unidad.

CONTENIDOS


– Ecuación vectorial de larecta.

– Ecuaciones paramétricasde la recta.

– Ecuación continua de larecta.

– Ecuación general de larecta.

– Pendiente de la recta.– Ecuación punto pendiente

de la recta.– Ecuación explícita de la

recta.– Posiciones relativas de dos

rectas.– Haces de rectas secantes.– Lugares geométricos del

plano.– Ecuación de la mediatriz

de un segmento.– Ecuación general de la cir-

cunferencia.– Posición relativa de una

recta respecto de una cir-cunferencia.

– Posiciones relativas de doscircunferencias.

– Obtención procesual delas distintas ecuaciones deuna misma recta a partirde un punto y un vectordirector o de dos puntos.

– Transformación de unaecuación en otra.

– Obtención de la pendientey un vector director de unarecta a partir de los coefi-cientes de sus ecuaciones.

– Análisis geométrico y alge-braico de las distintas posi-ciones relativas de dos rectasen el plano cartesiano.

– Obtención de la ecuación deun haz de rectas secantes.

– Obtención de la ecuación dela mediatriz de un segmento.

– Obtención de la ecuacióngeneral de una circunferen-cia de centro y radio dado.

– Obtención del centro y delradio de una circunferenciaa partir de su ecuación.

– Análisis geométrico y al-gebraico de las distintasposiciones relativas de unarecta y una circunferenciaen el plano cartesiano.

– Análisis geométrico y alge-braico de las distintas posicio-nes relativas de dos circunfe-rencias en el plano cartesiano.

– Valorar positivamente laprecisión aportada por elálgebra cuando se aplica alestudio de curvas y figurasgeométricas representadassobre el plano cartesiano.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades geométricas yalgebraicas.

– Confianza y autoestimasobre las propias capaci-dades a la hora de afrontarproblemas susceptiblesde ser resueltos mediantesistemas de ecuaciones li-neales.

– Perseverancia en la bús-queda de estrategias parresolver problemas geomé-tricos susceptibles de sertratados algebraicamente.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en unadiscusión sobre aplicaciónde estrategias que permi-tan resolver problemasgeométricos de maneraalgebraica.


MATEMÁTICAS 165

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. La recta en el plano cartesiano .....................................................4 sesiones

– Ecuación vectorial de la recta.– Ecuaciones paramétricas de la recta.– Ecuación continua de la recta.– Ecuación general de la recta.– Pendiente de una recta. Ecuación explícita.– Posiciones relativas de rectas.

2. La circunferencia en el plano cartesiano .....................................3 sesiones– Concepto de lugar geométrico. Ejemplos.– Ecuación de la circunferencia.– Posiciones relativas de rectas y circunferencias.


Observaciones metodológicasEn la primera parte de la unidad se irán obteniendo las distintas ecuaciones de una recta se-

gún la secuencia clásica que comienza por determinar los elementos básicos determinantes de lamisma (es decir un punto y un vector o dos puntos) y, a partir de ellos, la ecuación vectorial, em-pleando las relaciones de dependencia lineal entre dos vectores libres del plano. Comenzar por laecuación vectorial de la recta tiene la ventaja de que facilita enormemente la obtención razonadade los demás tipos de ecuaciones de la recta.

El concepto de parámetro de la recta se debe de justificar gráficamente en la pizarra propo-niendo que los alumnos valoren las posiciones de algunos de sus puntos, de parámetros conoci-dos, o determinen el valor del parámetro que corresponde a un punto dado.

En la segunda parte se dará el concepto de lugar geométrico y, como ejemplo particular, seobtendrá la ecuación de la circunferencia.


Primer Nivel Segundo Nivel Tercer NivelLos alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La obtención de las distin-

tas ecuaciones de la recta.– La pendiente de la recta.– La posición relativa de dos

rectas.– El concepto de lugar geomé

trico.– La mediatriz de un segmento.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La conversión entre las

distintas ecuaciones de larecta y la interpretación desus elementos.

– La ecuación de la circun-ferencia.


mas de geometría que re-quieran de técnicas y es-trategias atípicas.



Unidad Didáctica 9. Funciones elementales


– Conocer, diferenciar y relacionar los con-ceptos de correspondencia y función y fa-miliarizarse con su terminología específica.

– Describir a través de una gráfica el com-portamiento general y particular de un fe-nómeno susceptible de ser tratado de for-ma funcional.

– Diferenciar las gráficas cartesianas suscep-tibles de ser interpretadas como funcionesde aquellas otras que representan simplescorrespondencias no funcionales.

– Representar gráficas de funciones polinó-micas de primer y segundo grado y de fun-ciones racionales sencillas y utilizarlas pararealizar análisis e inferencias de sus propie-dades (monotonía, puntos extremos, sime-trías, continuidad, asíntotas y tasas de va-riación media) a través del comportamientode las coordenadas de los puntos (x, f(x)).

– Reconocer e interpretar relaciones sencillassusceptibles de ser tratadas de manera funcio-nal a través de funciones polinómicas de pri-mer o segundo grado y funciones de propor-cionalidad inversa, así como de otras definidascon trozos de aquellas, que puedan apareceren los diferentes medios de comunicación, enactividades relacionadas con el entorno co-tidiano del alumno o que estén relacionadascon otras áreas del ámbito científico.

– Aplicar los movimientos de traslación enorden a representar ciertas gráficas a par-tir de otras dadas, siendo conscientes de latransformación sufrida en la ecuación de lafunción inicial.

– Conocer y manejar las reglas que posibilitanlas operaciones elementales entre funciones.

– Elaborar y valorar estrategias diferentespara la codificación de la información através de tablas, gráficas y ecuaciones alge-braicas sencillas, en orden al planteamien-to y resolución de problemas relacionadoscon el entorno cotidiano del alumno.


– Saber valorar e interpretar de maneragráfica, global o parcialmente, sencillassituaciones de tipo funcional cercanas alentorno científico y cotidiano del alumno,relacionando los resultados con la infor-mación requerida a la actividad o situaciónproblemática de la que se pudiera derivar.

– Analizar y construir sencillos ejemplos enlos que se muestren diferentes tipos de co-rrespondencias, distinguiendo, de manera ra-zonada, las funcionales de las que no lo son.

– Interpretar las relaciones funcionales de-rivadas de tablas, enunciados, gráficas yecuaciones algebraicas sencillas.

– Construir e interpretar gráficas de lasfunciones elementales que se representanmediante rectas, parábolas e hipérbolas omediante trozos de éstas.

– Saber aplicar los movimientos de traslacióncomo parte del procedimiento gráfico quepermiten representar las gráficas de ciertasfunciones a partir de otras conocidas.

– Deducir las propiedades más caracterís-ticas de una función: monotonía, puntosextremos, continuidad, simetrías, asíntotasy cálculo de tasas de variación media, através de su representación gráfica y tradu-cirlas en términos algebraicos.

– Utilizar con soltura las reglas que permitensumar, restar, multiplicar y dividir funcio-nes elementales.

– Saber construir la ecuación de una funciónque es composición de otras, razonando elprocedimiento empleado en el proceso.

– Saber dibujar la gráfica de la función in-versa de una dada a partir de la de esta últi-ma por simetría con respecto de la bisectrizdel primer cuadrante del plano cartesiano.



CONTENIDOS


– Correspondencias y funcio-nes. Terminología básica.

– Dominio y recorrido deuna función.

– Gráficas cartesianas fun-cionales y no funcionales.

– Propiedades gráficas deuna función: monotonía,puntos extremos, simetríasy continuidad.

– Funciones polinómicas degrado menor o igual quedos. Propiedades.

– Funciones racionales ele-mentales. Propiedades.Asíntotas.

– Funciones definidas porintervalos.

– Suma y resta de funciones.– Multiplicación y división

de funciones.– Composición de funcio-

nes.– Funciones inversas.– Tasa de variación media.

– Distinción gráfica de lascorrespondencias funcio-nales y no funcionales.

– Representación gráfica deuna función dada a partirde un enunciado verbal, deuna tabla o de una sencillaecuación.

– Cálculo del dominio y delrecorrido de una funciónrepresentada mediante unagráfica.

– Cálculo del dominio de unafunción expresada medianteuna sencilla ecuación polinó-mica, racional o irracional.

– Representación gráfica yanálisis de las propiedadesde las funciones cuyas grá-ficas son rectas, parábolas,hipérbolas o trozos de éstas.

– Aplicación de traslacionesa funciones elementales yrepresentación gráfica delas funciones resultantes.

– Construcción gráfica desencillas funciones cons-truidas por intervalos.

– Estudio gráfico de la mo-notonía de una función.

– Estudio gráfico de losmáximos y mínimos rela-tivos de una función.

– Estudio gráfico de lospuntos de discontinuidadde una función.

– Estudio gráfico de lasasíntotas de una funciónracional elemental.

– Estudio gráfico y algebrai-co de las posibles simetríasde una función.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje gráfico y alge-braico para resolver, re-presentar o interpretar si-tuaciones y problemas dela vida cotidiana relacio-nadas con la dependenciafuncional o la correspon-dencia de datos.

– Reconocimiento y valo-ración crítica de las rela-ciones entre el lenguajegráfico, el algebraico y elordinario.

– Sensibilización, interés yvaloración crítica ante lasaportaciones que los len-guajes gráfico y algebraicorealizan en el mundo de lacomunicación, las argumen-taciones sociales, económi-cas, políticas o científicas.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades funcionales.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades ala hora de afrontar proble-mas relativos a funciones.

– Perseverancia y flexibi-lidad en la búsqueda desoluciones y estrategias enun contexto de resoluciónde problemas sobre fun-ciones y gráficas.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en unadiscusión sobre activida-des de índole funcional.



.../...

– Obtención de la ecuaciónde una función que es lasuma, la resta, el productoo el cociente de otras.

– Obtención de la ecuaciónde una función que escomposición de otras dos.

– Construcción de la gráficade la función inversa de unafunción de gráfica conocida.

– Cálculo e interpretación dela tasa de variación mediaentre dos puntos de unafunción.

– Valoración, cuidado y pre-cisión en el manejo de losinstrumentos de dibujo.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Funciones elementales ....................................................................4 sesiones

– Funciones reales de variable real.– Distintas formas de expresar una función.– Propiedades gráficas de las funciones.– Tipos de funciones elementales:

* Funciones polinómicas.* Funciones racionales.* Funciones definidas a intervalos.

2. Operaciones con funciones ...........................................................3 sesiones– Adición y multiplicación de funciones.– Composición de funciones.– Funciones inversas.– Tasa de variación media.


Observaciones metodológicasEl concepto de función, introducido en cursos anteriores, debe adquirir en éste una mayor

formalidad. Así, al trabajar las distintas formas de expresar una función se resaltará la importan-cia de precisar su dominio, como componente esencial de su definición. Entre las muchas propie-dades susceptibles de ser estudiadas en las funciones reales de variable real se elegirán solamenteaquéllas que pueden ser fácilmente detectables a través del análisis gráfico de la misma. Así, porejemplo, el estudio de las simetrías de una función se restringirá a los casos más sencillos, que to-



man como referencia el eje de ordenadas o el centro de coordenadas del plano cartesiano, ya queel estudio general de las simetrías de una función respecto de una recta o de un punto cualquierasupera el nivel aconsejable para este curso. De igual manera, el concepto de discontinuidad, quese apoya en un ejemplo gráfico fácil de interpretar, será tratado posteriormente a través de losejemplos concretos que nos van a proporcionar las funciones definidas a intervalos.

En la segunda parte de la unidad se estudia la composición de funciones, concepto novedosopara los alumnos y no exento de dificultad. La presentación clásica a través de diagramas nosparece el mejor método de acceder a este concepto, siempre que se apoye en ejemplos sencillosque motiven el interés del alumnado. El concepto de función inversa se introducirá a través deejemplos muy sencillos y, siempre, apoyado en su interpretación gráfica.

El concepto de variación media se puede introducir a través de un ejemplo sencillo relacio-nado con la velocidad media que es fácil de interpretar por los alumnos.



Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La descripción de las fun-

ciones y sus propiedades através de tablas y gráficas.

– La representación e in-terpretación de funcionespolinómicas de primer ysegundo grado.

– La utilización de tablasy gráficas para resolverproblemas de proporcio-nalidad.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La obtención e interpre-

tación de la ecuación, eldominio y el recorrido deuna función.

– La representación e inter-pretación de funciones ra-cionales sencillas.

– La representación e interpre-tación de funciones inversas.

– La resolución de problemassencillos.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La representación e inter-

pretación de funciones de-finidas por intervalos.

– La composición de fun-ciones.

– La tasa de variación media.– La resolución de proble-

mas sobre funciones querequieran de técnicas y es-trategias atípicas.

Unidad Didáctica 10. Funciones exponenciales,logarítmicas y trigonométricas


– Reconocer y analizar situaciones que enlenguaje ordinario se suelen expresar comode crecimiento o decrecimiento exponen-cial, interpretándolas matemáticamente apartir de una función exponencial de baseadecuada.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Detectar e interpretar situaciones de creci-

miento y decrecimiento exponencial pro-piciadas por ejemplos extraídos de los me-dios de comunicación y relacionados conla vida cotidiana o con el entorno científicode los alumnos.



.../...

– Traducir de lenguaje algebraico a gráficoecuaciones sencillas de funciones expo-nenciales, logarítmicas y trigonométricasmediante la construcción de una tabla devalores y con la ayuda de la calculadoracientífica.

– Interrelacionar las gráficas de las funcio-nes exponenciales y logarítmicas de igualbase y describir e interpretar gráficamentesus propiedades características.

– Describir e interpretar gráficamente laspropiedades de las funciones trigonométri-cas elementales.

– Utilizar la calculadora científica en la va-loración y conversión de datos relativos almanejo de funciones exponenciales, loga-rítmicas y trigonométricas sencillas.

– Resolver sencillos problemas de la vidacotidiana o relacionados con el conoci-miento científico del alumno que puedaninterpretarse en términos de ecuacionesexponenciales, logarítmicas o trigonomé-tricas sencillas.

– Representar las gráficas de las funcionesexponenciales y logarítmicas elementalescomparándolas y razonando sobre sus ana-logías y diferencias.

– Saber distinguir a través de la gráfica eltipo de función, exponencial o logarítmica,que ésta representa.

– Transformar radianes a medidas del siste-ma sexagesimal, y viceversa, con la ayudade la calculadora científica.

– Mostrar un conocimiento suficiente de lacircunferencia goniométrica que permitala representación gráfica, aproximada, deángulos a partir de sus razones trigonomé-tricas y, viceversa, la obtención, aproxima-da, de las razones trigonométricas de unángulo dado.

– Representar gráficamente las funcionestrigonométricas básicas: seno, coseno ytangente y sus transformadas elementales,en un intervalo dado de la recta real.

– Reconocer determinadas propiedadesfuncionales (dominio, rango, crecimien-to, valores extremos, continuidad, asín-totas, periodos...) a partir del análisis dela gráfica correspondiente a una funciónexponencial, logarítmica o trigonométricasencilla.

– Saber manejar adecuadamente la cal-culadora científica en las operaciones ycálculos relacionados con las funcionesexponenciales, logarítmicas y trigono-métricas.

– Manejar con soltura los criterios y algo-ritmos asociados al cálculo exponencial ylogarítmico, en un contexto de resoluciónde problemas.

– Resolver sencillas ecuaciones exponencia-les y logarítmicas mediante su conversióna otras polinómicas de primer o de segun-do grado.

– Hallar el conjunto de soluciones de una ecua-ción trigonométrica sencilla y determinar lasque corresponden a un intervalo dado.


MATEMÁTICAS 171

CONTENIDOS


– Funciones exponenciales.

– Propiedades de una fun-ción exponencial.

– Funciones logarítmicas.

– Propiedades de una fun-ción logarítmica.

– Ecuaciones exponenciales.

– Ecuaciones logarítmicas.

– Ampliación del conceptode ángulo. El radián.

– La circunferencia gonio-métrica.

– La función trigonométricay = senx. Propiedades.

– La función trigonométricay = cosx. Propiedades.

– La función trigonométricay = tgx. Propiedades.

– Utilización de la calculado-ra científica en los cálculosexponenciales, logarítmi-cos y trigonométricos.

– Construcción de la gráficade una función exponen-cial de ecuación y = ax,con a > 0.

– Construcción de gráficascorrespondientes a fun-ciones logarítmicas, porsimetría de las de las fun-ciones exponenciales.

– Reconocimiento e inter-pretación de las propieda-des gráficas de las funcio-nes exponenciales y loga-rítmicas elementales.

– Resolución de ecuacionesexponenciales o logarít-micas por conversión aecuaciones polinómicasde primer o de segundogrado.

– Conversiones angulares,del sistema sexagesimal aradianes y viceversa.

– Construcción e interpreta-ción de la circunferenciagoniométrica cuyos ángulosviene dados en radianes.

– Construcción de las gráfi-cas de las funciones seno,coseno y tangente.

– Reconocimiento e inter-pretación de los perio-dos y demás propiedadesgráficas de las funcionestrigonométricas elemen-tales.

– Resolución de ecuacionestrigonométricas.

– Reconocimiento y valora-ción crítica de la utilidad dela calculadora y otros instru-mentos para la realizaciónde cálculos con funcionesexponenciales, logarítmicasy trigonométricas.

– Confianza en las propiascapacidades para afrontarla solución de un proble-ma susceptible de ser in-terpretado en términos ex-ponenciales, logarítmicoso trigonométricos.



Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Funciones exponenciales ................................................................ 3 sesiones

– Concepto de función exponencial:* Estudio de la función y = ax, con a > 1* Estudio de la función y = ax, con 0 < a < 1

– Aplicaciones de las funciones exponenciales.– Ecuaciones exponenciales.

2. Funciones logarítmicas .................................................................. 3 sesiones– Concepto de función logarítmica.

* Estudio de la función y = loga,x, con a > 1* Estudio de la función y = loga,x, con 0 < a < 1

– Aplicaciones de las funciones logarítmicas.– Ecuaciones logarítmicas.

3. Funciones trigonométricas ............................................................ 3 sesiones– El radián.– Concepto de función trigonométrica:

* Estudio de la función y = sen x* Estudio de la función y = cos x* Estudio de la función y = tg x


MetodologíaEl concepto de función exponencial se deducirá a partir del de progresión geométrica y se

fundamentará en un intento de encontrar sentido matemático a ciertas afirmaciones que, relacio-nadas con el crecimiento y decrecimiento exponencial, se suelen utilizar, con muy poco rigor,en los diferentes medios de comunicación. El estudio se restringirá a los casos elementales defunciones exponenciales de la forma y = ax, diferenciando el caso en que “a” está comprendidoentre 0 y 1, del caso en que “a” es mayor que 1, como es habitual.

La función logarítmica se definirá como la función inversa de la función exponencial y se-guirá un esquema paralelo al que se desarrolla para estudiar esta última. En la elaboración de lasgráficas de las funciones logarítmicas, además de la calculadora, se utilizará el método de sime-trización de las funciones inversas, con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

El estudio de las funciones trigonométricas es una opción que se incluye en esta unidad comomateria de ampliación y, en consecuencia, sólo será abordada si el profesor entiende que losalumnos muestran un nivel adecuado.

Como método general, los contenidos se presentarán de una forma sencilla, apoyada en ejemplos,a ser posible extraídos de los medios de comunicación o de otras materias del currículo, que sean fácil-mente interpretables por los alumnos y evitando, en la medida de lo posible, un exceso de formalismo.


MATEMÁTICAS 173


Primer Nivel Segundo Nivel Tercer NivelLos alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La representación y des-

cripción de las funcionesexponenciales y logarítmi-cas elementales.

– La resolución de ecuacionesexponenciales sencillas.

– La resolución de proble-mas sencillos sobre fun-ciones exponenciales.


nes logarítmicas sencillas.– La resolución de proble-

mas sencillos sobre fun-ciones logarítmicas.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La representación y des-

cripción de las funcionestrigonométricas.

– La resolución de ecuacio-nes trigonométricas senci-llas.

– La resolución de proble-mas sencillos sobre fun-ciones trigonométricas.

Unidad Didáctica 11. Tablas y gráficas estadísticas


– Reconocer la estadística como un len-guaje compartido tanto por su carácterinterdisciplinar en la etapa como porotras aplicaciones de ámbito más gene-ral: económico, político, social, publici-tario, deportivo…

– Describir e interpretar situaciones del en-torno cotidiano y de la información propi-ciada a través de los medios de comunica-ción o de otras áreas del currículo, en la quese detecten mensajes de tipo estadístico.

– Recoger y organizar la información pro-porcionada por una distribución, discretao continua, mediante recuentos, tablas ygráficos, tomando decisiones correctasen cuanto a la valoración y tamaño de lasmuestras adecuadas al proceso.

– Decidir sobre el tipo de medida y cálculos,exactos o aproximados, que sean más con-venientes en función del fenómeno o de laactividad de tipo estadístico a los que seapliquen.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Conocer y manejar adecuadamente los

términos asociados al lenguaje usual de laestadística unidimensional.

– Interpretar adecuadamente informacionesestadísticas que aparecen en los medios deinformación, a través de tablas o de gráficas.

– Saber elegir las muestras que representen,de la manera más adecuada, a una determi-nada población estadística a partir de sen-cillos ejemplos y actividades relacionadascon el entorno cotidiano del alumno.

– Representar los datos de una variable esta-dística, cualitativa o cuantitativa, discretao continua, mediante una tabla o un gráficoestadístico adecuado.

– Relacionar las informaciones estadísticasrepresentadas en una tabla o en un gráficoestadístico que sean equivalentes.

– Construir e interpretar tablas y gráficos devariación de números índices.

– Detectar errores y falacias que desvirtúanla información transmitida mediante unagráfica estadística.



CONTENIDOS


– Estadística descriptiva.

– Encuestas.

– Muestras estadísticas. Ti-pos de muestreo.

– Vocabulario estadístico:población, muestra, indi-viduo, variable estadísti-ca (tipos), tamaño de lamuestra.

– Tablas de frecuencias.

– Frecuencia absoluta y fre-cuencia relativa.

– Frecuencia porcentual.

– Frecuencias acumuladas.

– Intervalos de clase asocia-dos a variables cuantitati-vas continuas. Marcas declase.

– Gráficosestadísticos:Diagra-mas de barras, Polígono defrecuencias, Diagramas desectores, Histogramas, Pirá-mides de Población, Picto-gramas, Cartogramas y Se-ries Cronológicas.

– Números índices.

– Elección de una muestrarepresentativa de una de-terminada población.

– Organización y clasifica-ción de datos susceptiblesde tratamiento estadístico.

– Elaboración de tablas dedistribución de frecuencias.

– Obtención de frecuenciasabsolutas, relativas y por-centuales.

– Interpretación de una tablade distribución de frecuen-cias para la obtención deinformación precisa refe-rente a la misma.

– Elaboración razonada deun gráfico estadístico ade-cuado al tipo de fenómenoque se quiere representar.

– Transformación de tablasen gráficos y viceversa.

– Detección e interpretaciónde errores en la construcciónde gráficas estadísticas.

– Construcción e interpreta-ción de tablas y gráficosde variación de númerosíndices.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje estadístico pararesolver, representar ointerpretar situaciones yproblemas de la vida co-tidiana.

– Sensibilización, interés yvaloración crítica ante lasaportaciones que la esta-dística realiza en el mundode la comunicación, lasargumentaciones sociales,económicas, políticas ocientíficas.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades estadísticas.

– Confianza y autoestimaen las propias capacida-des a la hora de afrontarproblemas relativos a laestadística.

– Perseverancia y flexibili-dad en la búsqueda de so-luciones, estrategias en uncontexto de resolución deproblemas estadísticos.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en undebate sobre actividadesrelativas a la estadística.

– Reconocimiento y valora-ción del trabajo en equipocomo la manera más efi-caz para la realización detareas relacionadas con laestadística: planificaciónde tareas, toma de datos,debate de conclusiones.


MATEMÁTICAS 175

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Tablas estadísticas ..........................................................................3 sesiones

– Población, muestra e individuo.

– Encuestas. Clasificación.

– Variables estadísticas. Clasificación.

– Frecuencias. Clasificación. Tablas de frecuencias.

– Distribución en intervalos de clase.

2. Gráficas estadísticas .......................................................................3 sesiones

– Gráficos estadísticos. Clasificación.

– Errores estadísticos.

– Números índices.


Observaciones metodológicasLa selección y utilidad de una muestra, estudiada a partir de ejemplos relacionados con el

entorno cotidiano de los alumnos, se utilizará para repasar los conceptos básicos del lenguajeestadístico (población, muestra o individuo) que se precisan para una mejor interpretación de loscontenidos desarrollados en el resto de la unidad. A partir de aquí los alumnos pueden proponeruna o más encuestas sobre temas que sean de su interés. El profesor distribuirá, entonces, a sualumnado en grupos de trabajo para que elaboren, pasen las encuestas y recojan sus resultados.Los resultados de estas encuestas servirán de modelos para ir cumplimentando los demás conte-nidos de la unidad.




los términos estadísticos.– La elaboración de tablas

de frecuencias.– La representación e inter-

pretación de diagramas debarras y polígonos de fre-cuencias.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Las distribuciones en in-

tervalos de clase.– La elaboración e interpre-

tación de histogramas ydiagramas de sectores.

– La elaboración e interpre-tación de tablas y gráficasde números índices.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– El análisis e interpretación

de errores en la elaboraciónde una gráfica estadística.

– La obtención de frecuen-cias a partir del análisis deuna gráfica estadística.




.../...

Unidad Didáctica 12. Parámetros estadísticos



– Conocer y utilizar los parámetros estadísti-cos (media, moda, mediana, cuantiles, ran-go, desviación media, varianza y desviacióntípica) de una distribución unidimensional,cuantitativa o cualitativa, discreta o conti-nua, para enjuiciar su comportamiento.

– Valorar las analogías y diferencias en elcomportamiento de un mismo tipo de va-riable aplicada a dos poblaciones estadísti-cas diferentes, a través del estudio compa-rativo de sus parámetros estadísticos.

– Manejar la calculadora científica, de ma-nera racional, en la obtención de las medi-das o parámetros estadísticos de una distri-bución unidimensional.

– Valorar los resultados obtenidos a partir deuna muestra convenientemente elegida a finde efectuar sencillas inferencias estadísticasaplicables a la totalidad de individuos quecomponen la población objeto de estudio.


– Conocer y manejar adecuadamente lostérminos asociados al lenguaje usual de laestadística unidimensional.

– Calcular los parámetros estadísticos ele-mentales (media, moda, mediana, cuanti-les, rango, desviación media, varianza ydesviación típica) que representan a unadistribución de frecuencias sencilla.

– Manejar con soltura la calculadora científi-ca en la obtención de la media aritmética, ladesviación típica, la varianza y la desviacióntípica de una serie de datos estadísticos.

– Comparar distribuciones de frecuencia di-ferentes mediante una adecuada interpreta-ción de la media aritmética y la desviacióntípica.

– Interpretar la normalidad de una distribu-ción a partir del estudio de su simetría oasimetría.

– Construir e interpretar gráficos con cajapara estudiar la distribución de datos deuna variable estadística.

CONTENIDOS


– Parámetros estadísticos decentralización: Media arit-mética, Media aritméticaponderada, Moda, Media-na, Clase Modal y ClaseMediana.

– Parámetros estadísticos dedispersión: Recorrido, Cuan-tiles (quartiles, deciles y per-centiles), Rango Intercuartí-lico, Desviación Media, Va-rianza y Desviación típica.

– Cálculo de las medidas decentralización asociadasa una distribución cuali-tativa.

– Cálculo de los paráme-tros estadísticos asocia-dos a una distribución defrecuencias de variablecualitativa o cuantitativadiscreta.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje estadístico para re-solver, representar o inter-pretar situaciones y proble-mas de la vida cotidiana.

– Sensibilización, interés yvaloración crítica ante lasaportaciones que la estadísti-ca realiza en el mundo de lacomunicación, las argumen-taciones sociales, económi-cas, políticas o científicas.


MATEMÁTICAS 177

.../...

– Coeficiente de variación.– Distribuciones simétricas

y asimétricas.– Gráficas de caja.

– Cálculo de los parámetrosestadísticos asociados adistribuciones de frecuen-cias susceptibles de serdadas por sencillos inter-valos de clase.

– Utilización racional de lacalculadora científica enlos cálculos estadísticos.

– Utilización de las medidasde centralización y de dis-persión para formular con-jeturas sobre el comporta-miento de una población.

– Estudio de la simetría deuna distribución.

– Construcción de una gráfi-ca de caja.

– Comparación de pobla-ciones diferentes ante unamisma medida estadística.

– Elaboración de estrategiasconducentes a la resoluciónde problemas numéricosbasados en la obtención demedidas estadísticas.


– Confianza y autoestimaen las propias capacida-des a la hora de afrontarproblemas relativos a laestadística.

– Perseverancia y flexibili-dad en la búsqueda de so-luciones, estrategias en uncontexto de resolución deproblemas estadísticos.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en undebate sobre actividadesrelativas a la estadística.


Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Parámetros de posición .................................................................. 3 sesiones

– Moda.

– Media aritmética.

– Media aritmética ponderada.

– Mediana.

– Cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles.

2. Parámetros de dispersión .............................................................. 4 sesiones

– Rango o recorrido.

– Rango intercuartílico.

– Desviación media.



– Varianza y desviación típica.

– Relación entre la media y la desviación típica.

– Coeficiente de variación.

– Distribuciones simétricas y asimétricas.

– Gráficos de caja.


Observaciones metodológicasEsta segunda unidad de estadística trata de los parámetros estadísticos de posición y disper-

sión que, en su mayor parte, son conocidos por los alumnos de cursos anteriores. Como novedadse añade el estudio de nuevos cuantiles, el análisis de la simetría de una distribución o la construc-ción e interpretación de gráficas de caja. Como es habitual cuando se requieren de largos y tedio-sos cálculos para alcanzar un determinado objetivo, nos parece fundamental el manejo razonadoy razonable de la calculadora científica y de algún programa informático familiar, como una hojade cálculo, que facilite el trabajo y la adquisición de conocimientos. También es importante quea lo largo de la unidad los profesores propongan actividades que deban ser resueltas trabajandoen equipo, y que controlen el proceso de resolución para que los alumnos puedan progresar en laadquisición de capacidades relacionadas con la competencia en comunicación lingüística y a lacompetencia social y ciudadana.



Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– El cálculo de los paráme-

tros estadísticos de unaserie pequeña de datos es-tadísticos.

– El uso de la calculadoraen el cálculo de la media,varianza y desviación típi-ca de una serie pequeña dedatos estadísticos.

– La resolución de proble-mas sencillos sobre pará-metros estadísticos.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– El uso de la calculadora en

el cálculo y valoración de losparámetros de una distribu-ción de intervalos de clase.

– La interpretación gráficade parámetros estadísticos.

– La resolución de proble-mas sobre parámetros ygráficas estadísticas.

– El estudio conjunto de lamedia y la desviación típica.

– La elaboración e interpre-tación de gráficas de caja.

– El estudio e interpretaciónde la simetría de una dis-tribución.


mas de estadística atípicosque requieran de técnicasy estrategias personales.


MATEMÁTICAS 179

Unidad Didáctica 13. Combinatoria


– Conocer y utilizar el vocabulario mínimoque permita distinguir, describir y realizarcálculos combinatorios.

– Identificar y describir regularidades, pautasy relaciones inherentes a un conjunto de nú-meros o de cualquier otro tipo de objetos,en un contexto de cálculo combinatorio.

– Diferenciar situaciones de recuento de datossusceptibles de ser interpretadas a través decombinaciones, variaciones y permutaciones.

– Construir las fórmulas de la combinatoriaclásica a partir de una aplicación razonadadel principio de la multiplicación.

– Sistematizar los procedimientos orientadosal recuento y clasificación de datos en uncontexto de resolución de problemas com-binatorios relacionados con el contexto co-tidiano de los alumnos.

– Plantear y resolver problemas asociados alentorno cotidiano del alumno y a sus intere-ses lúdicos relativos al cálculo combinatorio,eligiendo la estrategia adecuada y aplicandolas fórmulas o los procedimientos más sen-cillos que, en cada caso, se precisen.


– Sistematizar la obtención de agrupacionesordenadas de datos a través de diagramasde árbol apropiados.

– Utilizar el principio de la multiplicacióncomo procedimiento básico en el recuentosistemático de agrupaciones de datos.

– Distinguir entre variaciones y combinaciones.

– Distinguir entre variaciones ordinarias y va-riaciones con repetición.

– Relacionar combinaciones y númeroscombinatorios.

– Conocer y aplicar con soltura las fórmulasde la combinatoria clásica.

– Conocer las relaciones básicas entre núme-ros combinatorios y aplicarlas en la cons-trucción de las filas del triángulo de Pascal.

– Relacionar los coeficientes de las potenciasde un binomio y los números que compo-nen las filas del triángulo de Pascal.

– Desarrollar y simplificar potencias de bino-mios para valores no excesivamente gran-des de los exponentes.

– Resolver ecuaciones combinatorias sencillas.

– Resolver problemas sencillos de combina-toria contextualizados en el entorno coti-diano de los alumnos.

CONTENIDOS


– El principio de la multipli-cación.

– Diagramas de árbol.– Principio de la multiplica-

ción.

– Elaboración de diagramasde árbol.

– Aplicación procesual delprincipio de la multipli-cación.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades combinatorias.

.../...



.../...

– Combinaciones, variacio-nes y permutaciones.

– Fórmula de las variacionesordinarias.

– Fórmula de las variacionescon repetición.

– Fórmula de las permuta-ciones.

– Factorial de un número.– Fórmula de las combina-

ciones.– Fórmula para obtener las

permutaciones de n ele-mentos.

– Números combinatorios.Propiedades.

– Triángulo de Pascal.– Binomio de Newton.

– Sistematización en el análi-sis que conduce al recono-cimiento y diferenciaciónde combinaciones, varia-ciones y permutaciones.

– Cálculo de variaciones, or-dinarias y con repetición,combinaciones y permuta-ciones.

– Cálculo de números com-binatorios.

– Construcción del triángulode Pascal.

– Desarrollo del binomio deNewton.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades ala hora de afrontar proble-mas de combinatoria.

– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes, estrategias en un con-texto de resolución de pro-blemas de combinatoria.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en undebate sobre resolución oinferencias de resultadosderivados de un problemade combinatoria.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Técnicas combinatorias .................................................................. 4 sesiones

– El principio de la multiplicación. Diagramas de árbol.– Tipos de agrupamientos:

* Variaciones.* Permutaciones.* Combinaciones.

– Fórmulas combinatorias.2. Números combinatorios ................................................................. 3 sesiones

– Números combinatorios. Propiedades.– El triángulo de Pascal o de Tartaglia.– El binomio de Newton.


Observaciones metodológicasAntes de entrar en la sistematización de los distintos tipos de agrupaciones (combinaciones,

variaciones o permutaciones) relacionadas con la combinatoria clásica, los alumnos deben intentarutilizar sus propias estrategias personales de conteo para resolver algunos problemas sencillos decombinatoria. En este sentido, la utilización del principio de la multiplicación y de los diagramas de



árbol son de una importancia trascendental, ya que constituyen dos procedimientos básicos con losque, teóricamente, es posible resolver la mayoría de las actividades que se puedan proponer en estaprimera parte de la unidad. Por otra parte, la aplicación razonada del principio de la multiplicaciónnos permitirá obtener, de una forma comprensible para los alumnos, las fórmulas que dan el númerode variaciones, ordinarias y con repetición, de n elementos extraídos de un conjunto base con melementos y, a partir de éstas, las fórmulas de las combinaciones y las de las permutaciones.

El objetivo más importante de la segunda parte de la unidad es el estudio y aplicación del binomiode Newton. Para alcanzarlo no es absolutamente necesario que los alumnos hagan un estudio pormeno-rizado de los números combinatorios y sus propiedades ya que nos bastará con elaborar, con argumen-tos informales, el triángulo de Pascal. En cualquier caso, el tratamiento didáctico de esta segunda partede la unidad dependerá, en gran medida, del grado de interés y preparación de nuestros alumnos.



Primer Nivel Segundo Nivel Tercer NivelLos alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La utilización de los diagra-

mas de árbol y técnicas deconteo personales.

– La identificación y dife-renciación de variaciones,combinaciones y permuta-ciones.

– La aplicación de las fór-mulas de la combinatoriaclásica.

– La resolución de problemassencillos sobre conteo.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– La aplicación del principio

de multiplicación.– La identificación y cálculo

de variaciones, combina-ciones y permutaciones enun contexto de resoluciónde problemas.

– La construcción intuitiva einterpretación del triángu-lo de Pascal.

– El desarrollo del binomiode Newton a partir deltriángulo de Pascal.

Los alumnos resolverán acti-vidades relacionadas con:– Los números combinato-

rios y sus propiedades.– La construcción formal

del triángulo de Pascal.– El desarrollo formal del

binomio de Newton.– La resolución de proble-

mas de combinatoria atí-picos que requieran detécnicas y estrategias per-sonales.

Unidad Didáctica 14. Azar y Probabilidad


– Conocer y utilizar con precisión el vocabu-lario básico que permita distinguir, descri-bir y realizar cálculos en situaciones alea-torias y probabilísticas.

– Describir los sucesos asociados a un expe-rimento aleatorio a través de su representa-ción conjuntista, apreciando la simplicidaden los razonamientos que tales representa-ciones aportan.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Distinguir entre experimentos aleatorios y

experimentos deterministas.– Construir el espacio muestral de un experi-

mento aleatorio sencillo.– Expresar en forma de conjunto los sucesos

asociados a un experimento aleatorio deespacio muestral finito y operar con ellos.



.../...

– Analizar e interpretar informaciones yresolver situaciones problemáticas sencillasque puedan surgir en la vida cotidiana,relacionados con situaciones propias delazar y del cálculo de probabilidades.

– Interpretar y analizar de manera correctalas informaciones de tipo aleatorio yprobabilístico que periódicamente aparecenen los medios de comunicación.

– Conocer y diferenciar las diferentesacepciones del concepto de probabilidad,así como sus propiedades elementales yutilizarlas en la resolución de sencillasactividades relacionadas con experimentossimples y compuestos asociados al entornocotidiano de los alumnos.

– Manejar y aplicar los procedimientos ylos cálculos propios de la combinatoriaclásica en la resolución de problemasprobabilísticos que vengan relacionadoscon el entorno cotidiano de los alumnos.

– Diferenciar y resolver situaciones aleatoriasen las que convenga aplicar la reglade Laplace o técnicas de probabilidadexperimental, basadas en la utilización dela Ley de los Grandes Números.

– Conocer las propiedades básicas de laprobabilidad y aplicarlas en la resoluciónde problemas sencillos.

– Conocer y aplicar la fórmula de laprobabilidad condicionada en la resoluciónde problemas sencillos contextualizadosen el entorno cotidiano de los alumnos.

– Descubrir la dependencia o independenciade sucesos en un experimento compuestosencillo, aplicando de manera correcta elmétodo multiplicativo derivado de unacorrecta interpretación de la fórmula de laprobabilidad compuesta.

– Efectuarlosrecuentosadecuados,mediantelaaplicación de las técnicas de la combinatoriaclásica, inherentes a un conjunto de números,de figuras geométricas, o de cualquier otrotipo de objetos, en un contexto de cálculode probabilidades que se deriven de laaplicación directa de la Ley de Laplace.

– Resolversencillosproblemasdeprobabilidadgeométrica basados en figuras planas dela geometría elemental conocidas por losalumnos.

CONTENIDOS


– Experimentos y sucesosaleatorios.

– Espacio muestral.– Sucesos aleatorios.– Sucesos elementales y su-

cesos compuestos.– Suceso seguro y suceso

imposible.– Unión e intersección de

sucesos.– Sucesos compatibles e in-

compatibles.

– Obtención del espaciomuestral de un experimen-to aleatorio.

– Expresión de un suceso enforma de subconjunto delespacio muestral.

– Obtención de la unión y laintersección de dos sucesos.

– Obtención del suceso con-trario a otro dado.

– Aplicación de la Ley deLaplace.

– Reconocimiento y valo-ración de las matemáticaspara interpretar, describiry predecir situaciones in-ciertas.

– Sensibilización, interés yvaloración crítica ante lasaportaciones que el len-guaje probabilístico realizaen el mundo de la comuni-cación, las argumentacio-nes sociales, económicas,políticas o científicas.

.../...


MATEMÁTICAS 183

.../...

– Sucesos contrarios.– Frecuencia y probabilidad

de un suceso.– Ley de Laplace.– Regla aditiva de la proba-

bilidad.– Probabilidad de la unión

de dos sucesos.– Probabilidad de dos suce-

sos contrarios.– Probabilidad condiciona-

da. Dependencia entre su-cesos aleatorios.

– Experimentos compuestos.Regla multiplicativa de laprobabilidad.

– Probabilidad geométrica.

– Obtención experimental dela probabilidad.

– Aplicación procesual dela regla aditiva de la pro-babilidad.

– Aplicación de la fórmulaque liga las probabilidadesde dos sucesos con las desu unión e intersección.

– Obtención de las probabili-dades de sucesos contrarios.

– Aplicación de la fórmulade la probabilidad condi-cionada.

– Aplicación de la regla mul-tiplicativa que generaliza lafórmula de la probabilidadcondicionada.

– Resolución de problemasmediante técnicas combi-natorias.

– Resolución de problemas deprobabilidad geométrica.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, limpie-za) en la realización de ac-tividades relativas al azar.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades ala hora de afrontar proble-mas relativos al cálculo deprobabilidades.

– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes, estrategias en un con-texto de resolución de pro-blemas de recuento y apli-cación de probabilidades.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Probabilidad. Ley de Laplace ........................................................ 5 sesiones

– Experimentos y sucesos aleatorios.– Espacio muestral y sucesos aleatorios:

* Sucesos elementales y sucesos compuestos.* Suceso seguro y suceso imposible.

– Operaciones con sucesos:* Unión e intersección de sucesos.* Sucesos compatibles e incompatibles.* Sucesos contrarios.

– Probabilidad de un suceso:* Frecuencia y probabilidad.* Ley de los grandes números.* Probabilidad experimental.

* Ley de Laplace.



– Propiedades de la probabilidad:* Regla aditiva de la probabilidad.* Probabilidad de la unión de dos sucesos.* Probabilidad de dos sucesos contrarios.

2. Probabilidades compuestas ........................................................... 4 sesiones– Probabilidad condicionada.– Dependencia entre sucesos aleatorios.– Experimentos compuestos.– Regla multiplicativa de la probabilidad.– Probabilidad geométrica.


Observaciones metodológicasEn la primera parte de la unidad se repasan, de forma más profunda y sistematizada, los

contenidos del curso anterior. Dado el mayor nivel que se presupone a estos alumnos, el profesorpodrá apoyarse en los rudimentos básicos de la teoría de conjuntos para desarrollar las propieda-des de los sucesos aleatorios y de la probabilidad.

En la segunda parte de la unidad se formalizan algunos contenidos, relacionados con los ex-perimentos compuestos y la probabilidad condicionada, que se trataron, de forma muy intuitiva,en el curso anterior. Tampoco en este curso se pretende hacer un estudio exhaustivo y formal deestos conceptos, pero si conviene añadir un poco más de formalización y, sobre todo, ampliar elcampo de aplicaciones para trabajar, con la mayor informalidad que nos sea posible, los proble-mas de extracciones consecutivas, con o sin reintegro.





– La correcta utilización delos términos relacionadoscon el azar.

– El cálculo experimentalde probabilidades.

– La utilización de la reglade Laplace.

– La resolución de problemas sencillos sobre probabilidad.


– Lasoperacionesconsucesosaleatorios.

– La aplicación de las propiedades de la probabilidad enexperimentos simples.

– La dependencia e independencia de sucesos.

– La probabilidad condicio-nada.


– La probabilidad geométrica.

– Laresolucióndeproblemasde probabilidad atípicosque requieran de técnicasy estrategias personales.

Programación Didácticade la asignatura de Matemáticas I

de Bachillerato


1. ANÁLISIS DEL CONTEXTO

2. FUNDAMENTACIÓN

3. OBJETIVOS GENERALES DEL BACHILLERATO

4. OBJETIVOS GENERALES DE LAS MATEMÁTICAS I

5. CONTENIDOS DE LAS MATEMÁTICAS I

6. CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS I

7. METODOLOGÍA


9. EVALUACIÓN9.1. ¿Qué evaluar?9.2. ¿Cómo evaluar?9.3. ¿Cuándo evaluar?

10. CRITERIOS DE EVALUACIÓN

11. BIBLIOGRAFÍA


PROGRAMACIÓN DE AULA. MATEMÁTICAS I. MODALIDADES: CIENCIASDE LA SALUD Y TECNOLOGÍA

MATEMÁTICAS 187

1. ANÁLISIS DEL CONTEXTOEn una primera etapa analizaremos las características del contexto del centro educativo, que

deben de figurar en el Proyecto Educativo del Centro (PEC), para averiguar de qué forma incidenen la elaboración personalizada de nuestra Programación Didáctica.

Como aspectos más significativos, nuestro análisis debe contemplar:1. La localización del centro educativo: se trata de precisar las características geográficas

de la localidad en la que se sitúa el centro educativo, precisando su número de habitantes,distancia a la capital, ámbito de influencia, análisis del entorno natural…

2. Las características socioeconómicas: en este apartado analizaremos el nivel socioeco-nómico de la población a la que nuestro centro presta sus servicios.

3. Las características del alumnado: reflejaremos en este apartado el número de alumnosy alumnas, así como el porcentaje de repetidores, emigrantes, con necesidades educati-vas especiales, de diversificación, sobredorados…, es decir, el perfil de nuestro alumna-do en orden a establecer las pautas metodológicas, de apoyo…, más adecuadas.

4. Las características del centro educativo: este apartado debe de incluir, entre otras, las eta-pas educativas que imparte y el número de líneas autorizadas en cada una de ellas, la ratiomedia del alumnado en las distintas etapas educativas, los recursos humanos (profesores, per-sonal de servicios…), recursos educativos (material informático, audiovisual, biblioteca…).

Con el fin de precisar nuestra Programación Didáctica trataremos de situar nuestro análisisen un centro típico del ámbito semi-urbano, ya que éste suele ser el primer destino de cualquierprofesor de enseñanza secundaria.

De forma muy sucinta imaginaremos que se trata de un instituto situado en una localidad demenos de 10.000 habitantes, situada a unos 50 km de la capital. Se trata de un centro cuyo entor-no viene condicionado por actividades económicas que conjugan un perfil socioeconómico quecombina la atención a familias de la localidad con otras que tienen sus ocupaciones en el campoo en los pueblos y aldeas colindantes.

El instituto tiene autorizadas 4 líneas de ESO, en las que se escolarizan la mayor parte delalumnado, dos Bachilleratos (el de Ciencias y Tecnología y el de Humanidades y Ciencias So-ciales) y un Ciclo Formativo de Grado Medio. El alumnado del centro proviene de la localidady de otras aldeas y pedanías limítrofes y, en los últimos años, se ha incrementado el número deinmigrantes que, en la actualidad, constituyen el 20% de la población escolar.

El instituto es relativamente nuevo y está bien equipado. Los profesores son jóvenes y, en un40%, ocupan la plaza en régimen de interinidad.



Por último, los alumnos se pueden clasificar, de forma mayoritaria, en un nivel medio, coninterés y motivación por los estudios, que se ven dificultados por los problemas de adaptaciónde los alumnos inmigrantes y la escasez de recursos educativos propios, sobre todo en aquellosalumnos que proceden del medio rural.

2. FUNDAMENTACIÓNNuestra programación de las Matemáticas I de Bachillerato se basa en el borrador del Real

Decreto por el que se establece la estructura del Bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas.

Las Matemáticas de Bachillerato suponen la culminación de un largo proceso destinado adesarrollar en el alumno la capacidad de razonamiento y el sentido crítico necesario para inter-pretar la realidad desde posiciones exentas de dogmatismo y dotarle, al mismo tiempo, de lasherramientas adecuadas para resolver los problemas cotidianos con los que se deberá enfrentar,una vez alcanzada la etapa de madurez.

Por otra parte, como estas mismas Matemáticas deberán de preparar a nuestros alumnos paracontinuar sus estudios en los ciclos superiores de Formación Profesional o en la Universidad, suscontenidos deberán estar en consonancia con los de los estudios específicos de Grado Superior alos que se dirigen.

El tratamiento dado a los contenidos mínimos de los distintos cursos y modalidades de lasMatemáticas de Bachillerato responden a las exigencias básicas anteriormente comentadas pero,además, en su elaboración se ha tenido en cuenta el grado de preparación que se les supone alos alumnos que acceden al Bachillerato, en razón de los estudios previamente realizados, y laconveniencia de incorporar recursos tecnológicos adecuados (calculadoras y programas informá-ticos) en el desarrollo de numerosos procedimientos rutinarios o en la interpretación y análisis desituaciones diversas relacionadas con los números, las gráficas o la estadística

Finalmente, en el caso particular de las Matemáticas I de Ciencias y Tecnología, tambiénse deberá de tener en cuenta las necesidades concretas de otras materias de las modalidadescientífico-tecnológicas que, cursándose de forma paralela, precisan de contenidos matemáticosespecíficos para su desarrollo.

Desde una óptica personal que es ampliamente compartida, y como en el caso de la ESO,apostamos por una enseñanza de las Matemáticas que siga un modelo cíclico, de manera que en cadacurso coexistan distintos tipos de contenidos: los nuevos, de iniciación, y los de cursos anteriores,que servirán para repasar y/o afianzar conceptos ya estudiados por los alumnos. En relación con lametodología se incide en que ésta, en vez de seguir un modelo rígido, deberá de adaptarse a cada grupode alumnos (en realidad a cada uno de ellos), rentabilizando al máximo los recursos disponibles.

Como criterio general se apuesta por ir incrementando la componente deductiva, pero sinabandonar el método inductivo, que debe ser una tónica general en la enseñanza de las Matemá-ticas no universitarias. También se resalta la utilidad de los esquemas y la adquisición de estra-tegias personales a la hora de enfrentarse ante una situación problemática cercana al alumno orelacionada con otras áreas del currículo.

La resolución de problemas, como práctica habitual de la enseñanza de las Matemáticas,tiene carácter transversal y será objeto de estudio relacionado e integrado en el resto de los conte-nidos. Su objetivo es el de contribuir a que el alumnado desarrolle una visión amplia y científicade la realidad, para estimular la creatividad y la valoración de las ideas ajenas, la habilidad paraexpresar las ideas propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los posibles errorescometidos.

Matemáticas I de Bachillerato

MATEMÁTICAS 189

Destacar, asimismo, la importancia que las nuevas tecnologías de la información han ad-quirido en los últimos años, resaltando que deben de estar presentes en el aula de Matemáticaspero siempre que se enfoquen hacia el aprendizaje significativo del alumnado. En este sentido,se apuesta por una utilización racional de instrumentos como la calculadora científica o gráfica ociertos programas informáticos, de manera que además de servir como ayuda en tareas rutinarias,se utilicen para razonar sobre conceptos, relaciones, propiedades… descubriéndoles nuevas posi-bilidades en consonancia con un nuevo concepto de metodología participativa y significativa.

Por último comentar que, en el preámbulo del currículo de Matemáticas I y II, del precitadoReal Decreto de enseñanzas mínimas del MEC, se resalta que:

…los contenidos de Matemáticas, como materia en el bachillerato de Ciencias y Tecno-logía, giran sobre dos ejes fundamentales: la geometría y el análisis que, a su vez, deben

propias de la resolución de problemas.

En esta línea se dice que:

…en Matemáticas I, los contenidos relacionados con la resolución de ecuaciones e ine-cuaciones o el tratamiento algebraico de intervalos y entornos, tienen carácter transver-sal y deben ser objeto de estudio en los bloques anteriormente mencionados, profundi-zando en las propiedades generales de los números y su relación con las operaciones, más que en los resultados de cálculos particulares.

En interpretación de lo expuesto en el párrafo anterior, entendemos que el MEC no ha preten-dido, al eliminar de la tabla de contenidos las referencias explícitas a los de Aritmética y Álgebra,que si figuraban en el currículo del Real Decreto anterior, el que dichos contenidos desaparezcandel currículo ya que, según entendemos, éstos deben impartirse “de forma transversal”, en los dosbloques fundamentales del currículo, es decir, en la Geometría y el Análisis. Sin oponernos a estatransversalidad, hemos creído necesario iniciar nuestra programación de aula con una unidad enla que se repasen, de forma explícita y autóctona, los contenidos sobre la recta real y el álgebraelemental que los alumnos deben manejar para abordar con cierta garantía de éxito los contenidosespecíficos de los restantes bloques del currículo.

3. OBJETIVOS GENERALES DEL BACHILLERATO

El bachillerato contribuirá a desarrollar en los alumnos y las alumnas las capacidades que lespermitan:

a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una concien-cia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española así comopor los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de unasociedad justa y equitativa.

b) Consolidar una madurez personal y social que les permita actuar de forma responsable yautónoma y desarrollar su espíritu crítico. Prever y resolver pacíficamente los conflictospersonales, familiares y sociales.

c) Fomentar la igualdad efectiva de derechos y oportunidades entre hombres y mujeres,analizar y valorar críticamente las desigualdades existentes e impulsar la igualdad real yla no discriminación de las personas con discapacidad.

d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para eleficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal.



e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, lalengua cooficial de su comunidad autónoma.

f) Expresarse con fluidez y corrección en una o más lenguas extranjeras.

g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comuni-cación.

h) Conocer y valorar críticamente las realidades del mundo contemporáneo, sus anteceden-tes históricos y los principales factores de su evolución. Participar de forma solidaria enel desarrollo y mejora de su entorno social.

i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar lashabilidades básicas propias de la modalidad elegida.

j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de losmétodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la ciencia y latecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y elrespeto hacia el medio ambiente.

k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa,trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico.

l) Desarrollar la sensibilidad artística y literaria, así como el criterio estético, como fuentesde formación y enriquecimiento cultural.

m) Utilizar la educación física y el deporte para favorecer el desarrollo personal y social.

n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.

Estos objetivos generales son aplicables a todas las asignaturas que componen el currículodel Bachillerato. Se precisa, por tanto, concretarlos en nuestra materia mediante unas adecuadasreferencias, para lo cual adjuntamos a cada objetivo general del área las letras descriptivas de losobjetivos generales de etapa con los que se conectan.

4. OBJETIVOS GENERALES DE LAS MATEMÁTICAS I1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diver-

sas que permitan avanzar en el estudio de las propias matemáticas y de otras ciencias,así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianasy diferentes ámbitos del saber (b, g, h, i, j, k, m, n).

2. Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de demostraciones rigurosassobre las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología, mostrando una actitud flexi-ble, abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos (a, b, c, e, i, k).

3. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propiasde las matemáticas (planteamiento de problemas, planificación y ensayo, experimenta-ción, aplicación de la inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de lasconjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y engeneral explorar situaciones y fenómenos nuevos (d, e, g, i, j, k).

4. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico, conabundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con el de otras áreas delsaber (h, i, j).


MATEMÁTICAS 191

5. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para obtener y procesar in-formación, facilitar la comprensión de fenómenos dinámicos, ahorrar tiempo en los cál-culos y servir como herramienta en la resolución de problemas (g).

6. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar pro-cedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia yprecisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigorcientífico (b, e, i, j).

7. Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la investigación matemática, talescomo la visión crítica, la necesidad de verificación, la valoración de la precisión, el inte-rés por el trabajo cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamientode las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas (d, e, j, k).

8. Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de ser tratadas ma-temáticamente, comprendiendo y manejando términos, notaciones y representacionesmatemáticas (d, e, f).

5. CONTENIDOS DE LAS MATEMÁTICAS I

Bloque 1. Geometría

– Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo. Uso de fór-mulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y problemasgeométricos diversos.

– Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de un vector.

– Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resoluciónde problemas.

– Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.

Bloque 2. Análisis

– Funciones reales de variable real: clasificación y características básicas de las funcionespolinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponen-ciales y logarítmicas.

– Dominio, recorrido y extremos de una función.

– Operaciones y composición de funciones.

– Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y continuidad

– Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un intervalo.

Bloque 3. Estadística y Probabilidad

– Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables estadísticas. Regresiónlineal.

– Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a posteriori.

– Distribuciones binomial y normal como herramienta para asignar probabilidades asucesos.



6. CRITERIOS DE EVALUACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS I1. Utilizar correctamente los números reales y sus operaciones para presentar e inter-

cambiar información; estimar los efectos de las operaciones sobre los números rea-les y sus representaciones gráfica y algebraica y resolver problemas extraídos de la realidad social y de la naturaleza que impliquen la utilización de ecuaciones e inecuaciones, así como interpretar los resultados obtenidos.

Se pretende comprobar con este criterio la adquisición de las destrezas necesarias para lautilización de los números reales, incluyendo la elección de la notación, las aproximacionesy las cotas de error acordes con la situación. Asimismo, se pretende evaluar la comprensiónde las propiedades de los números, del efecto de las operaciones y del valor absoluto y suposible aplicación. También se debe valorar la capacidad para traducir algebraicamente unasituación y llegar a su resolución, haciendo una interpretación de los resultados obtenidos.

2. Transferir una situación real a una esquematización geométrica y aplicar las diferen-tes técnicas de resolución de triángulos para enunciar conclusiones, valorándolas e interpretándolas en su contexto real, así como identificar las formas correspondientes a algunos lugares geométricos del plano, analizar sus propiedades métricas y cons-truirlos a partir de ellas.

Se pretende evaluar la capacidad para representar geométricamente una situación plan-teada, eligiendo y aplicando adecuadamente las definiciones y transformaciones geomé-tricas que permitan interpretar las soluciones encontradas; en especial, la capacidad paraincorporar al esquema geométrico las representaciones simbólicas o gráficas auxiliarescomo paso previo al cálculo. Asimismo, se pretende comprobar la adquisición de lascapacidades necesarias en la utilización de técnicas propias de la geometría analíticapara aplicarlas al estudio de las ecuaciones reducidas de las cónicas y de otros lugaresgeométricos sencillos.

3. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en dos dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las soluciones.

La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el lenguaje vectorial ylas técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenó-menos diversos. Se pretende valorar especialmente la capacidad para realizar transfor-maciones sucesivas con objetos geométricos en el plano.

4. Identificar las funciones habituales dadas a través de enunciados, tablas o gráficas, y aplicar sus características al estudio de fenómenos naturales y tecnológicos.

Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a situaciones delmundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio delas funciones. Particularmente, se pretende comprobar la capacidad de traducir los resul-tados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y extraer conclusionessobre su comportamiento local o global.

5. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e in-terpretar características destacadas de funciones expresadas analítica y gráficamente.

Se pretende comprobar con este criterio la capacidad de utilizar adecuadamente la ter-minología y los conceptos básicos del análisis para estudiar las características generalesde las funciones y aplicarlas a la construcción de la gráfica de una función concreta. Enespecial, la capacidad para identificar regularidades, tendencias y tasas de variación,


MATEMÁTICAS 193

locales y globales, en el comportamiento de la función, reconocer las característicaspropias de la familia y las particulares de la función, y estimar los cambios gráficos quese producen al modificar una constante en la expresión algebraica.

6. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos y utilizar técnicas estadísticas elementales para tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal.

En este criterio se pretende medir la capacidad para determinar la probabilidad de un suceso,utilizando diferentes técnicas, analizar una situación y decidir la opción más conveniente.También se pretende comprobar la capacidad para estimar y asociar los parámetros relacio-nados con la correlación y la regresión con las situaciones y relaciones que miden.

7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso.

Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse con situaciones nuevasprocediendo a su observación, modelado, reflexión y argumentación adecuada, usandolas destrezas matemáticas adquiridas. Tales situaciones no tienen por qué estar directa-mente relacionadas con contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidadpara combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto enque se hayan adquirido.

7. METODOLOGÍAEl binomio enseñanza-aprendizaje en toda la etapa de Bachillerato se asienta sobre una serie

de características que deben ser tratadas de forma simultánea y desde múltiples aspectos. Entreellas destacamos las siguientes:

– El alumno es protagonista de su propio aprendizaje, por lo que se constituye en el centro delmismo. No existe un único tipo de enseñanza-aprendizaje dirigido desde la lección magistraldel profesor hacia el grupo de alumnos. Cada uno de ellos construirá su propio aprendizaje,a su ritmo, partiendo de sus capacidades individuales, que deben ser reforzadas con la ayudadel profesor y de todos y cada uno de los variados elementos que constituyen el proceso edu-cacional. Se pretende, pues, la implantación de un aprendizaje significativo en el que lo im-portante es que cada alumno pueda construir significados y atribuir sentido a lo que aprende.

– Otro objetivo importante es la formación en valores, productora de ciudadanos libres,responsables, críticos y abiertos a la participación, cooperación...

– Se deberá atender, por último, el aspecto cognitivo, que deberá estar en consonancia con losobjetivos básicos de la materia y que llevará aparejado el desarrollo de las capacidades quese consideren necesarias para continuar con aprovechamiento los estudios posteriores.

En lo que a nuestra materia, las Matemáticas, se refiere, no hay que olvidar que su valor educa-tivo se concreta en tres aspectos que deberán de ser atendidos de manera equilibrada, y que son:

– Formativo de capacidades intelectuales y cognitivas.

– Funcional, en cuanto la actividad matemática posibilita un mejor tratamiento de losproblemas derivados del ámbito extraescolar.

– Instrumental, por cuanto se proporciona una base científica unificadora de otras mu-chas actividades encasilladas en otras áreas del currículo educativo.



Como consecuencia, nuestra metodología a la hora de enseñar Matemáticas deberá de partirde los hechos que habitualmente ocurren en el contexto social del individuo y se desarrollará,en una primera fase, de manera empírica e inductiva, a través de la experiencia personal de cadaalumno y alumna. El aprendizaje matemático se asemejará, de esta manera, al desarrollo históricodel propio conocimiento matemático, siendo especialmente aconsejables todas aquellas activida-des que requieran un esfuerzo investigador por parte del alumnado, como la resolución de proble-mas o los pequeños trabajos de investigación que requieren del trabajo en equipo. Conforme sevaya avanzando en el proceso educativo, y en función de la maduración matemática y científicade nuestro alumnado, se irán introduciendo actividades que potencien el razonamiento deductivoy de la abstracción y le acerquen a las prácticas propias del método científico.


Uno de los aportes más significativos de la LOGSE es la obligación de incorporar en todaslas áreas del currículo diversos elementos educativos básicos agrupados en los siguientes temastransversales:

– Educación para la igualdad de oportunidades entre ambos sexos.

– Educación del consumidor.

– Educación sexual.

– Educación para la paz.

– Educación medioambiental.

– Educación para la salud.

– Educación vial.

– Educación moral y cívica.

La educación del consumidor es un tema que puede trabajarse en casi todas las unidadesdel currículo, a través de actividades específicas relacionadas con compras, ventas, matemáticasfinancieras, gráficas de consumo, recibos, estadísticas…

La educación medioambiental también resulta bastante apropiada para figurar en el contextode muchas actividades que pueden estar relacionadas, por ejemplo, con el deterioro medioam-biental producido por la mano del hombre (destrucción de bosques, contaminación atmosférica,deshechos radioactivos…), la escasez y distribución de alimentos o de agua…

La educación para la salud también puede trabajarse a través de actividades específicas rela-cionadas con los hábitos alimenticios, los aspectos nocivos de las drogas, los efectos saludablesdel ejercicio físico…

La educación vial se puede trabajar mediante actividades sobre escalas, planos, mapas, auto-móviles, semáforos, estudios estadísticos sobre número de accidentes que se deben a no llevar elcasco puesto cuando se conduce una moto…

Por último, en estadística se deberán incluir actividades que estén relacionadas con los de-rechos de la infancia, la igualdad del hombre y la mujer, la situación de la población del tercermundo… Estas actividades y una especial atención a la educación en valores, incluida tambiénen el currículo, deben ser las bases fundamentales con las que atenderemos a los demás temastransversales.


MATEMÁTICAS 195

9. EVALUACIÓNEvaluar el proceso de enseñanza-aprendizaje en Matemáticas requiere de una profunda pla-

nificación, ya que no se trata solamente de medir los conocimientos adquiridos por nuestrosalumnos sino, también, de disponer de las fuentes fiables y necesarias que nos permitan elaborarpropuestas destinadas a favorecer el desarrollo intelectual de los mismos y corregir nuestra propiapráctica docente.

La evaluación es, por tanto, un proceso que debe incardinarse en el proyecto global del currí-culo de Matemáticas, enfocado a la construcción de aprendizajes significativos y al desarrollo delas actividades intelectuales de los alumnos. No procede, en consecuencia, definir la evaluacióncomo el resultado de una medida objetiva basada en una serie de pruebas que, en cualquier caso,son una componente más del proceso evaluativo.

La siguiente tabla comparativa nos muestra las diferencias entre los fines y objetivos de laevaluación tradicional y la que se propugna en este documento:

EVALUACIÓN TRADICIONAL EVALUACIÓN MODERNA

Solamente se evalúa a los alumnos.Se evalúan los alumnos y la labor del profesor, sumetodología y las actividades que ha desarrolladoen el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Se refleja en datos cuantitativos. Se refleja en datos cuantitativos y cualitativos.

Se basa en la respuestas de los alumnos.Además de las respuestas de los alumnos tiene encuenta, también, los procesos y los procedimien-tos que han utilizado para inferirlas.

La calificación mide lo que el alumno sabeexpresar o reproducir de forma oral o es-crita.

La calificación distingue entre lo que el alumnosabe realmente y la forma en que lo expresa.

Se evalúa solamente los contenidos especí-ficos que se han impartido a los alumnos.

Se evalúan los conocimientos, las habilidades in-telectuales y las destrezas adquiridas por los alum-nos durante el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Un aspecto importante de la evaluación, que todo profesor de Matemáticas debe de tener encuenta, es la detección de errores significativos en sus alumnos. Esta detección de errores requie-re una profunda reflexión sobre los mecanismos procedimentales que los alumnos aplican al re-solver una determinada actividad, lo que requiere de una continua interrelación entre el profesory los alumnos. Desde esta óptica, el nuevo concepto de evaluación se configura como un procesosistemático y continuo, basado en la observación y en el diálogo, que nos da información signi-ficativa sobre las componentes fundamentales del proceso global de enseñanza-aprendizaje y, enparticular, sobre nuestra tarea de docentes de manera que, en un momento determinado, podamosreconducirla. Las decisiones de evaluación deben de responder a las clásicas preguntas de:

– ¿Qué evaluar?

– ¿Cómo evaluar?

– ¿Cuándo evaluar?

– ¿Para qué evaluar?

La respuesta a la cuarta pregunta ya ha sido suficientemente contestada en la explicación queantecede a este párrafo, por tanto, intentaremos responder de forma adecuada a las otras tres.



9.1. ¿Qué evaluar?En respuesta a esta primera pregunta destacaremos que, sobre todo, convendrá establecer

unos criterios claros y precisos que nos permitan obtener información objetiva sobre:1. El aprendizaje de los alumnos, incluidos:

– Los conceptos asimilados.– Los procedimientos que son capaces de ejecutar.– Las destrezas adquiridas.– La capacidad de resolver problemas.– La capacidad para comunicarse.– La capacidad para razonar.– Las habilidades intelectuales.– Las actitudes.

2. La metodología aplicada por el profesor.3. La adecuación de los recursos utilizados y de las actividades desarrolladas en clase y

fuera de clase.4. La fiabilidad de los instrumentos de medida que utilizamos para evaluar.Si nos centramos en el aprendizaje de los alumnos, conviene matizar que:– La asimilación de los conceptos, por parte del alumno, debe de ser evaluada en relación con

la forma en que éste es capaz de reconocer y de comprender los conceptos estudiados y, enun estadio más avanzado, las estructuras y esquemas conceptuales que los engloban y rela-cionan. Esta comprensión sobrepasa la mera memorización de hechos, definiciones o pro-posiciones matemáticas e involucra otras capacidades no estrictamente memorísticas, comoson la de poder dar distintas interpretaciones de un mismo concepto, comparar conceptosdiferentes o equivalentes o conectarlos empleando esquemas y diagramas adecuados.

– La evaluación de los procedimientos requiere analizar los distintos pasos en los que sepuede descomponer el procedimiento o los procedimientos que los alumnos ponen enpráctica para ejecutar una operación, dibujar una gráfica, resolver una ecuación o realizaruna construcción geométrica, por poner unos pocos ejemplos.

– La evaluación de las destrezas implica una observación sobre la confianza y la habilidadcon que el alumno es capaz de efectuar todo tipo de cálculos numéricos directos (men-tales, manuales o con la calculadora), utilizar los recursos habituales que se utilizan enclase de Matemáticas (útiles de dibujo, calculadora, ordenador…).

– Para evaluar la capacidad de un alumno a la hora de comunicarse en términos matemá-ticos deberemos prestar atención a la claridad y la precisión del lenguaje que utiliza.En este sentido se hará un seguimiento de la forma en que expresa un concepto o cómodescribe un procedimiento determinado. De igual manera observaremos la forma en queutiliza el lenguaje matemático a la hora de argumentar o defender determinadas posturas,en situaciones de diálogo o de discusión.

– Los métodos que nos permiten evaluar la capacidad de un alumno a la hora de resolverun problema son muy variados. Entre ellos destacaremos la observación sistemática delalumno cuando se enfrenta con un problema, ya sea en solitario o en grupo, la atención alas explicaciones que el alumno da en relación con sus propios procesos mentales o sobrelas estrategias que va a utilizar en la resolución del problema…


MATEMÁTICAS 197

– La capacidad para razonar se evalúa a través de la capacidad de los alumnos para conjetu-rar, inferir, analizar, generalizar, elaborar argumentos, formular hipótesis… El razonamientotiene distintas componentes que se relacionan con las distintas áreas del currículo, así, habráalumnos que muestren una especial capacidad de razonamiento inductivo, deductivo o lógi-co que, a su vez, estará relacionado con los contenidos de aritmética, álgebra, geometría…

– En relación con las habilidades adquiridas por nuestros alumnos prestaremos atención a laforma en que utilizan sus capacidades para calcular, inferir, comunicar, imaginar, estimar,medir, analizar, organizar, crear o generalizar.

– Para calibrar las actitudes de un alumno, en relación con el aprendizaje de Matemáticas, debere-mos prestar una especial atención a la confianza que manifiesta en sus intervenciones durante eldesarrollo de las clases, su grado de participación en los debates, su curiosidad, su perseveran-cia, su capacidad de esfuerzo, el interés que pone en realizar las tareas que se les encomienda,si es ordenado y lleva el cuaderno al día o si entrega puntualmente las tareas recomendadas.

9.2. ¿Cómo evaluar?En relación con el cómo evaluar, el aprendizaje de los alumnos existen muchas técnicas que

nos permiten obtener información relevante y significativa sobre el progreso realizado por nues-tros alumnos, en relación con las características anteriormente reseñadas. Entre ellas, y sin ánimode ser exhaustivos, destacaremos las siguientes:

– Los cuestionarios.– Las entrevistas.– La autoevaluación.– La coevaluación.– El análisis y corrección de actividades en clase.– Pruebas escritas de distintos modelos: de opción múltiplo, abiertas…– Ejecución de tareas extraescolares.– Control del cuaderno de clase.– Control de faltas.– Control de conducta.

9.3. ¿Cuándo evaluar?Sobre el cuándo evaluar existen tres momentos que se corresponden con:

– La evaluación de diagnóstico: se realiza al principio del proceso de enseñanza-aprendiza-je e informa sobre el nivel de las capacidades iniciales de los alumnos, permitiendo realizarlas modificaciones pertinentes a la Programación Didáctica, para que esté en consonanciacon las necesidades generales del grupo de alumnos. Cuando, a través de la evaluaciónde diagnóstico, se detecte algún problema de mayor alcance, será necesario efectuar otrascomprobaciones (cuestionarios, entrevistas con el alumno afectado y con sus padres, in-tervención del Departamento de Orientación…) para analizar en mayor profundidad lanecesidades educativas que conllevan el problema o los problemas detectados y programarsoluciones, que se pueden traducir en las correspondientes adaptaciones curriculares.



– La evaluación formativa: se realiza a lo largo de todo el proceso de enseñanza-apren-dizaje y facilita una información puntual y periódica sobre el progreso de los alumnos.Este tipo de evaluación requiere de una cuidadosa observación del trabajo diario de losalumnos, reflejado en el cuaderno de clase, sus intervenciones para hacer propuestas,aclarar dudas, resolver actividades en la pizarra o en el pupitre solos o en grupos… Estaevaluación, además de informarnos sobre los avances de los alumnos, nos ofrece unainformación adicional sobre la eficacia de nuestra metodología, de los contenidos pro-gramados o de las actividades propuestas para realizar las oportunas modificaciones que,posteriormente, serán incorporadas a la programación de aula.

– La evaluación final: se trata de una evolución sumativa en la que se tienen en cuentanumerosos factores, que se efectúa al final de cada proceso y que informa sobre la con-secución de los objetivos propuestos. Este tipo de evaluación, que se realiza al final delperiodo lectivo, también conviene efectuarla al final de cada bloque de contenidos paraextraer conclusiones relevantes sobre la oportunidad de seguir con los demás contenidosprogramados, modificarlos o repasar los del periodo evaluado, ya que, dada la estructuracíclica de las Matemáticas, no es conveniente que los alumnos pasen de un contenido aotro sin haber afianzado, suficientemente, el primero de ellos.

10. CRITERIOS DE EVALUACIÓNLos criterios de calificación describen la forma en la que los profesores elaboramos las notas

o calificaciones de nuestros alumnos. En este apartado, obligatorio en cualquier ProgramaciónDidáctica, no hay un acuerdo ni una pauta clara sobre qué elementos del currículo tienen mayorpeso específico a la hora de aplicar una nota final.

Nuestra propuesta es la de que, a la hora de calificar, se deberán tener en cuenta todas lasobservaciones que conduzcan a medidas objetivas y subjetivas sobre el rendimiento y el grado deprogresión de los alumnos. Los criterios de calificación deben de ser conocidos por los alumnoscon la suficiente antelación, es decir, al principio de curso, y especificarán aspectos tales como:

– La actitud de los alumnos, que engloba su comportamiento, interés, motivación… y a laque algunos profesores aplican, en Bachillerato, el 10% de la nota final.

– El trabajo individual y colectivo de los alumnos, que se refiere a las tareas que hacumplimentado, la limpieza con que las ha ejecutado, las actividades en las que ha parti-cipado, el cuaderno de clase… Este apartado, en Bachillerato, supone aproximadamenteel 20% de la nota final.

– El rendimiento escolar, observado a través de preguntas de clase, autoevaluacionesy evaluaciones objetivas del profesor. Este apartado, en Bachillerato, suele ser el másvalorado ya que supone, aproximadamente, el 70% de la nota final.

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Matem%C3%A1ticas/

Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a cientos de direc-ciones, en español, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.

– http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

Página de Redemat, altamente recomendada por la cantidad y calidad de los recursos queofrece a los profesores de Matemáticas.


MATEMÁTICAS 203

– http://galeon.com/pezgris/secciones/matemat.htm

Directorio con muchos recursos matemáticos que se pueden descargar.

– http://nti.educa.rcanaria.es/ntint/matematicas/

Página con una interesante y variada colección de accesos a otras páginas de Matemáti-cas, en español y en inglés.

– http://www.satd.uma.es/matap/svera/links/

Página personal de Salvador Vera, con una colección interesante de recursos y enlaces matemáticos en español.

– http://www.matematicas.net/

El Paraíso de las Matemáticas ofrece apuntes, ejercicios, exámenes, juegos, enlaces, dic-cionario de términos y de etimología, historia y otros recursos útiles para el alumno de enseñanza media.

– http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

Interesante página personal del profesor de matemáticas Antonio Pérez.

– http://www.rinconmatematico.com/

Interesante revista electrónica de matemáticas básicas. Muy recomendable.

– http://www.xtec.es/~jcorder1/

Interesante página con enlaces y recursos para la enseñanza de las Matemáticas de Pri-maria y Secundaria.

Portales matemáticos en inglés– http://www.ams.org/

Página oficial de la sociedad americana de matemáticas (American Mathematical Socie-ty). En inglés pero de visita obligada.

– http://www.internet4classrooms.com/index.htm

Esta dirección, aunque en inglés, está recomendada para los profesores que impartan matemáticas a nivel de Primaria y Secundaria.

– http://falcon.jmu.edu/~ramseyil/math.htm

Página en inglés que contiene multitud de enlaces matemáticos a asociaciones, revis-tas, instituciones públicas y privadas, grupos de discusión, historia de las Matemáticas, didáctica, bibliografía, software… Una página muy completa de obligada visita para cualquier profesor de Matemáticas.

– http://www.ex.ac.uk/cimt/welcome.html

Página oficial de Centre for Innovation in Mathematics Teaching, dedicada, como su nombre indica, a la formación del profesorado de Matemáticas.

– http://directory.google.com/Top/Science/Math/

Directorio del conocido buscador Google, desde el que se puede acceder a miles de direc-ciones, en inglés, relacionadas con el mundo de las Matemáticas, en todos sus niveles.



PROGRAMACIÓN DE AULA. MATEMÁTICAS I.MODALIDADES: CIENCIAS DE LA SALUD Y TECNOLOGÍA

Las Matemáticas I de Bachillerato se desglosan en 14 unidades a las que hemos asignado un cómputo temporal de 35 semanas que, a razón de cuatro periodos lectivos semanales, arroja un total de 140 periodos.

Al repartir este tiempo entre las distintas unidades hemos procurado minorarlo para prever otro tipo de circunstancias, como fiestas locales, ausencias del profesor…

La secuencia de estas unidades se rige por el criterio lógico de impartir primero aquellos contenidos que nos pueden servir de apoyo para otros posteriores, respetando, en todo caso, la secuencia natural impuesta por los tres bloques de contenidos determinados por el MEC.

Al diseñar las distintas unidades hemos tenido en cuenta, no solo los contenidos mínimos ela-borados por el MEC, sino aquellas posibles aportaciones que, para completarlos, puedan añadir las distintas administraciones educativas y que, como se ha expuesto en otra parte de esta obra, pueden suponer el 45% o el 35% del currículo, dependiendo de que la comunidad tenga, o no, len-gua cooficial propia. El resultado pretende ser una programación amplia y compacta, susceptible de ser adaptada, con un mínimo de retoques, al currículo particular de cada comunidad autónoma y a las preferencias particulares de cada opositor/a. En este sentido, podemos catalogar como unidades básicas del currículo del MEC las número 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 13 y 14; las restantes unidades se han añadido en previsión de lo que aporten las distintas administraciones educativas y son susceptibles de mayor una modificación.

Recordar, por último, que todas estas previsiones deben ser consensuadas y asumidas por to-dos los miembros del departamento, y consultadas con los miembros de los demás departamentos del ámbito científico tecnológico, cuyas materias guardan una estrecha relación de interdepen-dencia con las Matemáticas.



– Emplear los números reales de forma sig-nificativa para estimar, aproximar, acotar, cuantificar e interpretar situaciones rela-cionadas con la vida real.

– Conocer y manejar con soltura las relacio-nes de orden, igualdad y equivalencia entre números reales.

– Manejar con soltura la calculadora y otros recursos tecnológicos en los cálculos aproximados con expresiones decimales, racionales e irracionales, que involucren las operaciones elementales, tomando concien-cia de los errores cometidos y realizando una adecuada valoración de los mismos.

Al término de la unidad, los alumnos deberán ser capaces de:– Calcular y simplificar expresiones combi-

nadas de fracciones.– Aproximar expresiones decimales acotan-

do el error cometido, en un contexto de re-solución de problemas numéricos.

– Determinar qué tipo de cálculo (manual, mental, con calculadora) es más adecuado ante una situación concreta.

– Operar con números reales, dados en for-ma decimal, de forma manual y con cal-culadora, en un contexto de resolución de problemas numéricos.

.../...


MATEMÁTICAS 205

.../...

.../...

– Conocer, interpretar y utilizar las propie-dades métricas de la recta real, en un con-texto de resolución de problemas.

– Conocer, relacionar y diferenciar poten-cias, raíces, y radicales de números reales,así como sus propiedades básicas.

– Conocer y aplicar las reglas que permitenlas representaciones y operaciones en no-tación científica y valorar las ventajas deesta notación, en orden a comparar y va-lorar el tamaño de los números, en un con-texto de resolución de problemas.

– Saber operar con fracciones, expresionesdecimales, potencias y raíces de númerosreales, en un contexto de resolución de pro-blemas numéricos, eligiendo, de forma ra-cional, el tipo de cálculo adecuado a cada si-tuación (mental, manual, con calculadora).

– Elaborar estrategias diferentes para la codifi-cación de la información y en el planteamien-to y resolución de problemas numéricos.

– Valorar la adecuación de un resultado nu-mérico al contexto de la situación proble-mática de la que se obtiene.

– Conocer y relacionar las distintas formasde expresar un intervalo de la recta real.

– Determinar, de forma gráfica y simbólica,el resultado de la unión o la intersección dedos intervalos de la recta real.

– Conocer, manejar y relacionar los concep-tos de distancia y valor absoluto.

– Utilizar con soltura las propiedades de laspotencias en el cálculo de potencias de basereal y exponente entero o fraccionario.

– Convertir y operar con números reales ennotación científica, de forma manual y conla calculadora científica.

– Conocer, relacionar y diferenciar los con-ceptos de raíz, radical y potencia de expo-nente fraccionario.

– Operar con radicales en forma simbólicaen los cálculos que impliquen la extraccióno introducción de factores bajo el símboloradical, la obtención de radicales semejan-tes, la multiplicación, la división, la poten-ciación y la radicación.

– Simplificar expresiones combinadas senci-llas de sumas y restas de radicales.

– Racionalizar fracciones sencillas con radi-cales en el denominador.

CONTENIDOS


– Números reales. Clasifica-ción.

– Aproximación decimal deun número real.

– Errores absoluto, relati-vo y porcentual de unaaproximación decimal.

– La recta real.– Intervalos. Tipos de inter-

valos.

– Operaciones con fracciones.– Relación entre los distin-

tos tipos de números.– Redondeo y truncamiento

de una expresión decimal.– Acotación de errores abso-

luto, relativo y porcentual.– Empleo de la calculado-

ra científica en el cálculocon expresiones decimalesaproximadas.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje numérico.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades numéricas.

– Confianza en las propiascapacidades al afrontaractividades de cálculo connúmeros reales.



.../...

– Unión e intersección deintervalos.

– Ordenación de los núme-ros reales.

– Valor absoluto. Propiedades.

– Distancia entre dos puntosde la recta real.

– Potencias de exponenteentero.

– Notación científica.

– Raíces y radicales.

– Multiplicación, división,potenciación y radicaciónde radicales.

– Radicales equivalentes

– Suma y resta de radicales.


– Representación gráfica deun número real.

– Determinación, interpre-tación y clasificación deintervalos de la recta real.

– Operaciones con interva-los de la recta real.

– Obtención de la distanciaentre dos números de larecta real.

– Cálculo procesual con po-tencias de base real y expo-nente entero o fraccionario.

– Conversión de un númeroreal a notación científica yviceversa.

– Aplicación de las reglasque permiten operar ennotación científica.

– Multiplicación, división ypotenciación de radicalesen forma simbólica.

– Introducción y extracciónde factores en un radical.

– Conversión de radicalesequivalentes.

– Simplificación de expre-siones combinadas de su-mas y restas de radicales.


– Utilización de la calculado-ra científica en operacionescon números reales.

– Reconocimiento y valora-ción crítica del manejo de lacalculadora en la resoluciónde actividades numéricas.

– Perseverancia y flexibi-lidad en la búsqueda desoluciones y estrategias enun contexto de resoluciónde problemas por métodosnuméricos.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades numéricas.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. La recta real .................................................................................... 2 sesiones

– Números racionales e irracionales.

– Aproximaciones decimales. Errores.

– El conjunto R de los números reales.


MATEMÁTICAS 207

– Representación gráfica de R. La recta real.

– Intervalos. Tipos de intervalos. Operaciones.

– Ordenación de los números reales.

– Valor absoluto de un número real.

– Distancia entre dos puntos de la recta real. Propiedades.

2. Operaciones con números reales ................................................... 3 sesiones

– Potencias de exponente entero.

– Notación científica. Operaciones.

– Raíces de índice n. Propiedades.

– Radicales. Radicales equivalentes.

– Operaciones con radicales:

* Multiplicación y división de radicales.

* Introducción y extracción de factores en un radical.

* Potencias y raíces de un radical.

* Suma y resta de radicales.

* Racionalización de fracciones con radicales.

– Racionalización de fracciones con radicales.

– Potencias de exponente fraccionario. Operaciones.


Observaciones metodológicasEn la primera parte de la unidad, y tras las actividades de exploración inicial que pueden

ocupar la mitad de una sesión, el profesor establecerá un turno de preguntas y respuestas conlos alumnos para repasar, de una forma interactiva, los conceptos y procedimientos relacionadoscon los números reales que fueron estudiados en el curso anterior. Por su especial relevancia, seprestará una especial atención a la representación gráfica de R y a las propiedades métricas de larecta real.

Al principio de la segunda parte de la unidad se propondrán actividades de repaso para queel alumno refuerce su práctica en el cálculo estimativo, mental o manual de las operaciones connúmeros decimales, aproximaciones, estimaciones y determinación de errores, así como en elmanejo de números expresados en notación científica.

Las operaciones con radicales se basarán en ejemplos sencillos buscando, sobre todo, la asi-milación de los conceptos y procedimientos.

La calculadora se utilizará para resolver expresiones combinadas de números decimales yen las conversiones y operaciones con números expresados en notación científica, y para razonarsobre los conceptos y procedimientos desarrollados en la unidad.



Unidad Didáctica 2. Ecuaciones e inecuaciones


– Conocer y utilizar de forma correcta laspropiedades y los procedimientos habitualesen las operaciones con polinomios yfracciones algebraicas.

– Conocer la Regla de Ruffini, el teoremadel resto y sus aplicaciones inmediatas, yaplicarlas en actividades relacionadas con ladescomposición factorial de los polinomios.

– Reconocer situaciones en las que se precisala utilización de ecuaciones o inecuacionespolinómicas, así como de sistemas deecuaciones o inecuaciones lineales con dosincógnitas, en un contexto de resolución deproblemas.

– Resolver ecuaciones e inecuaciones polinómicas de primer o de segundo grado, siendoconscientes de la necesidad de comprobar lasolución obtenida para verificar la fiabilidad delproceso seguido en la resolución.

– Conocer y aplicar la relación existenteentre los coeficientes de una ecuacióncuadrática y sus soluciones, en un contextode resolución de problemas.

– Interpretar, representar y resolver de formagráfica y algebraica, sistemas de ecuacioneslineales con dos incógnitas, eligiendo elmétodo de resolución más adecuado a lasituación planteada.

– Conocer el método de Gauss y aprender autilizarlo en la resolución de sistemas deecuaciones lineales sencillos.

– Interpretar y resolver, de manera gráfica,inecuaciones lineales y sistemas deinecuaciones con dos incógnitas.

– Resolver problemas por métodos algebraicos,identificando datos conocidos, desconoci-dos (incógnitas) e irrelevantes; planteando laecuación o el sistema de ecuaciones adecua-do y siendo conscientes de la racionalidad delproceso seguido en la resolución y de la nece-sidad de comprobar los resultados finales.


– Operar con polinomios.

– Conocer y manejar la regla de Ruffini y elteorema del resto.

– Calcular las raíces enteras de un polinomioy su descomposición factorial.

– Calcular el MCD y del mcm de dospolinomios fáciles de factorizar.

– Simplificar expresiones combinadas condos o tres fracciones algebraicas sencillas.

– Resolver ecuaciones de primer grado y desegundo grado con una incógnita.

– Resolver ecuaciones bicuadradas, racionaleso con radicales sencillas que sean fácilmentereducibles a ecuaciones de primer o desegundo grado e interpretar la validez desus soluciones.

– Interpretar la resolubilidad de una ecuacióncuadrática a partir del análisis de sudiscriminante.

– Relacionar los coeficientes de una ecuacióncuadrática y la suma y el producto de sussoluciones, en un contexto de resoluciónde problemas.

– Resolver gráfica y algebraicamente sistemaslineales de dos ecuaciones con dosincógnitas por el método que sea másadecuado.

– Aplicar el método de Gauss para resolversistemas sencillos de ecuaciones linealescon dos o más incógnitas.

– Analizar la compatibilidad de un sistemade dos ecuaciones lineales con dos incóg-nitas, a partir de su representación gráficay del estudio de la proporcionalidad de loscoeficientes de sus incógnitas y de sus tér-minos independientes.

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MATEMÁTICAS 209

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– Perseverar en la búsqueda de estrategias per-sonales para resolver problemas susceptiblesde ser resueltos por métodos algebraicos.

– Resolver problemas sencillos basados enla resolución de ecuaciones de primer o se-gundo grado y en sistemas de dos ecuacio-nes lineales con dos incógnitas.

– Resolver inecuaciones y sistemas de dosinecuaciones de primer grado con unaincógnita y coeficientes enteros o racio-nales e interpretar gráficamente sus solu-ciones.

– Resolver inecuaciones de segundo gradocon una incógnita, sencillas de factorizar,e interpretar gráficamente sus soluciones.

– Resolver inecuaciones lineales sencillascon dos incógnitas e interpretar de maneragráfica sus soluciones.

– Resolver sistemas de dos inecuaciones li-neales sencillas con dos incógnitas e inter-pretar de manera gráfica sus soluciones.

– Utilizar las inecuaciones polinómicas deprimer y segundo grado con una incógni-ta o los sistemas de inecuaciones linealescon dos incógnitas para plantear y resolversencillos problemas relacionados con elentrono de los alumnos.

CONTENIDOS


– El conjunto R[x].– Adición, multiplicación y

división de polinomios.– Identidades notables.– Algoritmo de la división.– Regla de Ruffini.– Teorema del resto.– Divisores y múltiplos de

un polinomio.– MCD y mcm de dos o más

polinomios.– Fracciones algebraicas.– Fracciones algebraicas

equivalentes.

– Cálculo y simplificaciónde operaciones combina-das con polinomios.

– Esquematización procesualde la división entre polino-mios.

– Determinación y cálculode las raíces enteras de unpolinomio.

– Factorización de un poli-nomio.

– Obtención del MCD y delmcm de dos o más polino-mios.

– Simplificación y amplifi-cación de fracciones alge-braicas.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje algebraico pararepresentar o interpretarsituaciones y problemasde la vida cotidiana y delámbito científico.





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– Adicción, multiplicación,potenciación y división defracciones algebraicas.

– Ecuaciones. Tipos.– Fórmula de la ecuación

cuadrática.– Suma y producto de las

soluciones de una ecua-ción cuadrática.

– Factorización de una ecua-ción cuadrática.

– Ecuaciones polinómicasde grado mayor que dos.

– Ecuaciones bicuadradas.– Ecuaciones con fracciones

algebraicas.– Ecuaciones con radicales.– Sistemas de ecuaciones li-

neales con dos incógnitas.– Sistemas de ecuaciones

equivalentes.– Compatibilidad de un sis-

tema de dos ecuaciones li-neales con dos incógnitas.

– Sistemas de ecuaciones nolineales.

– Inecuaciones. Tipos.– Inecuaciones lineales con

una incógnita. Conjuntosolución.

– Sistemas de inecuacioneslineales con una incógnita.

– Inecuaciones con produc-tos o cocientes.

– Inecuaciones cuadráticascon una incógnita.

– Inecuaciones lineales condos incógnitas.

– Sistemas de dos inecuacio-nes lineales.

– Sistemas de tres inecuacio-nes lineales.

– Operaciones combinadasde fracciones algebraicas.

– Resolución de ecuacionesde primer grado.

– Obtención y aplicación dela fórmula de la ecuacióncuadrática.

– Discusión de una ecuacióncuadrática.

– Resolución de ecuacionesbicuadradas.

– Resolución de ecuacionescon radicales.

– Resolución general de ecua-cionespolinómicassencillasde grado mayor que dos.

– Resolución de sistemas deecuaciones lineales con dosincógnitas por sustitución.

– Aplicación del método deGauss en la resolución de sis-temas de ecuaciones lineales.

– Interpretación gráfica de unsistema de ecuaciones li-neales con dos incógnitas.

– Estudio de la compatibili-dad de un sistema de ecua-ciones lineales con dosincógnitas.

– Resolución de sistemas deecuaciones no lineales.

– Resolución de inecuacioneslineales con una incógnita.

– Resolución de un sistemade dos inecuaciones linea-les con una incógnita.

– Transformación de una ine-cuación producto o cocien-te en un sistema de dos ine-cuaciones lineales con unaincógnita.

– Resolución de inecuacio-nes cuadráticas con unaincógnita.

– Confianza y autoestimasobre las propias capaci-dades a la hora de afrontarproblemas y realizar cál-culos algebraicos.


MATEMÁTICAS 211

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– Resolución de inecuacioneslineales con dos incógnita.

– Resolución de sistemas condos o tres inecuaciones li-neales con una incógnita.

– Interpretación gráfica delconjunto solución de unainecuación o de un sistemade inecuaciones.

– Elaboración de una ine-cuación o de un sistema deinecuaciones a partir delenunciado concreto de unproblema.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Polinomios ....................................................................................... 2 sesiones

– El conjunto R[x].

– Operaciones con polinomios.

– Identidades notables.

– El teorema del resto. Aplicaciones.

– Descomposición factorial de un polinomio.

– Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

2. Fracciones algebraicas ................................................................... 2 sesiones

– Concepto de fracción algebraica.

– Fracciones algebraicas equivalentes.

– Operaciones con fracciones algebraicas.

3. Ecuaciones y sistemas ..................................................................... 3 sesiones

– Concepto de ecuación.

– Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.

– Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos. Ecuaciones bicuadradas.

– Ecuaciones con fracciones algebraicas.

– Ecuaciones con radicales.

– Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Estudio de la compatibilidady resolución gráfica y algebraica.

– Resolución de un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss.

– Sistemas de ecuaciones no lineales.


4. Inecuaciones y sistemas .................................................................. 3 sesiones

– Inecuaciones con una incógnita:

* Inecuaciones de primer grado.

* Sistemas de inecuaciones lineales.

* Inecuaciones cuadráticas.

– Inecuaciones con dos incógnitas:

* Inecuaciones lineales.

* Sistemas de inecuaciones lineales.


Observaciones metodológicasEn esta unidad se hace un repaso general de los contenidos algebraicos (polinomios, frac-

ciones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones) que seestudiaron en el curso anterior. Dada la amplitud de contenidos de esta unidad, este repaso deberáser bastante ágil, dedicando un especial interés a las actividades relacionadas con el teorema delresto y sus aplicaciones, orientadas a la descomposición factorial de un polinomio, que permitirána los alumnos avanzar con mayor rapidez y seguridad en el manejo de fracciones algebraicas, enla resolución de ecuaciones e inecuaciones polinómicas y en el posterior estudio de las funcionespolinómicas y racionales.

Se otorgará una mayor importancia, de cara a su generalización en el curso siguiente, al es-tudio de los sistemas de ecuaciones e inecuaciones lineales. En este sentido se procurará que losalumnos se familiaricen con el método de Gauss, que aplicarán sin formalizar a ejemplos senci-llos de sistemas lineales con más de dos ecuaciones o más de dos incógnitas.

Unidad Didáctica 3. Trigonometría plana


– Conocer y manejar el concepto de ángulocualesquiera, en sus distintas unidades demedida, así como las fórmulas usuales dela trigonometría plana elemental.

– Razonar sobre figuras y formas geomé-tricas que no vengan asociadas a soportesmanipulables.

– Utilizar la calculadora científica y otrosrecursos informáticos de manera racionalpara la obtención de datos, cálculos y resul-tados, angulares y lineales, en problemasrelacionados con la trigonometría plana.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Operar con ángulos expresados en forma

sexagesimal, centesimal o en radianes, deforma manual o con la calculadora científica.

– Conocer las razones trigonométricas de losángulos notables y los procedimientos se-guidos en la obtención de las mismas.

– Conocer las fórmulas del seno, coseno ytangente de la suma y la diferencia de dosángulos y aplicarlas en la resolución de pro-blemas sencillos de cálculo trigonométrico.

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MATEMÁTICAS 213

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– Conocer y utilizar sencillos aparatos demedida angular y lineal, como cintas mé-tricas, teodolitos, transportadores angu-lares, reglas… que posibiliten los cálcu-los trigonométricos en medidas directasefectuadas, bien sobre el terreno o sobreun croquis o representación gráfica de lasituación trigonométrica que se pretenderesolver.

– Decidir sobre el tipo de medida, directa oindirecta, y cálculos, exactos o aproxima-dos, que sean más convenientes en funcióndel fenómeno o de la actividad a los que seapliquen, en un contexto de resolución deproblemas de trigonometría plana.

– Valorar y analizar las estrategias emplea-das ante una situación concreta o en uncontexto de resolución de problemas rela-tivos a la trigonometría plana, a la vista delos resultados obtenidos y la utilidad de losmismos.

– Conocer las fórmulas fundamentales de latrigonometría que ligan el seno, el cosenoy la tangente de un ángulo y utilizarlas consoltura en la resolución de sencillos pro-blemas que requieran de la transformaciónde una expresión trigonométrica.

– Conocer las fórmulas del seno, cosenoy tangente del ángulo doble y del ángulomitad y aplicarlas para resolver problemassencillos de cálculo trigonométrico.

– Conocer las relaciones entre las sumas (olas diferencias) y los productos de las ra-zones trigonométricas y aplicarlas en la re-solución de problemas sencillos de cálculotrigonométrico.

– Utilizar las razones trigonométricas para cal-cular elementos desconocidos de un triángu-lo rectángulo a partir de otros conocidos.

– Utilizar la calculadora científica para hallarlas razones trigonométricas de un ángulodado y el valor de un ángulo del que se co-noce una de sus razones trigonométricas.

– Mostrar un conocimiento suficiente de lacircunferencia goniométrica que permitala representación gráfica de las razones tri-gonométricas de un ángulo o la represen-tación aproximada de éste a partir de unarazón dada.

– Conocer y utilizar, de forma razonada, lasrelaciones entre las razones trigonométri-cas de ángulos cualesquiera y las de losángulos del primer cuadrante de la circun-ferencia goniométrica.

– Conocer los teoremas del seno y del cosenoy aplicarlos en problemas relacionados conla resolución de triángulos cualesquiera.

CONTENIDOS


– Concepto de ángulo.– Ángulos orientados.– Unidades de medida sexa-

gesimales, centesimal yradianes.

– Utilización de la calcula-dora científica en los cál-culos trigonométricos.

– Reconocimiento y valo-ración de la utilidad de lamedida para transmitir in-formaciones precisas rela-tivas al entorno.

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– Razones trigonométricasde un ángulo agudo.

– Fórmula fundamental dela trigonometría.

– Seno y coseno de ánguloscomplementarios.

– Razones trigonométricasde ángulos notables.

– La circunferencia gonio-métrica.

– Razones trigonométricasde ángulos cualesquiera.

– Razones trigonométricasde 0º, 90º, 180º y 360º.

– Relaciones entre las razo-nes trigonométricas de án-gulos situados en distintoscuadrantes de la circunfe-rencia goniométrica.

– Razones trigonométricasde la suma y la diferenciade dos ángulos.

– Razones trigonométricasdel ángulo doble y del án-gulo mitad.

– Relación entre la suma delas razones trigonométri-cas y sus productos.

– Teorema del seno.– Teorema del coseno.

– Conversiones y operacio-nes con magnitudes angu-lares expresadas en formasexagesimal, centesimal yen radianes.

– Determinación de razonestrigonométricas en fun-ción de los valores cono-cidos de otras mediante laaplicación de las fórmulastrigonométricas.

– Transformación y simpli-ficación de expresionestrigonométricas.

– Utilización de la circun-ferencia goniométrica enla obtención de relacionestrigonométricas de ángulosde distintos cuadrantes.

– Resoluciónde triángulos rec-tángulos y no rectángulos.

– Cuidado y precisión en eluso de los diferentes instru-mentos de medida y en larealización de mediciones.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, limpie-za) en la realización de ac-tividades trigonométricas.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades a lahora de afrontar problemasrelativos a cálculos trigo-nométricos.

– Perseverancia y flexibili-dad en la búsqueda de so-luciones y estrategias, enun contexto de resoluciónde problemas de trigono-metría plana.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Razones trigonométricas ................................................................ 4 sesiones

– Ángulos. Orientación de ángulos.

– Sistemas de medida de ángulos:

* Sistema sexagesimal.

* Sistema centesimal.

* Radianes.

– Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

– Relaciones entre las razones trigonométricas.


MATEMÁTICAS 215

– Razones de ángulos notables.

– Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera:* La circunferencia goniométrica.* Reducción al primer cuadrante.* Relación entre razones de distintos cuadrantes.

– Identidades trigonométricas:* Razones trigonométricas de la suma y la diferencia de dos ángulos.* Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad.* Transformación de sumas y diferencias de razones trigonométricas en productos.

2. Resolución de triángulos ................................................................ 5 sesiones– Resolución de un triángulo rectángulo.– Teorema del seno.– Teorema del coseno.– Resolución de triángulos cualesquiera.– Resolución de problemas trigonométricos.


Observaciones metodológicasEn esta unidad se repasan y completan los contenidos de trigonometría que se estudiaron

en cuarto curso de ESO. El concepto de ángulo se dará en su versión generalizada a partir delgiro de una semirrecta, con lo que se accederá al concepto de ángulo orientado de cualquier am-plitud, positiva o negativa. Una vez afianzadas las distintas unidades de medida (sobre todo lassexagesimales y los radianes) y sus relaciones, se practicará con la calculadora científica paraque los alumnos vayan habituándose a utilizarla en los cálculos trigonométricos. Con objeto deconcentrar y agilizar las explicaciones sobre el manejo de la calculadora científica nos pareceaconsejable que todos los alumnos dispongan de un mismo modelo.

El concepto de razón trigonométrica se desarrollará en la forma usual, es decir, a partir de lostriángulos rectángulos para, posteriormente, ampliarla utilizando el referente de la circunferenciagoniométrica, cuyo estudio nos parece esencial, sobre todo en las actividades relacionadas con lasrelaciones entre razones de ángulos situados en distintos cuadrantes. El final de esta primera parte esmuy denso y debe de graduarse en función del nivel del alumnado, ya que trataremos de obtener, deforma razonada, las formulaciones usuales de la trigonometría elemental, que serán aplicadas en loscálculos de reducción o conversión de expresiones trigonométricas y en la resolución de triángulos.

La segunda parte de la unidad es de carácter eminentemente práctico, ya que en ella se traba-jará con situaciones problemáticas planteadas en torno a la métrica de los triángulos rectángulosy no rectángulos, en diferentes contextos. Los cálculos trigonométricos de ángulos no notables serealizarán con la ayuda de la calculadora.

En esta segunda parte se puede proponer alguna actividad práctica de cálculos trigonométri-cos (medir la altura de un árbol, un edificio, la anchura de una rambla …) que los alumnos puedanrealizar con la ayuda de algún instrumento de medida, como el teodolito, fuera de la clase.


216 CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA.../...

Unidad Didáctica 4. Geometría analítica


– Reconocer y diferenciar los distintos tiposde vectores planos, fijos y libres, identifi-cando los atributos y propiedades que loscaracterizan.

– Conocer el concepto de espacio vectorialde los vectores libres del plano, V2, y uti-lizarlo para iniciarse en el concepto de de-pendencia lineal y en sus procedimientoselementales.

– Operar con vectores libres del plano, a par-tir de sus representaciones gráficas o desus coordenadas.

– Relacionar los vectores libres del planocon los puntos del plano cartesiano y uti-lizar estas relaciones para iniciarse en losprocedimientos básicos de la geometríaanalítica del plano.

– Conocer el concepto de producto escalar,así como sus propiedades elementales, yutilizarlo en cálculos métricos de distan-cias y ángulos.

– Entender y valorar la precisión que, en ladescripción y orientación de los elementosbásicos del plano, aporta la identificaciónde sus puntos con las coordenadas.

– Valorar la precisión del álgebra para deter-minar y describir ciertas figuras del planocartesiano.

– Conocer los elementos básicos que permi-ten la determinación de una recta y, a partirde ellos, dibujarla en el plano cartesiano yobtener sus distintas ecuaciones.


Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Distinguir entre vectores fijos y vectores

libres, definiendo los atributos que los ca-racterizan.

– Sumar, restar y multiplicar por escalareslos vectores libres del plano representados,gráficamente, por flechas orientadas.

– Reconocer cuándo dos vectores libres for-man una base de V2 y utilizarla para asignarcoordenadas a los vectores de este espaciovectorial.

– Sumar, restar y multiplicar por escalareslos vectores libres del plano representadospor sus coordenadas.

– Construir combinaciones lineales de dos omás vectores a partir de sus representacio-nes gráficas o de sus coordenadas.

– Conocer el concepto de producto escalary aplicarlo, así como sus propiedades y suinterpretación gráfica.

– Conocer los conceptos de base ortogonal yde base ortonormal y utilizarlos para hallarla expresión analítica del producto escalarde dos vectores.

– Identificar las componentes, puntuales yvectoriales, que determinan un sistema dereferencia cartesiano.

– Describir el vector de posición de un puntodel plano cartesiano y las relaciones queligan los vectores libres con los puntos delplano cartesiano.

– Dibujar una recta en el plano cartesiano apartir de dos puntos, de un punto y un vec-tor o de un punto y del ángulo que formacon el semieje positivo de abscisas.

– Calcular las distintas ecuaciones de unarecta, conocidos dos puntos de la misma,un punto y un vector director o un punto ysu pendiente.

– Relacionar las distintas ecuaciones quepueden tener una misma recta y saber pasarde una a otra.



– Interpretar geométricamente los coeficien-tes de la ecuación de una recta.

– Razonar sobre las posibles opciones,geométricas o algebraicas, que plantean laposición relativa de dos rectas en el planocartesiano.

– Utilizar el producto escalar para calcularel módulo de un vector, la distancia entrepuntos y rectas, así como el ángulo que for-man dos vectores o dos rectas.

CONTENIDOS


– Vectores fijos y vectores li-bres del plano.

– Atributos de un vector.– Suma y diferencia de vecto-

res. Regla del paralelogramo.– Producto de un número por

un vector– Dependencia lineal entre

vectores– Combinación lineal de vec-

tores.– El espacio vectorial de los

vectores del plano: V2.– Concepto de base. Bases

ortogonales y bases orto-normales.

– Coordenadas de un vector.Operaciones con coorde-nadas vectoriales.

– Producto escalar de dos vec-tores. Interpretación geomé-trica.

– Propiedades del productoescalar.

– Expresión analítica delproducto escalar.

– Sistema de referencia delplano cartesiano

– Reconocimiento de los atri-butos que distinguen a unvector fijo y a un vector libre.

– Representación gráfica devectores a partir de susatributos.

– Representación gráfica dela suma y la resta de dosvectores y del producto deun vector por un número.

– Representación gráfica deuna combinación lineal devectores.

– Asignación de coordena-das vectoriales asociadas auna base.

– Cálculo de las coordenadasde una combinación linealde vectores.

– Establecimiento de rela-ciones entre los puntos delplano cartesiano y los vec-tores libres.

– Cálculo algebraico delmódulo de un vector.

– Cálculo del ángulo queforman dos vectores.

– Obtención razonada de lasecuaciones de una recta apartir de dos puntos o deun punto y un vector.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad de lageometría analítica para re-presentar o interpretar situa-ciones geométricas y proble-mas de la vida cotidiana.

– Flexibilidad para enfrentar-se a situaciones geométri-cas desde distintos puntosde vista.

– Sensibilidad y gusto por larealización sistemática ypresentación cuidadosa yordenada de trabajos geométricos.

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– Vector de posición de unpunto.

– Relación entre las coorde-nadas de un vector y lospuntos que lo determinan.

– Ecuaciones de la recta.– Posición relativa de dos

rectas.– Distancia entre dos puntos

del plano.– Distancia entre un punto y

una recta.– Distancia entre dos rectas.– Ángulodeterminadopordos

rectas.

– Estudio de la posición re-lativa de dos rectas.

– Cálculo de la distancia entredos puntos, un punto y unarecta o entre dos rectas.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. El espacio vectorial V2 .................................................................... 3 sesiones

– Vectores fijos y vectores libres.– Operaciones con vectores libres.– Dependencia lineal entre vectores.– Concepto de base. Bases ortogonales y ortonormales.– Coordenadas de un vector.– Operaciones con coordenadas vectoriales.

2. Producto escalar ............................................................................ 2 sesiones– Producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica.– Propiedades del producto escalar.– Expresión analítica del producto escalar.– Ángulo que forman dos vectores.

3. El plano cartesiano ......................................................................... 6 sesiones– Sistemas de referencia del plano cartesiano.– Vector de posición de un punto.– Relación entre las coordenadas de puntos y vectores.– Elementos que determinan una recta.– Ecuaciones de la recta:

* Ecuación vectorial.* Ecuaciones paramétricas.* Ecuación continua.



* Ecuación general.* Pendiente de una recta.* Ecuación punto-pendiente.* Ecuación explícita.

– Posiciones relativas de dos rectas del plano.– Ángulo de dos rectas.– Cálculo de distancias:

* Distancia entre dos puntos.* Distancia entre un punto y una recta.* Distancia ente dos rectas.


Observaciones metodológicasLa primera parte de la unidad constituye un repaso de los contenidos relacionados con los

vectores del plano, en su doble acepción de vectores fijos y vectores libres, que deben de habersido estudiados por los alumnos en el curso anterior. El repaso requerirá de una mayor formali-zación pensando, sobre todo, en que los contenidos que ahora se estudian serán abordados, conmayor generalidad, en el próximo curso.

En la segunda parte se introduce el concepto de producto escalar que, aunque requiere de unacierta formalidad, es necesario para abordar los conceptos y procedimientos relacionados conlos cálculos métricos de ángulos y distancias. Para evitar añadir más dificultades a las inherentesa este concepto se procurará establecer, con la mayor rapidez posible, la expresión analítica delproducto escalar expresada en una base ortonormal.

En la segunda parte de la unidad se relacionan las coordenadas de un vector con las de suspuntos origen y extremo, en la forma usual, y se aplican estas relaciones para repasar la recta ysus ecuaciones. La unidad finalizará con una serie de aplicaciones típicas del producto escalar,como son la obtención del ángulo que forman dos rectas o el cálculo de las distancias entre dospuntos, entre un punto y una recta o entre dos rectas. En la medida de lo posible, se propondráque los alumnos intenten realizar estos cálculos métricos sin la ayuda del producto escalar, paraque elaboren estrategias personales que se pueden basar en otros recursos métricos estudiados encursos anteriores, como el Teorema de Pitágoras.

Unidad Didáctica 5. Lugares geométricos. Cónicas


– Conocer y aplicar el concepto de lugargeométrico del plano cartesiano como ge-nerador de ecuaciones de aquellas figurasgeométricas que, como las cónicas, puedanser interpretadas como tales.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Conocer y utilizar el concepto de lugar

geométrico del plano en la resolución deproblemas geométricos sencillos.



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– Conocer los elementos básicos que permi-ten la determinación de una cónica y, a par-tir de ellos, obtener su ecuación y dibujarlaen el plano cartesiano.


– Obtener la ecuación de la recta mediatrizde un segmento.

– Definir y diferenciar los distintos tipos decónicas, en su condición de lugares geomé-tricos del plano.

– Obtener la ecuación general de una circun-ferencia conocidas las coordenadas de sucentro y su radio y representarla.

– Discutir si una ecuación cuadrática con dosincógnitas representa a una circunferenciay, en caso afirmativo, obtener el centro y elradio de la misma.

– Calcular la potencia de un punto respectode una circunferencia.

– Determinar la ecuación del eje radical dedos circunferencias dadas.

– Hallar las coordenadas del centro radicalde tres circunferencias dadas.

– Distinguir los elementos característicos deuna elipse, una hipérbola y una parábola yobtener, a partir de ellos, sus ecuacionesreducidas.

– Obtener, a partir de la ecuación reducida deuna elipse, una hipérbola o una parábola,sus ecuaciones en distintas posiciones delplano cartesiano.

– Aplicar técnicas algebraicas para resolversencillos problemas geométricos relacio-nados con los contenidos de la unidad.

CONTENIDOS


– Lugares geométricos delplano.

– Ecuación de la mediatrizde un segmento.

– Circunferencia. Elementosde una circunferencia.

– Ecuación general de la cir-cunferencia.

– Potencia de un punto respec-to de una circunferencia.

– Obtención de la ecuación dela mediatriz de un segmento.

– Obtención de la ecuacióngeneral de una circunferen-cia de centro y radio dado.

– Obtención del centro y delradio de una circunferenciaa partir de su ecuación.

– Cálculo de la potencia deun punto respecto de unacircunferencia.

– Valorar positivamente laprecisión aportada por elálgebra cuando se aplica alestudio de curvas y figurasgeométricas representadassobre el plano cartesiano.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades geométricas yalgebraicas.


MATEMÁTICAS 221

.../...

– Eje radical de dos circun-ferencias.

– Centro radical de tres cir-cunferencias.

– Elipse. Elementos de unaelipse.

– Excentricidad de una elipse.– Ecuación reducida de una

elipse.– Hipérbola. Elementos de

una hipérbola.– Excentricidad de una hi-

pérbola.– Ecuación reducida de una

hipérbola.– Asíntotas de una hipérbola.– Hipérbola equilátera.– Parábola.Elementosdeuna

parábola.– Ecuación reducida de una

parábola.

– Obtención de la ecuacióndel eje radical de dos cir-cunferencias.

– Obtención de las coorde-nadas del centro radical detres circunferencias.

– Obtención de la ecuaciónreducida de una elipsecentrada en el origen decoordenadas.

– Obtención de la ecuación deuna elipse de centro dado.

– Clasificación de una elipse enfunción de su excentricidad.

– Obtención de la ecuaciónreducida de una hipérbolacentrada en el origen decoordenadas.

– Obtención de la ecuación deuna hipérbola de centro dado.

– Clasificación de una hipér-bola en función de su ex-centricidad.

– Determinación de las asín-totas de una hipérbola.

– Obtención de la ecuación deuna hipérbola equilátera.

– Obtención de la ecuaciónreducida de una parábolade vértice en el origen decoordenadas.

– Obtención de la ecuación deuna parábola de vértice dado.

– Perseverancia en la bús-queda de estrategias parresolver problemas geomé-tricos susceptibles de sertratados algebraicamente.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Estudio de la circunferencia .........................................................3 sesiones

– Lugar geométrico del plano.– Mediatriz de un segmento.– Ecuación de la circunferencia.– Potencia de un punto respecto de una circunferencia.– Eje radical de dos circunferencias.– Centro radical de tres circunferencias.



2. Estudio de la elipse .........................................................................2 sesiones– Elipse. Elementos de la elipse.– Ecuación reducida de la elipse.– Excentricidad de la elipse.– Ecuación de una elipse de centro dado.

3. Estudio de la hipérbola ..................................................................2 sesiones– Hipérbola. Elementos de la hipérbola.– Ecuación reducida de la hipérbola.– Excentricidad de la hipérbola.– Ecuación de una hipérbola de centro dado.– Asíntotas de la hipérbola.– Hipérbola equilátera.

4. Estudio de la parábola ..................................................................2 sesiones– Parábola. Elementos de la parábola.– Ecuación reducida de la parábola.– Ecuación de una parábola de vértice dado.


Observaciones metodológicasLos contenidos de esta unidad se han secuenciado siguiendo un orden clásico. A partir del

concepto de lugar geométrico se tratará de que los alumnos vayan comprobando cómo los distin-tos tipos de cónicas se adaptan a este modelo y, a reglón seguido, se obtendrían sus ecuaciones(reducidas en los casos de la elipse, la hipérbola y la parábola).

Aunque no es contenido de la unidad, si supone una extraordinaria ayuda utilizar algún juegode cuerpos o de figuras geométricas que los alumnos puedan manipular para localizar los elemen-tos característicos de los distintos tipos de cónicas y razonar sobre sus propiedades.

Unidad Didáctica 6. Números complejos


– Conocer la estructura de los números com-plejos y contrastarla con las de los núme-ros reales.

– Reconocer y utilizar las distintas formas derepresentación de los números complejos,en orden a establecer relaciones entre laaritmética, el álgebra y la geometría.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Reconocer e identificar, de forma signifi-

cativa, la parte real e imaginaria de un nú-mero complejo expresado en forma binó-mica.


MATEMÁTICAS 223

.../...

.../...

– Conocer las propiedades de los númeroscomplejos y aplicarlas en un contexto deresolución de problemas sencillos, adecua-dos al desarrollo cognitivo del alumnado.

– Saber operar con números complejos enlas distintas formas en que estos puedenrepresentarse.

– Elaborar estrategias propias para la codi-ficación de la información y en el plantea-miento y resolución de problemas relacio-nados con los números complejos.

– Representar gráficamente los númeroscomplejos, relacionándolos con los puntosy los vectores del plano cartesiano.

– Calcular sumas, diferencias, productos, po-tencias y cocientes de números complejos,en forma binómica.

– Saber escribir un número complejo en for-ma polar y en forma trigonométrica.

– Pasar de forma binómica a forma polar otrigonométrica y viceversa.

– Calcular productos, potencias, raíces y co-cientes de números complejos en formapolar.

– Interpretar geométricamente las raíces deun número complejo.

CONTENIDOS


– Números imaginarios.– Números complejos en

forma binómica.– Complejos conjugados.– Representación gráfica de

los números complejos.– Suma de números com-

plejos.– Complejos opuestos.– Relaciones entre opuestos

y conjugados.– Diferencia de números

complejos.– Producto de números com-

plejos.– Cociente de dos números

complejos.– Potencia de un número

complejo.– Forma polar de un número

complejo.– Forma trigonométrica de

un número complejo.

– Cálculo del conjugado ydel opuesto de un númerocomplejo.

– Cálculo de la suma de dosnúmeros complejos dadosen forma binómica.

– Cálculo de la diferenciade dos números complejosdados en forma binómica.

– Cálculo del producto de dosnúmeros complejos dadosen forma binómica.

– Cálculo del cociente dedos números complejosdados en forma binómica.

– Interpretación gráfica delas operaciones con núme-ros complejos.

– Relación entre las formasbinómica, polar y trigo-nométrica de un númerocomplejo.

– Cálculo del producto y delcociente de dos númeroscomplejos dados en formapolar.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje numérico, gráficoy algebraico para resolver,representar o interpretarsituaciones y problemasrelacionados con los nú-meros complejos.

– Adquisicióndehábitosde tra-bajo adecuados (orden, clari-dad, precisión, limpieza) enla realización de actividadessobre números complejos.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades ala hora de afrontar proble-mas relacionados con losnúmeros complejos.



.../...

– Multiplicación, división,potenciación y radicaciónde números complejos ex-presados en forma polar.

– Cálculo de la potencia n-ésima de un número com-plejo dado en forma polar.

– Cálculo de la raíz n-ésimade un número complejodado en forma polar.

– Interpretación geométricade las raíces n-ésimas deun número complejo.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Números complejos en forma binómica ....................................... 3 sesiones

– Números imaginarios.

– Números complejos. Conjugación.

– Operaciones con números complejos en forma binómica:

* Suma y diferencia de números complejos. Propiedades.

* Multiplicación de números complejos. Propiedades.

* Potencias de números complejos.

* División de números complejos.

2. Números complejos en forma polar .............................................. 3 sesiones

– Representación gráfica de los números complejos.

– Forma polar de un número complejo.

– Forma trigonométrica de un número complejo.

– Conversión de complejos.

– Operaciones con números complejos en forma polar:

* Multiplicación de complejos.

* División de complejos.

* Potencia n-ésima de un número complejo.

* Raíz n-ésima de un número complejo. Interpretación geométrica.


Observaciones metodológicasEn esta unidad se aborda el estudio de los números complejos con la intención de proporcio-

nar a los alumnos una visión completa de los distintos conjuntos de números que podrá necesitaren un futuro próximo, sobre todo si elige alguna carrera de ciencias al terminar el Bachillerato. El



objetivo principal de esta unidad es, por tanto, la de ampliar la cultura matemática de los alumnosy la de proporcionarles elementos con los que contrastar sus percepciones numéricas basadas,hasta ahora, en la utilización de los números reales.

La metodología que se sugiere se basa en los cánones clásicos que comienza por hacer unapequeña introducción histórica sobre los problemas que tuvieron los matemáticos algebristasdel Renacimiento italiano a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas que no tenían raícesreales. Una vez identificada la raíz cuadrada de –1 como la unidad imaginaria, i, se procederáa resolver algunas ecuaciones cuadráticas con soluciones complejas para que los alumnos ela-boren dichas soluciones diferenciando y dando significado a las partes reales e imaginarias delas mismas.

Las operaciones con números complejos en forma binómica se introducirán como casos par-ticulares de las de binomios de la forma a + bx, donde x = i, tiene un valor conocido. Para agilizarlos cálculos que involucren multiplicaciones, potencias o divisiones con complejos, los alumnosdeberán de practicar con el cálculo de las potencias in, de manera que sean capaces de asignarlesvalores de forma mental.

La representación gráfica de los números complejos, que se utilizará para dar sus expresionespolares, debe de servir, también, para que los alumnos comprueben la estrecha relación que existeentre partes de las Matemáticas aparentemente diferentes, como son la aritmética, el álgebra y lageometría.

Como método didáctico de gran utilidad se aconseja buscar, en cualquier actividad, la in-terpretación geométrica de las propiedades o de las operaciones que se estén efectuando. Estainterpretación, en el caso de los cálculos con potencias y raíces n-ésimas de números complejosen forma polar, nos permitirá relacionar los complejos con los vértices de los polígonos regulares,dándoles a estos últimos una visión hasta ahora desconocida para los alumnos.

Unidad Didáctica 7. Sucesiones. El número “e”


– Conocer y diferenciar los distintos tipos desucesiones numéricas y familiarizarse consu terminología específica.

– Obtener e interpretar los términos gene-rales representativos de una determinadasucesión numérica.

– Conocer las fórmulas asociadas a las pro-gresiones aritméticas y geométricas, yaplicarlas en un contexto de resolución deproblemas prácticos, asociados a otras ma-terias del currículo o al entorno cotidianodel alumno.

– Conocer el concepto intuitivo de conver-gencia y utilizarlo en la estimación y elcálculo de los límites de sucesiones numé-ricas sencillas.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Obtener el término general de una sucesión

numérica elemental, aplicando técnicas derecurrencia.

– Conocer y aplicar las fórmulas con las quese obtienen el término general de una pro-gresión, aritmética o geométrica.

– Utilizar el conocimiento del término gene-ral de una sucesión para analizar su com-portamiento.

– Estimar de forma mental o con la ayuda dela calculadora el comportamiento de unasucesión numérica sencilla en el infinito,para decidir sobre su convergencia.



.../...

– Adquirir confianza en el cálculo estructu-rado de límites de sucesiones, aplicado acasos sencillos.

– Elaborar estrategias propias en la resolu-ción de problemas relacionados con lassucesiones numéricas y sus límites.

– Calcular sumas, restas, productos, potenciasy cocientes de sucesiones numéricas senci-llas e interpretar cómo afectan estos cálculosa la convergencia de la sucesión resultante.

– Interpretar los distintos casos de indeter-minación que se pueden dar al calcular ellímite de una sucesión.

– Calcular límites de sucesiones cuyos tér-minos generales son fracciones polinómi-cas sencillas.

– Obtener e interpretar el número irracional“e” como límite de una sucesión.

– Calcular límites de sucesiones sencillas dela forma [A(n)/B(n)]Q(n), siendo A, B y Qpolinomios de grado menor que 2.

CONTENIDOS


– Sucesión numérica.

– Término general de unasucesión.

– Progresiones aritméticas.

– Progresiones geométricas.

– Límite de una sucesión.

– Sucesiones convergentes,divergentes y oscilantes.

– Operaciones con sucesio-nes: sumas, productos, po-tencias y cocientes.

– Indeterminaciones.

– El número “e”.

– Límite de una sucesiónpolinómica.

– Límite de una sucesióncuyo término general es uncociente de polinomios.

– Obtención del término ge-neral de una sucesión nu-mérica sencilla.

– Cálculo del término gene-ral de una progresión arit-mética o geométrica.

– Estimación del comporta-miento de los términos deuna sucesión en el infinito.

– Cálculo aproximado delímites con la ayuda de lacalculadora.

– Cálculo de límites de su-cesiones cuyos términosgenerales son fraccionesalgebraicas.

– Cálculo de límites de suce-siones cuyos términos son

de la formaA nB n

Q n

,

siendo A, B y Q polinomiosde grado menor que 2.

– Obtención del número “e”.

– Curiosidad por investigarpautas y regularidades ensucesiones numéricas.

– Sensibilidad, interés y va-loración crítica del com-portamiento de las suce-siones numéricas.

– Sensibilidad y gusto porla precisión, el orden y laclaridad en el tratamientosistemático de sucesionesnuméricas.


MATEMÁTICAS 227

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Sucesiones numéricas ..................................................................... 2 sesión

– Concepto de sucesión numérica.

– Término general de una sucesión.

– Progresiones aritméticas y geométricas.

2. Límite de una sucesión ................................................................... 3 sesiones

– Idea intuitiva de límite.

– Clasificación de las sucesiones:

* Sucesiones convergentes.

* Sucesiones divergentes.

* Sucesiones oscilantes.

– Operaciones con sucesiones. Indeterminaciones.

– Límite de una sucesión polinómica.

– Límite de una sucesión cuyo término general es un cociente de polinomios.

3. El número e .....................................................................................2 sesiones

– Límite de la sucesión de término general 1 1n

n

. El número “e”.

– Límite de sucesiones de la formaA nB n

Q n

, con A, B y Q polinomios de grado menorque 2.


Observaciones metodológicasAunque se comienza repasando los conceptos básicos relacionados con las sucesiones y, en

particular, con las progresiones aritméticas y geométricas, que los alumnos estudiaron en 3.º deESO, los objetivos básicos de la unidad se centran en proporcionar un primer contacto con el con-cepto de límite. El objetivo de este repaso es que los alumnos recuerden las técnicas elementalesque se utilizan para obtener el término general de una sucesión.

El concepto de límite estudiado a través de una sucesión es mucho más intuitivo y asimilablepara los alumnos, y está mucho más cerca de su concepción formal que si se introduce direc-tamente a través del comportamiento de una gráfica. Los alumnos comenzarán su proceso deacercamiento a este concepto a través de estimaciones sobre el comportamiento de los términosde una sucesión cuando “n” se hace lo suficientemente grande, estimaciones que, por otra parte,pueden ser confirmadas con la ayuda de la calculadora.

Aunque se recomienda eludir, en la medida de lo posible, cualquier tratamiento excesivamen-te formal, sí nos parece adecuado que los alumnos reflexionen sobre el significado de los casos deindeterminación que aparecen en el cálculo de límites.



En función del nivel de la clase se podrá formalizar, o no, la obtención del número “e”, como

límite de la sucesión de término general 1 1n

n

y, en cualquier caso, siempre podremos utilizarel recurso de la calculadora.

Es aconsejable que los alumnos practiquen con el cálculo de límites de sucesiones cuyostérminos generales son cocientes de polinomios, ya que este tipo de límites nos serán de granutilidad cuando se apliquen a las funciones racionales.

Unidad Didáctica 8. Funciones. Límites y continuidad


– Conocer, diferenciar y relacionar los con-ceptos de correspondencia y función y fa-miliarizarse con su terminología específica.

– Describir a través de una ecuación y de unagráfica el comportamiento general y par-ticular de un fenómeno susceptible de sertratado de forma funcional.

– Reconocer e interpretar, de forma gráficay algebraica, relaciones sencillas suscepti-bles de ser tratadas de manera funcional através de funciones polinómicas, raciona-les o irracionales que puedan aparecer enlos diferentes medios de comunicación, enactividades relacionadas con el entorno co-tidiano del alumno o que estén relaciona-das con otras áreas del ámbito científico.

– Conocer y manejar las reglas que posibili-tan las operaciones elementales entre fun-ciones.

– Elaborar y valorar estrategias diferentespara la codificación de la información através de tablas, gráficas y ecuaciones al-gebraicas, en orden al planteamiento y re-solución de problemas relacionados con elentorno cotidiano del alumno y las demásáreas del currículo.

– Conocer el concepto de límite funcional yutilizarlo para analizar el comportamientode una gráfica.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Analizar y construir sencillos ejemplos en

los que se muestren diferentes tipos de co-rrespondencias, distinguiendo, de manera ra-zonada, las funcionales de las que no lo son.

– Interpretar las relaciones funcionales de-rivadas de tablas, enunciados, gráficas yecuaciones algebraicas sencillas.

– Construir e interpretar gráficas de las fun-ciones elementales que se representan me-diante rectas, parábolas e hipérbolas o me-diante trozos de éstas.

– Estudiar las propiedades característicasde las funciones polinómicas, racionales eirracionales a partir de sus ecuaciones y desus gráficas.

– Utilizar con soltura las reglas que permitensumar, restar, multiplicar y dividir funcio-nes elementales.

– Saber construir la ecuación de una funciónque es composición de otras, razonando elprocedimiento empleado en el proceso.

– Saber dibujar la gráfica de la función in-versa de una dada a partir de la de esta últi-ma por simetría con respecto de la bisectrizdel primer cuadrante del plano cartesiano.

– Calcular e interpretar gráficamente el lími-te lateral de una función en un punto.

– Calcular límites de funciones racionales eirracionales cuando x se aproxime a un va-lor dado o al infinito.

.../...


MATEMÁTICAS 229

.../...

– Utilizar el concepto de límite para estudiarla continuidad y las asíntotas de las funcio-nes racionales sencillas.

CONTENIDOS


– Correspondencias y funcio-nes. Terminología básica.

– Dominio y recorrido deuna función.

– Propiedades gráficas deuna función: monotonía,puntos extremos, simetríasy continuidad.

– Suma y resta de funciones.– Multiplicación y división

de funciones.– Composición de funciones.– Funciones inversas.– Límite de una función.– Límites laterales.– Límites en el infinito.– Límites infinitos.– Continuidad de una fun-

ción en un punto.– Asíntotas de una función.

– Representación gráfica deuna función dada a partirde un enunciado verbal, deuna tabla o de una sencillaecuación.

– Cálculo del dominio y delrecorrido de una funciónrepresentada mediante unagráfica.

– Cálculo del dominio y elrecorrido de una funciónpolinómica, racional oirracional sencilla.

– Obtención de la ecuaciónde una función que essuma, resta, producto ocociente de otras.

– Obtención de la ecuaciónde una función que escomposición de otras dos.

– Determinación de la gráficade la función inversa de otra.

– Estudio gráfico de la mo-notonía, extremos, sime-trías y periodicidad de unafunción.

– Cálculo e interpretaciónde los límites laterales deuna función en un punto.

– Construcción gráfica e inter-pretación de las funcionesconstruidas por intervalos.

– Cálculo de límites en elinfinito de funciones ra-cionales.

– Utilización del concepto delímite para estudiar los pun-tos de discontinuidad y lasasíntotas de una función.

– Valoración de la preci-sión, simplicidad y utili-dad del lenguaje gráfico yalgebraico para resolver,representar o interpretarrelaciones funcionales.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades funcionales.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades ala hora de afrontar proble-mas relativos a funciones.

– Perseverancia y flexibi-lidad en la búsqueda desoluciones y estrategias enun contexto de resoluciónde problemas sobre fun-ciones y gráficas.




Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Concepto de función ....................................................................... 4 sesiones

– Funciones reales de variable real.

– Formas de expresar una función.

– Dominio y recorrido de una función.

– Propiedades gráficas de las funciones:

* Signo de la función.

* Monotonía.

* Puntos extremos.

* Simetrías.

* Periodicidad.

* Continuidad.

– Operaciones con funciones:

* Adición y multiplicación de funciones.

* Composición de funciones.

– Funciones inversas.

2. Limites de funciones ....................................................................... 6 sesiones

– Concepto intuitivo de límite.

– Límites infinitos y límites en el infinito.

– Límites laterales de una función en un punto:

* Aplicación a las funciones definidas por intervalos.

– Límite de una función en un punto. Cálculo de límites:

* Continuidad de una función en un punto.

* Asíntotas de una función racional.


Observaciones metodológicasEn la primera parte de la unidad se repasan los conceptos y procedimientos elementales de

las funciones que los alumnos han estudiado en cursos anteriores. La metodología se basará en lautilización de razonamientos intuitivos, basados en ejemplos concretos. En esta primera parte sehará un recorrido rápido de las propiedades gráficas de las funciones, apoyado en algunos ejem-plos que tengan relación con el entorno cotidiano de los alumnos. Se trata de que éstos refresquenlas ideas de años anteriores y se preparen para el proceso de formalización que se iniciará en lasegunda parte de la unidad.



En la segunda parte, antes de formalizar el concepto de límite se hará una presentación infor-mal del mismo, a través de ejemplos gráficos previamente seleccionados. Estos mismos ejemplosdeben de servir para que los alumnos den significado a los demás contenidos de esta segundaparte de la unidad (límites laterales, límites en el infinito y límites infinitos, continuidad de unafunción en un punto…), aplicados a las funciones elementales (polinómicas, racionales e irracio-nales). El cálculo estructurado de límites se apoyará en la experiencia previa que los alumnos hanacumulado al trabajar con los límites de sucesiones.

En la tercera parte de la unidad se utilizará el concepto de límite para estudiar algunas de laspropiedades características de las funciones polinómicas, racionales e irracionales o a “trozos”,como la continuidad o las asíntotas. Se tratará de que los alumnos encuentren una utilidad prác-tica para el concepto de límite que les permita realizar un esbozo aproximado de sus gráficas, sinentrar en otros ajustes que se dejan para la unidad 10.

Unidad Didáctica 9. Funciones exponenciales,logarítmicas y trigonométricas


– Traducir del lenguaje algebraico al gráfi-co ecuaciones de funciones exponenciales,logarítmicas y trigonométricas sencillas,mediante distintas técnicas: tablas de va-lores, calculadora, conocimientos previossobre trigonometría, límites…

– Interrelacionar las gráficas de las funcio-nes exponenciales y logarítmicas de igualbase y describir e interpretar gráficamentesus propiedades características.

– Describir e interpretar gráficamente laspropiedades de las funciones trigonométri-cas elementales.

– Utilizar la calculadora científica en la va-loración y conversión de datos relativos almanejo de funciones exponenciales, loga-rítmicas y trigonométricas sencillas.

– Resolver sencillos problemas de la vidacotidiana o relacionados con el conoci-miento científico del alumno que puedaninterpretarse en términos de ecuacionesexponenciales, logarítmicas o trigonomé-tricas sencillas.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Detectar e interpretar situaciones de cre-

cimiento y decrecimiento exponencial ex-traídas de los medios de comunicación, detipo científico o relacionadas con la vidacotidiana de los alumnos.

– Resolver actividades sencillas relacionadascon las operaciones de logaritmos.

– Representar las gráficas de las funciones expo-nenciales y logarítmicas elementales, estable-ciendo comparaciones y razonando adecuada-mente sobre sus analogías y diferencias.

– Saber distinguir a través de la gráfica eltipo de función, exponencial o logarítmica,que ésta representa.

– Reconocer determinadas propiedadesfuncionales (dominio, rango, crecimien-to, valores extremos, continuidad, asín-totas, periodos... ) a partir del análisis dela gráfica correspondiente a una funciónexponencial, logarítmica o trigonomé-trica sencilla.

– Saber manejar adecuadamente la calcula-dora científica en las operaciones y cálcu-los relacionados con las funciones expo-nenciales, logarítmicas y trigonométricas.



.../...

– Manejar con soltura los criterios y algo-ritmos asociados al cálculo exponencial ylogarítmico, en un contexto de resoluciónde problemas.

– Resolver sencillas ecuaciones exponencialesy logarítmicas mediante su conversión a otraspolinómicas de primer o de segundo grado.

– Hallar el conjunto de soluciones de una ecua-ción trigonométrica sencilla y determinar lasque corresponden a un intervalo dado.

CONTENIDOS


– Funciones exponenciales.Propiedades.

– Funciones logarítmicas. Pro-piedades.

– Ecuaciones exponenciales.– Ecuaciones logarítmicas.– La función trigonométrica

y = senx. Propiedades.– La función trigonométrica

y = cosx. Propiedades.– La función trigonométrica

y = tgx. Propiedades.– La función y = arcsenx.

Propiedades.– La función y = arccosx.

Propiedades.– La función y = arctgx.

Propiedades.

– Utilización de la calculado-ra científica en los cálculosexponenciales, logarítmi-cos y trigonométricos.

– Construcción de la gráficade una función exponencialde ecuación y = ax, con a > 0.

– Construcción de gráficascorrespondientes a fun-ciones logarítmicas, porsimetría de las de las fun-ciones exponenciales.

– Reconocimiento e inter-pretación de las propieda-des gráficas de las funcio-nes exponenciales y loga-rítmicas elementales.

– Resolución de ecuacionesexponenciales o logarítmi-cas por conversión a ecua-ciones polinómicas de pri-mer o de segundo grado.

– Construcción de las gráfi-cas de las funciones seno,coseno y tangente.

– Reconocimiento e inter-pretación de los periodosy demás propiedades grá-ficas de las funciones tri-gonométricas elementales.

– Resolución de ecuacionestrigonométricas.

– Reconocimiento y valora-ción crítica de la utilidadde la calculadora y otrosinstrumentos para la rea-lización de cálculos confunciones exponenciales,logarítmicas y trigonomé-tricas.

– Confianza en las propiascapacidades para afrontarla solución de un proble-ma susceptible de ser in-terpretado en términos ex-ponenciales, logarítmicoso trigonométricos.


MATEMÁTICAS 233

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Funciones exponenciales ................................................................ 3 sesiones

– Concepto de función exponencial:

* Estudio de la función y = ax, con a > 1.

* Estudio de la función y = ax, con 0 < a < 1.

– Aplicaciones de las funciones exponenciales.

– Ecuaciones exponenciales.

2. Funciones logarítmicas .................................................................. 3 sesiones

– Logaritmos. Tipos de logaritmos.

– Operaciones con logaritmos. Propiedades.

– Concepto de función logarítmica:

* Estudio de la función y = loga,x, con a > 1.

* Estudio de la función y = loga,x, con 0 < a < 1.

– Aplicaciones de las funciones logarítmicas.

– Ecuaciones logarítmicas.

3. Funciones trigonométricas ............................................................ 3 sesiones

– Concepto de función trigonométrica:

* Estudio de la función y = sen x.

* Estudio de la función y = cos x.

* Estudio de la función y = tg x.

– Funciones trigonométricas inversas.

– Ecuaciones trigonométricas


Observaciones metodológicasEl concepto de función exponencial se deducirá a partir del de progresión geométrica y se

fundamentará en ejemplos relacionados con la educación medioambiental. El estudio se limitaráa los casos elementales de funciones exponenciales de la forma y = ax.

Antes de estudiar la función logarítmica se deberá dedicar un cierto tiempo a trabajar sobreel concepto de logaritmo, sus operaciones y propiedades elementales. El tiempo que los alumnosdediquen a esta tarea dependerá de que estos contenidos hayan sido estudiados durante el cursoanterior. La función logarítmica se estudiará siguiendo el mismo esquema que se aplique a lafunción exponencial de igual base. En la elaboración de las gráficas de las funciones logarítmicas,además de la calculadora, se utilizará el método de simetrización de las funciones inversas conrespecto a la bisectriz del primer cuadrante.



En la tercera parte de la unidad se estudiarán las tres funciones trigonométricas elementales:seno, coseno y tangente, con la ayuda de la calculadora científica y de la circunferencia goniomé-trica. Utilizando técnicas de simetrización de elaborarán y analizarán las gráficas de sus funcio-nes inversas: arcoseno, arcocoseno y arcotangente.

En el conjunto de la unidad, y en función del tiempo disponible, se diseñarán actividades deampliación con las que los alumnos puedan ver las transformaciones que experimentan las gráfi-cas y las ecuaciones de las funciones estudiadas cuando se les somete a un movimiento de tras-lación. También se resolverán sencillos problemas relacionados con la resolución de ecuacionesexponenciales, logarítmicas y trigonométricas, cuya dificultad se graduará en consonancia con elritmo de aprendizaje y las capacidades de los alumnos.

Como método general, los contenidos se presentarán de una forma sencilla, apoyada en ejem-plos, a ser posible extraídos de los medios de comunicación o de otras materias del currículo, quesean fácilmente interpretables por los alumnos y evitando, en la medida de lo posible, un excesode formalismo.

Unidad Didáctica 10. Cálculo diferencial


– Conocer, interpretar gráficamente y mane-jar la definición de derivada de una fun-ción en un punto.

– Conocer y utilizar las reglas básicas de de-rivación.

– Utilizar el cálculo de derivadas para hallarlos puntos extremos de una función, in-tervalos de crecimiento y decrecimiento,ecuaciones de rectas tangentes…

– Elaborar y valorar estrategias diferentesbasadas en el cálculo de derivadas en or-den al planteamiento y resolución de pro-blemas relacionados con las funciones.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Calcular e interpretar la tasa de variación

media de una función en un intervalo.– Calcular la derivada de una función en un

punto, a partir de su definición.– Interpretar gráficamente el concepto de de-

rivada.– Hallar la derivada de una función sencilla a

partir de la definición de derivada.– Conocer y aplicar las reglas de derivación

para calcular la derivada de una funciónpolinómica, logarítmica, exponencial o tri-gonométrica sencilla.

– Conocer y aplicar las reglas que permitenderivar el producto, el cociente o las poten-cias de exponente real de otras funciones.

– Conocer la regla de la derivada de una funcióncompuesta y aplicarla en casos sencillos.

– Hallar la ecuación de la recta tangente auna curva, en un punto.

– Utilizar el cálculo de derivadas para ana-lizar los puntos extremos de una funciónpolinómica o racional.


MATEMÁTICAS 235

.../...

.../...

– Determinar los intervalos de crecimiento odecrecimiento de una función.

– Obtener la ecuación de la recta tangente auna función en un punto.

– Utilizar las propiedades globales y locales(dominio, recorrido, continuidad, sime-trías, periodicidad, puntos de corte, asínto-tas, intervalos de crecimiento) para repre-sentar una función polinómica o racionalsencilla.

CONTENIDOS


– Tasa de variación media.– Derivada de una función

en un punto.– Función derivada de otra

función.– Derivada de una suma.– Derivada de una diferencia.– Derivada de un producto.– Derivada de una potencia.– Derivada de un cociente.– Derivada de una función

compuesta. Regla de la ca-dena.

– Derivada de la función in-versa o recíproca.

– Cálculo e interpretación dela tasa de variación mediaentre dos puntos de unafunción.

– Definición razonada de laderivada de una funciónen un punto, a partir de latasa de variación media ydel concepto de límite.

– Interpretación geométricade la derivada de una fun-ción en un punto.

– Cálculo de la derivada deuna función en un punto,a partir de la definición dederivada.

– Cálculo razonado de la de-rivada de y = K.

– Cálculo razonado de la de-rivada de y = x.

– Cálculo razonado de la de-rivada de y = xn.

– Cálculo razonado de la de-rivada de y = lnx.

– Cálculo razonado de la de-rivada de las funciones y =senx e y = cosx.

– Cálculo razonado de laderivada de una funcióncompuesta.

– Reconocimiento y valo-ración crítica de las rela-ciones entre el lenguajegráfico, el algebraico y elordinario.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades de cálculo di-ferencial.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades a lahora de afrontar problemasde cálculo diferencial.

– Perseverancia y flexibi-lidad en la búsqueda desoluciones y estrategias enun contexto de resoluciónde problemas sobre fun-ciones y derivadas.




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– Obtención razonada de lasreglas que permiten calcularlas derivadas de sumas, dife-rencias, productos, cocien-tes y potencias de exponentereal de otras funciones.

– Cálculo razonado de la de-rivada de una función in-versa o recíproca de otra.

– Cálculo de los puntos ex-tremos de una función.

– Estudio de la monotoníade una función.

– Obtención de la recta tan-gente a una curva en unpunto.

– Esquematización del pro-ceso que permite represen-tar funciones polinómicasy racionales, a partir delanálisis de sus propieda-des locales y generales.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Derivada de una función ................................................................ 3 sesiones

– Tasa de variación media.– Tasa de variación instantánea.– Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica.– Función derivada. Derivadas de funciones elementales:

* Derivada de y = K.* Derivada de y = x.* Derivada de y = xn.* Derivada de y = lnx.* Derivada de y = senx e y = cosx.

2. Cálculo de derivadas ..................................................................... 4 sesiones– Derivada de la suma y de la diferencia de funciones.– Derivada de un producto de funciones.– Derivada de un cociente de funciones.– Derivada de una función compuesta.



– Derivada de la función inversa o recíproca.3. Aplicaciones de las derivadas .......................................................5 sesiones

– Obtención de rectas tangentes a una curva.– Determinación de los extremos de una función.– Estudio de la monotonía de una función.– Estudio y representación de las funciones polinómicas.– Estudio y representación de las funciones racionales.


Observaciones metodológicasEl concepto de derivada de una función en un punto se obtendrá mediante la técnica del paso

al límite en el cálculo de la tasa de variación media de una secuencia de intervalos de longituddecreciente. La interpretación geométrica del concepto nos permitirá identificarlo con la pendien-te de una curva, hecho que podremos aprovechar, posteriormente, para facilitar la comprensiónvisual de ejemplos concretos de cálculo de derivadas.

La definición de derivada de una función se aplicará, en la primera parte de la unidad, paradeducir las derivadas de las funciones elementales que se han estudiado en las unidades prece-dentes. A partir de estas derivadas, y una vez estudiadas las reglas que permiten derivar sumas,diferencias, productos o cocientes de funciones (así como funciones compuestas o funcionesrecíprocas de otras), los alumnos irán ampliando sus técnicas de derivación, de forma progresivay razonada.

Las aplicaciones de las derivadas irán dirigidas, sobre todo, al estudio de la monotonía y alcálculo de los puntos extremos de una función. Una vez afianzados estos conceptos se propon-drán actividades para que los alumnos completen las técnicas que permiten el análisis y la repre-sentación de las funciones polinómicas y racionales, previa explicación esquemática del procesoa seguir, por parte del profesor.

Unidad Didáctica 11. Estadística


– Conocer y utilizar, con corrección, el voca-bulario que permite distinguir, describir yrelacionar datos y conceptos estadísticos.

– Interpretar y analizar de manera correctalas informaciones de tipo estadístico aso-ciadas a distribuciones unidimensionales obidimensionales, que periódicamente apa-recen en los medios de comunicación.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Mostrar un adecuado conocimiento de los

términos asociados al lenguaje estadístico.– Interpretar adecuadamente la información

estadística que aparece en los medios de in-formación, a través de tablas o de gráficas,distinguiendo y clasificando las posiblesvariables que intervengan y el grado de de-pendencia estadística existente entre ellas.



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– Recoger y organizar la información pro-porcionada por una distribución, discreta ocontinua, unidimensional o bidimensional,mediante recuentos, tablas y gráficos, to-mando decisiones correctas en cuanto a lavaloración y tamaño de las muestras ade-cuadas al proceso.


– Conocer y utilizar los parámetros estadísti-cos (media, moda, mediana, rango, varian-za y desviación típica) de una distribuciónunidimensional, cuantitativa o cualitativa,discreta o continua, para enjuiciar su com-portamiento.

– Conocer y utilizar los parámetros estadís-ticos (covarianza y coeficiente de correla-ción lineal) de una distribución bidimen-sional para obtener información sobre ladependencia de las variables unidimensio-nales que la componen.

– Manejar la calculadora científica, de ma-nera racional, en la obtención de las medi-das estadísticas de una distribución unidi-mensional o bidimensional.

– Construir las rectas de regresión adecuadasal estudio de una variable estadística bidi-mensional para obtener valores ideales deuna de sus variables unidimensionales enfunción de los valores reales de la otra.

– Obtener los parámetros asociados a unadistribución unidimensional o bidimensio-nal: medias aritméticas, varianzas, desvia-ciones típicas, covarianzas, coeficientes decorrelación lineal y pendientes de las rectasde regresión, con la ayuda de la calculado-ra científica.

– Comparar, mediante una adecuada inter-pretación de los parámetros estadísticosunidimensionales, las diferentes actuacio-nes de una misma variable unidimensionalcuando se aplica a poblaciones diferentes.

– Construir la nube de puntos de una distribu-ción bidimensional y utilizarla para valorarel grado de correlación entre las variables.

– Obtener e interpretar la covarianza y el co-eficiente de correlación de una distribuciónbidimensional.

– Obtener las ecuaciones de las dos rectas deregresión asociadas a una misma variableestadística bidimensional y utilizarlas paraefectuar estimaciones.

CONTENIDOS


– Variables estadísticas. Cla-sificación.

– Tablas de distribución defrecuencias.

– Gráficos estadísticos aso-ciados a una tabla de dis-tribución de frecuenciasunidimensional.

– Organización y clasifica-ción, mediante tablas y grá-ficos, de datos susceptiblesde tratamiento estadístico.

– Utilización racional de lacalculadora científica en laobtención de datos estadís-ticos asociados a una distri-bución de frecuencias unidi-mensional o bidimensional.

– Valoración de la precisión,simplicidad y utilidad dellenguaje estadístico pararesolver, representar o inter-pretar situaciones y proble-mas de la vida cotidiana.


MATEMÁTICAS 239

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– Parámetros estadísticoscentrales: moda, medianay media aritmética.

– Parámetros estadísticos dedispersión: rango, varian-za y desviación típica.

– Variables estadísticas bidi-mensionales.

– Dependencia estadística ydependencia funcional.

– Nube de puntos.

– Correlación lineal. Cova-rianza. Coeficiente de co-rrelación lineal.

– Rectas de regresión.

– Construcción y representa-ción gráfica, mediante nubesde puntos, de variables esta-dísticas bidimensionales.

– Valoración gráfica de ladependencia existente en-tre las dos variables unidi-mensionales que compo-nen la variable bidimen-sional.

– Valoración numérica dela dependencia estadísticaexistente entre las dos va-riables unidimensionalesque componen la variablebidimensional.

– Obtención de las rectas deregresión, asociadas a unavariable estadística bidi-mensional.

– Obtención y valoraciónde resultados ideales quese correspondan con otrosreales, obtenidos a travésde las rectas de regresión.

– Sensibilización, interés yvaloración crítica ante lasaportaciones que la esta-dística realiza en el mundode la comunicación, lasargumentaciones sociales,económicas, políticas ocientíficas.


– Confianza y autoestima enlas propias capacidades a lahora de afrontar problemasrelativos a la estadística.

– Perseverancia y flexibi-lidad en la búsqueda desoluciones, estrategias enun contexto de resoluciónde problemas estadísticos.



1. Distribuciones unidimensionales .................................................. 3 sesiones

– Tablas y gráficos estadísticos.

– Parámetros estadísticos de centralización.

– Parámetros de dispersión.

– Coeficiente de variación.

2. Distribuciones bidimensionales ..................................................... 4 sesiones

– Dependencia estadística.

– Correlación lineal.



– Nube de puntos:

* Covarianza.

* Coeficiente de correlación.

– Regresión lineal.

– Rectas de regresión.


Observaciones metodológicasEn la primera parte se repasan los tópicos más significativos de la estadística unidimensional,

que ya fueron estudiados por los alumnos en cursos anteriores. Si bien el tiempo que se dediquea este repaso estará en función de la preparación inicial de los alumnos, la idea es que sea unrecordatorio ágil de todos los contenidos fundamentales que se precisarán para seguir con apro-vechamiento la segunda parte de la unidad.

En la segunda se desarrollan los contenidos básicos de la estadística bidimensional, que cons-tituyen el principal objetivo de esta unidad. Para tal fin, los nuevos conceptos se irán introduciendode manera constructiva, apoyados en actividades y ejemplos que puedan motivar el interés delalumnado. Para ello se puede partir de una actividad inicial que suministre, por ejemplo, tres tiposde variables. La actividad se preparará para que la primera variable mantenga una dependencia fun-cional con la segunda y aleatoria con la tercera. El análisis de la dependencia aleatoria de las varia-bles del ejemplo lo podemos utilizar como hilo conductor en el desarrollo posterior de la unidad.

Esta unidad es especialmente idónea para que los alumnos puedan trabajar en grupo, dentro yfuera de clase, recogiendo e interpretando datos estadísticos, elaborando encuestas…

Los alumnos deberán disponer de una calculadora científica, con entradas estadísticas unidi-mensionales y bidimensionales, con la que poder efectuar los cálculos estadísticos.

Unidad Didáctica 12. Cálculo combinatorio


– Conocer y utilizar el vocabulario mínimoque permita distinguir, describir y realizarcálculos combinatorios.

– Identificar y describir regularidades, pautasy relaciones inherentes a un conjunto de nú-meros o de cualquier otro tipo de objetos,en un contexto de cálculo combinatorio.

– Diferenciar situaciones de recuento de da-tos susceptibles de ser interpretados a tra-vés de combinaciones, variaciones y per-mutaciones.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Sistematizar la obtención de agrupaciones

ordenadas de datos a través de diagramasde árbol apropiados.

– Utilizar el principio de la multiplicacióncomo procedimiento básico en el recuentosistemático de agrupaciones de datos.

– Distinguir entre variaciones y combinaciones.– Distinguir entre variaciones ordinarias y

variaciones con repetición.


MATEMÁTICAS 241

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– Construir las fórmulas de la combinatoriaclásica a partir de una aplicación razonadadel principio de la multiplicación.

– Sistematizar los procedimientos orientadosal recuento y clasificación de datos en uncontexto de resolución de problemas com-binatorios relacionados con el contexto co-tidiano de los alumnos.

– Plantear y resolver problemas asociados alentorno cotidiano del alumno y a sus intere-ses lúdicos relativos al cálculo combinatorio,eligiendo la estrategia adecuada y aplicandolas fórmulas o los procedimientos más sen-cillos que, en cada caso, se precisen.

– Relacionar combinaciones y números com-binatorios.

– Conocer y aplicar con soltura las fórmulasde la combinatoria clásica.

– Conocer las relaciones básicas entre núme-ros combinatorios y aplicarlas en la cons-trucción de las filas del triángulo de Pascal.

– Relacionar los coeficientes de las potenciasde un binomio y los números que compo-nen las filas del triángulo de Pascal.

– Desarrollar y simplificar potencias de bi-nomios para valores no excesivamentegrandes de los exponentes.

– Resolver ecuaciones combinatorias sencillas.– Resolver problemas de combinatoria con-

textualizados en el entorno cotidiano de losalumnos.

CONTENIDOS


– El principio de la multipli-cación.

– Diagramas de árbol.– Principio de la multiplicación.– Combinaciones, variacio-

nes y permutaciones.– Fórmula de las variaciones

ordinarias.– Fórmula de las variaciones

con repetición.– Fórmula de las permuta-

ciones.– Factorial de un número.– Fórmula de las combina-

ciones.– Fórmula para obtener las

permutaciones de “n” ele-mentos.

– Números combinatorios.Propiedades.

– Triángulo de Pascal.– Binomio de Newton.

– Elaboración de diagramasde árbol.

– Aplicación procesual delprincipio de la multiplica-ción.

– Sistematización en el análi-sis que conduce al recono-cimiento y diferenciaciónde combinaciones, varia-ciones y permutaciones.

– Cálculo de variaciones, or-dinarias y con repetición.

– Cálculo de combinaciones– Cálculo de permutaciones

ordinarias y con repetición.– Cálculo de números com-

binatorios.– Construcción del triángulo

de Pascal.– Desarrollo del binomio de

Newton.

– Adquisición de hábitos detrabajo adecuados (orden,claridad, precisión, lim-pieza) en la realización deactividades combinatorias.

– Confianza y autoestima enlas propias capacidades ala hora de afrontar proble-mas de combinatoria.

– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes, estrategias en un con-texto de resolución de pro-blemas de combinatoria.

– Respeto ante las opinionesdiscrepantes y flexibilidadpara cambiar y aceptarotras propuestas, en undebate sobre resolución oinferencias de resultadosderivados de un problemade combinatoria.



Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Técnicas combinatorias .................................................................. 4 sesiones

– El principio de la multiplicación. Diagramas de árbol.– Variaciones ordinarias y con repetición.– Permutaciones ordinarias y con repetición.– Combinaciones ordinarias.

2. Números combinatorios ................................................................. 4 sesiones– Números combinatorios. Propiedades.– El triángulo de Pascal o de Tartaglia.– El binomio de Newton.


Observaciones metodológicasEsta unidad, en línea con la que hemos programado para cuarto curso de la ESO, exigirá un

mayor nivel de exigencia, en cuanto al nivel de las actividades y a la formalización y a la utilizacióngeneralizada de la formulación derivada de la combinatoria clásica.

Antesdeentrarenlasistematizacióndelosdistintostiposdeagrupaciones(combinaciones,variacioneso permutaciones) relacionadas con la combinatoria clásica, los alumnos deben intentar utilizar sus propiasestrategias personales de conteo para resolver algunos problemas sencillos de combinatoria basados enla utilización del principio de la multiplicación y de los diagramas de árbol. La aplicación razonadadel principio de la multiplicación les permitirá obtener, de forma comprensible, las fórmulas que dan elnúmero de variaciones, ordinarias y con repetición, de “n” elementos extraídos de un conjunto base con“m” elementos y, a partir de éstas, las fórmulas de las combinaciones y las de las permutaciones.

En la segunda parte de la unidad se estudian los números combinatorios y sus propiedades queaplicaremos, posteriormente, al desarrollo del binomio de Newton. Estos contenidos nos serán degran utilidad en las dos unidades siguientes, cuando se estudie la probabilidad y las distribucionesde probabilidad.

Unidad Didáctica 13. Probabilidad


– Conocer y utilizar con precisión el vocabu-lario básico que permita distinguir, descri-bir y realizar cálculos en situaciones alea-torias y probabilísticas.

– Describir los sucesos asociados a un expe-rimento aleatorio a través de su representa-ción conjuntista, apreciando la simplicidaden los razonamientos que tales representa-ciones aportan.


– Distinguir entre experimentos aleatorios yexperimentos deterministas.

– Construir el espacio muestral de un experi-mento aleatorio sencillo.

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MATEMÁTICAS 243

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– Analizar e interpretar informaciones y re-solver situaciones problemáticas sencillasque puedan surgir en la vida cotidiana, re-lacionados con situaciones propias del azary del cálculo de probabilidades.

– Interpretar y analizar de manera correctalas informaciones de tipo aleatorio y pro-babilístico que periódicamente aparecenen los medios de comunicación.

– Conocer y diferenciar las diferentes acep-ciones del concepto de probabilidad, asícomo sus propiedades elementales y uti-lizarlas en la resolución de sencillas ac-tividades relacionadas con experimentossimples y compuestos asociados al entornocotidiano de los alumnos.

– Manejar y aplicar los procedimientos y loscálculos propios de la combinatoria clásicaen la resolución de problemas probabilísti-cos que vengan relacionados con el entor-no cotidiano de los alumnos.

– Expresar en forma de conjunto los sucesosasociados a un experimento aleatorio deespacio muestral finito y operar con ellos.

– Diferenciar y resolver situaciones aleato-rias en las que convenga aplicar la regla deLaplace o técnicas de probabilidad experi-mental, basadas en la utilización de la Leyde los Grandes Números.

– Conocer las propiedades básicas de la pro-babilidad y aplicarlas en la resolución deproblemas sencillos.

– Conocer y aplicar la fórmula de la proba-bilidad condicionada en la resolución deproblemas sencillos contextualizados en elentorno cotidiano de los alumnos.

– Descubrir la dependencia o independenciade sucesos en un experimento compues-to sencillo, aplicando de manera correctael método multiplicativo derivado de unacorrecta interpretación de la fórmula de laprobabilidad compuesta.

– Utilizar la fórmula de la probabilidad totaly la regla de Bayes para resolver sencillosproblemas de contexto social relacionadoscon el entorno de los alumnos.

– Efectuar los recuentos adecuados, mediantela aplicación de las técnicas de la combi-natoria clásica, inherentes a un conjunto denúmeros, de figuras geométricas, o de cual-quier otro tipo de objetos, en un contexto decálculo de probabilidades que se deriven dela aplicación directa de la Ley de Laplace.

– Resolver sencillos problemas de probabili-dad geométrica basados en figuras planasde la geometría elemental conocidas porlos alumnos.

CONTENIDOS


– Experimentos determinis-tas y aleatorios.

– Espacio muestral.– Sucesos aleatorios.

– Obtención del espaciomuestral de un experimen-to aleatorio.

– Expresión de un suceso enforma de subconjunto delespacio muestral.

– Reconocimiento y valo-ración de las matemáticaspara interpretar, describiry predecir situaciones in-ciertas.

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– Sucesos elementales y su-cesos compuestos.

– Suceso seguro y sucesoimposible.

– Unión e intersección desucesos.

– Sucesos compatibles e in-compatibles.

– Sucesos contrarios.

– Frecuencia y probabilidadde un suceso.

– Ley de Laplace.

– Regla aditiva de la proba-bilidad.

– Probabilidad de la uniónde dos sucesos.

– Probabilidad de dos suce-sos contrarios.

– Probabilidad condiciona-da. Dependencia entre su-cesos aleatorios.

– Experimentos compues-tos. Regla multiplicativade la probabilidad.

– Probabilidad total.

– Regla de Bayes.


– Obtención de la unión y laintersección de dos sucesos.

– Obtención del suceso con-trario a otro dado.

– Aplicación de la Ley deLaplace.

– Obtención experimental dela probabilidad.

– Aplicación procesual de la re-gla aditiva de la probabilidad.

– Aplicación de la fórmulaque liga las probabilidadesde dos sucesos con las de suunión e intersección.

– Obtención de las probabili-dades de sucesos contrarios.

– Aplicación de la fórmulade la probabilidad condi-cionada.

– Aplicación de la reglamultiplicativa que genera-liza la fórmula de la pro-babilidad condicionada.

– Resolución de problemasmediante técnicas combi-natorias.

– Resolución de problemas deprobabilidad geométrica.

– Obtención y aplicación dela fórmula de la probabili-dad total.

– Obtención y aplicación dela regla de Bayes.

– Sensibilización, interés yvaloración crítica ante lasaportaciones que el len-guaje probabilístico realizaen el mundo de la comuni-cación, las argumentacio-nes sociales, económicas,políticas o científicas.



– Perseverancia y flexibilidaden la búsqueda de solucio-nes, estrategias en un con-texto de resolución de pro-blemas de recuento y apli-cación de probabilidades.

Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Probabilidad. Ley de Laplace ........................................................ 3 sesiones

– Experimentos y sucesos aleatorios.

– Espacio muestral y sucesos aleatorios.

– Operaciones con sucesos.



– Probabilidad de un suceso:

* Frecuencia y probabilidad.

* Ley de los grandes números.

* Probabilidad experimental.

* Ley de Laplace.

– Propiedades de la probabilidad.

2. Probabilidades compuestas ........................................................... 5 sesiones

– Probabilidad condicionada.

– Dependencia entre sucesos aleatorios.

– Experimentos compuestos.

– Regla multiplicativa de la probabilidad condicionada.

– Probabilidad total.

– Regla de Bayes.




En la primera parte de la unidad se repasan, de forma más profunda y sistematizada, loscontenidos básicos de probabilidad que los alumnos han estudiado en cursos anteriores, así, nosapoyaremos en los rudimentos básicos de la teoría de conjuntos para desarrollar, con cierto fun-damento, las propiedades de los sucesos aleatorios y de la probabilidad.

En la segunda parte de la unidad se formalizan algunos contenidos, relacionados con losexperimentos compuestos y la probabilidad condicionada, que también se estudiaron (con menosformalidad) en el curso anterior. En este curso conviene añadir un poco más de formalización y,sobre todo, ampliar el campo de aplicaciones para trabajar, de manera que, dentro de lo posible, sepuedan plantear algunas actividades sencillas, relacionadas con las ciencias sociales, que requie-ran de la utilización de la fórmula de la probabilidad total y/o de la regla de Bayes.

Unidad Didáctica 14. Distribuciones de Probabilidad


– Conocer los conceptos de distribución deprobabilidad discreta y de función de pro-babilidad, sus propiedades y parámetroscaracterísticos.

Al término de la unidad, los alumnos deberánser capaces de:– Distinguir entre variables aleatorias discre-

tas y continuas.



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.../...

– Conocer el concepto de distribución bino-mial y utilizarlo para calcular probabilida-des, así como la varianza y la media de ladistribución, en un contexto de resoluciónde problemas de carácter social.

– Conocer los conceptos de distribución deprobabilidad continua y de función de den-sidad.

– Conocer el concepto de distribución nor-mal, interpretar sus parámetros y represen-tación gráfica y manejar la tabla N(0, 1) enel cálculo de probabilidades.

– Evaluar la posibilidad de ajustar un con-junto de datos a una distribución binomialo normal y tipificar esta última en la formaN(0, 1).

– Construir la tabla de una distribución deprobabilidad de variable discreta y calcularsus parámetros.

– Asignar probabilidades utilizando la fun-ción de probabilidad de una variable alea-toria discreta y su función de distribución.

– Asignar probabilidades utilizando la fun-ción de probabilidad de una variable alea-toria discreta y su correspondiente funciónde distribución.

– Asignar probabilidades utilizando la fun-ción de densidad de una variable aleatoriacontinua y su correspondiente función dedistribución.

– Reconocer si una determinada situaciónaleatoria se puede describir a través de unadistribución binomial.

– Utilizar las tablas de una distribución bino-mial para calcular probabilidades y obtenerel valor de su esperanza y de su varianza.

– Resolver sencillos problemas reales, rela-cionados con el entorno de los alumnos,que se puedan interpretar en términos deuna distribución binomial.

– Reconocer si los resultados de una experien-cia se ajustan a una distribución normal.

– Interpretar la campana de Gauss y manejarla tabla N(0, 1) para asignar probabilidades.

– Reconocer la relación que existe entre lasdistintas curvas normales y tipificar la va-riable, para calcular probabilidades en una

).– Reconocer en qué casos se puede aproxi-

mar una distribución binomial a una nor-mal, obtener sus parámetros y calcular pro-babilidades.

CONTENIDOS


– Variables aleatorias. Clasi-ficación.

– Distribuciones discretas.

– Distinción entre variablesaleatorias discretas y con-tinuas.

– Reconocimiento y valora-ción de las Matemáticas parainterpretar, describir y prede-cir situaciones aleatorias.


MATEMÁTICAS 247

.../...

– Función de probabilidad.– Esperanza, varianza y des-

viación típica de una va-riable aleatoria discreta.

– Distribución binomial.– Función de distribución

binomial.– Esperanza y varianza de

una distribución binomial.– Distribución de probabili-

dad continua.– Función de densidad.

).– Campana de Gauss.– Distribución normal tipifi-

cada N(0, 1).– Tipificación de la normal.

– Cálculo de los parámetrosde una distribución de pro-babilidad discreta.

– Utilización de la funciónde probabilidad de una va-riable aleatoria discreta yde su función de distribu-ción asociada en el cálculode probabilidades.

– Utilización de la funciónde probabilidad de unadistribución binomial paraasignar probabilidades.

– Cálculo e interpretaciónde la esperanza y la va-rianza de una distribuciónbinomial.

– Empleo de la función dedensidad de una variablealeatoria continua y de sufunción de distribución en elcálculo de probabilidades.

– Identificación de la distri-bución normal y del valorde sus parámetros en si-tuaciones reales.

– Utilización de la campanade Gauss y de la tabla deN(0, 1) para asignar proba-bilidades por tifipicación.

– Ajuste de un conjunto dedatos a una distribuciónbinomial o normal.

– Aproximación de una dis-tribución binomial a unanormal.

– Sensibilización, interés yvaloración crítica ante lasaportaciones que el lengua-je estadístico probabilísticorealiza en el mundo de lacomunicación, las argu-mentaciones sociales, eco-nómicas, políticas o cientí-ficas.



Desarrollo y temporalización de los contenidos de la unidad1. Distribuciones de probabilidad discretas ..................................... 4 sesiones

– Variables aleatorias. Clasificación.

– Distribución de probabilidad discreta:

* Función de probabilidad.

* Esperanza, varianza y desviación típica.



– Distribución binomial:

* Función de probabilidad.

* Esperanza, varianza y desviación típica.

2. Distribuciones de probabilidad continuas .................................... 4 sesiones

– Función de densidad. Parámetros estadísticos.

).

– Campana de Gauss.

– Distribución normal tipificada N(0, 1).

– Curva y tabla de las áreas de la distribución N(0, 1).

– Ajuste de una binomial a una normal.


Observaciones metodológicasEn la primera parte de la unidad se estudian las distribuciones de probabilidad discretas.

Los ejemplos ilustrativos de este tipo de distribuciones deben de ir acompañados de los corres-pondientes diagramas de barras para que los alumnos puedan obtener una visión gráfica de lasprobabilidades que definen las funciones de probabilidad asociadas a este tipo de distribuciones,destacándose su analogía con las distribuciones de frecuencia estadística estudiadas en la unidad11. Esta interpretación probabilística de conceptos estadísticos conocidos por los alumnos es unrecurso metodológico que se aplicará de forma regular en toda la unidad, pero aclarando las dife-rencias existentes entre ambos tipos de contenidos para no confundir a los alumnos.

En la segunda parte se estudian las funciones de distribución continua. Como en la primeraparte, se elegirán ejemplos que vayan acompañados de sus correspondientes gráficas, en estecaso, histogramas, destacando el hecho de que las probabilidades se corresponden con el área delos rectángulos y no con la altura, como en el caso de la variable discreta.

El profesor preparará los ejemplos que vayan acompañados de gráficas o tablas, preferen-temente basados en casos reales, y los repartirá entre los alumnos para aprovechar el tiempo entareas de interpretación, valoración y cálculo.

Como en todas las unidades que requieren de cálculos complejos, se utilizará una calculadoracientífica que facilite la comprensión de los conceptos.

Parte III. Actuación anteel tribunal




1. GENERALIDADES1.1. Estrategias en la exposición

2. DEFENSA DE LA PROGRAMACIÓN

3. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA

4. EL DEBATE4.1. Estrategias4.2. Valoración de la prueba4.3. Cuestiones para el debate

4.3.2. Cuestiones generales

MATEMÁTICAS 251

1. GENERALIDADESEsta segunda prueba tiene cierta dificultad para las personas que no tienen costumbre de

hablar en público o tienen aunque hayan tenido intervenciones públicas. Ademástiene la dificultad añadida de que los “espectadores” no son sujetos pasivos, sino posibles intervi-nientes en un coloquio, en el que están ampliamente preparados y están dispuestos a poner de ma-nifiesto la postura del aspirante. Por ello hay que preparar la intervención de forma meticulosa.

La extensión de la Programación Didáctica viene determinada en la mayoría o en la totalidadde las convocatorias. En todo caso, consideraremos que la extensión de la Programación de unaasignatura de un curso o un módulo no debe exceder las 50 páginas, incluyendo las Unidades Di-dácticas y, por otra parte, las Unidades Didácticas como mínimo deberán ser 15 por asignatura omódulo. Esto quiere decir que la Programación Didáctica debe ocupar unas diez páginas, así quecada Unidad Didáctica ocupará dos. Si las Unidades Didácticas se concentran a una por página,utilizando un modelo semejante al 2, la Programación Didáctica puede alargarse más.

Siguiendo los pasos del criterio de elaboración que se ha marcado, el opositor deberá haceruna repartición equitativa, teniendo en cuenta que algunos pasos pueden eludirse (por ejemplo lacontextualización, ya que puede no aplicarse a un centro concreto), o solucionarse con unas líneas(como el segundo paso).

Las Unidades Didácticas que se incluyen en la Programación Didáctica tienen que adaptarseal modelo 1 o 2 de los descritos anteriormente, ya que el modelo 3 (detallado) necesitará variaspáginas (de 8 a 10) para poder ser desarrollado. Este modelo 3 es el que se podrá seguir en lasegunda parte de la segunda prueba: elaboración de una Unidad Didáctica. De ella ha de ex-traerse un resumen, en forma de índice, que es el guión que habrá que entregar al tribunal.

1.1. Estrategias en la exposición1

La exposición oral, sea cual sea su contenido, es una puesta en escena y como tal hay queabordarla, siguiendo unas determinadas pautas para lograr nuestro objetivo de conseguir la aten-ción y aprobación del tribunal:

– De cómo dirigirse al tribunal. Seguro pero sin arrogancia. Mantenimiento del autocon-trol. Sonrisa sincera (evitando la mueca). Saludando y presentándose.

1 Estas estrategias están tomadas de forma sintética del libro , de Pérez Cobacho, J.,publicado por Editorial MAD (2.º edición de 2007) y es muy recomendable para el opositor, redactado con gran sentido del humor ymuy ameno en su lectura.



– Motivación del tribunal. Poner y transmitir entusiasmo. Utilizar en el contexto palabrasque generen expectativas (reto, interesante, difícil...). Establecer controversias con man-tenimiento de la postura y aceptando otras opiniones o ideas.

– Gestualización. La vista dirigida a los ojos de los miembros del tribunal alternativa-mente, manteniendo la mirada. Los gestos de las manos deben ser de asertividad y con-vicción. Es conveniente no estar fijo, sino moverse por la sala y señalar la pizarra o lapantalla, cuando sea necesario, con un puntero electrónico.

– Actitud. El aspirante debe procurar que las acciones realizadas sean bien interpretadas,modificando aquéllas que puedan generar suspicacias en el tribunal.

* Preparar la entrada. Asistir a alguna exposición anterior, ya que son actos públicosy se pueden extraer valiosas conclusiones sobre el comportamiento de los aspirantesy del propio tribunal. Se conoce así a los miembros del tribunal y éstos van cono-ciendo al aspirante, que al exponer ya es reconocido.

* Corrección y respeto. El aspirante debe saludar al tribunal (“buenos días”) y pre-sentarse. Debe de tratar a los miembros del tribunal de usted, aunque conozca aalguno de ellos.

* Los nervios. Hay que considerar que el tribunal no es el enemigo y se hará cargodel estado de nervios del opositor. No obstante, hay que tratar de mantener un autocontrol, pensado que la exposición está bien preparada y a lo largo de su carrera hasuperado innumerables exámenes.

– Quedarse en blanco. Puede ocurrir, aunque es difícil teniendo el guión a mano. Eneste caso lo conveniente es pasar a la siguiente cuestión, después de un ligero silencio,con naturalidad. Si el bloqueo es evidente y pertinaz se dice sinceramente y se pasa alo siguiente.

– Uso de medios técnicos. En la exposición de la Unidad Didáctica se pueden (y sedeben) utilizar medios técnicos, desde el retroproyector con las transparencias que seaporten, pasando por las diapositivas y programas informáticos expuestos con pro-yector (cañón).

* Si se utiliza retroproyector, se señala sobre la transparencia y no sobre la pantalla.

* Para señalar la pantalla es preferible utilizar un puntero láser (con la mano da sensa-ción de poco dominio).

* El tribunal tiene que ver muy bien las demostraciones.

* Las letras y números deben verse claramente desde la mesa.

* El uso de cada proyección será breve y no hay que dejar de hablar (no poner al tri-bunal a leer).

* La exposición se hace cara al tribunal y sin dar la espalda.

* Si se sale a la pizarra, cuando termine su uso se vuelve al lugar anterior para pasar ala exposición.

– Control del tiempo. Sería conveniente disponer de un cronómetro para distribuir eltiempo sin necesidad de que el tribunal avise al aspirante o lo corte por haber acabadoel tiempo disponible. Al final se puede indicar algún detalle que induzca al tribunal apreguntar sobre aquellos aspectos que más se dominan.

Actuación ante el tribunal

MATEMÁTICAS 253

– Defectos evitables. Se indica una lista de errores que suelen cometer los aspirantes conpoca experiencia y que pueden conducir al fracaso:* Caer en el pesimismo y considerar que la oposición es imposible.* Pensar que la oposición es fácil.* Ir a las oposiciones “por si hay suerte”.* No estudiar a fondo la convocatoria y sus características.* No preparar concienzudamente el currículum y la instancia.* No planificar y sistematizar el estudio.* Olvidar lo que se ha estudiado durante la carrera, libros, apuntes, experiencias, etc.* Confiar en la capacidad de improvisación y no ensayar en casa frente a un espejo o

ante una cámara de vídeo.* Centrarse en una sola fuente de conocimientos.* Estudiar los temas y las Unidades Didácticas sin relacionarlos entre sí.* No repasar con frecuencia y sistemáticamente.* No llevar los materiales indispensables de escritura y apoyo.* Olvidar el DNI.* Llegar tarde a la prueba.

2. DEFENSA DE LA PROGRAMACIÓNPara esta parte de la prueba se dispone de un máximo de 30 minutos, que puede ser menos

si el aspirante opina que no va a tener tiempo de exponer la Unidad Didáctica en 45 minutos ynecesita un poco más. En todo caso hay que contar siempre con los 15 minutos del debate final.

La Programación Didáctica elaborada ha de exponerse de forma lineal, siguiendo el ordenque se ha establecido y haciendo hincapié en todos los aspectos que lo hace la convocatoria. Todoel amplio apartado de la Programación se ha desarrollado para procurar argumentos en la exposi-ción y poder darle soltura y seguridad al opositor, que suele estar poco avezado en esta materia.

Son especialmente importantes los siguientes puntos a tratar:1. Organización y secuencia de los objetivos, contenidos y criterios de evaluación.2. Explicación de cómo colaboran los objetivos del área, asignatura o módulo en la

consecución de los objetivos de etapa.3. Justificación de la asignatura o módulo (recuérdese que se ha tomado del apartado

introducción del currículo oficial).4. Metodología empleada y justificación de la misma.5. Secuenciación y temporalización.6. Indicación de cómo se hará la atención a los alumnos con necesidades educativas

específicas.7. Instrumentos de evaluación y recuperación.8. La asignatura y las Nuevas Tecnologías. Sitios interesantes de Internet.Cualquier aspecto que pudiera quedar por decir o por ampliar se puede sugerir al tribunal su

explicación posterior en el debate.



3. PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICALa Unidad Didáctica debe de presentarse siguiendo las directrices marcadas por la convoca-

toria. Existen dos posibilidades que no dependen del opositor sino de los órganos competentes(Orden convocatoria o instrucciones del tribunal) en el planteamiento de esta parte de la prueba:

1. Exponer la unidad simulando una clase real, como si hubiera alumnos.2. Exponer el contenido de la unidad, indicando cómo se llevaría ésta a la práctica docente.Es más probable que se adopte esta segunda variedad en la mayoría (o todas) de las Comu-

nidades Autónomas. De hecho, las instrucciones que de forma oficiosa se han lanzado en algunade ellas es que en este ejercicio no hay que confundir al tribunal con alumnos, que es una clarareferencia a la negativa de aceptar la primera opción.

En consecuencia, hay que seguir un camino semejante al de la primera parte.Una Unidad Didáctica, como las elaboradas en esta obra, es la ideal para abordarla en 45

minutos.Todas las Unidades Didácticas deben llevarse apoyadas con suficiente material auxiliar, es-

pecialmente transparencias y, si es posible, material informático si se dispone de la posibilidadde proyección.

Debe distribuirse el tiempo no proporcionalmente a los distintos aspectos tratados, sino a laimportancia que se les da. Hay cuestiones totalmente objetivas como son los objetivos y, de algu-na manera, los contenidos conceptuales (aunque éstos pueden variar ligeramente de unos a otrosprofesores, según su concepción de la propia materia) y los actitudinales.

Sin embargo hay cuestiones mucho más personales sobre las que el opositor debe extendersemás. Éstas son:

– Motivación. Se explicará el motivo que pueda despertar el interés en esta unidad. Si setrata de la visualización de un vídeo, debe citarse cuál y su procedencia, incluso si selleva a la exposición se puede mostrar (no se debe decir “proyectaría un vídeo referentea...”). Lo mismo se puede decir de una colección de diapositivas. Si éstas son propias sepueden poner a disposición del tribunal.Otras veces la motivación puede ser una actividad (canción, disección, grabación...). Eneste caso da lugar al pronunciamiento metodológico inductivo, cuando se llegue a él.

– Contenidos procedimentales. Deben ser abundantes y a ser posible originales. En lasCiencias Experimentales (Biología y Geología y Física y Química) es importante lainclusión de actividades experimentales, al menos una por unidad: resolución de proble-mas en Física y Matemáticas, comentarios de texto, análisis, técnicas de traducción...

– Metodología. Dentro de la variedad de métodos y aplicando los conocimientos adqui-ridos, el aspirante debe aplicar las metodologías más idóneas, sin olvidar la preferenciapor la enseñanza activa, el aprendizaje significativo, la aplicación de la inducción o ladeducción según la disciplina y el predominio del constructivismo sobre el conductivis-mo siempre que sea posible.Del mismo modo, y dentro de este apartado de metodología, se ha de presentar la mayorcantidad de recursos dentro de las posibilidades de un Instituto de Enseñanza Secundaria.Los recursos habituales (tradicionales) deben verse incrementados por los de las nuevastecnologías: EAO, simulaciones, etc.

– Aplicación de las nuevas tecnologías. Conectando con el apartado anterior.


MATEMÁTICAS 255

4. EL DEBATE

4.1. EstrategiasLa última parte de la prueba puede ser determinante en el resultado. El debate puede, como

la introducción, salvar un ejercicio mediocre, bastante normal, o hundir una buena exposiciónanterior. Para ello es bueno planificar la estrategia a seguir:

1. A las preguntas del tribunal, aun conociendo las respuestas, se deben dejar pasar unossegundos de reflexión, para pensar la respuesta, porque:

– Da tiempo a situarla en el contexto de la exposición.

– El silencio breve genera expectativas.

– Se halaga al tribunal, que piensa que ha hecho una buena pregunta.

– Si el tribunal hace posteriormente una pregunta que sí necesita meditación, no leextraña el silencio breve durante la reflexión del opositor.

– Se da imagen de persona concienzuda y reflexiva.

– Se gasta un poco de tiempo.

– Se hacen menos preguntas.

2. El opositor repite en voz alta, despacio, la pregunta que se le ha hecho, así que:

– Se asegura de haber entendido bien la pregunta.

– Se asegura la atención del tribunal.

– Da la sensación de concentración y rigurosidad.

– Obliga a los demás a concentrarse igualmente en la pregunta.

– Se gana tiempo…

4.2. Valoración de la pruebaGeneralmente se valora la Unidad Didáctica con criterios del siguiente tipo:

– Coherencia entre el tema elegido y el planteamiento desarrollado.se trata de valorar la coherencia entre la Programación presentada y la Unidad Didác-tica desarrollada y expuesta (en el caso de que sea esta la elección).

– Correspondencia entre los objetivos, contenidos, actividades y criterios de evaluación.

– Equilibrio entre los diferentes tipos de contenidos.

– Concepción pedagógica coherente con el planteamiento metodológico desarrollado ycon las estrategias utilizadas.

– Adecuación de las actividades con las edades de los alumnos, diversificación de las mis-mas y temporalización idónea.

– Utilización de recursos variados.

– Relación con las otras áreas (si es pertinente).



– Grado de viabilidad y pragmatismo de la Unidad Didáctica.

– Creatividad, originalidad e innovación en el planteamiento didáctico. Por nuestra parte insistimos en que no se trata de copiar literalmente ninguna Programación ni Unidad Didáctica sino de consultar modelos diferentes e intentar, considerando los elementos que aparecen en la convocatoria, realizar un diseño y desarrollo propios.

– Contextualización adecuada (referencia a la Comunidad Autónoma en general y a lascaracterísticas del alumnado en particular).

– Papel del alumno en las actividades (participativo, pasivo, etc.).

Respecto a la fase oral (defensa de la Programación y exposición de la Unidad Didáctica):

– Exposición de las actividades. Seguramente uno de los apartados que más valora el tribunal es el de las actividades, ya que en su exposición se muestran las cualidades pedagógicas del opositor. Algunos criterios de evaluación manejados por los tribunales hacen referencia a la explicación de actividades completas (no hace falta que sean to-das) desde el inicio hasta el final.

– Aspectos formales: adecuación al tiempo, grado de naturalidad, grado de convicción,ritmo, respiración, tono verbal (diferentes inflexiones), miradas, gesticulación, posicióncorporal y movimientos.

– Calidad de la comunicación: interés despertado por la introducción, establecimientode interacción (empatía), claridad en la exposición, fluidez en el discurso, utilización detérminos adecuados, limitaciones (nerviosismo general, muletillas, titubeos).

– Contenido del discurso: estructura (presentación, hilo conductor, conclusión), rigor ycoherencia.

– Aspectos globales: si se transmite la sensación de entrar en el aula y qué hay que hacercon los alumnos de esa edad; grado de originalidad, calidad y coherencia de las respues-tas con las preguntas del tribunal

Respecto a la actitud del opositor:

– Conveniencia de dirigirse a todos los miembros del tribunal y no solo a uno.

– Sensación de seguridad pero no de prepotencia.

– No mostrar una actitud demasiado relajada ni dar mala impresión.

– Es conveniente vestirse de manera discreta. No significa renunciar al estilo propio sino,sencillamente, no exagerar.

Otros aspectos:

– Necesidad de programar bien el tiempo. Es completamente necesario realizar simulacio-nes antes del examen.

– Si olvidamos algo durante la exposición y de pronto lo recordamos, no se debe volver alpunto anterior, a no ser que lo omitido sea de obligada referencia.

– Hay que tomarse tiempo antes de responder a las preguntas que se planteen.

– No se debe discutir con el tribunal.

– Hay que intentar fundamentar las respuestas.


MATEMÁTICAS 257

Probablemente el tribunal ha programado la evaluación del opositor siguiendo unas pautasdeterminadas para objetivizar al máximo la calificación, por lo que dividirá en indicadores de valo-ración todos los aspectos evaluables y a cada uno de ellos asignará una puntuación. Como es difícildeterminar lo que cada tribunal considera banal, importante o muy importante, es convenienteseguir todas las normas que se han recomendado tanto para la redacción de la propia Programacióncomo en la defensa de la misma y, sobre todo, de la exposición de la Unidad Didáctica.

4.3. Cuestiones para el debateA partir de un documento escrito, y especialmente una Programación en la que se abordan

tantos temas, pueden surgir muy diversas cuestiones sobre las que debatir. Además, unas cuestio-nes pueden arrastrar otras, por lo que es imposible prepararse el debate con toda garantía.

No obstante, se puede preparar el debate con ciertas garantías. Para ello exponemos a con-tinuación algunas cuestiones, unas referidas a la Programación y otras más generales, que sepueden presentar como consecuencia del propio debate.

Además, obviamente, el contenido de la primera parte de este libro daría respuesta a la mayoría de las preguntas de carácter general que el Tribunal pudiera plantear.

1. ¿Por qué ha seleccionado los objetivos de la Unidad Didáctica entre todos los refle-jados en la programación?

En la Programación que hemos presentado se han contemplado todos los objetivos decarácter general posibles, sin embargo, en la Unidad Didáctica sólo se han intentadoalcanzar aquéllos que los contenidos permiten.

2. ¿Cómo ha adaptado los objetivos a las características del grupo?

En la introducción de esta Programación se hace hincapié en la necesidad de contextua-lizarla, es decir, no tiene sentido, a nuestro entender, realizar una Programación “asép-tica” y totalmente objetiva, sin tener en cuenta a quién va dirigida. Puede ocurrir que elgrupo al que va dirigida esta Programación sea asignado al profesor posteriormente a laelaboración de la Programación, además, la Programación de un curso es común a todoslos grupos de dicho curso en un centro educativo. Sin embargo, es seguro que el tipo dealumnado es el que se prevé, por la situación geográfica, situación socioeconómica delentorno y demás condicionantes sociales.

3. ¿Cómo plantea trabajar con los distintos niveles dentro del mismo grupo de alumnos?

Respuesta para una Programación de ESO:

1º. Adopción del libro de texto. Es importante tener un libro de texto que contemple dis-tintos niveles de conocimiento, desde las actividades de simple memorización a las deanálisis y síntesis, pasando por las de comprensión y aplicación de conocimientos.

2º. Realización de una cuidadosa organización de los pequeños grupos. Esta organiza-ción se realizará siguiendo dos criterios, aparentemente opuestos. Por una parte seharán, para algunas actividades, grupos heterogéneos en cuanto a las capacidades delos alumnos, para conseguir la ayuda de los más a los menos capacitados, y por otra,grupos homogéneos por capacidades con actividades distintas. Todo ello sin que el



alumnado pueda sospechar de que se hace “un grupo de torpes” o discriminados porrazón de su capacidad. Además debe entenderse que los distintos niveles no siempreson debidos a la capacidad intrínseca sino también a la pertenencia a grupos margi-nales, extranjeros, etc.

3º. Atención personalizada de los alumnos que lo necesiten y no sean candidatos a laadopción de medidas especiales de mayor rango, sin desatender al resto de los alum-nos que, o bien pueden colaborar en la recuperación de los compañeros, o bien pue-den trabajar en cuestiones de fácil resolución autónoma.

Respuesta para una Programación de Bachillerato:

Los distintos niveles de conocimiento de los alumnos que se pueden presentar en Bachi-llerato son distintos a los que se presentan en la ESO, ya que en ESO los alumnos estánescolarizados obligatoriamente y el Bachillerato no es obligatorio.

La diversidad que hay que atender en el Bachillerato procede de la presencia de alumnosextranjeros y alumnos con deficiencias físicas, ya sean motóricas o sensoriales.

En el caso de alumnos extranjeros de lengua distinta se propone que participen de formaactiva en todas las actividades, especialmente en aquellas que exijan una expresión idio-mática precisa, ya que la integración lingüística es imprescindible tanto para la integra-ción social como para la normalización científica.

Respecto a los alumnos con deficiencias de naturaleza física, ya sean de naturaleza motóri-ca o sensorial, se realizarán las correspondientes adaptaciones según el tipo de déficit conutilización de sistemas de aprendizajes específicos (por ejemplo lecturas grabadas o docu-mentos en Braille para ciegos), así como adaptación de las actividades de evaluación, enlas que en todo caso se pueda garantizar la adquisición de capacidades mínimas exigidas.

Es imprescindible, igualmente, que las aulas-espacios estén adaptados para acoger a to-dos los alumnos con déficit, especialmente motórico.

No obstante lo dicho, y a pesar del carácter postobligatorio del Bachillerato, puede queexistan alumnos que, procedentes de entornos socioeconómicos y culturales desfavore-cidos y puedan alcanzar los objetivos del Bachillerato, tengan carencias significativas.Ante esta situación se realizarán:

– Adaptación de actividades y materiales.

– Reformulación de criterios de evaluación.

– Medidas de repaso extraordinarias en horas de atención a alumnos.

4. ¿Por qué considera que la metodología que propone es la más adecuada para los contenidos y objetivos propuestos?

La metodología propuesta, recordemos, es sobre todo la aplicación del constructivismoen lo posible, si bien somos conscientes que es de imposible aplicación en sus últimosextremos, dada la imposibilidad de construir la ciencia por parte de los alumnos con suslimitaciones intelectuales, de conocimiento y de tiempo.

Inseparable al constructivismo es la forma de aprendizaje significativo que es capaz deidentificar lo aprendido con el propio discente, quedando así más firme la aprehensiónde conocimientos.

Por otra parte hemos considerado que los conocimientos procedimentales son especial-mente importantes para la adquisición de conocimientos conceptuales.


MATEMÁTICAS 259

5. ¿Por qué utiliza esos recursos y no otros?

La utilización de los recursos programados no es excluyente, por lo que en las readapta-ciones de esta Programación se incorporarán los que se hayan presentado como idóneos,a los que se ha tenido acceso.

Sin pretender este opositor desmerecer de otras metodologías, cree sinceramente que losrecursos propuestos responden a la metodología propuesta (realizar un resumen de éstos).

Independientemente de los recursos propios de nuestra área y materias, hacemos hinca-pié en la necesidad de incorporar cada vez más las nuevas tecnologías.

6. ¿Qué medidas se plantea para adaptarse al tiempo establecido para la Unidad Didáctica?

Es importante en nuestra Programación no sólo la temporalización, sino también la secuen-ciación. La secuenciación establecida se ha realizado minuciosamente para evitar repeticio-nes, saltos y desviaciones no deseables de los objetivos. Una buena secuenciación, si bienno es suficiente, sí es necesaria para que se cumplan los objetivos de temporalización.

Las distintas unidades se han temporalizado con criterios que creemos reales, y por tanto,si no aparecen factores extraacadémicos, consideramos que no habrá dificultad en adap-tarse al tiempo establecido.

Sin embargo, podría ocurrir que, por causas ajenas al normal desarrollo de la actividaddocente-discente, se sufriera un retraso significativo. En este caso habría que reprogramary estimar lo más relevante del resto del programa. En las propias Unidades Didácticas quese plantean, sólo se ha expuesto lo absolutamente indispensable. Lo demás, aunque nosuperfluo ni banal, puede ser sintetizado de forma que no represente retraso alguno.

Además, algunas actividades programadas de naturaleza manipulativa, experimental ode actuación especial, pueden ser sustituidas por supuestos teóricos o simulados con elconsiguiente ahorro de tiempo si esto es necesario.

7. ¿Cómo establece si un alumno ha alcanzado o no los objetivos?

La Programación ajustada de los criterios de evaluación y su estricta aplicación es una ga-rantía para poder cerciorarse de que los alumnos han alcanzado los objetivos previstos.2

8. ¿Cómo relaciona los criterios de evaluación con los instrumentos y con los criterios de calificación y las características del alumnado?

Podemos considerar que los criterios de evaluación son un puente que pone en relaciónlos objetivos y la evaluación de las capacidades y destrezas adquiridas por el alumno. Poreso hemos enunciado los criterios de evaluación con verbos de acción, concretos, que in-dican cómo se va a valorar. Así decimos comparar, distinguir, diferenciar, explicar cómo

No se trata de una simple cuestión estética o semántica, sino la intenciónde que el alumno realice una demostración de sus conocimientos.

La siguiente concreción es cómo vamos a conseguir que el alumno “analice, compare,diferencie…” y es cuando programamos los instrumentos de calificación3.

2 El opositor tiene la respuesta en la primera parte de esta obra en el apartado de Evaluación. Es importante, en todo caso, distinguirclaramente entre evaluación y calificación, así como entre criterios de evaluación y criterios de calificación. Por la naturaleza de lapregunta parece que el tribunal tiene interés en conocer los criterios de calificación, con los que se consigue el saber el estado de laadquisición de conocimientos. En este caso habrá que citar no sólo las pruebas y exámenes, que guste o no, son imprescindibles, sinotambién todas las formas de observación que emplearemos y se han citado en el texto.

3 Ver nota anterior respecto a los criterios de evaluación y de calificación.



Los criterios de calificación están acordes con nuestras intenciones educativas y se adap-tarán a los alumnos según su diversidad.

9. ¿Cómo comprueba que la evaluación realizada a sus alumnos ha sido correcta y no han influido factores ajenos o no programados?Existen instrumentos de evaluación de distinta objetividad. A veces en la observación directade los alumnos, observación de su cuaderno y otros instrumentos, se pueden extraer conclu-siones erróneas o, al menos, poco exactas. El instrumento de evaluación más objetivo es, en lamayoría de los casos, el de la comprobación directa por medio de pruebas orales o escritas.Se trata, por tanto, de comprobar que las pruebas realizadas son las idóneas, por lo quehan de cumplir, al menos, los siguientes principios básicos4:a) Que tengan una dificultad idónea. Las pruebas demasiado fáciles o demasiado difí-

ciles son fuente error.b) Que sean discriminatorias5.c) Que sean fiables6.d) Que sean válidas7.e) Que sean homogéneas8.

10. ¿Cómo comprueba que el proceso de aprendizaje ha sido eficaz y se ha realizado de acuerdo con lo programado?Realizar una evaluación de la propia actuación es un ejercicio difícil de realizar en todoslos casos, por la práctica imposibilidad de la objetividad. Sin embargo la retroalimenta-ción de la Programación es una necesidad por todos reconocida.Los criterios que utilizamos para realizar esta autoevaluación son los siguientes:a) Comprobación de si se han respetado los principios básicos de la evaluación y de la

Programación.b) Obtención de una evaluación positiva del número de alumnos esperado.c) Cumplimiento de la temporalización.d) Análisis de las modificaciones e incorporaciones realizadas durante el desarrollo.

4.3.2. Cuestiones generales

1. Sobre la tutoría(Cuestiones cómo: “En su programación dice usted que se pondrá en contacto con el tutor

4 Para calcular estos principios básicos se utilizan diversos algoritmos según diversos autores que no son propios de esta respuesta,pero que el lector puede consultar en la bibliografía si desea hacerlo.

5 Discriminación es la capacidad de diferenciación entre los distintos niveles de rendimiento.6 Fiabilidad es la consistencia que existe entre las medidas, la ausencia de error de medición.7 Validez es la adecuación de un instrumento de recogida de información o de la información obtenida. Una prueba es tanto más válida

cuanto más mide lo que pretende medir.8 Homogeneidad es la coherencia de cada uno de los items con el resultado global de la prueba.


MATEMÁTICAS 261

La educación no tiene solamente por objeto la adquisición de conocimientos de conceptos yprocedimientos, sino también de valores, normas y actitudes. En consecuencia, su objetivo últimoes el pleno desarrollo personal de los alumnos, un desarrollo que implica, por parte de los profe-sores, el ejercicio de la función tutorial.

La acción docente no se ejerce sólo de forma colectiva, ni tiene como escenario solamente el aula:– La personalización de los procesos de enseñanza-aprendizaje,– la atención individualizada a las necesidades educativas específicas de cada alumno,– la preocupación por las circunstancias personales,– el apoyo ante la toma de decisiones sobre el futuro,– la conexión con la familia y con el entorno productivo y cultural, y en general,– el trato particular que se establece entre el profesor y el alumno contribuyen a que las

experiencias escolares y extraescolares puedan ser integradas progresivamente, convir-tiéndose en elementos de referencia de proyectos de vida cada vez más autónomos.

Los cometidos señalados forman parte del repertorio de actuaciones de cualquier profesor. Ellogro de éstos y la práctica docente encaminada a alcanzar estos objetivos debe estar inscrito enel marco de trabajo del equipo docente.

– El tutor de grupoLa orientación, como actividad educativa de la que es responsable todo el profesorado, no estáreñida con la asignación de la coordinación de la misma, en forma de acción tutorial, a algunode los profesores de cada grupo de alumnos. La pluralidad del profesorado que atiende a losdiferentes grupos de alumnos, la variedad de objetivos educativos que se persiguen y el funcio-namiento complejo del los centros de Secundaria, son razones suficientes para determinar lanecesidad de la figura del tutor. En consecuencia, resulta necesario que algún profesor, ademásde sus responsabilidades de área o materia, asuma de modo formal e institucional funciones tu-toriales de las que, por otra parte, el resto de los docentes no pueden quedar eximidos. También,en coherencia con ello, en la Educación Secundaria es preciso que algunas de las actividades detutoría y orientación queden determinadas en el horario escolar en forma de “hora de tutoría”.La designación de la figura del tutor responde a la intención de personalizar y de dar sistematicidad a los procesos educativos.Algunos aspectos de la función docente reclaman de modo particular la acción especí-ficamente tutorial: no sólo la coordinación del proceso evaluador de los alumnos, sinoprincipalmente la adecuación de la oferta educativa a sus necesidades para proceder a lasoportunas adaptaciones curriculares y, en general, a la detección y atención de las nece-sidades de apoyo de algunos alumnos en determinados momentos de su escolarizacióno a lo largo de toda ella. El tutor, además, está llamado a funciones mediadoras en lasrelaciones dentro de cada centro educativo, así como también en las relaciones del centrocon las familias de los alumnos y con el entorno.Es de gran importancia destacar que el tutor forma parte de un equipo docente, por lo que enel desarrollo de la docencia, como en la tarea orientadora, sigue siendo esencial la coopera-ción entre cada tutor de un grupo y los demás tutores del centro. La coherencia y la continui-dad en los planteamientos educativos es, en la etapa de Educación Secundaria Obligatoria, unimperativo de primer orden.Las funciones y tareas generales que se encomiendan al tutor tienen tres tipos de destinata-rios: ante todo el alumnado, pero también el profesorado y las familias. Estas funciones, a suvez, pueden desarrollarse en diferentes tipos de actividades. Pero las actividades que así pue-



dan sugerirse, como luego se hará, forman un repertorio con valor sólo indicativo y ejemplifi-cador, para que el tutor seleccione, en la práctica concreta del desarrollo de sus funciones, lasque mejor se adapten a sus posibilidades personales y del equipo docente, a las característicasdel grupo y del centro, y a las prioridades establecidas en el Proyecto Educativo del centro.

– Funciones del tutorLas funciones propias de un tutor de Educación Secundaria son:a) Facilitar la integración de los alumnos en su grupo y en el conjunto de la vida acadé-

mica y fomentar en ellos el desarrollo de actitudes participativas.b) Contribuir a la personalización de los procesos de enseñanza y aprendizaje.c) Atender y, en lo posible, anticiparse a las dificultades más generales del aprendizaje

de los alumnos, así como a sus necesidades educativas específicas, para proceder ala correspondiente adecuación personal del currículo.

d) Coordinar el proceso de evaluación de los alumnos teniendo en cuenta los informesde los demás profesores, adoptar la decisión acerca de su promoción.

e) Coordinar con los demás profesores del grupo la coherencia de la propia Programa-ción y de la práctica docente coherente con el Proyecto Educativo y la ProgramaciónAnual del Centro.

f) Contribuir a la cooperación educativa entre el profesorado y los padres de los alumnos.

– Actividades tutorialesEl cumplimiento de las funciones citadas forma parte de las obligaciones docentes deltutor, que debe dar cuenta de ese cumplimiento de la misma forma que de otras obliga-ciones docentes. Ahora bien, dichas funciones pueden cumplirse a través de muy distin-tas actividades y es responsabilidad del tutor elegir, programar y realizar las actividadesque le parezcan más oportunas para sus alumnos. Se trata de confiar al profesor tutor supropia programación tutorial.Las sugerencias que se hacen a continuación sobre Pprogramación de actividades tuto-riales han de tomarse con valor ilustrativo y ejemplificador, no con carácter prescriptito.Los tutores pueden realizar éstas u otras actividades. Las que se presentan correspondena lo que hacen muchos profesores tutores en el desempeño de función:* Organizar actividades de acogida a principio de curso, sobre todo para los alumnos

que llegan al centro por primera vez, sea al comienzo de la etapa, sea por cambio decentro. Son actividades especialmente necesarias para anticiparse a los problemasde adaptación derivados de la incorporación a un nuevo centro, a un nuevo grupo decompañeros o a un nuevo ciclo educativo.

* Hablar a principio de curso con el alumnado sobre sus derechos y deberes, sobre lasnormas de régimen interior y disciplina del centro, e informarles también sobre elfuncionamiento de éste.

* Explicarles las funciones y tareas que él mismo tiene como profesor tutor del grupo,dándoles la oportunidad de participar en la propuesta y programación de actividades.

* Analizar con el resto del profesorado las dificultades académicas de los alumnosdebidas a deficiencias instrumentales, problemas de integración y otros, y buscar, siprocede, los asesoramientos y apoyos necesarios.

* Celebrar asambleas con los alumnos para preparar las sesiones de evaluación y paracomentar y tomar decisiones tras el resultado de las mismas.


MATEMÁTICAS 263

* Promover y coordinar actividades que fomenten la convivencia, la integración y laparticipación de los alumnos en la vida del centro y en el entorno: elección de repre-sentantes, fiestas y excursiones, actividades culturales y extraescolares, etc.

* Realizar actividades que muestren a la comunidad la diversidad existente en la mis-ma desde el punto de vista social, cultural y étnico, y que resalten la importancia deintegrar a todos sin excepción en la dinámica escolar.

* Concertar con el equipo educativo un Plan de Acción Tutorial para todo el curso,tratando de precisar cuál es el grado y modo de implicación del profesorado y cuáleslos aspectos que de forma específica y prioritaria atenderá el tutor.

* Transmitir a los profesores todas aquellas informaciones sobre el alumnado queles puedan ser útiles para el desarrollo de sus tareas docentes, evaluadoras yorientadoras.

* Preparar, coordinar y moderar las sesiones de evaluación procurando que su desarro-llo se ajuste a los principios de la evaluación continua, formativa y orientadora quese propugnan para todas las fases del proceso evaluador.

* Establecer cauces de colaboración con los demás tutores, sobre todo, con los delmismo curso o ciclo, a la hora de marcar y revisar los objetivos, preparar las acti-vidades, elaborar materiales de apoyo y coordinar el uso de los medios y recursosdisponibles.

* Procurar la colaboración de los padres en relación con el trabajo personal de sushijos: organización del tiempo de estudio en casa, lugar apropiado, necesidad detiempo libre y descanso, etc.

* Preparar visitas a empresas, servicios, lugares de ocio, etc., con la colabora-ción de los padres. No pocas veces los centros tienen serias dificultades paraencontrar empresas o servicios para organizar sus prácticas o sus visitas. LasAsociaciones de de Madres y Padres pueden facilitar interesantes contactos,sobre todo, con medianas y pequeñas empresas.

* Tener entrevistas individuales con padres, cuando ellos las soliciten o el tutor lasconsidere necesarias, ayudándoles a descargar la ansiedad ante el posible fracasoescolar de sus hijos y buscando una valoración más global y una actitud más activay responsable ante la situación.

* Informar al alumnado de los posibles itinerarios académicos y profesionales para suinserción en el mundo laboral.

* Coordinar grupos de discusión sobre temas formativos de interés para los padrescon miras a la educación de sus hijos. Cuando estos temas sobrepasen la prepara-ción del tutor, éste puede pedir la colaboración del profesor orientador o del equipointerdisciplinar del sector.

* Tener reuniones con los padres a lo largo del curso. Los momentos más oportunospueden ser el comienzo y final del curso, pero también, desde luego, en algún mo-mento a la mitad del mismo. Estas reuniones servirán para intercambiar informacióny analizar con ellos el proceso educativo de sus hijos.

Es necesario que el tutor planifique las actividades específicas tutoriales que va a de-sarrollar a lo largo del curso. Esta planificación ha de plasmarse en una Programaciónsemejante a otras Programaciones docentes, con libertad y bajo su responsabilidad, peroen el marco del Proyecto Educativo y de la Programación Anual del Centro.



2. Sobre la orientación(Cuestiones como: “Hace usted referencia al Departamento de Orientación al referirse a

la diversificación y a los programas de diversificación, así como a la responsabilidad de este

– La función orientadora

En los centros de Enseñanza Secundaria se pueden considerar tres tipos de orientación:académica, profesional y psicopedagógica.

– La orientación académica

Es la que debe recibir el alumno para superar las dificultades que le pueda ofrecer supaso por el centro. Va dirigida especialmente a los mecanismos propios del proceso deaprendizaje. Para que sea adecuada debe:

* Abarcar a la totalidad del alumnado.

* Atender todas sus necesidades en el centro.

* Ser continua, prolongándose a lo largo de toda la escolaridad.

* Dar pautas para el tratamiento de los diversos grados de diversidad.

* Tratar globalmente los problemas, muchos de los cuáles se originan precisamente enel ámbito escolar, o del barrio, de las relaciones interpersonales, etc.

* Ser capaz de orientar sobre los estudios y el rendimiento satisfactorio.

– La orientación profesional

Trata de iniciar al alumno en el conocimiento de las profesiones y en el de sus propias aptitu-des hacia ellas. Debe propiciar conferencias, charlas, etc., en las que especialistas le informensobre las salidas profesionales, así como el descubrimiento de su vocación profesional.

– La orientación personal y psicopedagógica

Intenta que el alumno se comprenda y se conozca a sí mismo, en relación con el mundoque le rodea, tanto socio-familiar como escolar. Trata de que ponga en tensión todassus capacidades y aproveche los recursos que le ofrecen para lograr una posición equi-librada en la resolución de los problemas que le afectan. Se trata, por tanto, de enseñaral alumno a ser persona, a pensar, a convivir, a comportarse, a tomar decisiones. Peroesto sólo es posible integrando la acción tutorial en la función docente a través de uncurrículo más formativo y orientador.

– El Departamento de Orientación

En todos los centros de Educación Secundaria existe un Departamento de Orientacióncompuesto por profesores entre los que habrá, al menos, uno de la especialidad de Psico-logía y/o Pedagogía y en aquellos centros en los que se imparta Formación ProfesionalEspecífica se incorporarán al Departamento de Orientación los profesores que tengan asu cargo la Formación y Orientación Laboral.

Son funciones del Departamento de Orientación:

* Formular propuestas al equipo directivo y al claustro relativas a la elaboración o mo-dificación del Proyecto Educativo del Centro y a la Programación General Anual.


MATEMÁTICAS 265

* Elaborar, en colaboración con los tutores, las propuestas de organización de la orien-tación educativa, psicopedagógica, profesional y del Plan de Actuación Tutorial, ya elevarlas a la Comisión de Coordinación Pedagógica para su discusión y posteriorinclusión en la Programación.

* Contribuir al desarrollo del Plan de Orientación Académica y Profesional y del Plande Acción Tutorial y elevar al consejo escolar una memoria sobre su funcionamientoal final de curso.

* Elaborar la propuesta de criterios y procedimientos previstos para realizar las adap-taciones curriculares apropiadas para los alumnos con necesidades educativas espe-cíficas.

* Colaborar con los profesores del centro en la prevención y detección temprana deproblemas de aprendizaje y en la programación y aplicación de adaptaciones curri-culares dirigidas a los alumnos que lo precisen.

* Realizar la evaluación psicológica y pedagógica previa.

* Asumir la docencia de los grupos de alumnos que les sean encomendados.

* Participar en la elaboración del consejo orientador sobre el futuro académico y pro-fesional del alumno.

* En los centros donde se imparta Formación Profesional Específica, coordinar laorientación laboral y profesional con aquellas administraciones o instituciones com-petentes en la materia.

* En los centros que tengan residencia, colaborar con los profesionales que tengan a sucargo la atención educativa de los alumnos internos.

* Elaborar el plan de actividades del departamento y, a final de curso, una memoria enla que se evalúe el desarrollo del mismo.

3. Sobre las características psicológicas de los alumnos-

– Características básicas del desarrollo de los adolescentes

La ampliación de la enseñanza obligatoria hace posible la configuración de una etapa deEducación Secundaria con entidad propia entre los 12 y 16 años que coincide con losaños en que los escolares viven un proceso de cambio especialmente significativo.

Las características e intenciones educativas de la etapa de ESO se basan en una seriede principios agrupados en torno a dos dimensiones: los principios de una enseñanzacomprensiva, a la vez diversificada, y los principios derivados del carácter intrínseco, ala vez preparatorio, para los siguientes niveles educativos. En ambas dimensiones hande hallarse los oportunos puntos de equilibrio donde se concilien los principios y valoresmencionados.

La doble función, intrínseca y propedéutica, exige tratar de conseguir que los alumnosasimilen de forma significativa y crítica los elementos básicos de la cultura de nuestrotiempo y se preparen para ser ciudadanos capaces de desempeñar sus deberes y de ejercer



sus derechos en una sociedad democrática, pero exige también sentar las bases para laformación postobligatoria en sus diferentes modalidades de Bachillerato o FormaciónProfesional de Grado Medio, sin discriminaciones de ningún tipo.

– Aspectos evolutivos y psicopedagógicos

La etapa de Educación Secundaria Obligatoria se corresponde con un momento evoluti-vo de los alumnos entre 12 y 16 años y el Bachillerato entre 17 y 18 años. Especialmenteen la etapa de ESO, son años que coinciden con la preadolescencia y la primera adoles-cencia, en los que se producen importantes cambios fisiológicos, psicológicos y sociales.La configuración de la ESO como etapa unitaria pretende acompañar a los adolescentesen un periodo difícil, no necesariamente conflictivo, pero sí de fuertes cambios, aportan-do los elementos educativos de orden cognitivo, afectivo, motor, social y moral, que lespermitirán crecer y llevar una vida autónoma y responsable como hombres y mujeres.

En esta edad se produce una integración social más fuerte en el grupo de compañerosy, por otro lado, comienza el proceso de la emancipación respecto a la familia. El ado-lescente empieza a tener ideas y valores propios, actitudes personales. Es el momentoen el que se configuran las primeras opciones de valor y las líneas y estilos de vida queprevisiblemente pasarán a la edad adulta. El adolescente vive intensamente para sí mis-mo, elaborando su propia identidad y, al propio tiempo, y con no menos intensidad, viveabierto y volcado hacia el exterior, hacia relaciones sociales nuevas que le proporcionanexperiencias para él desconocidas.

Simultáneamente se producen importantes cambios intelectuales. A partir de los 12 años seadquiere y consolida un tipo de pensamiento de carácter abstracto, que trabaja con operacio-nes lógico-formales y que permite la resolución de problemas complejos. Este tipo de pen-samiento se caracteriza por la capacidad de razonamiento, de formulación de hipótesis y dela comprobación sistemática de las mismas, del uso de argumentos, capacidad de reflexión,elaboración de análisis y exploración de las variables que intervienen en los fenómenos.En relación con este pensamiento abstracto formal, los alumnos pueden ser iniciados en elmétodo y procedimientos científicos, en el desarrollo de mecanismos de solución de proble-mas, en asimilación razonada de la información y en el pensamiento crítico.

El estudio, la exploración y el conocimiento de la realidad requiere diferentes modos de re-presentación, entre los cuáles sobresale el lenguaje. En esta edad el lenguaje representa un pa-pel crucial como instrumento regulador del pensamiento y del comportamiento. Además dellenguaje existen otros modos de representación y otros códigos representativos: los propiosde las matemáticas, la producción artística, la expresión corporal, la aplicación de las cienciasexperimentales, etc., que contribuyen igualmente al desarrollo del pensamiento formal y auna forma de expresión y comunicación a la altura de las necesidades de los adolescentes.

Del mismo modo, en esta época de la vida se completa la socialización de los alumnos,su educación para una convivencia democrática, su acceso al patrimonio cultural y a lossignificados sociales. Al final de la educación obligatoria, los alumnos han de estar capa-citados para vivir como ciudadanos libres y responsables en una sociedad democrática ypara apreciar de manera crítica y disfrutar de los distintos modos de creación cultural.

El horizonte educativo de esta etapa es, por tanto, el de propulsar la autonomía de losalumnos, tanto en los aspectos cognitivos e intelectuales como en su desarrollo social ymoral. Ambos aspectos construirán la propia identidad del alumno, su autoestima y laelaboración de un proyecto de vida vinculado a valores. A ello ha de contribuir el currí-culo y toda la acción educativa, tanto la desarrollada de forma curricular en las distintasáreas, como la ejercida por la tutoría y la orientación educativa.


MATEMÁTICAS 267

– Ámbitos básicos del desarrollo

En la Educación Secundaria se ha de promover el desarrollo integral de la persona en losaspectos intelectual, motor, de equilibrio personal y afectivo, de relación interpersonal yde actuación e inserción social. En continuidad con la Educación Primaria, los ámbitosbásicos de desarrollo de esta etapa son los siguientes:

* La profundización en la independencia de criterio y la autonomía de acción en el medio.

* El desarrollo de la capacidad de pensamiento reflexivo a partir de observacionessistemáticas de hechos, situaciones y fenómenos.

* El logro de un equilibrio afectivo y social a partir de una imagen ajustada y positivade sí mismo.

* El desarrollo de las capacidades motrices y de dominio especio-temporal.

* La adquisición y el perfeccionamiento de instrumentos de indagación y representación.

* La inserción activa, responsable y crítica en la vida social.

* La realización de aprendizajes significativos que aumenten la capacidad de com-prensión de la realidad.

* La asunción plena de las actitudes básicas para la convivencia democrática en elmarco de los valores de solidaridad, participación, responsabilidad, tolerancia ysentido crítico.

El desarrollo de estas capacidades debe fomentarse de manera que el alumno las pongaen práctica tanto dentro del centro como en su vida extraescolar, abriendo el centro edu-cativo al entorno social, cultural y laboral para favorecer una mayor continuidad entreeducación formal y no formal.

Nos detendremos, por considerarlo más importante desde el punto de vista docente-discente así como de formación integral del alumno, en el desarrollo cognitivo y en eldesarrollo de la personalidad.

– Desarrollo cognitivo

Los estudios del desarrollo cognitivo del adolescente se inicia con la obra de B. Inheldery J. Piaget, De la lógica del niño a la lógica del adolescente (1955).

Desde la práctica docente hay que tener en cuenta tres aspectos:

a) El desarrollo del adolescente es un proceso de confluencia entre los aspectos psico-biológicos y culturales, conformando una unidad. Debido a ello no se pueden tras-ladar mecánicamente los aspectos generales del desarrollo psicológico a un alumnoparticular, sin tamizarlos culturalmente.

b) El desarrollo no se sustrae a la educación ni es independiente de ella.

c) El centro no es el único contexto educativo, sino que hay que tener en cuanta otrosámbitos como el familiar, social, religioso, etc.

Estos tres aspectos inciden en la necesaria fusión entre desarrollo psicológico y contextocultural.

Piaget denomina al desarrollo cognitivo “etapa de las operaciones formales”, consideran-do una operación como una acción interiorizada, reversible y coordinada en una estruc-tura. El adolescente, antes de aproximarse a las operaciones formales, ha desarrollado



como niño, entre los siete y once años, las operaciones concretas sobre objetos concretos.Pero las operaciones formales suponen una superación de las actuaciones sobre objetosconcretos consistiendo en acciones interiorizadas realizadas sobre realidades no físicas ohipotéticas. Las tres principales características del pensamiento formal son:* El sujeto subordina lo real a lo posible. Esta posibilidad no es un incoveniente, sino

positiva para el aprendizaje.* El pensamiento formal es hipotético-deductivo.* El pensamiento formal tiene un carácter proposicional.Estas tres características favorecen el egocentrismo cognitivo del adolescente que seinterroga y se mantiene crítico con las opiniones ajenas.

– Desarrollo de la personalidadSe establecen dos momentos críticos en el desarrollo de la personalidad, uno de los 11 alos 13 años (primer momento) y otro de los 13 a los 17 (segundo momento).Los rasgos característicos del desarrollo de la personalidad (E. Fernandes, 1991) son:* A nivel socioemocional

a) En un primer momento:• Se muestra inquieto y hablador.• Huye de la soledad.• Tiende a las relaciones interpersonales.

b) En un segundo momento:• Sueña y medita.• Critica el comportamiento de sus padres.• Se distancia de la familia.

* A nivel psicológicoa) En un primer momento:

• Se descontrola con facilidad.• Alza la voz si se le lleva la contraria.• Se resiste a colaborar y aceptar las normas familiares.• Se opone a los buenos modales.• Busca la acción en grupo.• Dialoga con los adultos para contrastar las reacciones que produce su com-

portamiento.b) En un segundo momento:

• Aspira a tener cualidades estéticas, intensa preocupación por el cuerpo y lashabilidades físicas.

• Alcanza cierto dominio de sí mismo y presenta un ponderado sentido del deber.• Extrema preocupación por la opinión que tengan de él.


MATEMÁTICAS 269

* A nivel afectivo

a) En un primer momento:

• Manifiesta aprecio a las personas que le agradan.

• Le hacen favores.

• Escuchan y observan a las personas que le agradan.

• Es fiel y tolerante.

b) En un segundo momento:

• Se centra en su persona, analiza su conducta, se autocritica, disfruta de lanaturaleza psicoafectiva y emocional.

• Siente necesidad de amar y ser amado, el egoísmo y la vanidad lo condiciona.

• Se encuentra más seguro.

• El amor da origen a una mezcla de ansiedad y alegría, de reto y aventura.

En los dos periodos el lenguaje interior del alumno ocupa gran parte de su tiempo, abs-trayéndose e ignorando el entorno con facilidad; presente físicamente en el aula, no semantiene atento y se desmotiva frecuentemente; suele sobrevalorar sus conflictos apa-rentes o reales por encima de cualquier otra cuestión, incluso escolar.

Después de lo dicho respecto a la personalidad del adolescente, interesa desde el procesode enseñanza-aprendizaje porque:

a) Ayuda a una mejor comprensión de los problemas del alumno.

b) Contextualiza las reacciones y acciones con el docente.

c) Explica las relaciones que mantienen los alumnos entre sí.

d) Señala algunos rasgos y posibilidades de intervención con los padres.

e) Pondera el uso de las dinámicas grupales.

f) Exige una disciplina aderezada de afectividad.

g) Explicita los motivos que más interesan al adolescente.

h) Permite al docente cooperar en la búsqueda de un autocontrol.

i) Evita que percibamos al adolescente como un adulto o como un niño.

4. Sobre la evaluación inicial

La evaluación inicial debe ser considerada no sólo como la base del proceso de enseñanza-aprendizaje sino como parte del propio proceso, y esto porque se puede considerar el primerescalón en el aprendizaje significativo por el que nos hemos decantado.



La función de la evaluación debe ser trascendental tanto para el profesor como para el alumno.– Para el docente

El profesor tiene por función principal la de conseguir que el aprendizaje de sus alumnossea efectivo. Desde el punto de vista constructivista podremos decir que tiene necesidadde ayudar a construir el aprendizaje de los alumnos, en especial de algunos alumnos decada grupo. Por ello son necesarias estrategias que le informen de:* Las ideas previas que tienen estos alumnos respecto a los nuevos aprendizajes.* Los conocimientos ya adquiridos por parte de los alumnos del grupo.* Las expectativas ante los nuevos conocimientos.* La existencia o ausencia de determinados conocimientos que pueden ser considera-

dos básicos para la adquisición de los nuevos aprendizajes.* Cómo son los mecanismos de razonamiento que utiliza el alumnado para deducir,

argumentar, justificar, tomar decisiones, etc.* Las actitudes ante el aprendizaje.En realidad se puede considerar la evaluación inicial como una forma de regulación dela planificación, aprovechando lo que ya existe e introduciendo las modificaciones per-tinentes en la evaluación, para que todos los alumnos alcancen los mínimos.

– Para el alumnoLa evaluación inicial debe ayudar además al propio alumno, para que éste tome decisio-nes de control de su proceso de aprendizaje. Este proceso se verá facilitado porque:* Previene de que se tratará en el curso, de manera que desde el principio empieza a

implicarse activamente en el proceso educativo.* Pone al día sus ideas, conocimientos previos y preconceptos sobre la materia que se

va a desarrollar.* Realiza su propia planificación para adecuar sus modelos de comportamiento a las

actividades y tareas a realizar.* Lo motiva, valorando la materia y actividades que va a realizar.Por todo ello es importante la evaluación inicial y ha de ser meditada y diseñada meticu-losamente.

5. Sobre los departamentos didácticos(Cuestiones como: “En su Programación hace referencia en varias ocasiones al departa-

En los Institutos de Educación Secundaria existen Departamentos de Coordinación Didáctica, quese encargan de la organización y desarrollo de las enseñanzas propias de las asignaturas o módulos quese les encomienden. Cada Departamento de Coordinación Didáctica está constituido por los profesoresde las especialidades que impartan las enseñanzas de las asignaturas o módulos asignados al mismo.

La jefatura de cada departamento es desempeñada por un funcionario del Cuerpo de Ca-tedráticos de Enseñanza Secundaria, titular de alguna de las especialidades integradas en losrespectivos departamentos.

En ausencia, en los respectivos centros, de funcionarios del cuerpo de Catedráticos, la je-fatura de los Departamentos de Coordinación Didáctica se atribuye a un profesor funcionarioperteneciente al cuerpo de profesores de Enseñanza Secundaria.


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6. Sobre las Leyes Orgánicas de Educación-

A causa de los avances científicos y pedagógicos, se hace necesario actualizar tanto los pla-

no es ajena a la planificación del Sistema Educativo, por lo que ha venido cambiando (quizá con demasiada frecuencia) según las alternancias políticas que se han producido en las últimas

1. Ley 14/1970, de 4 de agosto, General de Educación y Financiación de la Reforma Educativa. Es la ley que establece la EGB y el BUP, vigente hasta la aplicación de laLOGSE.

2. Ley 1/1990, de 3 de octubre, de Ordenación General del Sistema Educativo. Es la ley básica de reforma real y aporta innumerables conceptos nuevos. Entre otros avances,establece la educación obligatoria hastalos 16 años.

3. Ley Orgánica 9/1995, de 20 de noviembre, de Participación, Evaluación y Gobierno de Centros Docentes. Modifica y reorienta algunos aspectos de la LOGSE.

4. Ley Orgánica 10/2002, de 23 de diciembre, de Calidad de la Educación. Con ella sepretende establecer una educación de calidad y competitiva.

5. Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. De vigencia actual.

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