ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Nº 2 DISTRIBUCIONES DISCRETAS ESPECIALES,

DISTRIBUCIÓN NORMAL Y DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES

HERMAN CRUZ COD 7301631

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL A DISTANCIA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BOGOTA

2013

HERMAN CRUZ COD 7301631

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA Nº 2 DISTRIBUCIONES DISCRETAS ESPECIALES,

DISTRIBUCIÓN NORMAL Y DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES

INGENIERO NESTOR HUMBERTO AGUDELO DIAZ

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL A DISTANCIA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BOGOTA

2013

DISTRIBUCIONES DISCRETAS ESPECIALES, DISTRIBUCIÓN NORMAL Y DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES.

TALLER DE PROBABILIDAD

1. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores

humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos, d) Determinar la esperanza matemática de que los accidentes se atribuyan a errores humanos, e) Hallar la desviación estándar y el coeficiente de variación.

a-) n = 5 x = {0,1, 2, 3, 4, 5} Número de accidentes por errores humanos. p = 0.75 Valor de la probabilidad que se presente un accidente por

errores humanos. q = 1 – p = 0.25 Valor de la probabilidad que no se presente un accidente por

errores humanos. � = ��, �, �� = ��������� � = �2,5,0.75� = 5�� ∗ 0.75� ∗ 0.25�

� = 10 ∗ 0.562 ∗ 0.0156 = 0.0876≅9%

Hay una probabilidad del 9% que ocurran dos de los accidentes que se puedan atribuir a errores humanos. b-) Aquí debemos tener en cuenta que máximo se presente 1 accidente por errores humanos (X=1) o que no se presenten accidentes por errores humanos (X=0). � = �����, �, �� + �����, �, �� = 5������������ + 5������������

� = ���0,5,0.75� + ���1,0,0.75� = �0.75� ∗ 0.25 � + �5 ∗ 0.75� ∗ 0.25!� � = 0.000976 + 0.0146 = 0.0155≅1.55%

Hay una probabilidad del 1.55% que ocurra máximo 1 accidente que se pueda atribuir a errores humanos.

c-) Para esta parte nos indican que trabajemos con la probabilidad de la no ocurrencia de accidentes atribuibles a errores humanos, entonces el valor de p cambia a 0.25. n = 5 x = {0,1, 2, 3} Número de accidentes por errores humanos. p = 0.25 Valor de la probabilidad que no se presente un accidente por

errores humanos. q = 1 – p = 0.75 Valor de la probabilidad que se presente un accidente por

errores humanos. � = ��, �, �� = ���������

� = �3,5,0.25� = 5�� ∗ 0.25� ∗ 0.75� � = 10 ∗ 0.0156 ∗ 0.562 = 0.0878≅9%

Hay una probabilidad del 9% que tres de los accidentes no sean atribuibles a errores humanos. d-) E(x) = p * n E(x) = 0.75 * 5 ≅ 3.75% Hay una probabilidad del 3.75% de que la esperanza matemática sea atribuida a accidentes causados por errores humanos. e-) Coeficiente de variación. $� = � ∗ � ∗ $� = 5 ∗ 0.75 ∗ 0.25 $� = 0.9375 Desviación estándar. $ = %� ∗ � ∗ $ = √5 ∗ 0.75 ∗ 0.25 $ = 0.968

2. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 7 tabletas de narcótico en una botella que contiene 15 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 4 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos? c) Determinar la esperanza matemática de que sea arrestado el viajero, e) Hallar la desviación estándar y el coeficiente de variación.

a-) N = 7 + 15 = 22 pastillas en total K = 7 pastillas de narcótico n = 4 pastillas de muestra x = 0,1,2,3,4 posible cantidad de pastillas del narcótico que se pueden llegar a obtener en la muestra.

ℎ�≥ �,), �, *� =+,*�- ,)−*�−� -,)�-�

/�

ℎ�≥ 1,22,4,7� = +,7�- ,22−74−� -,224 -0

/�

ℎ�≥ 1,22,4,7� = ,71- ,153 -,224 - + ,72- ,152 -,224 - + ,73- ,151 -,224 - + ,74- ,150 -,224 -

ℎ�≥ 1,22,4,7� = 7�4557315 + 21�1057315 + 35�157315 + 35�17315 = 0.813397≅81.33%

Hay una probabilidad del 81.33% de que el viajero sea arrestado. b-)

ℎ��, ), �, *� = ,*�- ,)−*�−� -,)�-

ℎ�0,22,4,7� = ,70- ,22−74−0 -,224 -

ℎ�0,22,4,7� = 1 ∗ 1.3657.315 = 0.1866≅18.66%

Hay una probabilidad del 18.66% de que el viajero no sea arrestado. c-) 12�3 = � ∗ *)

12�3 = 4�722 = 1.272 d-) $� =+��1 − 1����2 ∗ �4�

�=0

$� = ��0 − 1.272�� ∗ 0.302� + ��1 − 1.272�� ∗ 0.032� + ��2 − 1.272�� ∗ 0.159�+��3 − 1.272��∗ 0.214�+��4 − 1.272�� ∗ 0.035� $� = �0.302 + 0.032 + 0.159 + 0.214 + 0.035� $� = 0,7438

$ = 5+��1 − 1����2 ∗ �4��=0

$ = %0,7438 $ = 0.8624≅0.86 3. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo,

se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

a-) ���, λ6� = �λ6� ∗ 7��λ8��!

x = variable número imperfecciones cada 3 minutos -> x = 1 t = 3 minutos λ = promedio de imperfecciones por cada 1 minuto -> 0.2 * 3 = 0.6 imp

��1,0.2,3� = �0.2 ∗ 3�� ∗ 7���.�∗��1!

��1,0.2,3� = 0.329≅33% Hay una probabilidad del 33% de poder identificar una imperfección en 3 minutos. b-) x = variable número imperfecciones cada 3 minutos -> x = 0,1,2 t = 5 minutos λ = promedio de imperfecciones por cada 5 minuto -> 0.2 * 5 = 1 imp

��≥ �, λ6� = 1 −+�λ6� ∗ 7��λ8��!�/�

��≥ 2,0.2,5� = 1 −+�0.2 ∗ 5� ∗ 7���.�∗ ��!�/�

��≥ 2,0.2,5� = 1 − :+�0.2 ∗ 5�� ∗ 7���.�∗ �0!�/� ++�0.2 ∗ 5�� ∗ 7���.�∗ �1!�

/� ;

��≥ 2,0.2,5� = 1 − �0.367 + 0.367� ��≥ 2,0.2,5� = 1 − �0.367 + 0.367� ��≥ 2,0.2,5� = 0.2642≅26% Hay una probabilidad del 26% de poder identificar al menos dos imperfecciones en 5 minutos. c-) x = variable número imperfecciones cada 3 minutos -> x = 0,1 t = 15 minutos λ = promedio de imperfecciones por cada 15 minuto -> 0.2 * 15 = 3 imp

��≥ �, λ6� =+�λ6� ∗ 7��λ8��!�/�

��≥ 1,0.2,15� =+�0.2 ∗ 15� ∗ 7���.�∗� ��!�/�

��≥ 2,0.2,15� = :+�0.2 ∗ 15�� ∗ 7���.�∗� �0!�/� ++�0.2 ∗ 15�� ∗ 7���.�∗� �1!�

/� ;

��≥ 2,0.2,15� = 0.0497 + 0.149 ��≥ 2,0.2,15� = 0.1987≅20% Hay una probabilidad del 20% de poder identificar cuando menos una imperfección en 15 minutos. 4. El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre

internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal, Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero. Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor, tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16 de pulgada?

< = = − >$

x = variable espesor mortero pulgadas -> 7/16 ≅ 0.4375

µ = 0.635”

σ =0.082” < = 0.4375 − 0.6350.082

< = −2.4085≅ − 2.41 ?�= < 0.4375� = ?�A < −2.41�

El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?�A < −2.41� = 0.0080≅0.8%

El valor de los recubrimientos que son inferiores a 7/16” es del 0.8%. 5. Un tubo fluorescente estándar tiene una duración distribuida Normalmente,

con una media de 7,000 horas y una desviación estándar de 1,000 horas. Un competidor ha inventado un sistema de iluminación fluorescente compacto que se puede insertar en los receptáculos de lámparas incandescentes. El competidor asegura que el nuevo tubo compacto tiene una duración distribuida

Normalmente con una media de 7,500 horas y una desviación estándar de 1,200 horas. a. ¿Cuál tubo fluorescente tiene mayor probabilidad de tener una duración mayor de 9,000 horas? b. ¿Cuál tubo tiene mayor probabilidad de tener una duración de menos de 5,000 horas?

a) < = = − >$

Se requiere hacer la comparación entre los dos tubos x1 y x2

x1 = variable duración tubo fluorescente 1 -> x1 > 9.000 µ1 = 7.000 horas σ1 =1.000 horas <� = 9.000 − 7.0001.000

<� = 2

El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?�<� > 2� = 0.4772

?��� > 9.000� = ?�<� > 2� = 1 − 0.4772 = 0.5228≅52%

x2 = variable duración tubo fluorescente 1 -> x2 = 9.000 µ2 = 7.500 horas σ2 =1.200 horas <� = 9.000 − 7.5001.200

<� = 1.25

El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?�<� > 1.25� = 0.3944

?��� > 9.000� = ?�<� > 1.25� = 1 − 0.3944 = 0.6056≅61%

Una vez encontrados los valores y haciendo la comparación, el tubo fluorescente x2 tiene un porcentaje del 61%, mientras que el tubo fluorescente x1 tiene un

porcentaje del 52%, lo cual nos indica que es más probable que el tubo fluorescente x2 pueda durar más de 9.000 horas que el tubo fluorescente x1. b) x1 = variable duración tubo fluorescente 1 -> x1 < 5.000 µ1 = 7.000 horas σ1 =1.000 horas <� = 5.000 − 7.0001.000

<� = −2

El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?��� < 5.000� = ?�<� < −2� = 0.228≅23%

x2 = variable duración tubo fluorescente 1 -> x2 < 5.000 µ2 = 7.500 horas σ2 =1.200 horas <� = 5.000 − 7.5001.200

<� = −2.08

El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?��� < 5.000� = ?�<� < −2.08� = 0.188≅19%

Una vez encontrados los valores y haciendo la comparación, el tubo fluorescente x2 tiene un porcentaje del 19%, mientras que el tubo fluorescente x1 tiene un porcentaje del 23%, lo cual nos indica que es más probable que el tubo fluorescente x1 pueda durar menos de 5.000 horas que el tubo fluorescente x2. 6. La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo)

de un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una media de 200 y una desviación estándar de 50. a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será

de menos de 90 interruptores?. b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores?. c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda en 94% de todos los días. d) ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada día?

a) < = = − >$

x = variable interruptores diarios -> x < 90 µ = 200 horas σ =50 horas < = 90 − 20050

< = −2.2 ?�= < 90� = ?�A < −2.2�

El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?�A < −2.2� = 0.0139≅1.4%

La demanda estará por debajo de 90 interruptores diarios en el 1.4% de los días. b-) x = variable interruptores diarios -> 225 ≤ x ≤ 275 µ = 200 horas σ =50 horas <� = 225 − 20050

<� = 0.5 El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?�<� > 0.5� = 0.1915

x2 = variable duración tubo fluorescente 1 -> x2 > 275 µ = 200 horas

σ =50 horas <� = 275 − 20050

<� = 1.5

El valor de Z de acuerdo a la tabla de “áreas bajo la curva normal” es: ?�<� > 1.5� = 0.4332

?�225 ≤ x ≤ 275� = ?�<�� − ?�<�� = 0.4332 − 0.1915 = 0.2417≅24.17%

La demanda estará entre 225 y 275 interruptores diarios en el 24.17% de los días. c-) 94% Producción diaria X = ? µ = 200 horas σ =50 horas < = = − >$

= = < ∗ $ + >

Partiendo que el valor del área bajo la curva es igual a 94%, entonces buscamos el valor más aproximado que pueda corresponder a Z. Encontramos que de acuerdo a la tabla, el valor más aproximado a 94% ≅ 0.94, es 0.9406 y le corresponde un valor de 1.56 para Z. = = 1.56 ∗ 50 + 200

= = 278

De acuerdo a lo anterior, la compañía debe fabricar diariamente un total de 278 interruptores para poder cumplir la demanda mínima diaria del 94%. 7. En una prueba de aptitud la puntuación media de los estudiantes es de 72

puntos y la desviación estándar es de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, formados de 28 y 36 estudiantes, respectivamente, difieran en su puntuación media en: a) 3 ó más puntos. b) 6 o más puntos. c) Entre 2 y 5 puntos.

8. Un especialista en genética ha detectado que el 26% de los hombres y el 24%

de las mujeres de cierta región del país tiene un leve desorden sanguíneo; si se toman muestras de 150 hombres y 150 mujeres, determine la probabilidad de que la diferencia muestral de proporciones que tienen ese leve desorden sanguíneo sea de: a) Menos de 0.035 a favor de los hombres. b) Entre 0.01 y 0.04 a favor de los hombres.

a-) x1 = Puntuación media del grupo 1 µ1 = 72 σ1 = 8 n1 = 28 x2 = Puntuación media del grupo 2 µ2 = 72 σ2 = 8 n2 = 36 P(x1 - x2) ≥ 3 < = ��� − ��� − �µ� − µ��

E�� + ��

< = �3� − �72 − 72�F8�28 + 8�36 = 1.4882

?�< = 1.49�≅0.9319 ?��� − ��� ≥ 3 = 1 − 0.9319 = 0.0681≅6.81%

Se encuentra una probabilidad del 6.81% en que la puntuación media sea ≥ 3 puntos. b-) P(x1 - x2) ≥ 6

< = �6� − �72 − 72�F8�28 + 8�36 = 2.9764

?�< = 2.98�≅0.9986 ?��� − ��� ≥ 6 = 1 − 0.9986 = 0.0014≅0.14%

Se encuentra una probabilidad del 0.14% en que la puntuación media sea ≥ 6 puntos. c-) P(2 ≤ x1 - x2 ≤ 5)

< = �2� − �72 − 72�F8�28 + 8�36 = 0.99

?�< = 0.99�≅0.8389 < = �5� − �72 − 72�F8�28 + 8�36 = 2.48

?�< = 2.48�≅0.9934 ?�2 ≤ �� − �� ≤ 5� = 0.9934 − 0.8389 = 0.1545≅15.45%

Se encuentra una probabilidad del 15.45% en que haya una diferencia entre 2 y 5 puntos en la puntuación media. 9. La vida media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una

desviación estándar de un año. Suponga que las vidas de estas máquinas siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre: a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años. b) El valor de la a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve.

a) x = Vida media máquina -> x = años) µ = 7 años σ = 1 año n = 9 maquinas $ = $√� = 1√9 = 13 ?�6,4 < � < 7,2�

< = 6.4 − 713 = −1.8

< = 7.2 − 713 = 0.6

?�−1.8 < < < 0.6� = ?�< = 0.6� − ?�< = −1.8� ?�−1.8 < < < 0.6� = 0.7257 − 0.0359 = 0.6898≅69% Hay una probabilidad del 69% que la vida media de una de las 9 máquinas de muestra este entre 6.4 y 7.2 años. b-) Como es 15% a la derecha, entonces calculamos el valor a la izquierda haciendo q = 1 - 0.15 = 0.85. q = 0.85 Partiendo que el valor del área bajo la curva es igual a 85%, entonces buscamos el valor más aproximado que pueda corresponder a Z. Encontramos que de acuerdo a la tabla, el valor más aproximado a 85% ≅ 0.85, es 0.8508 y le corresponde un valor de 1.04 para Z. < = �̅ − σ

σ√�

1.04 = �̅ − 713

�̅ = 1.043 + 7 = 7.346≅7.35

El valor a la derecha del área de es igual 7.35 años.

10. Se llevan a cabo dos experimentos independientes en lo que se comparan dos tipos diferentes de pintura. Se pintan 18 especímenes con el tipo A y en cada uno se registra el tiempo de secado en horas. Lo mismo se hace con el tipo B. Se sabe que las desviaciones estándar de la población son ambas 1.0. Suponga que el tiempo medio de secado es igual para los dos tipos de pintura. Encuentre la probabilidad de que la diferencia de medias en el tiempo de secado sea mayor a uno a favor de la pintura A.

a) a = Tiempo medio secado pintura a b = Tiempo medio secado pintura b na = nb = 18 P(a - b > 1)

σ̅H�̅I = σJ��J + σK��K

σ̅H�̅I = 118 + 118 = 19

< = ��̅J − �̅K� − �µJ − µK�σ̅H�̅I

< = 1 − 0F19 = 3

?�< > 3� = 1 − ?�< < 3� = 1 − 0.9987 = 0.0013≅0.13% Hay una probabilidad del 0.13% de que el tiempo de secado de la pintura “a” sea mayor a 1 en la diferencia de medias.