Algunas respuestas (Tarea 1) - Vectorial 201520

Se comparten estas respuestas para que sirvan de verificacion. No esta incluido lo mas impor-tante, que es el procedimiento. En este curso la escritura cuidadosa de los procedimientos es muyimportante; hay estudiantes que gustan de omitir partes de los argumentos por pereza o aburrim-iento, pensando que no es necesario escribir tanto detalle, pero este curso no es el recomendadopara hacer eso.

Advertencia: Se hizo el mayor esfuerzo porque este documento no tuviera errores, pero se debehacer lectura crtica del mismo por si llegan a existir. No se escribieron todas las respuestas de laparte 1 de la tarea, pues esas fueron desarrolladas con mas calma por los estudiantes en preparacionpara el primer quiz.

1.1 Para hallar punto mas caliente se requiere que los rayos del sol vayan en direccion donde no sehace sombra (primer requisito) y que los rayos del sol caigan perpendiculares a la superficie(segundo requisito). Siendo la ecuacion de la superficie z = 6000 x2 y2, resultara el

punto

(1

6,1

3, 6000 1

62 1

32

)1.2 Para la parte (1), se espera graficar la curva usando software (y se puede recortar y pegar

el dibujo al entregar la tarea); da una especie de 8 (parecido a un smbolo de infinito). Lacurva pasa por (0, 0) en t = 0, , 2 (y si tomamos de manera literal que el intervalo de t noincluye a 0 ni a 2, pues solo pasara en t = .

La curvatura debio haber dado (usando identidades trigonometricas para reescribir laexpresion) algo como

(t) =| sin t (2 cos2 t 1)|

(cos2 t+ (2 cos2 t 1)2)3/2

De all resulta que la unica posibilidad que (t) sea 0 es cuando sin t = 0, que ya sabendonde ocurre y que puntos resultan en la curva. De otro lado, escribir la expresion deesa manera permite argumentar que la parte (3) es cierta. Claramente (t) 0 y parala otra desigualdad, pueden explicar que el numerador es menor o igual que 3, mientras

que el denominador es mayor o igual que

(3

8+

(2 3

8 1)2)3/2

. Aqu la idea es que si

llaman x = cos2 t, el denominador (ignorando el exponente 3/2) es una funcion cuadraticaen terminos de x que pueden minimizar. As que

(t) 3

(3

8+

(2 3

8 1)2)3/2

< 24

1.8 (1) Falso. En la explicacion debe tener claro que un segmento de recta es diferente a unarecta completa y en todos los puntos de un segmento de recta la curvatura es 0 ... esdecir, ese entonces la curva ES una recta es falso, pues NO tiene que ser una rectanecesariamente

(2) Falso.(3) Verdadero. Debe justificarlo formalmente calculando la curvatura de la curva r(t) =

(t, at2 + bt + c) y verificando (cuando la calcule) que el mayor valor que puede tomarsera cuando el denominador es mnimo (el numerador le dara constante) y eso sucederacuando t corresponda al vertice (debe hacer el calculo y recordar la formula de verticede una parabola)

1

(4) Verdadero. Tenga en cuenta (segun lo comentado por Misha) que la interpretacion dela pregunta es Dada una parabola cualquiera, siempre existen puntos en esa paraboladonde la curvatura es menor que 0.5. Entonces de nuevo, usa la formula que halloen la parte anterior para la curvatura y verifica que lim

t(t) = 0. Con ello podra

argumentar que existen valores de t para los cuales (t) < 0.5.(5) Verdadero. Puede tomar una elipse parametrizada como r(t) = (a cos(t), b sin(t)) con

0 t 2, suponiendo a, b 6= 0. Si calcula (t), puede explicar por que el denominadorjamas es 0, as que la funcion es contnua. Despues, puede mencionar el teorema delvalor extremo de Calculo Diferencial: Una funcion continua en un intervalo cerrado (eneste caso [0, 2]) siempre es acotada. Hay otras formas de argumentar este ejercicio,pero esta es quizas la mas economica.

1.9 (1) No existe. (2) Si existe. (3) Si existe. (4) No existe.Tenga presente que en los casos donde no existe debe justificar por que y en los casos

donde si existe debe mostrar el proceso para hallar una funcion f que cumpla las condiciones.2.1 (1) La respuesta es -1.

(2) Es la misma respuesta anterior (pues se pregunta lo mismo), pero la obligacion es quedeben hacerlo usando derivacion implcita (derivando respecto de P a ambos lados dela ecuacion V PT = 1, de manera similar a como se resolvan ejercicios de derivacionimplcita en Calculo Diferencial). Al derivar implcitamente tenga cuidado en usar laregla del producto cuando derive V PT respecto de P .

(3) La respuesta es11.07

. Tenga en cuenta la misma precaucion de regla de producto

mencionada en la parte anterior.2.2 En las tres partes se puede usar el hecho que si se hace una sustitucion u = xt2 (y se tiene

cuidado de cambiar los lmites de integracion con la sustitucion), la integral queda comoxy2x

sinu

2udu. Eso facilita para calcular las derivadas con Teorema Fundamental del Calculo.

(1) Ya esta la respuesta, es un ejercicio de justificacion.

(2) Es igual asin(xy2)

y(3) Despues de manipulaciones, la respuesta les dara igual a

g(x) =1

2x(sin(x sin2 x) sinx) + sin(x sin

2 x) cosxsinx

Esta parte (c) se puede hacer usando la sustitucion anterior, pero tambien se puedehacer usando una formula famosa (no vista en el curso, pero que ven los estudiantes deCalculo 3) conocida como la formula integral de Leibnitz. Buscan en internet LeibnitzIntegral Rule. De acuerdo con esta formula,

d

dx

b(x)a(x)

f(t, x) dt

= f(b(x), x) b(x) f(a(x), x) a(x) + b(x)a(x)

f(t, x)

xdt

Igual, la respuesta que les da con la formula es la misma que con la manipulacionintuitiva usando la sustitucion mencionada arriba.

2.3 (1) La respuesta usando regla de la cadena y haciendo el arbol de dependencias es g(1) =1 2 1 + 1 (1) 2 = 0. Hallar g(1) no es un ejercicio de calculo, sino de comprensionde lectura. Leyendo el enunciado se dan cuenta que g(1) = 1 y explican por que.

(2) La respuesta usando regla de la cadena y haciendo el arbol de dependencias esf

u(1, 0) =

1 + 1 = 2,f

v(1, 0) = 1 3 = 4

2.4 La ecuacion del plano tangente da 3x + 8y 5z = 0. Una ecuacion de la recta normal es(x, y, z) = (3 + 6t, 2 + 16t, 5 10t). Plano tangente no existe en (0, 0, 0); esto se puedeexplicar por lo que pasa con el gradiente de cierta funcion en ese punto y se puede hacer undibujo para corroborar (la superficie es un cono elptico) y puede ubicar donde esta (0, 0, 0)en esa figura.

2.5 (1) Los puntos (x, y) tales que x2 4y2 = 2k donde k es un entero (observe que si k = 0esto es un par de rectas y si k 6= 0, cada valor de k resulta en una hiperbola). Todoslos puntos de esas hiperbolas y ese par de rectas cumple la condicion.

(2)4 sin(3)

5=4 sin(3)

5(3) 14 sin(3) = 14 sin(3)

2.6 (1)42

= 2

2

(2) Una parametrizacion puede ser (x, y, z) = (t, 4 t, 20 t2 2(4 t)2). La curva resultade intersectar la superficie dada con el plano x+ y = 4. Ese plano resulta de buscar unplano paralelo al vector (0, 0, 1) y al vector ~v dado.

2.7 (1)23

=2

3

3

(2) Direccion de maximo crecimiento: En la direccion de

(214,1

14,

314

).

Tasa maxima de cambio:

14 (algunos se daran cuenta que esta es la norma delgradiente; esa resulta ser una regla general)

(3) Las direcciones unitarias ~v = (a, b, c) tales que 2a b+ 3c = 02.8 La ecuacion del plano es 4x+ 4z = 12, o lo mismo, x+ z = 3.2.9 La primera parte es realizar una justificacion usando teorema de la funcion implcita. Para

la segunda, se puede usar la formula de derivacion implcita. Resultara

fx =z

x=(yz cos(x+ y + z))xy cos(x+ y + z)

, fy =z

y=(xz cos(x+ y + z))xy cos(x+ y + z)

fx(0, 0) = 1, fy(0, 0) = 1. Para las derivadas dobles, simplemente toca derivar nueva-mente las primeras derivadas obtenidas antes. Es un poco engorroso (aunque piense que nodebe simplificar la expresion de la derivada, sino solo evaluar en (0, 0)) y si no hay error (dapereza hacer esos calculos), fxx(0, 0) = 0, fxy(0, 0) = 0, fyy(0, 0) = 0

2.10 Verificando en primer lugar que el punto dado (2, 1, 3) pertenece a las dos curvas, despuesde varias operaciones (que involucran sacar un producto cruz entre dos vectores tangentesa las curvas en el punto) se saca que la ecuacion del plano es 12x 7y + 9z = 44