1Gestin Aeronutica: Estadstica TericaFacultad Ciencias Econmicas y EmpresarialesDepartamento de Economa AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fernndez

FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

En el mundo real hay fenmenos regidos por leyes determinadas, es decir, bajocondicionadas dadas. El resultado es previsible, salvo quizs por errores de medida;estos fenmenos denominan fenmenos deterministas, un ejemplo de ellos puede serla cada de un objeto desde determinada altura.

Frente a estos fenmenos existen otros muchos que no siguen unas leyes determinadas.Un fenmeno o experimento se dice aleatorio si puede dar lugar a varios resultados, sinque pueda ser posible decir con certeza los resultados del mismo.

Los fenmenos aleatorios aparecen en muchas disciplinas cientficas. Por ejemplo, enMercadotecnia interesan las cantidades de cierta mercanca vendidas en das sucesivos;en Fsica se detecta la presencia de ruidos trmicos en un circuito elctrico; en Control deCalidad interesa el nmero de tems defectuosos producidos por cierta mquina; enMedicina el nmero de pacientes curados por cierto frmaco, etc.

Al describir un experimento aleatorio es esencial especificar qu aspecto del resultadointeresa observar, es decir, cul es el criterio para considerar dos resultados comodiferentes. Esta especificacin se logra mediante el espacio muestral.

ESPACIO MUESTRAL.- Dado un experimento aleatorio, el conjunto cuyos elementosson los posibles resultados diferentes (que se desean considerar diferentes) del mismo,se conoce como espacio muestral asociado al experimento aleatorio, se denota por .Se presentan diversos tipos de espacios muestrales:

a) En el lanzamiento de un dado se puede tomar como espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6

b) En el experimento aleatorio que describe el nmero de automviles que cruzan unpuente de peaje en un perodo dado, el espacio muestral es del tipo 1, 2, 3,

c) En el caso de elegir al azar un nmero real en el intervalo 0,1 , el espacio muestralasociado es precisamente 0,1

Atendiendo al nmero de resultados posibles de un experimento aleatorio se puedenestablecer los siguientes tipos de espacios muestrales:

a) Espacios muestrales finitos: Son aquellos que tienen un nmero finito de elementos,como puede ser la tirada de un dado.

b) Espacios muestrales infinitos numerables: Son aquellos en los que tiene unnmero infinito de elementos y puede ponerse en correspondencia biunvoca con losnmeros naturales, como pude ser el nmero de automviles que pasan por el puentede peaje.

c) Espacios muestrales infinitos no numerables: Son aquellos en los que tiene unnmero infinito de elementos y no puede ponerse en correspondencia con los nmerosnaturales, como puede ser la eleccin al azar de un nmero en el intervalo 0,1 .

2SUCESOS.- Un suceso asociado a un experimento aleatorio corresponde a la cuestinde que tenga o no tenga respuesta despus de realizado el experimento.

En el lanzamiento de dos monedas, el espacio muestral asociado, siendo C cara yX cruz : CC, CX, XC, XX Es el nmero de caras menor o igual que uno?. La pregunta tiene respuesta y es, portanto, un suceso. El subconjunto de que responde afirmativamente a la pregunta es

A CX, XC, XXPudiendo definir un suceso de un experimento aleatorio como un subconjunto del espaciomuestral, A , es decir, una coleccin de puntos del espacio muestral.

OPERACIONES CON SUCESOS.- Para definir algo que mida la aleatoriedad quedentro de s llevan los sucesos de un experimento aleatorio es necesario construir unaestructura matemtica. Para ello se definen ciertas operaciones con los sucesos.

Unin de sucesos: Dados dos sucesos A y B, de cierto experimento aleatorio, sedefine la unin de A y B, que se representa por A B , a otro suceso que se denotapor C, que ocurre siempre que ocurra A o siempre que ocurra B: A B C

Interseccin de sucesos: Dados dos sucesos A y B, de cierto experimento aleatorio,se define la interseccin de A y B, que se representa por A B , a otro suceso que sedenota por D, que ocurre siempre que ocurran A y B simultneamente: A B D

Suceso complementario: Dado un suceso A, de cierto experimento aleatorio, sedefine el complementario de A, que se representa por CA A , a otro suceso queocurre siempre que no ocurre A.

Suceso imposible: Dado el suceso A y su complementario A , junto con la operacinde interseccin, se define un suceso que no ocurre nunca, se le conoce como sucesoimposible y se denota por : A A

El suceso complementario del suceso imposible es el suceso seguro, que es precisamente el espacio muestral:

Sucesos incompatibles: Dados dos sucesos A y B, de cierto experimento aleatorio,se dice que estos sucesos son incompatibles si su interseccin es el suceso imposible.

A B A y B incompatibles Sucesos contenido en otro: Dados dos sucesos A y B, de cierto experimento

aleatorio, se dice que A est contenido en B si siempre que ocurre A ocurre B, sedenota por A B .Se observa que dado cualquier suceso A, siempre ocurre A

Diferencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B, de cierto experimento aleatorio, sedefine la diferencia de los sucesos A y B, y se denota por A B , el suceso C, queocurra A y no ocurra B: C A B . Se observa que C A B A B

Sucesos elementales: Dado un suceso puede ocurrir que ste pueda serdescompuesto en sucesos ms simples, de forma que la unin de stos seaprecisamente el suceso considerado. A estos sucesos se les llama sucesoscompuestos.

Por otra parte, existen otros sucesos que no pueden ser descompuestos en sucesos ms simples, estos sucesos reciben el nombre de sucesos elementales.

3PROPIEDADES DE LA UNIN e INTERSECCIN DE SUCESOS:

Conmutativas A B B AA B B A

Asociativas A (B C) (A B) CA (B C) (A B) C

Distributivas A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B) (A C)

Elemento neutro para la unin : A Apara la interseccin : A A

LGEBRA DE BOOLE: Sea M un conjunto cualquiera, la clase de sus subconjuntos queverifica las condiciones de contener a M, estabilidad para las operaciones de unin ycomplementacin de subconjuntos de M, recibe el nombre de lgebra de Boole.

Sea C(M) una clase de subconjuntos de M, se dice que C(M) es un lgebra de Boolesi verifica:

a) M C(M)b) Si A, B C(M) A B C(M) c) Si A C(M) A C(M)

Sea el conjunto que es el espacio muestral y una clase formada por los sucesos queson subconjuntos de , verificando:a) C( ), ya que es un suceso, el suceso segurob) Si A, B C( ) A B C( ) es otro sucesoc) Si A C( ) A C( ) es otro sucesoLa clase formada por los sucesos de un experimento aleatorio tiene estructura de lgebrade Boole, a sta se la llama lgebra de Boole de sucesos y se denota por

En el caso de que el espacio muestral sea infinito (numerable o no numerable), seconsidera una estructura ms amplia, que es la - lgebra de sucesos, y en la que ladiferencia esencial con el lgebra de sucesos es que la unin infinita numerable desucesos es otro suceso.

Es decir, la clase de sucesos es un - lgebra sa) b) Si A A c) i ii

i 1Si A A

A la terna ( , , P) se le llama espacio probabilstico asociado a un experimentoaleatorio.

4Una variable aleatoria es una funcin definida sobre el espacio muestral (conjuntode resultados de un experimento aleatorio) que toma valores en el cuerpo de los nmerosreales , es decir:

:( )

Una variable aleatoria puede ser discreta o continua segn sea el rango de esta funcin.

En trminos matemticos con rigor, dado un espacio probabilstico ( , , P) asociado aun experimento aleatorio, una funcin : es una variable aleatoria si x el conjunto / ( ) x FRECUENCIA DE UN SUCESO: El objetivo es definir sobre el lgebra de Boole desucesos una funcin que indique una medida de la certeza o incertidumbre en laocurrencia de los sucesos del experimento aleatorio.

Dado un suceso A , esto es, un suceso perteneciente al lgebra de sucesos de unexperimento aleatorio, la frecuencia absoluta del suceso A en una serie de n repeticionessimilares del experimento, se denota por An .

La frecuencia relativa del suceso A es la frecuencia absoluta dividida por el nmero deveces que se realiza el experimento, denotndose por Af :

A

AA

0 f 1nf f 1n

f 0

para cualquier sucesosuceso segurosuceso imposible

Si dos sucesos A y B son incompatibles, A B , siendo An la frecuencia absoluta de Ay Bn la frecuencia absoluta de B, se tiene que la frecuencia absoluta de A B es

A B A Bn n n , teniendo: A B A B A BA B A Bn n n n nf f fn n n n

Es decir, A B A Bf f f si A B

PROBABILIDAD: Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral y lgebra desucesos asociada , la probabilidad se define como una aplicacin del lgebra desucesos en el intervalo 0,1 , que verifica los tres axiomas siguientes:

P : 0,1 P(A) 0 AP( ) 1P(A B) P(A) P(B) A, B con A B

Consecuencias de los Axiomas:

P(A) 1 P(A) A AA

P(A A) P( ) P(A) P(A) 1 P(A) 1 P(A)f 1 f

5 P( ) 0 P( ) 1 P( ) 1 1 0 Si A B P(A) P(B)

Si A B B A (B A) con A (B A) P(B) P(A) P(B A) con P(A) 0 y P(B A) 0 con lo cual, P(B) P(A)

P(A B) P(A) P(B) P(A B) A, B

A (A B) (A B) P(A) P(A B) P(A B)

B (A B) (A B) P(B) P(A B) P(A B)

A B (A B) (A B) (A B) (A B) (A B) (A B) (A B)

P(A B) P(A B) P(A B) P(A B)

Siendo B A P(A B) P(A) P(A B)A B P(A B) P(B) P(A B)

resulta,

P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) P(A) P(A B) P(B) P(A B) obteniendo, P(A B) P(A) P(B) P(A B) A, B Cuando los sucesos A y B son incompatibles, A B , P(A B) P(A) P(B)

Leyes de Morgan (A B) A B(A B) A B

PROBABILIDAD CONDICIONADA: Dado un suceso A con P(A) 0 , paracualquier otro suceso B , se define la probabilidad del suceso B condicionado alsuceso A:

P(A B)P(B / A)P(A)

6INDEPENDENCIA: Los sucesos A, B son independientes s P(B / A) P(B)Es decir, P(A B)P(B / A) P(B) P(A B) P(A) . P(B)

P(A)

La expresin P(A B) P(A) . P(B) se toma como definicin de independencia.Para tres sucesos A, B,C la definicin analtica es que sean independientes dos ados y luego los tres juntos, esto es, que se verifiquen las relaciones:

P(A B) P(A) . P(B) P(A C) P(A) . P(C) P(B C) P(B) . P(C) P(A B C) P(A) . P(B) . P(C)

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Sea un conjunto de sucesos i i 1, 2, , nA , iA , tales que verifican las dos condicionessiguientes:

n

ii 1

i j

A

A A i j i, j 1, 2, , n

Esto es, la unin de todos ellos es el suceso seguro y son incompatibles dos a dos.

Un conjunto de sucesos con estas dos propiedades recibe el nombre de sistema completode sucesos.

Sea un suceso cualquiera B y un sistema completo de sucesos i i 1, 2, , nA , talesque iP(A ) 0 i . El Teorema de la Probabilidad Total establece que:

n

i ii 1

P(B) P(A ) . P(B / A )

En efecto, B B siendo n ii 1

A

n ni ii 1 i 1

B B B A B A

Los sucesos iB A son disjuntos por serlo los sucesos iA , resulta, por tanto:

n n ni i ii 1i 1 i 1

P(B) P B A P B A P B A

Como ii i i ii

P(B A )P(B / A ) P(B A ) P(A ) . P(B / A ) iP(A )

Sustituyendo se tiene: n ni i ii 1 i 1

P(B) P B A P(A ) . P(B / A ) i

7TEOREMA DE BAYES: Con las mismas condiciones que el teorema de la probabilidadtotal, se desea conocer la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso B la causa quelo produzca sea el suceso jA , es decir, se desea calcular jP(A / B)

El teorema de Bayes establece que j jj ni i

i 1

P(A ) . P(B / A )P(A / B)

P(A ) . P(B / A )

En efecto,

jj

P(A B)P(A / B)

P(B) y jj j j j

j

P(A B)P(B / A ) P(A B) P(A ) . P(B / A )

P(A )

se tiene, j j j j jj ni i

i 1

P(A B) P(A ) . P(B / A ) P(A ) . P(B / A )P(A / B)

P(B) P(B) P(A ) . P(B / A )

HERRAMIENTAS EN EL ESTUDIO DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Combinaciones de m elementos tomados de n en n: Es el conjunto de todas lasdisposiciones que se pueden formar tomando n elementos entre los m, con lacondicin que dos disposiciones sern distintas s y slo s estn formadas porelementos distintos, es decir, no se tiene en cuenta el orden de los elementos en ladisposicin.

m, nm m!Cn n! . (m n)!

donde m! m . (m 1) . . 3 . 2 .1

Variaciones de m elementos tomados de n en n: Es el conjunto de todas lasdisposiciones que se pueden formar tomando n elementos de entre los m elementos,con la condicin de que dos disposiciones sern distintas si estn formadas porelementos distintos o si los elementos estn dispuestos en orden distinto dentro de ladisposicin, esto es, se tiene en cuenta el orden de los elementos en la disposicin.

m, nV m . (m 1) . (m 2) . . (m n 1)

Permutaciones de m elementos: Es un caso particular de las variaciones, sonvariaciones de m elementos tomados de m en m.

m m, mP V m! m . (m 1) . (m 2) . . 3 . 2 .1

Variaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n: Es el conjunto detodas las disposiciones distintas que se pueden formar tomando n elementos entre losm elementos, en los que eventualmente pueden aparecer elementos repetidos, con lacondicin de que dos disposiciones sern distintas si tienen distintos elementos oestn situados en distintos lugares, esto es, se tiene en cuenta el orden de loselementos en las disposiciones.

n nmV m

8 Permutaciones con repeticin: Es el conjunto de todas las disposiciones distintasque se pueden formar con m elementos, en los que en cada disposicin cadaelemento puede aparecer 1 2 m(n , n , , n ) veces y en un orden determinado.

n1 2 m

n!RPn ! . n ! n !

donde 1 2 mn n n n

Combinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n: Es el conjuntode todas las disposiciones distintas que se pueden formar tomando n elementos entrelos m elementos, en donde eventualmente pueden aparecer elementos repetidos, conla condicin de que dos disposiciones sern distintas si tienen distintos elementos, esdecir, no se tiene en cuenta el orden de la disposicin.

nmm n 1 (m n 1)!RC

n n!. (m 1)!

Portal Fuenterrebollo

9Gestin Aeronutica: Estadstica TericaFacultad Ciencias Econmicas y EmpresarialesDepartamento de Economa AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fernndez

EJERCICIOS DE SUCESOS Y PROBABILIDAD

Ejercicio 1.- En una clase de la Facultad de Econmicas de 30 alumnos hay 18alumnos que han aprobado estadstica, 16 que han aprobado contabilidad y 6 que no hanaprobado ninguna de las dos asignaturas. Se elige al azar un alumno de la clase.

a) Cul es la probabilidad de que haya aprobado estadstica y contabilidad?b) Sabiendo que ha aprobado estadstica, cul es la probabilidad de que haya aprobado

contabilidad?.c) Son independientes los sucesos 'aprobar estadstica' y 'aprobar contabilidad'.

Solucin:

Sean los sucesos: E = 'Aprueban Estadstica' C = "Aprueban Contabilidad"

Se organizan los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:

E EC 10 6 16C 8 6 14

18 12 30

a) 10 1P(E C)30 3

b) P(E C) 10 5P(C / E)P(E) 18 9

c) Los sucesos son independientes cuando P(E C) P(E) .P(C)

P(E C) 1 31 8

18 16 3 18 8 3 25P(E) . P(C) . .30 30 5 15 25

Los sucesos NO son independientes

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Ejercicio 2.- Sabiendo que: P A B 0,2 ; P B 0,7 ; P A B 0,5 Se pide: P A B y P ASolucin:

P A P A B P A B 0,5 0,2 0,7 P B 1 P B 1 0,7 0,3 P A B P A P B P A B 0,7 0,3 0,2 0,8

Ejercicio 3.- Sean dos sucesos A y B, tales que P A B 0 , P A B 0,5 ,P A 0,4 Calcula: P B y P A BSolucin:

Morgan

P A B P A B 1 P A B 0 P A B 1

Morgan

P A B P A B 1 P A B 0,5 P A B 0,5

P A 1 P A 0,4 P A 0,6 P A B P A P B P A B 1 0,6 P B 0,5 P B 0,9

Ejercicio 4.- Se tienen dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. Enla bolsa B hay 6 bolas blancas y 2 rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B.Despus se extrae una bola de B.

a) Cul es la probabilidad de que la bola extrada de B sea blanca?.

b) Cul es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?.

Solucin:

Se hace un diagrama de rbol:

11

a) 7 7 21 7P 2 blanca30 15 30 10

b) 7P 1 blanca 2 blanca30

Ejercicio 5.- En una cadena de televisin se hizo una encuesta a 2500 personas parasaber la audiencia de un debate y de una pelcula que se emitieron en horas distintas:2100 personas vieron la pelcula, 1500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de losdos programas. Se elegimos al azar uno de los encuestados:

a) Cul es la probabilidad de que viera la pelcula y el debate?.b) Cul es la probabilidad de que viera la pelcula, sabiendo que vio el debate?.c) Sabiendo que vio la pelcula, Cul es la probabilidad de que viera el debate?.

Solucin:

Sean los sucesos: P = 'Vio la pelcula' D = "Vio el debate"

Se organizan los datos en una tabla de doble entrada, completando los que faltan:

D DP 1450 650 2100

P 50 350 400

1500 1000 2500

a) 1450 29P(P D) 0,582500 50

b) P(P D) 1450 29P(P / D) = = = = 0,97P(D) 1500 30

c) P(D P) 1450 29P(D / P) 0,69P(P) 2100 42

12

Ejercicio 6.- La prevalencia de diabetes es del 4%. La glucemia basal diagnsticacorrectamente el 95% de los diabticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticadauna persona Cul es la probabilidad de que realmente sea diabtica?

Solucin:

Sean los sucesos: D = "tener diabetes" G = "dar positivo en la prueba glucemia basal"

P D 0,04 P D 0,96 P G / D 0,95 P G / D 0,02

El Teorema de Bayes: P D P G / D

P D / GP D P G / D P D P G / D

0,04 . 0,95 0,038P D / G 0,6640,04 . 0,95 0,96 . 0,02 0,038 0,0192

Ejercicio 7.- En el punto de partida de un laberinto hay tres orificios iguales A, B y C. Siuna rata elige A vuelve al punto de partida despus de recorrer dos metros. Si elige Brecorre cinco metros y vuelve al mismo punto. Si elige C sale al exterior recorriendo unmetro. Por trmino medio que distancia recorre una rata antes de salir, si siempre eligeun orificio distinto de los seleccionados en veces anteriores?

Solucin:

Las distancias recorridas son:

d ABC 8 m d BAC 8 m d AC 3 m

d BC 6 m d C 1 m

Las probabilidades de las distancias recorridas:

13

1 1 1P ABC P A . P B / A . P C . .13 2 6

1 1 1P BAC P B . P A / B . P C . .13 2 6

1 1 1P AC P A . P C / A .3 2 6

1 1 1P BC P B . P C / B .3 2 6

1P C3

La distribucin de probabilidad:

ABC BAC AC BC Cid 8 8 3 6 1

ip16

16

16

16

13

La distancia media recorrida es:

4

i i

i 1

1 1 1 1 1 27E d d . p 8 . 8 . 3 . 6 . 1. 4,5 m6 6 6 6 3 6

Ejercicio 8.- Sean A y B dos sucesos correspondientes a un experimento aleatorio, talesque BA con 8,0)A(P y 5,0)B(P . Se pide calcular las probabilidades:

a) )BA(P b) )BA(P c) )BA(P d) )BA(P

Solucin:

a) P(A B) P(A) P(B) P(A B) , con la hiptesis BA , siendo 1)(P ,se tiene:

)BA(P5,08,01 3,0)BA(P

b) B es el complementario de B, en consecuencia, BB )BA(P)B(P)A(P)BA(P

14

5,05,01)B(P)B(P)(P)B(P De otra parte,

5,0)BA(P)B(PBAB)BA(BB

con lo que, 8,05,05,08,0)BA(P

Tambin podramos haber considerado:

P(A B) P(A) 0,8

c) 5,0)B(P)BA(P

d) 7,03,O1)BA(P1)BA(P)BA(PMorgandeLeyes

Ejercicio 9.- Sean A, B y C tres sucesos incompatibles, con 5,0)A(P , 25,0)B(P y166,0)C(P . Se pide calcular las siguientes probabilidades:

a) )BA(P b) )CBA(P c) )CBA(P d) )AB(P e) Probabilidad de que exactamente se realice uno de los tres sucesos considerados.

Solucin:

a) El suceso )BA(BA . Por las leyes de Morgan:

)BA(P1)BA(P)BA(P

Como los sucesos son incompatibles, 0)(P)BA(P . En consecuencia,

)B(P)A(P)BA(P)BA(P)B(P)A(P)BA(P resultando:

25,025,05,01)B(P)A(P1)BA(P1)BA(P)BA(P

b) El suceso )CBA(CBA . Por las leyes de Morgan:

)CBA(P1)CBA(P)CBA(P

15

Como los sucesos son incompatibles, P(A B C) P(A) P(B) P(C) con lo cual,

084,0166,025,05,01)C(P)B(P)A(P1)CBA(P)CBA(P

c) Siendo A, B y C sucesos incompatibles, queda:

CBACBCABA

Si ACCA Si BCCB y, por tanto, CCA y CCB y CCBA

quedando, 166,0)C(P)CBA(P

d) El suceso ABAB . Por otro lado, BA , con lo cual AB resultando,BABAB y la probabilidad pedida:

25,0)B(P)AB(P)AB(P

e) Sea E = 'suceso ocurre exactamente uno de los tres sucesos A, B , C'

)CBA()CBA()CBA(E por analoga con razonamientos anteriores, se tiene que:

ACBA BCBA CCBA 916,0166,025,05,0)C(P)B(P)A(P)CBA(P)E(P

Ejercicio 10.- Un banco ha estimado, por experiencias anteriores, que la probabilidad deque una persona falle en los pagos de un prstamo personal es de 0,3. Tambin haestimado que el 40% de los prstamos no pagados a tiempo se han hecho para financiarviajes de vacaciones y el 60% de los prstamos pagados a tiempo se han hecho parafinanciar viajes de vacaciones.

Se pide:

a) Probabilidad de que un prstamo que se haga para financiar un viaje de vacacionesno se pague a tiempo.

b) Probabilidad de que si el prstamo se hace para propsitos distintos a viajes devacaciones sea pagado a tiempo.

Solucin:

Sean los sucesos:

A = 'No falla en los pagos de su prstamo personal'

B = 'Prstamo para financiar viajes de vacaciones'

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P(A) 0,3 P(A) 0,7

P(B / A) 0,4 P(B / A) 0,6

P(B / A) 0,6 P(B / A) 0,4

a) P(A).P(B / A) 0,3.0,4P(A / B) 0,220,3.0,4 0,7.0,6P(A).P(B / A) P(A).P(B / A)

b) P(A).P(B / A) 0,7.0,4P(A / B) 0,6080,7.0,4 0,3.0,6P(A).P(B / A) P(A).P(B / A)

Ejercicio 11.- Un psiclogo industrial, por experiencias anteriores, conoce que el 90 por100 de las personas que inician un determinado tratamiento tcnico terminan con xito.La proporcin de personas en entrenamiento y con experiencia previa es del 10 por 100de entre las personas que completaron con xito su entrenamiento y del 25 por 100 deentre aquellos que no terminaron con xito su entrenamiento. Se pide:

a) Probabilidad de que una persona con experiencia anterior supere el entrenamientocon xito.

b) Podemos concluir que la experiencia previa influye en el xito del entrenamiento?

Solucin:

Sean los sucesos: A = 'Supera con xito el entrenamiento'B = 'Tiene experiencia previa'

Segn las hiptesis, se tiene:

9,0)A(P 1,0)A(P

1,0)A/B(P 25,0)A/B(P

a) Se pide )B/A(P , que segn el teorema de Bayes ser:

)A/B(P.)A(P)A/B(P.)A(P

)A/B(P.)A(P)B(P

)A/B(P.)A(P)B/A(P

con lo cual, 78,025,0.1,01,0.9,0

1,0.9,0)B/A(P

b) Comparando 9,0)A(P y 78,0)B/A(P se observa una diferencia entre los dossucesos, a favor de )A(P .

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En consecuencia, en este entrenamiento la experiencia previa influye desfavorablementeen el xito del mismo.

Ejercicio 12.- Sean A, B dos sucesos con 5,0)A(P , 3,0)B(P y 1,0)BA(P Calcular la probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos.

Solucin:

Sea el suceso E = 'ocurre uno y solo uno de los sucesos'

)BA()BA(E

P(E) P (A B) (A B) P(A B) P(A B) P(A A B B)

P(A B) P(A B) P( ) P(A B) P(A B)

P(A B) 0,4 P(A B) 0,2

P(E) P(A B) P(A B) 0,4 0,2 0,6

Ejercicio 13.- Dado P(A) 1 3 y P(B/ A) 1 3 , determinar si se cumple quea) A y B son independientesb) A B c) A Bd) P(A/ B) 2 3Solucin:

a) Supongamos que se realiza un experimento aleatorio que consiste en extraer una bolade una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. El espacio muestral es

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sean los sucesos A 1, 2, 3 y B 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , entonces:

3 1 7 1 P(B A) 1 9 1P(A) P(B) P(B A) P(B/ A)9 3 9 9 P(A) 1 3 3

P(B) P(B / A) por lo que los sucesos no son independientes.

b) P(B A) P(B A) 1 1P(B/ A) P(B A) P(B A)P(A) 1 3 3 9

c) Observando el contraejemplo utilizado en el apartado (a) se observa que A B

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d) Utilizando el contraejemplo,

A 4, 5, 6, 7, 8, 9 B 1, 2 P(A B) P( ) 0 P(A B) P( )P(A/ B) 02 9P(B)

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