solucionario de 2do año secundaria

��

��

��

� ��

��

��

��

��

CAPÍTULO N° 1

NÚMEROS REALES

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(51, 52, 53, 54)

NIVEL I

Resolución 1

Vemos que: * 85

1 6= ,

* 311

0 27= , (Periódico puro)

* 12

0 5= ,

* 13

0 3= ,�

(Periódico puro)

* 8

150 53= ,

� (Periódico mixto) Rpta.: E

∴ B A− = 3 8; Rpta.: C

Resolución 4

Son irracionales: π y 7

∴ Hay 2 números irracionales Rpta.: B

Resolución 7

Sea 4 7 13x − =

Por propiedad: Si a b=

��a = b ∨ a = −b

Tenemos que:

4x − 7 = 13 ∨ 4x − 7 = −13

4x =13 + 7 4x = −13 + 7

4x = 20 4x = −6

x = 5 ∨ x = − 32

Luego, tomamos el valor negativo de “x”

∴ x = − 32

Rpta.: D

Resolución 5

5 2666 5 26526 52

90, .... ,= = −�

= =47490

7915

= 5 415 Rpta.: A

Resolución 6

Si A ; 3= −∞ ; B = −2 8;

Graficamos los intervalos.

Resolución 2

⊂ IR (V)

IN Q⊂ (V)

∪� II = � (V)

∴ VVV Rpta.: C

Resolución 3

Denso Rpta.: BResolución 8

A) − =3 3 (verdadero)

B) − =4 2 4 2 (verdadero)

C) x x= , si x > 0 (verdadero)

D) 6 6 0+ − = (falso)

Porque: 6 + 6 ≠ 0

E) x x= − , si x < 0 (verdadero) Rpta.: D

Resolución 9

1

14 2

1

7 2

114 2

17 2

: =

= =1 7 2

1 2

12

1

214

×

×

= 0,50 Rpta.: B

��

��

Resolución 10

I. a5·a2 = a10 ........... es falso

ya que: a5·a2 = a5+2 = a7 ≠ a10

II. a a273 3= ........ es falso

ya que: a a a a273

273 9 3= = ≠

III. b7·b7·b7 = b21 ........ es verdadero

ya que: b7·b7·b7 = b7+7+7 = b21

IV. 0 9 0 3, ,= ........ es falso

ya que: 0 99

103

100 3, ,= = ≠

∴ F F V F Rpta.: D

Resolución 11

− + − = − + −125 243 5 33 53 3 b g b g = −83

= −2 Rpta.: B

Resolución 12

A = = =16 64 16 4 433 3 · � A = 4

B = = =6 36 6 6 6· � B = 6

Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102

∴ (A + B)2 = 100 Rpta.: C

Resolución 13

3 12 3 80 4 45 2 27− + −

3 4 · 3 3 16 · 5 4 9 · 5 2 9 · 3− + −

3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3· · · ·− + −

3 2 3 3 4 5 4 3 5 2 3 3· · · ·− + −

6 3 12 5 12 5 6 3 0− + − = Rpta.: E

Resolución 14

L = +−

= +−

50 2

18 2

25 2 2

9 2 2

·

·

L = +−

25 2 2

9 2 2

·

·

L = +−

= =5 2 2

3 2 2

6 2

23

2

12

∴ L = 3 Rpta.: C

=72

1

7· =

7

2 7

7

7× =

7 72 7·

=7

2Rpta.: D

NIVEL II

Resolución 1

I. 3, 15 > 3, 2 es falso

II. −5, 7268 < −5, 7271 es falso

III. 3,1416 es irracional es falso

∴ Relación correcta: F F F Rpta.: E

Resolución 2

Por dato: −2r > 7

r < −72

r < −3,5

� r: −4; −5; .........

∴ rmax = −4 Rpta.: B

Resolución 3

Graficamos los intervalos dados:

Luego: A B∩ = −2 3;

C = −∞; 3

� A B C∩ − = − − −∞b g 2 3 3; ;

={3} Rpta.: D

Resolución 4

Reemplazamos con los valores aproxima-dos al centésimo, obtenemos:

π + −10 13 10e j e j:

(3,14 + 3,16) : (3,61 − 3,16)

6,30 : 0,45 = 14,00 Rpta.: C

Resolución 15

1

7

7 2 7 2 7 12 2 72 14 14

= =

��

��

Tenemos que:

1 2 1 2− = − −e j

1 2 2 1− = −

2 3 2 3− = − −e j

2 3 3 2− = −

Reemplazando en (I) tenemos que:

2 1 3 2− + −e j e j2 1 3 2 2− + − =

∴ 1 2 2 3 2− + − = Rpta.: B

Resolución 7

2 7 1 26 0x − − − =

2 7 1 26x − =

Resolución 5

I. π ∈IR ....................... (V)

II. − ∈52 IN ................... (F)

ya que: − = − ∉5 252 IN

III. ( )∪ ∩ =� � � �

∩ = . .............. (V)

IV. − ∈49 IR ................. (F)

∴ Relación correcta es: V F V F Rpta.: D

Resolución 6

1 2 2 3− + − ........ (I)

como: 1 2 0 2 3 0− < ∧ − <

7 1 13x − =

� 7x − 1 = 13 ∨ 7x − 1 = −13

x = 2 ∨ x = − 127

∴ Solución mayor = 2 Rpta.: E

Resolución 9

* A = + −12 75 48

A = + −4 3 25 3 16 3· · ·

A = + −4 3 25 3 16 3· · ·

A = + − =2 3 5 3 4 3 3 3

� A = 27

* B = + −16 128 543 3 3

B = + −8 2 64 2 27 23 3 3· · ·

B = + − =2 2 4 2 3 2 3 23 3 3 3

� B = 543

Luego:

A B2 3 2 3 327 54+ = +e j e j

Resolución 8

116

2 212

1

2

1

24 2 3

1 3

2 3

1 3

− −FHG

IKJ

= − −FHG

IKJ

− −− −/ /

= − −FHG

IKJ

−12

14

18

13

= FHG

IKJ

−18

1 3/

= =8 2

13 Rpta.: B

= + =27 54 81

∴ A B2 3 9+ = Rpta.: B

Resolución 10

A =−

RS|T|

UV|W|

−81

32 27

3 4

2 5 1 3

1 3/

/ /

/

A =−

RS|T|

UV|W|

−81

32 27

4 3

5 2 3

1 3/

A =−

RS|T|

UV|W|

−3

2 3

3

2

1 3/

��

��

Resolución 11

Racionalizamos cada sumando:

1

5 3

5 3

5 3

5 3

5 3 5 3+−−

= −+ −

×e je j

= −

−FH

IK

5 3

5 32 2

=1

5 3

5 32+

= −

1

3 1

3 1

3 1

3 1

3 1 3 1+−−

= −+ −

×e je j

=3 1

3 12 2

−

−

1

3 1

3 12+

= −

1

4 2 5

4 2 5

4 2 5

4 2 5

4 2 5 4 2 5−++

= +− +

×e je j

=+

−

2 2 5

4 2 52 2

e je j

=+

−

2 2 5

4

e j

1

4 2 5

2 52−

= − +

Luego, efectuando tenemos que:

15 3

13 1

14 2 5+

++

−+� ��

5 32

3 12

2 52

− + − − − +FHG

IKJ

5 3 3 1 2 52

12

− + − + + =

Rpta.: A

Resolución 12

8 36 3 729

6 16

8 6 3 3

6 2 2

6 9

3

3 69

3

e j e j· ·

·=

= 2 3 33 23·

= 2 3 323 ·

=2·3 = 6 Rpta.: D

Resolución 13

L nn nn= − +7 494 2·

L n nn= − +7 494 2·

L n nn= − +

7 74 2 2· e j

L n nn= − +7 74 2 4·

L n nn= − + +7 4 2 4

L nn= =7 73 3

∴ L = 343 Rpta.: E

Resolución 14

E = 9 9 9

9 9

6 4 3

20 5· ·

·

Hallamos el M.C.M de los índices de lasraíces:

m.c.m (6; 4; 3; 20; 5) = 60

Luego:

E = 9 9 9

9 9

10 15 20

3 1260 · ·

·

E = =9 9 910 2060 60 1

2 30·

= =9 3

∴ E = 3 Rpta.: B

+ –– –

–+

–

–

–

–

–

Resolución 15

Reducimos “A”, obteniendo:

A x x x x= 3 43 45 56· · ·

3·2 3·4 5·4 6·5A x · x · x · x=

A x x x x= 6 12 20 30· · ·

m.c.m (6; 12; 20 y 30) = 60

� A x x x x= 10 5 3 260 · · ·

A =−

RSTUVW =

−−27

4 327

1 31 3

//

1/ 31 1A

27 3 = =

∴ A = 13

Rpta.: C

��

��

A x x= =+ + +10 5 3 260 160203

A x= 3

Ahora reducimos “x”, obteniendo:

33x 4 2 2 64=

x = =4 2 2 4 4 2 83 3· ·

x = =4 2 2 4 4·

x = 4·2 → x = 8

Luego:

A x= =3 3 8

∴ A = 2 Rpta.: B

Resolución 16

A = − −343 1253 3 2e j y B = 23643

A = +7 5 2b g y B = 293

A = 144 y B = 8

Luego:

22

2 18 36

18

1

144

8A

B=

FHG

IKJ

= =·

∴2

6A

B= Rpta.: A

Resolución 17

Racionalizamos cada sumando:

2 3

2 3

2 3 2 3

2 3 2 3

2 3

2 3

2

2 2+−

=+ +

− +=

+

−

e je je je j

e j

=+

−

2 3

4 3

2e j

2 3

2 3

2 3

1

2

+−

=+e j

2 3

2 3

2 3 2 3

2 3 2 3

2 3

2 3

2

2 2−+

=− −

+ −=

−

−

e je je je j

e j

=−

−

2 3

4 3

2e j

2 3

2 3

2 3

1

2

−+

=−e j

Reemplazamos en:

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

1

2 3

1

2 2

+−

+ −+

++

−e j e j

� ��

2 3 2 3+ + −e j e j

2 3 2 3 4+ + − = Rpta.: E

Resolución 18

Hallamos “A”

A = − = − −2 5 2 5e j ; ya que: 2 5 0− <

� A = −5 2

Hallamos “B”

B = − = −3 5 3 5 ; ya que: 3 5 0− >

� B = −3 5

Luego:

A B+ = − + −b g e j7 75 2 3 5 =17

∴ A B+ =b g7 1 Rpta.: A

Resolución 19

3 2 2 1 22

+ + −e j

1 2 2 2 1 2+ + + −

1 2 2 2 1 2 12 2+ + + −· · e j

2 1 2 12

+ + −e j

2 1 2 1 2 2+ + − = Rpta.: C

��

��

→ → → →→

= −+

FHG

IKJ

3 3

2 2

12 =

+FHG

IKJ

0

2 2

1 2/

= 0 Rpta.: E

Resolución 24

Reducimos “E”

Ex x

x=

53 ;

x x xx

x x · x= =

E x x x x= =· ·5312

15

3 E x=

710

3

� E x=730 ; para: x = 2

607

E =FHGG

IKJJ =2 2

607

730

602

77

130

×

E = 22 → E = 4 Rpta.: A

Resolución 25

Expresamos las fracciones en decimales

y comparamos con: 720

0 35= ,

A) 0, 48 B) 0,37 C) 0,15 D) 0,3 E) 0,2

2960

1130

3

20

310

15

=−22 5 3

22

e j

22

5 35 3

+= −

Reemplazando en:

1

2 3

22

5 3−+

+��

2 3 5 3 7+ + − = Rpta.: B

Resolución 21

A = ++

−1

5

1

115

54

A = ++

−15

15 1

5

54

A = ++

−55

55 1

54

A = +−

+ −−5

5

5 5 1

5 1 5 1

54

e je je j

A = + −

−−5

55 5

5 1

542 2

A = + − −55

5 54

54

A =+ − −4 5 5 5 5 5 5

20

e j ·

4 5 25 5 5 25 5A

20 20+ − − −= =

Resolución 22

2 2 3 1 26 3+ −·

2 1 1 22

6 3+ −e j ·

2 1 1 23 3+ −·

1 2 1 23 + −e je j

1 2 1 12 23 3− = − = − Rpta.: E

Resolución 23

27 3

32 2

3 3

2 2

3 1 1

5 0 5

2 1

1 1 2 1−

+

F

HGGG

I

KJJJ

= −+

FHG

IKJ

− −−

− −−

e j,

( )×( )

�

Resolución 20

Racionalizando cada sumando:

* 1

2 3

1 2 3

2 3 2 3

2 3

2 32 2−=

+

− += +

−

· e je je j

= +−

2 34 3

1

2 32 3

−= +

* 22

5 3

22 5 3

5 3 5 3

22 5 3

5 32 2+=

−

+ −=

−

−

· e je je j

e j

=−

−

22 5 3

25 3

e j

∴ A = − 520

Rpta.: E

��

��

f = = =108 5399

15999

1 60

3

136

××

,

∴ f = 1,60 Rpta.: C

Resolución 27

S = −FHG

IKJ −FHG

IKJ −FHG

IKJ −FHG

IKJ −F

HGIKJ1

12

113

114

115

11

25...

S = 12

23

34

43

2425

· · · · ... ·

∴ S = 125

Rpta.: C

Resolución 28

Graficamos los intervalos:

Del gráfico vemos que:

A B∩ = 2 6;

Por datos: A Ba

b∩ =2

3;

Por comparación: 22

= a� a = 4

6 = 3b � b = 2

∴ a + b = 4 + 2 = 6 Rpta.: D

Resolución 29

E = +FHG

IKJ

−0 9 214

10 24

9, ·,

b g�

E = FHG

IKJ +F

HGIKJ

−910

214

129

49

2

·

Resolución 26

f = 1,09 × 0,53 : 0,36

f = −109 199

5399

3699

× :

∴ Está más cerca: 1130

Rpta.: BE = = =10

994

10 3 53

5

3

1

19 2

· ·

∴ E = 53

Rpta.: A

Resolución 30

A = 22

13

423 e j

A = =2 273

143

2

e j

∴ A = 24 Rpta.: D

Resolución 31

3 5 27 7 147

· ·FH

IK

3 5 22 7 7 2 147

× ×· ·e j

3 5 214 14 14 7· ·e j

( ) ( )77 1414 3 · 5 · 2 30=

= 30

71

214

= =30 301 2/ Rpta.: D

Resolución 32

M = −FHG

IKJ −FHG

IKJ −FHG

IKJ2

1

25

1

510

1

10

M = −FHG

IKJ −FHG

IKJ −FHG

IKJ2

22

55

510

1010

M = −FHG

IKJ

−FHG

IKJ

−FHG

IKJ

2 2 22

5 5 55

10 10 1010

M = 2 4 55

9 10

1

21

52 10

· ·

M = =2 5 9 1025

9 2 5 1025

· · × ×

M = = =9 10025

9 10 185

2

525×

∴ M = 3,6 Rpta.: C

��

��

CAPÍTULO N° 2

RELACIONES Y FUNCIONES

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(86, 87, 88, 89, 90, 91, 92)

NIVEL I

Resolución 1

{ } { }= − ∧ =A 2 ; 3 B 1; 2

� A B× ; ; ; ; ; ; ;= − −2 1 2 2 3 1 3 2b g b g b g b gm r Rpta.: D

Resolución 2

I. ( ) ( )0 34 ; 3 1; 27− = − .......... (V)

II. ( ) ( )7 1/ 2 0 31 ;16 5 ; 64= ....... (V)

III. (3; −2) = (−2; 3) .................. (F)

3 ≠ −2 ∧ −2 ≠ 3

∴ La relación correcta es VVF Rpta.: B

Resolución 3

Se debe cumplir:

(a + 3; 7) = (8; b)

� a + 3 = 8 → a = 5

� 7 = bLuego: a + b = 5 + 7

∴ a + b = 12 Rpta.: A

Resolución 4

M = 0 2 4; ;l qLuego: M2 = M × M

� M2 = {(0; 0),(0; 2),(0; 4),(2; 0),(2; 2), (2; 4),(4; 0),(4; 2),(4; 4)}

Rpta.: C

Resolución 5

G = {x∈ /−6 < x < 2}

G = {−5; −4; −3; −2; −1; 0; 1}

n° elementos de G: n(G) = 7

H = {x ∈ /−5 < x < 0}

H = {−4; −3; −2; −1}

n° de elementos de H: n(H) = 4

� n(G × H) = n(G) × n(H) = 7 × 4

∴ n(G × H) = 28 Rpta.: C

Resolución 34

Resolviendo, tenemos que:

x

x

+−

=1

13

x x+ = −1 3 1e jx x+ = −1 3 3

4 2= x

x = 2 → x = 4

Luego: M = x + x2

M = 4 + 42 = 4 +16

∴ M = 20 Rpta.: B

Resolución 33

Hallamos: 2 3 5 5− = − =x

2 − 3x = 5 ∨ 2 − 3x = −5

−3 = 3x 7 = 3x

x = −1 ∨ x = 73

Luego:

Σ de soluciones = − + =173

43

b g

∴ Σ de soluciones = 1 3,�

Rpta.: D

Resolución 6

A = {3; 4; 5; 6} y B = {6; 7}

� A ∩ B = {6}

Luego: (A ∩ B)× B ={6} × {6; 7}

∴ (A ∩ B)× B = {(6; 6);(6; 7)}

Rpta.: E

��

��

Resolución 7

A = {8; 9; 10; 11; 12; 13; 14}

B = {3; 4; 5; 6}

R x y A B Yx= ∈ =RSTUVW; × /b g

2

� R = {(8; 4);(10; 5);(12;6)} Rpta.: C

Resolución 8

R x y S T yx= ∈ =RSTUVW; × /b g

2

� R = {(10; 5),(14; 7),(18;9)} Rpta.: A

Resolución 9

R = {(x; y)∈ L × N / y = 2x + 3}

� R = {(−3; −3),(−1; 1),(1; 5)}

Luego: Dom R = {−3; −1; 1}

Ran R = {−3; 1; 5} Rpta.: C

Resolución 10

Recuerde que para que sea una función, la primera com-ponente de cada par ordenado, debe tener una sola ima-gen.

∴ Cumple: R1 = {(1; –7);(2; –7);(3; 5)}

Rpta.: A

Resolución 12

Nos dicen que:

{(−5; a + 1) ; (−2;b − 7);(−2; 9);(−5; 10)}

Es una función, entonces se debe cumplir que:

* (−5; a + 1) = (−5; 10)

� a + 1 = 10

a = 9

* (−2; b − 7) = (−2; 9)

Resolución 11

Analizamos cada alternativa:

A) f1 = {(−2; −1);(0; 3);(5; 4)} sí es función

B) f2 = {(−2; 3);(5; 7)} sí es función

C) f3 = {(0; −1);(5; 3);(−2; 3)} sí es función

D) f4 = {(3; −2);(4; 0);(4; 5)} no es funciónde B en A

E) f5 = {(−2; 7);(0; 7);(5; 7)} sí es función

Rpta.: D

� b − 7 = 9

b = 16

Luego, hallamos:

a b+ = +9 16 25 5= =

∴ a b+ = 5 Rpta.: A

Límite superior

Límite inferior

Resolución 13

Si f(x) = 3x2 − 4x + 5

� f(2) = 3(2)2 − 4(2) + 5

f(2) = 9

Si g(x) = 5 − 2x2

� g(−3) = 5 − 2(−3)2

g(−3) = −13

Luego: f(2) + g(−3) = 9 +(−13)

∴ f(2) + g(−3)= −4 Rpta.: D

Resolución 14

Sea f(x) = 3x + 7

x ∈ [ 1; 8 ]

Luego:

f(1) = 3(1)+7 → f(1) = 10

f(8) = 3(8) + 7 → f(8)= 31

� f(x)∈ [f(1); f(8)]

∴ Rango = [10; 31] Rpta.: D

Resolución 15

Analizamos las altenativas y podemos ob-servar que (2; 9) no pertenece a la gráfica:

y x= 23

2

Reemplazamos las coordenadas en la gráfica:

Y x= 23

2 ��923

2 2= b g

983

= es falso Rpta.: E

Resolución 16

R = {(x; y)/ x + y es par }

� R = {(4; 6);(6; 4);(5; 5),(5; 7);(7; 5); (7; 7);(4; 4);(6; 6)}

∴ n° de elementos de R = 8 Rpta.: B

��

��

Resolución 24

Recuerde: R1 será simétrica

Si ∀(a; b) ∈ R ⇒ (b; a) ∈R

Analizando cada alternativa:

A) {(1; 1);(1; 2);(1; 3);(3; 1)

(1; 2)∈ R ∧ (2; 1)∉ R

∴ No es simétrica.

B) {(3, 2);(2; 3);(3; 1)}

(3; 1) ∈ R ∧ (1; 3) ∉ R


C) {(1; 3);(1; 2);(1; 1)}

(1; 2) ∈ R ∧ (2; 1) ∉ R


D) {(1; 2);(2; 1);(3; 3)}

(1; 2)∈ R ∧ (2; 1) ∈ R

∴ Sí es simétrica

E) {(3; 2);(2; 3);(1; 3)}

(1; 3) ∈R ∧ (3; 1) ∉ R

∴ No es simétrica Rpta.: D

∴ Son refelexivas: R1 y R3 Rpta.: D

Resolución 20

Se tiene que:

Resolución 17

R = {(x; y) / x > y + 1}

� R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}

Luego: Dom R = {6; 7; 8}

Ran R = {4; 5; 6} Rpta.: D

Resolución 18

Analizando las altenativas, vemos que nocumple: {(2; 6);(1; 5)}

ya que: 1∉ A Rpta.: C

Resolución 19

Tenemos que:

R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)}

Rpta.: E

Resolución 21

Recuerde: (a; b) = (m; n)

⇔ a = m ∧ b = n

Luego: 2 1 5 73 2

2x

y+ = −FHG

IKJ; ;b g

� 2x + 1 = 7 ∧ 5 3 22

= −y

x = 3 ∧ y = 4

∴ x + y = 3 +4 = 7 Rpta.: C

Resolución 23

Tenemos que:

R= {(Lima; Perú);(Perú; x);(Caracas; Z);

(Santiago; Y);(Chile; Santiago)}

Recuerde que una relación R será simétrica cuando:

(a; b)∈ R ⇒ (b; a)∈RLuego:

• (Lima; Perú) ∈R

� (Perú; Lima) ∈R ∴ x = Lima

• (Caracas; Z) ∈R

� (Z; Caracas)∈R ∴ Z = Caracas

• (Chile; Santiago)∈R

� (Santiago; Chile) ∈R ∴ Y = Chile

Luego: A= {x; y; Z}

� A = {Lima; Chile; Caracas} Rpta.: A

Resolución 22

Se tiene: A = {2; 3; 4}

Analizaremos cada alternativa:

A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}

No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3)

B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}

Como: (2; 2)∈ R ∧ 2 ∈ A

(3; 3)∈ R ∧ 3 ∈ A

(4; 4)∈ R ∧ 4 ∈ A

∴Sí es refelexiva

Además: C; D y E no son reflexivas Rpta.: B

��

��

Resolución 25

Se tiene:

R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}

Definida en: A = {2; 3; 5; 7}

Cumple:

Rpta.: C

Resolución 26

A = {2; 3; 4}

En “A” se define la siguiente relación:

R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}

y es reflexica

� (2; a) = (2; 2) → a = 2

� (b; 4) = (4; 4) → b = 4

� (3; c) = (3; 3) → c = 3

Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3

∴ a + b + c = 9 Rpta.: D

Resolución 27

Hallamos los elementos del conjunto A

A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A

� R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4)

Dom R = {4; 6; 8}

Ran R = {2; 3; 4} Rpta.: D

Resolución 28

Analizamos cada relación:

* R1 ={(x; y) / x es hermano de y}

Luego: (x; y) ∈ R1 ∧ (x; z) ∈ R1

� (x; z)∈ R1 (sí cumple)

∴R1 es transitiva.

* R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y}

Luego: (x; y)∈ R2 ∧ (y; z) ∈ R2

� (x; y)∈ R2 (sí cumple)

∴R2 es transitiva.

* R3 = {(x; y)/ x es padre de y}

Luego: (x; y)∈ R3 ∧ (y; z)∈ R3

pero: (x; z)∉ R3 (No cumple)

∴R3 no es transitiva.

∴ Son transitivas: R1 y R2 Rpta.: D

NIVEL II

Resolución 1

Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}

* R1 ={(a; b)/a + 2 = b}

� R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)}

Dom R1= {2; 3; 4; 5} → n(DomR1) = 4

* R2 = {(a; b)/a+3=b}

� R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}

Ran R2 = {5; 6; 7} → n(Ran R2)=3

Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7 Rpta.: C

Resolución 3

Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}

como:

R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a − 1);(c; c)}

Es reflexiva

� (2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) ∈ R

� c = 7

Como: (a; 3) ∧ (b; a − 1) ∈ R

� b = 2 ∧ a = 3

∴ a + b + c = 12

Luego, la relación quedaría así:

R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)}

��

como: (2; 3) ∈ R ∧ (3; 3) ∈ R

� (2; 3) ∈ R

como: (2; 4) ∈R ∧ (4; 4) ∈R

� (2; 4) ∈ R

Resolución 2

Hallamos los elementos de “A”

A={5; 7; 9; 11}

Se tiene además que:

R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b − 1; 11)}

Es reflexiva y simétrica.

� (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) ∈ R

Luego, se debe cumplir que:

� c + b − 1= 11c + b = 12

7 5Además como:

(a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b − 1; 11) ∈ R

(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; (11; 11) ∈ R

� a = 9 ; b = 5 ; c = 7

∴ a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21 Rpta.: A

��

��

UVW � c = 5

Como: (a; c) ∧ (c; a) ∈R �� (a; a) ∈ R

cumple.

Luego: (c; a) ∧ (a; c)∈R

Pero (c; c) ∉ R

∴ No es transitiva

Relación correcta: VVF Rpta.: C

Tenemos que:

(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) ∈ R

y {2; 3; 4; 5} ∈A

∴ R es reflexiva.

Además: (a; b)∧(b; c)∧(a; c) ∈R

(3; 2)∧(2; 4)∧(3; 4)∈R

∴ R es transitiva Rpta.: E

Resolución 9

Se tiene: M = {8; 9; 10}

Además:

R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)}es reflexiva.

Como: (c + 5; 2c)∧(10; 10) ∈R

� c + 5 = 10

� 2c = 10

Como: (a; 8)∧(8; 8) ∈R

� a = 8

Como: (b + 5; 9)∧(9; 9)∈R

� b + 5 = 9 → b = 4

∴ a + b – c = 8 + 4 − 5 = 7 Rpta.: C

Resolución 10

Como:

R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)}

es simétrica.

� (2; 3) ∧ (3; b) ∈R

∴ b = 2

� (4; 9) ∧ (9; c + 1)∈R

� c + 1 = 4 → c = 3


R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)}

� (9; 9) ∧ (a + 2; 9)∈R

� a + 2 = 9 → a = 7

∴ a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12 Rpta.: C

Resolución 6

n° de relaciones = 22 2× = 24 = 16

Rpta.: E

Resolución 7

I. Si R es una relación de equivalencia, entonces R essimétrica ... (Verdadero)

II. Dado A={2; 3; 4} en él se pueden definir 512 relacionesdiferentes ... (Verdadero)

ya que: # de relaciones = 23×3 = 29 = 512

III. Dado B = {a; b; c; d} se define R⊂B ×B tal que R = {(a;c);(b; d);(c; a);(a; a)}Entonces R es transitiva ........ (Falso)

Resolución 4

Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}

R = {(x; y)/x + y, es número par}

� R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);

(5; 9);(9; 5);(9; 9)}

∴ n(R) = 8 Rpta.: B

Resolución 5

I. Una relación R definida en el conjunto A es simétricasi(x; y) ∈ R, entonces (y; x) ∈ R ....................... (Verda-dero)

II. Toda relación de equivalencia es una relación simé-trica ........... (Verdadero)

III. n(A × B) = n(A)× n(B) ..... (Verdadero)

IV. Toda función es una relación ...........

....................................... (Verdadero)

∴ Relación correcta: VVVV Rpta.: B

∴ Es transitiva Rpta.: A

Resolución 8

Del gráfico:

Resolución 11

Como:

R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6);

(e; e + 2);(6; 4);(d; 5)}

es de equivalencia.

Como: (6; 4) ∧ (4; 5)∈R

� (6; 5)∈R

��

��

Por deducción: (d; 5) = (6; 5)

� d = 6

Como: (4; 5) ∧ (5; 6)∈R

� (4; 6)∈R

Por deducción: (e; e + 2) = (4; 6)

� e = 4

Como: (5; 6) ∧ (6;5)∈R

� (5; 5)∈R

Pero hay: (a; a)=(5; 5) → a = 5

(b; b) = (6; 6) b = 6


R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}

Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)

� c = 4

a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4

∴ a + b + c + d + e = 25 Rpta.: E

Resolución 12

Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)}

Analizamos las alternativas, vemos que cumple la “B”

R a b ab a b= = +; /b go t4

13 = 1 + 4(3) = 13

26 = 2 + 4(6) = 26

39 = 3 + 4(9) = 39 Rpta.: B

Resolución 13

M = {x∈ / −2 ≤ x < 2}

� M = {−2; −1; 0; 1}

N = {3x − 2/ 4 < x < 7 ; x ∈ IN }

� N = {13; 16}

Luego: M×N = {(−2; 13);(−2; 16);(−1; 13);

(−1; 16);(0; 13);(0; 16);

(1; 13);(1; 16)}

∴ (−2; 5) ∉ M × N Rpta.: B

Resolución 14

Analizamos cada alternativa:

A) {1; 3} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos

B) {2; 4} × {2; 3; 7} → tiene 6 elementos

C) {1; 2; 3; 4} × {4; 6; 8} → tiene 12 elementos

D) {1; 2; 3; 4} × {2; 3; 4; 6; 7; 8}

→ tiene 24 elementos

E) {1; 2; 3; 4} ×{2} → tiene 4 elementos

Rpta.: D

Resolución 15

S = {6 − 3x / 5 ≤ x < 7 ; x ∈ }

S = {6 − 3(5) ; 6 − 3(6)}

S = {−9 ; –12}

S2 = {(−9; −9);(−9; −12);(−12; −9);(−12; −12)}

Rpta.: B

Resolución 16

Hallamos los elementos de cada conjunto:

A = {3x + 4 / −6 < x ≤ 1 ; x ∈ }

� A = {−11; −8; −5; −2 ; 1; 4; 7}

Bx

x x= − − ≤ < ∈RSTUVW

22

6 3/ ;

�7 5 3 1

B 4; ; 3; ; 2; ; 1; ; 02 2 2 2− − − − = − − − −

Hallamos los elememtos de R:

R x y A B yx= ∈ = +RST

UVW; × /b g 52

R = − − − −FHG

IKJ −RST

UVW11 3 8

32

5 0; ; ; ; ;b g b g

Rpta.: D

Resolución 17

Hallamos los elementos de “T” :

T = {2x2 −10 / −3 ≤ x < 4 ; x ∈ }

T = {−10; −8; −2; 8}

Ahora se sabe que:

R = {(x; y)∈ T × IN/ y = 4 − 2x}

Hallamos los elementos de la relación R:

R = {(−2; 8);(−8; 20);(−10; 24)}

∴ Dom R = {−2; −8; −10} Rpta.: E

Resolución 18

Hallamos los elementos de “J” :

J = {10 − x2 / −6 < x ≤ 2 ; x ∈ }

J = {−15; −6; 1; 6; 9; 10}

Ahora, se sabe que:

R = {(x; y)∈ J × / y = 30 − 3x}

Hallamos los elementos de la relación R.

R = {(−15; 75);(−6; 48);(1; 27);(6; 12);

(9; 3);(10; 0)}

∴ Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75}

Rpta.: A

��

��

Resolución 24

La ecuación de la parábola es de la forma:

(x − h)2 = 4p(y − k) ... (α)

Donde: vértice = (h; k)

Sea la parábola: y = 2x2 + 4x − 1

Para hallar el vértice damos la forma de (α), completandocuadrados:

y = 2x2 + 4x − 1

y = 2(x2 + 2x) −1

y = 2[(x + 1)2 − 1] −1

y + 1= 2(x + 1)2 − 2

y + 3 = 2(x + 1)2

(x + 1)2 = 12

(y + 3)

� (x − (−1))2 = 12

(y − (−3))

(x − h)2 = 4p(y − k)

Donde: h = −1 ∧ k = −3

∴ Vértice = (−1; −3) Rpta.: A

Notamos que:

{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es función de A en B.

Ya que: 9 ∉ A Rpta.: C

Resolución 21

Sabemos que: f(x) = 4x − 1

g(x)= 2x + 13

Hallamos: g(−7) = 2(−7) + 13

� g(−7) = −1

Luego: f(g(−7)) = f(−1) = 4(−1)−1 = −5

∴ f(g(−7)) = −5 Rpta.: E

Resolución 22

Para graficar: y = 2x + 1

Hacemos: x = 0 �� y = 2(0) + 1

y = 1

Obteniendo la coordenada: (0; 1)

Hacemos: y = 0 �� 0 = 2x + 1

x = −12

Obteniendo la coordenada: −F

HGIKJ

12

0;

Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:

Rpta.: B

Resolución 23

Los valores del rango están expresadospor los valores que toma “y”

Tenemos que: h x x( ) = −13

4 ; x ∈ −3 6;

y x= −13

4 ∧ −3 < x ≤ 6

Damos forma conveniente a:

−3 < x ≤ 6

− < ≤33 3

63

x

− < ≤13

2x

(Restamos: 4)

− − < − ≤ −1 43

4 2 4x

��

−5 < y ≤ −2

∴ Rango = − −5 2; Rpta.: E

Resolución 19

Por dato:

{(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una función

� (a; 3b) = (a; a + b)

3b = a + b → 2b = a

Luego: (a; 3b) = (2b; 3b)

� (2b; 3b) = (2b; 12)

3b = 12 → b = 4

� a = 8

Finalmente: a − b = 8 − 4 = 4

∴ a − b = 4 Rpta.: C

Resolución 20

Hallamos los elementos de los conjuntos:

A = {1; 3; 5; 7}

B = {0; 1; 2}

��

��

Resolución 25

Sea: y = 3x2 − 12x + 20 (Parábola)

Como: 3 > 0 ; la gráfica se abrirá hacia arriba

� Las alternativas descartadas.

Completamos cuadrados para hallar el vértice.

y = 3x2 − 12x + 20

y = 3(x2 − 4x) + 20

y − 20 = 3[(x − 2)2 − 4]

y − 20 = 3(x − 2)2 − 12

y − 8 = 3(x − 2)2

(x − 2)2 = 13

(y − 8)

(x − h)2 = 4p(y − k)

Donde: h = 2 ∧ k = 8

� Vértice = (2; 8)

Luego, la gráfica es:

Rpta.: CResolución 26

Como: f(x) = 3x2 − 1

Hallamos: f(5) = 3(5)2 − 1 = 3(25) −1

� f(5) = 74

f(2) = 3(2)2 − 1 = 3(4) -1

� f(2) = 11

f 6 3 6 1 3 6 12

e j e j= − = −( )

� f 6 17e j =

Reemplazamos estos valores hallados en:

f f

f

5 2

6

74 1117

8517

b g b ge j

+= + =

∴f f

f

5 2

65

b g b ge j

+= Rpta.: A

Resolución 27

Se tiene:

De la gráfica, vemos que: f(0) = −9

f(–1)= −5

f(−2) = −9

Luego:

k = f(0)+f(−1)+f(−2) = (−9)+(−5)+(−9)

∴ k = −23 Rpta.: C

Reemplazamos los valores hallados en:

f(−2) + (g(4))2 = 23 + 132

e j∴ f(−2) + (g(4))2 = 36 Rpta.: B

Resolución 28

Sea: f(x) = 4x2 − 2x + 3

� f(−2) = 4(−2)2 − 2(−2) + 3 = 4·4 + 4 + 3

� f(−2) = 23

Sea: g(x) = x2 3−

� g 4 4 3 16 32b g = − = −

� g 4 13b g =

Resolución 29

El rango viene a ser los valores que toma “y”

Así, tenemos que:

f x xb g = −12

3 ∧ x ∈ −2 4;

y x= −12

3 ∧ −2 < x < 4

− FHG

IKJ < < F

HGIKJ2

12

12

412

x

− < <112

2x

− − < − < −1 3

12

3 2 3x��

−4 < y < −1

∴ Rango = − −4 1; Rpta.: D

��

��

Como: (7; 4) ∧ (4; 8)∈R ∧ (7; 8) ∈R

� R no es transitiva.

Luego: R es reflexiva y simétrica.

∴ Cumple: sólo I y II Rpta.: C

Resolución 32

Si f(x) = x2 + 3

� f(10) = 102 + 3 = 103

� f 40 40 3 432

e j e j= + =

� f 20 20 3 232

e j e j= + =

Reemplazamos los valores hallados en:

f f f10 40 20b g e j b g+ +

103 43 23 169+ + =

= 13 Rpta.: B

Resolución 33

Del gráfico:

Vemos que: f(0) = 3

f(1) = 2

f(2) = 3

Luego: M = f(0) + f(1) − f(2)

M = 3 + 2 − 3

∴ M = 2 Rpta.: D

Como: (1; 2) ∧ (2; 1) ∈R ��(1; 1) ∈ R

� (a; a) = (1; 1) a = 1

Como: (2; 1) ∧ (1; 2) ∈R � (2; 2) ∈R

� (c; c) = (2; 2) c = 2

Como: (2; 1) ∧ (1; b) ∈R � (2; b) ∈ R

Como: (2; 3) ∈R ∧ (2; b) ∈R

� (2; 3) = (2; b) � b = 3

∴ a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6 Rpta.: C

Como ∀ a ∈ A ∃ (a; a)∈R

� R es reflexiva.

Como: ∀ (a; b)∈R �� (b; a) ∈R

� R es simétrica.

Resolución 34

Sabemos que:

R = {(1; 2);(2; 1);(a; a);(c; c);(2; 3);(1; b)}

es transitiva.

Resolución 30

Para graficar es suficiente conocer 2 puntos, ya que lafunción es una recta.

Hallamos dichos puntos:

* Para: x = 0 �� y = −02

1 → y = –1

Dando el punto : (0; 1)

* Para: y = 0 �� 02

1= −x → x = 2

Dando el punto: (2; 0)

Ubicamos los puntos y graficamos:

Rpta.: C

Resolución 31

Sea la parábola: y = −x2 + 2x − 1

A esta ecuación le damos la forma:

(x − h)2 = 4p(y − k)

Donde: vértice = (h; k)

Multiplicamos por (−1)a ambos lados:

y = −x2 + 2x −1

−y = x2 − 2x + 1

−y = (x − 1)2 , le damos forma

(x − 1)2 = −1 (y − 0)

h = 1 k = 0

∴ Vértice = (1; 0) Rpta.: C Resolución 35

Dado el conjunto: A = {4; 8; 7; 9}y la relación

R = {(4; 4);(4; 8);(4; 7);(8; 8);(8;4);(7; 7);(7; 4);(9; 9)}

��

��

CAPÍTULO N° 3LEYES DE EXPONENTES

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(110, 111, 112)

NIVEL I

Resolución 1

Aplicando: Am + n = Am · An

Obtenemos:

5 5

4 5

5 5 5

4 5

1 1m m

m

m m

m

+ − = −·

·

·

=− = =5 14

44

1 Rpta.: A

Resolución 2

Aplicando: (−b)par = bpar

(−b)impar = −bimpar

Obtenemos:

(22)3 − (−2)4 − (−2)5 = 43 − 24 − (−25)

= 64 − 16 + 25

= 64 − 16 + 32

= 80 Rpta.: C

Resolución 3

Aplicando: Am + n = Am · An

Obtenemos:

2 2

3

2 2 2

3 3

3

2

1 3

2

1a a

a

a a a

a

a+

++L

NMM

OQPP

= +LNMM

OQPP

/ /·

·

=+L

NMMM

O

QPPP

2 2 1

3 9

31

a

a

ae j

·

/

=LNMM

OQPP

=LNMM

OQPP

2 9

3 9

2

3

1 1a

a

a a

a

a·

·

/ /

= FHG

IKJ

LNMM

OQPP

23

1a a/

=23

Rpta.: B

Resolución 4

Aplicando: (−b)impar = −bimpar

A Am n Pm n pe jL

NMOQP = × ×

Obtenemos:

Mx x

x

=

LNM

OQP

LNM

OQP

−−

−−

6 2 3 2

4 2 3

· ( )

e j

Resolución 5

Si 12x = 4 · 3x = 3x · 4

� x12 = x4·3x = x3x·4

Aplicando: Am×n = (Am)n

Obtenemos: x x xX x x12 3 4 3 4= =· e j∴ El exponente de x3x es 4 Rpta.: B

Mx x

x=

FHG

IKJ−

−

− −

6 232

4 2 3

·( )·( )·( )

Mx x

x=

−FH IK −6 23 2

24·

·b g

Mx x

x=

− −6 8 2

24· ( )·( )

Mx x

xx= = + −

6 16

246 16 24·

∴ M = x−2 Rpta.: D

Resolución 6

Aplicando: (Am)n = Am×n

b1 = b ∧ b° = 1

Obtenemos:

a a a a a7 3 4 15 4 6 2 7 0· · · ·e j e j− =

= a7· a3×4· a1· a−4×6· a21

= a7·a12·a1·a-24·a2

Aplicando: Am·An·Ap=Am+n+p

Obtenemos: a7+12+1+(−24)+2 = a−2 Rpta.: D

Resolución 7

Tenemos que: x6 = x3·x3 ∧ x4 = x3·x

� (x6 + x4)x-3 = (x3·x3+x3·x)x-3

= (x3·(x3+x))x-3

= x3·(x3 + x)·13x

= x3 + x ... (α)

��

��

13 1 3

3

1 127 27

2764

− =−

=

=

−

64

1

273

=−

64

13

= = =1

64

1

64

141 3 3/

Rpta.: C

Obtenemos:

− + = − +2 4 2 4251 2 271 3 25 273

b g b g b g b g/ /

= (−2)5 + (4)3

= −25 + 43

= −32 + 64

= 32 Rpta.: C

Iguales

Aplicando: A An n=1

Am · An = Am + n

Obtenemos:

x x xa a1

31

25

12· =

x xa a1

31

25

12+

=

x x

a a

a

2 3

65

122+

=

x x

a

a

5

6 25

12=

x xa5

65

12=

�

56

512a

=

12 · 5 = 5 · 6a

12 = 6a → a = 2 Rpta.: B

Resolución 10

Aplicando: AA

nn

− = 1 ∧ b° = 1

Obtenemos:

Resolución 8

Por dato:

x x xa a3 2 5 12· /=

Pero: x3 = 8 → x3 = 23

x = 2

Luego: x3 + x = 8 + 2 = 10 Rpta.: C

Resolución 9

Aplicando: AA

nn

− = 1

Obtenemos:

5 25 2

5 21

512

n n

n n

n n

n n

++

= +

+− −

= ++

5 2

2 55 2

n n

n n

n n·

=+

+

5 2 5 2

2 5

n n n n

n n

e j ·

= 5n · 2n = (5 · 2)n

= 10n Rpta.: B

Resolución 11

Sabemos que: x −n = 9 ............. (α)

�1

9xn

= � xn = 19

.... (β)

Aplicando: Am·n = (Am)n

Tenemos que:

81x2n + x−2n = 81xn·2 + x−n·2

= 81(xn)2 + (x−n)2

Reemplazamos: (α) y (β)

= FHG

IKJ +81

19

92

2b g

= +81181

81·

= 82 Rpta.: C

Resolución 12

Aplicando: A An n

1

=

(−b)impar = −bimpar

��

��

Resolución 13

Aplicando: a b a bn nn= ·

A Apmn n m p= × ×

Obtenemos:

2 2 2 28

2

8FHG

IKJ =

FHGG

IKJJ·

= FH

IK2 222 2 2

8·× ×

= 88 8

e j

= 8 Rpta.: C

Resolución 14


A Amn m n=

/

Obtenemos:

3 3 3 35 2 5 2 2− −= e j ·

= −3 310 22 2 ·×

= =−3 310 24 84

= 3

84 = 3 2

∴ El exponente de 3 es 2 Rpta.: B

Resolución 15


b° = 1

Obtenemos:

( )

( )

( ) ( )

3

5

56

101 531 31 1 53

0

7 · 57 · 5

12 4 6 8 10

−−− × −

=

+ + + +

= 7 535

53·

×

= 7 533·

= 7 × 5

= 35 Rpta.: B

UV|

W|M

��n

Entonces:

MM

= 8�� M

M2 8=

Resolución 16

Sea: K = +3 3 3 6......

Hacemos:n

n

= 3 3 3......� ��

��n n= 3 ·

n2 = 3n → n = 3

Reemplazamos el valor de “n” en:

K = +3 3 3 6......

K n= + = + =6 3 6 9

∴ k = 3 Rpta.: A

Resolución 17

Sea: M = 8

88

M3 = 8

M = 2

Luego: 4 + M = 4 + 2 = 6 Rpta.: B

Resolución 18

x y x y x y

xy xy xy xy

veces

veces

· · · · ...... · ·

· · · ...... ·

3 3 3

60

20

� ��

� ��

x x x x y y y y

xy

veces veces

· · · ... · · · · · .... ·

30

3 3 3 3

30

20

� ��

e j

x y

x y

e j e j30

330

20 20

·

·

Aplicando: A Amnmn=

A

AA

m

nm n= −

��

��

= = =4 4 4

1

412

= 2 Rpta.: A

Obtenemos:

2243 3

· 32 4

− +

94

34

81124

812 2

+LNM

OQP = L

NMOQP

− −· ·

= 3−2·81

=1

3812 ·

= =1

81 9

1

9

9·

Rpta.: B

= −

2

2 2

2 9

20 8

e j·

= + −2

2

2 9

20 8

×

( )

= =−2

22

18

1218 12

= 26 = 64

Rpta.: B

Aplicando: AB

BA

n nFHG

IKJ = F

HGIKJ

−

1

AAn

n− =

Resolución 19

Tenemos:

22 1

42 4 13 3 3

−− −

−

+ ⋅

Obtenemos:

x y

x y

x y

x y

x

x

302

303

202

202

15 10

10 10

15

10·

·

·

·= =

= x15-10

= x5 Rpta.: C

Resolución 20

Aplicando: AA

nn

− = 1 ∧ A An n

1

=

Obtenemos:

NIVEL II

Resolución 1

Aplicando: Am·An·AP = Am+n+p

A Am n m ne j = × A

AA

m

n

m n=

−

Obtenemos:

4 4 4

2 16

4

2 2

4

2 2

7 6 10

20 2

7 6 10

20 4 2

9

20 4 2

−

−

− + +

− −= =· ·

· · · ×( )e j

Resolución 2

Sea: 3 5 8 2

2

81 25 2 2

2

4 2

3 4

3

3 4

−=

−+ +

e j b g e j· · · ·x

x

x

x

Aplicando: A Am n m ne j = × A A Am n m n+ = ·

Obtenemos:

81 25 2 2

2

56 2 2

2 2

3

3 4

3

3 4

−=+

b g e j· · · ·

·

x

x

x

x

= =56 216

7·

Rpta.: B

Resolución 3

Rx x

x

=

LNM

OQP

LNM

OQP

−−

−−

12 3 4 3

6 3 2

· e j

e j

Aplicando: ( )pnm m n pA A × × =

A Am n m n× = e jObtenemos:

Rx x

x=

− −

− −

12 3 4 3

6 3 2·

( )· ·( )

( )· ·( )

R x x

xx x= = =

12 36

3612 2 6· ×

R x= 2 6e j

∴ EL exponente de “x2” es 6 Rpta.: B

��

��

Resolución 4

Reducimos: x x xa a a· ·2 3

Aplicando: A Amnmn=

Obtenemos: 1 1 1a 2a 3ax · x · x

Aplicando: Am·An·Ap = Am+n+p

Obtenemos:

xa a a1 1

21

3+ +

x a116 ← Es de grado= 1

12

�116

112a

= → a = 22

Reemplazamos el valor de a = 22 en:

x xa11 2211=

Aplicando: A Amnmn=

Obtenemos:

x x x22112211 2= =

∴ El grado es 2 Rpta.: B

Resolución 5

Reducimos: x x xn2 ·


A Anm m n= ×

Obtenemos: x x x x x xn n2 2 2= · ·

= x x xn2 24 ·

Aplicando: Am·An = Am+n A Amnmn=

= +x x n2 4 2· =+

x x

n

2

24·

=+ +

x

n2

24

Por dato: 22

44+ + =n

Grado

Resolución 6

Sea:2 4

2 8

14 5

10 2++

Aplicando: A Am n m ne j = ×

Obtenemos:

2 2

2 2

2 2

2 2

14 2 5

10 3 2

14 10

10 6

+

+= +

+

e je j

=+

+

2 2 2

2 2 1

6 8 4

6 4

e je j

=+

+

2 2 1

2 1

4 4

4

e j

= 24 = 16 Rpta.: E

Resolución 7

Aplicando: A Amnmn=

Am·An = Am+n

Reducimos:

x x x xa a a a5 321

532· ·=

24

2+ =n

�� 2 + n = 8

∴ n = 6 Rpta.: C

=

+x a a

15

32

= x a17

10

Por dato: x xa17

101720=

Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.

17

101720a

=

∴ a = 2 Rpta.: B

Resolución 8

= =2 216 2 8×

Aplicando: Am×n = (Am)n

Obtenemos:

∴ Es la octava potencia Rpta.: D

��

��

49

49

32

1

25 32

15F

HGIKJ = F

HGIKJ

−−

−−

= FHG

IKJ

−49

1

321 5/= FHG

IKJ

−49

1

325

= FHG

IKJ

−49

1

2 = FHG

IKJ = =4

994

32

1

2

Rpta.: BResolución 10

Aplicando: Am+n = Am·An

Tenemos que:

5 3

3 3 3

5 3 3

3 3 3 3 3 3

5

4 3 2

5

4 3 2

n

n n n

n

n n n

+

+ + +− −=

− −

e j e j· ·

· · ·

Factorizando:5 3 3 3

3 3 3 3 1

2 3

2 2

· · ·

·

n

n − −e j

5 3

3 3 1

1355

3

2·

− −=

= 27 Rpta.: D

AA

nn

− = 1

A An n1

=49

32

1

251 2

FHG

IKJ

−− /

Resolución 9

Aplicando:AB

BA

n nFHG

IKJ = F

HGIKJ

−

A Amn mn=

Tenemos que:

92

35

32

2581

29

53

23

2581

1 2

2 0 5

2

2 1 2

FH

IK + FH

IK

FH

IK + FH

IK

=

FH

IK + F

HIK

FH

IK + F

HIK

− −

− , /

=

+

+

29

259

49

2581

=

+=

279

49

59

399

= 3 Rpta.: C

Resolución 12

49

32 25 1 2

FHG

IKJ

− − − / Sabemos que:

Resolución 11

Aplicando: AA

nn

− = 1

An·Bn = (A·B)n

Tenemos que:

En n

n nn= +

+− −3 5

3 5

En n

n nn

n n

n n

n n

n= +

+= +

+3 51

31

5

3 5

5 3

3 5·

E n nn= 3 5·

E nn= 3 5·b g∴ E = 15 Rpta.: C

Resolución 13


A Apnm m n p= × ×

Tenemos que:

2 2 2 233

72

233

72L

NMMM

O

QPPP

=L

N

MMM

O

Q

PPP

·

= 83 2 3 2 272

× × × ×

= 872 72 = 8 Rpta.: D

Resolución 14

Aplicando: A Amnmn=

A

AA

m

nm n= −

Tenemos que: 5

5

5

5

3

3

3

3

n nnn n

n( )( )

++

= =+5

5

3

3

n

= 5n + 3 − 3 = 5n

∴ El exponente de 5 es n

Rpta.: A

��

��

Resolución 15

Aplicamos la siguiente regla práctica:

x x x xm q srpnmp q r s

npr· ·

( )

=

+ +

x x xm qpn

mp qnp

· =

+

4 2 4

4 64

2 2 2

2 2

3

34

2 1 2223

2 634

· ·

·

· ·

·=

(2·2 1)2 23·2·2

2·3 64·3

2

2

+ +

+=

= =2

2

1

1212

1212

Rpta.: A

Resolución 16

25 5 53416

· ·−LNM

OQP

5 5 52 34216

· −LNM

OQP

Aplicamos la siguiente regla práctica:

(mp q)r s

p nprrn m q sx · x · x x

+ +

=

5 5 5 52 34216 2 4 3 2 1

2 4 2

16

· ·

( · )· ·−− +L

NMOQP

=L

NMM

O

QPP

=L

NMM

O

QPP5

1116

16


Tenemos que: =L

NMM

O

QPP = =5 5 5

1116

16 1116

1611

×

∴ El exponente de 5 es 11 Rpta.: C

Resolución 17

Tenemos que:

5 5 5 5 5 25· · · ...· · ·

5 5 5 5 5 5· · · ...· · ·

5 5 5 5 25· · · ...· ·

5 5 5 5 5· · · ...· ·

5 5 5 25· · · ...·

5 25· = 5 5 25· = = 5

Rpta.: B

Resolución 19 Si: 8 26 = nn

Pero: 8 2 26 32 3= =×

Vemos que:

2 2 2 2 232 3 42 4 52 5 2= = = = =× × × .... aa

Como: 8 2 26 32 3= =× nn

� 2 22nn aa=

....

.Resolución 18

x x x x n

310 4 15= − −· ·

x x x x n

310 4 1 225= − −· ·

Aplicamos la regla práctica:

(mp q)r sp nprrn m q sx · x · x x

+ +

=

Obteniendo:

x x

n310

4 2 1 25 2 2=

− −( · )· ·

x xn3

10

1420=

−

Luego, a bases iguales, exponentes iguales.

�3

1014

20= − n

n = 8

Finalmente:

n + = + = =1 8 1 9 3 Rpta.: A

��

��

Ex y

x y=

e j e j60

560

330

·

Aplicando: A An mmn=

(A·B)n = An·Bn

� A = 12

Resolución 20

Tenemos que:

Ex y x y x y

x y x y x y

veces

veces

=· · · · ....· ·

· · .... ·

5 5 5

120

3 3 3

30

� ��

� ��

Ex x x x y y y

x y

veces

y

veces

=FH

IK

· · · ... · · · · · ... ·

60

5 5 5 5

60

330

� ��

Luego: n = 2a ∧ 2n = 2a

→ 2(2a)= 2a

4a = 2a

Analizando:Si a = 1 → 4(1) = 21

4 = 2 → no cumple

Si a = 2 → 4(2) = 22

8 = 4 → no cumple

Si a = 3 → 4(3) = 23

12 = 8 → no cumple

Si a = 4 → 4(4) = 24

16 = 16 → cumple

� a = 4

Entonces: n = 2a = 2(4) → n = 8

Hallamos: n + = + =1 8 1 9 = 3

Rpta.. D

Resolución 21

Aplicando: AA

nn

− = 1 ∧ A Amn mn=

Calculamos:

= = =−

161

161

16

14

1 4 4/

Obtenemos:

Ex y

x y

=

602

605

303

·

·e j �� E

x y

x y=

30 12

10

·

·e j

Aplicando: A B A Bn n n· ·=

Tenemos que: Ex y

x y=

30 12

10 10

·

·

Ex y

x y

=

302

122

10102

·

·

� Ex y

x y=

15 6

10 5·

·

Aplicando:A

AA

m

nm n

=−

Tenemos que:

E = x15−10 · y6−5

∴ E = x5 · y Rpta.: B

��

��

B = = = =−

641

64

1

64

18

12

1 2/

� B = 18

Luego: A B· · ·−−

= FHG

IKJ = =1

112

18

12

8 4

∴ A · B−1 = 4 Rpta.: B

2 3x x

5 53 3+

=

Si las bases son iguales, los exponentes serán iguales.

�

25

35

xx= +

∴ x = −1 Rpta.. B

Resolución 24

Aplicando la siguiente fórmula:

x a a a a= · · · · ...

� x = a

Tenemos que:

A = 13 13 13· · · ...

� A = 13

B = 3 3 3· · · ...

� B = 3

Luego: A B+ = + =13 3 16 4

∴ A B+ = 4 Rpta.: D

Resolución 22

Aplicando: (Am)n = Am·n

A Amnmn=

Am·An = Am+n

Tenemos que:

9 3 275 5x x= ·

3 3 325 35e jx x= ·

3 3 325 35x x= ·

3 3 3

25

35

xx= ·

Resolución 23

Hacemos: M = 6 6 6 6· · · · ...

Esta expresión esigual a "M"

� ��

M M= 6 ·

M2 = 6M → M = 6

Reemplazamos el valor de “M” en:

K = +19 6 6 6· · · ...

K M= +19

K = + = =19 6 25 5

∴ K = 5 Rpta.: C

��

��

• El exponente de la variable “z” es 6

� Grado relativo a “z” : G·R(z) = 6

Luego: G·R(y) + G·R·(z) = 1+ 6

∴ G·R·(y) + G·R·(z) = 7 Rpta.: C

A = 4

CAPÍTULO N° 4

POLINOMIOS EN IREJERCICOS DE REFORZAMIENTO (POLINOMIOS). Pág.(135, 136, 137, 138)

NIVEL I

• El exponente de la variable “y” es 1

� Grado relativo a “y” : G·R·(y) = 1

B = 125

125125

� B = 1253

B = 5

Luego: A B+ = + = =4 5 9 3

∴ A B+ = 3 Rpta.: B

Resolución 25

Aplicando la siguiente fórmula:

xa

a

a

a

=

�� x a= 3

Tenemos que:

A = 64

6464

� A = 643

Resolución 1

Sea: Q(x; y; z) = 8x4yz6

Resolución 2

Sea: 5x2a-b+3 y3b+1

Luego: G·R·(x) = 2a − b + 3 = 6 ... (I)

G·R·(y) = 3b + 1 = 16 ....... (II)

De (II) tenemos que:

3b + 1 = 16

3b = 15 → b = 5 Rpta.: C

Resolución 3

Sea: P(x; y) = 9xy3b − 1

� G(P) = 1+ (3b − 1) = 3b

� G(P) = 3b

Resolución 4

Sea el monomio: P(x; y) = 12x3n+2 y6

Grado del monomio: G(P) = (3n + 2) + 6 ...(I)

Por dato: G(P) = 14 ............................... (II)

De (I) y (II) tenemos que:

(3n + 2) + 6 =14

3n + 8 = 14

3n = 6 → n = 2

Rpta.: A

Sea: Q(x; y) = 5xy11

� G(Q) = 1 + 11 = 12

� G(Q) = 12

Como: P(x; y) = 9xy3b−1 y Q(x; y) = 5xy11

Son términos semejantes, entonces sus grados son igua-les:

� G(P) = G(Q)

3b = 12 → b = 4 Rpta.: B

��

��

Resolución 5

Efectuando: (x5· ya)(x4·y3)=x5+4 ·ya+3

= x9 ya+3

Hallamos el grado del monomio x9ya+3 :

Grado = 9 + (a + 3)

Por dato: Grado = 17

� 9 +(a + 3) = 17

∴ a = 5 Rpta.: C

Resolución 6 Sea:

( )6 m 9 n

2 mx y

R x; yx

− +

−=

R(x; y) = x(6−m)−(2−m) y9+n

R(x; y) = x6−m−2+m y9+n

R(x; y) = x4 y9+n

G.A.(R) = 4 +(9 + n)

Por dato: G·A·(R) = 21

� 4+(9+n) = 21

13 + n = 21

∴ n = 8 Rpta.: C

Resolución 7

Reducimos:

P(a) = −5a(a + 2)− 6a(a − 3)+ 3a(a − 2)+ 8a2

P(a) = −5a2 − 10a − 6a2 + 18a + 3a2 − 6a + 8a2

P(a) = −5a2 − 6a2 + 3a2 + 8a2 − 10a + 18a − 6a

P(a) = −11a2 + 11a2 + 2a

∴ P(a) = 2a Rpta.: A

Resolución 8

Reducimos:

E = −x−(−x−y) − (−y + x)− y

E = − x + x + y + y − x − y

∴ E = y − x Rpta.: B

Resolución 9

Sea:P(x; y; z) = 6x3y2z5 − 9x2y6z4 + 13xy7z5

Grado del monomio: 6x3y2z5

� 3 + 2 + 5 = 10

Grado del monomio: 9x2y6z4

� 2 + 6 + 4 = 12

Grado del monomio: 13xy7z5

� 1 + 7 + 5 = 13

Luego: grado absoluto del polinomio es:

G·A· (P) = 13 Rpta.: C

Resolución 10

Sea: R(x) = x4m−3 + x4m−5 + 6

Como el grado absoluto de R(x), es igual al mayor gradoabsoluto de uno de sus téminos, analizamos y vemos que:

4m − 3 > 4m − 5

� G·A·(R) = 4m − 3

Por dato: G·A·(R) = 25

� 4m − 3 = 25

∴ m = 7 Rpta.: C

Resolución 11

Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm−1 + 11mxm−2

Analizando los exponentes de cada término, vemos que:

m > m − 1 > m − 2

� G·A·(Q) = 6

Por dato: G.A(Q) = 6

� m = 6

El coeficiente de mayor valor será:

11m = 11(6) = 66 Rpta.: D

Resolución 12

Si: M = a3xa+8 yb-4

N = b2 xb+5 y-a+5

Donde: “M” y ”N” son términos semejantes

� x a+8 = x b+5

a + 8 = b + 5

a − b = –3 ........... (I)

� y b−4 = y −a+5

b − 4= −a + 5

b + a = 9 ........... (II)

Sumando (II) + (I):

b + a = 9 (+)a − b = −3

2a = 6 → a = 3

Reemplazando el valor de “a=3” en (I) tenemos que:

3 − b = −3

b = 6

Luego: a×b = 3×6 = 18 Rpta.: B

Resolución 13 Sea:

P(x; y) = 3xa−8y6 + 4xa−11y5 + 7xa−13y20

Analizando los exponentes de“x” tenemos que:

a−8 > a − 11 > a − 13

��

��

Resolución 14 Sea:

Q x y x yaa; ·b g = − 3 62

Q x y x yaa a; ·b g = − −32 62

Q x y x y

aa a; ·b g = − −3

26

2

Por dato: G·A·(Q) = 9

�3

26

29

aa a−

+−

=

3 62

9a

a+

−=

3a + 6 = 9(a − 2)

3a + 6 = 9a − 18

24 = 6a → a = 4 Rpta.: B

Resolución 16 Sea:

P(x; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y2n−1

Donde:

* Grado del monomio 6xm+2 yn+3 es:

(m + 2) + (n + 3) = m + n + 5

* Grado del monomio 4xm+1 y2n − 1 es:

(m + 1) + (2n − 1) = m + 2n

Como: P(x; y) es homogéneo

� m + n + 5 = m + 2n

∴ n = 5 Rpta.: C

� G·R·(x) = a − 8

Por dato: G·R·(x) = 5

� a − 8= 5 → a = 13

Luego:

P(x; y) = 3x13−8y6 + 4x13−11y5 + 7x13−13y20

P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20

Donde:

• Grado del monomio: 3x5y6 es:

5 + 6= 11

• Grado del monomio: 4x2y5 es:

2 + 5 = 7

• Grado del monomio: 7y20 es:

20

∴ G·A·(P) = 20 Rpta.: B

Resolución 15 Reduciendo:

Ex x x

x x

=

LNM

OQP

LNM

OQP

5 3 42

3

2 4 53

e j

e j

· ·

·

Ex x x

x x=

5 3 42

3

2 4 53

×

×

· ·

·

Ex x x

x x=

15 4 2 3

8 5 3

· ·

· � E

x x

x=

+

+

15 4 2 3

8 5 3

·

Ex x

x

x x

x= =

19 2 3

13 3

19 2 3

13 3

· ··

·

= x38 + 3 − 39

= x2

∴ Grado del monomio =2

Rpta.: B

Resolución 17

Reemplazamos los valores de x = 3 e y = −1 en:

x−y·(−2y)x

Obteniendo: (3)-(-1)·(−2(−1))3 =

=31·23 = 3·8 = 24 Rpta.: B

Resolución 18

Como: a = 2 ; b = −3 ; c = 4

� E = (aa + ca − ba)a

E = (22 + 42 − (−3)2 )2

E= (4 + 16 − 9)2 = 112

∴ E = 121 Rpta.: C

Resolución 19 Sea:

P(x) = 4x + 1

� P(1) = 4(1) + 1 → P(1) = 5

� P(2) = 4(2) + 1 → P(2) = 9

� P(3) = 4(3) + 1 → P(3) = 13

� P(0) = 4(0) + 1 → P(0) = 1

Luego: EP P

P P=

++

= ++

=1 2

3 05 913 1

1414

b g b gb g b g

∴ E = 1 Rpta.: B

��

��

Resolución 20 Sea:

P(x−5) = 5x + 5

* Si P(−1) = P(x−5)

� −1 = x − 5 → x = 4

∴ P(−1) = 5(4) + 5

P(−1) = 25

* Si P(0) = P(x − 5)

� 0 = x − 5 → x = 5

∴ P(0) = 5(5) + 5

P(0) = 30

* Si P(1) = P(x − 5)

� 1 = x − 5 → x = 6

∴ P(1) = 5(6) + 5

P(1) = 35

* Si P(−2) = P(x − 5)

� −2 = x − 5 → x = 3

∴ P(−2) = 5(3) + 5

P(−2) = 20

Luego:RP P

P P=

− ++ −

= ++

=1 0

1 225 3035 20

5555

b g b gb g b g

∴ R = 1 Rpta.: B

Resolución 21 Sea: P(x) = 2x + 3

� P(2) = 2(2)+3 → P(2) = 7

Luego: P P P2 7b g =

Donde: P(7) = 2(7)+ 3

P P P7 17 2b g b g= =

∴ P P 2 17b g = Rpta.: D

Resolución 22 Sea: P(x+1) = x2

Hallamos “x” :

Si P(x+1) = P(2)

� x + 1= 2 → x = 1

∴ P(2) = (1)2 � P(2) = 1

Luego: P(P(2)) = P(1)

Hallamos “x” :

Si P(x+1) = P(1)

� x + 1= 1 → x = 0

∴ P(1) = 02 �� P(1) = 0

NIVEL II

Resolución 1 Sea:

P(x; y) = (5xn+4·y2)5

P(x; y) = 55 ·(xn+4)5 ·(y2)5

P(x; y) = 55 · x5(n+4) · y10

P(x; y) = 55 · x5n + 20 · y10

Como el grado del monomio es 40

� (5n + 20) + 10 = 40

5n + 30 = 40

∴ n = 2 Rpta.: B

Luego: P P P P P P2 1 0b gc h b g b g= =

Hallamos “x”

Si P(x+1) = P(0)

� x + 1 = 0 → x = −1

∴ P(0) = (1−)2 � P(0) = 1

Finalmente:

P P P P P P2 1 0 1b gc h b g= = = Rpta.: B

Resolución 2

A = 2mxm+2 · y3m+n

B = 3nx3n−2 y4m−8

Como A y B son términos semejantes, en-tonces la parte variable tienen los mismosexponentes.

Así: m + 2 = 3n − 2 ........... (I)

3m + n = 4m − 8 ......... (II)

Sumando: (I) + (II)

m + 2 + 3m + n = 3n − 2 + 4m − 8

4m + n + 2 = 3n + 4m − 10

10 + 2 = 3n − n

12 = 2n → n = 6

Reemplazando: “n = 6” en (I):

m + 2 = 3(6) −2

m = 14

Reemplazando “n=6” y “m = 14” en A y B:

A = 2(14)x14+2 y3(14)+6

� A = 28x16 y48

B = 3(6)x3(6)−2 y4(14)−8

� B = 18x16 y48

Luego: A − B = 28x16 y48 −18x16 y48

∴ A − B = 10x16 y48 Rpta.: B

��

��

Resolución 7

Por dato: G·A·(R) = 3 ........ (I)

Luego: R x yaa= − 3 62 3 ·

R x ya a= −3 6

12 3

·e j

R x y

aa a= − −3

2 36

2 3·

G·A·(R)=3

2 36

2 3a

a a−+

−

G·A·(R) = 3 62 3

aa

+− ........ (II)

De (I) y (II), tenemos que:

3 62 3

3aa

+−

=

3a + 6 = 3(2a − 3)

3a +6 = 6a − 9

15 = 3a

a = 5

Luego: P = 3x2a·y3a−1

P = 3x2(5)· y3(5)−1

P = 3x10· y14

Donde: G·A·(P) = 10 + 14

∴ G·A·(P) = 24 Rpta.: C

Resolución 8 Sea:

P(x; y) = (5a−1·xa+2 ·ya)2

P(x; y) = (5a−1)2 · (xa+2)2 ·(ya)2

P(x; y) = 52(a−1)· x2(a+2)·y2a

Donde: G·A·(P) = 2(a+2) + 2a

= 2a + 4 + 2a

G·A·(P) = 4a + 4

Por dato: G·A(P) = 16

� 4a + 4 = 16

4a = 12 → a = 3

Reemplazando el valor de: a = 3

− El coeficiente del monomio será:

52(a−1) = 52(3−1) = 52(2) = 54 = 625

Rpta.: C

Sumando (I) + (III):

3a + b = 11 (+)a + 3b = 9

4a + 4b = 20

4(a + b) = 20

∴ a + b = 5 Rpta.: B

Resolución 4 Si 9xb + 4ax5 = 17x5

Analizando, vemos que para que cumplala igualdad, el exponente de “x” debe ser 5

� b = 5

También, los coeficientes deben ser igualesen ambos lados de la igualdad, por lo que:

9 + 4a = 17

4a = 8 → a = 2

Luego: 2 2 2 5a b+ = +b g = 9 = 3

Rpta.: B

Resolución 5 Efectuando:

A = [(2p − 3) − (3p + 4q)] − [2q−(3p + q)−p]

A = [2p − 3 − 3p − 4q] − [2q − 3p − q − p]

A = [−p − 4q − 3] − [q − 4p]

A = −p − 4q − 3 − q + 4p

∴ A = 3p − 5q − 3 Rpta.: B

Resolución 6

R x y x x y x x y= − + − − + − +3 2 3 2b g b g

R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2

R x y x x y x x y= − − − − − − −3 2 3 2

R = 3x − y − 2x − x + 3y + 2x + x + y

∴ R = 3x + 3y Rpta.: C

UVW

Resolución 3 Sea:

M(x; y) = 10x3a+b ya+3b

• Como: G·R·(x) = 11

� 3a + b = 11 ........................ (I)

• Como G·A·(M) = 20

� (3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)

Reemplazando (I) en (II), tenemos:

(11) + (a + 3b) = 20

� a + 3b = 9 ........................... (III)

��

��

Resolución 9 Sea:

P x x xm mb g = 3 234 ·

P x x xmm

b g = 323

4·

P x xm

m

b g =+3

23

4

P x xm m

b g =+9 23

4

P x xm

b g =11

34

P x xm

b g =F

HGG

I

KJJ

113

14

P x xm

b g =1112

Como el grado de P(x) es 22

�1112

22m =

11 22 121 2m = ·

∴ m = 24 Rpta.: D

Resolución 10

Reduciendo la expresión:

P xx x

x x

n n

n nb g e j e j

e j=

−

−

4 3 4 2

2 4 6

·

·

P xx x

x x

n n

n nb g =−

−

3 4 8

4 2 6

( )

( )·

·

P xx x

x x

n n

n nb g =−

−

3 12 8

4 8 6·

·

P xx

x

n n

n nb g =− +

− +

3 12 8

4 8 6

P xx

xx

n

nn nb g = =

−

−− − −

11 12

10 811 12 10 8( ) ( )

P(x) = x11n−12−10n + 8

P(x) = xn−4

Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que:

n − 4 = 4

∴ n = 8 Rpta.: C

Resolución 11


( )3 m 7 n

3 n 6 mx · y

M x; yx · y

+ −

− −=

M(x; y) = x(3+m)−(3-n) · y(7−n)-(6−m)

M(x; y) =x3+m−3+n · y7−n−6+m

M(x; y) = xm+n · ym−n+1

Sabemos que: G·R·(x) = 5

� m + n = 5 ............................... (I)

Sabemos que: G·A·(M) = 7

� (m + n) + (m − n + 1) = 7 ........ (II)

Reemplazando (I) en (II), tenemos que:

5 + (m − n + 1) = 7

m − n = 1 ................................. (III)

Sumando (I) + (III), tenemos que:

m + n = 5 (+)m − n = 1

2m = 6 → m = 3

Reemplazando “m = 3” en: (I), tenemos que:

3 + n = 5 → n = 2

Luego: 2m + n = 2(3) + 2

∴ 2m + n = 8 Rpta.: D

UVW

Resolución 12 Sea:

Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8(x3y2)6n

Q(x; y) = 15x4y3n − x4ny6 + 8x18n y12n

Como: G·R·(y) = 24

Sabemos que el grado relativo de “y” es el mayor exponentede “y” en la expresión.

Como:12n > 3n ; ∀ n > 0

� G·R·(y) = 12n = 24

→ n = 2

Hallamos el grado relativo de “x” :

Los exponentes de “x” en la expresión dada son:

4; 4n; 18n

Reemplazando “n = 2”, obtenemos:

4; 8; 36

∴ G·R·(x) = 36 Rpta.: C

��

��

Luego: R N R3 1b g =

Si: R(x) = 4x + 3

� R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3

R(1) = 7

∴ R N 3 7b g = Rpta.: C

Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:

2 46

3n + =

2n + 4 = 18

2n = 14 → n = 7

Luego: el coeficiente será:

3(n − 1) = 3(7 − 1) = 3·(6)

∴ 3(n − 1) = 18 Rpta.: C

∴ Grado de Q xb g 530= Rpta.: C

Resolución 17 Si grado de P(x) = 7

� grado de P3(x) = 7 × 3 = 21

Si grado de Q(x) = 9

� grado de Q2(x) =9 × 2 = 18

Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;

es el mayor grado de ambos monomios:

∴ Grado de H(x) = 21 Rpta.: B

Resolución 18

Como: F(x) = es un polinomio lineal, seráde la forma:

F(x) = ax + b ; a y b constantes

� F(2) = a(2) + b = 5

2a + b = 5 ......... (I)

� F(1) = a(1)+ b = 4

a + b = 4 ......... (II)

Restamos (I) − (II); obteniendo:

2a + b = 5a + b = 4

a = 1

Reemplazamos el valor de “a = 1” en (II);obteniendo:

1 + b = 4 → b = 3

Si: F(x) = ax + b = 1·x + 3

F(x) = x + 3

� F(7) = 7 + 3

∴ F(7) = 10 Rpta.: B

Resolución 19

Si: N(x) = 2x − 5

� N(3) = 2(3) − 5 = 6 − 5

N(3) = 1

UVW

0

(−)

Resolución 13


A x n x xnb g b g= −3 1 2 86· ·

A x n x xnb g b g= −3 1 282

6· ·

A x n x xnb g b g= −3 1 2 46· ·

A x n x nb g b g= − +3 1 2 46·

A x n xn

b g b g= −+

3 12 4

6·

Resolución 14 Sea:

P(x) = 3axa+5 + 5axa+6 + 2axa+8

Analizando los exponentes, vemos que:

a + 8 > a + 6 > a + 5

� G·A(P) = a + 8 a + 8 = 17

Por dato: G·A·(P) = 17 a = 9

Los coeficientes de P(x) son:

3a; 5a; 2a

� La suma de coeficientes será:

3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9

� 10a = 10(9) = 90 Rpta.: E

Resolución 15 Sea:

P(x) = 3x90 − 27x88 + 3x2 − 4x

P(x) = 3x88(x2 − 9) + 3x2 − 4x

� P(3) = 3(3)88(32 − 9) + 3(3)2 − 4(3)

P(3) = 3(3)88(9 − 9) + 27 − 12

P(3) = 3(3)88(0) + 15

∴ P(3) = 15 Rpta.: C

Resolución 16 Sea:

Q(x) = 5x6 + x4 + x2 + 3x + 6

Donde: el grado de Q(x) = 6

Luego: el grado de Q xb g 56 5= ×

��

��

Por dato del problema: G·R·(x) = 10

Entonces, tenemos que:

m + 4 = 10 → m = 6

• Hallamos el grado de cada monomio y el mayor gra-do será el grado absoluto del polinomio P(x; y)

− Hallamos el grado del 1° monomio:

� (m + 1) + (n − 3) = (6 + 1) + n − 3

= 7 + n − 3

� Grado del 1° monomio: n + 4

− Hallamos el grado del 2° monomio

� (m + 3)+(n − 4) = (6 + 3)+(n − 4)

= 9 + n − 4

� Grado del 2° monomio: n + 5

− Hallamos el grado de 3° monomio:

� (m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n

� Grado del 3° monomio: 10 + 2n

UVW (−)

Resolución 20

Como: R(x) es un polinomio lineal, será dela forma:

R(x) = ax + b ; a y b constantes

� R(−3) = a(−3) + b = 8

−3a + b = 8 ......... (I)

� R(2) = a(−2)+ b 6

−2a + b = 6 ........ (II)

Restamos (II) − (I), obteniendo:

−2a + b = 6 −3a + b = 8

(−2a)−(−3a) = −2

−2a + 3a = −2

a = –2

Reemplazando “a = -2” en (I):

−3(−2)+b = 8

6 + b = 8 → b = 2

Las constantes serán: a = −2 y b = 2

� R(x) = −2x + 2

Luego: R(−4) = −2(−4)+2

∴ R(−4) = 10 Rpta.: C

Resolución 21

P(x; y) = 3xm+1 yn−3 + 7xm+3 yn−4 − xm+4 y2n

Analizamos los exponentes de la variable “x” y vemos que:

m + 4 > m + 3 > m + 1

� G·R·(x) = m + 4

Resolución 22 Sea:

F(3x − 1) = 2x + 3

P(x) =4x − 1

Hallamos “x” para hallar F(2):

Si F(3x − 1) = F(2)

Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:

10 + 2n > n + 5 > n + 4

� G·A·(P)= 10 + 2n

Por dato del problema: G·A·(P) = 16


10 + 2n = 16

2n = 6 → n = 3

Reemplazamos: m = 6 ∧ n = 3 en:

mn

= =63

2

∴mn

= 2 Rpta.: A

� 3x − 1 = 2

3x = 3 → x = 1

Luego: F(2) = 2(1)+ 3

� F(2) = 5

Luego: P F P2 5b gc h b g=

Si P(x) = 4x − 1

� P(5) = 4(5) − 1 → P(5) = 19

∴ P F 2 19b gc h = Rpta.: B

Resolución 23 Sea:

Q(x) = 2mxm + 4mxm−1 + 6mxm−2

Analizando los exponentes de “x”, vemos que:

m > m − 1 > m − 2

Entonces: G·A·(Q) = m (Dato)Pero: G.A(Q) = 5� m = 5Reemplazando el valor de “m” en Q(x), tenemos que:

Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x5−1 + 6(5)x5−2

Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3

Término cúbico

∴ El coeficiente del término cúbico es 30

Rpta.: D

��

��

2(2) + 1= 7 − m

5 = 7 − m → m = 2

Luego: mn = 22 = 4

∴ mn = 4 Rpta.: B

Resolución 27

P(x; y) = (6 − n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y − 4x2y3

• Factorizando:

P(x; y) = (6 − n + 5)x3y + (m − 4)x2y3

Como: P(x; y) es idénticamente nulo:

� 6 − n + 5 = 0 ∧ m − 4 = 0

n = 11 ∧ m = 4

Reemplazando estos valores en:

nm − = −2 11 22 4 2

e j e j

∴ nm − =2 32

e j Rpta.: B

Resolución 28

P(x) = xa+b + 4xa − 7xb + 5

Si P(x) es ordenado y completo de grado 3

� a + b = 3 � a = 2 � b = 1

∴ a2 + b2 = 22 + 12 = 5 Rpta.: C

Resolución 29

2Ax2 + Bx2 − Cx + B ≡ 8x2 + 5x − 4

(2A + B)x2 + (−C)x + B ≡ 8 x2 + 5x + (−4)

� B = –4

� −C = 5 → C = −5

� 2A + B = 8

2A + (−4) = 8

2A = 12 → A = 6

Luego:

A + B + C = 6 +(−4) + (−5)

∴ A + B + C = −3 Rpta.: B

Reemplazando el valor de “m” en los exponentes de “x”,tenemos que:

5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n

4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n

3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2n

Donde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n

Luego: G·R·(x) + G·R·(y) = 43(18 + 2n) + (4m + 5) = 4318 + 2n + 4(3) + 5 = 4318 + 2n + 12 + 5 = 43

2n = 8 → n = 4

Reemplazando “m” y “n” en P(x; y); tenemos que:

P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17

∴ G·A·(P) = 17 + 17 = 34 Rpta.: D

Resolución 25

P(x; y) = 8x2n+6 − 3x2n+3 yn+2 + 5y9−n

Polinomio homogéneo es aquel en el que todos sus térmi-nos tienen el mismo grado.

Como: P(x; y) es homogéneo

� 2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 − n

2n + 6 = 3n + 5 = 9 − n

• 2n +6 = 3n + 5 → n = 1

• 3n + 5 = 9 − n → n = 1

Los exponentes de “y” son:

* n + 2 = 1 + 2 = 3

* 9 − n = 9 − 1 = 8

� G·R·(y) = 8 Rpta.: B

menor exponente

de “y”

G:R (y)

G:R (x)

Resolución 24

P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 +

7x3m+2n y4m+5

* Los exponentes de “y” son:

2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5

Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5

Por dato: 2m + 1 = 7

2m = 6 → m = 3

Resolución 26

Q(x; y) = 2n 1x + + 6xn+2 yn−1 − 13y7−m

Como: Q(x; y) es homogéneo:

� n2 + 1= (n + 2) + (n − 1) = 7 − m

n2 + 1 = 2n +1 = 7 − m

• n2 + 1 = 2n + 1 → n = 2

• 2n + 1 = 7 − m

Resolución 30 Si:

B(x)=x2 + x − 1

� B(2) = (2)2 + (2) −1

B(2) = 5

Luego: A B A2 5b g =

��

��

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO

(ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS). Pág.(143, 144, 145, 146)

NIVEL I

También: Q(x; y) = −3y + x − 9

Luego:

3P(x; y) + Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (−3y + x − 9)

= 9x + 3y + 18 − 3y + x − 9

∴ 3P(x; y) + Q(x; y) = 10x + 9 Rpta.: C

Si: A xxb g = + 1

2

� ( ) 5 1A 5

2+=

A(5) = 3

∴ A B 2 3b g = Rpta.: B

Resolución 1 Sea:

P(x; y) = 3x + y + 6

� 3P(x; y) = 3(3x + y + 6)

3P(x; y) = 9x + 3y + 18

Resolución 2 Si:

P(x; y) = 5x + 3y − 3

� 2P(x; y) = 2(5x + 3y − 3)

� 2P(x; y) = 10x + 6y − 6

Si Q(x; y) = 2y − 2x + 5

� 5Q(x; y) = 5(2y − 2x + 5)

� 5Q(x; y) = 10y − 10x + 25

Luego:

2P(x; y) + 5Q(x; y) = (10x + 6y − 6)+(10y −10x + 25)

= 10x + 6y − 6 + 10y − 10x + 25

∴ 2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C

Resolución 3

P(x) − Q(x) = (5x2 − 3x +1) − (x2 − 3)

= 5x2 − 3x + 1 − x2 + 3

= 4x2 − 3x + 4 Rpta.: E

Resolución 4

P + Q = (4x3 + 2x2 − x + 5) + (–3x2 + 2x +3)

P + Q = 4x3 + 2x2 − x + 5 − 3x2 + 2x + 3

P + Q = 4 83 2

4

x x xtér os

− + +min

� ��

∴ El polinomio resultante tiene 4 términos Rpta.: B

Resolución 5

A − B = (5x2 + 6x − 2) − (−2x2 + 6x + 1)

A − B = 5x2 + 6x − 2 + 2x2 − 6x − 1

A − B = 7 32xs

−2 término��

∴ El polinomio resultante tiene 2 términos.

Rpta.: C

Resolución 6 Hallamos: (B + C − A)

2 4 1 2 3 3 42 2 2x x x x x x

B C A

− + + − − − − + − =e j e j e j� ��

= 2x2 − 4x + 1 − 2x − x2 − 3 − x2 − 3x + 4 =

= −9x + 2 Rpta: D

Resolución 7 Hallamos: “A − B + C”

( ) ( ) ( )CA B

3 3 2 2 34x 2x 1 x 3x 6 x 3x 4− + − − + + − + =��

= 4x3 − 2x + 1 − x3 + 3x2 − 6 + x2 − 3x3 + 4=

= 4x2 − 2x − 1 Rpta.: C

Resolución 8

* Sea “L” el lado del cuadrado

� Perímetro del cuadrado = 4L

Como: L = 3x + 2

� Perímetro del cuadrado = 4(3x + 2)

Perímetro del cuadrado = 12x + 8

* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo

� Perímetro del rectágulo = 2(a + b)

Como: a = 4x − 1 ∧ b = 5x + 2

� Perímetro del rectángulo:

= 2[(4x − 1) + (5x + 2)]

=2[4x − 1 + 5x + 2]

= 2[9x + 1]

Perímetro del rectángulo = 18x + 2

��

��

Resolución 14

R = −3x2−{5y +[−3x2 + {y − (6 + x2)} − (−x2 + y)]}

R = −3x2 −{5y +[−3x2+{y − 6 − x2} +x2 − y]}

R = −3x2 −{5y +[−3x2 + y − 6 − x2 + x2 − y]}

R = −3x2 −{5y − 3x2 − 6}

R = −3x2 − 5y + 3x2 + 6

∴ R = 6 − 5y Rpta.: B

Como: L = 7x + 1

� Perímetro del cuadrado = 4 (7x + 1)

Perímetro del cuadrado = 28x + 4

* Sea el triángulo isósceles:

� Perímetro del hexágono = 6acomo: a = 2x + 1

� Perímetro del rectángulo = 6(2x + 1)Perímetro del

rectángulo = 12x + 6

* Sea “L” el lado del cuadrado

� Perímetro del cuadrado = 4LComo: L = 3x − 1

� Perímetro del cuadrado = 4(3x − 1)Perímetro del

cuadrado = 12x − 4

Luego:Perímetro del

hexágono − Perímetro delcuadrado = (12x + 6)− (12x − 4)

= 12x + 6 − 12x + 4 = 10

∴ Excede: en 10 Rpta.: E

Resolución 13

* Si el pentágono es regular, entonces sus cinco ladosson iguales.Si el lado del pentágono es “L”

� Perímetro del pentágono = 5Lcomo: L = 4x + 3

� Perímetro del pentágono = 5(4x + 3)

Perímetro delpentágono = 20x + 15

* Sean “a” y “b” los lados del rectángulo

� Perímetro del rectángulo = 2(a + b)

como: a = 7x + 4 ∧ b = 3x + 1

� Perímetrodelrectángulo

= 2((7x + 4)+(3x + 1)

= 2(10x + 5)

Perímetrodelrectángulo = 20x + 10

Luego:

Perímetro delpentágono − Perímetro del

cuadrado = (20x + 15)−(20x + 10)

= 20x + 15 − 20x − 10

= 5

∴ Excede en 5 Rpta.: D

� Perímetro deltriángulo

= (10x − 3)+(10x−3)+(7x + 1)

Perímetro deltriángulo = 27x − 5

Luego:

Perímetro delcuadrado +

perímetro del

triángulo = (28x + 4)+(27x − 5)

= 55x −1

Rpta.: D

Resolución 10

Sea “M” la expresión buscada:

� (5x2 − 3x +6) + M = 8x2 + 5x − 3

M= 8x2 + 5x − 3 − (5x2 − 3x + 6)

M = 8x2 + 5x − 3 − 5x2 + 3x − 6

∴ M = 3x2 + 8x − 9 Rpta.: C

Resolución 11

Sea “N” la expresión buscada:

� (16x3 − 4x2 − 9) − N = 12x3 + 6x − 8

(16x3 − 4x2 − 9) − (12x3 + 6x − 8) = N

16x3 − 4x2 − 9 − 12x3 − 6x + 8 = N

∴ N = 4x3 − 4x2 − 6x − 1 Rpta.: E

Resolución 12

* Si el hexágono es regular, entoncessus 6 lados son iguales.

Si el lado del hexágono es “a”

Resolución 9

* Sea “L” el lado de cuadrado:

� Perímetro del cuadrado = 4L

Luego:

Perímetro delcuadrado

perímetro del

rectángulo

+ = (12x + 8)+(18x + 2)

= 30x + 10

Rpta.. D

��

��

(M – 6)x3 + (5 − N)x2 − 3x + 1 = 2 x3 + 3 x2 − 3x + 1

Luego: M − 6 = 2 → M = 8

5 − N = 3 → N = 2

Entonces: M − N = 8 − 2

∴ M − N = 6 Rpta.: B

Resolución 15

E x x x= − + − + +3 2 1 2b gE x x x= − − + +3 2 2 2E = x − 3x + 2x − 2 − 2

∴ E = −4 Rpta.: E

Resolución 16

( ){ }P x 2x y x y z x z= + − + − − + − + −

P x x y x y z x z= + − + + − + + −2l qP = x + z − z

∴ P = x Rpta.: C

Resolución 17

(Ax2 + 5x + 8)+(3x2 + Bx − 6)=5x2 + 7x + 2

Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx − 6 = 5x2 + 7x + 2

(A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5 x2 + 7 x + 2

Luego: A + 3 = 5 → A = 2

5 + B = 7 → B = 2

Entonces: A + B = 2 + 2

∴ A + B = 4Rpta.: D

Resolución 18

(Mx3 + 5x2 +2x + 4) − (6x3 +Nx2 + 5x + 3)

= 2x3 +3x2 − 3x + 1

Mx3 + 5x2 +2x + 4 − 6x3 − Nx2 − 5x − 3

= 2x3 + 3x2 − 3x + 1

Resolución 19

P + Q − R = (x2 + x − 3)+(2x2 − 2x + 1)−(3x2 − 4x + 5)

P + Q − R = x2 + x − 3 + 2x2 − 2x + 1 − 3x2 + 4x − 5

∴ P + Q − R = 3x − 7 Rpta.: B

Resolución 20

(A − C)−B = ((5x2 − x + 4) − (2x2 + 5x + 3))−(3x2 − 4x + 1)

(A − C) −B = (5x2 − x + 4 − 2x2 − 5x − 3)

−3x2 + 4x − 1

(A − C)− B = 3x2 − 6x + 1 − 3x2 + 4x − 1

∴ (A − C) − B = − 2x Rpta.: B

NIVEL II

Resolución 1 Si:

P(x; y) = 2x2 − 2x + 3y2 − 3

� 2 P(x; y) = 2 (2x2 − 2x + 3y2 − 3)

2 P(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6

Además: Q(x; y) = 4x − 4x2 − 3y2 + 6

Luego:

2 P(x; y) + Q(x; y) = (4x2 − 4x + 6y2 − 6) +

(4x − 4x2 − 3y2 + 6)

2 P(x; y) + Q(x; y) = 4x2 − 4x + 6y2 − 6 + 4x − 4x2 − 3y2 + 6

∴ 2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2 Rpta.: C

Resolución 2 Sea:

A(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8

Si: B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5

� 2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5)

2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10

Luego:

A(x; y) − 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y − 3xy + 8)

−(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10)

A(x; y) − 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y − 3xy + 8 −8xy2

−4x2y − 2xy − 10

∴ A(x; y)− 2B(x; y) = 2x2y − 5xy − 2 Rpta.: B

Resolución 3

P(x) − Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) − (5x2 − 4x − 4)

P(x) − Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 − 5x2 + 4x + 4

∴ P(x) − Q(x) = 4x3 − 3x2 + 5x + 7

Rpta.: B

Término demayor grado

Término demenor grado

Resolución 4

P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)

P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3

Luego:

Coeficiente deltér o demayor grado

minFHG

IKJ −

Coeficiente deltér o demenor grado

minFHG

IKJ = 3 − 3

= 0

Rpta.: C

��

��

Resolución 9

De la figura:

También: AB = CD

BC = AD

FG = n

GE = m

Luego, perímetro del rectángulo ABCD es:

AB + BC + CD + AD = 32 x

CD + BC + CD + BC = 32x

2BC + 2CD = 32x

2(BC + CD) = 32x

BC + CD = 16x

� AD + AB = 16x

Vemos que:

DC = AB = 4x + 1

QN = PM = 3x + 2

BC = AP + MN + QD = 6x + 4

Luego:

El perímetro de la figura será:

AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC

= AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC

= AB + AB + BC + PM + PM + BC

= 2AB + 2BC + 2PM

=2(AB + BC + PM)

= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2))

= 2 (13x + 7) = 26x + 14

∴ Perímetro = 26x + 14 Rpta.: C

Resolución 10

Sea la figura:

� ��

Vemos que:

BC = BF + m → BF = BC − m

CD = ED + n → ED = CD − n

Luego:

Coeficiente deltér o demayor grado

minFHG

IKJ +

Coeficiente deltér o demenor grado

minFHG

IKJ = (−2) + 7

= 5

Rpta.: C

Resolución 6

P + Q = (5x3 + 2x2 − x + 6) + (–2x2 + x + 3)

P + Q = 5x3 + 2x2 − x + 6 – 2x2 + x + 3

P + Q = 5x3 + 9 Polinomio de 2 términos

∴ El polinomio resultante tiene 2 términos

Rpta.: C

Resolución 7

A − B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8)

− (5x3 + x + 2x2 + 8)

A − B = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x − 8 − 5x3 − x − 2x2 − 8

A − B = 6x4 − 16 Polinomio de 2 términos

∴ El polinomio resultante tiene 2 términos

Rpta.: C

Resolución 8

Diferencia = (4x3 + 3x − 6) − (5x3 − 2x2 + 4x − 4)

Diferencia = 4x3 + 3x − 6 − 5x3 + 2x2 − 4x + 4

Diferencia = − x3 + 2x2 − x − 2

Sea “M” la expresión pedida:

� M + diferencia = 2x2 + x - 2

M = (2x2 + x − 2) − diferencia

M = (2x2 + x − 2) − (−x3 + 2x2 − x − 2)

M = 2x2 + x − 2 + x3 − 2x2 + x + 2

M = x3 + 2x

M = x(x2 + 2) Rpta.: B

Término demayor grado

Término demenor grado

Resolución 5

A − B = (5x4 − 3x3 + 5x + 1) − (7x4 + 2x2 − 6)

A − B = 5x4 − 3x3 + 5x + 1 − 7x4 − 2x2 + 6

A − B = −2x4 − 3x3 − 2x2 + 5x + 7

��

��

� ��

� ��

Resolución 11

R = −[−(−x)]−[+(−x)] + {−(−y+z) − [+(−z)]}

R = −[x] − [−x] + {y − z − [−z]}

R = −x + x + {y − z + z }

∴ R = y Rpta.: D

Resolución 12

Q = −[−3x + (−x − {2y−3})]

+{−(2x + y) + (−x −3)+2−(x + y)}

Q = −[−3x + (− x − 2y + 3)]

+{−2x − y − x − 3 + 2 −x − y}

Q = −[−3x − x − 2y + 3] + {−4x − 2y − 1}

Q = 3x + x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1

Q = 4x + 2y − 3 − 4x − 2y − 1

∴ Q = − 4 Rpta.. D

Luego:

El perímetro de la región coloreada es:

AD + AB + BF + FG + GE + ED =

= 16x + (BC − m) + n + m + (CD − n) =

= 16x + BC − m + n + m + CD − n =

= 16x + BC + CD

= 16x + 16x

= 32x Rpta.: B

Resolución 13 Tenemos que:

(Ax2 −xy + y2) + (2x2 + Bxy − 3y2)

− (3x2 − xy − Cy2)

= 3x2 + 2xy + y2

Ax2 −xy + y2 + 2x2 + Bxy − 3y2 − 3x2 + xy + Cy2

= 3x2 + 2xy + y2

Ax2 − x2 + Bxy − 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2

(A − 1)x2 + Bxy + (C − 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2

Luego: A − 1 = 3 → A = 4

B = 2

C − 2 → C = 3

Entonces:

A + B + C = 4 + 2 + 3 = 9 Rpta.: C

Resolución 14

Tenemos que:

[(6x2 + 11x − 35) + (3x2 − 6x)]

−(9x2 + 3x − 29) = mx + n

[6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x] − 9x2 − 3x + 29 = mx + n

9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n

2 x − 6 = m x + n

Entonces: m = 2 ∧ n = −6

Luego: m + n = 2+ (−6)

∴ m + n = − 4 Rpta.: B

Resolución 15 Sea la figura:

Vemos que:

El perímetro del cuadrado ABCD es:

4(4a) = 16x

a = x

El perímetro de la región coloreada es:

Perímetro de

región coloreada =2(a + 4a)

=2(5a) = 10acomo: a = x

∴Perímetro de

región coloreada = 10x Rpta.: C

Resolución 16

De la figura, podemos observar que:

CD = HG + GF + FN

Como: HG = GF = FN

� CD = 3HG

3x = 3HG → HG = x

FN = x

Luego: AD = BC = 4x + 3

Si: BC = BH + HC

Como: BH = HC = FE

��

��

�Perímetro delrectángulo NFED = 6x + 3

Luego: Perímetro de laregión coloreada

= (6x + 3)+(6x + 3)

Perímetro de laregión coloreada = 12x + 6

∴Perímetro de laregión coloreada = 6(2x + 1) Rpta.: D

Resolución 20 Si: A + B = C

� (ax2 + bx + c) + (6x2 − 3x + 5) = 9x2 + 2x + 7

(a + 6)x2 + (b − 3)x + (c + 5)= 9x2 + 2x + 7

Entonces: a + 6 = 9 → a = 3

b − 3 = 2 → b = 5

c + 5 = 7 → c = 2

Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2

∴ a + b + c = 10 Rpta.: C

Resolución 21 Hallamos: A + B + C

A = x3y3 − x2y2 + 3x3 + y3

B = −2x3y3 + 2x2y2 + x3 − y3 (+)

C = x3y3 − x2y2 + 4x3

∴ A + B + C = 8x3 Rpta.: D

Resolución 22

Sea la diferencia igual a “D”

� D = (4x3 − 11x + 2) − (2x3 − x − 9)

D = 4x3 − 11x + 2 − 2x3 + x + 9

D = 2x3 − 10x + 11

Sea “S” la cantidad que se debe sumar:

� D + S = 2x3 + x − 5

(2x3 − 10x + 11) + S = 2x3 + x − 5

S = 2x3 + x − 5 − (2x3 − 10x + 11)

S = 2x3 + x − 5 − 2x3 + 10x − 11

∴ S = 11x − 16 Rpta.: B

Resolución 23 Hallamos “A + B − C” :

(−4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2) + (2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2)

−(−5x2y2 − 5x2y3 − 9x3y2) =

= −4x3y2 − 7x2y3 + 2x2y2 + 2x2y3 − 5y2x3 − 6x2y2

+5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 =

� A + B − C = x2y2

Luego: A B C x y xy+ − = =2 2 Rpta.: D

UV|

W|

� BC = 2BH

4x + 3 = 2BH

BHx= +4 32

� FEx= +4 32

Perímetro de laregión coloreada = Perímetro del

rectángulo MBHG+ Perímetro delrectángulo NFED

Si: Perímetro delrectángulo MBHG =2

4 32

xx+ +F

HGIKJ

FHG

IKJ

=+ +F

HGIKJ2

2 4 3

2

x xb g

�Perímetro delrectángulo MBHG = 6x + 3

Resolución 17

(A + B)−2C = ((3x2 + 6x3 +2x − 5) +

(x2 − 4x3 + 5x − 7)) −2(x3 − x2 + 3x − 6)

(A + B)−2C= (3x2 + 6x3 +2x − 5 + x2 − 4x3 + 5x − 7)

−2x3 + 2x2 − 6x + 12

(A + B)−2C = 2x3 + 4x2 + 7x − 12 − 2x3 + 2x2

− 6x + 12

∴ (A + B)−2C = 6x2 + x Rpta.: D

Resolución 18

(2P − R)+Q = (2(x4 + 3x2 +5x)

−(2x4 + x2 + x3 − 3x + 2)) + (x3 − 13x + 2)

(2P − R)+ Q = (2x4 + 6x2 + 10x − 2x4 − x2

− x3 + 3x − 2) + x3 − 13x + 2

(2P − R)+Q = −x3 + 5x2 + 13x − 2 + x3 − 13x + 2

∴ (2P − R)+ Q = 5x2 Rpta.: C

Resolución 19

E x y x y x y x y x= − + − − + − + − − − − +5 2 2 3 1 2b g e j

E x y x y x y x y x= − − − − + − + − − + + +5 5 2 2 3 1 2b g

E x y x y y x x= − − − − + − − +5 5 2 2 2 2 2 2b g

E x y x y y x x= − − − − + − − +5 5 2 4 4 4 2

E = −5x − 5y − 2x + y − 4y + 4x + 4 + 2x

∴ E = −x − 8y + 4 Rpta.: A

��

��

Resolución 24

P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy)

+ (x2 − y2 + xy)

P + Q + R = 9 x2 + 6 y2 + 10 xy

Luego: Suma decoeficientes = 9 + 6 + 10

∴ Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B

Coeficientes

Resolución 25 Hallamos: A + B + C

A = 6x2y + 3xy2 − 12xy

B = −4x2y + 2xy2 + 16xy (+)

C = x2y − 5xy2 + 4xy

A + B + C = 3 x2y + 8 xy

Luego: Suma decoeficientes = 3 + 8

∴ Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B

Coeficientes

UV|

W|


(MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pág.(168, 169, 170, 171)

NIVEL I

Resolución 1

2(3x + 2)(2x + 3)−(3x + 4)(4x + 3)=

=2(6x2 + 4x + 9x + 6)−(12x2 + 9x + 16x + 12)

= 12x2 + 8x + 18x + 12 − 12x2 − 9x − 16x − 12

= 26x − 25x

= x Rpta.: D

Resolución 2

A =(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)

A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1)− x)

Aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2

Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2

A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12)− x2

A = (x4 + 2x2 + 1) − x2

∴ A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C

Resolución 3 Sea:

B = x2 − (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2

Aplicamos:

(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + a·b

(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2

Obteniendo:

B = x2− ((3x)2 + (1 + 2)3x + 1·2)

+2 ((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)

B = x2 − (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1)

B = x2 − 9x2 − 9x − 2 + 8x2 + 8x + 2

∴ B = −x Rpta.: B

Resolución 4 Sea:

M = (x + y + xy)(x − y)−x2y + y2(x + 1)

M = ((x + y)+ xy)(x−y)−x2y + xy2 + y2

M = (x + y)(x − y)+ xy(x − y)−x2y + xy2 + y2

Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2

Obteniendo:

M = x2 − y2 + x2y − xy2 − x2y + xy2 + y2

∴ M = x2 Rpta.: C

Resolución 5 * Hallamos “A” :

A = (2x − 1)(3x + 2)

A = (2x)(3x) + (2x)(2) + (−1)(3x) + (−1)(2)

A = 6x2 + x − 2

* Hallamos “B” :

B = (4x + 3)(x − 2)

B = (4x)(x) + (4x)(−2) + (3)(x) + (3)(−2)

B = 4x2 − 5x − 6

Luego:

(A + B)· A = ((6x2 + x − 2)+(4x2 − 5x − 6))(6x2 + x − 2)

(A + B)·A = (10x2 − 4x − 8)(6x2 + x − 2)

(A + B)·A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(−2)

+(–4x)(6x2) + (−4x)(x) + (−4x)(−2)

+(−8)(6x2) + (−8)(x) + (−8)(−2)

(A + B)·A = 60x4 + 10x3 − 20x2 − 24x3

−4x2 + 8x − 48x2 − 8x + 16

∴ (A + B)·A = 60x4 − 14x3 − 72x2 + 16 Rpta.: C

��

��

9x2 + 5x − 35 − 9x2 − 3x + 29 = mx + n

2x + (−6) = mx + n

Comparando términos, tenemos que:

• 2x = mx → m = 2

• n = −6

Luego: m + n = 2 + (−6)

∴ m + n =−4 Rpta.: B

Resolución 7

N = (5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2)

N = 5x3·(x + 2) + 4x2·(x + 2) + 3x·(x + 2)

N = (5x3)(x) + (5x3)(2) + (4x2)(x) + (4x2)(2)+ (3x)(x) + (3x)(2)

N = 5x4 + 10x3 + 4x3 + 8x2 + 3x2 + 6x

N = 5 x4 + 14 x3 + 11 x2 + 6 x

Suma de coeficientes = 5 + 14 + 11 + 6

∴ Suma de coeficientes = 36 Rpta.: C

Coeficientes

Menor coeficiente

Mayor coeficiente

Resolución 6 * Hallamos: “P” :

P = ( x + 6)(2x − 3)

P = (x)(2x) + (x)(−3) + (6)(2x) + (6)(−3)

P = 2x2 + 9x − 18

* Hallamos “Q” :

Q = (3x − 1)(x + 4)

Q = (3x)(x) + (3x)(4) + (−1)(x) + (−1)(4)

Q = 3x2 + 11x − 4

* Hallamos “R” :

R = (x − 2)(x + 8)

R = x2 + (−2 + 8)x + (−2)(8)

R = x2 + 6x − 16

Luego:

P + (Q − R) = (2x2 + 9x − 18) + ((3x2 + 11x − 4)

− (x2 + 6x − 16))

P + (Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + (3x2 + 11x − 4− x2 − 6x + 16)

P +(Q − R) = 2x2 + 9x − 18 + 2x2 + 5x + 12

∴ P+(Q − R) = 4x2 + 14x − 6

Rpta.: B

Resolución 8 Sea:

P = (6x4 − 3x3 + 2x2 + 5x)(x2 + 3x − 1)

P = (6x4)(x2) + (6x4)(3x) + (6x4)(−1)

+(−3x3)(x2) + (−3x3)(3x)+(−3x3)(−1)

+(2x2)(x2) + (2x2)(3x) + (2x2)(−1) + (5x)(x2)

+ (5x)(3x) + (5x)(−1)

P = 6x6 + 18x5 − 6x4 − 3x5 − 9x4 + 3x3 + 2x4 + 6x3 − 2x2 +5x3 + 15x2 − 5x

P = 6x6 + 15x5 − 13x4 + 14x3 + 13x2 − 5x

P = 6x6 + 15 x5 + (−13) x4 + 14x3 + 13x2 − 5x

Resolución 9 Del enunciado:

((2x + 7)(3x − 5)+ 3x(x − 2)) − (9x2 + 3x − 29) = mx + n

((2x)(3x) + (2x)(−5) + (7)(3x) + (7)(−5) + 3x2 − 6x)

− 9x2 − 3x + 29 = mx + n

(6x2 + 11x − 35 + 3x2 − 6x)−9x2 − 3x + 29

= mx + n

Luego:

MayorcoeficienteFH

IK − Menor

coeficienteFH

IK = 15 − (−13)

= 15 + 13 = 28

Rpta.: D

Resolución 10

Del enunciado, tenemos que:

[(3x + 2)(x − 4) − (2x − 4)(x + 6)]+(8x2 + 25x − 16)

= ax2 +bx

[(3x2 − 12x + 2x − 8) − (2x2 + 12x − 4x − 24)]

+(8x2 + 25x − 16) = ax2 + bx

[(3x2 − 10x − 8) − (2x2 + 8x − 24)] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 +bx

[3x2 − 10x − 8 − 2x2 − 8x + 24] + 8x2 + 25x − 16

=ax2 + bx

[x2 − 18x + 16] + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx

x2 − 18x + 16 + 8x2 + 25x − 16 = ax2 + bx

9x2 + 7x = ax2 + bx

Por comparación de términos, tenemos que:

• 9x2 = ax2 → a = 9

• 7x = bx → b = 7

Luego: a + b = 9 + 7

∴ a + b = 16 Rpta.: C

Resolución 11 Sabemos que:

Área del cuadrado = (Lado)2

Área del rectángulo = (Lado mayor) × (Lado menor)

De la figura:

• Área del cuadrado = (3x + 2)2

Área del cuadrado = ((3x)2 + 2(3x)(2)+ (2)2)

��

��

• Área del rectángulo = (3x + 6)(3x − 2)

Área del rectángulo = ((3x)2 + (6 − 2)(3x) + (6)(−2))

Área del rectángulo = 9x2 + 12x − 12

Luego:

ÁreadelcuadradoFHG

IKJ − Áreadel

rectánguloFHG

IKJ = (9x2 + 12x + 4)

−(9x2 + 12x − 12)

= 9x2 + 12x + 4

−9x2 − 12x + 12

= 16 Rpta.: E


Área del rectángulo =LadomayorFH

IK ×

LadomenorFH

IK

Áreadel triángulorectángulo =

cateto catetob g b g×

2

De las figuras, tenemos que:

• Áreadelrectángulo (x + 2)(8x + 10)

Áreadelrectángulo= 8x2 + 10x + 16x + 20

Áreadelrectángulo = 8x2 + 26x + 20

• Áreadel triángulorectángulo =

+ +4 3 2 5

2

x xb gb g

Áreadel triángulorectángulo

28x 20x 6x 152

+ + +=

Áreadel triángulorectángulo = + +8 26 15

2

2x x

Luego:

ÁreadelrectánguloFHG

IKJ −

F

HGG

I

KJJ2

Áreadeltriángulorectángulo

=(8x2 + 26x + 20)

Área del cuadrado = 9x2 + 12x + 4

−+ +F

HGIKJ

28 26 15

2

2x x

= 8x2 + 26x + 20

−8x2 − 26x − 15

= 5 Rpta.: C

Resolución 13

P = (x + 1)2 − (x + 2)2 − (x + 3)2 + (x + 4)2

P = (x2 + 2x + 1) − (x2 + 4x + 4) − (x2 + 6x + 9)

+ (x2 + 8x + 16)

P = x2 + 2x + 1 − x2 − 4x − 4 − x2 − 6x − 9

+ x2 + 8x + 16

P = 10x − 10x + 4

∴ P = 4 Rpta.: B

Resolución 14 Sea:

Q b ab a b ab= + + + −2 2 22 2 2 2 2e j b g

Aplicamos: m2 – n2 = (m + n)(m − n)

(m + n)2 = m2 + n2 + 2mn

(m − n)2 = m2 + n2 − 2mn

Obteniendo:

Q b ab a b ab a b ab= + + + + + −2 2 2 22 2 2 2 2e je j

Q b ab a b a b= + + + −2 22 2 2b g b g

Q = 2b2 + + + −22

ab a b a bb gb g

Q b ab a b= + + −2 22 2 2 2

Q = 2b2 + 2ab + (a2 − b2)

Q = 2b2 + 2ab + a2 − b2

Q = a2 + 2ab + b2

∴ Q = (a + b)2 Rpta.: B

Resolución 15

E = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1) + 1


Obteniendo:

E = (x2 − 12)(x2 + 1) + 1

E = (x2 − 1)(x2 + 1) + 1

E = ((x2)2 − (1)2) + 1

E = (x4 − 1) + 1= x4 − 1 + 1

∴ E = x4 Rpta.: D

Resolución 16 Aplicamos:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3

� A = (z + 1)3

A = z3 + 3·z2·(1) + 3·z·(1)2 + (1)3

A = z3 + 3z2 + 3z + 1

Aplicamos: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

�� B = (z − 1)3

��

��

Resolución 19 Sea:

A x x= − + −3 3 33 3e je j

A x x= − − +3 3 33 3e je j

A x x= − − − +3 3 33 3e j e j

A x x= + − +3 3 33 3e je jAplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2

� A x= + −FHG

IKJ3 33 2 2

e j e j

A = 3 + (x6 − 3)

∴ A = x6 Rpta.: E

�

1 1 12

1 1 12 2 2

x y x x y y+

FHG

IKJ = F

HGIKJ + F

HGIKJFHG

IKJ +

FHG

IKJ

1 1 1 2 12

2 2x y x xy y+

FHG

IKJ = + + ......... (I)

Pero: x−1 + y−1 = a

�

1 1x y

a+ =

También: x·y = b

Reemplazando estos valores en (I), tenemos:

ax b y

22 21 2 1e j = + +

ab x y

22 2

2 1 1− = +

a bb

y x

x y

2 2 2

2 22− = +

·

a bb

y x

x y

2 2 2

22− = +

·b ga b

by x

b

2 2 2

22− = +

b g

a bx y

b2

2 22− = +

x2 + y2 = b(a2b − 2)

∴ x2 + y2 = a2b2 − 2b Rpta.: B


(a − b)3 = a3 − b3 − 3a·b(a − b)Obteniendo:

(x − 1)3 − x3 + 1 =(x3 − 13 − 3(x)(1)(x − 1) − x3 + 1)

=x3 − 1 − 3x(x − 1) − x3 + 1

= −3x(x − 1)

=−3x[−(1−x)]

= 3x(1 − x) Rpta.: D


a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Simplificando, obtenemos:

Ea a b a b

a b a b=

+ −+ −

b g b gb gb g

2 · � E = a(a + b)

∴ E = a2 + ab Rpta.: E

B = z3 − 3(z)2·(1) + 3(z)·(1)2 − (1)3

B = z3 − 3z2 + 3z − 1

Luego:

B − A =(z3 − 3z2 + 3z − 1)− (z3 + 3z2 + 3z + 1)

B − A = z3 − 3z2 + 3z − 1− z3 − 3z2 − 3z − 1

∴ B − A = −6z2 − 2 Rpta.: D


a2 − b2 = (a + b)(a − b)

� E = + − −3 2 3 22 2

e j e j

E = + + − + − −3 2 3 2 3 2 3 2e j e j e j e j

E = + + − + − +3 2 3 2 3 2 3 2

E = 2 3 2 2


(a + b)2 = a2 + 2a·b + b2

Si a·b = 4 ∧ a + b = 3

� (3)2 = a2 + 2(4) + b2

9 = a2 + 8 + b2

∴ a2 + b2 = 1 Rpta.: B


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

E = 4 6 → E2 24 6= e j

∴ E2 = 96 Rpta.: E

Resolución 23 Sea:

M = −FHG

IKJ

− −LNMM

OQPP

−3 132

33 13

21

2

��

��

( ) ( )23 13 3 3 13

M 14 2

− −= − −

M =− − − −3 13 6 3 13 4

4

2e j e j

M =− − + −3 13 18 6 13 4

4

2e j

M =− + −3 13 6 13 22

4

2e j

Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2a·b + b2

��M =− +F

HGIKJ + −3 2 3 13 13 6 13 22

4

2 2b ge j e j

M =− + + −9 6 13 13 6 13 22

4

e j

M = − + −22 6 13 6 13 224

∴ M = 0 Rpta.: A

� ��


(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

� P = (m − 3n)2 − 4n(2n − m) + 8

P = (m2 − 2(m)(3n)+(3n)2)−8n2 +4mn + 8

P = m2 − 6mn + 9n2 − 8n2 + 4mn + 8

P = m2 + n2 − 2mn + 8

P = (m − n)2 + 8

Pero: m − n = 8

� P = (8)2 + 8 = 64 + 8

∴ P = 72 Rpta.. C

Resolución 25

A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero)

B) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)

C) a2 + b2 = (a + b)(a + b)

= (a + b)2 ................. (Falso)

D) a2 − b2 = (a + b)(a − b) ......... (Verdadero)

E) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) ...(Verdadero)

Rpta.: C


A B A B· ·=

Luego, aplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2

Sea:

Q a b a b a b b= + −FH

IK −FH

IK +· 2

Q a b a b a b b= + −FHG

IKJ −FH

IK +e je j 2

Q a b a b b= −FHG

IKJ

−FH

IK +2 2 2e j

Q a b a b b= −FH

IK −FH

IK +2 2

Q a b b= −FH

IK +2

2

Q = a2 − b + b

∴ Q = a2 Rpta.: B


a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Si a + b = 3 ∧ ab = 3

� a3 + b3 = (3)(a2 − 3 + b2)

a3 + b3 = 3(a2 + b2 − 3) ..... (I)

Hallamos: a2 + b2

Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Si a + b= 3 ∧ a·b = 3

� (3)2 = a2 + 2(3) + b2

9 = a2 + b2 + 6

a2 + b2 = 3 ..... (II)

Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:

a3 + b3 = 3(3 − 3) = 3(0)

∴ a3 + b3 = 0 Rpta.: A


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

� nn

+FHG

IKJ =1

32

n nn n

22

21 1

3+ FHG

IKJ + FHG

IKJ =b g

nn

2221

3+ + =

nn

221

1+ = ..... (I)

��

��

Aplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2

� Ex

=−2

12 2 ; pero: x = 5

� E =−

=−

=2

5 1

25 1

242

e j

∴ E = 12

Rpta.: D


(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab Identidad de Legendre

Rn n

n=

+ − −3 3

6

2 2b g b g

Rn

nnn

= =4 3

6126

b gb g

∴ R = 2 Rpta.: B

� ��


(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

� P = (x + 1)(x2 − x + 1)−(x − 1)(x2 + x + 1)

P = (x + 1)(x2 − x·1 + 12) − (x − 1)(x2 + x·1 + 12)

P = (x3 + 13 ) − (x3 − 13)

P = x3 + 1 − x3 + 1

∴ P = 2 Rpta.: B

Además: nn

+FHG

IKJ =1

32

� nn

+ =13 ...... (II)

Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

� nn

nn

n nn n

33

221 1 1 1+ FHG

IKJ = +F

HGIKJ − + FHG

IKJ

FHG

IKJ

·

nn

nn

nn

33

22

1 1 11+ = +F

HGIKJ + −FHG

IKJ

Reemplazamos (I) y (II):

nn

331

3 1 1 3 0+ = − =e jb g b g

∴ nn

331

0+ = Rpta.: B


(a + b)(a − b) = a2 − b2

� Px X

X=

+ − ++

2 2 9

52b gb g

Px

x=

− +

+

2 2

2

2 9

5

e j

Px

x

x

x= − +

+= +

+

2

2

2

24 9

5

5

5

∴ P = 1 Rpta.: C


(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)Identidad de Legendre

� Mx x

x=

+ + − −1 1 22 2

2b g b g

Mx

x=

+ −2 1 22 2

2

e j

Mx

x

x

x= + − =2 2 2 22

2

2

2

∴ M = 2 Rpta.: E

Resolución 33

Ex x

x xx xx x

=+ − −− +

= + − +− +

1 1

1 11 11 1

b g b gb gb g b gb g

Ex x

=− +

21 1b gb g


(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·b

� A = ((x + y)+1)2 − ((x + y)− 1)2

A = 4(x + y)(1)

∴ A = 4(x + y) Rpta.: A

Resolución 35

R = (x2 − 7x + 11)2 − (x − 2)(x − 5)(x − 3)(x − 4)

R = (x2 − 7x + 11)2 − (x2 − 7x + 10)(x2 − 7x + 12)

Hacemos: a = x2 − 7x + 11

� a − 1 = x2 − 7x + 10

� a + 1= x2 − 7x + 12

Reemplazamos estos valores en “R”

R a a a

Diferencia decuadrados

= − − +b g b gb g2 1 1� ��

R = a2 − (a2 − 12)

R = a2 − a2 + 1

∴ R = 1 Rpta.: C

��

��

S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(−4)+(−x)(5x2)

+(−x)(x) + (−x)(−4) + (2)(5x2) + (2)(x)

+(2)(−4)

S = 5x4 + x3 − 4x2 − 5x3 − x2 + 4x

+ 10x2 + 2x − 8

∴ S = 5x4 − 4x3 + 5x2 + 6x − 8

Rpta.: B

Resolución 2

A = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1)

A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)−x)


� A = (x2 + 1)2 − x2

Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

� A = ((x2)2 + 2(x2)(1) + 12) −x2

A = x4 + 2x2 + 1 − x2

∴ A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C

NIVEL II

Resolución 1

Reemplazando los valores en:

S = P(Q + R)

S = (x2 − x + 2)((3x2 − x − 1)+(2x2 + 2x − 3))

S = (x2 − x + 2)(5x2 + x − 4)

Resolución 3 Reemplazando los valores en:

[2A − 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3)

−3(4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3)]

[2A − 3B]2 = [16x3y2 + 12x2y2 + 6x2y3

−12x2y2 − 15x3y2 − 6x2y3]

[2A − 3B]2 = 16x3y2 − 15x3y2

∴ [2A − 3B]2 = x3y2 Rpta.: A

Resolución 4

Sea “M” la expresión a agregar. Luego, según el enuncia-do:

(3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7)


(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + a·b

((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2) + M

= (3x)2 + (5 +7)(3x) + 5·7

(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35

M = 9x2 + 36x + 35 − (9x2 + 12x + 4)

M = 9x2 + 36x + 35 − 9x2 − 12x − 4

∴ M = 24x + 31 Rpta.: A

Resolucíon 5 Sea “N” la expresión que se debe restar, se-gún el enunciado tenemos que:

(6x + 5)2 − N = (9x + 5)(4x − 3)


((6x)2 + 2(6x)(5) + (5)2)− N = 36x2 − 7x − 15

(36x2 + 60x + 25) − N = 36x2 − 7x − 15

(36x2 + 60x + 25) − (36x2 − 7x − 15) = N

36x2 + 60x + 25 − 36x2 + 7x + 15 = N

∴ N = 67x + 40 Rpta.: B

Resolución 6

* (x + 2)(3x − 3) = (x + 2)[3(x − 1)]

= 3(x + 2)(x − 1)

* (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)(3x − 3)

* (x + 2)(3x − 3) = (2 + x)[−(3 − 3x)]

= −(2 + x)(3 − 3x)

* (x + 2)(3x − 3) ≠ (2 + x)(3 − 3x)

* (x + 2)(3x − 3) = 3x2 + 3x − 6

Rpta.: D

Resolución 7 Efectuando:

(a + b)x + (b + c)y−[(a − b)x-(b − c)y]−2b(x + y)

=(a + b)x + (b + c)y −(a − b)x+(b − c)y −2b(x + y)

=x((a + b)−(a − b)) +y ((b + c) + (b − c))−2b(x + y)

=x(a + b − a + b) + y(b + c + b − c)−2b(x + y)

=2bx + 2by − 2bx − 2by = 0 Rpta.: C

Resolución 8

De la figura, podemos ver que:

Sabemos que:

* Área delcuadrado

=(Lado)2

* Áreadelrectángulo =(Lado mayor)×(Lado menor)

Luego:

Áreacoloreada =

ÁreadelrectánguloABCD

F

HGG

I

KJJ −

Área del

cuadrado

QRCP

��

��

�Áreadelrectángulo =6x2 + 22x + 20

Luego:

Áreacoloreada

= Área delrectánguloFHG

IKJ − Área del

triánguloFHG

IKJ

= 6x2 + 22x + 20−(2(x2 + 4x + 4))

=6x2 + 22x + 20 − (2x2 + 8x + 8)

=6x2 + 22x + 20 − 2x2 − 8x − 8

∴ Áreacoloreada

= 4x2 + 14x + 12 Rpta.: C

B = 6x4 + 9x3 − 15x2 − 4x2 − 6x + 10

� B = 6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x + 10

C = 13x3 − 20x2 − 11x + 25

Luego: S = A − B + C

� S = (6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15)

− (6x4 + 9x3 − 19x2 − 6x +10)

+(13x3 – 20x2 – 11x + 25)

S = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15 − 6x4 − 9x3 +

19x2 + 6x − 10 + 13x3 − 20x2 − 11x + 25

S = −13x3 + 20x2 + 12x − 25 + 13x3 − 20x2

− 11x + 25

∴ S = x Rpta.: A

Resolución 9

De la figura podemos ver que:

El triángulo BAM es rectángulo e isósceles, es decir: AB =AM = 2x + 4

• Áreadeltriángulo

=AB AMb g b g·

2

=+ +2 4 2 4

2

x xb gb g =

+2 4

2

2xb g

= + +4 16 162

2x x =

+ +4 4 4

2

2x xe j

�Áreadeltriángulo = 2(x2 + 4x + 4)

• Áreadelrectángulo =(AD)(CD)

=(3x + 5)(2x + 4)

• Áreadel cuadradoQRCP = ((4x + 3) − (3x + 1))2

=(x + 2)2

=x2 + 4x + 4

• Áreadel rectánguloABCD = (7x + 2)(4x + 3)

= 28x2 + 29x + 6

Áreacoloreada

=(28x2+29x+6)−(x2+4x+4)

= 28x2 + 29x + 6 − x2 − 4x − 4

∴ Áreacoloreada

= 27x2 + 25x + 2

Rpta.: A

Resolución 10

Sea “M” la expresión que hay que sumar, según el enun-ciado tenemos que:

{x(x + y) − x(x − y)}·[2(x2 + y2)−3(x2 − y2)]+M

= 2x3y + 3xy3

{x((x + y)−(x − y))}·[2x2 + 2y2 − 3x2 +3y2]+M

=2x3y+ 3xy3

Resolución 11

A = (2x2 − 3)(3x2 − 2x + 5)

A = (2x2)(3x2) + (2x2)(−2x)+ (2x2)(5)

+ (−3)(3x2) + (−3)(−2x) + (−3)(5)

A = 6x4 − 4x3 + 10x2 − 9x2 + 6x − 15

� A = 6x4 − 4x3 + x2 + 6x − 15

B = (3x2 − 2)(2x2 + 3x − 5)

B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(−5)

+ (−2)(2x2) + (−2)(3x) + (−2)(−5)

{x(x + y − x − y)}·[5y2 − x2]+M = 2x3y + 3xy3

{2xy}[5y2 − x2]+M = 2x3y +3xy3

(10xy3 − 2x3y)+M = 2x3y + 3xy3

M = (2x3y + 3xy3) − (10xy3 − 2x3y)

M = 2x3y + 3xy3 − 10xy3 + 2x3y

∴ M = 4x3y − 7xy3 Rpta.: A

Resolución 12

E = A(B + 1)+B(1 − A) −C

E = AB + A + B − BA − C

� E = A + B − C

Reemplazando los valores dados:

E = (3x2 + 5xy − 2y2) + (3y2 − 4xy + 5x2)

− (xy + 5y2 + 8x2)

E =3x2 + 5xy − 2y2 + 3y2 − 4xy + 5x2 − xy

− 5y2 − 8x2

E = 8x2 + xy + y2 − xy − 5y2 − 8x2

∴ E = −4y2 Rpta.: D

��

��

Resolución 13

E = (mx + n)(x2 + x + 1)

E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) + (n)(x2)

+ (n)(x) + (n)(1)

E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + n

E = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n

Según el enunciado:

mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n = 4x3 + Ax2 + Bx + 5


m = 4 ; n = 5

m + n = A ; m + n = B

� A = 4 + 5 ; �� B = 4 + 5

A = 9 ; B = 9

Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5

∴ A + B + m + n = 27 Rpta.: B

Resolución 14

R = (ax + b)(x2 − x + 1)

R = (ax)(x2) + (ax)(−x) + (ax)(1) + (b)(x2)

+ (b)(−x) + (b)(1)

R = ax3 − ax2 + ax + bx2 − bx + b

R = ax3 − (a − b)x2 + (a − b)x + b


ax3 −(a − b)x2+ (a − b)x + b =7x3 − mx2 + nx + 4


a = 7 ∧ b = 4

También: m = a − b → m = 7 − 4 n = a − b → n = 7 − 4

� m = 3 ∧ n = 3

Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3

∴ a + b + m + n = 17 Rpta.. C

Resolución 15

T = + + −3 1 3 1 3 14 4e je je jAplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2

� T= + −FHG

IKJ3 1 3 14 2 2e j e j

T = + −3 1 3 1e je j

T = −3 12 2e j = 3 − 1

∴ T = 2 Rpta.: C


(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

� (x − y)2 = x2 − 2xy + y2

(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)

Pero: x2 + y2 = 26 ; x·y = 5

� (x − y)2 = (26) − 2(5)

(x − y)2 = 26 − 10 = 16

x − y = 4

Luego: x y− = =

242

2 Rpta.: E


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

� (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)2 = (x2 + y2)+ 2xy

Si: x + y = 5 ∧ x2 + y2 = 11

� (5)2 = (11) + 2xy

25 − 11 = 2xy

14 = 2xy

xy = 7

Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 − ab + b2)

� x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)

x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) − xy)

Si: x + y = 5

x2 + y2 =11

x·y = 7

� x3 + y3 = (5)((11) − 7)

∴ x3 + y3 = 20 Rpta.: D


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

� (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)

Pero: x + y = 2 ∧ x·y = 3

� (2)2 = x2 + y2 + 2(3)

4 = x2 + y2 + 6

x2 + y2 = −2

Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

� x3 + y3 = (x + y)(x2 − x·y + y2)

x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2)− xy)

Si: x + y = 2

x·y = 3

x2 + y2 = −2

��

��

Aplicamos: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

� xx

x xx x

−FHG

IKJ = − F

HGIKJ + FHG

IKJ

12

1 122

2

b g

xx

xx

−FHG

IKJ = + −1 1

22

22

Pero: xx

221

7+ =

� xx

−FHG

IKJ = − =1

7 2 52

xx

− =15

Luego: xx

xx

22

221 1− = − FHGIKJ

Aplicamos: a2 − b2 =(a + b)(a − b)

� xx

xx

xx

221 1 1− F

HGIKJ = +F

HGIKJ −FHG

IKJ

Pero: xx

+ =13 ∧ x

x− =1

5

� xx

221

3 5− FHG

IKJ = b g e j·

∴ 221

x 3 5x

− = Rpta.: A

Aplicamos: (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2) Identidad de Legendre

�Suma deáreas = 2(x2 + y2) Rpta.: E

�

Resolución 19

(x + a)(x − 2) = x2 + bx + 6

x2 + (a + (−2))x + (a)(−2) = x2 + bx + 6

x2 + (a − 2)x + (−2a) = x2 + bx + 6

(a − 2)x + (−2a) = b x + 6


−2a = 5 → a = −3

a − 2 = b

(−3) − 2 = b → b = −5

Luego: a − b =(−3)−(−5)

∴ a − b = 2 Rpta.: C

Resolución 20

Sabemos que:

Área del cuadrado = (Lado)2

• Lado del cuadrado 1: x + y

� Área del cuadrado 1 = (x + y)2

• Lado de cuadrado 2: x − y

� Área del cuadrado 2 = (x − y)2

Suma deáreas = Áreadel

cuadrado 1FHG

IKJ + Áreadel

cuadrado 2FHG

IKJ

Suma de áreas = (x + y)2 + (x − y)2

� x3 + y3 = (2)((−2)−3)

x3 + y3 = −10

Luego: Rx y

x y= +

+= −

−

3 3

2 2102

∴ R = 5 Rpta.: D


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

� (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)2 = x2 + y2 + 2(x·y)

Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:

2 6 2 42 2 2e j b g= + +x y

24 = x2 + y2 + 8

x2 + y2 = 16 ........ (3)


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

� xx

x xx x

+FHG

IKJ = + F

HGIKJ + F

HGIKJ

12

1 122

2

b g

xx

xx

+FHG

IKJ = + +1 1

22

22

Si: xx

+ =13 �� 3

122 2

2b g = + +xx

9 2122− = +x

x

xx

221

7+ =


(x − y)2 = x2 − 2xy + y2

(x − y)2 = (x2 + y2) − 2(xy)

Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que:

(x − y)2 = 16 − 2(4)

(x − y)2 = 8

∴ x y− = 8 Rpta.: E

��

��


(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 − (a − b)2 = 4abIdentidades de Legendre

Tx y x y

x x x x

x y

x x=

− + +

+ − −=

+FHG

IKJ

− − −

2 3 2 2 3 2

2 2 2 2 2

2 2 3 2

2 2

2

4

e j e je j e j

e j e j·

Tx y

xx

x y=+

= +2

1 2

14 6

2

22

4 6

4

e j· ·

Pero: x4 + y6 = 4

� Tx y= + = =

4 6

242

2 Rpta.: B


(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 − (a − b)2 = 4a·bIdentidades de Legendre

� Rx y x y

x y x y

x y

x y=

+ − −

+ + −=

+b g b gb g b g e j

2 2

2 2 2 2

4

2

·

Si x2 + y2 = 3xy

�R

xyxy

xyxy

= =42 3

42

36b g

∴ R = 2/3 Rpta.: D

Resolución 25

R = (x − 3)(x + 2)(x − 4)(x + 3)

R = (x2 +(−3 + 2)x + (−3)(2))(x2 + (−4 + 3)x +(−4)(3))

R = (x2 − x − 6)(x2 − x − 12)

R = ((x2 − x)-6)((x2 − x)− 12)

De la condición: xx

+ =21

x

x

2 21

+ =

x2 + 2 = x → x2 − x = −2

Reemplazamos el valor hallado en “R”, obteniendo:

R = ((−2)−6)((−2)−12)

R = (−8)(−14)

∴ R = 112 Rpta.: C

Resolución 26

La expresión se puede escribir de la manera siguiente:

P = − − +LNM

OQP2 2 1 2 1 41

4e j e j·

P = −FHG

IKJ − +

LNMM

OQPP

2 2 1 2 1 412 2

· ·e j e j

P = − +FH

IK − +

LNMM

OQPP

2 2 2 2 1 1 2 1 412 2

2· · · · e j

( ) ( )2P 2· 3 2 2 · 2 1 41 = − − +

( )( ) ( ) ( )22P 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 41 = − + − +

P = − − +2 17 12 2 2 1 41· e je j

P = − − + +LNM

OQP2 17 2 17 12 2 12 2 41

2·

P = − − +2 29 2 17 24 41·

P = 2 29 2·

P = = =29 2 29 2 582

· Rpta.: C


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

� x x+ = +FH

IK

−1 2 2

2 2 2e j

x2 + 2x ·x−1 + (x−1)2 = 2 2 2+

x2 + 2 + x−2 = 2 2 2+

� x2 + x−2 = 2 2

x x2 2 2 22 2+ =−e j e j

(x2)2 + 2(x2)(x−2) + (x−2)2 = 8

x4 + 2 + x−4 = 8

∴ x4 + x−4 = 6 Rpta.: C


a2 − b2 = (a + b)(a − b)

M = (x + 5)(x + 4)(x2 − 32)(x − 2)(x − 1)

M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x − 3)(x − 2)(x − 1)

M = (x + 5)(x − 3)(x + 4)(x − 2)(x + 3)(x − 1)

M = (x2 + 2x − 15)(x2 + 2x − 8)(x2 + 2x − 3)

Pero: x2 + 2x = 9

M = (9 − 15)(9 − 8)(9 − 3)

M = (−6)(1)(6)

∴ M = −36 Rpta.: C

� ��

��

��

Luego:

Qx y x y

x y x y=

+ − −

+ − −

b g b ge j e j

4 4

2 2 2 2 2 22 2

Qx y x y

x y x y=

+ − −

+ − −

b g b g

e j e j

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

Aplicamos: a2 − b2 = (a + b)(a − b)

(a + b)2 −(a − b)2 = 4ab

2 2 2 2

� Qx y x y x y x y

x y=

+ + − + − −b g b g b g b ge je j

2 2 2 2

2 24 2

Qx y xy

x y=

+2 4

8

2 2

2 2

e j

M a a= − + +6 64 1 1 1e je j

M a= −FHG

IKJ +6 2 24 1 1e j b g

M a a= − + =124 1241 1

∴ M = a3 Rpta.: B

� ��

� ��

Resolución 29

La expresión dada se puede escribir de la siguiente mane-ra:

E = + + + − −2 3 5 2 3 5 2 6e je j e je jAplicamos: (a + b)(a − b)= a2 − b2

� E = + −FHG

IKJ −2 3 5 2 6

2 2e j e j

E = + + −FH

IK −2 2 2 3 3 5 2 6

2 2e je j

E = + − −5 2 6 5 2 6

E = 0 Rpta.: B

Resolución 30

* Área del cuadrado = (Lado)2

� Área del cuadrado = (x + y)2

*Áreadeltriángulo =

base alturab g b g·

2

� Áreadeltriángulo=

x y·2

Según el enunciado, tenemos que:

x yx y+ = F

HGIKJb g2 8

2·

(x + y)2 = 4xy

x2 + 2xy + y2 = 4xy

x2 + 2xy + y2 − 4xy = 0

x2 − 2xy + y2 = 0

(x - y)2 = 0

� x − y = 0 → x = y


(a − b)(a2 + ab + b2) = a3 − b3

M a a a a a= − + + + + +1 1 1 1 12 3 64 b ge je je j

M a a a= − + + +3 3 3 64 1 1 1 1e je je j

M a a a= − + + +3 3 64 1 1 1 1e je je j


M a a= −FHG

IKJ + +3 2 2 64 1 1 1e j b g e j

Qxy x y

xy=

+8

8

2 2

2

e jb g

Qx y

xy= +2 2

; pero: x = y

� Qx x

x xx

x= + =

2 2 2

22

·

∴ Q = 2 Rpta.: B

Resolución 32

La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera:

E = + − −FH

IK

FHG

IKJ

2 3 2 32 3


E = +FH

IK − +F

HIK −FH

IK + −F

HIK

FHG

IKJ

2 3 2 2 3 2 3 2 32 2 3

E = + − + − + −FHG

IKJ2 3 2 2 3 2 3 2 3

3

e je j

E = − + −FHG

IKJ4 2 2 3 2 3

3

e je j


E = − −FHG

IKJ

4 2 2 32 23

b g e j

E = − −4 2 4 33

e j

E = (4 − 2)3

∴ E = 8 Rpta.: C

(a + b) + (a − b) = 2(a + b )

��

��


Perímetro del cuadrado = 4×(Lado)

Perímetrodelcuadrado ABCD = 8(2x +1) = 4(Lado)

8 2 1

4

xLado

+=b g b g

�Lado delcuadrado ABCD = 2(2x + 1)

De la figura, podemos ver que:

Lado delcuadrado ABCD = 2

Lado delcuadrado EFGDFH

IK

2(2x +1) = 2 Lado delcuadrado EFGDFH

IK

2 2 1

2

x +b g =

Lado delcuadrado EFGD

�Lado delcuadrado EFGD = 2x + 1

Luego:

Áreacoloreada

=ÁreadelcuadradoABCD

F

HGG

I

KJJ +

ÁreadelcuadradoEFGD

F

HGG

I

KJJ

Áreacoloreada

=Lado delcuadrado

ABCD

FHG

IKJ

2

+ Lado delcuadrado

EFDG

FHG

IKJ

2

Áreacoloreada

= 2 2 1 2 12 2x x+ + +b gc h b g

Áreacoloreada

= 4(2x + 1)2 +(2x +1)2

Áreacoloreada

= 5(2x + 1)2

Áreacoloreada

= 5((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)

∴ Áreacoloreada

= 5(4x2 + 4x + 1) Rpta.: C

� ��

Resolución 34 Sea:

M = (x + y + z)3 − (x + y)3 − 3(x + y + z)(x + y)z

Hacemos: a = x + y

� M = (a + z)3 − a3 − 3(a + z)(a)z

M = (a + z)3 − a3 − 3az(a + z)

Aplicamos:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

M = (a3 + 3a2z + 3az2 + z3) − a3 − 3az(a + z)

M = a3 + 3a2z + 3az2 + z3 − a3 − 3a2z − 3az2

∴ M = z3 Rpta.: C

Resolución 35

Sabemos que: 2 = 5 − 3

Luego:

La expresión dada se puede escribir de lasiguiente manera:

M = − + + + +5 3 5 3 5 3 5 3 32 2 4 4 84 b gb ge je jAplicamos: (a + b)(a − b) = a2 − b2

M = − + + +5 3 5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84 e je je j

M = −FHG

IKJ + +5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84 e j e j e j

M = − + +5 3 5 3 34 4 4 4 84 e je j

M = −FHG

IKJ +5 3 34 2 4 2 84 e j e j

M = − +5 3 38 8 84

M = =5 584 2

∴ M = 25 Rpta.: E


(DIVISIÓN DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES) Pág.(193, 194, 195, 196)

NIVEL I

Resolución 1

Sabemos que: D = d × q + R .... (I)

Según los datos :

d = (x2 + 1)

q = (x + 2)

R = (x − 3)

��

��


a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Mx x x

x x=

+ + −

+ +

4 6 1

4 7 1

2 2 2

2

e j

Mx x x x x x

x x=

+ + + + + −

+ +

4 6 1 4 6 1

4 7 1

2 2

2

e je j e je j

Mx x x x

x x=

+ + + +

+ +

4 7 1 4 5 1

4 7 1

2 2

2

e je j

∴ M = 4x2 + 5x + 1 Rpta.: E

∴ Residuo = −5x + 14 Rpta.: E

Reemplazando en (I) tenemos que:

D = (x2 + 1)(x + 2) + (x − 3)

D = x3 + 2x2 + x + 2 + x - 3

∴ D = x3 + 2x2 + 2x − 1 Rpta.: B

Resolución 2

Dividimos entre 4 al dividendo y al divisor

64 36 84

4 14

4 2x x x x− + −:

16 9 214

4 2x x x x− + −:

Aplicamos el método de Ruffini:

Resolución 4

Aplicando el método de Horner, obtenemos:

∴ cociente: 16x3 + 4x2 − 8x Rpta.: C

Resolución 3


Cociente: x − 4

Residuo: 8x − 4

Luego:

Suma de coeficientesdel residuo = 8 +(−4)= 4

Rpta.: D

∴ Cociente = x + 1 Rpta.: A

∴ Cociente = x2 − 3x − 11

Residuo = −34x2 + 2x + 12 Rpta.: C

Resolución 7 Por el teorema del

Resto: x − 1= 0 → x = 1

Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:

Dividendo = 6x3 − 5x2 − 4x + 4

Residuo(R) = 6(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 4

= 6 − 5 − 4 + 4

∴ R = 1 Rpta.: A

Resolución 5 Por el teorema del

Resto: x + 3 = 0 → x = −3

Reemplazamos el valor x = -3, en el dividendo

Dividendo = x4 − 2x2 − 6

Residuo(R) = (−3)4 − 2(−3)2 − 6 = 81 − 2(9) − 6

∴ R = 57 Rpta.: D

Resolución 6


Resolución 9


��

��

Resolución 11

Por el teorema del Resto:

x − 2= 0 → x = 2


Dividendo= x4 − 2x3 + 4x2 − x + 1

Residuo(R) = (2)4 − 2(2)3 + 4(2)2 − (2) + 1

= 16 − 2(8) + 4(4) − 2 + 1

∴ R = 15 Rpta.: C

� Residuo = 19x − (1 + 3k)

• Por el dato: residuo = 19x − 7

� 19x − (1 + 3k) = 19x − 7

−(1 + 3k) = − 7

1 + 3k = 7

∴ k = 2 Rpta.: D

Resolución 10


Ex x y x y y

x y=

+ − −

−

3 2 2 34 4e j

Ex x y x y y

x y= − + −

−

3 2 2 34 4

Ex x y y x y

x y=

− + −

−

2 2 24b g e j

Ex x y y x y x y

x y=

− + + −−

2 4b g b gb g

Ex y x y x y

x y=

− + +

−

b g b ge j2 4

E = x2 + 4xy + 4y2

E = x2 + 2(x)(2y) + (2y)2

∴ E = (x + 2y)2 Rpta.: B

Resolución 12


x − 2 = 0 → x = 2


Dividendo = 4x5 − 2x3 + kx − 2

Como el dividendo es divisible por (x - 2), el residuo debeser cero

Residuo(R) = 4(2)5 − 2(2)3 + k(2)−2 = 0

=4(32) − 2(8) + 2k − 2 = 0

110 + 2k = 0

−110 = 2k

∴ k = −55 Rpta.: E

Resolución 13


Resolución 14

Por el método de Horner, obtenemos:

Como: 5x3 − 2x2 + ax − b es divisible por x2 + 1

Entonces, la división es exacta.

O sea que:

i) a − 5 = 0 → a = 5

ii) −b + 2 = 0 → b = 2 Rpta.: A

Como: residuo = 0

� b − a = 0

∴ a = b Rpta.: B

Resolución 15 Como:

x3 − ax − x + b es divisible por x2 + x− a

Entonces, la división debe ser exacta.

O sea, el residuo es igual a cero.

• Dividendo = x3 − (a + 1)x + b


Resolución 16 Sea el cociente notable:

x y

x y

n

n

20

5−

+

Número detérminos =

205nn=

20 × 5 = n2

100 = n2 → n = 10

∴ Número detérminos =

2010

= 2 Rpta.: A

��

��

NIVEL II

Resolución 1


Resolución 4


∴ Cociente = x2 + 3x + 2 Rpta.. A

∴ Cociente = x2 + 2x + 3 Rpta.:C

Resolución 3


Cociente = x3 + x2 + 2x + 2

Suma de coeficientesdel cociente = 1 + 1 + 2 + 2

∴ Suma de coeficientesdel cociente = 6 Rpta.. A

∴ Residuo = 4x + 2 Rpta.: B

∴ Residuo: 7x + 15 Rpta.: A

– 4

–

Resolución 17

Hallamos el número de términos (n):

n = 311

→ n = 31

Por dato: k = 14 Como "K" es par, eltérminoserá negativoFH

IK

Luego: Tk

= ± − −x yn k k· 1

� T14 = −x31-14 · y14−1

∴ T14 = −x17 · y13 Rpta.: E

Resolución 18


x − 2= 0 → x = 2


Dividendo = 2x4 − 8x2 + 7x − 11

Residuo(R) = 2(2)4 − 8(2)2 + 7(2) − 11

= 2(16) − 8(4) + 14 − 11

∴ R = 3 Rpta.: A

Resolución 19


x − 4= 0 → x = 4


Dividendo = (x − 3)8 + 16

Residuo(R) = (4 − 3)8 + 16 = 18 + 16

∴ R = 17 Rpta.: A

Resolución 20


x + 1 = 0 → x = –1

Reemplazamos el valor x = −1 en el dividendo:

Dividendo = 4x6 + 2x + a

Residuo(R) = 4(−1)6 + 2(−1) + a = 4 − 2 + a

� R = 2 + a

Por dato: R = 7 � 2 + a = 7

∴ a = 5 Rpta.: C

Resolución 2


Resolución 5


��

��

� Residuo= (M + 17)x + (N − 11)

Por dato: Residuo = 2x+ 3

� (M + 17)x + (N − 11) = 2x + 3

Por comparación de términos, tenemos:

i) M + 17 = 2 → M = −15

ii) N − 11 = 3 → N = 14

Luego: M + N = (−15)+ 14

∴ M + N = −1 Rpta.: B

Resolución 6


Resolución 7


� Cociente = x3 + x2 + 2x + 3

Luego:

Suma de coeficientesdel cociente = 1 + 1 + 2 + 3

∴ Suma de coeficientesdel cociente = 7 Rpta.: B

� Resto= (A − 4)x + (B + 12)

Por dato: Resto = 3x + 14

� (A − 4)x + (B + 12) = 3x + 14


i) A − 4 = 3 → A = 7

ii) B + 12= 14 → B = 2

Luego: A + B = 7 + 2

∴ A + B = 9 Rpta.: D

Resolución 8


Resolución 9

Como la división es exacta, entonces

Residuo = 0


Como residuo = 0

i) a + 9 = 0 → a = -9

ii) b + 9 = 0 → b = -9

∴ab

= −−

=99

1 Rpta.: A

Como la división es exacta, residuo = 0

� i) m + 8= 0 → m= −8

ii) n + 3 = 0 → n = −3

∴ mn = (−8)(−3) = 24 Rpta.. C

Resolución 10


Resolución 11 Por el teorema del Resto:

x + 2= 0 → x = −2

Reemplazamos el valor x = −2 en el dividendo:

Dividendo = x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 4

Residuo(R) = (−2)4 + 3(−2)3 + 2(−2)2 + 5(−2)+4

= 16 + 3(−8)+2(4)−10+4

∴ R = −6 Rpta.. D

��

��

Como la división es exacta, entonces:

R = 0

� 28 + 4a = 0

∴ a = −7 Rpta.: B

� Residuo= (a − a3)x + (1 − a2)

Como el residuo es un polinomioidénticamente nulo, tenemos que:

Resolución 12


Resolución 15

Por el teorema del Resto, tenemos que:

x2 + 1 = 0 → x2 = −1

Reemplazamos el valor x2 = −1 en el dividendo

Dividendo = (x2)2 + 2(x2) + 5

Residuo(R) = (−1)2 + 2(−1) + 5 = 1 − 2 + 5

∴ R = 4 Rpta.: A

� Residuo = 6x + 7

∴ TérminoIndependiente = 7 Rpta.. D

Resolución 13


x − 2= 0 → x = 2


Dividendo = 2x7 − 4x6 + 2x + 3

Residuo(R)= 2(2)7 − 4(2)6 + 2(2) + 3

=2(128) − 4(64) + 4 + 3

∴ R = 7 Rpta.: C

Resolución 14


2x + n = 0 → x =n2

−

Reemplazando el valor x =n2

− en el dividendo:

Dividendo = 2x3 + nx2 − 4x + n

Residuo(R) = 2 −FHGIKJ + −FHG

IKJ − −FHG

IKJ +n

nn n

n2 2

42

3 2

= −FHG

IKJ +

FHG

IKJ + +2

8 42

3 2nn

nn n

= − + +n nn

3 3

4 43

� R = 3n

Por dato: R = −15

� 3n = −15

∴ n = −5 Rpta.: A

Términoindenpendiente

� Cociente = 3x2 + 7x + 6

Luego: “el cociente disminuido en (3x2)”

3x2 + 7x + 6 − (3x2) = 7x + 6 Rpta.: C

Resolución 18

Aplicando el teorema del Resto, tenemos que:

x − 2= 0 → x = 2

Reemplazando el valor x = 2 en el dividendo:

Dividendo = 3x4 − 2x3 + ax2 − x − 2

Residuo(R) = 3(2)4 − 2(2)3 + a(2)2 − 2 − 2

= 3(16)−2(8) + 4a − 4

� R = 28 + 4a

Resolución 16


x − 1 = 0 → x = 1


Dividendo = x9 + x8 + x2 + x + 1

Residuo(R) = (1)9 + (1)8 + (1)2 + (1) + 1

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1

∴ R = 5 Rpta.: D

Resolución 17

Aplicando el método de Ruffini:

Igualamos el divisor a cero:x − 3 = 0 → x = 3

Resolución 19

Aplicamos el método de Horner, obtenemos:

��

��

Resolución 21

Por el torema del Resto, tenemos que:

xn + 1 = 0 → xn = −1

Reemplazamos el valor xn = −1 en el dividendo.

Dividendo = x3n + 3xn + 2x4n + 12

= (xn)3 + 3(xn) + 2 (xn)4 + 12

Residuo(R) = (−1)3 + 3(−1) + 2(−1)4 + 12

= −1 − 3 + 2(1) + 12

∴ R = 10 Rpta.: D

� Residuo = m − 1

Como el resto es nulo, entonces:

Residuo = 0

� m − 1 = 0

∴ m = 1 Rpta.: D

Resolución 20


x − a = 0 → x = a

Reemplazamos el valor x = a en el dividendo:

Dividendo = (b − 2a2)x3 + 2a2x + x5 + ax4

+(a − ab)x2 + 5 − 3a3

Residuo(R) = (b − 2a2)a3 + 2a2·a + a5 + a·a4

+(a − ab)a2 + 5 − 3a3

= a3b − 2a5 + 2a3 + a5 + a5

+ a3 − a3b + 5 − 3a3

= −2a5 + 3a3 + 2a5 + 5 − 3a3

∴ R = 5 Rpta.: D

i) a − a3 = 0 → a(1 − a2) = 0

a = 0 ó

1 − a2 = 0

1 = a2 → a = ±1

ii) 1 − a2 = 0 → 1 = a2 → a = ±1

∴ a = −1 Rpta.: C

Resolución 22


Resolución 23

Si x y

x y

n n+ −−−

1 3 4

2 es un cociente notable, se debe cumplir:

n n+ = −11

3 42

2(n + 1) = 3n − 4

2n +2 = 3n − 4

∴ n = 6 Rpta.: A

Resolución 24

Número detérminos

=3n+ 8

2= −2 1

1n

3n + 8 = 2(2n − 1)

3n + 8 = 4n − 2

� 10 = n

Luego: Número detérminos = − =

−2 11

2 10 1

1n b g

∴ Número detérminos = 19 Rpta.: D

Resolución 25

Número detérminos =

− =4 53

22

n n

4n − 5 = 3n

� n = 5

Luego: Número detérminos = − =

−4 53

4 5 5

3n b g

∴ Número detérminos = 5 Rpta.: B

Resolución 26

La expresión dada se puede escribir de la manera siguiente:

( ) ( )5 54 320 15

4 3 4 3

x yx y

x y x y

++ =+ +

Aplicamos:

x yx y

x x y x y yn n

n n n n++

= − + − +− − − −1 2 3 2 1· · ...

�

x y

x y

4 5 3 5

4 3

e j e j+

+=(x4)4−(x4)3(y3) + (x4)2(y3)2

− (x4)(y3)3 + (y3)4

∴x y

x y

20 15

4 3++ = x16 − x12·y3 + x8·y6 − x4·y9

+ y12

Rpta.: B

��

��

Resolución 30


� Cociente = 2x3 −4 x2 + 4x + 1

∴ Menorcoeficiente = −4 Rpta.: B

� Cociente = 2x2 + 4x −3

∴ Término indenpendiente = −3 Rpta.: E

Menorcoeficiente

Términoindenpendiente

Resolución 32


∴ Residuo = 1 Rpta.: C

∴ Residuo = 2x2 + 2x + 1

Rpta.: A

–

Resolución 27

Hallamos el número de términos(n):

n = 311

→ n = 31

Según el enunciado: K = 14

Como "K" es par el términoserá negativoFH

IK

Luego:Tk= − −±x yn k k· 1

T14 = −x31−14·y14−1

∴ T14 = −x17·y13 Rpta.: E

Resolución 28


∴ Residuo = −6x2 − 10x + 7 Rpta.: E

Resolución 29

Como: P(x) es divisible por q(x)

Entonces: Residuo = 0


Como: Residuo = 0

i) −n + 3 = 0 → n = 3

ii) m + 2 = 0 → m = –2

Luego: m + n = (−2) + 3

∴ m + n = 1 Rpta.. E

0 0 0

Resolución 31


Resolución 33

��

��

FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (FACTORIZACIÓN). Pág.(232, 233, 234)

CAPÍTULO N° 5

Resolución 3 Sea:

M = 50n3 − 2a + 50an2 − 2n

Ordenamos la expresión adecuadamentey factorizamos.

M = 50n3 − 2n + 50an2 − 2a

M = 2n·25n2 − 2n + 2a·25n2 − 2a

M = 2n(25n2 − 1) + 2a(25n2 − 1)

M = (25n2 − 1)(2n + 2a)

Resolución 1

Aplicando el método del Aspa, tenemos que:

I.

� x2 + 5x − 14 = (x + 7)(x − 2)

II.

� x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1)

III.

� x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2)

∴ Factor común = x − 2 Rpta.: E

Resolución 2 Sea:

P = nx − 2ny − mx + 2myOrdenando adecuadamente, tenemos:

P = nx − mx − 2ny + 2myP = nx − mx −(2yn − 2ym)P = x(n − m) − (2y(n − m))P = x(n − m)− 2y(n − m)P = (n − m)(x − 2y)

∴ P = (x − 2y)(n − m) Rpta.: A

UV|

W|

Doble producto de las raí-ces halladas sería:

2(x2)(2y2) = 4x2y2

NIVEL I

Resolución 4 Sea:

Q = (x + 3)2 − (x + 1)2

Aplicamos: a2 − b2 = (a + b)(a − b)

Obteniendo:

Q = ((x+ 3)+(x + 1))((x + 3)−(x − 1))Q = (x + 3 + x + 1)(x + 3 − x − 1)Q = (2x + 4)(2)Q = (2(x + 2))·2

∴ Q = 4(x + 2) Rpta.: E

M n n a= − +5 1 22 2b ge j b gc hDiferenciade cuadrados

� ��

M = (5n + 1)(5n − 1)·2·(n + a)

M = 2(n + a)(5n + 1)(5n − 1)

∴ Uno de los factores será: 5n + 1

Rpta.: B

Resolución 5

• Aplicamos: factorización por suma y resta

* x x4 2=

* 4 24 2y y=

� x4 + 4y4 = x x y y

T C P

4 2 2 44 4+ +( . . )

� �� - 4x2y2

x4 + 4y4 = ( ) ( )2 22 2

Diferencia de cuadrados

x 2y 2xy+ −��

x4 + 4y4 = ((x2 + 2y2)+2xy)((x2 + 2y2 − 2xy)

x4 + 4y4 = (x2 + 2xy + 2y2)(x2 − 2xy + 2y2)

∴ x4 + 4y4 = (x2 − 2xy + 2y2)(x2 + 2xy + 2y2) Rpta.: C

+

Resolución 6 Sea:

P = 3x2 − 3x4 + y2 − x2y2

Ordenamos la expresión convenientemente y factorizamos

P = 3x2 − 3x2·x2 + y2 − x2y2

P = 3x2(1− x2) + y2(1 − x2)

P = 1 32 2 2− −x x y

Diferenciade cuadrados

e j e j��

��

��

Resolución 8

Q(X) = 8x2 − 6ax − 12bx + 9ab

Q(x) = 2x(4x − 3a) − 3b(4x − 3a)

Q(x) = (4x − 3a)(2x − 3b)

∴ Un factor será: 4x − 3a Rpta.: C

P(x; y) = (1 + x2y2) x y


2 4−e j� ��

P(x; y) = (1 + x2y2) (x + y2) (x − y2)

G.A = 4 G.A = 3 G.A = 3

∴ Factor primo demayor grado es: 1 + x2y2 Rpta.: E

Resolución 13

Factorizamos por el método del Aspa

A = (a − b)·(a − b) − (a − b)·c

A = (a − b)((a − b)−c)

∴ A = (a − b)(a − b − c) Rpta.: D

Diferencia de

cuadrados

� 6x2 − 7x − 3 = 3x +1

Factores primos

b gb g2 3x −� ��

Suma de factores primos:

(3x + 1)+(2x − 3) = 5x − 2

∴ Suma defactores primos = 5x − 2 Rpta.: A

Resolución 14

E = (a2 − b2)(a − c) + (a2 − c2)(a − b)

E = (a + b)(a − b)(a − c) + (a + c)(a − c)(a − b)

E = (a − b)(a − c)((a + b) + (a + c))

E = (a − b)(a − c)(2a + b + c)

∴ Factor primo trinomio = 2a + b + c

Rpta.: C

Resolución 15

A a ab b ac bcT C P

= − + − +2 22. .

� ��

A = (a − b)2 − c(a − b)


�� Diferencia decuadrados

��

Resolución 7

La expresión dada se puede escribir así:

E = (a4 + a3) − (a + a2)

Factorizamos:

E = a3(a + 1) − a(1 + a)

E = (a + 1)(a3 − a)

E = (a + 1)(a(a2 − 1))

E = (a + 1)(a(a + 1)(a − 1))

E = a(a + 1)2· (a − 1)

∴ Un factor será: a − 1 Rpta.: D

p = (1 + x)(1 − x)(3x2 + y2)

∴ P = (3x2 + y2)(1 + x)(1 − x) Rpta.: E

Resolución 9 Sea:

M = 3am + 3bm + 3an + 3bnM = 3(am + bm + an + bn)

M = 3(m(a + b) + n(a + b))

M = 3((a + b)(m + n))

M = 3(a + b)(m + n)

∴ Un factor será: m + n Rpta.: C

Resolución 10

E = ac + ad − acd − bc − bd + bcd

E = a(c + d − cd) − b(c + d − cd)

E = (c + d − cd)(a − b)

∴ Un factor será: a − b Rpta.: C

Resolución 11

x6 − y6 = x y


3 2 3 2e j e j−� ��

x6 − y6 = x y x y3 3 3 3+ −e je jSuma decubos

Diferenciade cubos

� ��

x6 − y6 = [(x + y)(x2 − xy + y2)][(x − y)(x2 + xy + y2)]

x6 − y6 = (x + y)(x2 − xy + y2)(x − y)(x2 + xy + y2)

∴ Un factor será: x2 + xy +y2 Rpta.: D

Resolución 12

P(x; y) = x2 + x4y2 − y4 − x2y6

P(x; y) = (x2 + x4y2) − (y4 + x2y6)

P(x; y) = x2(1 + x2y2) −y4( + x2y2)

��

��

Trinomio cuadrado perfecto� ��

Luego:

x2 + 2xy + y2 − 2x − 2y − 63=(x + y + 7)(x + y − 9)

∴ Un factor será: x + y + 7 Rpta.: C


Resolución 16

B = a2b2c2 + ab2c + abc2 + bc

B = a2b2c2 + abc2 + ab2c + bc

B = abc2(ab + 1)+bc(ab + 1)

B = (ab + 1)(abc2 + bc)

B = (ab + 1)(bc(ac + 1))

B = bc(ac + 1)(ab + 1)

∴ Un factor primobinomio será ac: + 1 Rpta.: D

Resolución 17

P = 2a6b − 4a4b3 + 2a2b5

P = 2a2b(a4 − 2a2b2 + b4)

P = 2a2b((a2)2 − 2(a2)(b2) + (b2)2)

P = 2a2b(a2 − b2)2

P = 2a2b((a + b)(a − b))2

P = 2a2b(a + b)2(a − b)2

∴ Un factor primo es: a − b Rpta.: C

Resolución 18 Empleando aspa doble:

Resolución 19

P(x) = x3 + 3x2 − x − 3

P(x) = x3 − x + 3x2 � 3

P(x) = x(x2 − 1) + 3(x2 − 1)

P(x) = ( )x


2 1−��

(x +3)

∴ P(x) = (x + 1)(x − 1)(x + 3) Rpta.: D

T C P. .� ��

T C P. .� ��


� �� Diferencia

de cuadrados

� ��

Resolución 20

Q(x) = ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)

Q(x) = abx2 + aby2 + xya2 + xyb2

Q(x) = abx2 + xya2 + aby2 + xyb2

Q(x) = ax(bx + ay)+ by(ay + bx)

Q(x) = (bx + ay)(ax + by)

∴ Un factor primo es: ax + by Rpta.: E

NIVEL II


A2 − B2 = (A + B)(A − B)

P = 4a2b2 − (a2 + b2 − c2)2

P = (2ab)2 − (a2 + b2 − c2)2

P = ((2ab) + (a2 + b2 − c2))(2ab − (a2 + b2 − c2))

P = (2ab + a2 + b2 − c2 )(2ab − a2 − b2 + c2)

P = (a2 + 2ab + b2 − c2)(c2 − (a2 − (a2 − 2ab + b2))

P = ((a + b)2 − c2)(c2 − (a − b)2)

P = ((a + b)+c)((a + b)−c)(c + (a − b))(c − (a − b))

P = (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c − a + b)

∴ Un factor será: a + b + c Rpta.: B

Resolución 2

F = (x4 + x3 + x2 + x + 1)2 − x4

F x x x x x


= + + + + −4 3 2 2 2 21e j e j

� ��

F = [(x4 + x3 + x2 + x + 1)+x2]

[(x4 + x3 + x2 + x + 1)−x2]

F = [x4 + x3 + x2 + x + 1 + x2]

[x4 + x3 + x2 + x + 1 − x2]

F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x3 + x + 1]

F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x + x3 + 1]

F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x(x3 + 1) + (x3 + 1)]

F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][(x3 + 1)(x + 1)]

F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1]

[(x + 1)(x2 − x + 1)(x + 1)]

F = (x4 + x3 + 2x2 + x + 1)(x + 1)2(x2 − x + 1)

Suma de coeficientes = 1 + 1 + 2 + 1 + 1

∴ Suma de coeficientes deuno de los factores es: 6 Rpta.: A

Suma decubos

��

��

��

Q = (x + y)(x2 − xy + y2)(x2 + y2)(x2 − y2)

Q = (x + y)(x2 − xy + y2)(x2 + y2)(x + y)(x − y)

Q x y x xy y x y x y= + − + + −b g e je jb g2 2 2 2 2

Factores primos� ��

∴ Número de factores primos = 4 Rpta.: C

Resolución 7

Agrupamos convenientemente:

N = x3 + x2y2 + xz + y2z

N = x2(x + y2) + z(x + y2)

N = (x + y2)(x2 + z)

∴ Un factor es: x + y2 Rpta.: C

Resolución 8

Agrupamos la expresión convenientemen-te y resolvemos:

P = [(4x + 1)(3x + 1)]·[(12x + 1)(2x + 1)] − 36

P = [12x2 + 7x + 1][24x2 + 14x + 1] − 36

P = [(12x2 + 7x) + 1][2(12x2 + 7x) + 1] − 36

Reemplazamos: 12x2 + 7x = a

P = [a + 1][2a + 1] − 36

P = 2a2 + 3a + 1 − 36

P = 2a2 + 3a − 35

Aplicamos el “método del Aspa”:

Suma decubos

�� Diferenciade cuadrados

� ��


��

Diferencia

de cuadrados


� ��


��

P = (2a − 7)(a + 5)

Pero: a = 12x2 + 7x

P = (2(12x2 + 7x)−7)(12x2 + 7x + 5)

P = (24x2 + 14x − 7)(12x2 + 7x + 5)

Luego: Producto decoeficientes = 12× 7× 5

∴ Producto decoeficientes = 420 Rpta.: B

Coeficientes = 12; 7; 5

Resolución 3

P = abx2 − (a2 + b2)x + ab

P = abx2 − a2x − b2x + ab

P = abx2 − b2x −(a2x − ab)

P = bx(ax − b) − a(ax − b)

P = (ax − b)(bx − a)

∴ Un factor será: ax − b Rpta.: B

Resolución 4

Q = x7 + y3x4 − y4x3 − y7

Q = x4(x3 + y3) − y4(x3 + y3)

Q = (x3 + y3)(x4 − y4)

Q = (x3 + y3)((x2)2 − (y2)2)

Resolución 5

R = a2b − ab2 + b2c − bc2 − a2c + ac2


R = (a2b + b2c) − (bc2 + a2c) − (ab2 − ac2)

R = b(a2 + bc) − c(bc + a2) − a(b2 − c2)

R = (a2 + bc)(b − c) − a(b + c)(b − c)

R = ((a2 + bc) − a(b + c))(b − c)

R = (a2 + bc − ab − ac)(b − c)

R = (bc − ac − ab + a2)(b − c)

R = (c(b − a) − a(b − a))(b − c)

R = ((b − a)(c − a)(b − c)

∴ Un factor es: b − a Rpta.: E

Resolución 6

M = x4a + x4y − z4a − z4y

M = x4a + x4y − (z4a + z4y)

M = x4(a + y) − z4(a + y)

M = (a + y)(x4 − z4)

M = (a + y)((x2)2 − (z2)2)

M = (a + y)(x2 + z2)(x2 − z2)

M = (a + y)(x2 + z2)(x + z)(x − z)

∴ Un factor primo es: a + y Rpta.: C

��

��

Resolución 9

Aplicamos la factorización por suma y resta.

* a4 = a2

* 4 2=

Resolución 11

Aplicamos la factorización por suma y resta.

9 34 2x x=

4 24 2y y=

El doble del producto de las raíces halladas será:2(3x2)(2y2) = 12x2y2

Luego:

9x4 + 8x2y2 + 4y4 + 12x2y2 − 12x2y2 =

= + + −9 12 4 44 2 2 4 2 2x x y y x y

T C P. .� ��

UV|W|

El doble producto de lasraíces halladas será:

2(a2)(2) = 4a2

Luego:

a a a aT C P

4 4 2 24 4 4 4+ = + + −. .

� ��

a a a


4 2 2 24 2 2+ = + −e j b g� ��

a4 + 4 = ((a2 + 2)+(2a))((a2 + 2) − (2a))

a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 − 2a + 2)

∴ Suma de coeficientesde un factor primo = 5 Rpta.: D

Resolución 10

A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 � 1)(x + 4) + 1 − x2

A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 − 1)(x + 4) + [(−(x2 − 1)]

A = (x2 − 1)(x + 2)(x + 3) + (x2 − 1)(x + 4) − (x2 − 1)

A = (x2 − 1)[(x + 2)(x + 3) + (x + 4) − 1]

A = (x2 − 1)[(x + 2)(x + 3) + x + 4 − 1]

A = x x x x


2 1 2 3 3− + + + +e j b gb g b g��

A = (x + 1)(x − 1)[(x + 3)((x + 2)+ 1)]

A = (x + 1)(x − 1)[(x + 3)(x + 3)]

A = (x +1)(x − 1)(x + 3)2

∴ Factor primo quese repite es x: + 3 Rpta.: E

Suma de

coeficientes : 1 + 2 + 2

Producto de

coeficientes : 3 × 2 × 2

� ��

� ��

Resolución 12

P = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) − 15

P = (x − 1)(x − 4)(x − 2)(x − 3) − 15

P = (x2 − 5x + 4)(x2 − 5x + 6) − 15

Hacemos: a = x2 − 5x

� P = (a + 4)(a + 6) − 15

P = (a2 + 10a + 24) − 15

P = a2 + 10a + 9

Por el método del Aspa:

= + −3 2 22 2 2 2x y xy


e j b g� ��

= ((3x2 + 2y2) + (2xy))(3x2 + 2y2) − 2xy))

= (3x2 + 2xy + 2y2)(3x2 − 2xy + 2y2)

∴ Pr oducto decoeficientes = 12 Rpta.: D

� P = (a + 9)(a + 1)

Si : a = x2 − 5x

� P = (x2 − 5x + 9)(x2 − 5x + 1)

∴ Un factor es: x2 − 5x + 1 Rpta.: A

Resolución 13

Aplicando: método de los divisores binomios.

Sea:x3 + 5x2 − 33x + 27

Los posibles valores que anulan el polinomio serán:

• 27 � divisores de 27: ± ± ± ±1 3 9 27; ; ;

• 1 �� divisores de 1: ±1

Los posibles valores serán: ± ± ± ±1 3 9 27; ; ;

− Probando con x = 1

x3 + 5x2 − 33x + 27 = (1)3 + 5(1)2 − 33(1) + 27

= 1 + 5 − 33 + 27 = 0

∴ (x − 1) sí es factor del polinomio.

Dividimos: (x3 + 5x2 − 33x + 27):(x − 1)

Aplicando Ruffini:

��

��

Resolución 17

Aplicamos: “Diferencia de cubos”

E = (x − 2)3 −53

E = [(x − 2)−5][(x − 2)2 + (x − 2)(5) + 52]

E = [x − 7][(x2 − 4x + 4) + 5x − 10 + 25]

E = (x − 7)(x2 + x + 19)

Luego:

Suma de factoresprimos = (x − 7)+(x2 + x + 19)

∴ Suma de factoresprimos = x2 + 2x + 12 Rpta.: A

Comprobación

Luego:

M = (2x − y + 1)(x − y)

∴ Un factor es: (2x − y + 1) Rpta.: B


a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

T = ((a + b)+(a + 2b)((a + b)2

− (a + b)(a + 2b) + (a + 2b)2)

T = (2a + 3b)((a2 + 2ab + b2)

− (a2 + 3ab + 2b2) + (a2 + 4ab + 4b2))

T = (2a + 3b)(a2 + 2ab + b2 − a2 − 3ab − 2b2

+ a2 + 4ab + 4b2)

T = (2a+ 3b)(a2 + 3ab + 3b2)

∴ Un factor es: (a2 + 3b2 + 3ab) Rpta.: A

Resolución 14

Q(x) = x4 + 4x3 − 7x2 − 34x − 24

Q(x) = x4 + 4x3 − (7x2 + 34x + 24)

� �Q(x) = x4 + 4x3 − (7x + 6)(x + 4)

Q(x) = x3(x +4) − (7x + 6)(x + 4)

Q(x) = (x + 4)(x3 − (7x + 6))

Q(x) = (x + 4)(x3 − 7x − 6)

∴ El factor primo binomio es: x + 4

Rpta.: D

Resolución 15

P(x; y) = (x − y)2 + (x − y) + (x2 − y2)

P(x; y) = (x − y)2 + (x − y) + (x + y)(x − y)

P(x; y) = (x − y)[(x − y) + 1 + (x + y)]

P(x; y) = (x − y)[2x + 1]

∴ Un factor es: (2x + 1) Rpta.: B

Resolución 16


E x x y

T C P

= + + −2 26 9e j. .

� ��

E = (x + 3)2 − y2

Diferencia de cuadra-dos


Sabemos que: dividendo = divisor × cociente

�� x3 + 5x2 − 33x + 27 = (x2 + 6x − 27)(x − 1)

x +9

x −3

x3 + 5x2 − 33x + 27 = (x + 9)(x − 3)(x − 1)

Suma defactores primos = (x +9)+(x − 3)+(x − 1)

∴ Suma defactores primos

= 3x + 5 Rpta.: A

E = ((x + 3) +y)((x + 3) − y)

E = (x + y + 3)(x − y + 3)

∴ Un factor primo es: (x − y + 3)

Rpta.: A

Resolución 18

Aplicamos: Aspa doble

Completamos el polinomio:

M = 2x2 − 3xy + y2 + x − y + 0

��

��

Resolución 20 Factorizando:

Q = 2xy2z − xyz2 + 2y3z − y2z2

Q = 2y2z(x + y) − yz2(x + y)

Q = (x+ y)(2y2z − yz2)

Q = (x + y)(yz(2y − z))

Q = yz(x + y)(2y − z)

Suma de factores será:

(x + y)+y + z + (2y − z) =

= x + y + y + z + 2y − z

= x + 4y Rpta.: D

CAPÍTULO N° 6

NIVEL I

Resolución 1

I)x x x x


+ − = +5 5 102b gb g� ��

x2 − 25 = x2 + 10x

Esta igualdad NO es una identidad; puesno se verifica para cualquier valor de x.

II) x(x + 6) = x2 + 6x

x2 + 6x ≡ x2 + 6x

Es una identidad, pues se verifica paracualquier valor de x

III) 3x − 5 = 2x + 8

Esta igualdad NO es una identidad, puesno se verifica para cualquier valor de x

IV) (a + 1)2 = a2 + 2a + 1

a2 + 2a + 1 ≡ a2 + 2a + 1

Es una identidad,pues se verificapara cualquier valor de x

∴ Son identidades II y IV Rpta.: C

Resolución 2

I) x2 + 6x ≡ x2 + 6x

Es una identidad, pues se verificapara cualquier valor de x.

II) Desarrollando:

(x + 3)(x +5) = x2 + 8x +15

x2 + 8x + 15 ≡ x2 + 8x +15


III) Desarrollando:2x − 6 = 4x + 4−6 − 4 = 4x − 2x−10 = 2x → x = −5

Es una ecuación, pues solo se verifi-ca para x = −5

IV) (x + 3)(x − 3) = x2 − 9

x2 − 9 ≡ x2 − 9


∴ Es una ecuación: sólo III Rpta. C

Resolución 3

A) Efectuando y trasponiendo términos:2x + 6 = x − 72x − x = − 7 − 6

x = −13� Raíz de la ecuación es: −13

B) Efectuando y trasponiendo términos:3x − 15 = 4x − 40−15 + 40 = 4x − 3x

25 = x� Raíz de la ecuación es: 25

C ) Efectuando y trasponiendo términos:5x + 20 = 2x + 175x − 2x = 17 − 20

3x = −3 x = −1

� Raíz de la ecuación es: −1

D) Efectuando y trasponiendo términos:5x − 15 = 4x − 75x − 4x = −7 + 15

x = 8� Raíz de la ecuación es: 8

ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

(EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO). Pág.(268, 269, 270, 271, 272)

��

��

III) x x x+ = +53

2 1b g m.c.m = 3

3 53

6 1

3x x x+ =

+b g

8x = 6x + 68x − 6x = 6

2x = 6

x = 62

→ x = 3 Rpta.

E) Efectuando y trasponiendo términos:4x + 28 = 2x − 104x − 2x = −10 − 282x = −38x = −19

� Raíz de la ecuaciónes: −19

Rpta.: D

Resolución 4

• Trasponiendo términos:

I) 3x − 12 = 03x = 12

X = 123

→ x = 4 Rpta.

II) 4x = 5x0 = 5x − 4x → x = 0 Rpta.

III) 2(x − 1) = 3x + 8 2x − 2 = 3x + 8 − 2 − 8 = 3x − 2x

−10 = x Rpta.

IV) 4(x − 3) − 2 = 1 + 3x4x − 12 − 2 = 1 + 3x 4x − 14 = 1 + 3x 4x − 3x = 1 + 14

x = 15 Rpta.

V) 9x − 8 = 3(x + 2) 9x − 8 = 3x + 69x − 3x = 6 + 8

6x = 14

X = 146

→ x = 73

Rpta.

VI) 4 − 8x = 7 − 6x

4 − 7 = − 6x + 8x

−3 = 2x → x = − 32

Rpta.

VII) (x − 3)(x + 5) = x(x + 3) x2 + 2x − 15 = x2 + 3x 2x − 15 = 3x −15 = 3x − 2x

−15 = x Rpta.

VIII) (2x + 3)2 = x(2x - 1)+2x(x + 3)

4x2 + 12x + 9 = 2x2 − x + 2x2 + 6x

4x2 + 12x + 9 = 4x2 + 5x

12x + 9 = 5x

12x − 5x = −9

7x = −9

x = − 97

Rpta.

Resolución 5

I)x x

x2 4

2+ = − m.c.m = 4

24

4 2

4x x x+ =

−b g

2x + x = 4(x − 2) 3x = 4x − 8 8 = 4x − 3x

8 = x Rpta

II)34 3

22

xx x− = −

m.c.m = 12

9 412

6 2

12x x x− =

−b g

5x = 6x − 12 12 = 6x − 5x

12 = x Rpta

IX) 6x(7 − x) = 36 − 2x(3x − 15)

42x − 6x2 = 36 − 6x2 + 30x 42x = 36 + 30x

42x − 30x = 36 12x = 36

x = 3612

→ x = 3 Rpta.

X) 4x(x − 7) = 2x(2x − 13) + 10

4x2 − 28x = 4x2 − 26x + 10 −28x = −26x + 10 −10 = −26x + 28x −10 = 2x

− =102

x → x = −5 Rpta.

IV) 92

83

12

2+ − − = + + −x x x

x m.c.m = 6

3 9 2 8

6

3 1 6 12

6

+ − −=

+ + −x x x xb g b g b g

27 + 3x − 16 + 2x = 3x + 3 + 6x − 12 11 + 5x = 9x − 911 + 9 = 9x − 5x 20 = 4x

204

= x → x = 5 Rpta.

��

��

Factorizamos y luego hallamos m.c.m.

11

2 51x x x x−

+ =−b g

m.c.m. = x(x − 1)

x x

x x x x

+ −−

=−

2 1

15

1b g

b g b gx + 2x − 2 = 5

3x = 5 + 2

3x = 7 → x = 73

Rpta.

ii)1

12

3x x−=

+ m.c.m. = (x − 1)(x + 3)

xx x

x

x x+

− +=

−− +

31 3

2 1

1 3b gb gb g

b gb g x + 3 = 2x − 2 3 + 2 = 2x − x

5 = x Rpta.

iii) 1 5 83

− + = −+

xx x

xx

1 5 83

− + = −+

xx

xx

6 83

− = −+

xx

xx

(6 − x)(x + 3) = (8 − x)x6x + 18 − x2 − 3x = 8x − x2

3x + 18 = 8x 18 = 8x − 3x 18 = 5x

185

= x Rpta.

V) 35

91

1011

53

2x x x+ + − = +b g b g b g

m.c.m = 30

18 9 3 11

30

50 2

30

x x x+ + −=

+b g b g b g

18x + 162 + 3x − 33 = 50x + 10021x + 129 = 50x + 100129 − 100 = 50x − 21x 29 = 29x

2929

= x

x = 1 Rpta.

Resolución 6

i)1

12 5

2x x x x−+ =

−

IV)x

xx

2

33 3

−− = +

xx

x2

33 3

−= + +

xx

x2

36

−= +

x2 = (x + 6)(x − 3)

x2 = x2 + 3x − 18 0 = 3x − 18 18 = 3x

183

= x → x = 6 Rpta.

V) 1 12

3 1

2 12x xx

x+ = −

+ m.c.m. = 2x(2x2 + 1)

2 2 1 2 1

2 2 1

2 3 1

2 2 1

2 2

2 2

x x

x x

x x

x x

+ + +

+=

−

+

e je j

b ge j

4x2 + 2 + 2x2 + 1 = 6x2 − 2x

6x2 + 3 = 6x2 − 2x

3 = −2x → x = − 32

Rpta.

Resolución 7

i) a(x + 1) − b(x − 1) = a + b + 1

ax + a − bx + b = a + b + 1

ax − bx = 1

x(a − b) = 1

xa b

=−1

ii) mx nmn

n x− = − 2

mx n xmn

n+ = +2

x m nm n

n+ = +2

2

e j

x

m nn

m n=

+

+

2

2

xn

= 1Rpta.

��

��

� x + y = 24

y = 24 − x .......... (I)

* Si tengo:

− “x” billetes deS/. 100

� Tengo: S/.100x

* Si tengo:

− “y” billetes de S/. 50

� Tengo: S/. 50 y

Según el enunciado del problema:

S/. 100x + S/. 50y = S/. 1950

100x + 50y = 1950 ......... (II)

Reemplazamos el valor y = 58 en (I)

� x + 58 = 240

x = 240 − 58

x = 182

∴ El número mayor es: 182 Rpta.: A

iii) ab

xax b

b− = −

a bxb

ax bb

− = −

a − bx = ax − ba + b = ax + bxa + b = x(a + b)

a ba b

x++

=

1 = x Rpta

iv) a bxa

xa x

a+−

+ = − +−1

11

m.c.m. = a − 1

a bx x a

aa x

a

+ + −−

= − +−

1

11

1b g

a + bx + ax − x = a − x + 1bx + ax − x + x = a + 1 − a

x(a + b) = 1

xa b

=+1

Rpta

v) axb

b x b

aa−

−=b g m.c.m = ab

a x b x b

aba bab

2 2 2− −=b g

a2x − b2x + b3 = a2b

x(a2 − b2) = a2b − b3

x(a2 − b2) = b(a2 − b2)

xb a b

a b=

−

−

2 2

2 2

e je j

x = b Rpta

Resolución 8

* Sea:

− Cantidad de billetes de S/. 100 = x

− Cantidad de billetes de S/. 50 = y

Resolución 9

Sean los números: x(Mayor) , e

y(Menor)

� x + y = 240 ......... (I)

• Recuerde que:

Dividendo = divisor × cociente + resto.


x = y·3 + 8

� x = 3y + 8 ........ (II)

Reemplazando (II) en (I), obtenemos:

(3y + 8) + y = 240

4y + 8 = 240

4y = 240 − 8

4y = 232

y = 2324

→ y = 58

Reemplazamos (I) en (II), obteniendo:

100x + 50(24 − x) = 1950100x +1200 − 50x = 1950

50x = 1950 − 1200 50x = 750

x = 75050

→ x = 15

∴ Billetes de S/. 100 = 15 Rpta.: C

Resolución 10 Si:

• Parte mayor = x


• Parte intermedia = 9

20x

• Parte menor = 19

920

xFHG

IKJ

Luego: x x x+ + FHG

IKJ =9

2019

920

90

x x x+ + =920

120

90

20 920

90x x x+ + =

3020

90x =

��

��

Resolución 11

Sean los números: x(mayor) e y(menor)

� x + y = 54

x = 54 − y ......... (I)

Si: − La quinta parte del mayor = 15

x

− La cuarta parte del menor = 14

y

x = 90 2030

3

1

· → x = 60

Parte intermedia = 920

920

60

1

3x =

FHG

IKJ

∴ Parte intermedia = 27 Rpta.: B

Según el enunciado el problema:

15

14

x y=

4x = 5y ......................................... (II)

Reemplazando (I) en (II) obtenemos:4(54 − y) = 5y216 − 4y = 5y216 = 5y + 4y216 = 9y

2169

= y → y = 24

∴ El triple del menor = 3y = 3(24) = 72 Rpta.: B

Resolución 12



*45

32x y+ =b g

x y+ = 32 54

8

1

·

x + y = 40 ...................................... (I)

*109

20x y− =b g

x y− = 20 910

2

1

·

x − y = 18

x = 18 + y ......... (II)


(18 + y) + y = 4018 + 2y = 402y = 40 - 182y = 22

y = 222

→ y = 11

∴ El número menor es 11 Rpta.: C

Resolución 13

Sean x(mayor) e y(menor), las dos partes en que se divide32.

� x + y = 32 ..................................... (I)

Sabemos que:

Dividendo = Divisor × Cociente + residuo

Según el enunciado del problema tenemos:

x = 5y + 2 ...................................... (II)

Reemplazando (II) en (I) , obtenemos:

(5y + 2) + y = 32

6y + 2 = 32

6y = 32 − 2

6y = 30

y = 306

→ y = 5

Reemplazamos el valor: y = 5 en (II)

x = 5(5) + 2

x = 25 + 2 → x = 27

∴ Una de las partes será 27 Rpta.: D

Resolución 14 Si:

x = n° de manzanas de José

y = n° de manzanas de Antonio

� x + y = 45

Donde: x = 45 − y ........ (I)

Luego:

− Si Antonio da a José 5 manzanas:

• José tendrá: x + 5

• Antonio tendrá: y - 5


x + 5 = 2(y − 5) ....... (II)

Reemplazando (I) en (II), obtenemos:(45 − y) + 5 = 2(y − 5)50 − y = 2y − 1050 + 10 = 2y + y60 = 3y → y = 20

∴ Antonio tiene 20 manzanas Rpta.: B

��

��

Reemplazando (I) en (II), obtenemos:

2(35 + y) − y = 130

70 + 2y − y = 130

70 + y = 130

y = 130 − 70

y = 60


x = 35 + 60 → x = 95

∴ Los números son: 60 y 95 Rpta.: C

Resolución 15

Sean: x e y los números.

� x + y = 10

x = 10 − y ....................................... (I)

Luego: la mitad de un número = 12

x

La tercera parte del otro = 13

y


x y2 3

=

3x = 2y .......................................... (II)


3(10 − y) = 2y

30 − 3y = 2y

30 = 2y + 3y

30 = 5y → y = 6


� x = 10 − 6 → x = 4

∴ Dichos números son: 4 y 6 Rpta.: A

Resolución 16

Sean x e y los números:

� La mitad del segundo = y2

� El tercero del primero = x3


•y

x2

10+ =

y x+ =22

10

y + 2x = 20 ....... (I)

•x

y3

10+ =

x y+ =33

10

x + 3y = 30

x = 30 − 3y .................................... (II)

Reemplazando (II) en (I), obtenemos:y + 2(30 − 3y) = 20 y + 60 − 6y = 20 60 − 20 = 6y − y

40 = 5y

y = 8

∴ Uno de los números es 8 Rpta.: B

�

Resolución 17

Sean: x(mayor) e y(menor) los números:

como: x > y �� xy

> 1


xy

= 13 → x = 13y

También : x − y = 180

(13y) − y = 180

12y = 180

y = 15

Como: x = 13y → x = 13(15)

x = 195

∴ El número mayor es 195 Rpta.: C

Resolución 18

Sean los números: x(mayor)e y(menor)

� x − y = 35

x = 35 + y ............................... (I)

Luego: la mitad del número menor = y2

Según el enunciado del problema, tenemos:

xy− =2

65

22

65x y− =

2x − y = 130 ...................................... (ΙΙ)

Resolución 19


como: x > y �� xy

> 1


xy

= 12 → x = 12y

��

��

Reemplazamos el valor x = 500 en (II)

2(500) − 300 = y

1000 − 300 = y

y = 700

∴ Cada uno recibe: S/. 500 y S/. 700

Rpta.: A

�

Resolución 20 Según el problema:

• 1° hijo recibe : x

• 2° hijo recibe: y

� x + y = 1200 ................................... (I)

Del enunciado, se plantea la ecuación:

2x − y = 300

2x − 300 = y .................................. (II)


x + (2x − 300) = 1200

3x − 300 = 1200

3x = 1200 + 300

3x = 1500

x = 500

También: x + y = 169

(12y) + y = 169

13y = 169

y = 13

∴ El número menor es 13 Rpta.: B

Resolución 21

Sean: x e y los números:

Donde:xy

= 105

2

1

xy

= 2 → x = 2y

Según el problema se plantea la ecuación

1

2

x 20 5y 20 10

− =+

x 20 1

y 20 2

− =+

2(x − 20) = y + 20

2x − 40 = y + 20

2x − y = 20 + 40

2(2y)−y = 60

4y − y = 60

Resolución 22 Sean:

x: mayor parte

y: menor parte

� x + y = 260

x = 260 − y ......................................(I)

3y = 60 → y = 20

Como: x = 2y �� x = 2(20)

x = 40

∴ Los números son: 40 y 20 Rpta.: C

Luego:

• Doble de la mayor parte = 2x

• Triple de la menor parte = 3x

Sabemos que:

Dividendo = divisor × cociente + resto


2x = (3y)·(2) + 40

2x = 6y + 40 ...................................(II)


2(260 − y) = 6y + 40

520 − 2y = 6y + 40

520 − 40 = 6y + 2y

480 = 8y

y = 60

Reemplazando el valor y = 60 en (I) :

x = 260 − 60 → x = 200

∴ Una de las partes es 200 Rpta.: C

Resolución 23 Si:

Edad de Ángela = x

Edad de Sergio = y

Según el enunciado del problema, se plantean las siguien-tes ecuaciones:

• 2x − y = 14 ..................................... (I)

•y

x 135

= −

y = 5(x − 13)

y = 5x − 65 ................................... (II)

Reemplazamos, (II) en (I), obteniendo:

2x − (5x − 65) = 14

−3x + 65 = 14

65 − 14 = 3x

51 = 3x → x = 17

∴ La edad de Ángela es 17 años

Rpta.: D

��

��

ΙΙΙ) (14x + 15)(14x − 15) = (14x − 5)2 + 30

(14x)2 − (15)2 = ((14x)2 − 140x + 25) +30

(14x)2 − 225 = (14x)2 − 140x + 55

−225 = −140x + 55

140x = 55 + 225

140x = 280

x = 2 Rpta

VΙΙ) x x x2 1 2 3 22 2 2

− + + = −e j e j e j

2 2 2 1 2 2 22 2x x x x− + + + +e j e j= − +3 4 3 42x x

2 2 2 1 2 2 22 2x x x x− + + + +

= − +3 4 3 42x x

3 3 3 4 3 42 2x x x+ = − +

3 = –4 3 x + 4

4 3 x = 4 − 3

4 3 x = 1

x = 1

4 3

Racionalizando:

x = =1

4 3

3

3

34 3

··

x = 312

Rpta

Resolución 24

Sean los números: x(mayor)y(menor)

Según el enunciado del problema se plantean las siguien-tes ecuaciones:

• x − 2y = 1x = 1 + 2y ...................................... (I)

• 2x − y = 23 .................................... (II)

Reemplazando (I) en (II) obtenemos:2(1 + 2y) − y = 232 + 4y − y = 232 + 3y = 233y = 23 − 23y = 21 → y = 7

Reemplazamos el valor y = 7 en(I):x = 1 + 2(7)x = 1 + 14 → x = 15

∴ x + y = 15 + 7 = 22 Rpta.: C

� ��

Resolución 1

Ι) Efectuando:

(25x2 + 30x + 9) + (24x2 − 128x + 45x − 240)

= (49x2 − 112x + 64)

(25x2 + 30x + 9) + (24x2 − 83x − 240)

=49x2 − 112x + 64

49x2 − 53x − 231 = 49x2 − 112x + 64

−53x − 231 = –112x + 64

−53x + 112x = 64 + 231

59x = 295

x = 29559

→ x = 5 Rpta

ΙΙ) 8(2x2 − 5) + (7 + 4x)(7 − 4x) = 6x − 15

16x2 − 40 + ((7)2 − (4x)2) = 6x − 15

16x2 − 40 + 49 − 16x2 = 6x − 15 9 = 6x − 15 9 + 15 = 6x 24 = 6x

x = 4 Rpta

NIVEL II

ΙV) −3(x − 2) + 2(x –1) = 4(x + 6)

−3x + 6 + 2x − 2 = 4x + 24

6 − 2 − 24 = 4x + 3x − 2x

−20 = 5x

− =205

x

−4 = x Rpta

V) 3(x − 3) + 2(3x − 1) − 4(x + 1) = 0 3x − 9 + 6x − 2 − 4x − 4 = 05x − 15 = 0

5x = 15

x = 155

x = 3 Rpta

VΙ) x x2 2 4+ = − x x2 4 2+ = −

x 2 1 2+ =e j

x =+

2

2 1

Racionalizando:

x =+

−−

2

2 1

2 1

2 1·

x =−

+ −=

−

−

2 2 1

2 1 2 1

2 2 1

2 12 2

e je je j

e j

x =−

−

2 2 1

2 1

e j

x = −2 2 1e j Rpta

��

��

VΙΙΙ) 0,25x − 0,2x = 1

0,05x = 1

Multiplicamos por 100 a ambos miembros de la igualdad.

100×(0,05x) = 1·100

5x = 100

x = 20 Rpta

ΙX) 32 18 2x x− =

16 2 9 2 2· ·x x− =

16 2 9 2 2· ·x x− =

4 2 3 2 2x x− =

2 2x =

x = 2

2

Racionalizando: x = 2

2

2

2·

x = 2 22

x = 2 Rpta.

X) 75 50 52

x x− = e j25 3 25 2 5· ·x x− =

25 3 25 2 5· ·x x− =

5 3 5 2 5x x− =

5 3 2 5x x− =e j

x 3 2 1− =e j

x =−1

3 2

Racionalizando:

x =−

++

1

3 2

3 2

3 2×

x = +− +

= +

−

3 2

3 2 3 2

3 2

3 22 2e je j

x = +−

3 23 2

x = +3 2 Rpta

Resolución 2

Ι) x x+ − − =110

36

0 ; m.c.m. = 30

3 1 5 3

300

x x+ − −=b g b g

� 3(x + 1)−5(x − 3) = 0

3x + 3 − 5x + 15 = 0

−2x + 18 = 0

18 = 2x → x = 9 Rpta

ΙΙ) 0 5 5 1 63

3, ,x

x− = − + −b g

La ecuación se puede escribir de la siguiente manera:

510

51610

33

xx− = − + −b g m.c.m. = 30

�15 5

30

48 10 3

30

x x−=

− + −b g b g

15x − 75 = − 48 + 10x − 3015x − 10x = − 78 + 75

5x = − 3

x = −3/5 Rpta

ΙΙΙ) x x x3

24

39

3+ + − + = ; m.c.m = 36

12 9 2 4 3

3610836

x x x+ + − +=b g b g

12x + 9x + 18 − 4x − 12 = 10817x + 6 = 108

17x = 108 − 6 17x = 102

x = 6 Rpta

ΙV) x x+ − − + =29

13

1 0 ; m.c.m = 9

x x+ − − +=

2 3 1 9

90

b g

� x + 2 − 3x + 3 + 9 = 0−2x + 14 = 0

14 = 2x

x = 7 Rpta

V) x x x2

13

14

1+ − − + = ; m.c.m. = 12

6 4 1 3 1

121

x x x+ − − +=b g b g

6x + 4x − 4 −3x − 3 = 127x − 7 = 12

7x = 12 + 7 7x = 19

x = 19/7 Rpta

��

��

ΙV) 2

5 1 11x 13x 1 5x 7 15x 26x 7

−− =− − − +

( ) ( )( )( ) 2

5 5x 7 3x 1 11x 13x 1 5x 7 15x 26x 7

− − − −=− − − +

2 2

25x 35 3x 1 11x 1

15x 26x 7 15x 26x 7

− − + −=− + − +

22x − 34 = 11x − 122x − 11x = − 1 + 34

11x = 33

x = 3 Rpta

VΙ) ( ) ( ) ( )1 1x 5 x 2 3 x 1

2 3− − − = − ; m.c.m = 6

3 5 2 2

63 3

x xx

− − −= −b g b g

3x − 15 − 2x + 4 = 6(3x − 3) x − 11 = 18x − 18 −11 + 18 = 18x − x 7 = 17x

x = 717

Rpta

VΙΙ)x x2

23

34

112

− = + m.c.m. = 12

6 812

9 112

x x− = +

6x − 8 = 9x + 1− 8 −1 = 9x – 6x −9 = 3x

x = −3

VΙΙΙ) 3 102

43 6

4x

xx+ − − = + m.c.m. = 4

2 3 10 4 16

43 6

4

x x x+ − −= +b g

6x + 20 − 4x − 16 = 3x + 6 2x + 4 = 3x + 6 4 − 6 = 3x − 2x

− 2 = x Rpta

ΙX) 5 72

33 5

42

x xx

+ − = + + m.c.m. = 4

2 5 7 12

4

3 5 8

4

x x x+ −=

+ +b g b g

10x + 14 − 12 = 11x + 5

10x + 2 = 11x + 5

2 − 5 = 11x − 10x

x = −3 Rpta

X) 3 72

3 72 3

5x

xx+ + − = + m.c.m. = 10

5 3 7 30 70

10

2 2 3

10

x x x+ + −=

+b g b g

15x + 35 +30x − 70 = 4x + 6 45x − 35 = 4x + 6 45x − 4x = 6 + 35 41x = 41

x = 1 Rpta

Resolución 3

Ι) ( )x 5 5 3

x 1 8 2 x 1 4+ = +

+ + m.c.m. = 8(x + 1)

8 5 1

8 1

20 3 2 1

8 1

x x

x

x

x

+ ++

=+ +

+b g

b gb gc h

b g8x +5x + 5 = 20 + 6x + 6

13x + 5 = 26 + 6x 13x − 6x = 26 − 5

7x = 21

x = 3 Rpta

ΙΙ)2

31

63

xx x+

+ =+

16

32

3=

+−

+xx

x

16 2

3= −

+x

x

x + 3 = 6 − 2xx + 2x = 6 − 3

3x = 3 → x = 1 Rpta

ΙΙΙ)5

2 14

112 6

2 12x xx

x x++

−= +

− −

5 1 4 2 1

2 1 112 6

2 12

x x

x xx

x x

− + ++ +

= +− −

b g b gb gb g

5 5 8 4

2 1

12 6

2 12 2x x

x x

x

x x

− + +− −

= +− −

13x − 1 = 12x + 6

13x − 12x = 6 + 1

x = 7 Rpta

��

��

x x x x x x

x x

5 27 5 3 5 3

5 36

2 2− − + − +

+= −

e j b g b gb g

5 27 5 3 5 3

5 36

3 2 3 2

2x x x x x

x x

− − − − −+

= −

−30x2 − 5x − 3 = −6(5x2 + 3x)

−30x2 − 5x − 3 = �30x2 − 18x

−5x + 18x = 3

13x = 3

x = 313

Rpta

V)4

23

18

1 2x x x x−−

+=

+ −b gb g4 1 3 2

2 18

1 2

x x

x x x x

+ − −− +

=+ −

b g b gb gb g b gb g

4x + 4 − 3x + 6 = 8

x + 10 = 8

x = 8 − 10

x = − 2 Rpta

VΙ) 3 12

3 74

xx

xx

−−

= −+

(3x − 1)(x + 4) = (3x − 7)(x − 2)

3x2 + 12x − x − 4 = 3x2 − 6x − 7x + 14

11x − 4 = −13x + 14

11x + 13x = 14 + 4

24x = 18

x = 1824

x = 3/4 Rpta

VΙΙ) 5 275 3

16

2x xx

xx

−+

− = −

5 275 3

16

2x xx

xx

−+

− − = −

m.c.m. = x(5x + 3)

VΙΙΙ) 1

1

42 2

42 22x x x−

−−

=−b g

1

1

42 2

42 22x x x−

=−

+−b g

1

1

82 22x x−

=−b g

1

1

82 12x x−

=−b g b g

ΙX) 2 42

3 2

2 378

2 6

2

2x

x

x

xx

x x

+−

−−+

= +− −

b g

2 4 2 3 3 2 2

2 2 378

2 6

2

2

x x x x

x xx

x x

+ + − − −− +

= +− −

b gb g b gb gb gb g

4 6 8 12 3 2

2 3 4 6

78

2 6

2 2

2

2

2

x x x x

x x x

x

x x

+ + + − −+ − −

= +− −

b g

1

1

412x x−

=−b g b g

11

4x −

=

1 = 4(x − 1)

1 = 4x − 4

1 + 4 = 4x

5 = 4x → x = 54

Rpta

4 14 12 3 4 4

2 6

78

2 6

2 2

2

2

2

x x x x

x x

x

x x

+ + − − +

− −= +

− −

e j

4x2 + 14x + 12 − 3x2 + 12x − 12 = x2 + 78

x2 + 26x = x2 + 78

26x = 78

x = 3 Rpta

X) 2 2 12

33 1

2 2x xx

x xx

− − = −−

2 2 12

3 1

3 1

2x xx

x x

x− − =

−−

b g

2 2 2 12

x xx

x− − =

2x2 − 2x − 1 = 2x2

−2x − 1 = 0

−1 = 2x

− =12

x Rpta

Resolución 4

Ι) 6(x − 6) = 1 + (x − m)m

6x – 36 = 1 + mx − m2

6x − mx = 1 − m2 + 36

x(6 − m) = 37 − m2

xmm

= −−

376

2

Rpta

��

��

b a ax2

4= −

b ax2

3=

xa

b= 6

Rpta

VΙΙ) xa

x

a a21 1

22− − =

xa a

x

a21

21

2− = − →

xa

x

a

− = −12

12

a2(x − 1) = (1 − x)2a

a2x − a2 = 2a − 2ax

a2x + 2ax = 2a + a2

x(a2 + 2a) = 2a + a2

xa a

a a= +

+2

2

2

2 → x = 1 Rpta

VΙΙΙ) 42

32

3x

a b++ =

4

23

32

xa b+

= −

4

26 3

2x

a b+= −

4

232a b

x+

FHG

IKJ =

xa b= +F

HGIKJ

32

24

·

xa b= +6 3

8Rpta

ΙX) xxa

b− =

xa

b11−F

HGIKJ =

xa

ab

−FHG

IKJ =1

xab

a=

−1Rpta

X) x ab

x ba

a bb

− − + = −2

33

3 136

m.cm. = 6ab

3 2 3

63 13

6

a x a b x b

aba b

b

− − += −b g b g

3 3 2 66

3 136

2 2ax a bx bab

a bb

− − − = −

3 2 3 63 13 6

62 2ax bx a b

a b ab

b− − − =

−b g

x(3a − 2b) − 3a2 − 6b2 = (3a − 13b)a

x(3a − 2b) − 3a2 − 6b2 = 3a2 − 13ab

(x + a + x − a)((x + a)2 + (x − a)2 − (x + a)(x − a))

= 2x3 + 12a3

(2x)(2(x2 + a2) − (x2 − a2)) = 2x3 + 12a3

2x(2x2 + 2a2 − x2 + a2) = 2x3 + 12a3

2x(x2 + 3a2) = 2x3 + 12a3

2x3 + 6a2x = 2x3 + 12a3

6a2 x = 12a3

xa

a= 12

6

3

2

x = 2a Rpta

ΙV) 4a + x + 4x2 = (2x − a)2 + a(15x − a)

4a + x +4x2 = (4x2 − 4ax + a2) +15ax � a2

4a + x + 4x2 = 4x2 − 4ax + a2 +15ax − a2

4a + x + 4x2 = 4x2 + 11ax

4a + x = 11ax

4a = 11ax − x

4a = x(11a − 1)

4

11 1a

ax

−= Rpta

V)( ) ( ) ( )22 2 2 4 2

Identidad de Legendre

x a x a a b a b+ − − = + − −��

4xa = (a4 + 2a2b + b2) − a4 − b2

4ax = a4 + 2a2b + b2 − a4 − b2

4ax = 2a2b

xa ba

= 24

2

xab=2

Rpta

VΙ)ax

b ax

+ =2

4

b ax

ax2

4= −

� ��

I Legendre.� ��


� ��

ΙΙ) a(x + b) = a2 + b2 + b(x − a)

ax + ab = a2 + b2 + bx - ab

ax − bx = a2 + b2 − ab − ab

x(a − b) = a2 − 2ab + b2

x(a − b) = (a − b)2

x = a − b Rpta

ΙΙΙ) x a x a

Suma de cubos

+ + −b g b g3 3

� �� = 2x3 + 12a3

((x + a)+(x − a))((x + a)2 − (x +a)(x − a)

+ (x − a)2) = 2x3 + 12a3

��

��

x(3a − 2b) = (3a − 2b)(2a − 3b)

x = 2a − 3b Rpta

Resolución 5

De los datos del problema:− Lo que tiene Alicia = x

− Lo que tiene Jorge = 23

x

− Lo que tiene Mónica = 35

23

xFHG

IKJ


x x x+ + FHG

IKJ =2

335

23

24 800

x x x+ + =23

25

24 800 m.c.m. = 15

�

15 10 615

24 800x x x+ + =

3115

24 800x =

x(3a − 2b) = 3a2 − 13ab + 3a2 + 6b2

x(3a − 2b) = 6a2 − 13ab + 6b2

x = 24 8001531

800

1

·

x = 12 000

Luego: Jorge tiene 23

23

12 000

1

4000x =

FHG

IKJ

∴ Jorge tiene: 8000 Rpta.: B

Resolución 6

Javier tiene: x

Si gastó: 200

Entonces le queda: x − 200

Si prestó: 23

200x −b g

Ahora tiene: 100

Luego:

Lo que gastó + lo que prestó + lo que tiene = x

200 + 23

200x −b g + 100 = x

� ��

300 + 23

200x −b g = x

3 300 2 200

3b g b g+ −

=x

x

900 + 2x − 400 = 3x

900 − 400 = 3x − 2x

500 = x

∴ Al principio tuvo S/. 500 Rpta.: A

Resolución 7

Sea la fracción: x → Numerador y → Denominador

Según el problema, se plantean las siguientes ecuaciones:

• y − 2x = 1......... (I)

•x

y− =4 1

3

3(x − 4) = 1·y

3x − 12 = y ...................................... (II)

Reemplazando (II) en (I) obtenemos:(3x − 12) − 2x = 1x − 12 = 1 x = 1 + 12 → x = 13

Reemplazando el valor x = 13 en (II)3(13) − 12 = y 39 − 12 = y

27 = y

∴ La fracción es: xy

= 1327 Rpta.: D

Resolución 8


n° de hombres = x

n° de mujeres = 2x

n° de niños = 3(x + 2x)

Luego:

#de hombres + #de mujeres + #de niños = #de personasx + 2x + 3(x + 2x) = 156

3x + 3(3x) = 156 3x + 9x = 156 12x = 156

x = 13

∴ Son 13 hombres Rpta.: D

Resolución 9


� x + y = 51........................................ (I)

��

��

Resolución 13 Si:

Edad del hijo: x años

� Edad del padre = 6x años


Edad del hijo + Edad del padre = 91 años

x + 6x = 91

7x = 91

x = 13

Edad del padre: 6x = 6(13) = 78

∴ El padre tiene 78 años Rpta.: B

� ��

Reemplazamos el valor y = 16 en (II):

x = 2(16) + 3

x = 32 + 3 → x = 35

∴ La parte mayor es 35 Rpta.: C

Resolución 10

Si se compran “x” patos e “y” gallinas

� x + y = 22

Donde: y = 22 - x ................................... (I)

• Si se compran “x” patos a 8 dólares cada uno

� Se gasta: 8x dólares

• Si se compran “y” gallinas a 7 dóla-res cada uno

� Se gasta: 7 y dólares

Si en total se gasta 166 dólares

� 8x + 7y = 166 ............................... (II)

Reemplazamos (I) en (II), obteniendo:8x + 7(22 − x) = 1668x + 154 − 7x = 166 8x − 7x = 166 − 154

x = 12

∴ 12 son patos Rpta.: D

Resolución 11

Sean las partes: x (Parte mayor)

y(Parte menor)

� x + y = 2000

y = 2000 − x .................................. (I)

Luego:

* Cuádruplo de la parte menor = 4y

* Parte mayor aumentado en 30 = x +30

Según el enunciado del problema, se plan-tea:

4y − (x + 30) = 60

4y − x − 30 = 60

4y − x = 60 + 30

4y − x = 90 .................................... (II)

Reemplazamos (I) en (II), obtenemos:

4(2000 − x) − x = 90

8000 − 4x − x = 90

8000 − 90 = x + 4x

7910 = 5x

7910

5= x → x = 1582

∴ A uno le toco 1 582 dólares Rpta.: C

UVW

Según el enunciado del problema, se plantea:

x = 2y + 3 ...................................... (II)


(2y + 3) + y = 51

3y + 3 = 51

3y = 51 − 3

3y = 48 → y = 16

Resolución 12 Sea:

ab el número de 2 cifras.Según el enunciado, se plantea la ecuación:

ba ab= − 36

Descomponemos polinómicamente los números ab y ba :

� (10b +a) = (10a + b) −36

36 = (10a + b) − (10b + a)

36 = 10a + b − 10b − a

36 = 9a − 9b

36 = 9(a − b)

369

= −a b

a − b = 4 ...................................... (I)

• Como dichas cifras suman 12;

� a + b = 12 ................................... (II)

Sumamos: (I) + (II):

a − b = 4 (+)a + b = 12

2a = 16 → a = 8

Reemplazamos el valor a = 8 en (II) :

8 + b = 12 → b = 4

∴ El número ab es 84 Rpta.: D

��

��

Resolución 15 Sea:

ab el número de 2 dígitos

� a + b = 12 ...................................... (I)


b = a + 2 ....................................... (II)

Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:a + (a + 2) = 122a + 2 = 122a = 12 − 22a = 10 → a = 5

Reemplazamos el valor a = 5 en (II):

b = 5 + 2 → b = 7

∴ El número ab es 57 Rpta.: C

UnidadesDecenas

Resolución 14

Sea la fracción: x → Numerador y → Denominador

Según el problema se plantean las ecuaciones:

•xy

−+

=58

1

x − 5 = y + 8

x − y = 8 + 5

x − y = 13 ........................................ (I)

•x

y −=

73

x = 3(y − 7)

x = 3y − 21 .................................... (II)


(3y − 21) − y = 13

2y − 21 = 13

2y = 13 + 21

2y = 34 → y = 17

Reemplazamos el valor y = 17 en (II)

x = 3(17) − 21

x = 51 − 21 → x = 30

∴ La fracción será: 3017

Rpta.: C

Resolución 16 Si:

“x” es la cantidad con la que empiezan a jugar ambosjugadores.

* El primero pierde 400 nuevos soles

� Le queda: x − 400

* El segundo pierde 220 nuevos soles

� Le queda: x − 220

Según el enunciado del problema, se tiene que:

x x− = −40012

220b g b g2(x − 400) = x − 2202x − 800 = x − 2202x − x = −220 + 800

x = 580

∴ Empiezan a jugar con 580 soles

Rpta.: C

Resolución 17

− Si se depositó:

• “x” billetes de 10 nuevos soles

� Se depositó: 10x nuevos soles

• “y” billetes de 50 nuevos soles

� Se depositó: 50y nuevos soles

Si se depositó en total: S/. 1480

� 10x + 50y = 1480 ........................... (I)

Si en total fueron 60 billetes

� x + y = 60

x = 60 − y ...................................... (II)


10(60 − y) + 50y = 1480600 − 10y + 50y = 1480 600 + 40y = 1480 40y = 1480 − 600 40y = 880

y = 22

∴ Se depositó 22 billetes de mayor de-nominación

Rpta.: C

UnidadesDecenas

Resolución 18 Sea:

ab el número.

� a + b = 10 ...................................... (I)

Según el problema, se plantea:

b = 2a + 1 ...................................... (II)

��

��

Resolución 21

n° de conejos = x

n° de patos = y

n° de conejos + n° de patos = n° de animales

x + y = 28 ....................................... (I)

Según el enunciado del problema, se plantea:

x = y + 8 ........................................ (II)

Reemplazando(II) en (I), obtenemos:

(y + 8) + y = 282y + 8 = 282y = 28 − 82y = 20 → y = 10

∴ Juan tiene 10 patos Rpta.: D

Resolución 22

Sea S/.a el precio por metro.

• Si se vendió “x” metros, todo por 90 nuevos soles

UVW

� ax = 90 ....................................... (I)

• Si se vendió “y” metros, todo por 72 nuevos soles.

� ay = 72 .......................................... (II)

• Si de 36m sobran 9m, entonces se vendió:

36m − 9m = 27m

� x + y = 27 ..................................... (III)

Sumando las ecuaciones(I) y (II) obtenemos:

ax = 90 (+) ay = 72

ax + ay = 162

a(x + y) = 162 ............................... (IV)

Reemplazamos (III) en (IV) obtenemos:

a(27) = 162

a = 16227

→ a = 6

∴ El precio por metro es S/. 6 Rpta.: C

• El triciclo tiene 3 llantas

� Si hay “y” triciclos, habrá: 3y llantas

Si en total hay 60 llantas

� 2x + 3y = 60 ................................... (I)

Si hay 5 bicicletas más que triciclos

� x = y + 5 ........................................ (II)

Reemplazando (II) en (I), obtenemos:2(y + 5)+ 3y = 602y + 10 + 3y = 60 2y + 3y = 60 − 10 5y = 50

y = 10

Reemplazamos el valor y = 10 en (II)

x = 10 + 5 → x = 15

∴ Hay 15 bicicletas Rpta.: B

Resolución 20

− Si se obtienen 2 puntos por respuestas correctas y elnúmero de respuestas correctas es x

� Puntaje a favor = 2x puntos

− Si se pierde 1 punto por respuesta incorrecta y el nú-mero de respuestas incorrectas es y.

� Puntaje en contra = y puntos

− Si se contestó 50 preguntas

� x + y = 50 ...................................... (I)

Además se obtuvo 64 puntos

� 2x − y = 64

2x − 64 = y .................................... (II)

Reemplazamos (II) en (I), obtenemos:

x + (2x − 64) = 50 3x − 64 = 50

3x = 50 + 64 3x = 114 x= 38

∴ Respondió correctamente 38 preguntas

Rpta.: D

Resolución 19

• La bicicleta tiene 2 llantas

� Si hay “x” bicicletas, habrá: 2x llantas


a + (2a + 1) = 10 3a + 1 = 10 3a = 10 − 1

3a = 9 → a = 3

Reemplazamos el valor a = 3 en (II)

b = 2(3) + 1b = 6 + 1 → b = 7

∴ El número es: 37 Rpta.: D

��

��

Resolución 1

1. x(x + 2) = 15

x2 + 2x = 15

x2 + 2x − 15 = 0

• Factorizamos por el método del Aspa:

CAPÍTULO N° 7

ii) x − 3= 0 → x2 = 3

∴ C.S. ={−5; 3} Rpta

2. x2 +14 = 9x

x2 + 14 − 9x = 0

x2 − 9x + 14 = 0

• Factorizamos por el método del Aspa:

ECUACIONES E INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(299, 300)

(x + 5)(x − 3) = 0

• Igualamos cada factor a cero:

i) x + 5 = 0 → x1 = −5

(x − 7)(x − 2) = 0

• Igualamos cada factor a cero:

i) x − 7 = 0 → x1 = 7

ii) x − 2 = 0 → x2 = 2

∴ C.S = {2; 7} Rpta

3. x2 − 8(x − 2) = 0

x xT C P

2 8 16 0− + =. .

� ��

(x − 4)2 = 0

� x − 4 = 0 → x = 4

∴ C.S. = {4} Rpta

4. (x − 1)(x + 3) = 12

x2 + (−1 + 3)x + (−1)(3) = 12

(x + 5)(x − 3) = 0

i) x + 5 = 0 → x1 = −5

ii) x − 3 = 0 → x2 = 3

∴ C.S = {−5; 3} Rpta

5. (x + 3)2 + (x − 2)2 = 25

(x2 + 6x + 9) + (x2 − 4x + 4) = 252x2 + 2x + 13 = 252x2 + 2x + 13 − 25 =02x2 + 2x − 12 = 02(x2 + x − 6) = 0

�

(x + 3)(x − 2) = 0

x2 + 2x − 3 = 12

x2 + 2x − 3 − 12 = 0

x2 + 2x − 15 = 0

• Factorizando por el método del Aspa

i) x + 3 = 0 → x1 = −3

ii) x − 2 = 0 → x2 = 2

∴ C.S = {−3; 2} Rpta

6. (x − 2)2 + (x + 1)(x − 3) = 4x + 1

(x2 − 4x + 4) + (x2 − 2x − 3) = 4x + 1

2x2 − 6x + 1 = 4x + 1

2x2 − 6x + 1 − 4x − 1 = 0

2x2 − 10x = 0

2x(x − 5) = 0

i) 2x = 0 → x1 = 0

ii) x − 5 = 0 → x2 = 5

∴ C.S. = {0; 5} Rpta

��

��

(x − 7)(x − 5) = 0

i) x − 7 = 0 → x1 = 7

ii) x − 5 = 0 → x2 = 5

∴ C.S. = {5; 7} Rpta

9. 2(3x + 8) = x2

6x + 16 = x2

0 =

Suma de raíces: x xba1 2

+ = −

� x x1 2

3

2+ = −

−b g

∴ x x1 2

32

+ = Rpta

2. Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0

x x2 74

+ = −

x x2 74

0+ + =

Donde: a = 1b = 1

c = 74


+ = −

� x x1 2

11

+ = −

∴ x1 + x2 = −1 Rpta

3. 6x(x − 1) = 5(x2 − 1)

Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0

6x2 − 6x = 5x2 − 5

6x2 − 6x − 5x2 + 5 = 0

x2 − 6x + 5 = 0Donde: a = 1

b = −6c = 5

� 0 = (x − 8)(x + 2)

i) x − 8 = 0 → x1 = 8

ii) x + 2 = 0 → x2 = −2

∴ C.S. = {−2; 8} Rpta

� 0 = (x − 10)(x − 6)

i) x − 10 = 0 → x1 = 10

ii) x − 6 = 0 → x2 = 6

∴ C.S. = {6; 10} Rpta

Resolución 2

1. Le damos la forma de: ax2 + bx + c = 0

2x2 + 6 = 3x

2x2 − 3x + 6 = 0

Donde: a = 2

b = −3

c = 6

–

� (3x − 1)(x + 1) = 0

i) 3x − 1 = 0 → 3x = 1

x1

13

=

ii) x + 1 = 0 → x2 = −1

∴ C.S. = {−1; 1/3} Rpta

8. xx

2 3512+ =

x2 + 35 = 12x

7.23

4 32x x+ + =b g

Donde: m.c.m. = 3

�2 4 3

33

2x x+ +=b g

2 8 33

32x x+ + =

3x2 + 2x + 8 = 93x2 + 2x + 8 − 9 = 0

3x2 + 2x − 1 = 0

10. 16x = x2 + 60

0 =

��

��


+ = −

� x x1 2

61

+ = − −

∴ x1 + x2 = 6

4. 2x2 = 8x − 5


2x2 − 8x + 5 = 0Donde: a = 2

b = −8c = 5


+ = −

� x x1 2

82

+ = − −

∴ x1 + x2 = 4 Rpta

5.23

3 52x x x+ − + =b g

Le damos la forma: ax2 + bx + c = 0

m.c.m. = 3

2 3 3 3 5

3

2x xx

+ − +=b g b g

2 6 3 153

2x xx

+ − + =

2x + 6 − 3x2 + 15 = 3x

0 = 3x2 − 2x − 6 − 15 + 3x

0 = 3x2 + x − 21Donde: a = 3

b = 1c = −21


+ = −

� x x1 2

13

+ = − Rpta

Resolución 3

1. 2x2 − 3x + 5 = 0

Es de la forma: ax2 + bx + c = 0

Donde: a = 2

b = −3

c = 5

Producto de raíces: x xca1 2

· =

� x x1 2

52

· = Rpta

2. x2 = 3(x + 2)

Le damos la forma: ax2 + bx + c = 0

x2 = 3x + 6

x2 − 3x − 6 = 0Donde: a = 1

b = −3c = −6


· =

� x x1 2

61

· = −

∴ x1·x2 = −6 Rpta

3. x x2 12

12

+ =

x x2 12

12

0+ − =


Donde: a = 1b = 1/2c = −1/2


· =

� x x1 2

12

1· =

−

∴ x x1 2

12

· = − Rpta

4. 2x2 − 5x = 8

2x2 − 5x − 8 = 0


Donde: a = 2b = −5c = −8


· = −

� x x1 2

82

· = − −

∴ x1·x2 = −4 Rpta

5. (x − 3)2 = 2x + 15


x2 − 6x + 9 = 2x + 15

x2 − 6x + 9 − 2x − 15 = 0

x2 − 8x − 6 = 0

Donde: a = 1b = −8c = −6

��

��

5. x1

5 32

= + ∧ x

2

5 32

= −

•Sumade raíces : S = x1 + x2

S = + + −5 32

5 32

S = + + −5 3 5 32

S = 5

•Productode raíces : P = x1·x2

P = +FHG

IKJ

−FHG

IKJ

5 32

5 32

·

P =−F

HIK

= − =5 3

425 3

4224

2 2

P = 112

La ecuación será: x2 − S·x + P = 0

� x x2 5112

0− + FHGIKJ =b g

∴ La ecuación es: x x2 5112

0− + = ó

2x2 − 10x + 11 = 0 Rpta

6. x1

7 24

= + ∧ x

2

7 24

= −


Producto de raíces: P = x1·x2

P = (7)·(−1)

P = −7


� x2 − (6)x + (−7) = 0

∴ La ecuación es: x2 − 6x − 7 = 0 Rpta

3. x1

3 7= + ∧ x2

3 7= −

• Suma de raíces: S = x1 + x2

S = + + −3 7 3 7e j e jS = 6

• Producto de raíces: P = x1·x2

P = + −3 7 3 7e je j

P = −3 72 2e j

P = 9 − 7P = 2


� x2 − (6)x + (2) = 0

∴ La ecuación es: x2 − 6x + 2 = 0 Rpta


· = −

� x x1 2

61

· = −

∴ x1·x2 = −6 Rpta

Resolución 4

1. x1 = 2 ∧ x2 = 3

• Suma de raíces : S = x1 + x2

S = 2 + 3

S = 5


P = 2·3

P = 6


� x2 − (5)x + 6 = 0

∴ La ecuación es: x2 − 5x + 6 = 0

Rpta

2. x1 = 7 ∧ x2 = −1


S = 7 + (−1)

S = 6

4. x1

8 63= + ∧ x2

8 63= −


S = + + −8 63 8 63e j e j S = 16


P = + −8 63 8 63e je j

P = −8 632 2b g e jP = 64 − 63

P = 1


� x2 − (16)x + (1) = 0

∴ La ecuación es: x2 − 16x + 1 = 0 Rpta

��

��

•Pr oductode raíces : P = x1·x2

P = +FHG

IKJ

−FHG

IKJ

7 24

7 24

·

P = − = −7 216

49 216

2 2

P = 4716


� x x2 72

4716

0− FHGIKJ + FHG

IKJ =

* Multiplicamos por 16:

∴ La ecuación es: 16x2 − 56x + 47 = 0

Rpta

7. x1

13

= ∧ x2

23

= −


S = + −FHGIKJ

13

23

S = − 13


P = FHG

IKJ −FHG

IKJ

13

23

·

P = − 29


� x x2 13

29

0− −FHGIKJ + −FHG

IKJ =

x x2 13

29

0+ − =

* Multiplicamos por 9:

∴ La ecuación es: 9x2 + 3x − 2 = 0

Rpta

S = + + −7 24

7 24

S = + + − =7 24

7 24

144

S = 72

8. x1

6 2= + ∧ x2

6 2= −


S = + + −6 2 6 2e j e j S = 2 6

•Productode raíces: P = x1·x2

P = + −6 2 6 2e j e j·

P = −6 22 2

e j e j P = 6 − 2 P = 4


� x x2 2 6 4 0− + =e j b g∴ La ecuación es: x x2 2 6 4 0− + =

Rpta

9. x1

3= ∧ x2

3= −


S = + −3 3e j e jS = 0


P = −3 3e je j P = −3


� x2 − (0)x + (−3) = 0

∴ La ecuación es: x2 − 3 = 0 Rpta

10. x1

1 52

= + ∧ x

2

1 52

= −


S = +FHG

IKJ + −F

HGIKJ

1 52

1 52

S =+ + −1 5 1 5

2

e j e j

S = 1

Productode raíces : P = x1·x2

P =1+ 5

21 5

2

FHG

IKJ

−FHG

IKJ·

��

��

2. Sean los números consecutivos

x ; x + 1

Se plantea la ecuación, según el enuncia-do del problema:

x·(x + 1) = x2 + 9

x2 + x = x2 + 9

x = 9

Número mayor: x + 1 = 9 + 1

∴ Número mayor = 10 Rpta

3. −“A” llena un depósito en 36 minutos:

� En 1 minuto “A” solo llenará:

136

del depósito............................. (I)

− “B” llena un depósito en 45 minutos

Según el enunciado del problema se plantea la ecuación:

x2 + (x + 1)2 = 3(x + 1) + 13

x2 + (x2 + 2x + 1) = 3x + 3 + 13

2x2 + 2x + 1 = 3x + 16

Número

menor

Número

mayor

Número

mayor

� (2x + 5)(x − 3) = 0

i) 2x + 5 = 0 → 2x = −5

x = − 52

ii) x − 3 = 0 → x = 3

Como “x” es entero:

� x = 3 ; x + 1 = 4

∴ Suma de losnúmeros : 3 + 4 = 7 Rpta

Resolución 6

1. Efectuamos las operaciones y hacemos trasposiciónde términos:

3x − 5 > 2(x + 7)

3x − 5 > 2x + 14

3x − 2x > 14 + 5

x > 19

∴ C.S 19;= ∞ Rpta

� (x + 5)(x − 6) = 0

i) x + 5 = 0 → x = −5

ii) x − 6 = 0 → x = 6

Según el problema, “x” es natural

∴ x = 6 Rpta

Resolución 5 (Problemas)

1. Sea “x” el número

− El cuadrado del número: x2

− El número aumentado en 30: x + 30

Se plantea la ecuación, según el enunciado:

x2 = x + 30

P =+ −1 5 1 5

4

e je j

P =−

= −1 5

41 5

4

2 2e j

P = −1


� x2 − (1)x + (−1) = 0

∴ La ecuación es: x2 − x − 1 = 0 Rpta

� En 1 minuto “B” solo llena:

145

del depósito ........................... (II)

Supongamos que “A” y ”B” llenan el depósito en “x” minu-tos

� En 1 minuto(A y B) llenarán:

1x

del depósito ............................ (III)

De (I) ; (II) y (III) se deduce que:

1 136

145x

= + ; m.c.m. = 180

1 5 4180x

= +

1 9180x

= → x = 20

∴ A y B pueden llenar un depósito en 20 minutos.

Rpta

4. Sean los números enteros consecutivos:

x ; x + 1

��

��

2. Efectuando las operaciones y hacemos trasposiciónde términos

4x + 8 < 3 (x - 9)

4x + 8 < 3x − 27

4x − 3x < − 27 − 8 x < − 35

∴ C.S ; 35= −∞ − Rpta

3. Efectuamos las operaciones y hace-mos trasposición de términos.

(x + 3)2 − 2x ≥ x2

(x2 + 6x + 9) − 2x ≥ x2

x2 + 4x + 9 ≥ x2

4x + 9 ≥ 0

4x ≥ −9 → x ≥ − 94

∴ C S. / ;= − ∞9 4 Rpta

4. Efectuando las operaciones y hace-mos trasposición de términos.

(x − 5)(x + 2) ≤ x2 − 7x2 − 3x - 10 ≤ x2 − 7−3x ≤ −7 + 10

−3x ≤ 3

Si multiplicamos o dividimos por unacantidad negativa a ambos miembros,el sentido de la desigualdad cambia.Entonces tenemos que:

−3x ≤ 3 x ≥ −1

∴ C S. ;= − ∞1 Rpta

5. Efectuamos las operaciones y hace-mos trasposición de términos

2(x − 7)(x + 1) > (2x + 1)(x + 3)

2(x2 − 6x − 7) > 2x2 + 7x + 3

2x2 − 12x − 14 > 2x2 + 7x + 3

−12x − 7x > 3 + 14

−19x > 17

Al pasar a dividir o multiplicar por unnúmero negativo, la desigualdadcambia de sentido.

� x < − 1719

∴ C S. . ;= −∞ − 1719

Rpta

Resolución 7

1. Factorizamos el primer miembro:

x2 − 5x + 6 > 0

(x − 3)(x − 2) > 0

i) x − 3 = 0 ii)x − 2 = 0

x = 3 x = 2(Punto crítico) (Punto crítico)

∴ C.S. ; 2 3,= −∞ ∪ ∞ Rpta

2. Factorizamos el primer miembro:

x2 − 6x − 7 ≤ 0(x − 7)(x + 1) ≤ 0

i) x − 7 = 0 ii) x + 1 = 0

x = 7 x = −1(Punto crítico) (Punto crítico)

∴ C.S = [−1; 7] Rpta

3. Resolviendo:2x(x + 9) + 40 ≥ 02x2 + 18x + 40 ≥ 02(x2 + 9x + 20) ≥ 0

� x2 + 9x + 20 ≥ 0

(x + 5)(x + 4) ≥ 0

i) x + 5 = 0 ii) x + 4 = 0 x = −5 x = −4(Punto crítico) (Punto crítico)

∴ ] = −∞ − ∪ − ∞C.S. ; 5 4; Rpta

4. Resolviendo:

2(x2 + 11) < 13x + 1

2x2 + 22 < 13x + 1

2x2 + 22 − 13x − 1 < 02x2 − 13x + 21 < 0

(2x − 7)(x − 3) < 0

i) 2x − 7 = 0 ii) x − 3= 0

x = 72

x = 3

(Punto crítico) (Punto crítico)

∴ C S. ;= 3 7 2 Rpta

��

��

Resolución 4

# de niños = 20

# de niñas = 32

�

##

de niñosde niñas

= =2032

58

5

8

Rpta.: A

2(2x2 + 9) > 17x

4x2 + 18 > 17x

4x2 − 17x + 18 > 0

(4x − 9)(x − 2) > 0

∴ C S. . ; ;= −∞ ∪ ∞2 9 4 Rpta

CAPÍTULO N° 8

NIVEL I

Resolución 1

#de mujeres = 240

#de hombres = x

Luego:

#de hombres + #de mujeres = #de personas

x + 240 = 400

x = 160

� #de hombres = 160

Hallamos la relación:

# hom#

de bresde mujeres

= =160240

23

2

3

Rpta.: B

Resolución 2 Sean:

x(menor) e y(mayor) los números.

Del enunciado:

* xy

= 34 → 4x = 3y ...................... (I)

* x + y = 56 → x = 56 − y .................(II)

Reemplazando (II) en (I) obtenemos:4(56 − y) = 3y224 − 4y = 3y224 = 7y

∴ y = 32 Rpta.: E

MAGNITUDES PROPORCIONALES

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(325, 326, 327, 328)

UVW 400 personas

5. Resolviendo:

2 9172

2x x+ >

i) 4x − 9 = 0 ii) x − 2= 0

x = 94

x = 2

(Punto crítico) (Punto crítico)

Resolución 3 Sean:

x(mayor) e y(menor) los números:

Del enunciado: x − y = 5 x = 5 + y ....................(I)

Del enunciado: xy

= 32

2x = 3y .................. (II)

Reemplazando (I) en (II), obtenemos:2(5 + y) = 3y10 + 2y = 3y

∴ 10 = y Rpta.: B

Resolución 5 Sea “x” el número:

�x8

912

=

x = =9 812

7212

6

1

·

∴ x = 6 Rpta.: C

Resolución 6 Si:

# de hombres = x

# de mujeres = 2x

Luego:

## hom

de mujeresde bres

xx

= =2 21 Rpta.: E

��

��

Resolución 8

Arturo tiene: 32 años

Jorge tiene: x años


Edad de ArturoEdad de Jorge

= 89

�32 8

9x=

4

1

32.9x 36

8= =

∴ Jorge tiene 36 años Rpta.: D

Resolución 9

En A hay 20 litros

En B hay 40 litros

Si de A se pasan 5� a B

• En A quedan 15�

• En B ahora hay 45�


1545

13

1

3

= Rpta.: A

Resolución 10

# de plátanos = 2(12) = 24

# de manzanas = x


# de plátanos# de manzanas

= 21

24 2

1x=

�

Resolución 7

Caramelos de fresa xCaramelos de limón

==

UVW + =y x y caramelos80

Luego: por 1 caramelo de fresa, hay 3 caramelos de limón.

�

Caramelos de fresaCaramelos de limón

= 13

xy

= 13

3x = y

Reemplazando el valor: y = 3x en: x + y = 80

x + (3x) = 80 4x = 80

= 20

∴ Hay 20 caramelos de fresa Rpta.: B

x = 24 12·

∴ x = 12 Rpta.: B

Resolución 11


##

de patosde conejos

= 32 ∧

##

de conejosde gallinas

= 12

Si hay 12 patos:

�

12 32# de conejos

=

# de conejos = 12 2

3243

· =

# de conejos = 8

Si:##

de conejosde gallinas

= 12

8 12# de gallinas

=

# de gallinas = 8 2

116

· =

∴ Hay 16 gallinas Rpta.: B

Resolución 12


Edad de AnaEdad de Betty

= 54 ∧

Edad de BettyEdad de Cecilia

= 21

Si Cecilia tiene 16 años:

�Edad de Betty

1621

=

Edad de Betty = 16 2

132

· =

Como: edad de Betty = 32

�Edad de Ana

3254

=

Edad de Ana =

8

1

32.540

4=

∴ Ana tiene 40 años Rpta.: C

Resolución 13


# =de libros de Matemática# de libros de Física

34 ; y

# =de libros de Bio íade libros de Física

log#

32

��

��

Reemplazando “x” e “y” en:

x·y·z = 64

(3z)·(2z)·z = 64

6z3 = 64

z346

6=

z3 = 63

� z = 6

Luego: x + y + z = (3z) + (2z) + z

= 6z

=6(6)

∴ x + y + z = 36 Rpta.: A

Del dato: a + b + c = 48

k + 2k + 3k = 48

6k = 48

k = 8

Luego:

a2 + b2 + c2 = (k)2 + (2k)2 + (3k)2

a2 + b2 + c2 = k2 + 4k2 + 9k2

a2 + b2 + c2 = 14k2

Si: k = 8 → a2 + b2 + c2 = 14(8)2

a2 + b2 + c2 = 14·64

∴ a2 + b2 + c2 = 896 Rpta.: C

Resolución 14 Si:

a b2 3

= → 3a = 2b .................. (I)

Además: a + b = 35 → a = 35 − b .... (II)


3(35 − b) = 2b105 − 3b = 2b

105 = 5b → b = 21

Reemplazando el valor: b = 21 en (II)

a = 35 − (21) → a = 14

Luego: b − a = 21 − 14

∴ b − a = 7 Rpta.: C

Resolución 15 Si: x y

z3 2

= =

�x

z3

= ∧ y

z2

=

x = 3z ∧ y = 2z

• Si hay 18 libros de Matemática:

18 34# de libros de Física

=

# de libros de Física = 4 183

24

6

1

· =

�# logde libros de Bio ía

2432

=

# de libros de Biología = 32

24 36

1

12· =

∴ Hay 36 libros de Biología Rpta.: D

Resolución 16 Si a b c

k2 5 3

= = =

entonces: a = 2k

b = 5k

c = 3k

Del dato: a2 + b2 + c2 = 152

(2k)2 + (5k)2 + (3k)2 = 152

4k2 + 25k2 + 9k2 = 152

38k2 = 152

k2 = 4 → k = 2

Hallamos: a + b + c

� a + b + c = (2k) + (5k) + (3k)

= 10k

= 10(2)

∴ a + b + c = 20 Rpta.: A

Resolución 17 Si: 1 2 3a b c

= =

La expresión dada se puede escribir también de la siguien-te manera:

a b ck

1 2 3= = = ; k = constante

Entonces: a = k

b = 2k

c = 3k

Resolución 18 Sea:

Lado del cuadrado mayor = x

Lado del cuadrado menor = y


xy

= 34

Entonces: y = 3k

x = 4k

��

��

Recuerde que:

Áreadelcuadrado

= (lado)2

Luego:

Áreacoloreada =

Área delcuadrado

mayor

F

HGG

I

KJJ −

Áreadelcuadrado

menor

F

HGG

I

KJJ

Áreacoloreada = x2 − y2

Hallamos la razón:

− =

2 2

2

Área

coloreada x y

Área cuadrado xmayor

=−4 3

4

2 2

2k K

K

b g b gb g

= −16 9

16

2 2

2k k

k

= 7

16

2

2k

k

∴ Razón: 7

16Rpta.: C

Resolución 19

* 3 14

134

=

* 3 14

214

=

Hallamos la razón:

134214

13 44 21

1321

= =·· Rpta.: B

Resolución 20

Sean “x” e “y” las partes:

� x + y = 720


xy

= =0 66

10

3

5

, ��

xy

= 35

Por propiedad: x y

y+ = +3 5

5

Pero: x + y = 720

�720 3 5

5y= +

720 85y

=

y = 720 58

90

1

·

y = 450

Reemplazando el valor y = 450 en (I):x + 450 = 720

x = 270

∴ Una de las partes es 270 Rpta.: B

Resolución 21

De la figura:

* Área total = Área de ABCD

= (2a)·(2b)

� Área total = 4ab

* Área coloreada = ÁreadelAMN∆ +

Área del

CMO∆

Área coloreada = ( )a· 2b a· b

2 2+

= +22

ab ab

� Área coloreada = 32

ab

Luego:

Razón = áá

rea coloreadarea total =

324

ab

ab

∴ Razón = 38

Rpta.: B

Resolución 22

Sea la proporción continua:

ab

bc

= → ac = b2

Del dato: a · b · b · c = 1296

a · b2 · c = 1296

a · c · b2 = 1296

Reemplazando: a·c = b2

Tenemos: b2·b2 = 1296 b4 = 1296 b = 6

��

��

NIVEL II

Si: a = 4 (Según el enunciado)

� a·c = b2

4·c = 62

4c = 36 → c = 9

∴ La proporción es: 46

69

= Rpta.: D

Resolución 23 Si a b c5 3 6

= =

�

a b5 3

= ∧ a c5 6

=

Por propiedad:

a c5 6

= → a c a+

+=

5 6 5

Por dato: a + c = 66

�66

5 6 5+= a

6611 5

= a

6

1

66 · 5a

11= → a = 30

Reemplazamos el valor: a = 30 en:

a b5 3

=

305 3

= b

30 35

6

1

· = b

∴ b = 18 Rpta.: C

Resolución 24 Si a b+ = +1

22

3

Por propiedad: a b a+ + +

+= +1 2

2 31

2b g b g

a b a+ + = +3

51

2

Por dato: a + b + 3 = 20

�205

12

= +a

a + 1 = 8

∴ a = 7 Rpta.: B

De la figura

* Área total = área del ABCD

� Área total = a2

* área coloreada = a

a3

FHG

IKJ ·

� área coloreada = a2

3

Luego:

Razón = Área coloreada

Área total =

a

a

2

23

∴ Razón = 13

Rpta.: D

Resolución 25

Por traslado de áreas se obtiene:

Resolución 1


##

de damasde caballeros

= 109

Entonces: # de damas = 10k# de caballeros = 9k

Si se retiran 8 damas y 3 caballeros, tenemos que:

10 89 3

45

kk

−−

=

5(10k − 8) = 4(9k − 3)50k − 40 = 36k − 1250k − 36k = −12 + 4014k = 28

k = 2

Luego: # de damas = 10k = 10(2)

∴ # de damas = 20 Rpta.: C

��

��

Resolución 3

Sea “x” el número

* El duplo del número: 2x

* Dicho número, aumentado en 2: x + 2


22

47

xx +

=

(2x)· 7 = 4(x + 2)

14x = 4x + 8

10x = 8

x = =810

0 8,

∴ El número buscado es 0,8 Rpta.: C

� ��

Resolución 2

Según el enunciado del problema, tenemos que:

# de patos = 3(# de pollos)

También: ##

de pollosde pavos

= 14

Entonces: n° de pollos = kn° de pavos = 4k

Si n° de patos = 3(n° de pollos)

� n° de patos = 3·k

Del enunciado:

# de patos + # de pavos = 28

3k +��4k = 28

7k = 28

k = 4

∴ Hay 4 pollos Rpta.: A

Resolución 4 Según el problema:

Si: edad de Manuel = x

edad de Sara = x + 14

La razón de las edades es:

xx +

=14

0 75,

xx +

=14

34

4x = 3(x + 14) 4x = 3x + 424x − 3x = 42

x = 42

∴ La edad de Manuel es 42 años

Rpta.: B

Resolución 5 Si:

Largo del rectángulo = a

Ancho del rectángulo = b

Entonces: perímetro = 2(a + b)

Por dato: perímetro = 70

� 2(a + b) = 70

a + b = 35 ....................................... (I)

Según el enunciado, tenemos:

ab

= 52

Por propiedad: a b

b+ = +5 2

2

Reemplazando (I) en la propiedad tenemos que:

35 5 22b

= +�

35 72b

=

5

1

35 · 2b

7=

b = 10

Reemplazando el valor: b = 10 en (I):

a + 10 = 35

a = 25

Luego: Áreadelrectángulo = a·b

=(25)(10) = 250

∴ Áreadelrectángulo = 250 cm2 Rpta.: B

Resolución 6 Si:

#

#de muchachos

de chicas= 5

3

Entonces: n° de muchachos = 5kn° de chicas = 3k

Donde:

n°de estudiantes = n° de muchachos + n° de chicas

n° de estudiantes = 5k + 3k

� n° de estudiantes = 8k

Luego:

El número de estudiantes es múltiplo de 8.

Analizando las alternativas, vemos que 36 no es múltiplode 8

Rpta.: B

��

��

Resolución 10 Si:

x y z p

k5 10 15 20

= = = =

�p

k20

= → p = 20k

Por propiedad: x y z p

k+ + +

+ + +=

5 10 15 20

Del dato: x + y + z + p = 30

Luego:

Al principio “A” tenía:a = 7k

a = 7(30)

a = 210

∴ “A” tenía al principio S/. 210 Rpta.: B

Por traslado de áreas se obtiene:De la figura:

* Área coloreada: 3a

* Área total: 8a

Luego: Razón = =Área coloreada 3aÁrea total 8a

∴ Razón = 3/8 Rpta.: E

B

A

C

N

DM

Resolución 7

Sean “a” y ”b” los números

Donde: ab

= 23

Entonces: a = 2k b = 3k

Según el enunciado del problema, tenemos que:2k + 15 = 3k + 1015 − 10 = 3k − 2k

5 = k

Luego: El número mayor es: 3k =3(5)

∴ El número mayor es 15 Rpta.: A

Resolución 8 Sea:

“x” la cantidad que se pasa de una caja ala otra.

Según el enunciado del problema se tiene que:

25 x 7

25 x 3

+ =−

3(25 + x) = 7(25 − x) 75 + 3x = 175 − 7x 3x + 7x = 175 − 75 10x = 100 x = 10

∴ Hay que pasar 10 fósforos Rpta.: B

Resolución 9

Resolución 11

Cantidad de dinero de A = a

Cantidad de dinero de B = b


ab

= 75

→→ a kb k

==

75

Si “A” le da a “B” 60 soles, entonces: A tendrá: 7k − 60

B tendrá: 5k + 60

Según el enunciado se tiene que:

7 605 60

57

kk

−+

=

7(7k − 60) = 5(5k + 60)49k − 420 = 25k + 30049k − 25k = 300 + 420

24k = 720

k = 30

Reemplazando el dato en la propiedad, tenemos que:

305 10 15 20+ + +

= k

3050

= k

� k = 35

Luego: p k= = FHG

IKJ20 20

35

∴ P = 12 Rpta.: D

Resolución 12 Si: 17 19 21A B C

= = ,

la expresión se puede escribir de la siguiente manera:

A B Ck

17 19 21= = =

Donde: B

K19

=

B = 19K ......................................(I)

Por propiedad: A B C

k+ ++ +

=17 19 21

A B C

K+ + =57

A + B + C = 57K ..........(II)

��

��

Resolución 13 Si:

## hom

de mujeresde bres

= 34

Entonces: # de mujeres = 3k

# de hombres = 4k

Del dato: A + 2B + C = 152

(A + B + C) + B = 152 ........(III)

Reemplazando (I) y (II) en (III), obtenemos:

57k + 19k = 152 76k = 152

k = 2

Reemplazando el valor: k = 2 en (II)

A + B + C = 57(2)

∴ A + B + C = 114 Rpta.: B

• Si se retiran 6 mujeres

� # de mujeres sería : 3k - 6

• Si se retiran “x” hombres

� # de hombres sería: 4k − xSegún el enunciado, tenemos que:

3 64

35

kk x

−−

=

5(3k − 6) = 3(4k − x)15k − 30 = 12k − 3x15k − 12k = −3x + 30 3k = 30 − 3x 3k = 3(10 − x) k = 10 − x x = 10 − k .......................... (I)

Si hay 56 personas:

#de hombres + #de mujeres = # de personas4k + 3k = 56

7k = 56

k = 8 ............................... (II)

Reemplazando (II) en (I) obtenemos:

x = 10 − (8) → x = 2

∴ Deben irse 2 hombres Rpta.: A

Resolución 14 Si a b2 2

4 25=

Extaemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la igual-dad, obteniendo:

a b

k2 5

= =

Entonces: a = 2k b = 5k

Por propiedad: a b

k++

=2 5

Como: a + b = 28 (dato)

�28

2 5+= k

287

= k → k = 4

Luego: a = 2k =2(4) = 8 Rpta.: B

Resolución 15 Si 1 52 4

1524

58

5

8

,,

= =

�

58

15= =a

bc

Luego: 58

15=a

→

3

1

15 · 8a

5=

a = 24

Como: a + b + c = 37

24 + b + c = 37 b + c = 37 − 24

∴ b + c = 13 Rpta.: C

Resolución 16


��

Donde: área del octágono = área coloreada

De la figura:

* Área coloreada = 7s

� Área del octágono = 7s

* Área del rectángulo = 9s

Luego:

Áreadel octágonoÁreadel

ssrectángulo

= =79

79

Rpta.: A

��

��

Resolución 21 Si llegan “x” parejas

Entonces: llegan “x” caballeros ; yllegan “x” damas


42 x 10

48 X 11

+ =+

11(42 + X) = 10(48 + X)462 + 11X = 480 + 10X11X − 10X = 480 − 462

x = 18

∴ Deben llegar 18 parejas Rpta.: B

Resolución 17 Si:

a b c d ek

3 15 0 6 12 1 4= = = = =

, ,

Por propiedad: a b c d e

k+ + + +

+ + + +=

3 15 0 6 12 1 4, ,

a b c d e

k+ + + + =

32

a + b + c + d + e = 32k

Por dato: a + b + c + d + e = 64

� 32k = 64

k = 2

Si:a

k3

= → a = 3k = 3(2) → a = 6

bk

15= → b = 15k = 15(2) → b = 30

dk

12= → d = 12k = 12(2) → d = 24

Luego: a + b − d = 6 + 30 − 24

∴ a + b − d = 12 Rpta.: C

Resolución 18 Sea la figura:

Área total = área

=12

2 2π Rb g� Área total = 2πR2

Luego: Razón π= =π

2

2Área sombreada R

Área total 2 R

∴ Razón = 12

Rpta.: C

De la figura:

Área coloreada = área − área

( )2 212R R

2= π − π

= −12

4 2 2π πR Re j

= 2π R2 − πR2

� Área coloreada = πR2

Resolución 19


A B CK

2 5 7= = = →

A k Edad de AB k Edad de BC k Edad de C

===

RS|T|

257

( )( )( )

Hace 4 años:

• La edad de A era: 2k − 4La edad de B era: 5k − 4

Entonces: 2 45 4

13

kk

−−

=

3(2k − 4) = 1(5k − 4)6k − 12 = 5k − 46k − 5k = −4 + 12

k = 8

Luego: edad de C = 7k = 7(8) = 56

∴ La edad de C es 56 años Rpta.: A

Resolución 20

− Litros de vino: 27 litros

− Litros de agua: 36 litros

Si se agregan “x” litros de vino, tenemos que:

+ =27 x 536 6

6(27 + x) = 5·36162 + 6x = 180

6x = 18 x = 3

∴ Se debe agregar 3 litros de vino

Rpta.: A

Resolución 22

##de caballosde vacas

= 59

→ ##

de caballos kde vacas k

==

RST59

##

de vacasde burros

= 32 →

##

de vacas Mde burros M

==

RST32

��

��

Según el enunciado, se tiene que:

8k 4 25k 5 1

+ =−

1·(8k + 4) = 2·(5k − 5) 8k + 4 = 10k − 10 4 + 10 = 10k − 8k 14 = 2k

k = 7

Luego:

Al final hay: (8 k + 4)niños

(8(7) + 4) niños (56 + 4) niños 60 niños

∴ Al final hay 60 niños Rpta.: B

Como la base y la altura de los tres triángulos (∆AMB;∆MBN, ∆NBC) son iguales, entonces las áreas de los trián-gulos son iguales.

Resolución 23

##

de niñosde niñas

= 85 →

##

de niños kde niñas k

==

RST85

Si vienen 4 niños y se van 5 niñas, tenemos que:

• # de niños será: 8k + 4

• # de niñas será: 5k − 5

(k y M son constantes de proporcionalidad)

Vemos que: 9k = 3M

93

k M= → M = 3k

Si: # de burros = 2M = 2(3k)

� # de burros = 6k

Según el enunciado: “si 4 burros fueran caballos, habríatantos burros como caballos”

6k − 4 = 5k + 46k − 5k = 4 + 4

k = 8

∴ # de vacas = 9k = 9(8) = 72 Rpta.: D

Resolución 24


De la figura:

• Área total = 3s

• Área coloreada = s

∴ Área coloreada s 1

Área total 3s 3= =

Rpta.: B

Resolución 25

De la figura:

• Área total = área =+6 2

2

b b hb g ·

= 82

b h·

� Área total = 4bh

• Área coloreada = Área = (2b)·h

� Área coloreada = 2bh

Luego:

1

2

Área coloreada 2bh 1Área total 4bh 2

= =

∴ La relación es 1:2 Rpta.: A

Resolución 26

Edad de ManuelEdad de Sara

= 75 ��

Edad de Manuel kEdad de Sara k

==

RST7

5

Del enunciado: “Manuel es 10 años mayor que Sara”, tenemos:7k = 5k + 107k − 5k = 10

2k = 10 → k = 5

Luego: hace 15 años:

Edad de Manuel = 7k − 15 = 7(5) − 15 = 35 − 15 = 20

∴ Hace 15 años Manuel tenía 20 años

Rpta.: E

��

��

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO. Pág.(390, 391, 392, 393, 394)

�

Valor de A

Valor de B

2

2 = constante

216 12

2 2= x

x22

3 1

41

12 216

12 416

3= = =· ·

x2 = 3

∴ x = 3 Rpta.: A

NIVEL I

Resolución 1 Si Q es D.P a Z

�

Valor de QValor de Z

= constante

Cuando: Q = 18 ; Z = 6 ��18 6

Cuando: Q = x ; Z = 14 �� x 14

Entonces: 186 14

= x

x = 186

14

3

1

·

∴ x = 42 Rpta.: C

Resolución 2 Si A3 es I.P a B

� Valor de A Valor de B e3e j b g· = constant

Cuando: A = 64 ; B = 6 �� 643 6

Cuando: A = x ; B = 12 �� x3 12

Entonces: 64 6 123 3e j b g e j b g· ·= x

4 · 6 = x3 12·

Resolución 27

Sean “a” y “b” los números.

�ab

= 73

→ a kb k

==

RST73

Luego: a b

a b

k k

k k

2 2

2 2

2 2

2 2

7 3

7 3

+−

=+

−b g b gb g b g

=+−

49 9

49 9

2 2

2 2k k

k k

= =58

40

2920

2

2k

k

∴ Razón: 2920

Rpta.: D

Resolución 28

Sean a y b las edades de las personas actualmente.

• Hace 6 años:

ab

−−

=66

35

5(a − 6) = 3(b − 6)5a − 30 = 3b − 185a − 3b = −18 + 30

5a − 3b = 12 .................................. (I)

• Dentro de 9 años:

ab

++

=99

710

10(a + 9) = 7(b + 9)10a + 90 = 7b + 6310a − 7b = 63 − 90

10a − 7b = −27 ..............................(II)

De (I) y (II), resolvemos el sistema, obteniendo:

a = 33 ∧ b = 51

Luego, suma de edades es: a + b33 + 51

∴ Suma de edades = 84 años

Rpta.: D

2412

3= x

2 3= x

∴ x = 8 Rpta.: D

Resolución 3

Si A = 2 ; B = 16 ��22 16

Si A = x ; B = 12 ��x2 12

A2 es D.P a B

��

��

Resolución 4

Si R = 14 ; A = 2 ��(14 − 4) (2 + 7)

Si R = x ; A = 8 ��(x − 4) (8 + 7)

(R − 4) es I.P a (A + 7)

��(Valor de R − 4)·(Valor de A + 7) = constante

(14 − 4)·(2 + 7) = (x − 4)(8 + 7)

10 · 9 = (x − 4)·15

9015

4= −x

6 = x − 4

∴ x = 10 Rpta.: B

Resolución 5 Del gráfico:

Si A es D.P. B

�y

x824 30

20= =

Donde: y8

3020

= → y = 30 820

· → y = 12

24 30

20x= → x = 20 24

30·

→ x = 16

Luego: x + y = 16 + 12 = 28

Rpta.: A

Resolución 6 Si:

Carga = 2T; recorrido = 40km ��2T 40km

Si carga = 5T ; recorrido = x ��5T x

Como: la carga es I.P al recorrido

� (carga)·(recorrido) = constante

(2T)(40km) = (5T)(x)

xT km

T= 2 40

5

8

1

·

∴ x = 16km Rpta.: A

Resolución 7

Se divide 40 nuevos soles en dos partes directamente pro-porcionales a 3 y 5

� Las partes serán: 3k y 5k

Donde: 3k + 5k = 40 8k = 40

k = 5

∴ El mayor recibe: 5k = 5(5) = 25

Rpta.: C

U

V|||

W|||

Resolución 8 Tenemos que:

Carlos → 2 vocales ; recibe x nuevos solesMario → 3 vocales ; recibe y nuevos solesTimotea → 4 vocales ; recibe z nuevos soles

Si repartimos 78 en partes inversamente proporcionales a:2; 3 y 4 ; obtenemos:

x y zk

12

13

14

= = =

Donde: xk=2

yk=3

x + y + z = 78

zk=4

k k k2 3 4

78+ + =

6 4 312

78k k k+ + =

1312

78k =

k = 72

Luego: Timotea recibe: zk= = =4

724

18

∴ Timotea recibe S/. 18 Rpta.: B

Resolución 9

Sea N la herencia a repartir(x; y; z las partes)

�

x y zk

4 7 9= = = →

x ky kz k

===

RS|T|

479

Según el problema: 4k = 28 → k = 7

Luego: N = x + y + zN = 4k + 7k + 9kN = 20k

Reemplazando el valor: k = 7, tenemos:

N = 20(7) = 140

∴ La herencia es deS/. 140 Rpta.: D

Resolución 10

Se reparte: 110 en partes D.P. a 13

23

56

; ;

Entonces: x y zk

13

23

56

= = =

Donde: xk=3

yk= 2

3

zk= 5

6

��

��

Resolución 15

20 160 48 8

40 200 x 4

Entonces: 48 200 20 8

x40 160 4⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅

x = 60

∴ Tardarán 60 días Rpta.: A

I.P.

Las partes serán:

xk= =3

603

→ x = 20

yk= =2

3

2 60

3b g

→ y = 40

zk= =5

6

5 60

6b g

→ z = 50

∴ La menor parte es 20 Rpta.: C

Resolución 11

Dividimos: 1350 en partes I.P. a los números

16

17

14

18

; ; y

Entonces: x y z w

k6 7 4 8

= = = =

Donde: x = 6k y = 7k z = 4k w = 8k

Si: x + y + z + w = 13506k + 7k + 4k + 8k = 1350

25k = 1350

k = 54

Luego: la mayor parte es 8k = 8(54) = 432

∴ La mayor parte es S/.432 Rpta.: C

Resolución 12

Como son magnitudes directamente proporcionales, tene-mos que:

Resolución 13

Si pienso trabajar “x” horas diarias, perotrabajo 2 horas menosEntonces: Trabajaré : (x − 2) horas

Entonces: 30

75050=x

x = 50 75030·

x = 1250

∴ Recorrerá 1250 segundos Rpta.: A

Aplicando la regla práctica:

18·x = (18 + 6)·(x − 2)18x = 24(x − 2)18x = 24x − 4848 = 24x − 18x48 = 6x

x = 8

Luego: Se trabajó: (x − 2)horas diarias (8 − 2)horas diarias

∴ Se trabajó 6 horas diarias Rpta.: D

Resolución 14

Si 160 zapatos < > 80 pares de zapatos

20 120 18

x 80 24

x = 20 80 18120 24

· ··

x = 10

∴ # de personas = 10 Rpta.: B

Luego: k k k3

23

56

110+ + =

2k 4k 5k

1106

+ + =

116

110k =

k = 60

��

��

Resolución 18

A = 15% de 900

� A = 15100

900× → A = 135

B = 10% de 300

� B = 10100

300× → B = 30

Luego: 20% de (A + B) = 20

100135 30× +b g

= =20100

165 33×

∴ 20% de (A + B) = 33 Rpta.: C

–6 50 10 9

10 x 15 6

Entonces: x = 50 10 18 66 10 9· · ·

· ·

x = 83,3

∴ Consumirán 83,3 toneladas de carbón

Rpta.: A

Resolución 17

10100

25

40100

600060 000 8010 000 5

166

11

× × ×××

=

= 96 Rpta.: E

Resolución 16

Resolución 19

Sea “x” el número:

•

•

RS|

T|

El doble es x

x

:

:

215

La quinta

parte es

Luego: Porcentaje = 152

100x

x× %

= =110

100 10

1

10× % %

∴ Porcentaje = 10% Rpta.: C

Resolución 20

Según el enunciado tenemos que:

20% de M = 60% de E

20100

60100

1 3

× ×M E=

M = 3E

Tanto por ciento = 3

100E

M× %

Pero: M = 3E

� Tanto por ciento = 33

100EE

× %

∴ Tanto por ciento = 100% Rpta.: D

Resolución 21

Suponiendo que el lado L = 10

� Área del cuadrado = L2 = 102 = 100

Si aumenta en un 30%

Entonces: 10 → 100% x → 130%

x = =130 10100

13% ·

%

El nuevo lado será: x = 13

� La nueva área será: x2 = 132 = 169

Donde:

• El área 100 representa el 100% del área inicial

• El área 169 representa el 169% del área inicial

Luego: 169% − 100% = 69%

∴ Su área aumenta en 69% Rpta.: D

Resolución 22

1° descuento:

� 100% − 40% de 100%

= 100% −40

100100· % = 60%

2° descuento:

� 60% − 50% de 60%

= 60% − 50

100·60% = 30%

Luego: Descuento único = 100% − 30%

∴ Descuento único = 70% Rpta.: A

��

��

Resolución 26

Datos: I = S/. 200% = 4t = 12 meses = 1 añoC = ?

Aplicando la fórmula: CI

t= 100·

% ·

De la figura:

− Área de rectángulo ABCD = 4S− Área coloreada = 2S

Luego:

Área coloreadaPorcentaje 100%

Área del rectángulo= ×

=24

100SS

× %

∴ Porcentaje = 50% Rpta.: D

�

Planteamos la regla de tres directa.

Si S/. 100Pc corresponde a S/. 130Pv

S/. S/. 840 Pc corresponde a x

entonces: xS Pv S Pc

S Pc= /. · /.

/.130 840

100

x = S/. 1092 Pv

∴ El precio de venta es S/. 1092

Rpta.: B

Resolución 24

Datos: % = 50C = S/. 2000t = 6 meses = 1/2 añoI = ?

Aplicando la fórmula: IC t= · % ·

100

Obtenemos: IS

=/. /2000 50 1 2

100b gb gb g

I = S/. 500

∴ El interés es de S/. 500 Rpta.: C

Resolución 25

Datos: C = ?% = 4t = 10 meses = 5/6 añoI = S/. 12

Aplicando la fórmula: CI

t= 100 ·

% ·

Obtenemos: CS

=100 12

4 5 6

· /.

· /b g

b g b gC = S/. 360

∴ El capital producto es de S/. 360 Rpta.: B

Resolución 23

Si gana el 30% significa que:

Supuesto: Pc = S/. 100 (+)

g = S/. 30

Pv = S/. 130

Resolución 27

Según datos: C + I = S/. 1350

S/. 900 + I = S/. 1350

I = S/. 450

Pero: I C t= · % ·1200

; para “t” en meses

Reemplazando: C = S/. 900 → t = 10 meses I = S/. 450

Obtenemos: S/. 450 = S/. · %900 10

1200

b g b g

% = 60% anual

Para convertirlo a tasa trimestral, dividimos por 4.

∴ Tasa trimestral = 60

415

%%=

Rpta.: B

Resolución 28

Como los triángulos (∆BCN; ∆MBN; ∆MND; ∆MAD) son igua-les, entonces:

Obteniendo: CS

=100 200

4 1

/.

·b g

C = S/. 5000

∴ La cantidad de dinero es de S/. 5000

Rpta.: A

��

��

De la figura:

− Área del cuadrado ABCD = 8S− Área sombreada = 4S

Luego:


Área del cuadrado= ×

=48

100SS

× %


Resolución 30

Resolución 29

Por traslado de áreas se tiene:

De la figura:

− Área coloreada = 3a

− Área del triángulo ABC = 8aLuego:


Área del triángulo= ×

=38

100aa

× %

∴ Porcentaje = 37,5% Rpta.: D

NIVEL II

Resolución 1

Como: la presión(P) es I.P. al volumen(V)

� P.V. = constante

* Si P aumenta, entonces V disminuye

* Si P disminuye, entonces V aumenta


P.V. = (P + 2)(V − 40% de V)

P V P V V. . ×= + −FHG

IKJ2

40100

b g

P V PV V

. .= + −FHG

IKJ2

100 40100

b g

P V PV

. .= +F

HGG

I

KJJ2

60100

3

5

b g

P V P V. .= + FHG

IKJ2

35

b g

P V P V V. . .= +35

65

P VP V V

. ..= +3 6

5

5P.V = 3PV + 6V

2P.V = 6V

PVV

= =62

3

∴ El gas está sometido a una presión de 3 atm.

Rpta.: B

Resolución 2

Si la deformación(d) es D.P. a la fuerza (F)entonces:

Donde:“x” es la nueva longitud del resorte al aplicarle lafuerza de 4 newton

Si:dF

= constante

�36 30

330

4− = −x

63

304

= −x

8 = x − 30

x = 38

∴ La longitud será de 38cm Rpta.: C

Resolución 3

Sea:S = sueldo del empleadox = años que transcurren hasta que se cuadruplica elsueldo S

Sueldo (Edad)2

S (18)2

4S (18 + x)2

Como: sueldo es D.P. a (Edad)2

�

Sueldo

Edadb g2= constante

��

��

Resolución 7 Sea:

x + y + z = 200

x y z

8 18 50= =

x y z

2 2 3 2 5 2= =

x y z x y z+ + = = =10 2 2 2 3 2 5 2

200

10 2 2 2= x

→ x = 40

Resolución 4

Del gráfico:

A es I.P. a B � �A·B = constante

(x − 1)·45 = x·36 = (x + 1)·y

De 1 : 45(x − 1) = 36x 45x − 45 = 36x 45x − 36x = 45

9x = 45

x = 5

De 2 : 36x = (x + 1)·y

36(5) = (5 + 1)·y 180 = 6y

y = 30

Luego: 2x + 3y = 2(5) + 3(30) = 10 + 90

∴ 2x + 3y = 100 Rpta.: A

Resolución 5

A es D.P. a B

A es I.P. a C

Entonces: A C

B· = constante

Luego:

Reemplazando los valores dados en el enunciado, obte-nemos:

A · 3624

30 258

=

A · ·624

30 58

=

A = 30 5 248 6· ·

·

A = 75

∴ Suma de cifra de A = 7 + 5 = 12 Rpta.: C

Resolución 6

Sean: x; y; z las partes repartidas


x y zk

23

15

56

= = =

• Por propiedad: x y z

k+ +

+ +=

23

15

56

��x y z

k+ ++ + =

20 6 2530

x y zk

+ + =5130

51kx y z

30+ + =

Si: x + y + z = 12 240

Tenemos que: 51k

12 24030

=

k = 7 200

Donde:x

k x k23

23

23

7200= → = = b g

x = 4800

yk y k

15

15

15

7200= → = = b g

y = 1440 Menorparte

zk z k

56

56

56

7200= → = = b g

z = 6000

∴ La menor parte es 1440 Rpta.: B

1

2

��

S S

x18

4

182 2=+b g

(18 + x)2 = 4·182

(18 + x)2 = 22· 182

(18 +x)2 = (2·18)2

18 + x =2·1818 + x = 36

x = 18

∴ Cuadriplicará su sueldo dentro de 18 años

Rpta.: C

��

��

Resolución 8

Sean: a; b; c las partes

�a b c2 2 2

125 245 80= =

De la propiedad: ab

cd

a

b

c

d

n

n

n

n= ⇒ =

Tenemos que: a b c

k2 2 2

125 245 80= = =

a b c

k5 5 7 5 4 5

= = =

Por propiedad: a b c

k+ +

+ +=

5 5 7 5 4 5

a b c

k+ + =

16 5

Si a + b + c = 2560 �2560

16 5= k

k = 160

5

Donde:a k a= =FHG

IKJ → =5 5 5 5

160

5800

b k b= =FHG

IKJ → =7 5 7 5

160

51120

c k c= =FHG

IKJ → =4 5 4 5

160

5640

∴ La menor parte será 640

Rpta.. C

200

10 2 3 2= y

→ y = 60

200

10 2 3 2= z

→ z = 100

∴ La mayor parte es 100 Rpta.: C

Resolución 9

Sean: x; y; z las partes repartidas.Si el reparto es en forma inversamente proporcional, tene-mos que:

x·A−1 = y·A−2 = z·A−3 = k

xA

y

A

z

Ak= = =2 3

Donde: x = AK y = A2K z = A3K

Si el menor: x = AK = 930También: y = A·AK → y = 930A

z = A2·AK → z = 930A2

Resolución 10

* Si se ha hecho la mitad de la obra, queda por hacer laotra mitad.

Sabemos que:x + y + z = 6510930 + 930A + 930A2 = 6510930(1 + A + A2) = 6510

A A2 16510930

+ + =

A2 + A + 1 = 7A2 + A − 6 = 0(A + 3)(A − 2) = 0

A + 3 = 0 ∧ A − 2 = 0

A = −3 ∧ A = 2

Si: A = 2

� AK = 2k = 930

K = 465

Si el mayor es: Z = A3K

Z = (2)3(465)

Z = 3720

∴ El mayor recibió S/. 3720 Rpta.: A


Luego: x = =720 25 85 30

960· ··

∴ Se necesitaron 960kg de carne

Rpta.: A

Luego: x = =20

12

15

10 12

30

2

1

· ·

·

∴ Tardarán 30 días Rpta.: D

Resolución 11

��

��

Resolución 15


Rendimiento deun ayudante =

Rendimiento deun albañil

3

Se tiene la relación:

Rend. de unayudante

Rend. de unalbañil

= 13

Donde: Rendimiento de un ayudante = K Rendimiento de un albañil = 3k

Luego:

Luego:

100100

15200100

100100

15 60 15

12 25

2

1

· ·· · ·

·FHG

IKJ +

F

HGG

I

KJJ =

FH

IK

x

15 215 60 15

12 25+ =x

· ··

15 + 2x = 45

x = 15

∴ Deberán contratar 15 obreros más Rpta.: C

xk k

k k=

++

22 6 3

9 2

· b g

xk

k= =22 9

1118

2

1

·

∴ La obra la harán en 18 días Rpta.: D

Resolución 16Sea “x” el número de obreros a contratar.Si la habilidad de los 15 obreros es 100%La habilidad de los “x” obreros será 200%

Y = 15 61·

→��y = 90

∴ Una sola persona cavará en 90 días

Rpta.: E

Resolución 13

Hallamos el # de personas:x + 3 = x · 6

55(x + 3) = 6x5x + 15 = 6x15 = 6x − 5x → x = 15

� n° de personas = 15

Luego:

x = =70

4170

2250

2050 145

· ·

·

∴ Las provisiones durarán 45 días Rpta.: B

Resolución 14


Habilidad de AHabilidad de B

= 513

Entonces: Habilidad de A = 5k Habilidad de B = 13k

xk

k= =280 13

5728

·

∴ Habrá realizado 728m Rpta.: D

Resolución 12

Sea: “x” el número de personas que había inicialmente

��

��

Entonces: 1515 30 10 22 30

10 11 1

2

1

+ =x· · ·

· ·

15 + x = 30 → x = 15

∴ Se emplean 15 obreros más

Rpta.: D

Resolución 18

Sea “N” el número:

� El doble del 60% de N = 2(60% de N)

= 260

100· · N

= 65

· N

Luego:

D.P.

Resolución 17

Si se emplean “x” obreros más, tenemos:

El 30% del 20% de los 25

de N

= 30

10020

10025

× × N = 3125

N

Hallamos el porcentaje:

PorcentajeN

N=

3125

65

100× %

=1

50100× %

∴ Porcentaje = 2% Rpta.: D

Resolución 19


40% del 50% de A = 30% de B

40100

50100

30100

× × ×A B=

2A = 3B

A B= 32

Reemplazando el valor de “A”, obtenemos:

• A B B B+ = FHG

IKJ +3

2

� A B B+ = 52

• 2 7 232

7A B B B+ = FHG

IKJ +

=3B + 7B

� 2A + 7B = 10B

Luego: PorcentajeA BA B

= ++2 7

100× %

PorcentajeB

B=

5210

100× %

∴ Porcentaje = 25% Rpta.: E

Resolución 20


S = 150% de T

150S · T

100=

S T= 32

→ ST

= 32

Donde: S = 3k T = 2k

Luego: PorcentajeS T

T=

+b g× %100

Porcentajek k

k=

+3 2

2100

b g× %

PorcentajeKK

= 52

100× %

∴ Porcentaje = 250% Rpta.: A

Resolución 21 Sea “N” el número:


30% del 20% de los 25

de N

= 24% del 0,01% de 1000

30100

20100

25

24100

0 01100

1000· · ·,

·N =

3125

3125

N =

N = 1

∴ El número es 1 Rpta.: A

��

��

Resolución 26

Sea:b = baseh = alturax = porcentaje que se debe aumentar la altura.

Área inicial = b·h/2

* Si la base disminuye en 50%

�Nuevabase =

b2

Inicialmentetenía = lo que gasté + lo que me

queda

= 280 nuevos soles + 700 nuevos soles

∴ Inicialmente tenía 980 soles

Rpta.: C

Resolución 23 Sea

“N” el número y “x” el porcentaje que disminuye.


60% × 25% × 80% × 50% × 103

N = N − x% de N

60100

25100

80100

50100

103 100

· · · · N Nx

N= −

15

1100

N Nx= −F

HGIKJ

15

1100

= − x

x100

115

= −

x100

45

= → x = 80

∴ Habrá que disminuir en 80%

Rpta.: C

Resolución 24

Total de alumnos = 1500

• n° de hombres: 70% de 1500 = 70

1001500·

� n° de hombres = 1050

• n° de mujeres: 30% de 1500 = 30

1001500·

� n° de mujeres = 450

− Si el n° de mujeres aumenta en 40%

� El nuevo n° de mujeres será:

450 + 40

100·450 = 450 + 180 = 630

− Si el n° de hombres aumenta en 10%

� El nuevo n° de hombres será:

1050 + 10

100· 1050 = 1050 + 105 = 1155

Luego:

El nuevo # de alumnos será: 630 + 1155

� Nuevo n° de alumnos = 1785

El aumento de alumnos es: 1785 − 1500

� Aumento de alumnos = 285

Hallamos, qué porcentaje es 285 de 1500

Porcentaje = 2851500

100× %

Porcentaje = 19%

∴ El total de alumnos aumentó en 19%

Rpta.: D

Resolución 25

Sabemos: Áreadelrectángulo = Base × Altura

Suponiendo: Base = 20 Altura = 5

� Área = 20×5 = 100Re

%presenta el

del áreainicial

100FHG

IKJ

* Si la base aumenta en 30%:

Base = 20 + 30

100·20 = 20 + 6 = 26

* Si la altura disminuye en 20% :

Altura = 5 − 20

100·5 = 5 − 1 = 4

Donde: Área = 26 × 4 = 104 Re

%presenta el

delárea inicial104

FHG

IKJ

Luego:

Variación del área = 104% − 100% = 4%

∴ Aumenta en 4% Rpta.: D

Resolución 22

Me queda lo que no gasté, o sea 700 nuevos soles.

Gasté el 40% de 700

� gasté: 40

100700·

Gasté: 280 nuevos soles

Luego:

��

��

De la figura:

• Área coloreada = área del rectángulo MFGN

=FHG

IKJ

aa

22

2· e j

� Área coloreada = a2

Luego: planteamos la regla de tres directa.

S/. 120 Pv corresponde a S/. 100 Pc

S/. 720 Pv corresponde a x

Donde: xS Pv S Pc

S Pv= /. · /.

/.720 100

120

x = S/. 600Pc

∴ La grabadora le costó S/. 600

Rpta.: D

• Área del cuadrado ABCD = (2a)2

� Área del cuadrado ABCD = 4a2

Luego:

= ×Área coloreadaPorcentaje 100%

Área del cuadradoABCD

Resolución 27

Supuesto: Pc = S/. 100 (+)

g = S/. 20

Pv = S/.120

b h b xh 1

2 4 100⋅ = ⋅ +

2 1100

= + x → x = 100

∴ La altura debe aumentar en 100%

Rpta.: B

* Si la altura aumenta en x%

�Nuevaaltura

= +FHG

IKJh

x1

100

Áreafinal

b xh 1

4 100 = × +

Como el área no varía

Área inicial = Área final

Resolución 28

Del enunciado: M = 5CSabemos que: M = C + I


5C = C + II = 4C

Aplicando la fórmula: I C t= · % ·100

Además: 20% trimestral = 20% × 4 = 80% anual

Luego: 480

100C

C t= · ·

∴ t = 5 años Rpta.: B

Resolución 29


Del gráfico:

* Área coloreada = Área del rectángulo BEGF = b·h

Porcentajea

a=

2

24100× %


Resolución 30


Área coloreada = bh

* Área total = Área del trapecio ABCD

=+2 6

2

b bh

b g·

� Área total = 4bh

Luego:

Porcentaje = Área coloreada

Área total × 100%

=bhbh4

100× %


��

��

CAPÍTULO N° 9

Resolución 1

Según el enunciado, graficamos:

GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE SEGMENTOS. Pág.(405, 406, 407)

Del gráfico: (3x)

3x + x + 4(3x) = 160 4x + 12x = 160

16x = 160

∴ x = 10 Rpta.: C

Del gráfico: AB = y� 3AB = 3y CD = 3BC = 3x

AD = y + x + 3x

� AD = y + 4x

Luego: 3AB + AD = 28 3y+ + (y + 4x) = 28 4y + 4x = 28 4(y + x) = 28 y + x = 7

Si: AC = y + x

∴ AC = 7 Rpta.: A

; 2

Resolución 2


Resolución 3

Según el enunciado, graficamos

Del gráfico: AC = (x + y) + x

� AC = 2x + y

CD = y

BC = x

Luego:

Reemplazamos estos valores en:

AC CDBC

x y y

x− =

+ −6

2

6· ·b g

=+ − =26

26

1

3

x y yx

xx

∴AC CD

BC− =

613·

Rpta.: C

Luego: AE = x + x + 2y + y

� AE = 2x + 3y

También: AB = x

Como: AB + AE = 24

x+(2x + 3y) = 24

� 3x + 3y = 24

3(x + y) = 24

� x + y = 8

Del gráfico: AD = x + x + 2y

AD = 2x + 2y

� AD = 2(x + y)

AD = 2(8)

∴ AD = 16 Rpta.: E

��

Resolución 4


Resolución 5


Del gráfico: AC = 2 + x

BD = x + 5

AD = 2 + x + 5

� AD = x + 7

Como: AC + BD + AD = 56(2 + x) + (x + 5) + (x + 7) = 563x + 14 = 56 3x = 42

� x = 14

Si: AD = x + 7AD = 14 + 7

∴ AD = 21 Rpta.: C

��

��

Sea: M punto medio de ABN punto medio de CD

Del gráfico: BC = 28 - 2xBC = 30 − 2y

� 28 − 2x = 30 − 2y2(14 − x) = 2(15 − y)14 − x = 15 − yy − x = 1 .......................... (I)

Luego: MN = x + (28 − 2x) + y

MN = x + 28 − 2x + y

MN = 28 + (y − x) .......... (II)


MN 28 + (1)

∴ MN = 29 Rpta.: B

Resolución 6


Resolución 7


Del gráfico: AC = x + x + y

� AC = 2x + y

También: BC = y

Luego: AC + BC = 40(2x + y) + y = 402x + 2y = 402(x + y) = 40

� x + y = 20

Del gráfico: MC = x + y

∴ MC = 20 Rpta.: D

Del gráfico: AD = (10 − x) + x + (14 − x)AD = 10 − x + x + 14 − xAD = 24 − x

También: BC = x

Resolución 8

Con los datos, graficamos:

Si: AD = 7·BC24 − x = 7x24 = 8x → x = 3

∴ BC = 3 Rpta.: C

Resolución 9

Con los datos, graficamos:

Sean: M punto medio de ABN punto medio de CD

Luego: MN = x + (24 − 2x) + yMN = x + 24 − 2x + yMN = 24 + y − x

Del gráfico: • BC = 24 − 2x• BC = 30 − 2y

� 24 − 2x = 30 − 2y 2(12 − x) = 2(15 − y) 12 − x = 15 − y y − x = 3

Si: MN = 24 + (y − x)� MN = 24 + (3)

∴ MN = 27 Rpta.: B

Del gráfico: • AC = x + 2x

AC = 3x

• BD = 2x + 3x

BD = 5x

• BC = 2x


MAC BD

BC= +2 2

2

Mx x

x=

+3 5

2

2 2

2b g b g

b g

Mx x

x

x

x= + =9 25

4

34

4

2 2

2

2

2

∴ M = 8,5 Rpta.: A

Resolución 10 Si:

ABBC=2

→ BC = 2AB

ABCD=3

→ CD = 3AB

Según los datos, graficamos:

��

��

NIVEL II

Resolución 1

Con los datos del enunciado, graficamos:

Del gráfico, vemos que: • AD = y + 2x• BC = x − y

Si: AD + BC = 12 (y + 2x) + (x − y) = 12

y + 2x + x − y = 12 3x = 12

∴ x = 4 Rpta.: D

Resolución 11

Según el enunciado graficamos:

• BA = x

• BC = y

Luego: BD BA

BC

x y x

y− =

+ −3

2

3· ·b g

=+ −x y x

y23

= 23

yy

∴BD BA

BC− =

323·

Rpta.: B

Del gráfico: AD = y + x + y

� AD = x + 2y

También: BC = x

Si: AD = 2·BCx + 2y = 2x2y = 2x − x

� 2y = x

Del gráfico: CDBC

yx

yy

= = =2

12

∴CDBC

= 0 5, Rpta.: C

Resolución 12


Luego: • AB = (x + y) + x

� AB = 2x + y

• BC = y

Si: AB − BC = 28(2x + y) − y = 282x + y − y = 282x = 28 → x = 14

∴ FB = 14 Rpta.: E

Resolución 13

Según los datos del enunciado graficamos:

Como: C es punto medio de AD

� AC = CD

Del gráfico: • BD = y + (x + y)

� BD = x + 2y

Como: C es punto medio de AD� AC = CD

Del gráfico: • AC = 4 + x• CD = 10 − x

� 4 + x = 10 − x 2x = 6 x = 3

∴ BC = 3 Rpta.: C

Resolución 15


Del gráfico: • AC = x + 10 BD = 10 + y

Si: AC + BD = 32 (x + 10) + (10 + y) = 32

20 + x + y = 32 x + y = 12

Del gráfico: • AD = x + 10 + y AD = 10 + x + y

AD = 10 + 12

∴ AD = 22 Rpta.: C

��

Resolución 14


Resolución 2

Según el dato, graficamos:

��

��

Como: BM · MD = 7

x · (x + 6) = 7x2 + 6x = 7x2 + 6x − 7 = 0x2 + 6x − 7 = 0

Factorizando, tenemos: (x + 7)(x − 1) = 0

� x = −7 ∧ x = 1

Como: x IN∈ → x = 1

Luego:

Del gráfico: AM = 3 + x� AM = 3 + 1

∴ AM = 4 Rpta.: C

Del gráfico: • AC = x + x + z� AC = 2x + z

• BD = z + y + y� BD = z + 2y

Si: AC + BD = 34

(2x + z) + (z + 2y) = 34 2x + z+ z + 2y = 34

2x + 2z + 2y = 34 2(x + z + y) = 34

� x + z + y = 17

Del gráfico : EF = x + z + y

∴ EF = 17 Rpta.: B

Resolución 3

Según los datos graficamos:

2 2

Del gráfico: • BM = x

• MD = x + 6

Del gráfico: AD = 2k + 3k + 7kAD = 12k

Por dato: AD = 48� 12k = 48

k = 4

Luego: AB = 2k = 2(4)

∴ AB = 8 Rpta.: B

Por dato: AB · BC = 28 2 · x = 28 x = 14

Del gráfico: AC = 2 + x� AC = 2 + 14

∴ AC = 16 Rpta.: D

Resolución 4

Como: AB BC CD

k2 3 7

= = =

� AB = 2k� BC = 3k� CD = 7kCon estos datos graficamos:

Resolución 5


Resolución 6


Del gráfico vemos que:AC = AB + BC → AC = x + BCBD = BC + CDCE = CD + DEDF = DE + EF → DF = DE + y

Reemplazando estos valores, tenemos:AC + BD + CE + DF = 46

(x + BC) + (BC + CD) + (CD + DE) + (DE + y) = 46x + 2BC + 2CD + 2DE + y = 46x + y + 2(BC + CD + DE) = 46

Por dato: BE = 24

Pero: BE = BC + CD + DE

� BC + CD + DE = 24

Reemplazando, tenemos que: x + y + 2(BC + CD + DE) = 46

x + y + 2(24) = 46 x + y + 48 = 46

x + y = −2

Luego: AF = x + 24 + yAF = 24 + (x + y)AF = 24 + (−2)

∴ AF = 22 Rpta.: D

Si: AE = 28 = AB + BE28 = AB + 16AB = 12

Si: AC = 15 = AB + BC15 = 12 + 3x3 = 3x

� x = 1

Resolución 7


��

��

m n m

m nx

−+

=b g

Del gráfico: AC = m + x

Reemplazando el valor de “x”, obtenemos:

AC mm n m

m n= +

−+

b g

ACm n m n m

m n=

+ + −+

b g b g

ACm mn mn m

m n= + + −

+

2 2

∴ ACm n

m n=

+2 ·

Rpta.: C

Resolución 12


Del gráfico: • BD = y +(x + y)

BD = x + 2y

• AB = x

Si: BD − AB = 4

(x + 2y) − x = 4

x + 2y − x = 4

2y = 4 → y = 2

Del gráfico: BC = y

∴ BC = 2 Rpta.: D

Resolución 11


Del gráfico: MN = 15 + 3

� MN = 18

También: NB = 3

Luego:MNNB

= =183

6 Rpta.: A

Del gráfico: AD = 6x ∧ BC = x

Luego: AD = AB + BC + CDAD = BC + AB + CD6x = x + AB + CD5x = AB + CD

Por dato: AB + CD = 40� 5x = 40

x = 8

Como: AD = 6x = 6(8)

∴ AD = 48 Rpta.: D

Del gráfico: • AC = x + y• AB = x• BC = y

Si: BE = 16 = BC + CD + DE16 = 3x + CD + x16 = 4x + CD16 − 4x = CD

Como: x = 1, tenemos:

CD = 16 − 4(1)

∴ CD = 12 Rpta.: A

Según datos: 2(AC + BC) = 3CD2(b + b − a) = 3c

�4b 2a

c3

−=

De acuerdo al gráfico:

AD bb a= + −4 2

3

∴ ADb a= −7 2

3Rpta.: C

Del gráfico, vemos que:n − m = x + y ............................. (I)

Por dato: AB· CD = BC·AD� m·y = x·n

Despejamos “y” : yxnm

= ...................... (II)


n − m = xxnm

+

n − m = xnm

1+FHG

IKJ

n − m = xm n

m+F

HGIKJ

Resolución 10


Resolución 9

Según los datos se grafica:

Resolución 8


Resolución 13


��

��

Resolución 14


Si: 3(AC + AB)= 4BC 3((x+ y) + x) = 4y 3(2x + y) = 4y 6x + 3y = 4y

6x = y

Luego:ABBC

xy

xx

= =6

∴ABBC

= 16

Rpta.: C

Si: AC = AB + BC

AC = 2x + BC

Luego: 3AC − BC = 20 3(2x + BC) − BC = 20 6x + 3BC − BC = 20 6x + 2BC = 20 2(3x + BC) = 2·10 3x + BC = 10

BC = 10 − 3x

Resolución 15


Del gráfico: AD = 4 + 2 + x� AD = 6 + x

También: CD = x

Como: AB·CD = AD·BC

4 6 22 1· ( ) ·x x= +

2x = 6 + x

x = 6

Si: AD = 6 + x = 6 + 6

∴ AD = 12 Rpta.: B

Del gráfico: AD = 2x + BC + xAD = 2x + (10 − 3x) + xAD = 3x + 10 − 3x

∴ AD = 10 Rpta.: B

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE ÁNGULOS. Pág.(422, 423, 424)

NIVEL I

Resolución 1

Como los ángulos son complementarios, hallamos el com-plemento de 38° 24´ 52´´

* Complemento de 38°24´52´´ = 90° − 38°24’52’’

* Complemento de 38°24’52’’ = 51°35’8’’

∴ El otro es 51°35’8’’ Rpta.: A

Resolución 2 Sea el ángulo: x°

� Complemento de x° = 90° − x°

Suplemento del complemento de (90° − x°) =180° − (90° − x°)

Según los datos, tenemos que:

180° − (90° − x°) = 124°34’20’’

180° - 90° + x° = 124°34’20’’

90° + x° = 124°34’20’’

x° = 124°34’20’’ – 90°

∴ x° = 34°34’20’’ Rpta.: B

Resolución 3 Tenemos:

105° 15’ 25’’ − 75° 42’ 37’’

no se puede

La expresión se puede escribir de la siguiente manera:

104° 74´ 85´´75° 42´ 37´´

29° 32´ 48´´

Rpta.: B

Resolución 4 Sea el ángulo: x°

� Complemento de x = 90° – x°, tenemos que: x° = 8·(90° − x°) x° = 720° − 8x°9x° = 720°

x° = 80°

Luego:

Suplemento de 80° = 180° − 80°

∴ Suplemento de 80° = 100°

Rpta.: D

��

��

Resolución 9

De la figura: α + β + θ = 150° ............... (I)

Del dato: m∠) AOC + m∠) BOD = 200°(α + β) + (β + θ) = 200°α + β + θ+ β = 200°(α + β + θ) + β = 200° ..... (II)

Reemplazando (I) en (II) obtenemos:150° + β = 200°

β = 50°

∴ m∠) BOC = 50° Rpta.: C

Resolución 5

Resolución 8

De la figura:α + α + β + β = 130°2α + 2β = 130°2(α + β) = 130°

α + β = 65°

Sea: OM bisectriz del ángulo AOBON bisectriz del ángulo BOC

Luego:Nos piden: m� MON = α + b

∴ m� MON = 65° Rpta.: C

Resolución 6

* m� AOC = 180° (ángulo llano)

* OM es bisectriz del ángulo BOC

De la figura:

m� AOM = m � AOB + m� BOMm� AOM = 150° + 15°

∴ m� AOM = 165° Rpta.: A

Resolución 7

Si: ON es bisectriz del ángulo AOC

Del dato: M� AOB - m� BOC = 34°(α + β) − (α − β) = 34°α + β − α + β = 34°

2β = 34° β = 17°

∴ m� NOB = 17° Rpta.: D

Del dato: m� AOC + m� BOD = 200°(α + β) + (β + φ) = 200°

2β + α + φ = 200° ............(I)

Del dato: m BOC m AOD∠ = ∠) · )37

β α β φ= + +37b g

7β = 3(α + β + φ)7β = 3α + 3β + 3φ4β = 3α + 3φ4β= 3(α + φ)

43

β α φ= + .................... (II)


42 200

3β + β = °

6 4200

3β + β = °

10β = 600°

β = 60°

Reemplazando el valor β = 60° en (II):

43

60° = +b g α φ

80° = α + φLuego:

m∠) AOD = m∠) AOB + m∠) BOC + m∠) COD

m∠) AOD = α + β + φ

m∠) AOD = β + (α + φ)

m∠) AOD = 60° + 80°

∴ m∠) AOD = 140° Rpta.: E

��

��

Resolución 11

Trazamos la recta L2 paralela a las rectasL1 y L

De la figura: • M es bisectriz del ángulo AOB

• N es bisectriz del ángulo COD

Como: m∠) MON = 90°� α + β + φ = 90°

De la figura:

m∠) AOC + m∠) BOD = (α + α + β)+ (β + θ+ θ) = 2α + β + β + 2θ = 2α + 2β + 2φ =2(α + β + θ) =2(90°)

∴ m∠) AOC + m∠) BOD = 180° Rpta.: E

De la figura:32

90φ φ+ = °

3 22

90φ φ+ = °

5φ = 90°·25φ = 180° → φ = 36°

De la figura: x + φ = 180°

x + 36° = 180°

∴ x = 144° Rpta.: C

�

Resolución 10

Resolución 12

Usando ángulos conjugados internos entre L1 y L2 , tene-mos que:

140° + φ = 180°

φ = 40°

Usando ángulos conjugados internos entre L y L2, tene-mos que:

x + 2φ = 180°

Reemplazando el valor: φ = 40°x + 2(40°) = 180°x + 80° = 180°

∴ x = 100° Rpta.: B

Resolución 13

En la figura, ubicamos el punto “O” y trazamos una rectaL2, paralela a L y L1 y que pase por “O”

Luego, trasladamos todas las rectas, de tal forma que to-das pasen por “O”.

De la figura: x + 2x + 3x + 4x = 180° 10x = 180°

∴ x = 18° Rpta.: C

Trazamos la rectas L2 y L3 , paralelas a lasrectas L1 y L.� α + β = y ..................................... (I)� φ + θ = x ..................................... (II)

• Usando ángulos alternos internos entre � �

L y L2

α = 25°

• Usando ángulos alternos internos entre � �

L y L2 1

β = 30°

Reemplazando en (I), obtenemos:

25° + 30° = y

� y = 55°

• Usando ángulos conjugados internos

entre � �

L y L3 :

120 + φ = 180° φ = 60°

• Usando ángulos conjugados inter-

nos entre � �

L y L3 1 :

φ + 130° = 180°φ = 50°

Reemplazando en (II), obtenemos:

60° + 50° = x

� x = 110°

Resolución 14

Luego:xy

= °°

11055

∴xy

= 2 Rpta.: B

��

��

� ��

� ��

Si: • OM es bisectriz del ángulo AOB

• ON es bisectriz del ángulo COD

De la figura: m∠) BOD = 90°

m∠) BOD = x + 2θ� x + 2θ = 90° ................................ (I)

De la figura: m∠) AOC = 90°

m∠) AOC = 2α + x

� 2α+ x = 90° ................................ (II)

Sumando (I) + (II), obtenemos:

x + 2θ = 90° (+) 2α + x = 90°

x + 2θ + 2α+ x = 180°

UVW

De la figura:

m∠) BOC = m∠) BOD − m∠) COD

m∠) BOC = 170° − 20°

∴ m∠) BOC = 150° Rpta.: D

� ��

α

→

→

Resolución 2

De acuerdo a la figura:

* m∠) AOD = m∠) AOC + m∠) COD

180° = 152° + m∠) COD

m∠) COD = 180° − 152°

m∠) COD = 28°

* m∠) BOD = m∠) BOC + m∠) COD

48° = m∠) BOC + 28°

∴ m∠) BOC = 20° Rpta.: C

2x + 2θ + 2α = 180°2(x + θ + α) = 180°x + θ + α = 90°

De la figura: m∠) MON = α + x + θ

∴ m∠) MON = 90° Rpta.: D

Resolución 4

Trazamos la recta �

L2

paralela a las rectas L y L1

• Usando ángulos correspondientes

entre � �

L y L2

:

α = x .............................. (I)

• Usando ángulos conjugados internos

entre � �

L y L2 1

:

β + 4x = 180°

β = 180° − 4x ................ (II)

De la figura: α + β = 150° ................. (III)

Reemplazando (I) y (II) en (III), obtenemos:

x + (180° − 4x) = 150° 180° − 3x = 150° 180° − 150° = 3x 30° = 3x

∴ x = 10° Rpta.: D

NIVEL II

Resolución 1

A = 180° −[86°35’25’’ − 25°59’45’’] : 5A = 180° − [85°94’85’’ − 25°59’45’’] : 5A = 180° − [60°35’40’’] : 5

A = 180° − [60°35’40’’] : 5A = 180° − 12°7’8’’A = 179°59’60’’ − 12°7’8’’

∴ A = 167°52’52’’ Rpta.: A

Resolución 15 Resolución 3 Si:

Resolución 5

��

��

OC es bisectriz del ángulo BOD

De la figura: m∠) AOD = 20° + α + αm∠) AOD = 20° + 2α ........ (I)

Del dato: m∠) AOD = 80° ............... (II)

De (I) y (II) obtenemos:

20° + 2α = 80° 2α = 60° → α = 30°

De la figura: m∠) AOC = 20° + α

m∠) AOC = 20° + 30°

∴ m∠) AOC = 50° Rpta.: D

Resolución 6

Del dato:

m∠) AOB · m∠) BOD = m∠) AOC · m∠) COD

Reemplazando los datos de la figura, obtenemos:x·(α + 28°) = (x + α)28°x·α + 28°x = 28°x + 28°α x·α = 28°α∴ x = 28° Rpta.: B

Resolución 7 Sea “x” el ángulo.

Luego: Complemento de x = 90° - xSuplemento de x = 180° - x

Según el enunciado del problema, se plantea lo siguiente:

x x x− ° − = ° −9014

180b g b g·

x xx− ° + = ° −

90180

4

2 90180

4x

x− ° = ° −

4(2x − 90°) = 180° − x 8x − 360° = 180° − x 9x = 540°

∴ x = 60° Rpta.: D

Según el enunciado del problema, tenemos:Suplemento de 2x = 180 − 2x� x + 30° = 180° − 2x

x + 2x = 180° − 30° 3x = 150°

∴ x = 50° Rpta.: A

Resolución 8

Resolución 9

OM es bisectriz del ángulo AOB

ON es bisectriz del ángulo COD

De la figura: m∠) MON = x + z + y

Del dato: m∠) MON = φ� x + z + y = φ

De la figura: m∠) AOC = 2x + z

m∠) BOD = z + 2y

Del dato m∠) AOC − m∠) BOD = θReemplazando los valores de la figura, tenemos:

(2x + z) − (z + 2y) = θ2x + z − z − 2y = θ2x − 2y = θ2(x − y) = θ

� x y− = θ2

................................... (I)

Si: x + z + y = φx + z = φ − y

Le sumamos “x” a ambos lados de la igualdad:

x + x + z = φ − y + x� 2x + z = φ + (x − y) ...................... (II)


2x + z = φ + θ2

De la figura: m∠) AOC = x + x + z

m∠) AOC = 2x + z

∴ m∠) AOC = φ + θ2

Rpta.: A

→

→

Resolución 10

��

��

Resolución 13

Usando ángulos conjugados internos entre L y L1, tene-mos que:

110° + φ = 180°� φ = 70°

De la figura, sumamos los ángulos internos del cuadriláte-ro formado:

2φ + 110° + φ + x = 360°3φ + 110 + x = 360°3φ + x = 250° , pero: φ = 70°

� 3(70°)+ x = 250°210° + x = 250°

∴ x = 40° Rpta.: B

(4φ + 20°) + (3φ − 15°) = 180°7φ + 5° = 180° 7φ = 175°

φ = 25°

De la figura: x + (4φ+ 20°) = 180°x + 4φ + 20° = 180°x + 4φ = 160°

De la figura, se tiene:

OM es bisectriz del ángulo AOB

ON es bisectriz del ángulo COD

De la figura: m∠) AOC = 2α + βm∠) BOD = β + 2θ

Del dato: m∠) AOC = m∠) BOD2α + β = β + 2θ2α = 2θ

� α = θ

También: m∠) AOC = 70°

2α + β = 70° .................... (I)

De la figura: m∠) MON = α + β + θPero: α = θ

� m∠) MON = α + β + αm∠) MON = 2α + β

De (I) tenemos que:

m∠) MON = 2α + β = 70°

∴ m∠) MON = 70° Rpta.: C

Resolución 11

� ��

L2 y L3 son paralelas, ya que “α” es un ángulo correspon-diente

Como: L2 y L3 son paralelas,ubicamos “x” en la figura.(Porángulos correspondientes)

Como: L y L1 son paralelas, ubicamos “φ” en la figura. (Porángulos correspondientes)

Donde: x + θ + 180° − φ = 180°x = 180 + φ − 180 − θ

∴ x = φ − θ Rpta.: D

De la figura: como hay dos ángulos con-jugados internos que valen 90°, entonces las rectas L1 yL2 son pararlelas.

Usando ángulos correspondientes entre L1 y L2, vemosque: α = θDe la figura:

φ + 90° + α + 90° = 360°φ + α + 180° = 360°φ + α = 180°

φ + θ = 180° ................................ (I)

Por dato: φ = 3x + 5° (II)

θ = 6x + 10°


(3x + 5°) + (6x + 10°) = 180°9x + 15° = 180° 9x = 165°

� 3x = 55°

Si: φ = 3x + 5°

φ = 55° + 5°

∴ φ = 60° Rpta.: D

�

UV|W|

→

→

Resolución 12

Resolución 14

Usando ángulos conjugados internos, tenemos que:

��

��

�

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE TRIÁNGULOS. Pág.(433, 434, 435)

NIVEL I

Resolución 1

Por propiedad:m∠) A + m∠) B + m∠) C = 180°

82°24’54’’ + 34°56’18’’ + x = 180°

116°80’72’’ + x = 180°

117°21’12’’ + x = 180°

∴ x = 62°38’48’’ Rpta.: C

Resolución 2

Aplicando la propiedadque un lado es menorque la suma y mayorque la diferencia de losotros dos lados.

6 − 5 < x < 6 + 5

1 < x < 11

Analizando el conjunto solución en larecta numérica, obtenemos:

Entonces: xmenor = 2 Rpta.: B

Resolución 15

Usando ángulos conjugados internos tenemos que:60° + 2θ = 180° 2θ = 120°

θ = 60°

Pero: φ = 25°� x + 4(25°) = 160°

x + 100° = 160°

∴ x = 60° Rpta.: C

También: θ +70° + x = 180°

60° + 70° + x = 180°x = 180° − 70° − 60°

∴ x = 50° Rpta.: A

Resolución 3

Sea el triángulo Isósceles ABC

Donde:

AB = BC → m∠) A = m∠) C

Por propiedad:m∠) A + m∠) B + m∠) C = 180°α + 90° + α = 180°

2α = 90°∴ α = 45° Rpta.: D

Aplicando la propiedad:

Un lado es menor que lasuma y mayor que la diferen-cia de los otros dos lados.

� 4 − 3 < x < 4 + 3 1 < x < 7

Analizando el conjunto solución, tenemos que:

8 1 7∈ ;

∴ x = 6 Rpta.: A

Resolución 4

Por dato: el tercer lado deberá ser 6 ó 8

Usando ángulo exterior de un triángulo.

En el ∆ EDC.

y = m∠) D + m∠) C

y = 15° + 20°

� y = 35°

Resolución 5

Usando el ángulo exterior de un triángulo.

En el ∆ ABE:

x = m∠) E + m∠) Bx = y + 30°x = 35° + 30°

∴ x = 65° Rpta.: D

��

��

Reemplazando el valor y = 5 en (II), obtenemos:x = 2(5) − 6 = 10 − 6x = 4

Luego: x yy x

+−

= +−

=4 55 4

91

∴x yy x

+−

= 9 Rpta.: E

En un triángulo rectángulo, un cateto es menor que lahipotenusa, entonces en la figura vemos:

BH < 8 (+)

BH < 10

2BH < 18

BH < 9

Usando ángulo exterior de un triángulo

En el triángulo BCD:112° = m∠) B + m∠) D112° = φ + θ ............................... (I)

Usando el triángulo ABD:

2θ = m∠) A + m∠) B2θ = x + (180° − 2φ)2θ − (180° − 2φ) = x2θ − 180° + 2φ = x

2(θ + φ) − 180° = x .................... (II)

Reemplazando (I) en (II) obtenemos:

2(112°) − 180° = x224° − 180° = x

∴ x = 44° Rpta.: D

Resolución 9

Resolución 10

UVW

∴ BH mayor = 7

En el ∆ ABC:

AB = BC

� α = 40°

En el ∆ ABC:

• Suma de ángulos internos = 180°

� 74° + 2φ +2β = 180° 2φ + 2β = 106° 2(φ + β) = 106°

φ + β = 53° ................... (I)

En le ∆ DBC:

• Suma de ángulos internos = 180°x + β + φ = 180°x = 180° − φ − βx = 180° − (φ + β) ...................... (II)

Reemplazando (I) en (II) obtenemos:

x = 180° − (53°)

∴ x = 127° Rpta.: B

Resolución 7

Como el triángulo es equilátero,sus treslados son iguales.

� 2x + 3y − 17 = 62x + 3y = 23 ............................... (I)

� 6 = 2y − xx = 2y − 6 .................................. (II)

Reemplazando (II) en (I) obtenemos:2(2y − 6) + 3y= 23 4y − 12 + 3y = 23

7y = 35 y = 5

Resolución 6

Resolución 8

��

��

Luego, tenemos:

En el ∆ ABC:Suma de ángulos internos = 180°� 40° + 40° + (60° + β) = 180°

140° + β = 180° β = 40°

En el ∆ BEC:Usando ángulos exteriores del triángulo:

θ = β + 40°θ = 40° + 40° → θ = 80°

En el ∆ EDCSuma de ángulos internos = 180°� θ + 70° + x = 180°

80° + 70° + x = 180° 150° + x = 180°

x = 30°

Luego: m∠) C = x + 40°m∠) C = 30° + 40°

� m∠) C = 70°

Del ∆ DBC:Como:

m∠) D = m∠) C

� BD = BC = 9

∴ BD = 9 Rpta.: B

En el ∆ BEC:

Usando ángulos exteriores del triángulo:φ = 60° + α ................................. (I)

En el ∆ BDA:Usando ángulos exteriores del triángulo:

θ = 40° + α ................................ (II)Remplazamos (I) y (II) en “φ − θ”:

φ − θ = (60° + α) − (40° + α) = 60° + α − 40° − α

∴ φ − θ = 20° Rpta.: B

Resolución 11

Resolución 12

Como el ∆ ABC esIsósceles:� AB = BC

� m∠) A = m∠) Cα = 36° + 36°α = 72°

En el ∆ ABC:

Suma de ángulos internos = 180°m∠) A + m∠) B + m∠) C= 180°

α + θ + 72° = 180° 72° + θ + 72° = 180°

θ = 36°

En el ∆ BFC:

m∠) FBC = m∠) BCF� FB = FC

En el ∆ AFC:

Suma de ángulos internos = 180°� α + β + 36° = 180°

72° + β + 36° = 180° 108° + β = 180°

β = 72°

Como: m∠) FAC = m∠) AFC� AC = FC = 14

Como: FC = FB

∴ FB = 14 Rpta.: E

En el ∆ ADC:


m∠) A + m∠) D + m∠) C = 180°

2x + 90° + m∠) C = 180°

m∠) C = 90° − 2x

Resolución 13

En el ∆ EFC


m∠) E + m∠) F + m∠) C = 180°(180° − 3x) + 90° + (90° − 2x) = 180°360° − 5x = 180°180° = 5x

∴ x = 36° Rpta.: D

��

��

En el ∆ABE:

− Usando ángulos exteriores del triángulo:α + β = θ .................................... (I)

En el ∆CED:

− Usando ángulos exteriores del triángulo:θ + φ = z .................................... (II)

Reemplazando (I) en (II):(α + β) + φ = z .......................... (III)

Reemplazando los valores de “α”; “β” y “φ” en la ecuación(III):(180° − x) + (180° − y) + (180° − w) = z

540° − x − y − w = z540° = z + w + y + z

∴ x + y + z + w = 540° Rpta.: D

En el triángulo rectángulo FEB:

m∠) F + m∠) B = 90° 40° + θ = 90°� θ = 90° − 40°

θ = 50°

Del ángulo llano D , tenemos que:y + θ + 2φ = 180°

� y = 180° − θ − 2φEn el ∆ ABD:

• Usamos ángulos exteriores del triángulo

� x + y = φ + 2θx + (180° − θ − 2φ) = φ + 2θx + 180° − θ − 2φ = φ + 2θx + 180° = 3φ + 3θx + 180° = 3(φ + θ)

x + ° = +1803

φ θ ........................ (I)

En el ∆ BCD:


� φ + θ + 3x = 180° ...................... (II)


xx

+ ° + = °1803

3 180

En el ∆ BAD:

• Usamos ángulos exteriores del triángulo(3φ + φ) + x = (3θ + θ) 4φ + x = 4θ

x = 4θ − 4φ x = 4(θ − φ) ............. (I)

En el ∆ ABC:

• Usamos ángulos exteriores del triángulo: 3φ + 30° = 3θ3(φ + 10°) = 3θ φ + 10° = θ 10° = θ − φ .................... (II)

Reemplazando (II) en (I), obtenemos:x = 4(10°)

∴ x = 40° Rpta.: B

Resolución 15

• En el ángulo llano “A”: x + α = 180°

�� α = 180° − x

• En el ángulo llano “B”: y + β = 180°

�� β = 180° − y

• En el ángulo llano “D” : w + φ = 180°

�� φ = 180° − w

φ

Resolución 14

NIVEL II

Resolución 1

x x+ ° + = °180 93

180

10x + 180° = 540° 10x = 360°∴ x = 36° Rpta.: D

Resolución 2

��

��

Resolución 3

Como el ∆ ACD es rectángulo recto en D, tenemos que:

m∠) A + m∠) C = 90°� 45° + β = 90°

β = 45°

Vemos que: m∠) A = m∠) C = 45°

Entonces el ∆ ACD es Isósceles:� AD = DC

Como el ∆ ABD es equilátero, tenemos que:AB = AD = DB

En todo triángulo equilátero sus ángulos miden 60°,entonces vemos que:

φ + 45° = 60° φ = 15°

En el ∆ BCD:• Sabemos que: DB = AD

AD = DC� DB = DC

Entonces, el ∆BCD es IsóscelesComo: DB = DC� θ = α + β ; β = 45°

θ = α + 45° ................................ (I)

En el ∆ ABC:− Usando ángulos exteriores del triángulo:

α + φ = x ; θ = 15°α + 15° = xα = x − 15° ................................ (II)

Reemplazando (II) en (I), obtenemos:θ = (x − 15°) +45°θ = x + 30°

Luego:En el ángulo llano: “B”:

x + 60° + θ = 180°

x + 60° + (x + 30°) = 180°2x + 90° = 180° 2x = 90°∴ x = 45° Rpta.: C

En el ∆ ABC:

− Usando ángulos exteriores del triángulo:m∠) A + m∠) B = 3x(x + 12°) + θ = 3x

Como: θ = 50°(x + 12°) + 50° = 3x

x + 62° = 3x 62° = 2x

∴ x = 31° Rpta.: C

Resolución 4

En el ángulo llano “A” :132° + α = 180°� α = 48°

En el ∆ AED :

Suma de ángulos internos = 180°� α + β + 100° = 180°

48° + β + 100 = 180°β = 180° − 100° − 48°

� β = 32°

Luego:

• Por ser ángulos opuestos por el vértice:

m∠) AED = m∠) BEC = βEn el ∆ EBC:

− Usando ángulos exteriores del triángulo:

x + β = 3x

x + 32° = 3x 32° = 3x − x 32° = 2x

∴ x = 16° Rpta.: A

Resolución 5

�

�

* En el ∆ ABD:

• Suma de ángulos internos = 180°2φ + 90° +56° = 180°2φ = 180° − 90° − 56°2φ = 34°

φ = 17°

En el ∆ ACD:


φ + x + 56° = 180°

17° + x + 56° = 180° x = 180° − 56° − 17

∴ x = 107° Rpta.: D

�

��

��

Resolución 7

• En el ∆ ABC:AB = BC

� m∠) A = m∠) Cα + θ = β


(α + θ) + 40° + β = 180°

(α + θ) + 40° + (α + θ) = 180°2α + 2θ + 40° = 180°

2α + 72° + 40° = 180°2α = 68°

α = 34°

• En el ∆ ABE:

Utilizamos ángulos exteriores del triángulo:α + 40° = x34° + 40° = x

∴ x = 74° Rpta.: CComo: ∆ EBC es rectángulo → m∠) Β= 90°

Suma de ángulos internos = 180°� θ + 2θ + 90° = 180°

3θ + 90° = 180° 3θ = 90° θ = 30°

• En el vértice “E” :

Por ser ángulos opuestos por el vértice,tenemos que:

β = θ → β = 30°

• En el vértice “A” :

Por ser ángulos opuestos por el vértice,tenemos que:

α = 82°

• En el ∆ ADC

θ + θ = 72°

2θ = 72°

β

− En el ángulo llano “D” :α + 106° = 180°

α = 74°

− En el ∆ AED:

• Suma de ángulos internos = 180°60° + α + β = 180°

60° + 74° + β = 180°β = 180° − 74° − 60°

� β = 46°

− En el ángulo llano “E” :

β + 78° + θ = 180°

46° + 78°+ θ = 180°θ = 180° – 78° – 46°

�� θ = 56°

− En el ∆EBF


θ + 60° + x = 180°

56° + 60° + x = 180° x = 180° − 60° − 56°

∴ x = 64° Rpta.: B

0

0

0

Resolución 6

Resolución 8

• En el ∆ADE

Suma de ángulos internos: 180°x + α + β = 180°x + 82° +30° = 180°x = 180° − 82° − 30°

∴ x = 68° Rpta.: E

Resolución 9

��

��

• En el ∆ ADB(triángulo rectángulo):

* Suma de ángulos internos = 180°(2φ + 6°) + φ + 90° = 180°

3φ + 96° = 180° 3φ = 84° φ = 28°

• En el ∆AFC :

* Usando ángulos exteriores del triángulo:

m∠) A + m∠) F = x(2φ + 6°) + 3φ = x5φ + 6° = x

Si: φ = 28°x = 5(28°) + 6°x = 140° + 6°

∴ x = 146° Rpta.: D

Resolución 10

Como el triángulo ABC es Isósceles y rectángulo,entonces sus ángulos agudos miden 45° cada uno.

• En el ángulo llano “A”58° + 45° + θ = 180°103 + θ = 180°

� ��θ = 77°

Como: L L//1

“x” y “θ” son correspondientes, entonces son congruen-tes:� x = θ∴ x = 77° Rpta.: A

Si los ángulos “θ” y “x” son ángulos opuestos por elvértice, tenemos que:

x = θ• En el ∆ DEA:

Usando ángulos exteriores del triángulo:α + θ = β

α + x = β

�

Resolución 11

Como en el ∆ ABC

AC = BC

� m∠) A = m∠) B = βEn el ángulo llano “D”

142° + α + = 180°

� α = 38°

Si: β = α + x

� β = 38° + x ................................. (I)

• En el ∆ ABC :

* Suma de ángulos internos = 180°β + β + (x + 2°) = 180°

� 2β + x = 178° ............................ (II)

Reemplazando (I) en (II) obtenemos:2(38° + x) + x = 178° 76° + 2x + x = 178°

3x = 102°∴ x = 34° Rpta.: D

• En al ∆ ABD :

Si: AB = BD

� m∠) A = m∠) D = w

• En el ∆ AEB:

* Usando ángulos exteriores del triángulow + φ = z

• En el ∆ BDC :

* Usando ángulos exteriores del triángulox + θ = w

Como m∠) EBC = 90°� y + θ = 90°

y = 90° − θ

• En el ∆ EBD :

* Suma de ángulos internos = 180°z + y + w = 180°

Reemplazando los valores de “z”; “w”; “y”obtenemos:

(w + φ) + (90° − θ) + (x + θ) = 180°

x + θ + φ + 90° − θ + x + θ = 180°

2x + φ + θ + 90° = 180°

Resolución 12

��

��


(75° − φ) + (φ + 40°) = x

75° − φ + φ + 40° = x

∴ x = 115° Rpta.:B

Aplicando la propiedad:Un lado es menor que la suma de los otros dos lados yes mayor que la diferencia de los otros dos lados.

� 10 − 4 < x < 10 + 4

6 < x < 14

xpares = {8; 10; 12}

∴ Máximo xpar = 12 Rpta.: D

Por dato: φ + θ = 22°

� 2x + 22° + 90° = 180° 2x + 112° = 180°

2x = 68°∴ x = 34° Rpta.: C

Resolución 13

Resolución 14

• En el vértice “G”

* Por se ángulos opuestos por el vértice

m∠) BGA = m∠) FGE = α

• En el vértice “F”

* Por ser ángulos opuestos por el vértice:

m∠) CFD = m∠) GFE = β

• En el ∆ EFG:

* Usando ángulos exteriores del triángulo:α + β = v .................................... (I)

• En el ∆ ABG

* Suma de ángulos internos = 180°x + y + α = 180°α = 180° − x − y ........................ (II)

En el ∆FCD

* Suma de ángulos internos = 180°

z + w + α = 180°

β = 180° − z − w ....................... (III)

Reemplazando (II) y (III) en (I):

(180° − x − y) + (180° − z − w) = v

360° − x − y − z − w = v

∴ 360° = v + w + z + y + x

Rpta.: C

• En el ∆ APQ:

Como: AP = PQ

� m∠) PAQ = m∠) PQA = α

En el ∆ ABE:

* Usando ángulos exteriores del triángulo:

m∠) A + m∠) B = α25° + (50° − φ) = α

75° − φ = α ..................... (I)• En el ∆ CED:

* Usando ángulos exteriores del triángulo

m∠) E + m∠) D = x

α + (φ + 40°) = x ....................... (II)

BResolución 15

• En el ∆ QRC:

Como: QR = RC

� m∠) RQC = m∠) RCQ = β• En el ABC (triángulo rectángulo):

α + β = 90° ................................. (I)

• En el ángulo llano “Q”

α + x + β = 180°x + (α + β) = 180° ......................(II)


x + (90°) = 180°

∴ x = 90° Rpta.: D

Resolución 16

��

��

CAPÍTULO N° 10

CONVERSIONES DE UNIDADES Y FÓRMULAS GEOMÉTRICAS .

Pág.(466, 467, 468)

NIVEL I

Resolución 1

12 km · =5

510 cm12. 10 cm

1km

Resolución 2

16 Mm2 = 16 (103 km)2

= 16 · 106 km2 Rpta.: A

Rpta.: C

Resolución 3

8 m3 = 8(10-2 hm)3

= 8 × 10 -6 km2 Rpta.: C

Resolución 4

* Área del triángulo ×= b h2

* Área del AED ×= = 28 5

20 cm2

Rpta.: E

Resolución 5

* Área del rombo ×= D d2

* D = Diagonal mayor

* d = Diagonal menor

Dato:

D = 28 cm

d = D/4 = 28/4 = 7 cm

∴ Área del Rombo = × = 228 7

98 cm2

Rpta.: B

Resolución 6

Dato:

perímetro del = 4 � = 24 cm

→ � = 6 cm

Área del AED ×= =6 6

18 cm2

2 Rpta.: D

Resolución 7

* Volumen del cubo = a3

* a = arista

Dato: a = 3 cm

→ V = (3 cm)3 = 27 cm3 Rpta.: C

Resolución 8

Vol. del prisma ( )Á ×

rea de laalturabase

Dato:

Base: triángulo equilátero de lado 2 cm altura = 5 cm.

→ Área de la base = × =

222 3

3 cm4

∴ V = ( )( ) =2 33 cm 5 cm 5 3 cm Rpta.: B

6

Resolución 9

Sabemos:

Vól. de la piramide( )Á

× =

rea de laalturabase

3

Dato:lado del cuadrado = 9 cm

altura = ⋅ =19 cm 3cm

3

∴ Vol. = ( ) ×

=2

9 cm 3 cm81cm

33 Rpta.: A

Resolución 10

De un cilindro de revolución sabemos que:r = 3 cm

h = 2r = 6 cm

Además:AL = 2π r · h

∴ AL= 2π · 3 · 6 = 36π cm2 Rpta.: D

��

��

NIVEL II

Resolución 1

⋅ =5

210 cm0,125 km 125.10 cm

1km Rpta.: B

Resolución 2

5 km 4 hm en m

→ 5 000 m + 400 m = 5 400 m Rpta.: D

Resolución 3

Dato:

lado de un cuadrado = 4 m 5dm

= 4m + 5×10-1 m

= 4, 5m

Piden: perímetro del cuadrado = 4 (4,5 m)

P. del cuadrado = ⋅100 cm18 m

1 m

∴ P del cuadrado = 1 800 cm Rpta.: A

Resolución 4

Sabemos que:1 ca = 1 m2

Dato: 1 m2 → S/.28➠ 1ca → S/.28

32ca → x

⋅= S / .28 32 cax

1ca

x = S/.896 Rpta.: C

Resolución 5

500 dm2 = 500(10-1m)2

= 500 · 10-2 m2

= 5 · 102 · 10-2 · m2

500 dm2 = 5 m2 Rpta.: E

Resolución 6

240 mm2 + mm2 = 264 · 10-6m2

240 . 10-6m2 + 10-6m2 = 264 · 10-6m2

10-6m2 = 24 · 10-6m2

∴ = 24 Rpta.: D

Resolución 7

Sabemos: 1 ha = 10 000 m2

1 m2 = 10-4 ha

−

−⋅ = ×4

2 22

10 ha900 m 9 10 ha

1mRpta.: B

Resolución 8

(85 m3) · 4 + (15 m3) · 6

340 m3 + 90 m3 = 430 m3 Rpta.: B

Resolución 9

3 · (3km3) + 2 · = 15 · 109m3

3 · 3(103m)3 + 2 · =15 · 109m3

9 · 109m3 + 2 = 15 · 109m3

2 = 15 · 109m3 – 9 · 109m3

2 = 6 · 109m3

∴ = 3 · 109m3 Rpta.: C

Resolución 10

Sabemos:

Área del rectángulo = � × a

Dato: � = 30 cm

= ⋅ = ⋅ =�2 2

a 30 20 cm3 3

Me piden:

Área = 30 cm × 20 cm = 600 cm2 Rpta.: D

Resolución 11

Dato:A = 40 cm2

b = 10 cm

h = ?

Sabemos que:

×= b hA

2

→ ( )=2 10 cm h

40 cm2

8 cm = h Rpta.: C

Resolución 12

Dato:

Perímetro de un cuadrado = 4 � = 32 cm

→ � = 8 cm

Me piden: Área = � 2 = (8 cm)2 = 64 cm2 Rpta.: A

Resolución 13

Del paralelogramo se sabe:

b = 14 cm

h = b – 2 cm = 14 cm – 2 cm = 12 cm

Sabemos: Área = b × h

Me piden:

Área = 14 cm × 12 cm = 168 cm2 Rpta.: C

��

��

Resolución 14

Tenemos que:

×= = 28 cm 12 cmS 48 cm

2

Área de la región pintada = 5S

∴ Área de la región pintada = 5 × 48 cm2

= 240 cm2 Rpta.: D

Resolución 15

Dato:

D = 40 cm

d = 58

D = ⋅ =540 cm 25 cm

8Me piden:

Área = × = 240 cm 25 cm

500 cm2

Rpta.: B

Resolución 16

Área de la región =

Área del +

Área

Pintada de radio 4 cm de radio 2 cm

Área de la =

( ) =2 21� � ��

2de radio 4 cm

Área de la =

( ) =2 21� � ��

2de radio 2 cm

∴ Área de la región pintada

= 8π cm2 + 2π cm2 = 10π cm2 Rpta.: E

π π

Resolución 17

MQ //BC // AD , AB //PN// CD

➠ M, N, Q, P son puntos medios

Dato:

Área de la región = 32 cm2

MBNO

área de la región =

área de la regiónPOQD MBNO

Me piden: área de POQD = 32 cm2 Rpta.: D

Resolución 18

área de la región = A – 2A

A = 3 cm × 4 3 cm = 212 3 cm

A = ( )2

22 3 3

3 3 cm4

=

Área de la región =

( )−2 212 3 cm 2 3 3 cm

pintada

26 3 cm= Rpta.: A

pintada

Resolución 19

Área de la =

área de la corona circularregión pintada

Dato:

R = 6 cm, r = 3 cm

∴ Área de la región = π(62–32)cm2

pintada

= 27π cm2

Rpta.: D

��

��

Resolución 20

Volumen total = 3. Vol del cubo

Vol. del cubo = a3

Dato: a = 2 cm

➠ Volumen del cubo = (2 cm)3 = 8 cm3

∴ Vol total = 3 (8 cm3) = 24 cm3 Rpta.: B

Resolución 21

Sabemos:

Vól del prisma = A base × h

Dato:

base: rectángulo 5 cm

a 3 cm

= =

�

h = 6 cm

A base = � × a = 15 cm2

∴ Vol del prisma = 15 cm2 × 6 cm = 90 cm3 Rpta.: C

Resolución 22

De la piramide se sabe:

A base = � 2 = (4 cm)2 = 16 cm2

h = 3 · � = 3 × 4 cm = 12 cm

∴2

316 cm 12 cmV 64 cm

3

×= = Rpta.: A

Resolución 23

Del cilindro se sabe:

h = 18 cm :

r = 16

·h = 3 cm

∴ V = 9π cm2 × 18 cm = 162π cm3 Rpta.: C

Resolución 24

Del cono se sabe: 2r = 6 cm ➠ r = 3cmh = 6 cm

∴ Vol. del cono = 2

39� �� 18� ��

3× = Rpta.: B

Resolución 25Dato:R = 4 cmSabemos: Área de la = 4π·R2

esfera

∴ Área de la esfera = 4π(4 cm)2 = 64π cm2

Rpta.: D

π π

CAPÍTULO N° 11

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pág.(481, 482)

NIVEL I

∴ Frecuencia acumulada de 3 a 6 = 6 Rpta.: E

Resolución 1

Ordenando los datos en una tabla de distribución de fre-cuencia, obtenemos:

Resolución 2

Ordenando los datos, obtenemos:

1 1 3 5 7 9 9 11 13; ; ; ; ; ; ; ;

9 valores de la variable� ��

Como 9 es impar, hay 4 valores antes del7 y 4 valores después.

∴ La mediana es 7 Rpta.: B

Resolución 3

Según la tabla de distribución de frecuencias:

��

��

Resolución 5 Sean los datos:

1; 0; 1; 2; 1; 6; 1; 2; 3; 2; 1; 3; 2; 1; 0 ; 0 ; 3; 4; 5; 0; 1; 1; 0;2; 3; 0; 1; 1; 0; 6

� mediana = + =0 02

0

Vemos que:

El número 1 se repite 7 veces

� Moda = 1

∴ La mediana y moda son respectivamente: 0 y 1

Rpta.: A

La frecuencia relativa del puntaje 70 es:

540

Luego:

En porcentaje será:

540

100252

12 5

2

5× % % , %= = Rpta.: E

Resolución 7 Sean los datos:

1; 2; 2; 5; 6; 7 ; 7; 7; 8; 9

• Media aritmética

x = + + + + + + + + + =1 2 2 5 6 7 7 7 8 910

5410

∴ Media aritmética = 5,4

Resolución 6

Ordenando los datos en una tabla de distribución de fre-cuencias, obtenemos:

• Mediana = + =6 72

132

∴ Mediana = 6,5

• Moda: el dato que más se repite es 7(3veces)

∴ Moda = 7 Rpta.: C


• # de alumnos que participan en el folclore:

135° < > x

# total de alumnos:

360° < > 32

�

135360 32

= x

x = 32 135360×

x = 12

∴ Número de alumnos que participan en el folclore = 12

Rpta.: B


Promedio de vuelos diarios: x

x = + + + + + +10 15 25 20 30 35 257

Como el número de datos (n = 60) es par, los valores centrales corresponden a x30 y x31.

Según la tabla: x30 = 16 ∧ x31 = 17

Mediana = + =16 172

16 5,

∴ La mediana es 16,5 Rpta.: C

Resolución 4

Según la tabla, tenemos que:

x = + + + + + + + ++ + + + + + + +

85 2 90 3 95 5 100 7 105 2 110 4 115 4 120 2 125 12 3 5 7 2 4 4 2 1

× × × × × × × × ×

x = + + + + + + + +170 270 475 700 210 440 460 240 12530

∴ x = 103 Rpta.: D

��

��

Resolución 12

Del gráfico del ejercicio 11

• Producción total en:

enero = 60 + 80 + 100 = 240

febrero = 80 + 80 + 60 = 220

Entre enero y febrero:

La produción disminuye en: 240 - 220 = 20

Hallamos:

Qué porcentaje de 240 es 20:

Sea “x” el porcentaje:

� x% de 240 = 20

x100

240 20· =

x = 8,33

∴ La producción disminuye en 8, 33%

Rpta.: A

Sea “x” el porcentaje:

� x% de 400 = 100

x100

400 100· =

x = 25

∴ La venta aumentó en 25% Rpta.: C


Producción de “ACE” en: enero = 60 febrero = 80

El aumento fue de: 80 − 60 = 20

Luego:

El aumento con respecto a la producción de enero será:

Aumento

Producción de enero= =20

6013

1

3

∴ El aumento de la producción de ACE es: 13

Rpta.: B

Resolución 10

• Del cuadro:

− Venta de “Nivea” en: enero = 400 febrero = 500

El aumento fue de: 500 − 400 = 100

Hallamos:

Qué porcentaje de 400 es 100

x = =1607

22 86,

∴ El promedio de vuelos diarios es 22,86

Rpta.: B

��

��

CAPÍTULO N° 12

NIVEL I

Resolución 1

Espacio muestral: E = {c; s} → n(E) = 2

Suceso A: obtener cara: A = {c} → n(A) = 1

Luego: ( ) ( )( )

n A 1P A

n E 2= = Rpta.: A

Resolución 2

Espacio muestral E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}� n(E) = 6

Suceso A: obtener el “5” en la cara superiorA = {5}

� n(A) = 1

∴ ( ) ( )( )

n A 1P A

n E 6= = Rpta.: D

Resolución 3

Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}� n(E) = 6

Suceso A: obtener un número par.A = {2; 4; 6}

� n(A) = 3

∴ ( ) ( )( )

n A 3 1P A

n E 6 2= = = Rpta.: D

Resolución 4

Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}� n(E) = 6

Suceso A: obtener un número mayor que 4 A = {5; 6} → n(A) = 2

∴ P Ab g = =26

13

Rpta.: A

Resolución 5 De la figura:

Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5}� n(E) = 5

Suceso A: obtener número par A = {2; 4} → n(A) = 2

∴ P Ab g = 25

Rpta.: D

PROBABILIDADES


Resolución 6

E = {A1; A2; A3; A4; A5; R1; R2; R3; R4}

� n(E) = 9

Suceso A = extraer canica roja.

A = {R1; R2; R3; R4}

� n(A) = 4

∴ P Ab g = 49

Rpta.: E

Resolución 7

I) # de resultados posibles = 50 mujeres Suceso A: que salga elegida Andrea. # de resultados favorables = 1

∴ ( ) 1P A

50=

II) # de resultados posibles = 20 hombres + 30 mujeres = 50 personas Suceso B: que salga elegida una mujer # de resultados favorables = 30

∴ ( ) 30 3P A

50 5= = Rpta.: C

Resolución 8

• # de resultados posibles:

6 blancas + 3 rojas + 4 negras = 13 bolas

Suceso A: sale bola blanca

• # de resultados favorables: 6 bolas blancas

∴ P Ab g = 613

Rpta.: A

Resolución 9

• # de resultados posibles: 500 boletos

Suceso A: sale premiado Manuel

• # de resultados favorables: 20 boletos

∴ P Ab g = =200500

125

Rpta.: C

Resolución 10

• # de resultados posibles: 8 verdes + 12 amarillas + 4 azules = 24 canicas

Suceso A: la canica es verde o azul.

• Resultados favorables:

8 verdes + 4 azules = 12 canicas

∴ P Ab g = =1224

12

Rpta.: D

��

��

B = {1; 3; 5} → n(B) = 3

∴ P Bb g = =36

12

C) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

� n(E) = 6

Suceso C: obtener número primo

C = {2; 3; 5} → n(C) = 3

∴ ( ) 3 1P C

6 2= =

D) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

� n(E) = 6

Suceso D: obtener número menor que 6

D = {1; 2; 3; 4; 5} → n(D) = 5

∴ P Db g = 56

E) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

� n(E) = 6

Suceso E: obtener número mayor que 6.

Vemos que “E” no tiene elementos.

∴ Suceso E es un suceso imposible

Rpta.: E

Resolución 17

• # de resultados posibles: 52 naipes

Suceso A: que salga carta de espada.

• # de resultados favorables: 13 naipes

∴ P Ab g = =1352

14

1

4Rpta.: B

• # de resultados favorables: 3 bolas

� P Ab g = 35

B) • # de resultados posibles: 5 verdes + 2 amarillas = 7 bolas Suceso B: sale bola blanca

• # de resultados favorables = ninguno

� Suceso imposible

C) • # de resultados posibles: 4 bolas negras Suceso C: sale bola negra

• # de resultados favorables: 4 bolas negras

� P Cb g = =44

1

∴ Suceso C = suceso seguro

D) • # de resultados posibles: 3 bolas verdesSuceso D: sale bola amarilla

• # de resultados favorables: ninguno

� Suceso D = suceso imposible

Rpta.: C

Resolución 11

• # de resultados posibles: 6 rojas + 3 azules = 9 bolas

Suceso A: la bola sale roja o azul

• # de resultados favorables : 6 rojas + 3 azules = 9 bolas

∴ P Ab g = =99

1 Rpta.: D

Resolución 12

Un suceso es seguro cuando el suceso es igual al espaciomuestral, es decir, la probabilidad es 1.

A) • # de resultados posibles: 3 rojas + 2 amarillas = 5 bolas

Suceso A: sale bola roja

Resolución 13

Un evento o suceso es seguro si el espacio muestral esigual al suceso.

Es decir: n(E) = n(A)

Donde: P An A

n Eb g b g

b g=

∴ P(A) = 1 Rpta.: B

Resolución 14

A) Espacio muestral: E ={1; 2; 3; 4; 5; 6}

� n(E) = 6

Suceso A: obtener el 6

A = {6} → n(A) = 1

∴ P Ab g = 16

B) Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

� n(E) = 6

Suceso B: obtener número impar

Resolución 15

En un evento imposible, el suceso no tiene elementos,entonces el número de elementos del suceso es cero.

Si: n(A) = 0

� P An A

n E n Eb g b g

b g b g= = =00

∴ P(A) = 0 Rpta.: C

Resolución 16

• # de resultados posibles: 52 naipes

Suceso A: obtener “as” de trébol

• # de resultados favorables: 1 naipe

∴ P Ab g = 152

Rpta.: D

��

��

Resolución 18

• # de resultados posibles: 52 cartas

Suceso A: que salga el número

• # de resultado favorables: 4 cartas

∴ P Ab g = =452

113

1

13

Rpta.: B

Resolución 19


Suceso A: obtener una carta negra

• # de resultados favorables: 26 cartas

∴ P Ab g = =2652

12

1

2

Rpta.: C

Resolución 20


Suceso A: sacar carta que no sea “as”

* Como en el mazo de naipes hay 4 ases, tenemos que:

• # de resultados favorables: 52 − 4 = 48 cartas

∴ P Ab g = =4852

1213

12

13

Rpta.: D

Resolución 21

Espaciomuestral : E =

1; Cb g b g b g b g b gb g b g b g b gb g b g b g

; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

1 2 2 3

3 4 4 5

5 6 6

S C S C

S C S C

S C S

RS||

T||

UV||

W||

n(E) = 12

Suceso A: obtener el número cinco y cara.

A = {(5; C)} → n(A) = 1

∴ P Ab g = 112

Rpta.: D

Resolución 22 Espacio muestral:

EC S C S C S

C S C S C S=RS|T|

UV|W|

1 1 2 2 3 3

4 4 5 5 6 6

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

b g b g b g b g b g b gb g b g b g b g b g b g

n(E) = 12

Suceso A: obtener par en el dado y sello en la moneda.

A = {(2; S) ; (4; S) ; (6; S)}

n(A) = 3

∴ P Ab g = =312

14

1

4

Rpta.: A

Resolución 23

• Primera vez: E = {C; S} → n(E) = 2

Suceso A: obtener sello.

A = {S} → n(A) = 1

� P Ab g = 12

• Segunda vez: E = {C; S} → n(E) = 2

Suceso B: obtener sello.

B = {S} → n(B) = 1

� P Bb g = 12

∴ P A B; ·b g = FHG

IKJ

FHG

IKJ =1

212

14

Rpta.: B

Resolución 24

• Primera vez: E = {C; S} → n(E) = 2

Suceso A: obtener cara.

A = {C} → n(A) = 1

� P Ab g = 12

• Segunda vez: E = {C; S} → n(E) = 2

Suceso B = obtener sello.B = {S} → n(B) = 1

� P Bb g = 12

• Tercera vez: E = {C; S} → n(E) = 2

Suceso C: obtener caraC = {C} → n(C) = 1

� P Cb g = 12

∴ P A B C; ; · ·b g = FHG

IKJ

FHG

IKJ

FHG

IKJ =1

212

12

18

Rpta.: C

Resolución 25

• # de resultados posibles: 20 tarjetas

Suceso A: obtener tarjeta mayor que cinco

• # de resultados favorables: 15 tarjetas

∴ P Ab g = =1520

34

3

4Rpta.: B

Resolución 26

# de resultados posibles: 36 combinaciones

Suceso A: obtener 5 en el blanco y 2 en el negro.

O sea, obtener la combinación: (5; 2)

• # de resultados favorables: 1 combinación

∴ P Ab g = 136

Rpta.: E

��

��

Resolución 28

1° disco: E = {A; B; C} → n(E) = 3

Suceso M = que la aguja marque la letra B

M = {B} → n(M) = 1

� P Mb g = 13

2° disco: E = {1; 2; 3; 4} → n(E) =4

Suceso N: que la aguja marque el 4

N = {4} → n(N) = 1

� P Nb g = 14

∴ P M N; ·b g = FHG

IKJ

FHG

IKJ =1

314

112

Rpta.: D

Resolución 29 Espacio muestral:

E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(E) = 6

Suceso A: obtener puntaje mayor que dos

A = {3; 4; 5; 6} → n(A) = 4

∴ P Ab g = =46

23

2

3 Rpta.: C

Resolución 30

• # de resultados posibles:

8 fichas negras + 5 fichas blancas = 13 fichas

Suceso A: extraer ficha negra

• # de resultados favorables: 8 fichas

∴ P Ab g = 813

Rpta.: D

Resolución 31 Espacio muestral

E =

R

S|||

T|||

U

V|||

W|||

1 2 3 5 6 7 8 9 12

13 16 17 18 24

30 31 32 36

40 41 42 48

49 50

; ; ; ... ; ; ; ; ; ... ; ; ... ;

; ...; ; ; ; .... ; ;...

... ; ; ; ; .... ; ; ...

... ; ; ; ; ... ; ; ...

;

n(E) = 50

Suceso A: escoger un número que sea divisible por 6 ó 8

A = {6; 8; 12; 16; 18; 24; 30; 32; 36; 40; 42; 48}

n(A) = 12

∴ P Ab g = =1250

0 24, Rpta.: C

Resolución 32

• # de resultados posibles: 36 combinaciones

Suceso A: obtener una suma mayor que diez.

A = {(5; 6);(6; 5);(6; 6)}

n(A) = 3

• # de resultados favorables: 3 combinaciones

∴ P Ab g = =336

112

1

12

Rpta.: C

Resolución 33

Espacio muestral: E = {1; 2; 3; 4 ..... ; 29; 30}

n(E) = 30

Suceso A: sale una bola par o múltiplo de cinco

A =RST

UVW2 4 5 6 8 10 12 14 15 16 18

20 22 24 25 26 28 30

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ;

n(A) = 18

∴ P Ab g = =1830

35

3

5

Rpta.: D

Resolución 27

• # de resultados posibles: 36 combinaciones

Suceso B: obtener dos números que sumen 7

B = {(3; 4);(4; 3);(1; 6);(6; 1);(2; 5);(5; 2)}

• # de resultados favorables: 6 combinaciones

∴ P Bb g = =636

16

1

6Rpta.: D

��

��

CAPÍTULO N° 13

NIVEL I

Resolución 1Desarrollamos parcialmente 64! y 33!

× × ×= =× × ×

64! 32! 64 63! 32!33! 63! 33 32! 63!

6433

Rpta.: A

Resolución 2

Desarrollamos parcialmente 28! ; 30! y 26!

28! 25! 30! 28 27!29! 27! 26!

× × ×=× ×

25!× 30 29!× ×29! 27!× 26 25!× ×

28=

1430

26×

13

= 42013

Rpta.: D

Resolución 3Desarrollamos parcialmente el primer miembro de la ecua-ción:

x · (x – 1) · (x – 2)! = 56(x – 2)!x · (x – 1) = 56x · (x – 1) = 8 · 7

∴ x = 8 Rpta.: B

Resolución 4Pasamos la incógnita al primer miembro de la ecuación:

–2x! + 5x! = 72 3x! = 72

x! = 723

x! = 24

Sabemos que: 24 = 4!

x! = 4!

∴ x = 4 Rpta.: E

ELEMENTOS DE COMBINATORIA


Resolución 5

Hacemos productos cruzados:

x! 30 5x! 30 3

+ =−

Resolución 6

Hallamos x!:

16 · x! = 96

x! = 9616

x! = 6

Luego, hallamos x!!:

x!! = 6! = 720

∴ x!! = 720 Rpta.: A

3 · (x! + 30) = 5 · (x! – 30)

3x! + 90 = 5x! – 150

90 + 150 = 5x! – 3x!

240 = 2x!

2402

= x!

120 = x!

Sabemos: 120 = 5!

5! = x!

∴ x = 5 Rpta.: C

Resolución 7


x!x! = 22 ⇒ x! = 2

Reemplazando “x! = 2”, obtenemos:

=2

x! 2x!x ! 2 = 24 = 16 Rpta.: E

Resolución 8

Sabemos que: 7! = 5040

Comparamos términos:

(x + 1)! = 5040

(x + 1)! = 7!

x + 1 = 7 ⇒ x = 6

Luego:

(x – 1)! = (6 – 1)! = 5! = 120

Rpta.: A

��

��

Resolución 16

Se tiene que seleccionar 5 alumnos de un total de 9 alum-nos, o sea hacer una combinación de 9 elementos tomadosde 5 en 5.

Entonces, tenemos:

( )95

9! 9 8 7 6 5!5! 9 5 ! 5! 4!C

× × × ×= =− ×

9 8 7 6

24× × ×= = 126

∴ Se pueden hacer 126 selecciones. Rpta.: C

Resolución 13

Para formar números impares, la última cifra deberá serimpar, o sea deben terminar en 5 ó 7. El resto de cifrasserán 3 cifras diferentes.

Entonces, por el principio de multiplicación, tenemos:

2 × 1 × 2 × 3 = 12

∴ Se podrán formar 12 números impares Rpta.: C

Resolución 14

Aplicamos la propiedad de números com-binatorios com-plementarios.

n na bC C= ⇒ a + b = n

Luego:

n n8 3C C= ⇒ 8 + 3 = n ⇒ n = 11

Reemplazando “n = 11”, hallamos 2n21C .

( )

( )2n 2 11 2221 21 21

22!21! 22 21 !C C C= = =

× −

22 21!21! 1!

×= =×

22 Rpta.: B

Resolución 15

( )30002998

2 2 3000!3 3 2998! 3000 2998 !C = ×

× −

= 2 30003

×

10002999 2998!× ×

2998! 2!×

= 2 1000 2999

1 2× ×

×

= 2999000 Rpta.: B

valor (5 ó 7) ← imparesvalorvaloresvalores

Resolución 10

Un número cualquiera tendrá 5 cifras diferentes:

Entonces por el principio de multiplicación, el número totalde permutaciones “P” será 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, es decir:

P5 = 5!

∴ Se pueden formar 120 números Rpta.: D

Resolución 11

Un número cualquiera tendrá 4 cifras diferentes, ademásde la penúltima cifra, que siempre será 8.

Por el principio de multiplicación, tenemos:

1 × 1 × 2 × 3 = 6

∴ Se pueden formar 6 números Rpta.: B

Resolución 12

Aplicamos el principio de multiplicación:

• Tipos de sopa: 3

• Tipos de segundo: 4

• Tipos de postre: 3

El número de menús que se formarán, será:

3 × 4 × 3 = 36

∴ Podrá atender 36 menús diferentes Rpta.: D

valorvaloresvaloresvaloresvalores

valorvalor (siempre será 8)valoresvalores

Resolución 9

Sabemos que: 5! = 120

Comparamos términos:

(4x – 3)! = 120

(4x – 3)! = 5!

4x – 3 = 5

4x = 5 + 3

4x = 8

x = 84

⇒ x = 2

Reemplazamos el valor de “x = 2”, obteniendo:

1 1x 4 ! 2 4 !

2 2 + = ⋅ + = (1 + 4)! = 5!

= 120 Rpta.: A

��

��

Resolución 17

De un total de 8 cajas, se desea formar grupos de 6, o seahacer una combinación de 8 elementos tomados de 6 en6.

Entonces, tenemos:

( )86

8! 8 7 6! 5628

6! 8 6 ! 6! 2! 2C× ×= = = =

− ×

∴ Se pueden tomar las cajas de 28 formas distintas.

Rpta.: D

Resolución 18

I. Cálculo de “m”.

m2 30V =

( )m!

30m 2 !

=−

( ) ( )( )

m m 1 m 2 !30

m 2 !× − × − =

−

m × (m – 1) = 6 × 5

m = 6

II. Cálculo de “n”.

n7 8C =

( )n!

87! n 7 !

=× −

n! = 8 × 7! × (n – 7)!

n! = 8! × (n – 7)!

n = 8

II. Cálculo de “m + n”.

m + n = 6 + 8

∴ m + n = 14 Rpta.: A

NIVEL II

Resolución 1Desarrollamos parcialmente (x – 3)! (x – 3) · (x – 4)! = 17(x – 4)!

x – 3 = 17 x = 17 + 3 ⇒ x = 20 Rpta.: D

Resolución 3I. Cálculo de “n”:

n2 6V =

( )n!

6n 2 !

=−

Resolución 2

Desarrollando tenemos:

3 6 8 n!6!

4 3 2 1× × × =× × ×

6 × n! = 6!

6 × n! = 6 × 5!

∴ n = 5 Rpta.: C

( ) ( )( )

n n 1 n 2 !6

n 2 !× − × − =

−

n × (n – 1) = 3 × 2

n = 3

II. Cálculo de 2nn 1C + :

( )( )

2n 2 3 6n 1 3 1 4

6!4! 6 4 !C C C+ += = =

−

6 5 4! 304! 2! 2× ×= = =

× 15

Rpta.: A

��

Resolución 4

x4 x 3C = −

( ) = −⋅ −

x!x 3

4! x 4 !

x! = 4! · (x – 4)! · (x – 3)

x! = 4! · (x – 3) · (x – 4)!

x! = 4! · (x –3)!

x·(x – 1)·(x – 2)·(x – 3)! = 4! · (x – 3)!

x · (x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2 × 1

x(x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2

∴ x = 4 Rpta.: E

Resolución 5

( ) ( )x! x!

x 13! x 3 ! 4! x 4 !

+ = +− −

( ) ( )( ) ( )

4! x 4 ! x! 3! x 3 ! x!x 1

3! x 3 ! 4! x 4 !− + − = +

− −

�

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

−

⋅ − + − ⋅ − = +− −

��x 3 !4!

4 3! x 4 ! x! 3! x 3 x 4 ! x!x 1

3! x 3 ! 4! x 4 !

( ) ( )( )( ) ( )

− + + − = +− −

(3! x 4 ! x!) 4 x 3x 1

3! x 4 ! 4! x 3 !

( )( )

x! x 1x 1

4! x 3 !+ = +−

��

��

Resolución 10

Sabemos que:

( )( )( )x4

4 factores

x x 1 x 2 x 3V = − − −��

( )( )( )x 13

3 factores

4 4 x 1 x 2 x 3V− = ⋅ − − −

��

Igualando: x x 14 34V V

−=

x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 4(x – 1)(x – 2)(x – 3)

x = 4

Luego, reemplazamos “x = 4” en:

( )x 1 4 1 5x 1 4 1 3

5! 120 1203! 5 3 ! 6 2 12C C C

+ +− −= = = = =

− ⋅

∴ x 1x 1 10C

+− = Rpta.: A

( )( )1 34 x 3 x 4

=− −

(x – 3)(x – 4) = 4 · 3

x 3 4x 4 3

− = − =

x = 7 Rpta.: C

Resolución 6

La expresión dada se puede escribir así:

n2n3

34

CC

=

=n n2 34 3C C

( ) ( )⋅ = ⋅− −

n! n!4 3

2! n 2 ! 3! n 3 !

( ) ( ) ( )=× × − × − × × × −

24 3

2 1 n 2 n 3 ! 3 2 1 n 3 !

2 1n 2 2

=−

4 = n – 2

4 + 2 = n ⇒ n = 6

Rpta.: B

Resolución 7

x x5 35 3C C=

( ) ( )x! x!

5 35! x 5 ! 3! x 3 !

⋅ = ⋅− −

( ) ( )( )( )5 3

5 4 3! x 5 ! 3! x 3 x 4 x 5 !=

× × − − − −

x! = 4!(x – 3)!

x · (x – 1)(x – 2)(x – 3)! = 4!(x – 3)!

x(x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2 × 1

x(x – 1)(x – 2) = 4 × 3 × 2

∴ x = 4 Rpta.: D

Resolución 8

Sea el número de 5 cifras: abcde .

Como no se dice nada sobre si no se deben repetir lascifras, vemos que es: Variación con repetición:

Entonces:

Resolución 9

Sabemos que:

( )( )x3

3 factores

x x 1 x 2V = − −��

( )( )( )x4

4 factores

x x 1 x 2 x 3V = − − −��

Igualando: x x3 4V V=

x(x – 1)(x – 2) = x(x – 1)(x – 2)(x – 3)

1 = x – 3

1 + 3 = x

∴ x = 4 Rpta.: C

Por el principio de multiplicación:

Total de números de 3 cifras formados = 3 × 3 × 3 × 3 × 3= 35

∴ 3 55 3 243VR = = Rpta.: D

��

��

Resolución 13

Sea “n” el número de elementos.

Donde:

• Número de variaciones de cierto número de elementos (n),tomados de 6 en 6; es: n

6V• Número de variaciones de los mismos elementos (n),

tomados de 5 en 5; es: n5V

Según el enunciado, tenemos:

n n6 5V V=

( ) ( )n! n!

x 6 ! n 5 !=

− −

(n – 5)!= (n – 6)!

(n – 5)(n – 6)! = (n – 6)!

n – 5 = 1 ⇒ n = 6

Rpta.: E

Resolución 14

Según el enunciado, se tiene que ocupar 5 butacas nume-radas con 4 personas, o sea hacer una variación de 5butacas tomadas de 4 en 4 personas.

54 5 4 3 2 120V = × × × =

∴ Se podrán ocupar las butacas de 120 manerasdiferentes

Rpta.: B

Resolución 11

Sabemos que:

nk

"k" factores

6 5 4V = × ×��

Donde: n = 6 ∧ k = 3


( )2n 2 6 12k 1 3 1 2 12 11 132V V V− −= = = × =

∴ 2nk 1 132V − = Rpta.: D

Resolución 12

( )( )

( )x x 44 3

x! x 4 !x 4 ! x 4 3 !V V

− −⋅ = ⋅− − −

( )= =−x!

x 7 ! x

7V Rpta.: B

Resolución 15

Según el esquema:

Forma en la que van sentados en fila.

Por el principio de multiplicación, tenemos

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

∴ Podrán sentarse de 120 formas diferentes

Rpta.: D

Resolución 16

Sabemos que:

• Variación de “x” elementos tomados de 4 en 4 =x4V

• Variaciones de “x” tomados de 6 en 6 =x6V


( )

( )

( )( )

−−= = =−

−

x4x6

x!X 6 ! 1x 4 !

x! X 4 ! 2x 6 !

VV

2(x – 6)! = (x – 4)!

2(x – 6)! = (x – 4)(x – 5)(x – 6)!

2 = (x – 4)(x – 5)

2 × 1 = (x – 4)(x – 5)

= − == −

2 x 4x 6

1 x 5

∴ x = 6 Rpta.: B

Resolución 17

Según el enunciado, se pueden repetir las cifras, o sea esuna variación con repetición de 5 elementos, tomados de3 en 3.

5 33 5 125VR = =

∴ Se pueden formar 125 números

Rpta.: B

��

��

× × × × × ×= = =×

72;2

7! 7 6 5 4 3 2 11260

2! 2! 4P

∴ Se podrán formar 1 260 permutaciones

Rpta.: B

��

1

1

1

1

Resolución 18

Vemos que la palabra RESIDIR, tiene 7 letras, de las cua-les 2 se repiten, la letra I (2 veces) y la letra R (2 veces).

Tenemos entonces:

Resolución 19

Vemos que la palabra CAMBIAR tiene 7 letras, de las cua-les se repite la letra A (2 veces).


72

7! 7 6 5 4 3 2 12520

2! 2P× × × × × ×= = =

∴ Se podrán formar 2 520 permutaciones

Rpta.: D

Resolución 20

=n2;6 28P

n!28

2! 6!=

×

n! = 28 × 2! × 6!

n! = 7 × 4 × (2×1) ×(6×5×4×3×2×1)

n! = 7 × 8 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

n! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

n! = 8!

∴ n = 8 Rpta.: E

solucionario de 2do año secundaria

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