soluciÓn de anÁlisis de la funciÓn racional. función tipo de función racional dominio se...
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SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función 1
65)(
2
2
x
xxxf
Tipo de función Racional
DominioSe excluyen las raíces
del denominador
1,1)(_ xfDom
),1()1,1()1,()(_ xfDom
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Continuidad g(x) no es continua
Existe una discontinuidad
x=1 y x=-1Estudiar el limite de
f(x) x=1
Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito
Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito
Estudiar el limite de f(x)
x=-1
1
65)(
2
2
x
xxxf
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Simetría
Par f(x) =f(-x)
Impar f(x) =-f(-x)
1
65)(
2
2
x
xxxf
1
65
1)(
6)(5)()(
2
2
2
2
x
xx
x
xxxf
)()( xfxf
)()( xfxf
f(x) no es simétrica
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función 1
65)(
2
2
x
xxxf
PeriodicidadPeriódica si se cumple
que: f(x) =f(x+T)
1)(
6)(5)()(
2
2
Tx
TxTxTxf)()( xfTxf
En nuestro caso g(x) no es periódica
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Asíntotas
Oblicuas
Horizontales
Verticales
Asíntota en y=mx+b, siempre que el grado numerador sea una
unidad mayor que el de denominador:
Las raíces del denominador que no lo
son del numerador
Asíntota en y=k, siendo k: kxfx
)(lim
y=mx+b es el cociente
1
96)(
2
2
x
xxxf
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Asíntotas VerticalesLas raíces del
denominador que no lo son del numerador
1012 xxLas raíces
del denominador 126)1(5)1()1(
36151)1(2
2
p
p
Las raíces del denominador no lo son
del numerador:
Asíntota vertical en: x=-1
1
65)(
2
2
x
xxxf
Asíntota vertical en: x=1
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Asíntotas Oblicuas
No hay ya que el grado del numerador es igual
que el del denominador
Horizontales
Asintota en y=k Asíntota
horizontal en y=1
1
65)(
2
2
x
xxxf
kxfx
)(lim
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Máximos y Mínimos
Primera derivada
1
65)(
2
2
x
xxxf
2
2
22
2323
22
22
)1(
5145)(
)1(
121025252)(
)1(
)65)(2()1)(52()(
x
xxxf
x
xxxxxxxf
x
xxxxxxf
I
I
I
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Máximos y Mínimos
Se iguala a cero la 1ª derivada
5
762
5
762
05145)1(
5145)( 2
22
2
x
xxx
x
xxxf I
Puntos candidatos
Se calcula la 2ª derivada
Puntos candidatos
32
23
32
22
42
2222
)1(
14304210)(
)1(
)5145(4)1)(1410(
)1(
)5145)(2)(1(2)1)(1410()(
x
xxxxf
x
xxxxx
x
xxxxxxxf
II
II
1
65)(
2
2
x
xxxf
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Máximos y Mínimos
Se iguala a cero la 1ª derivada
Puntos candidatos
Se calcula la 2ª derivada
5
762 x
Puntos candidatos
0).( candidatoptof II 0).( candidatoptof II
MAXIMO MINIMO
1
65)(
2
2
x
xxxf
32
23
)1(
14304210)(
x
xxxxf II
5
762 x
5
762 x
5
762 x
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función 1
65)(
2
2
x
xxxf
MonotoníaMáximos y mínimos
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 1ª derivada
0)( xf I 0)( xf I
Función g(x) decrece
Función g(x) crece
22
2
)1(
5145)(
x
xxxf I
)5
627,1()1,
5
627(
),5
627(
)5
627,1()1,(
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Punto inflexión
Cambio concavo a convexo o viceversa
22
2
)1(
5145)(
x
xxxf I
Igualar 2ª derivada a
cero
Comprobar 3ª
derivada distinta de cero
1
65)(
2
2
x
xxxf
3
23
)1(
14304210)(
x
xxxxf II
0143042100)1(
14304210)( 23
3
23
xxx
x
xxxxf II
x=3.4476 es punto de inflexión
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL
• Función
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la
2ª derivada
0)( xf II 0)( xf II
Función f(x) concava
Función f(x) convexa
]4476.3,1()1,(
Punto inflexión
Curvatura
),4472,3[)1,1(
1
65)(
2
2
x
xxxf
SOLUCIÓN DE ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN RACIONAL3
23
)1(
14304210)(
x
xxxxf II
• Representación de la función 1
65)(
2
2
x
xxxf
EJEMPLO DE ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL