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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

COMPORTAMIENTO DE CUERPOS RÍGIDOS EN EDIFICIOS

Cesar Augusto Arredondo Vélez 1, Eduardo Reinoso Angulo1,3 y Eduardo Miranda 2,3

RESUMEN Se modela paso a paso el comportamiento de cuerpos rígidos con diferentes relaciones de forma ubicados en distintos niveles de edificios tanto del valle de México como de Acapulco y sometidos a eventos provenientes de fuentes cercanas y lejanas. Se hace una rápida estimación del movimiento en la base del contenido en un nivel del edificio a través de un modelo simplificado cuya exactitud fue probada en un trabajo paralelo a este (Arredondo y otros, 2004). Se presentan escenarios de riesgo para el volcamiento de contenidos así como expresiones para determinar la amplificación del movimiento en un nivel del edificio.

ABSTRACT

The behavior of rigid bodies with different shape ratios, located in some levels of buildings of the valley of Mexico and Acapulco, under events of near and distant source is modeled step by step. A fast estimation of the movement in the base of the content in a level of the building becomes through a simplified model whose accuracy was proven in a parallel work to this (Arredondo and others, 2004). Scenarios for toppling of contents appear as well as expressions to determine the amplification of the movement in a level of the building.

INTRODUCCIÓN El control de pérdidas por daño en contenidos es primordial debido a que, con pocas excepciones, en la mayoría de edificios industriales, almacenes y oficinas, estos representan la mayor parte del costo total de la inversión para propietarios y ocupantes. Además el daño en los mismos está asociado a fuerzas y niveles de deformación más pequeños que los requeridos para iniciar el daño estructural. Para valorar el peligro en la base de contenidos en diferentes niveles de un edificio, es necesario tener una adecuada estimación de la distribución espacial de aceleraciones horizontales en cada uno y de la amplificación de la intensidad máxima del suelo con la altura, ya que el colapso de los mismos está asociado a sus valores pico (Ishiyama, 1982). Bajo estos lineamientos, en este trabajo el movimiento en la base del contenido es obtenido a través de un modelo simplificado de la estructura (Miranda y Taghavi, 2004) cuya validez fue probado tanto en edificios instrumentados en México (Arredondo y otros, 2004) como en Estados Unidos (Miranda y Taghavi, 2004; Taghavi y Miranda, 2004; Reinoso y Miranda, 2004). El propósito de esta investigación es modelar y evaluar la respuesta de cuerpos rígidos ubicados en diferentes niveles de edificios que se encuentran en varios sitios tanto de la Ciudad de México como de Acapulco. Se presenta una solución numérica para resolver las ecuaciones no lineales del movimiento de balanceo libre de un cuerpo rígido rectangular ante un evento en su base, asumiendo que el coeficiente de fricción es lo suficientemente grande como para que no se presente deslizamiento y considerando la pérdida de energía cada

1 Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Ingeniería, Delegación Coyoacán, 04310

México, Distrito Federal, Teléfono: (55) 5622-3476 EXT 27; [email protected]; [email protected]

2 Departamento de Ingeniería Civil y Ingeniería Ambiental, Universidad de Stanford, Stanford, CA 94305-

4020; [email protected] 3 ERN Ingenieros Consultores, S. C. Desierto de los Leones No 46 Casa 2; Colonia San Ángel 01000

México D. F.

1

mailto:[email protected]



XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004

vez que se presenta el choque con la superficie de apoyo. El modelo permite estimar rotaciones, velocidades y aceleraciones angulares de cuerpos tanto esbeltos como robustos. Trabajos previos han estudiado el caso lineal asociado a cuerpos esbeltos (Housner, 1963; Ishiyama, 1982; Santa Cruz y otros, 2000; Psycharis y otros, 2002) y el no lineal (Spanos y Koh, 1984; Makris y Roussos, 1998) de cuerpos rígidos simétricos sometidos a movimientos sísmicos en su base; sin embargo estos han apuntado a modelar su respuesta cuando se encuentran en campo libre, sin considerar las implicaciones relacionadas con el tipo de estructura portante (muros, marcos, sistemas duales, entre otros) y el nivel donde se localizan en su interior.

CÁLCULO SIMPLIFICADO DE MOVIMIENTOS EN DIFERENTES NIVELES DE UN EDIFICIO MODELO SIMPLIFICADO Para este trabajo, a través del modelo de Miranda y Taghavi (2004), se estimaron rápidamente historias de aceleraciones en edificios regulares en planta y altura ubicados en diferentes sitios del valle de México y Acapulco, sometidos a eventos tanto de subducción como de falla normal y con distribución uniforme de rigideces en altura. Las propiedades dinámicas de edificios de varios niveles se aproximan empleando un modelo continuo equivalente que consiste de una viga vertical en voladizo que combina deformaciones laterales de flexión y cortante (ver figura 1) y su respuesta no amortiguada en vibración libre, cuando esta sujeto a aceleración horizontal en su base esta dada por la ecuación 1.

Elementos biarticulados axialmente rígidos

Viga de cortante

Viga de flexión

Figura 1 Modelo simplificado para estimar propiedades dinámicas en edificios de varios niveles

0),(),(1),(

2

2

4

2

4

4

42

2

=∂

∂−

∂∂

+∂

∂x

txuHx

txuHt

txuEI o

αρ (1)

Donde H es la altura total del edificio, ρ es la masa por unidad de longitud y α es un parámetro adimensional dado por la ecuación 2; en adelante se usará la relación Xi/H para indicar una fracción de la altura total del edificio.

o

o

EIGA

H 22 =α (2)

Donde EIo y GAo son la rigidez lateral en la viga de flexión y cortante. El método combina la aplicación de un análisis modal utilizando los seis primeros modos de vibrar con un modelo simplificado de la estructura a partir del cual se estiman formas modales, factores de participación y relación de frecuencias modales. Se considera comportamiento elástico lineal en los edificios y se ha extendido a estructuras con distribución no uniforme de rigideces respecto a la altura (Miranda y Taghavi, 2004) mostrando que en edificios que se comportan como una viga a flexión este efecto es despreciable mientras que para estructuras cuyo comportamiento es gobernado por el cortante el efecto es relativamente pequeño. Si se considera que ρ y la distribución de rigideces en altura son uniformes, las aceleraciones en cada nivel para una estructura con comportamiento elástico se pueden obtener como la superposición de la respuesta de todos los modos de vibrar según la ecuación 3.

2


(3) ∑∑==

Γ+⋅

Γ−=

m

iiig

m

iii

t tAtuxtxu11

)()()(1),( &&&& φ

Donde m es el número de modos considerados en la respuesta, Γi es el factor de participación del i-esimo modo de vibrar, φi(x) es la amplitud de la i-esima forma modal a una altura x, Ai(x) es la aceleración absoluta de un SDOF con un periodo y amortiguamiento correspondientes al modo i y ǖg(t) es el movimiento del suelo. PARÁMETROS CONSIDERADOS El modelo permite considerar diferentes valores de amortiguamiento crítico para cada uno de los seis modos de vibrar; en este trabajo un mismo valor de amortiguamiento se considera para todos los modos. Solo se requieren tres parámetros para determinar las diferentes demandas a cierta altura del edificio: el período fundamental de vibración del edificio T, el amortiguamiento ξ y α, que controla el grado de participación de las deformaciones por efectos tanto de cortante como de flexión. Valores típicos de α para edificios a base de muros de concreto están entre 0 y 2, con sistemas de rigidez combinados (marcos y muros de cortante o marcos y contraventeos) están entre 1.5 y 5 y con marcos estructurales entre 5 y 15 (Miranda y Reyes, 2002). CASOS ESTUDIADOS Y EVENTOS REGISTRADOS

El análisis consistió en determinar los movimientos e intensidades pico en diferentes niveles de estructuras ubicadas en tres sitios de la Ciudad de México y tres sitios en Acapulco. En el valle de México se eligieron los sitios SCT (Secretaria de Comunicaciones y Transportes) y CDAO (Central de Abastos) en terreno blando caracterizados por evidenciar importantes niveles de amplificación respecto a suelo firme y en transición el sitio VI (Viveros). Para Acapulco se eligieron tres sitios en suelo blando: los sitios ACAC (Casa de la Cultura) y ACAD (La Diana) ubicados sobre sedimentos con espesores de 30 m y mayores a 35 m respectivamente mientras que el sitio ACAZ (La Zanja) está localizado sobre depósitos de arena, limo y arcilla de espesor desconocido (Gutiérrez y Singh, 1992). Estos sitios corresponden a estaciones acelerométricas de la Ciudad de México y Guerrero cuyos registros en dirección EW, para los fines de este trabajo, se consideran como la excitación en la base de cada estructura. Se asume que los ejes principales de la estructura están orientados en la misma dirección que los ejes cardinales. Los eventos considerados en cada caso y algunas de sus características se indican a continuación (ver tabla 1 y figura2).

Figura 2 Ubicación de las estaciones consideradas (estrellas) y epicentros de los eventos de falla normal (rombos) y subducción (círculos)

3


Tabla 1 Algunas características de los eventos registrados

Eventos (1) (2) (3) (4) (5) Características

190985 250489 230594 140995 300999 Origen Subducción Subducción Normal Subducción Normal

Magnitud (M) 8.0 6.9 6.2 7.3 7.4 Latitud (N) 18.140 16.580 18.030 16.730 16.030

Longitud(W) 102.71 99.480 100.57 98.540 96.960 Prof. (Km) 16 17 50 22 47

SCT 1.5945 0.3641 - - 0.2025 CDAO 0.7560 0.3274 - - 0.2944

VI 0.5346 0.1596 0.0769 - - ACAC - 0.9081 - 0.4418 0.2462 ACAD - 3.2281 - 0.6086 0.3347 A

max

sue

lo

(m /

s2 )

ACAZ - 1.4350 - 0.2122 0.1860 SCT 415 312 217 300 441

CDAO 420 310 219 297 436 VI 412 307 212 297 440

ACAC 345 50 152 145 330 ACAD 341 54 149 148 334 D

ista

ncia

(k

m)

ACAZ 354 41 161 138 322 - Problemas con el registro: no existe, sin preevento o sin la fase intensa completa. En trabajos previos y a través de mediciones de vibración ambiental, cocientes espectrales o funciones de transferencia, Reinoso y Lermo (1989) y Jaimes (2002) estimaron en los sitios VI, SCT y CDAO para el valle de México y respecto a la estación CU (Ciudad Universitaria) valores de los periodos de vibración del suelo alrededor de 0.5, 2 y 3.3 segundos respectivamente. En Acapulco, Gutiérrez y Singh (1992) indican que la amplificación observada en los sitios seleccionados en este trabajo ocurre sobre una amplia banda de frecuencias y tiene características complejas tomando valores entre 6 y 25 respecto a la estación VNTA (La Venta) ubicada en terreno firme. Lazares (2003) estudia la respuesta dinámica del suelo de Acapulco y encuentra para el sitio ACAD que el período fundamental y el factor de amplificación relativa promedio respecto a la estación VNTA valen 0.23 segundos y 12.4 respectivamente. Se consideraron dos tipos de estructuras en el análisis: la primera a base de muros de concreto (α = 2.5) y la segunda cuya resistencia es aportada principalmente por marcos de concreto reforzado (α = 25). En ambos casos se varío el período fundamental estructural entre 0.1 y 6 segundos y se adoptaron valores del amortiguamiento crítico del 2 % y 5%. Las fracciones de la altura total para las cuales se obtuvieron las historias de aceleración fueron Xi/H = 0.25, 0.50, 0.75 y 1(cero corresponde a la base y uno equivale a la azotea).

MÁXIMAS INTENSIDADES Y FACTORES DE AMPLIFICACIÓN BASE - AZOTEA Generalidades Debido a que la normatividad no es muy clara respecto a las fuerzas que actúan sobre cuerpos dentro del edificio, los ingenieros de la práctica en la mayoría de los casos obvian su respuesta y se centran en cumplir con los requerimientos necesarios para que la estructura portante se comporte de cierta forma ante un nivel de intensidad; con ello se olvidan de que el daño en equipos y contenidos ubicados en diferentes niveles de los edificios está asociado a intensidades y valores de deformación más pequeños que los requeridos para iniciar el daño estructural. En general, las normas de diseño no dejan muy claro a que tipo de elementos secundarios (contenidos, equipos, elementos no estructurales, entre otros) se refiere, pues solo específica los casos de apéndices y demás elementos cuya estructuración difiere totalmente de la del resto del edificio. Lo antes mencionado nos limita a cuerpos en el interior del edificio con masa despreciable en comparación con las de los pisos de las construcciones que los contienen, despreciando una posible interacción entre dichos elementos y la estructura

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portante y permitiendo obtener las respuestas de cada sistema de forma independiente. En el caso de las normas NTCS-2002 y para la Ciudad de México, el numeral 8.4 se refiere a las fuerzas sísmicas a emplear en un análisis estático que actúan sobre elementos secundarios e implícitamente propone una variación lineal de la amplificación de la intensidad máxima a nivel del terreno; esto lo hace considerando el parámetro c’ el cual vale cero a nivel del suelo o base de la estructura y toma el valor del coeficiente sísmico (c) a nivel de la azotea (ver figura 3). Hxcc i /' ⋅= Figura 3 Distribución de amplificaciones de la intensidad en altura de un edificio según la NTCS-2002

La intensidad amplificada (cc) respecto a la aceleración máxima del suelo (ao), a la que se verá sometido un cuerpo se puede estimar según las normas NTCS-2002 si consideramos la variación en altura del parámetro c’ (ver ecuación 4); el valor del parámetro ao está dado en la tabla 3.1 de las mismas normas y representa la ordenada espectral que corresponde a T = 0 en el espectro de diseño.

+⋅=

ooc a

ca'

1c (4)

Según lo planteado en el numeral 3 por la NTCS-2002 y la ecuación 4, las máximas intensidades en fracciones de la altura total (Xi/H) de un edificio regular de 0, 0.25, 0.50, 0.75 y 1.0 serían del orden de 1, 2, 3, 4 y 5 veces la intensidad máxima en el suelo respectivamente; esto considerando que en promedio la relación c/ao = 4 para las diferentes zonas de la Ciudad de México. La razón de enfatizar en este trabajo sobre las restricciones que los reglamentos de diseño plantean es tener un punto de comparación frente a las amplificaciones que se obtienen a través del modelo simplificado y así poder establecer si se está sobrestimando o subestimando su valor en la práctica. Resultados obtenidos Se calculó para cada caso, la historia de aceleraciones en los diferentes niveles de los edificios analizados para conocer el factor PFA/PGA que indica cuántas veces se amplificó el movimiento en un nivel del edificio (Xi/H) respecto a la máxima intensidad en la base del mismo; el termino PFA significa Peak Floor Acceleration mientras que PGA significa Peak Ground Acceleration. El movimiento en la base corresponde al registro de campo libre de las estaciones acelerométricas. Con fines ilustrativos, se presentan las aceleraciones calculadas con el modelo de Miranda y Taghavi (2004) en diferentes alturas de un edificio de marcos de concreto reforzado, ubicado tanto en Acapulco (sitio ACAC) como en zona de lago de la Ciudad de México (sitio SCT); los resultados (ver figura 4) corresponden a un edificio que tiene un período fundamental de 2 segundos y un amortiguamiento del 5 %. Se emplearon escalas verticales diferentes en ambos sitios para poder apreciar tanto el movimiento como su amplificación conforme se incrementa la altura. Aunque las escalas en la figura no permiten comparar ambos sitios, las intensidades registradas en la base de la estructura son mayores cuando ésta se encuentra ubicada en Acapulco debido a la cercanía de la fuente; sin embargo el período del suelo y el contenido de frecuencias respecto a suelo blando de la Ciudad de México son muy diferentes, que sumado a las características dinámicas del edificio hace que se amplifique mucho más el movimiento en niveles superiores para suelos con períodos altos.

5


Se puede observar que la amplificación en los diferentes niveles del edificio cuando este se encuentra en Acapulco es mínima, incluso en 0.75 veces la altura total del edificio hay un decremento en las intensidades del movimiento; el edificio se comporta prácticamente como un cuerpo rígido reflejando básicamente las ondas superficiales del suelo. Lo contrario ocurre cuando evaluamos la respuesta del edificio en la Ciudad de México, pues debido al contraste entre las propiedades dinámicas del suelo y la estructura, se presentan factores de amplificación en los distintos niveles de más de 10 veces la intensidad pico en la base.

Figura 4 Movimientos calculados en diferentes niveles de un edificio de marcos de concreto (α = 25),

ξ = 5 % y un período estructural T = 2 segundos ante el evento del 25 de abril de 1989. Con la información recopilada de los diferentes análisis para cada combinación de parámetros (T, ξ y α) y un sitio, obtuvimos escenarios que consideran eventos provenientes de diferentes fuentes (ver tabla 1) y permiten interpolar valores de la amplificación en un nivel del edificio (Xi/H) respecto a la intensidad pico registrada en la base (Amax) de una estructura con ciertas propiedades dinámicas. La relevancia de este punto es tanto para modelar y evaluar el comportamiento de contenidos y elementos no estructurales ubicados en cierto nivel de un edificio, como para tener una idea de la relación que puede existir entre rigidización estructural y daño. A continuación se muestran algunos escenarios de amplificación obtenidos de calcular la respuesta estructural en diferentes relaciones de altura para dos tipos de sistemas estructurales: muros y marcos de concreto (ver figuras 5a y 5b respectivamente); en adelante, solo se presenta los resultados asociados al 2 % de amortiguamiento, considerando que valores mayores implican reducción de las intensidades en los niveles superiores. En esta figura el eje horizontal representa una fracción de la altura total del edificio (Xi/H), el eje vertical indica el rango de intensidades pico en la base de la estructura y las diferentes curvas de nivel un determinado factor de amplificación (PFA/PGA) cuyo valor está asociado a la escala de colores que se presenta. Estas figuras se obtienen interpolando para las intensidades pico del suelo y alturas del edificio los resultados en cada caso a través del programa SURFER 7.0. Cada columna corresponde a un edificio con cierto período estructural y cada fila representa el sitio donde este se desplanta.

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Figura 5 Escenarios de amplificación en algunos sitios de la Ciudad de México y Acapula) edificios de muros de concreto (α = 2.5) y b) edificios de marcos de concreto (α = 25)

a)

c;

b)

o para: ξ = 2%

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Las figuras 4 y 5 permiten interpolar un valor de amplificación en un nivel del edificio de acuerdo a la intensidad pico en su base y a su período fundamental. Por ejemplo, se puede decir que en la azotea de una estructura con T = 2.0 segundos y para una intensidad máxima en su base de 1.0 m/s2, en Acapulco (sitio ACAC) se alcanzan factores de amplificación de 5 y 3 mientras que en la Ciudad de México (sitio SCT) se presentan valores de PFA/PGA de 11 y 10; en cada caso, el primer valor corresponde a un edificio estructurado a base de muros y el segundo a base de marcos de concreto. Los resultados en Acapulco (sitios ACAC, ACAD y ACAZ) se obtuvieron a partir de evaluar con el modelo el comportamiento lineal de los dos tipos de estructuras ante los eventos 2 y 4 de subducción y 5 de falla normal (ver tabla 1); los dos primeros sismos con distancias epicentrales de 45 km y 145 km, mientras que el último a una distancia a la fuente de poco más de 300 km. La mayor intensidad en el terreno fue registrada en el sitio ACAD, sin embargo esto no produce en un sistema estructural específico o cierto período fundamental amplificaciones superiores a 5 veces la intensidad pico en la base. Amplificaciones PFA/PGA mayores a 10 se observaron solo en la azotea de estructuras muy rígidas (T = 0.1 segundos) cuando la intensidad pico del movimiento en su base estaba por encima de 0.7 m/s2; edificios tanto de muros como marcos de concreto y periodos estructurales por encima de 1 segundo, presentan dentro del rango de intensidades pico consideradas, amplificaciones menores a 5 en niveles superiores. Diferencias importantes en la amplificación del movimiento se observan para un mismo valor de aceleración pico en la base: para una aceleración del suelo de 1 m/s2 en los sitios ACAD y ACAZ y estructuras muy rígidas se alcanzan amplificaciones menores a 5, mientras que en el sitio ACAC para esta misma intensidad el factor de amplificación puede ser hasta de 10; esto esta asociado al contraste de las propiedades del suelo y la estructura. Para los sitios de la Ciudad de México, se consideraron en todos los casos los eventos 1 y 2 de subducción a más de 300 km de distancia y como evento de falla normal se eligió para los sitios SCT y CDAO el evento 5 a más de 400 km mientras que para el sitio VI el evento 3 cuyo epicentro está alrededor de 200 km. Las máximas intensidades, superiores a 1.6 m/s2, fueron registradas en el sitio SCT ante eventos de subducción. En los sitios SCT y CDAO, se calcularon amplificaciones superiores a 10 veces la intensidad en la base de la estructura, en niveles superiores de edificios con períodos entre 2 y 4 segundos; lo mismo no ocurrió en el sitio VI, en donde las amplificaciones en ningún caso superaron un factor PFA/PGA = 7. Como se pudo ver, tanto para algunas estructuras ubicadas en Acapulco como en la Ciudad de México, valores de PFA/PGA mayores de 5 ya se presentan a partir de relaciones de Xi/H mayores a 0.50; esto indica que las normas están subestimando las fuerzas que bajo ciertas condiciones podrían presentarse pues consideran valores de amplificación menores de 5 en todos sus niveles, con el máximo en la azotea. Además, para una misma estructura se pueden obtener valores de amplificación muy diferentes si se encuentra desplantada, aún en sitios dentro de la misma zona en el valle de México; contrario a lo establecido en las normas, en las cuales para un mismo nivel del edificio la amplificación es prácticamente la misma independiente del sitio. En un trabajo previo a este, Reinoso y Miranda (2004) encontraron que en edificios altos de Estados Unidos, el valor esperado de la amplificación en niveles superiores del edificio no superaba un factor de 2.5 en azotea mientras que en niveles inferiores alcanzaba valores de 2.0; observaron que las provisiones dadas por el código eran conservadoras en niveles superiores y subestimaban las intensidades cerca de la base del edificio. Este tipo de resultados no pretenden sustituir las provisiones y recomendaciones dadas para diseñó sísmico en el código, solo pretenden aclarar y servir como herramienta de apoyo a futuras modificaciones de las normas. De la figura 4 podemos decir que: a) Aún para una estructura idéntica, un mismo valor de intensidad en el suelo o de la relación Xi/H no implica amplificaciones similares del movimiento debido a la variabilidad en las propiedades dinámicas del suelo sitio a sitio, b) mayores valores del amortiguamiento ξ implica reducciones en las amplificaciones en niveles superiores pero no necesariamente cambios en la forma del escenario, c) las máximas amplificaciones en un sitio se presentan para estructuras con períodos cercanos al período dominante del suelo y d) α no es un parámetro definitivo en el valor de amplificación en niveles superiores de un edificio, debido a que en el modelo su función es ajustar los principales picos del espectro de piso correspondientes a modos superiores (Miranda y Taghavi, 2004). La variación en la amplificación para dos valores extremos de α (2.5 y 25), en general es mayor del 15 % en el caso de muros (α=2.5).

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Regresiones Obtenidas Una vez obtenidas las amplificaciones en los sitios seleccionados, para estructuras con diferentes propiedades dinámicas, se procedió a hacer un análisis de regresión para plantear expresiones que en función de las variables identificadas como importantes durante la primera etapa del estudio, permitan estimar confiablemente el valor de la relación PFA/PGA en cierto nivel de un edificio. La exactitud de este tipo de expresiones está limitada a los valores dados a estas variables en los diferentes casos estudiados; sin embargo los resultados obtenidos con las mismas se ajustan en buena forma a aquellos calculados con el modelo como se verá mas adelante. Un estudio más riguroso que considere otros sitios en Acapulco y el valle de México, eventos provenientes de diferentes fuentes e intensidades y finalmente un rango de valores de α y ξ más amplio permitirá calibrar mejor los diferentes ajustes. Se proponen expresiones tanto para suelo blando como para transición en la Ciudad de México y otras para los sitios seleccionados en Acapulco, en función de el período estructural, el amortiguamiento y la fracción de la altura del edificio donde se quiere conocer la relación PFA/PGA. Para el caso en suelo blando además se requiere conocer el período dominante del suelo Ts. A partir de algunos fundamentos de la dinámica estructura, se establece que estas expresiones deben satisfacer como condición de frontera que PFA/PGA = 1 conforme T tiende a cero, independientemente del amortiguamiento y del parámetro α del modelo; esto se debe a que la aceleración pico que experimenta un sistema infinitamente rígido durante una excitación sísmica es igual a la aceleración máxima del terreno. A medida que T se hace muy grande los valores del factor de amplificación tienden a valores por encima o por debajo de 1. Después de considerar diferentes tipos de regresiones y evaluar el mejor ajuste a través del programa Curve Expert 1.3 se decidió adoptar en suelo blando de la Ciudad de México una familia de curvas de forma similar a la propuesta por Arroyo y Terán (2002) en un trabajo previo relacionado con factores de reducción de fuerzas sísmicas en el diseño de estructuras con sistemas de disipación de energía (ecuación 5).

sTT

sTTb

sTT

PGAPFA /0

1+⋅

−+

= ϕ

θ

(5)

En la ecuación 5 sólo se modificó el segundo termino de la expresión para asegurar las condiciones de frontera requeridas y a través de un análisis de regresión basado en mínimos cuadrados, se encontraron expresiones para los parámetros b, ϕ y θ en función de la relación Xi/H en cada caso (ecuaciones 6, 7 y 8); no tiene mucho sentido presentar los valores de los coeficientes A, B, C, D, E y F de las ultimas relaciones debido a que esta por fuera del enfoque de este trabajo y a que son resultados parciales considerando que se requiere, como mencionábamos, expresiones mas generales que involucren todas las variables que participan.

( ) ( )( )4

i4

i /HXA/HXθ += (6)

( ) iXHCi HXB ⋅⋅= /b (7)

( ) ( )( )2//1 HXFHXED ii ⋅+⋅+=ϕ (8) Tanto para transición en la Ciudad de México como para los diferentes sitios considerados en Acapulco, se adopto una regresión del tipo que se presenta en la ecuación 9.

TTTPGAPFA 0+⋅⋅= δβχ (9)

9


Los parámetros χ, β y δ que se presentan en las ecuaciones 10, 11 y 12 corresponden a los ajustes para los tres sitios de Acapulco; el valor de sus coeficientes (F, G, I, J, K, L, M, N y O), de igual forma, no tiene mucho sentido presentarlo. ( ) /HX I

ii/HXGχ ⋅⋅= (10)

( ) ( )( )2

ii H/XLH/XKJ1 ⋅+⋅+=β (11)

(12) ( ) ( 2// HiXOHiXNM ⋅+⋅+=δ ) En las figuras 6 y 7 se presentan tanto los factores de amplificación calculados con el modelo de Miranda y Taghavi (2004) como los ajustes propuestos para los diferentes sitios del valle de México y Acapulco; lo anterior para un amortiguamiento del 2 %, los dos tipos de estructuras y las fracciones de la altura total del edificio consideradas. Se estimaron factores de correlación de 0.8 en suelo blando de la Ciudad de México, en transición se alcanzaron valores de 0.7 y en Acapulco este varió entre 0.6 y 0.9. En el caso de terreno blando (sitios SCT y CDAO), las abscisas están normalizadas respecto al período dominante del suelo (TS) y se observa una forma muy definida de los espectros de amplificación, con un pico cuando el período del suelo y la estructura coinciden (efecto de resonancia), además de amplificaciones del movimiento entre base y azotea del edificio de un orden mayor a 12. En el sitio VI de la Ciudad de México, estructuras con períodos fundamentales de vibrar entre 1 y 3 segundos presentan amplificaciones menores a 7 veces la intensidad pico del movimiento del suelo. En Acapulco la tendencia es que las amplificaciones del movimiento, en los diferentes niveles del edifico, se reducen a medida que este es más flexible. Lo anterior es una evidencia de que es posible mitigar el peligro en contenidos de edificios, ubicados en suelos con una banda ancha de frecuencias de vibración, haciendo la estructura portante más flexibles y de que existe allí una relación entre rigidización estructural y el daño de los mismos; en suelo blando de Ciudad de México una forma de reducir el peligro en la base de los contenidos es alejando el período estructural del fundamental del suelo, ya sea rigidizando o flexibilizando la estructura.

Figura 6 Factores de amplificación PFA/PGA y ajustes para edificios ubicados en diferentes sitios de la Ciudad de México; ξ = 2%

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Figura 7 Factores de amplificación PFA/PGA y ajustes para edificios ubicados en diferentes sitios de la Ciudad de Acapulco; ξ = 2%

RESPUESTA DINÁMICA DE CUERPOS RIGIDOS Para obtener la respuesta paso a paso de un bloque rígido que oscila cuando es sometido al componente horizontal de eventos sísmicos registrados en campo libre o en un nivel determinado de un edificio a través de un modelo simplificado, se asume que el coeficiente de fricción entre la base y el bloque (µ) es lo suficientemente grande como para prevenir el deslizamiento en cualquier instante y que el cuerpo descansa sobre una superficie plana y horizontal (ver figura 8).

Figura 8 Oscilación y características de un cuerpo rígido sometido a un sismo en su base La formulación no lineal del problema esta dada por la ecuación 13 para el caso general (Makris y Roussos, 1998), que describe el movimiento en cada instante de un cuerpo rectangular rotando alrededor de su vértice en contacto con el suelo.

11


[ ] [ ]

−⋅+−⋅−= ))()(sgncos())()(sgnsin()(

..2..

ttg

uttpt g θθαθθαθ (13)

La ecuación 13 está en función de la aceleración del suelo üg, el giro θ(t), la frecuencia característica del sistema p = (3g/4R)0.5 (Housner, 1963) y el ángulo α = tan-1 (b/h). Los parámetros b y h corresponden a la mitad de la base y de la altura del cuerpo respectivamente y el cociente h/b representa la relación de forma del mismo. En esta expresión el prefijo sgn representa la función signo que toma un valor de -1 cuando el giro es en sentido negativo y de 1 cuando es positivo. Esta ecuación fue resuelta por Santa Cruz y otros (2000) bajo la suposición de que el cuerpo era esbelto (α < 20º o h > 2.75 b), para ello emplearon los métodos paso a paso de Newmark y de Recurrencia; la consideración hecha simplifica el problema y lo reduce a tener una formulación lineal del comportamiento dinámico del cuerpo rígido. Makris y Roussos (1998) ya habían resuelto el problema a través de un procedimiento de integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y no lineales que consideran el método de integración numérica de Runge – Kutta (Gerald y Wheatley, 1999; Mathews y Fink, 1999); esta solución la obtuvieron empleando subrutinas denominadas ODE del MATLAB (Hanselman y Littlefield, 1996) y sus resultados numéricos se compararon con los obtenidos de expresiones analíticas para el caso en que la excitación es un impulso y para registros de sismos de fuente cercana. En este trabajo se plantea la solución de la ecuación 13 a través del método de la diferencia central media, que se basa en una aproximación en diferencias finitas de las derivadas respecto al tiempo del desplazamiento (velocidad y aceleración); esto permite obtener la respuesta para el comportamiento no lineal del cuerpo rígido de forma mas eficiente, considerando que las subrutinas ODE del MATLAB son procesos iterativos menos prácticos en términos de tiempo. Para nuestros propósitos, el problema dinámico en estudio se plantea de acuerdo a la ecuación 14:

⋅+⋅

−= scg

oi RgRtu

Im )(

....θ (14)

Donde m es la masa del cuerpo, el momento de inercia del cuerpo rectangular esta dado por Io = (4mR2)/3 y los valores de los coeficientes RS y RC (ver ecuaciones 15 y 16) dependen del signo del giro θ(t). [ ] ))()(sgn( ttsenRsR θθα −⋅⋅= (15)

[ ] ))()(sgncos( ttRcR θθα −⋅⋅= (16) La respuesta θ(t) en el instante de tiempo t = i + 1 se calcula a partir de la ecuación del movimiento, sus derivadas y la respuesta conocida en instantes de tiempo previos; en nuestro caso a partir de los valores de rotación del cuerpo en los instantes t = i y t = i+1/2 (ver figura 9). Debido a que el problema es altamente no lineal es posible emplear el método de la diferencia central, solo si se modifican los incrementos de tiempo de tal forma que ∆t = ∆ti+1/2 = ∆ti+1 - ∆ti y se redefinen los medios pasos para las velocidades (ver ecuaciones 17 y 18). Se asume que se parte del reposo (θ(t) = 0, θ’(t) = 0) y que la aceleración se mantiene aproximadamente constante entre intervalos de tiempo ∆t, mientras que la velocidad y los desplazamientos varían de forma lineal y cuadrática respectivamente.

i +1/2 i -1/2

i +1/2 i -1/2

i +1 i i -1

Figura 9 Tiempos e Intervalos considerados en el método de la diferencia central media

12


(17) iii t..

2/1.

2/1.

θθθ ⋅∆+= −+

(18) 2/1.

1 ++ ⋅∆+= iii t θθθ Las diferentes soluciones obtenidas en este trabajo tienen en cuenta: a) la pérdida de energía debido al impacto entre el cuerpo y la base; esto se hace a través del coeficiente de restitución r (ver ecuación 19) dado por Makris y Roussos (1998), que depende de la esbeltez del bloque y que expresa que la velocidad angular después del impacto es una fracción de la que el cuerpo tenia antes del mismo (ver ecuación 20) y b) el cuerpo comienza a balancearse en el momento en que supera un cierto límite de intensidad (ecuación 21) obtenido del equilibrio de momentos en el vértice en contacto con la superficie de apoyo.

2

2 )(231

−= αsenr (19)

ii r.

1.

θθ ⋅=+ (20)

hbgu g >

.. (21)

Diferentes investigadores han presentado valores límites de la intensidad en la base del cuerpo antes de volcarse, cabe mencionar los siguientes: Housner (1963) considera que el cuerpo se voltea en el instante en que supera su condición de equilibrio estático (θ(t) > α) y presenta una expresión para la aceleración límite ante un movimiento senoidal armónico, Ishiyama (1982 y 1984) establece a partir de pruebas de barridos de frecuencias para diferentes simulaciones que la intensidad necesaria para volcar un cuerpo rígido es la misma dada por la ecuación 21 (formula de West), Santa Cruz y otros (2000) consideran que el cuerpo se voltea cuando el ángulo de giro θ(t) > 1.4 radianes (≈ 80o) y en trabajos más recientes Psycharis y otros (2002) determinan una expresión para la aceleración mínima necesaria para voltear el cuerpo por primera vez, ante movimientos armónicos en su base, en función de diferentes parámetros que intervienen en su dinámica. En la figura 10 se presenta una comparación de las dimensiones críticas de volcamiento para cuerpos rígidos, considerando los diferentes criterios mencionados y el evento del 19 de septiembre de 1985 registrado en la estación SCT, en suelo blando de la Ciudad de México.

Figura 10 Dimensiones críticas de cuerpos rígidos para diferentes criterios de volcamiento ante el

evento del 19 de septiembre de 1985 en SCT

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A partir de lo observado en la figura 10 (triángulos) se optó por no considerar la expresión propuesta por Housner (1963) debido a que Makris y Roussos (1998) demostraron que la mínima aceleración pico propuesta en su trabajo durante vibración libre del cuerpo es incorrecta y debido a ello se sobreestiman por mucho las dimensiones criticas de los cuerpos; se puede ver en la misma figura que para anchos (b) del cuerpo rígido mayores a 0.25 m ya se sobreestima en más de 2 veces la altura de volcamiento. Como se verá más adelante el criterio de considerar el volcamiento después de superar el estado de equilibrio estático se cumple en algunos casos aunque debido a que se esta modelando el comportamiento no lineal del cuerpo ello puede llevar a sobreestimar o subestimas las dimensiones críticas. Como criterio de volcamiento se seleccionó el dado por Santa Cruz y otros (2000) para considerar que el cuerpo superó su condición de equilibrio estático y tener en cuenta que durante el balanceo de cuerpos rígidos sin deslizamiento se han alcanzado rotaciones mayores al valor del ángulo (Hogan, 1989). Verificación del Modelo Se programó en VISUAL BASIC 6.0 tanto la solución general a través del método de la diferencia central media como la metodología para cuerpos esbeltos propuesta por Santa Cruz y otros (2000). En adelante cuando se hable de dimensiones críticas nos referimos a aquellas de la base y altura del cuerpo en estudio para las cuales se voltea ante un movimiento en su base. Este programa permite obtener: 1) las dimensiones críticas de bloques rígidos sujetos a movimientos en su base; 2) historias de rotación, velocidad y aceleración angular y 3) una animación de como responde el cuerpo ante una excitación en su base en determinado instante (ver figura 11).

Figura 11 Programa para estudiar el comportamiento dinámico no lineal de cuerpos rígidos ante un sismo en su base

En la figura 12 se presentan los resultados obtenidos con el modelo desarrollado en este trabajo a través del método de la diferencia central media, a través del modelo de Santa Cruz y otros (2000) y de la solución obtenida empleando las funciones ODE del MATLAB. Con fines comparativos con los resultados presentados por Makris y Roussos (1998), se modeló el caso de un bloque de dimensiones b = 0.5 m y h = 1.5 m sujeto al registro de la estación Rinaldi del sismo de Northridge (17/01/94) escalado al 75 %. Como se puede ver en esta figura los mejores resultados al resolver el caso no lineal, comparando con los resultados de Makris y Roussos (1998), se obtienen con el modelo desarrollado en este trabajo.

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Figura 12 Rotación y velocidad angular de un cuerpo rígido sujeto al sismo de falla normal registrado

en la estación Rinaldi en enero de 1994 RESULTADOS OBTENIDOS La esta parte del trabajo se evalúa la respuesta dinámica de cuerpos rígidos de varias relaciones de forma (h/b), ubicados en los diferentes niveles de los edificios estudiados y sometidos a los movimientos calculados en los mismos a través del modelo de Miranda y Taghavi (2004). En las figuras 13 y 14 se muestran las dimensiones críticas de volcamiento, obtenidos para contenidos de una estructura de 2 segundos de período fundamental ubicada en los diferentes sitios considerados, para un amortiguamiento del 2 % y ante el evento de subducción del 25 de abril de 1989. En las figuras 13 y 14, los rombos representan las dimensiones críticas para un cuerpo rectangular que se voltea ante cierta intensidad en su base, en este caso la calculada en la azotea del edificio. Se hizo un barrido de valores para el ancho (2b) de cuerpos rígidos y se estimó a través del modelo que valor de h era necesario para que se volteara. En estas figuras, la línea de color negro corresponde a un límite propuesto por Housner (1963) para clasificar cuerpos esbeltos y robustos y la línea color rojo representa la máxima altura de entrepiso considerada en este trabajo (3 m) para edificios convencionales y que se establece como una cota superior para la altura del contenido (2h). La línea punteada representa las dimensiones para iniciar el balanceo de un cuerpo sometido a un movimiento de cierta intensidad; su valor esta dado por la ecuación 21 y es tomada por Ishiyama (1982 y 1984) como un valor crítico de la intensidad para que ocurra el colapso. Los resultados del modelo no lineal de cuerpos rígidos presentado en esta investigación, muestran que la ecuación 21 da buenos resultados en zonas de suelo blando y transición del Valle de México (ver figura 14) mientras que en diferentes sitios de Acapulco se observa que, para un mismo ancho total 2b del cuerpo, esta puede subestimar o sobreestimar la altura de volcamiento (ver figura 13). Para edificios a base de marcos de concreto reforzado ubicados en los sitios ACAC, ACAD y ACAZ, después de un valor de las abscisas de 0.25 m la formula de West presenta valores muy conservadores, mientras que para un edificio en el sitio ACAC cuya resistencia es aportada principalmente por muros de concreto la misma expresión sobreestima la altura de volcamiento en valores de 2b < 0.4 m. En general se pudo observar que los cuerpos esbeltos, correspondientes a las observaciones (rombos) que se encuentran por encima de la línea color negro, son los más vulnerables y pueden colapsar en los diferentes niveles de edificios ubicados tanto en el centro como cerca de la costa del Pacífico de México. Es probable que se volteen algunos cuerpos robustos si: a) están ubicados en niveles superiores de estructuras cuyo período fundamental es cercano al período del suelo en donde se desplanta, un ejemplo de ello se observó en el sitio SCT para un α = 25 (ver figura 14) o b) si se encuentran en estructuras desplantadas en sitios cercanos al epicentro del sismo, como es el caso del sitio ACAD para α = 2.5 y 25 (ver figura 13) a una distancia de poco mas de 50 km de la fuente del evento 2 (ver tabla 1).

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Figura 13 Dimensiones críticas para el volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en la azotea de edificios desplantados en la Ciudad de Acapulco; T = 2 segundos y ξ = 2 %

Figura 14 Dimensiones críticas para el volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en la azotea de

edificios desplantados en la Ciudad de México; T = 2 segundos y ξ = 2 % Con las dimensiones críticas de volcamiento calculadas en los diferentes casos estudiados se obtuvieron escenarios que relacionan, para los sitios en Acapulco y la Ciudad de México, la ubicación del cuerpo rígido

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dentro del edificio (Xi/H) y la intensidad pico (PFA) en un nivel determinado del mismo a la que este se ve sometido con la relación de forma h/b (ver figuras 15 y 16). De esta figura es posible interpolar valores de la relación de forma para las cuales un cuerpo rectangular se voltea cuando esta ubicado en cierto nivel de una estructura que presenta un período estructural (T); por ejemplo un cuerpo rígido situado en la azotea de un edificio localizado en zona de lago del valle de México (sitio SCT) y estructurado a base de marcos de concreto, con un período fundamental de 1 segundo y un amortiguamiento del 2 %, requiere para voltearse valores de la relación h/b mayores a 4 ante una intensidad de 3 m/s2 (ver figura 16). Las figuras presentan diferentes escalas en sus ordenadas para evitar extrapolar la información e indicar el rango de valores considerados en cada caso. Como se vio en la figura 4 y como se ve en las figuras 15 y 16, aparentemente el valor del parámetro α no es definitivo para estimar, en estructuras con propiedades dinámicas similares, las máximas intensidades en un nivel o las dimensiones críticas de cuerpos rígidos produciendo escenarios similares; esto se puede ver en especial para sitios en suelo blando como SCT (ver figura 16), donde las escalas en las ordenadas para un mismo período estructural presentan valores semejantes. De nueva cuenta, a la hora de evaluar un probable peligro para contenidos en edificios, menores amortiguamientos (ξ ) permiten mayores amplificaciones del movimiento en altura respecto al nivel del suelo; esto es de suma importancia ya que el tipo de movimientos considerados en la evaluación de la vulnerabilidad de contenidos es de intensidad moderada y para la revisión del estado límite de servicio ante estos niveles de solicitación se espera que la estructura no se vea afectada o sufra daño ligero y en el caso de estructuras de concreto sin elementos frágiles se le asocia a ξ un valor del 2 % (Meli y Reyes, 2002).

PFA

h/bT = 0.1 s T = 1.0 s T = 2.0 s T = 3.0 s T = 4.0 s T = 5.0 s

Xi / H

a) Sitio ACAC; α = 2.5

T = 0.1 s T = 1.0 s T = 2.0 s T = 3.0 s T = 4.0 s T = 5.0 s

PFA

Xi / H

b) Sitio ACAC; α = 25

Figura 15 Valores de la relación de forma (h/b) para volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en diferentes niveles de edificios de la Ciudad de Acapulco; ξ = 2%

17


h/b

Xi / H

T = 4.0 sT = 3.0 s T = 5.0 s T = 2.0 sT = 1.0 s T = 0.1 s

PFA

a) Sitio SCT; α = 2.5 T = 0.1 s T = 1.0 s T = 2.0 s T = 3.0 s T = 4.0 s T = 5.0 s

PFA

Xi / H

b) Sitio SCT; α = 25

Figura 16 Valores de la relación de forma (h/b) para volcamiento de cuerpos rígidos ubicados en diferentes niveles de edificios de la Ciudad de México; ξ = 2%

Para valorar adecuadamente cada escenario es necesario considerar que la base de la mayoría de los bloques encontrados en la práctica presenta valores en el rango 0.15 m < b < 1.0 m y que la relación de forma suele ser menor de 2.5 (Psycharis y otros, 2002); según lo observado, estas condiciones se presentan cuando el período estructural y el dominante del suelo son cercanos. En el caso de Acapulco, lo anterior ocurre para niveles superiores de estructuras muy rígidas con un período estructural entre 0.1 y 1.0 segundos y en algunos casos aislados cuando T > 3 segundos haciendo h/b < 2; según los resultados obtenidos, pueden colapsar contenidos ubicados en estructuras de zona de lago de la Ciudad de México si estas presentan un período fundamental entre 1 y 3 segundos principalmente. Las conclusiones previas manejan el criterio de clasificación de contenidos robustos con dimensiones típicas pero no quieren decir que otro tipo de cuerpos están exentos de caer y dañarse para cierta intensidad; en cada escenario es posible asociar para cierta aceleración máxima, las dimensiones críticas que debería tener un cuerpo (esbelto o robusto), ubicado en cierto nivel de un edificio, para voltearse. CONCLUSIONES Un método simplificado para obtener una rápida estimación de intensidades pico en edificios a base de marcos (α =25) o muros de concreto (α =2.5), que tienen un comportamiento elástico o cercanamente elástico y sujetos a sismos en su base, fue empleado tanto para determinar expresiones que relacionen la amplificación

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del movimiento respecto al suelo como para delimitar el comportamiento de cuerpos rígidos ubicados en diferentes niveles de la estructura con varias relaciones de forma h/b; lo anterior para diferentes sitios de Acapulco y la Ciudad de México. Se obtuvo y programó un modelo para estudiar el comportamiento dinámico de cuerpos rígidos, robustos y esbeltos, ante movimientos en su base provenientes de diferentes orígenes; en el planteamiento se emplearon y evaluaron las limitaciones de algunos de los principales criterios de volcamiento considerados en investigaciones previas. Trabajos posteriores permitirán obtener escenarios completos en función de la amplificación del movimiento o de las dimensiones criticas de contenidos si se consideran en el primer caso sitios y edificios con propiedades dinámicas diferentes, sometidos a eventos provenientes de diversas fuentes y en el segundo caso modelos mas sofisticados de cuerpos tanto flexibles como rígidos para otros tipos de comportamiento, distribución no uniforme de la masa y sistemas de sujeción y anclaje; su calibración dependerá del empleo de modelos a escala y dispositivos diseñados para reproducir en laboratorio intensidades y giros esperados. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Arredondo C., Reinoso E. y Miranda E. (2004), “Demandas aproximadas para edificios instrumentados en el valle de México”. XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, Acapulco, Gro., México, Noviembre. Arroyo D. y Terán A. (2002), “Factores de reducción de fuerza sísmica para el diseño de estructuras con sistemas pasivos de disipación de energía”, Revista de Ingeniería Sísmica, SMIS, No. 66, Enero-Junio, pp. 73-93. Gerald C. y Wheatley P. (1999), “Applied numerical analysis”, Sixth Edition, pp. 458-500. Gutiérrez C. y Singh S. (1992), “A site effect study in Acapulco, Guerrero, Mexico: comparison of results from strong-motion and microtremor data”, Bulletin of the Seismological Society of America, vol. 82, No. 2, April, pp. 642-659. Hanselman D. y Littlefield B. (1996), “Mastering MATLAB: a comprehensive tutorial and reference”, Prentice Hall, Sixth Edition, pp. 167-168. Hogan S. J. (1989), “On the dynamics of rigid-block motion under armonic forcing”, Proc. Royal Soc. London, Series A, London, England, vol. 425, pp. 441-476. Housner G.W. (1963), “The behavior of inverted pendulum structures during earthquakes”, Bulletin of the Seismological Society of America, vol. 53, No. 2, February, pp. 403-417. Ishiyama Y. (1982), “Motions of rigid bodies and criteria for overturning by earthquake excitations”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, vol. 10, pp. 635-652. Ishiyama Y. (1984), “Motions of rigid bodies and criteria for overturning by earthquake excitations”, Bulletin of the New Zealand Society for Earthquake engineering , vol. 17, No. 1, March, pp. 24-37. Jaimes M (2002). “Riesgo sísmico en el valle de México para varios períodos de retorno debido a sismos de subducción y falla normal”, Tesis de Maestría, DEPFI, UNAM, Noviembre. Lazares F (2003). “Respuesta sísmica y posible comportamiento no lineal del suelo en la Ciudad de Acapulco”, Tesis de Maestría, DEPFI, UNAM, Febrero. Makris N. y Roussos Y. (1998), “Rocking response and overturning of equipment under horizontal pulse-type motions”, Report PEER-1998/05, Pacific Earthquake Engineering Research Center, College of Engineering, University of California, Berkeley, October.

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Mathews J. y Fink K. (1999), “Numerical methods using MATLAB”, Prentice Hall, Third Edition, pp. 458. Meli R. y Reyes C. (2002), “Criterios de diseño sísmico por desempeño y su aplicación en el reglamento de construcciones para el distrito federal”. VII Simposio Nacional de Ingeniería Sísmica, Cuernavaca, Morelos, México, Noviembre, pp. 1-18. Miranda E. y Reyes C. J. (2002), “Approximate lateral drift demands in multi-story buildings with non-uniform stiffness”, Journal of Structural Engineering, vol. 128, No. 7, pp. 840-849. Miranda E. y Taghavi S. (2004), “Approximate floor acceleration demands in multi-story buildings. I: Formulation”, Submitted for review and possible publication in Journal of Structural Engineering, ASCE. NTCS-2002 (2002), “Propuesta de normas técnicas complementarias para diseño por sismo”, http://www.smie.or.mx/articulos, abril. Psycharis N., Syngros C., Mimoglou P. y Taflambas I. (2002), “Parametric investigation of the overturning of rigid blocks under dynamic loading”, 12th European Conference on Earthquake Engineering, London, U.K., September, paper reference 013. Reinoso, E. y Lermo J. (1991), “Periodos del suelo medidos en el valle de México durante sismos y con vibración ambiental”, IX Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Manzanillo, México, 2, 149-156. Reinoso E. Y Miranda E. (2004), “Estimation of floor acceleration demands in high rise buildings during earthquakes ”, Submitted for review and possible publication in Journal of Tall Buildings. Reinoso E. Y Miranda E. (2004), “Rapid estimation of floor acceleration demands in tall buildings during earthquakes ”, LATBSDC Tall Buildings conference. Santa Cruz S., Ordaz M. y Guerrero del Ángel R. (2000), “Estimación de perdidas en contenidos dentro de naves industriales debido a sismos”. XII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, León, Gto., México, Noviembre. Spanos D. y Koh Aik-Siong (1984), “Rocking of rigid blocks due to harmonic shaking”, Journal of Engineering Mechanics, vol. 110, No. 11, November, pp. 1627-1641. Taghavi S. y Miranda E. (2004), “Approximate floor acceleration demands in multi-story buildings. II: Applications”, Submitted for review and possible publication in Journal of Structural Engineering, ASCE.

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http://www.smie.or.mx/articulos

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