sociedad mexicana de ingeniería estructural, a.c. 114...2015/05/08 · sociedad mexicana de...

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS CONSIDERANDO UNA PRESIÓN LINEAL VARIABLE DEL SUELO

Diego Miramontes De León 1

RESUMEN El diseño de zapatas aisladas, implica generalmente un procedimiento de aproximaciones sucesivas. En este proceso, se asume una distribución uniforme de esfuerzos bajo la cimentación, lo que representa una aproximación burda. Cuando se abandona esta hipótesis y se estima el mismo esfuerzo bajo la acción de la carga axial y los momentos flexionantes se puede violar el valor máximo admisible del terreno. En este trabajo, se proponen expresiones directas para determinar tanto las dimensiones en planta de zapatas aisladas con diferentes condiciones de borde, como el cálculo de los elementos de diseño por cortante y flexión para una distribución lineal de esfuerzos.

ABSTRACT Dimensioning of isolated footings are commonly derived using a successive approximation approach. In the design process, a uniform distribution of stresses under the base is assumed. This assumption leads to a poor representation of equilibrium. When this assumption is not used and the same stresses are calculated under the actuating axial load and moments, the maximum permissible stress of the soil can be exceeded. In this work, direct expressions to determine both the dimensions in the base of isolated footings with different edge conditions, and the calculation of the design elements by shear and flexion for a linear stress distribution are proposed.

INTRODUCCIÓN El diseño de zapatas aisladas, no resulta generalmente de la solución de una ecuación explícita, si no que las dimensiones se determinan a partir de un procedimiento de aproximaciones sucesivas. Se admitirá que el procedimiento aquí descrito, corresponde a cimentaciones superficiales, y que la elección de la misma incluye el conocimiento de la resistencia del suelo y el tipo de estructura por soportar. El esfuerzo bajo el suelo se denomina σ, mientras que la resistencia se designa por qp. La capacidad portante o carga de punzonamiento de la zapata, está dada por la superficie útil multiplicada por qp (Whalter et Miehlbradt, 1990). Conociendo la capacidad portante, el esfuerzo admisible σadm se deduce de la carga de punzonamiento, tomando un factor de seguridad global γs de 2 a 5. La práctica ha mostrado que para un suelo denso, γs=5 para valores de ϕ>35o. Para ϕ comprendido entre 30o y 35o, se adopta γs=4 y para ϕ<30o γs=3. Para un suelo húmedo, se adopta γs=2. En este trabajo, se supondrá conocido el valor de σadm. Para una combinación de carga vertical y momentos flexionantes, la posición de la resultante vertical Rv, puede determinarse según se muestra en la Figura 1. Esta resultante actúa en el centro geométrico de la superficie útil, dada por las dimensiones b' y l'. Para determinar estas dimensiones se debe cumplir :

admv lbR σ''≤ (1) Para el caso de una columna excéntrica, deben considerarse las excentricidades de la misma en las definiciones de ex y ey.

1 Facultad de Ingeniería, Ingeniería Civil, Universidad Autónoma de Zacatecas, Av. López V. No. 801,

98000, Zacatecas, Zac., [email protected]

957

114

mailto:[email protected]

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

HIPÓTESIS COMUNES DE CÁLCULO • Para tomar en cuenta la excentricidad ex y ey de la resultante Rv, se recurre a la noción de superficie útil.

Se considera que una parte de la zapata, simétrica con respecto a Rv, es útil y la otra parte es inoperante para el caso de la carga considerada.

• Las excentricidades máximas de la resultante ex y ey se limitan a b/4 y l/4. • Los esfuerzos del suelo se admiten uniformemente repartidos sobre la superficie útil. • Las cargas determinantes conducen a las combinaciones más desfavorables de N, Mx, My, Hx y Hy. Estas

acciones corresponden respectivamente a la fuerza normal, dos momentos flexionantes y dos fuerzas horizontales.

Rv

σadm

b’b’/2 b’/2

+ Rv

l’/2

l’/2

l’

ex

ey

Figura 1. Distribución uniforme en área útil

El diseño de la zapata se considera adecuado, cuando la zapata es estable, lo que se traduce por el control de ciertos valores límite, definidos por algunas reglas geotécnicas : • Ruptura por punzonamiento • Estabilidad contra volteo, con respecto al borde de la zapata • Aplastamiento • Deslizamiento • Espesor • Refuerzo de la zapata

El refuerzo por flexión se calcula a partir de los momentos Mx y My. El refuerzo calculado corresponde a la sección útil, sin embargo por razones constructivas, el refuerzo se prolonga a toda la sección.

ZAPATAS CON PRESIÓN NO CONSTANTE El concepto más importante en este trabajo, al calcular las dimensiones de la zapata aislada, implica el considerar una presión variable y distribuida en toda la superficie de contacto entre la cimentación y el suelo (Fig. 2). Entonces, para una zapata aislada sujeta a una carga axial y dos momentos flexionantes ortogonales, la presión en cada una de las esquinas puede determinarse por :

x

x

y

y

SM

SM

AP ±±=σ (2)

958

114


Pu

Mx

My

σ1

σ4

σ3

σ2

Figura 2. Diagrama de presión para zapata aislada

Si además

12

3xy

yLL

I = (3)

2xL

X = (4)

6x

yAL

S (5)

6y

xAL

S (6)

Substituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la ecuación 2 y si se propone una relación entre los lados de la zapata (ecuación 7) se obtiene una expresión para σ con una sola incógnita (ecuación 8). Además, σ puede obligarse a tomar el valor máximo de σadm :

y

x

LL

r = (7)

332266

y

x

y

y

y rLM

Lr

M

rLP ++=σ (8)

Resolviendo para Ly se tiene :

0

66

3 =

+

−−σσ r

rM

ML

rPL

yx

yy (9)

959

114


Si se tienen excentricidades adicionales por tratarse de zapatas de borde o de esquina, es posible agregar éstas en el cálculo de los esfuerzos provocados por los momentos que resultan (Fig. 3) :

06

61663 =

+−

++−

rM

Mr

Lr

PL yxyy σσ

βα (10)

Si la zapata es de borde, α=0 ó β=0, si es de esquina α≠0 y β≠0. Además, si la posición de la columna produce un momento opuesto a los momentos Mx o My, α y β deben ser negativos. Puede verse que para el caso de una zapata intermedia α=0 y β=0 con lo que se regresa a la ecuación 9. Después de resolver 9 ó 10, se determina Lx por la ecuación 7. Los valores aceptables de α y β deben ser inferiores a 0.5.

βLy

αLx

Lx

β=0

αLx

Ly

Lx Figura 3.- Excentricidades de la columna por condiciones de borde

CÁLCULO DEL VOLUMEN DE PRESIÓN Una vez calculadas las dimensiones en planta se pueden determinar los esfuerzos de presión bajo la zapata en cada esquina (ecuaciones 14 a 17). En este caso, las excentricidades están dadas por la relación de momento y carga axial :

PM

e yx = (12)

PM

e xy = (13)

Si además existe excentricidad de la columna por condiciones de borde, se agregará el valor correspondiente a cada dirección. Entonces, los esfuerzos en cada esquina están dados por :

−−=

x

x

y

y

Le

Le

AP 66

11σ (14)

+−=

x

x

y

y

Le

Le

AP 66

12σ (15)

−+=

x

x

y

y

Le

Le

AP 66

13σ (16)

++=

x

x

y

y

Le

Le

AP 66

14σ (17)

960

114


Una vez identificados los valores de σ en cada esquina se determina una función σxy (ecuación 18) capaz de identificar el esfuerzo de presión bajo cualquier punto de la zapata. Ahora se ha considerado conveniente utilizar la esquina sujeta a σmin=σ1 como el origen del sistema de referencia. Además integrando esta función con respecto a x y y (ecuación 19), se determina el volumen de esta presión :

yx

yxxy LL

xLxyyL *2

*2

*3

*4

*3

1)( σσσσσ

σσ+−−+

+= (18)

1* σσσ −= ii , i = 2,3,4

∫ ∫

+++=⋅=

y xL L

yxxy LLdydxV0

4321

04

σσσσσ (19)

Procediendo en forma similar, se determinan las coordenadas centroidales de este volumen :

)(3)22(

4321

4321

σσσσσσσσ

++++++

= xLX (20)

)(3)22(

4321

4321

σσσσσσσσ

++++++

= yLY (21)

Las ecuaciones 19 a 21 también pueden escribirse en términos de los esfuerzos : 1

* σσσ −= ii

+

++= 1

*2

*3

*4

4σσσσ

yx LLV (22)

+++

+++=

1*2

*3

*4

1*2

*3

*4

)(4112

)622(

σσσσ

σσσσxLX (23)

+++

+++=

1*2

*3

*4

1*2

*3

*4

)(4112

)622(

σσσσ

σσσσyLY (24)

Secciones críticas Las expresiones 19 a 21 ó las expresiones 22 a 24, pueden aplicarse para calcular el volumen de presión de cualquier área definida por los puntos de secciones críticas. Estas secciones críticas pueden estar identificadas de acuerdo a algún reglamento de diseño (NTC 2001, ACI 1995). Considerando la propuesta para las Normas Técnicas Complementarias para diseño y construcción de estructuras de concreto, la sección crítica por penetración está dada por el perímetro al rededor de la columna, medido a una distancia d del paño de la columna, donde d es el peralte efectivo a flexión de la zapata. El valor del peralte d requiere ser determinado por aproximaciones sucesivas, en donde se debe verificar, preferentemente, que el esfuerzo máximo por penetración sea menor que el esfuerzo que resiste el concreto sin ayuda de refuerzo transversal. Para una zapata cualquiera, es posible identificar de manera definitiva las coordenadas de cada sección crítica. De esta manera se calculan los esfuerzos para cada punto, así como los volúmenes asociados (Figs. 4, 5 y 6). El cortante como viga ancha, debe revisarse en cada dirección ortogonal, ya que no se ha impuesto ninguna condición a la relación entre Mx y My. Es decir, cualquiera puede ser mayor que el otro (Figs. 5 y 6 ).

961

114


1

3 4

2X

YLx

Ly

cx

cy

Figura 4. Puntos de la sección crítica por penetración

1

3 4

2

YLx

Ly

cx

cy

1

3 4

2 X

Lx

Ly

cx

cy

flexi

ón

cort

ante

d

Figura 5. Secciones críticas por cortante y flexión paralelas a Ly

1

3 42

YLx

Ly

cx

cy1

3 4

2

X

Lx

Ly

cx

cy

flexióncortante

d

Figura 6. Secciones críticas por cortante y flexión paralelas a Lx

Cortante por penetración x1 = ½(Lx – (c1+d)); y1 = ½(Ly – (c2+d)) x2 = ½(Lx + (c1+d)); y2 = y1 x3 = x1; y3 = ½(Ly + (c2+d)) x4 = x2; y4 = y3

Flexión My (sección paralela a Ly) x1 = ½(Lx + c1); y1 = 0 x2 = Lx; y2 = y1 x3 = x1; y3 =Ly x4 = x2; y4 = y3

Cortante como viga ancha (sección paralela a Ly) x1 = ½(Lx + c1)+d; y1 = 0 x2 = Lx; y2 = y1 x3 = x1; y3 =Ly x4 = x2; y4 = y3

962

114


Cortante como viga ancha (sección paralela a Lx) x1 = 0; y1 = ½(Ly + c1)+d x2 = Lx; y2 = y1 x3 = x1; y3 =Ly x4 = x2; y4 = y3

Flexión My (sección paralela a Lx) x1 = 0; y1 = ½(Ly + c2) x2 = Lx; y2 = y1 x3 = x1; y3 =Ly x4 = x2; y4 = y3

EJEMPLO NUMÉRICO Se diseñará una zapata interior sujeta a una carga axial P de 833.57 kN (85Ton) y un solo momento My de 78.453 kN-m (8Ton-m) al rededor del eje y para acciones verticales. Una carga axial P de 0kN y un solo momento My de 343.23 kN-m (35T-m) al rededor del eje y para acciones accidentales. La capacidad última del terreno es de σult = 215.7 Kpa (22 Ton/m2). El peso volumétrico del concreto es de γc=23.536 kN/m3 (2.4 T/m3), y el del suelo es de γs=12.749 kN/m3 (1.3 T/m3). Tiene una columna de 0.60m por 0.40m y el espesor propuesto de la zapata es de 0.65m, con un desplante a 1.5m. FC será el factor de carga igual a 1.4 para acciones verticales e igual a 1.1 para acciones verticales más accidentales.

z

h

PM

Figura 7. Zapata con carga P y momento M

Además de propone una relación entre dimensiones r =Lx/Ly = 1.75. Las características materiales son : = 19.613Mpa (200 kg/cm'

cf 2), 411.88Mpa (4200kg/cmyf 2).

Las combinaciones de carga a considerar son : a) Carga Muerta más carga Viva (CM+CV)

P = 833.565 kN M=78.453 kN-m

b) Carga Accidental (CA) P=0 M=343.23 kN-m

Para cada condición el esfuerzo admisible será :

[ csultadm hhzFC γγσσ +−−= )( ] (25) donde z es la profundidad de desplante y h es el peralte total de la zapata. Dimensiones en planta 1ª Combinación (CM+CV) El esfuerzo admisible es = 179.2 Kpa ( )536.23)65.0(749.12)85.0(4.17.215 +−=amdσLa carga y momento de diseño son : Pd = 1.4(833.57)=1166.99 kN, Md = 1.4(78.453) = 109.834 kN-m Aplicando la ecuación 9 o 10, las dimensiones de la zapata resultan :

075.1

)834.109(6)2.179(75.1

1)2.179(75.1

99.11663 =

−

− yy LL ; Resolviendo Ly=2.07m por lo que Lx=3.63m

2ª Combinación (CM+CV+CA) El esfuerzo admisible es : = 186.995 Kpa ( )536.23)65.0(749.12)85.0(1.17.215 +−=amdσLa carga y momento son : Pd = 1.1(833.565)=916.912 kN; Md = 1.1(78.453+343.23) = 463.85 kN-m Aplicando la ecuación 9 o 10, las dimensiones de la zapata resultan :

963

114


075.1

)85.463(6)995.186(75.1

1)995.186(75.1

912.9163 =

−

− yy LL

Resolviendo Ly=2.23m por lo que Lx=3.91m. La segunda combinación rige, por lo que se tomarán Ly = 2.25m y Lx = 3.90m. Este problema ha sido resuelto en el Manual de Diseño de Obras Civiles de la CFE (CFE-IIE 1981) usando las hipótesis comunes descritas al inicio de este trabajo. Las dimensiones obtenidas ahí (Ly=2.0m, Lx=3.5m), provocan esfuerzos en el terreno mayores a σult cuando se calculan en cada punto. Utilizando los mismos valores que ahí se presentan, se tiene : CM+CV Pd=1422.94 kN; Md=109.83 kN-m; ex=0.077m y con la ecuación 17, σmax = 230.06Kpa. (6.6% mayor) CM+CV+CA Pd=1117.96 kN; Md=463.85 kN-m; ex=0.415m y con la ecuación 17, σmax = 273.31Kpa. (26.7% mayor) Cortante por penetración El peralte efectivo d = 58.7cm para cortante, también fue tomado de la referencia antes citada. Aquí se tomará igual para la flexión. Como en la sección anterior, se consideran dos combinaciones de carga. 1ª Combinación (CM+CV) Una vez conocidas las dimensiones en planta, la carga última de diseño es :

( )rellenozapatad PPPP ++= 4.1 ; =1488.06kN ( ))749.12)(25.2(99.3()536.23)(25.2)(9.3(57.8334.1 ++=dP El momento sigue siendo Md=1.4(78.453)=109.834kN-m. Con este valor se determinan las excentricidades para obtener por medio de las ecuaciones 14 a 17 los esfuerzos en cada esquina . En este caso :

mex 0738.006.1488

834.109 == ; , por lo que : 0=ye

Kpa326.1509.3

)0738.0(61

)9.3(25.206.1488

1 =

−=σ ; Kpa837.1889.3

)0738.0(61

)9.3(25.206.1488

2 =

+=σ

Además, σ 3= σ1, σ4=σ2 y se verifica σmax = σ2 = σ4 < σult. El volumen total bajo la zapata, se obtiene por la ecuación 19 ó 22, de donde resulta :

kNVtot 06.14884

)837.188(2)326.150(2)9.3(25.2 =

+=

Obsérvese que este valor coincide con Pd. De acuerdo a la sección crítica mostrada en la figura 4, y para las coordenadas x, y y, se tiene : x1 = ½(Lx – (c1+d)) = 1.3565; y1 = ½(Ly – (c2+d)) = 0.6315 x2 = ½(Lx + (c1+d)) = 2.5435; y2 = y1 x3 = x1; y3 = ½(Ly + (c2+d)) = 1.6185 x4 = x2; y4 = y3 Para estas coordenadas y con la ecuación 18, se tienen los valores de esfuerzo :

964

114


1* σσσ −= ii ; i = 2,3,4; , *

4*2 511.38 σσ == 0*

3 =σ

'3

'1 721.163326.150

)9.3(25.2)3565.1)(25.2(511.38 σσ ==+

= Kpa ;

'4

'2 441.175326.150

)9.3(25.2)5435.2)(25.2(511.38 σσ ==+

= Kpa

El volumen bajo la sección crítica es :

kNVol 673.1984

)441.175(2)721.163(2)987.0(187.1' =

+= ;

El cortante último es Vu = 1.4 P – Vol = 1166.991-198.673 = 968.318kN '

Transferencia de momento El esfuerzo cortante en la sección crítica está dado por :

c

ABd

c

uu J

CMAV

vΩ

+= ; en donde Ac es el área al rededor de la sección crítica, además :

dcdc

y

x

++

+−=Ω

67.01

11 = 0.4235; 2

))((6

)(6

)( 233 dcdcdddcdcdJ xyxx

c++

++

++

= = 61’179,163.34 cm4

CAB es el brazo igual a 59.35 cm. Con ello, se tiene vu = 425.608 Kpa; El esfuerzo que resiste el concreto está dado por :

KpafFRv ccr 335.992* == ; Para esta primera condición, se satisface vcr > vu. 2ª Combinación (CM+CV+CA) Para esta condición la carga última de diseño es :

( )rellenozapatad PPPP ++= 1.1 ;

Pd = 1 ( ) kN149.1169)749.12)(85.0)(9.3)(25.2()536.23)(65.0)(25.2)(9.3(57.8331. =++ El momento de diseño es ahora Md=1.1(78.453+343.233)=463.855kN-m. Con este valor se determinan las excentricidades para obtener los esfuerzos en cada esquina (ecs. 14 a 17) . En este caso :

mex 0397.0149.1169855.463 == ; , por lo que : 0=ye

Kpa858.519.3

)397.0(61

)9.3(25.2149.1169

1 =

−=σ ;

ultKpa σ=< 746.215Kpaσ =

+= 609.2149.3

)397.0(61

)9.3(25.2149.1169

2

Además, σ 3= σ1, σ4=σ2 y se verifica σmax = σ2 = σ4 < σult. El volumen total bajo la zapata, se obtiene por la ecuación 19 ó 22, de donde resulta :

965

114


kNVtot 149.11694

)609.214(2)858.51(2)9.3(25.2 =

+=

Obsérvese que nuevamente este valor coincide con Pd. Las coordenadas de la sección crítica son las mismas, además . Entonces, con la ecuación 18, se tienen los valores de esfuerzo : *

4*2 751.162 σσ ==

'3

'1 462.108858.51

)9.3(25.2)3565.1)(751.162)(25.2( σσ ==+

= Kpa

'4

'2 005.158858.51

)9.3(25.2)5435.2)(751.162)(25.2( σσ ==+

= Kpa

El volumen bajo la sección crítica es :

kNVol 092.1564

)005.158(2)462.108(2)987.0(187.1' =

+=

El cortante último es Vu =1.1 P - Vol = 916.921-156.096 = 760.829kN '

Transferencia de momento El valor de y , y CΩ cJ AB tienen los mismos valores, entonces :

c

ABd

c

uu J

CMAV

vΩ

+= = 488.371 Kpa; Para esta segunda condición, también se satisface vcr = 992.433 > vu.

DISEÑO POR FLEXIÓN 2ª Combinación No se incluye la 1ª combinación, ya que la segunda resultó mayor. Las coordenadas de la sección crítica por flexión, se muestran en la figura 5 y 6. Considerando la sección crítica paralela a Ly, se tiene : x1 = ½(Lx + c1) = 2.25; y1 = 0 x2 = Lx = 3.9; y2 = y1 x3 = x1; y3 = Ly = 2.25 x4 = x2; y4 = y3 Los esfuerzos en cada punto son :

'3

'1 753.145858.51

)9.3(25.2)25.2)(751.162)(25.2( σσ ==+

= Kpa

'4

'2 609.214326.150

)9.3(25.2)25.2)(751.162)(25.2( σσ ==+

= Kpa ,

obsérvese que este es el valor máximo alcanzado para la segunda combinación de cargas. El volumen que provocará flexión alrededor de y es :

kNVol 921.6684

)609.214(2)753.145(2)25.2(65.1' =

+=

966

114


Ahora se determina el brazo para este volumen :

( ) mL

X x 878.0753.145)856.680856.68(

4112

)753.145(6)856.68(2)856.68(265.1

)(4112

)622(

1*2

*3

*4

1*2

*3

*4 =

+++

++=

+++

+++=

σσσσ

σσσσ

El momento último es :

mkNM u −== 0.587)878.0(921.668 ; El índice de refuerzo es :

2)7.58)(225)(70.1333(45.05870000011 −−=q =0.065; El porcentaje de acero es :

y

c

ff

qp"

= = 0.0025

Pero este valor es inferior a y

cmin f

fp

'7.0= =0.00236; As=pmin(100)(58.7)=14.58 cm2/m, usar #5 @ 13.6cm.

Considerando la sección crítica paralela a Ly y procediendo en forma similar a la anterior Md = 222.54 kN-m. Es decir, resulta un momento menor que los anteriores, por lo que se usará también el refuerzo mínimo. CORTANTE COMO VIGA ANCHA Sólo debe revisarse la 2ª combinación, entonces, las coordenadas de los puntos para la sección crítica paralela a Ly son : x1 = ½(Lx + c1)+d = 2.837; y1 = 0 x2 = Lx = 3.9; y2 = y1 x3 = x1; y3 = Ly = 2.25 x4 = x2; y4 = y3 Los esfuerzos en estos puntos son :

'31

'1 249.170

)9.3(25.2)837.2)(751.162)(25.2( σσσ ==+

= Kpa

'4

'2 609.214858.51

)9.3(25.2)90.3)(751.162)(25.2( σσ ==+

= Kpa

El volumen es :

kNVol 242.4604

)609.214(2)249.170(2)25.2(063.1' =

+=

El esfuerzo último es :

c

uu A

Vv

'= = 460.242 / (2.25(0.587))= 348.47Kpa

El esfuerzo que resiste el concreto si p<0.015 está dado por vcr = FR(0.2+20p)(fc*)-½ = 258Kpa. La sección paralela a Ly requiere refuerzo por cortante como viga ancha. En forma similar, el esfuerzo cortante como viga ancha en la dirección paralela a Lx es : x1 = 0; y1 =½(Ly + c2)+d = 1.912

967

114


968

x2 = Lx = 3.9; y2 = y1 x3 = x1; y3 = Ly = 2.25 x4 = x2; y4 = y3 Los esfuerzos en estos puntos son :

'31

'1 858.51

)9.3(25.2)0)(751.162)(25.2( σσσ ==+

= Kpa

'4

'2 609.214858.51

)9.3(25.2)90.3)(751.162)(25.2( σσ ==+

= Kpa

El volumen es :

628.1754

)609.214(2)858.51(2)338.0(9.3' =

+=Vol

El esfuerzo último es :

c

uu A

Vv

'= = Kpa717.76

)587.0(9.3628.175 =

Se cumple con la resistencia, ya que vcr = 258Kpa es mayor.

CONCLUSIONES El procedimiento propuesto, permite abandonar el concepto de área útil durante el diseño de zapatas asiladas, ya que con esa hipótesis simplificadora, se puede exceder el esfuerzo último en el terreno cuando se calculan en cada extremo. Las expresiones propuestas ofrecen directamente las dimensiones en planta de la cimentación, garantizando además que el esfuerzo admisible en el terreno no será excedido. Se incluyen las diferentes condiciones de borde de zapatas aisladas, sin modificar substancialmente el procedimiento. Por otro lado, los elementos mecánicos para cortante por penetración, cortante como viga ancha y flexión, también pueden diferir de los obtenidos con un esfuerzo constante del terreno. En este trabajo, se proponen también expresiones para obtenerse estos elementos de diseño en forma sistemática, sugiriendo su programación.

REFERENCIAS René Whalter et Manfred Miehlbradt, (1990), Dimensionnement des structures en béton, Bases et Technologie, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, Suisse (388p). NTC (2001), Propuesta de normas técnicas complementarias para diseño y construcción de estructuras de concreto (99pp). ACI (1995), Building code requirements for structural concrete (318-95) and Commentary (318R-95), ACI, International (369pp). CFE-IIE (1981), Manual de diseño de obras civiles, Estructuras, C.2.2. Diseño de estructuras de cimentaciones, Comisión Federal de Electricidad, Instituto de Investigaciones Eléctricas (85pp

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