SISTEMAS MATEMÁTICOS DE SÍMBOLOS Y SU ROL EN LA

ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA

Eduardo Mario Lacués Apud

Comenzando por la escuela

Sistemas Matemáticos de Símbolos (SMS)

• SMS como sistemas externos de representación.• SMS en el desarrollo de la Matemática.• SMS en la Didáctica de la Matemática:–Objetos de aprendizaje.–Objetos de enseñanza.

Sistemas externos de representación (I)

• Un sistema externo de representación asume la existencia de dos mundos, uno representado y otro representante que se relacionan entre sí de manera que se atienden a los cinco aspectos siguientes:– Cuál es el mundo representado.– Cuál es el mundo representante.– Cuáles aspectos del mundo representado van a ser modelados.– Cuáles aspectos del mundo representante constituyen el

modelo.– Cuáles son las correspondencias entre los dos mundos.

• Palmer, en Sherin y Lee

Sistemas externos de representación (II)

• Cuatro aspectos de los sistemas externos de representación: – Existen en forma independiente de su creador.– Poseen permanencia en el tiempo, al ser marcas

hechas sobre algún soporte material.– Están desplegados en el espacio, no en el tiempo, a

diferencia del lenguaje hablado o gestual.– Constituyen estructuras organizadas

consensuadamente.Martí y Pozo

Sistemas externos de representación (III)

• Peculiaridades de los SMS– Un SMS es una terna, compuesta por:

• Una colección realizable concretamente de caracteres, y un conjunto de reglas que permiten combinar, modificar o crear nuevas configuraciones, lo que es llamado un esquema de símbolos.

• Un campo de referencia.• Una ley que establece relaciones entre el esquema de símbolos y

el campo de referencia.

• En un SMS el mundo representado es, a la vez que el representante, un sistema de símbolos.

Kaput

SMS en el desarrollo de la Matemática(I)

• Algunos hitos históricos:– Diofanto (siglo III antes de Cristo)– Difusión en Europa de los trabajos de Diofanto, a

través de traducciones al árabe y del árabe al latín (siglos XIII a XV)

– Leibnitz (siglo XVII) plantea que la Matemática es una ciencia que propone llamar Simbólica, destacando el rol de las notaciones en el desarrollo de las ideas matemáticas.

SMS en el desarrollo de la Matemática(II)

• Leibnitz – pretendía que los símbolos evocaran algún aspecto esencial de

los que representaban;– confiaba en que el uso de símbolos guiara el pensamiento, de

manera que transformaciones entre los signos dieran indicación de nuevos relaciones entre las entidades representadas;

– de esta forma, fue precursor en lo que modernamente distinguimos como sintaxis y semántica.

• Kaput ha dicho de Leibnitz “su historia es la historia del desarrollo de la notación en concierto con el desarrollo de conceptos”.

SMS en el desarrollo de la Matemática(III)

• Hilbert (formalismo) , Browuer (Intuicionismo), Rusell (logicismo): polémica en el siglo XX sobre la fundamentación de la Matemática.– “...son los signos mismos los objetos de la teoría.

Entendemos aquí por signo algo que es independiente del espacio y del tiempo, así como de las condiciones especiales en las que se produce...” (Hilbert)

– “En efecto, examinando más cercanamente vemos que esta nueva orientación, hecha posible por el divorcio de la Matemática de sus aplicaciones, ha sido la verdadera fuente de su tremenda vitalidad y crecimiento durante el presente siglo” (Stone)

SMS como objeto de aprendizaje (I)

• Procesos cognitivos asociados con el uso de un cierto SMS:– Lectura de información; codificación de

información.– Producción de nueva información:• Sintáctica, a partir de reglas de transformación válidas

en el SMS.• Semántica, a partir de las interpretaciones que una

cierta configuración simbólica tiene en el mundo representado.

SMS como objeto de aprendizaje (II)

• Sintaxis, Semántica y construcción de sentido:– Las reglas sintácticas consisten en el conjunto de

transformaciones válidas sobre las configuraciones simbólicas .

– Las interpretaciones semánticas se establecen entre un mundo representado y alguno de sus representantes, y consisten en el conjunto de relaciones que se pueden establecer entre ambos.

– Dado que un mismo mundo puede ser representado de múltiples maneras, la construcción del sentido se realiza a través de los procesos de traducción entre diferentes SMS.

SMS como objeto de aprendizaje (III)

• Importancia de que las configuraciones simbólicas evoquen aspectos de lo representado– «La identificación y la utilización de los símbolos pueden

organizarse en ámbitos como los enunciados simbólicos que caracterizan el ámbito, las tareas implicadas que deben llevarse a cabo, las reglas que deben seguirse para representar, transformar y realizar los procedimientos y el conjunto de situaciones que generalmente se han utilizado para crear los símbolos, las relaciones entre ellos y las reglas significativas»

Romberg

Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(I)

• El mismo signo tiene significados contextuales:– 0 y 1 representan, respectivamente:

• los enteros cero y uno.• el neutro de la suma y del producto en un campo.• el neutro de la suma y del producto en un álgebra de Boole.

– (a,b) representa:• un intervalo abierto en el conjunto de los números reales (R).• un par ordenado.• las coordenadas de un punto en el plano.• un vector en el espacio vectorial R2.

Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(II)

• Símbolos diferentes representan la misma entidad:– (a,b) y {xR / a<x<b} representan el conjunto de

números reales comprendidos estrictamente entre a y b.

– (f○g) (x) y f(g(x)) representan la imagen de x por medio de la función compuesta f○g.

Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(III)

• El mismo símbolo en una misma formulación tiene significados contextuales diferentes.– La x en el denominador de indica que la variable

respecto a la cual se deriva parcialmente es la primera, en tanto la x dentro del paréntesis señala la primera coordenada del punto donde se calcula esta derivada.

Dificultades asociadas con el aprendizaje de SMS.(IV)

• La lectura de ciertas formulaciones requiere de procesos de búsqueda hacia izquierda y derecha, o hacia arriba y abajo:– =0– (x2-1)’=2x

• La verbalización de ciertas formulaciones puede ser larga o complicada:

Tres experimentos

• Aprendizaje de Sistemas Matemáticos de Símbolos en Álgebra Lineal y Cálculo.

• Proposiciones condicionales y sistemas matemáticos de símbolos en el aprendizaje del límite matemático.

• Una Ingeniería Didáctica sobre la enseñanza del condicional.

Aprendizaje de SMS en Álgebra Lineal y Cálculo (I)

• Diseño experimental con grupos experimental y de control en un curso de Álgebra Lineal.

• Intervención basada en la retroalimentación a partir de las tareas propuestas.

• Estudio de la incidencia de esta intervención en el desempeño en tareas sobre derivadas en un curso de Cálculo.

Aprendizaje de SMS en Álgebra Lineal y Cálculo (II)

• Diferencias significativas en el subconjunto de los estudiantes con buena calificación en el diagnóstico al ingreso, a favor de los estudiantes del grupo experimental.

• Diferencias significativas en las tareas propuestas del curso de Cálculo a favor de los estudiantes del grupo experimental.

Proposiciones condicionales y sistemas matemáticos de símbolos en el aprendizaje del límite matemático

• Dificultad de la tarea asociada con el registro semiótico: más sencilla en el registro gráfico.

• Dificultad de la tarea asociada con el condicional: más sencilla la condición necesaria.

• Evidencias de desconocimiento del valor de verdad de sentencias condicionales.

Una Ingeniería Didáctica sobre la enseñanza del condicional.

• Análisis epistemológico:– La definición del valor de verdad del condicional presenta

dificultades asociadas con el valor de verdad del antecedente.

– La definición del valor de verdad de sentencias condicionales aparece con precisión recién en el siglo XX.

• Análisis preliminar:– Los ingresantes no reconocen como cierto un condicional

cuyo antecedente es falso.– Los estudiantes que cursan Lógica tienen desempeño final

significativamente superior a los que cursan Cálculo.

A modo de cierre

• Invitación a pensar en qué formas podemos incluir en nuestras prácticas la enseñanza de SMS.

• Invitación a continuar con la tarea de investigar acerca de cómo aprenden nuestros estudiantes a usar SMS.

• Invitación a seguir trabajando para hacer nuestra práctica cada vez más profesional.

• Agradecer a cada uno por su presencia y por las críticas que espero de ustedes.