Sistemas de medida para ángulos

Para medir ángulos se dispone de tres sistemas de medida, que son:

Sistema sexagesimal

Sistema centesimal

Sistema absoluto

Cada uno de estos sistemas posee su propia unidad de medida, sólo estudiaremos aquí el primer sistema:

La unidad de medida del sistema sexagesimal es el grado sexagesimal, y cada grado se subdivide en minutos sexagesimales y cada minuto se subdivide el segundos sexagesimales

Sistemas de medida para ángulosGrado sexagesimal: se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco de longitud igual a la trescientos sesenta ava parte de la longitud de la circunferencia. Lo que se entiende por un ángulo central se muestra en la siguiente figura:

A

B

OÁngulo central

arco

Sistemas de medida para ángulos

Un grado sexagesimal se denota por : 1º

Es así que si nos referimos a 30 grados sexagesimales, esto se denota por 30º , de la misma forma se denota cualquier otro valor

Cada grado sexagesimal se subdivide en sesenta partes iguales , llamados minutos sexagesimales, lo que se denota por :

1º = 60’Donde la comilla que acompaña al lado derecho del sesenta nos dice que la medida está dada en minutos

Entonces, para denotar 36 minutos, esto se escribe 36’,de la misma forma se denota cualquier otro valor

Sistemas de medida para ángulosCada minuto sexagesimal se subdivide el 60 partes iguales, donde cada una de estas partes se llaman segundo sexagesimal. Lo que se denota por:

1’ = 60’’La doble comilla a la derecha del sesenta dice que la medida se refiere a segundo sexagesimal

Es así, entonces, que la equivalencia entre las diferentes unidades de medida del sistema sexagesimal está dada por:

1º = 60’ = 3600’’

Lo que en palabras se lee “ un grado es igual a sesenta minutos e igual a tres mil seiscientos segundos”

OBSEVACIÓN IMPORTANTES: De aquí en adelante el grado sexagesimal lo llamaremos simplemente grado

LA GRAN PREGUNTA

¿ QUÉ SE ENTIENDE POR MEDIR UN

ÁNGULO?

LA GRAN RESPUESTA

Cuando se habla de medir un ángulo se refiere a medir la mayor o menor abertura de los lados del ángulo

Para medir los ángulos existe un instrumento que se llama transportador, se caracteriza por tener una reglilla en semicírculo donde aparecen las medidas sexagesimales para ángulos, es decir, los grados, minutos y segundos. Este instrumento lo estudiaremos a continuación:

EL GRAN INSTRUMENTO

El transportador

¿CÓMO SE USA?

Todo transportador posee un punto central O el que corresponde al centro del semicírculo de la reglilla, y un punto cero.

Este punto central O siempre se debe hacer coincidir con el vértice del ángulo que se desea medir, ver figura:

O

Punto cero

¿CÓMO SE USA?

OA

BAdemás de hacer coincidir el vértice del ángulo AOB con el centro O del transportador se debe hacer coincidir el lado OA con el punto cero del transportador.Al observar el lado OB del ángulo AOB se ve que pasa por el lugar de la reglilla que marca 30º.Es así entonces, que la medida del ángulo AOB es de 30º

¿Cuál es la forma de denotar la medida de un ángulo?

Existen muchas maneras de escribir en forma abreviada la medida de un ángulo, se usará aquí la siguiente notación:

Medida del ángulo AOB = m AOB

LA GRAN PREGUNTA 2

¿ y esto cómo sigue?

Se continua con el estudio de los ángulos, requisito que es fundamental para lograr una clasificación más precisa de ellos. Luego “la medida”pasa a ser el punto de partida en el estudio tanto de los polígonos como de los poliedros.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA

ÁNGULO RECTOÁNGULO EXTENDIDOÁNGULO COMPLETOÁNGULO AGUDOÁNGULO OBTUSOÁNGULOS COMPLEMENTARIOSÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Veamos la definición de cada una de estos ángulos, desde el punto de vista de su medida.

Ángulo rectoAquel ángulo que al ser medido, mide 90º, es llamado ángulo recto. Ver figura:

A

B

O

Ángulo extendidoSe dijo que el ángulo extendido era igual a dos ángulos rectos, y como un ángulo recto mide 90º, es claro que el ángulo extendido debe medir 180º, ya que su medida debe ser igual al doble del ángulo recto.

AB O

Ángulo completoEl ángulo completo es igual a cuatro ángulos rectos, lo que nos lleva a pensar que la medida de éste ángulo es igual 360º, que es justamente igual a cuatro veces 90º.Entonces, un ángulo completo puede definirse como aquel ángulo cuya medida es igual a 360º

OAB

Ángulo agudoSe dijo que el ángulo agudo era menor que un ángulo recto, razón por la cual éste ángulo debe medir menos de 90º, es decir, que la medida debe estar comprendida entre los 0º y 90º

AO

B

m AOB = 35º

0º < m AOB < 90º

En este caso:

Ángulo obtuso

Un ángulo cualquiera se llama ángulo obtuso cuando y sólo cuando su medida está entre 90º y 180º, lo que se denota:

90º < m AOB < 180º

AO

B

En este caso la medida del ángulo AOB se denota por :

m AOB = 135º

Ángulos complementarios

Recordemos que los ángulos complementarios son aquellos pares de ángulos consecutivos cuyos lados no común son perpendiculares entre sí.Dos ángulos se dice que son complementarios cuando y sólo cuando la suma de sus medidas es 90º.Es así, entonces, que si la medida de un ángulo AOB es 30º, su ángulo complementario CDE debe medir 60º , lo que simbólicamente se denota por:

m AOB + m CDE = 90º

30º + 60º = 90º

Esto mismo se puede denotar de la siguiente manera:

Ángulos complementarios

m AOB = 90º - m CDE = 90º - 60º

O bien :m CDE = 90º - m AOB = 90º - 30º

AO

B

C

D

E

Ángulos complementarios

Al observar los dos ángulos presentados anteriormente, se puede ver que los lados OA y DE son perpendiculares entre sí, tal como se muestra en la figura:

AO

BC

D

E

Ángulos suplementariosSe dijo que dos ángulos eran suplementarios cuando ellos eran adyacentes, y además se dijo que este concepto también estaba asociado con la medida de los ángulos.

Veamos esto de la siguiente forma:

Consideremos dos ángulos adyacente AOB y BOC , tal como lo muestra la figura:

A

B

C O

Nótese que los lados OA y OC están sobre la recta CA y cuando esto ocurre se dice que el ángulo AOC es un ángulo extendido, es decir,

m AOC = 180º

Ángulos suplementarios

Al igual que para los ángulos complementarios, veamos esto de la siguiente forma:

m AOB + m BOC = 180º

AO

B

C

45º + 135º = 180º

Ángulos suplementarios

AO

B

C

m AOB = 180º - m BOC = 180º - 135º = 45º

m BOC = 180º - m AOB = 180º - 45º = 135º

Es importante destacar, al igual que para ángulos complementarios, los ángulo suplementarios no necesariamente son consecutivos, sino que pueden presentarse de la siguiente forma:

Ángulos suplementarios

AO

B

C

B

Al observar este dibujo es posible afirmar que para que dos ángulos sean suplementarios sólo se requiere que ellos, los ángulos, sumen 180º o formen lo que se llama un par lineal

Igualdad de ángulos

Hemos podido hasta aquí tener claro lo que se entiende por ángulo, hemos podido clasificarlos, ya sea considerando sus características más importante, como también la medida de ellos.

Lo anterior sólo nos permite establecer una comparación de tipo más bien general, es decir, cuando estamos en presencia de dos ángulos, ellos pueden ser iguales o distintos.

Al decir que los ángulos son iguales, quiere decir que sus medidas son iguales, o bien que ellos son congruentes, concepto este último relacionado sólo con las figuras geométricas

Si los ángulos son distintos, ellos pueden ser uno mayor o menor que el otro, esto último sólo se puede establecer cuando es posible conocer sus medidas.

Igualdad de ángulos

Si los ángulos AOB y CDE fueran iguales, ello se denotaría por:

m AOB = m CDE , o bien, AOB CDE

Si los ángulos AOB Y CDE fueran distintos, esto se denotaría por:

m AOB > m CDE , o bien, m AOB < m CDE