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INTRODUCCIÓN

Una onda puede ser definida como una varia-ción espacio temporal en el calado y el caudal. Es-tas ondas son clasificables según diferentes tipos:ondas oscilatorias, cuando no existe transporte demasa en la dirección de propagación, y ondas detraslación, cuando se tiene transporte neto de mate-ria. Una onda que presente un frente pronunciado ouna acusada perturbación de la superficie del aguaes usualmente conocida como bore wave4, onda dechoque u onda estacionaria. Estas ondas, tanto dechoque como de frente pronunciado, deben ser to-madas en consideración para el análisis y diseño deflujos en canales abiertos, especialmente en el casode flujos de alta velocidad (flujo supercrítico). Si

las ondas de choque no son tenidas en cuenta pue-den generarse problemas tales como el desborda-miento debido a una altura insuficiente de cajeros oa un nivel bajo de las riberas, así como daños a lasdiferentes estructuras hidráulicas a lo largo del ca-nal. Estos tipos de ondas pueden generarse tanto encauces naturales como en canales artificiales.Ejemplos típicos pueden ser observados en caucesmontañosos, ríos durante períodos de crecidas ge-neradas tras un terremoto, deslizamientos de tie-rras, períodos de deshielo, fuertes precipitaciones oroturas de presas. También se pueden generar porapertura/cierre de compuertas de control, manio-bras en compuertas de navegación o alteraciones enoperaciones de desagüe (Chaudhry 1987, 1993, y1996).

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Resumen:En el presente artículo se discute la simulación de flujos en canales abiertos con frentes pronun-ciados. Los métodos existentes en la literatura para representar este tipo de flujos son el métodode las características, el de diferencias finitas, el de elementos finitos y el de volúmenes finitos.

Se enuncian las ecuaciones de movimiento para el flujo en canales, promediadas verticalmente(para aguas someras) y transversalmente, haciéndose una breve discusión de las técnicas numéri-cas. Así mismo, se indican las condiciones iniciales y de contorno necesarias para completar laconstrucción de los modelos. Finalmente las técnicas anteriores son aplicadas al análisis de algu-nos problemas de flujo frecuentes en este campo

Palabras clave: onda de choque, bore, ecuaciones determinantes, características, diferencias fini-tas, elementos finitos, volúmenes finitos, aplicaciones, zonas áridas, zonas semiáridas, procesoshidrológicos, modelos matemáticos, ciclo hidrológico.

Departamento de Ingeniería Civil y Medioambiental, Universidad de Carolina del Sur, 300 S. Main Street, Columbia, SC 29208, USA.Traducción: Antonio Moñino Ferrando, Licenciado en Ciencias Físicas, Grupo de Puertos y Costas, Universidad de Granada.1. Investigador Asociado. 2. Profesor Asociado. 3. Sr. y Sra. Irwin B. Kahn, Catedrático y Director.

Traducción: Antonio Moñino Ferrando, Licenciado en Ciencias Físicas, Grupo de Puertos y Costas, Universidad de Granada.

4. El término “bore wave” se utiliza con carácter internacional para designar el frente de onda, cuando éste presenta una forma pronunciada debido a ro-turas y perturbaciones. Aun cuando esta denominación es usada principalmente en Ingeniería de Costas, también es aplicable al caso de fuertes pertur-baciones propagándose en canales, de manera que se respeta en este caso la terminología original. N. del T.

Pueden ser remitidas discusiones sobre el artículo hasta seis meses después de la publicación del mismo siguiendo lo indicado en las “Instrucciones pa-ra autores”. En el caso de ser aceptadas, éstas serán publicadas conjuntamente con la respuesta de los autores.

SIMULACIÓN DE FLUJOS EN CANALES ABIERTOS

CON PENDIENTES FUERTESTarek M. Salaheldin1, Jasmin Imran2 y M. Hanif Chaudhry3

Los flujos con ondas de choque o frentes deonda pronunciados se caracterizan por una acusadavariación de las magnitudes físicas en la direcciónvertical. Los procedimientos usuales para analizarel flujo gradualmente variado no son aplicables deningún modo a estos tipos de flujo, ya que no pue-den tener en cuenta frentes de onda ni ondas dechoque. Los procedimientos para analizar el flujogradualmente variado suponen una distribución hi-drostática de presiones en la dirección vertical. Sinembargo, en el caso de flujos con frentes de ondaesta simplificación no es válida, especialmente enlas proximidades del frente (Basco, 1983). Por tan-to, para el análisis de flujos en lámina libre confrentes de onda se requieren métodos específicos.

Numerosos estudios han sido llevados a tér-mino para modelar el flujo con frente de onda encanales, desarrollándose diferentes técnicas paradescribir flujos bidimensionales con frentes de on-da y calados pequeños. Demuren (1979) estudióflujos subcríticos y supercríticos, si bien la capaci-dad del esquema numérico para representar losabruptos cambios en el flujo no quedó demostradaclaramente. Bagge & Herbich (1967), Herbich &Walsh (1972), Villegas (1976) y Dakshinamoorth(1979) usaron el método de las características(MOC) para el análisis de flujos supercríticos esta-cionarios. Así mismo, Katopodes & Strelkoff(1978) usaron el MOC en el análisis de flujos gene-rados por rotura de presas. Los procedimientos fun-damentales del MOC no son capaces de tener encuenta frentes de onda acusados ni resaltos hidráu-licos oblicuos, siendo necesarias numerosas inter-polaciones que pueden afectar de forma adversa ala precisión del resultado.

García & Kahawita (1986), Jiménez &Chaudhry (1988), Fennema & Chaudhry (1990),Gharangik & Chaudhry (1996), Bhallamundi &Chaudry (1992), Younus & Chaudhry (1993), Ra-man & Chaudhry (1996), Meselhe et al. (1997),Ming & Fread (1997), y Mohapatra et al. (1999)utilizaron diferentes métodos de diferencias finitas(FDM) con detección de ondas de choque para ana-lizar flujos rápidamente variados, p.e., resaltos hi-dráulicos y flujos en rotura de presas.

Akanbi & Katopodes (1988) modelaron lapropagación de crecidas sobre lechos inicialmentesecos usando el método de elementos finitos(FEM). Berger (1993) presentó un esquema usandoel FEM para la detección de ondas de choque enflujo en canales abiertos. Berger et al. (1995),Stockstill (1995) y Stockstill et al. (1997) estudia-

ron el flujo bidimensional en régimen libre y concalados pequeños por medio del FEM.

Bellos et al. (1991), Tan (1992), Alcrudo &García-Navarro (1993), Zhao et al. (1994) y Zhaoet al. (1996) aplicaron el método de volúmenes fi-nitos (FVM) al caso de flujos bidimensionales concalados pequeños y frentes de onda pronunciados.Este artículo está dedicado principalmente a resu-mir y comparar todos estas técnicas.

ECUACIONES DETERMINANTES

Ecuaciones promediadas verticalmente

En numerosas situaciones, la consideraciónde flujo unidimensional no es válida, debiendo serconsideradas las componentes en las otras dos di-mensiones, p.e., en el caso del flujo aguas debajode una presa fracturada, en diques rotos, en resaltoshidráulicos circulares y oblicuos, ensanchamien-tos/contracciones rectas o circulares, etc. Aunque elflujo en estas situaciones es tridimensional, su aná-lisis puede ser simplificado usando magnitudespromediadas verticalmente y tratando el problemacomo un flujo bidimensional en la dirección hori-zontal.

Las ecuaciones de Saint-Venant describen elflujo bidimensional no estacionario promediadoverticalmente. Dichas ecuaciones representan losprincipios de conservación de la masa y de la canti-dad de movimiento, estando obtenidas a partir delas ecuaciones de Navier-Stokes bajo ciertas sim-plificaciones; p.e., Baker (1983) y Chaudhry(1998).

En términos de las variables fundamentalesdel flujo h, u y v, las ecuaciones de Saint-Venant enforma conservativa pueden ser escritas vectorial-mente como sigue:

donde

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Tarek M. Salaheldin, Jasmin Imran y M. Hanif Chaudhry

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en las que t es el tiempo; u y v son las componentesdel vector velocidad del flujo en las direcciones x ey (direcciones longitudinal y transversal); h es laprofundidad del agua medida verticalmente; g es laaceleración de la gravedad; Sox y Soy son las pen-dientes de la solera en las direcciones x e y; Sfx y Sfyson las pendientes de fricción en las direcciones x ey, y x e y son las variables del sistema coordenado,tal como se muestra en la Figura 1. Ex y Fy son losdenominados vectores de flujo; U es el vector delas variables dependientes y S es el vector fuente.Las pendientes de fricción Sfx y Sfy pueden ser cal-culadas usando las fórmulas para régimen estacio-nario:

en la que n=coeficiente de rugosidad de Manning yCo=factor de corrección de unidades (Co=1 en uni-dades SI y 1.49 en Unidades Inglesas). Las varia-bles independientes en las ecuaciones de Saint-Ve-nant son (x,y,t). Si el flujo es estacionario (constan-te en el tiempo), los términos no estacionarios de laecuación pueden ser despreciados, adoptando laforma:

Ecuaciones promediadas transversalmente

En algunos casos especiales, la variación delos parámetros del flujo en la dirección vertical esmayor y más importante que la variación en la di-rección transversal, p.e., en el resalto hidráulico oen las ondas de choque en canales de ancho unifor-me. En tal caso, las ecuaciones determinantes pro-mediadas transversalmente pueden ser usadas paramodelar estos tipos de flujo. Las ecuaciones pro-mediadas transversalmente pueden ser escritas enforma conservativa como sigue (Chaudhry, 1996):

donde

en las que U y W son las velocidades promediadastransversalmente en las direcciones longitudinal yvertical (direcciones x y z respectivamente); y B esancho del canal. De acuerdo con la teoría de las Ca-racterísticas, la ecuaciones de Saint-Venant son hi-perbólicas si el flujo es supercrítico (Fr>1), parabó-licas si el flujo es crítico (Fr=1) y elípticas si el flu-jo es subcrítico (Fr<1), (Jiménez & Chaudhry,1988).

Las ecuaciones de Saint-Venant (1), (4) y (5)son ecuaciones diferenciales parciales no-linealesde primer orden, para las que no existen solucionesanalíticas (excepto para problemas de flujo unidi-mensional muy simplificados), de manera que sonnecesarias las soluciones numéricas (Chaudhry,1993). Tal como se ha comentado anteriormente,existen diversos métodos numéricos (MOC, FDM,FEM y FVM) para modelar flujos bidimensionalescon calados pequeños y frentes de onda acusados.Algunos de estos métodos son revisados en las si-guientes secciones, comentándose una serie deejemplos. Debe ser destacado que no existe un úni-co procedimiento para todos los problemas, de ma-nera que la elección del método a utilizar dependedel buen criterio del usuario (Pepper & Baker,1988).

TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN NUMÉRICA

Método de las Características

El método de las Características (MOC) es elprimero que se utilizó para la simulación de diver-sos problemas de flujo. Monge desarrolló el proce-dimiento gráfico para la integración de ecuacionesdiferenciales parciales en 1789, y llamó a dichoprocedimiento método de las Características. Fueusado por Massau (1889) y Craya (1946) para ana-lizar sobreelevaciones en canales abiertos e investi-gar la propagación de crecidas y otros problemas de

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SIMULACIÓN DE FLUJOS EN CANALES ABIERTOS CON PENDIENTES FUERTES


(3)

Figura 1. Coordenadas del flujo en canal.

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(6)

flujo no estacionario. Aunque es considerado comoun método convencional para el análisis de transi-torios en conductos cerrados, su aplicación al casode canales abiertos es casi insignificante, habiendosido reemplazado por los otros métodos (FDM,FEM, FVM), (Chaudhry, 1993). Los detalles de es-te método pueden ser consultados en Chaudhry(1993) para el flujo unidimensional, y en Katopo-des & Strelkoff (1978) para el flujo bidimensionalcon calados pequeños.

Método de Diferencias Finitas

El método de diferencias finitas (FDM) pre-sentado por Lax & Wendroff (1960) en general espara resolver las ecuaciones determinantes de losproblemas de flujo bidimensional no estacionario(ecuaciones de Saint-Venant). Existen diferentesmodelos numéricos para el FDM. Estos modelos,generalmente conocidos como modelos de dos pa-sos (secuencia de predicción-corrección), son apro-ximaciones espacio-temporales de segundo ordenbasadas en desarrollos en serie de Taylor hasta se-gundo orden.

Se han desarrollado diferentes esquemas dediferencias finitas implícitos y explícitos para la re-

solución de las ecuaciones de gobierno. Algunos deellos son capaces de simular flujos tanto subcríticoscomo supercríticos, (Chaudhry, 1993). En aras dela brevedad de este trabajo se discuten dos esque-mas: uno explicito y otro implícito. Los detallescompletos de ellos pueden ser consultados enChaudhry (1993).

La notación utilizada para la malla de diferen-cias finitas en (x,y,t) se muestra en la Figura 2. Lasdirecciones x e y se designan por los subíndices i yj respectivamente, mientras que el subíndice k re-presenta al tiempo. El instante en el que todas lasvariables son conocidas se representa con el supe-ríndice k, mientras que el instante incógnita se re-presenta con k+1. El número total de nodos en(x,y,t) son N+1, M+1 y K+1 respectivamente.

Modelo de MacCormack

El modelo de MacCormack es un esquemaexplícito en diferencias finitas. Consiste en una se-cuencia de predicción-corrección de dos pasos. Lassiguientes ecuaciones en diferencias pueden seraplicadas para aproximar las ecuaciones de Saint-Venant (ec. 1) para régimen no estacionario prome-

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Figura 2. Malla de diferencias finitas (Referencia: Chaudhry, 1993).

diadas verticalmente. Los términos de predicción-corrección están definidos del siguiente modo:

El valor final del vector de variables depen-dientes U en el nuevo instante k+1 puede calcular-se a partir de:

El esquema usa las diferencias espaciales pre-vias (∆x,∆y) en el término de predicción, y diferen-cias espaciales posteriores (∆x,∆y) en el término decorrección. Los operadores de diferencia previa yposterior se definen como:

El término de corrección usa incrementos ha-cia el lado opuesto que los utilizados por el términode predicción, debiendo ser alternados en cada in-cremento de tiempo, Chaudhry (1993). La Figura 3muestra las secuencias de incrementos. Con estasecuencia se reducen la mayoría de las desviacio-nes direccionales del esquema.

En el caso de las ecuaciones de Saint-Venant(ec. 4) para régimen estacionario promediadas ver-ticalmente, los términos de corrección y predicciónpara el modelo de MacCormack se escriben de lasiguiente forma:

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∆ ∆

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Figura 3. Secuencias de diferenciación (Referencia: Chaudhry, 1993).

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Estabilidad

La estabilidad de un modelo numérico puedeser analizada comprobando si un error crece o de-crece a medida que el proceso resolutivo avanza.No se dispone de métodos para estudiar la estabili-dad de la solución numérica de ecuaciones diferen-ciales no lineales en derivadas parciales. No obs-tante, la estabilidad puede ser estudiada desprecian-do o linealizando los términos no lineales,(Chaudhry, 1993).

La condición de Courant-Friedrichs-Lewy(CFL) debe ser satisfecha para que el modelo ante-rior sea estable. La condición CFL para las ecua-ciones de Saint-Venant (ec. 1) no estacionarias pro-mediadas verticalmente puede escribirse (Ander-son et al., 1984):

donde |λmax| representa el máximo absoluto de lapendiente característica, y Cn es el denominado nú-mero de Courant. El máximo absoluto de la pen-diente característica λmax puede ser deducido a partirde la siguiente expresión (Anderson et al., 1984):

Anderson et al. (1984) recomiendan el uso deun valor del número de Courant Cn tan grande co-mo sea posible para lograr el mínimo error de trun-cado en el modelo de MacCormak.

Modelo de Beam y Warming

Los modelos de Beam y Warming son esque-mas implícitos no iterativos de incrementos finitospropuestos por estos autores (1976) para resolversistemas hiperbólicos en forma conservativa. Losesquemas están constituidos por aproximacionestemporales de segundo orden, pudiendo hacerseaproximaciones de segundo o cuarto orden para laparte espacial. Las derivadas espaciales son aproxi-madas usando derivación central. La ecuación (1)puede ser resuelta usando las aproximaciones deincrementos de tiempo en la siguiente forma:

en la que θ y ξ son parámetros que conducen a di-ferentes esquemas según su valor (véanse detallesen Chaudhry, 1993). La sustitución de (∂U/∂t) apartir de (1) en términos de los vectores de flujo ydel vector fuente conduce a:

Los vectores de flujo y el vector fuente en elinstante k+1 pueden hacerse lineales usando undesarrollo en serie de Taylor local. El desarrollohasta segundo orden de estos términos puede escri-birse de la siguiente forma (usando la regla de la ca-dena y el desarrollo de Taylor):

donde Ak, Bk, y Qk son los Jacobianos de E, F y Srespectivamente:

Pasando las variables dependientes evaluadasen el instante posterior al miembro de la izquierdapuede formarse un sistema lineal para Uk+1:

en donde I es la matriz unitaria. El vector U ha deser evaluado dentro de los intervalos de derivación.Puesto que los términos entre corchetes a izquierday derecha son idénticos, el operador de diferenciafinita posterior (∆tU

k+1=Uk+1-Uk) puede utilizarsepara escribir (ec. 20) en la forma:

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(13)y

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(20)

(21)

Este algoritmo se dice que está en forma “del-ta”; las variables de flujo, U, existen solo como in-crementos de U entre cada dos intervalos de tiem-po. La principal ventaja de esta formulación radicaen la eficiencia de cálculo generada por la reduc-ción del número de términos. Una resolución máseficaz se logra factorizando el miembro de la iz-quierda en la ecuación 21, obteniéndose lo que sedenominan esquemas factorizados (véanse detallesen Chaudhry, 1993).

Viscosidad artificial

En muchos esquemas de diferencias finitas desegundo orden, se tienen oscilaciones de alta fre-cuencia cerca de los gradientes fuertes debido aerrores de dispersión (errores de truncaje) por cau-sa de la integración numérica. Por ello puede sernecesario añadir explícitamente un término amorti-guador para atenuar estas oscilaciones. El procedi-miento usado frecuentemente en el pasado paraamortiguar las oscilaciones fue desarrollado por Ja-meson et al. (1981). La ventaja de dicho procedi-miento consiste en que suaviza las regiones de fuer-tes gradientes y deja las áreas de gradientes suavessin modificar. En el caso de las ecuaciones de Saint-Venant no estacionarias promediadas verticalmen-te, se añaden términos disipadores artificiales.

Método de Elementos Finitos

El método de elementos finitos (FEM) es unatécnica alternativa para resolver la ecuación deSaint-Venant promediada verticalmente. La princi-pal ventaja del método de elementos finitos FEMrespecto al FDM es su capacidad para tratar contor-nos irregulares y reajustes en la malla, mientras quela malla de cálculo utilizada en el FDM está defini-da por líneas paralelas, usualmente a intervalosiguales. Cerca de contornos y regiones con cambiosbruscos se requiere un espaciado de malla más pe-queño. La formulación del FEM generalmente im-plica los siguientes pasos (Baliga & Patankar,1988): discretización del dominio en elementos,prescripción de las funciones de interpolación decada elemento para las variables dependientes(también llamadas funciones de forma o funcionesbase), derivación de las ecuaciones de discretiza-ción usando el principio variacional o el método deformulación de residuos ponderados, recopilaciónde las ecuaciones discretizadas elemento por ele-mento, y solución de las ecuaciones discretizadas(Chaudhry, 1998).

El dominio de la solución del FEM se divide

en una malla de elementos. Estos elementos secomponen de patrones de puntos de malla (nodos).Las variables y parámetros de cada ecuación dife-rencial son interpolados dentro de cada elementomediante un polinomio. Los elementos finitos pue-den ser uni-, bi- o tridimensionales. En este artícu-lo solo son considerados los elementos bidimensio-nales, tal como muestra la Figura 4.

La forma de los elementos finitos bidimensio-nales es generalmente triangular o rectangular, aun-que pueden ser añadidos nodos adicionales para asícrear elementos de orden superior con una mayorvelocidad de cambio de las variables. Las funcio-

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Figura 4.

(a) Coordenadas locales y globales en un elemento cuadrangularlineal (Referencia: Chaudhry, 1993).

(b) Malla de elementos finitos (Referencia: Chaudhry, 1993).

nes de forma pueden ser lineales, cuadráticas o deorden superior. Las funciones lineales pueden usar-se cuando los elementos son suficientemente pe-queños. Se requiere una transformación de coorde-nadas para pasar de coordenadas locales a coorde-nadas globales para los elementos cuadrangulares.Son preferibles las funciones de forma de orden su-perior cuando las variables cambian rápidamente.Se usan interpolaciones mixtas para resolver lasecuaciones de Navier-Stokes. La velocidad se in-terpola mediante una función de forma cuadráticamientras que la presión se interpola dentro del mis-mo área usando una función de forma lineal, dadoque el uso de interpolaciones de igual orden da lu-gar a un conjunto de ecuaciones irresolubles(Chaudhry, 1993, 1998). Las condiciones de com-pletitud y compatibilidad han de satisfacerse demodo que el método de elementos finitos converjaa la solución correcta (Lee & Froehlich, 1986).

Las ecuaciones diferenciales han de ser trans-formadas en ecuaciones integrales para poder serresueltas. Se dispone de tres aproximaciones de ele-mentos finitos para este fin: directa, variacional ypor el método de los residuos ponderados. Los mé-todos de residuos ponderados son generales y fun-cionan correctamente cuando los otros métodos fa-llan. El método de Galerkin es el más ampliamenteusado de todos los métodos de residuos pondera-dos. Dicho método fuerza a que el error de aproxi-mación sea cero (detalles en Chaudhry, 1993).

Stockstill et al. (1997) aplicaron la técnica deelementos finitos para resolver las ecuaciones deSaint-Venant no estacionarias promediadas verti-calmente en forma conservativa en canales de altavelocidad teniendo en cuenta las tensiones turbu-lentas:

en donde p y q son el caudal por unidad de ancho enlas direcciones x e y respectivamente, C0 es 1.0 enel SI, y 1.486 en las unidades U.S. usuales, y ( sonlas tensiones turbulentas. Las ecuaciones determi-nantes para un sistema fijo de coordenadas fueronexpresadas en términos de un marco de referenciamóvil definiendo un nuevo conjunto de variablesindependientes (ξ, η, τ) como sistema coordenadomóvil relacionado con el sistema de referencia fijo(x,y,t). La derivada temporal de las variables Q delflujo evaluada en el sistema de referencia móvil es:

donde ur y vr son las velocidades en el sistema dereferencia móvil en las direcciones x e y. Sustitu-yendo en (22) se obtiene:

en la que Fx*=Fx-urQ y Fy

*=Fy-vrQ.

Stockstill et al. (1997) usaron la formulaciónde Petrov-Galerkin, que incorpora una combina-ción del test de función de Galerkin y un compo-nente no de Galerkin para controlar las oscilacionesnuméricas. La velocidad de referencia se tomó co-mo la velocidad de la malla Vr=Vg=(ug,vg), siendocalculada a partir del nivel de desplazamiento no-dal. La geometría y las variables se interpolan usan-do funciones base de Lagrange:

donde φes la función base, j es la posición del no-do y s es el vector desplazamiento del nodo, defini-do como:

siendo |s| el módulo del vector desplazamiento y _el vector unitario. Una forma simplificada de laecuación para elementos finitos es:

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(25)

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para cada i

en la que e indica un elemento dado, I indica un no-do dado y n=(nx,ny) es el vector unitario dirigidoperpendicularmente hacia el exterior del contornoΓe. La función de prueba se define como:

donde φi es el término de Garlerkin, ϕi es el térmi-no no de Garlerkin e I es la matriz unidad.

Stockstill et al. (1997) simplificaron la ecua-ción (28) desarrollando los términos de la matriz dela cantidad de movimiento y evaluando las deriva-das de Fx

* y Fy* con respecto a s. Después de estas

operaciones, la descripción simplificada en ele-mentos finitos de las ecuaciones para aguas some-ras se transforma en:

con

Debe señalarse que el modelo se reduce a unaformulación de elementos finitos de malla fija con-vencional si los nodos no se mueven. Además, seusaron diferencias finitas implícitas para aproximarlas derivadas temporales del vector de variables Qj.El sistema resultante de ecuaciones no lineales seresuelve utilizando el método iterativo de Newton-Raphson. Los dominios del calado, la velocidad yel flujo son resueltos simultáneamente. Las coorde-nadas de los nodos móviles son actualizadas en ca-da iteración , de manera que el jacobiano de New-ton-Raphson para el desplazamiento nodal se deri-ve adecuadamente. Aunque este modelo fue des-arrollado para la simulación del flujo bidimensio-nal en canales trapezoidales de alta velocidad, laformulación por elementos finitos puede aplicarseal flujo con gradientes fuertes usando las condicio-nes de contorno apropiadas.

Método de los Volúmenes Finitos

El método de los volúmenes finitos (FVM) esconsiderado como una técnica relativamente nueva

para resolver las ecuaciones determinantes en laforma de derivadas parciales. Según fue discutidopor Tan (1992), Zhao et al. (1994) y Zhao et al.(1996), el FVM presenta algunas ventajas respectoa los otros métodos (MOC, FDM y FEM). Puedeser aplicado a cualquier malla sin estructura prede-terminada, al igual que el FEM, pero requiere me-nos esfuerzo de cálculo que el FEM. En el FVM, sepuede construir fácilmente un esquema de maneraque tenga en cuenta ondas de choque y frentes deonda pronunciados, ya que está basado en la formaintegral de las ecuaciones de conservación. ElFVM trata los problemas bidimensionales comouna serie de problemas unidimensionales locales,dando lugar a un simple, pero preciso, algoritmo decálculo eficiente, Zhao et al. (1996).

En la formulación de volúmenes finitos, lasecuaciones de discretización (que son las algebrai-camente opuestas a las ecuaciones diferenciales) sederivan por integración de las ecuaciones diferen-ciales de gobierno en una pequeña región del flujollamada volumen finito (FV) o volumen de control(CV). Las variables dependientes, tales como la ve-locidad o la presión, son evaluadas en puntos dis-cretos, a cada uno de los cuales se le asocia un vo-lumen de control. Tales puntos se denominan pun-tos de malla. El dominio del flujo debe ser subdivi-dido en volúmenes de control y han de definirse lospuntos de malla asociados. La Figura 5 muestrauna malla de volumen finito para un dominio rec-tangular bidimensional. Las líneas a trazos repre-sentan las caras de los volúmenes de control, te-niendo cada uno su punto de malla correspondien-te, que usualmente se sitúa en el centro geométricodel elemento de volumen finito. Cada punto de ma-lla se comunica con el resto de puntos de la vecin-dad (E, W, N y S) a través de las cuatro caras del vo-lumen de control. Como se ha dicho antes, las ecua-

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para cada i

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Figura 5. Volúmenes de control y malla (Referencia: Chaudry, 1998).

ciones diferenciales de gobierno deben ser transfor-madas en ecuaciones algebraicas mediante la inte-gración en todo el volumen de control. Las ecua-ciones resultantes son las denominadas ecuacionesde discretización, las cuales relacionan las varia-bles independientes en cada punto de malla con lasde los puntos vecinos. Las ecuaciones de discreti-zación constituyen un conjunto de ecuaciones line-ales, o al menos nominalmente lineales, con los va-lores de las variables dependientes en los puntos demalla como desconocidas. Las ecuaciones puedenser resueltas por un método directo, como la elimi-nación Gaussiana para problemas unidimensiona-les y por método iterativo para problemas bidimen-sionales y tridimensionales (Patankar et al. 1998).

Zhao et al (1996) aplicaron el FVM para re-solver las ecuaciones determinantes de problemasbidimensionales con calados pequeños y compara-ron tres métodos diferentes de resolución. Lasecuaciones determinantes bidimensionales en for-ma conservativa para aguas poco profundas fueronexpresadas como:

Las ecuaciones determinantes fueron integra-das sobre un elemento arbitrario _, siendo obtenidala siguiente ecuación base al aplicar el teorema dela divergencia:

en la que n es el vector unitario normal a la superfi-cie ∂Ω, y dω y dL son los elementos de área y arcorespectivamente. El vector desconocido q se supo-ne que es constante sobre el elemento tomando pre-cisión hasta primer orden. Discretizando la ecua-ción (34) se obtiene la función base del FVM:

donde A es el área del elemento, m es el número to-tal de caras del mismo, j es el índice para cada caradel elemento, Lj es la longitud de la cara j-ésima delelemento y b(q) el término fuente. Basándose en lapropiedad de invariancia rotacional de f(q) y g(q),en cada cara de los elementos, Spekreijse (1988)derivó la siguiente relación:

siendo Φ el ángulo entre el vector n y el eje x me-dido en el sentido antihorario desde el eje x (ver Fi-gura 6), y T(Φ) y T(Φ)-1 son las matrices de trans-formación y su inversa respectivamente. La ecua-ción (35) puede ser escrita en la forma:

Zhao et al. (1996) aplicaron tres tipos de re-solvedores de Riemann para solucionar las ecua-ciones determinantes discretizadas obtenidas de laformulación del FMV. Estos tres resolvedores son:Separación del Vector de Flujo FVS (Steger &Warming, 1981), Separación de Diferencia de Flu-jo FDS (Roe 1981, y Glaisster 1988), y el modelode Oscher (Oscher & Solomone 1982, Spekreijse1988, Tan 1992, y Zhao et al. 1994). Los detalles deestos modelos de resolución pueden ser consulta-dos en Zhao et al. (1996).

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Figura 6. Geometría del volumen finito ( (Referencia: Zhao et al., 1996).

Condiciones iniciales y de contorno

Las técnicas numéricas previamente expues-tas determinan las incógnitas en los puntos de mallainteriores. Pero la solución ha de ser especificada enlos contornos. La solución numérica de cualquierproblema requiere la definición de la solución en eldominio del contorno, que es lo que se denominacondiciones de contorno. Así mismo, se requiereuna solución inicial a partir de la cual comenzar elcálculo. Esto es lo que se llama la condición inicial.El éxito de cualquier aplicación numérica dependede la selección de las condiciones iniciales y decontorno apropiadas para el problema en cuestión.Cualquier error introducido en los contornos es pro-pagado y reflejado a través del dominio de cálculo.

Las condiciones iniciales especifican todas lasincógnitas en todos los puntos de malla para el ins-tante inicial de tiempo. Para un flujo no estaciona-rio bidimensional, los calados y velocidades delflujo (h, u y v) han de ser especificadas en todos lospuntos de malla. Estos valores pueden ser deduci-dos a partir del análisis del flujo estacionario.

Las condiciones de contorno se definen deacuerdo con el problema simulado. Cada problemade flujo tiene unas condiciones de contorno únicas.El contorno de pared sólida debe ser especificadopara todos los problemas de flujo. Considerandolos lados del canal como sólidos, (p.e., desprecian-do la erosión o la sedimentación en el caso de cau-ces naturales con contornos erosionables), la condi-ción de no deslizamiento se usa como condición decontorno para una pared sólida.

Debe destacarse que es muy frecuente simularla mitad del sistema simétrico por medio de un con-torno apropiado situado en un plano de simetría. Elcontorno simétrico es similar a la condición de pa-red sólida en el sentido de que la velocidad normalrespecto al plano de simetría es igual a 0, pero lacondición de no deslizamiento no es aplicable enese caso. Se requiere que los gradientes perpendi-culares de todas las variables con respecto al planode simetría se anulen.

APLICACIONES TÍPICAS

La mayor parte del material de esta secciónesta tomado de publicaciones relevantes, tal y co-mo se indica en cada subsección.

Flujo de rotura de presaEl problema de hipotética rotura de una presa

fue resuelto por Fennema & Chaudhry (1990)usando el FDM y por Zhao et al. (1996) usando elFVM. El dominio de cálculo esta formado por uncanal de 200m de largo y 200m de ancho. La rotu-ra está elegida intencionadamente para que nos seasimétrica, con 75m de ancho para así demostar queel análisis es general.. Se supone que la presa tieneun calado finito (10m en la dirección del flujo). Loscontornos se toman paralelos a los ejes coordena-dos. El fallo de la presa se supone instantáneo. Seconsidera que el cauce de aguas abajo tiene un ca-lado finito. Esto e lo más usual en aplicaciones enlas que un control aguas abajo mantiene el caucecon agua. El cauce seco puede ser simulado usandoun calado muy pequeño. La Figura 7 muestra el es-quema de definición y las condiciones iniciales delproblema.

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Figura 7. Esquema de definición y condiciones iniciales para la roturaparcial de presa (Referencia: Chaudhry, 1993).

(a) Esquema de definición

(b) Condiciones iniciales

Fennema & Chaudhry (1990) resol-vieron el problema descrito usando el FDM. A talefecto se usó el modelo de MacCormack para talpropósito. La esquina con ángulo de 90º imponeuna condición muy severa en los modelos y en loscontornos. Debe señalarse que las ecuaciones degobierno pueden no ser válidas en las cercanías delbore formado debido a las fuertes curvaturas. Noobstante, los resultados obtenidos, tales como losniveles máximos de agua, tiempo de llegada de laonda, etc., pueden ser usados con una cierta seguri-dad para aplicaciones típicas de ingeniería, inclusoaunque los detalles del bore en sí mismo no seanmodelados de manera rigurosa. La malla es de 41por 41 puntos, lo que da lugar a un tamaño de ma-lla individual de 5m por 5m. Para evitar cualquieramortiguamiento en los términos fuente se usó uncanal horizontal sin fricción, y las condiciones ini-ciales presentaban una relación nivel aguasabajo/embalse de 0.5 en las primeras iteraciones.Las condiciones del flujo fueron analizadas para unamplio rango de los parámetros de flujo, tales comopérdidas por fricción (coeficiente de Manning entren=0 y n=0.15), suponiendo un canal inclinado(pendiente del fondo entre 0 y 0.07), diferentes re-laciones calados/profundidad de embalse, rotura si-métrica y asimétrica, etc.

Las condiciones de flujo se calcula-ron para 7.1 segundos tras la rotura de la presa. Enese instante, el bore está bien desarrollado en laparte central del cauce de aguas abajo, y el frente deonda ha alcanzado una de las riberas del canal. Sepresentan solamente los resultados de una simula-ción para ahorrar espacio, correspondientes al finaldel intervalo de simulación.

Se usan dos tipos de figuras para pre-sentar los resultados. El primer tipo es un gráfico enperspectiva de la superficie del agua en el que la es-cala vertical ha sido aumentada con respecto a lahorizontal. El segundo tipo corresponde a la repre-sentación del vector velocidad. En cada nodo, lavelocidad se representa por una flecha cuya longi-tud indica la magnitud del vector (no son represen-tadas velocidades inferiores a una tolerancia espe-cificada). La Figura 8 (a y b) muestra las vistas enperspectiva de la superficie del agua en el caso decondiciones de contorno correspondientes a roturasimétrica y asimétrica. El perfil cerca de los contor-nos, especialmente en la zona del embalse, ilustrala diferencia entre las dos condiciones de contorno.Pueden observarse las oscilaciones debidas a erro-res de dispersión. La solución puede suavizarsemediante la adición de viscosidad artificial sin que

por ello el se vea afectada la calidad del perfil (Fi-gura 8-c). La Figura 8-d muestra los vectores velo-cidad calculados. Además de eliminarse las oscila-ciones en las cercanías del bore, la viscosidad arti-ficial reduce la separación cerca de las esquinasbruscas.

Zhao et al. (1996) resolvieron el mismo pro-blema que Fennema & Chaudhry (1990) usando elFVM. La malla consistía en una malla rectangularde 40 x 40 elementos y el paso computacional detiempo era de 0.2 segundos. Las Figuras 9 y 10

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Figura 8. Resultados del problema de rotura de presa usando elmodelo de MacCormack (Referencia: Fennema & Chaudhry, 1990).

(a) Condición de contorno asimétrica sin viscosidad artificial

(b) Condición de contorno simétrica sin viscosidad artificial

(c) Condición de contorno simétrica con viscosidad artificial añadida

muestran las perspectivas tridimensionales del per-fil superficial del agua y los gráficos del campo develocidades respectivamente, para los tres tipos deresolvedores de Riemann (FVS, FDS, y el modelode Osher) al final del intervalo de simulación (7.2segundos después de la rotura de la presa). Los re-sultados están en total acuerdo con los obtenidospor Fennema & Chaudhry (1990), y también conlos de Alcrudo & Garcia-Navarro (1993).

Simulación del resalto hidráulico

Gharangik & Chaudhry (1991) simularon unresalto hidráulico en un canal rectangular usando elFDM. Resolvieron las ecuaciones de Boussinesqmediante el modelo 2-4 desarrollado por Gottlieb &Turkel (1976). Las ecuaciones de Boussinesq son

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(d) Campo de velocidades del flujo

Figura 9. Campo de velocidades para el problema bidimensional de rotura de presa (Referencia Zhao et al. 1996).

(a) Usando el FVS (b) Usando el FDS

(c) Usando el modelo de Osher

ecuaciones del flujo gradualmente variado, las cua-les incluyen términos adicionales que tiene en cuen-ta la distribución no hidrostática de presiones. Lascondiciones iniciales son consideradas supercríticasen todo el canal. En el contorno de aguas arriba seespecifican un calado y una velocidad iguales a sus

respectivos valores iniciales, manteniendo constan-te su valor a lo largo de todo el cálculo. En el con-torno de aguas abajo se toma un calado constante.El tamaño del paso de tiempo fue restringido me-diante la condición de estabilidad de Courant. LaFigura 11 muestra una comparación entre los resul-tados medidos y calculados. En ella se aprecia quelos modelos numéricos de cuarto grado de preci-sión, con o sin los términos de Boussinesq, propor-cionan aproximadamente el mismo resultado paratodos los números de Froude ensayados.

Thompson (1990) resolvió las ecuaciones delflujo en aguas someras para analizar el flujo bidi-mensional estacionario en un resalto hidráulicousando el FEM. La Figura 12 muestra los resulta-dos y la malla de 9 nodos. El acuerdo entre los re-sultados medidos y calculados es satisfactorio, pe-ro el frente del resalto calculado no resultó tan acu-sado como el medido. La viscosidad artificial debeser incluida en la solución para que converja. Vis-cosidades artificiales menores dan lugar a resaltosmás acusados y por tanto generan mejores resulta-dos.

Simulación del resalto hidráulico circular

Younus & Chaudhry (1994) simularon numé-ricamente un resalto hidráulico circular medianteun modelo κ−ε para poder incluir las tensiones tur-bulentas. La única diferencia de este tipo de solu-ción es que el flujo radial requiere contornos espa-ciales periódicos en uno de los ejes de cálculo. You-nus (1993) presentó los detalles de este proceso. Elrégimen de flujo simulado comenzaba a 0.0817mdel centro del chorro, donde el calado era de0.0082m. Los valores iniciales de U y V fueron ob-tenidos a partir de la ecuación de continuidad para

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Figura 10. Representaciones del contorno y de la superficie tridi-mensional del agua mostrando la distribución de calados para elproblema tridimensional de rotura de presa (Referencia: Zhao etal., 1996).

(a) Usando el FVS (b) Usando el FDS

(c) Usando el modelo Osher

Figura 11. Niveles de agua calculados y medidos para el resaltohidráulico (Referencia: Gharangif & Chaudhry, 1991).(a) Fr=7.0(b) Fr=2.3

Figura 12. Resalto hidráulico en canal rectangular (referencia:Thompson, 1990).

un caudal de 0.017m3/s. En el extremo de aguasarriba se especificaron todos los valores de las va-riables (h, U, V, κ y ε), mientras que en el de aguasabajo se especificaron U y V, los cuales manteníanconstante sus valores respectivos durante todo elcálculo, si bien h, κ ε ( fueron extrapolados a par-tir de los puntos interiores. El paso computacionalde tiempo ∆t quedaba restringido por el número deCourant. La malla computacional era 49 x 30 y elmodelo fue ejecutado hasta que se alcanzó un régi-men estacionario. Los resultados del cálculo fueroncomparados con medidas experimentales (Ahmad,1967) y se muestran en la Figura 13. La vista tridi-mensional de la superficie del agua se muestra en laFigura 14.

Resalto hidráulico oblicuo

Zhao et al (1996) simularon un resalto hidráu-lico oblicuo por medio del FVM. El resalto hidráu-lico oblicuo se forma por la interacción entre unflujo supercrítico y una pared convergente deflecta-da un ángulo θ. La onda de choque se forma con unángulo β, tal como muestra la Figura 15-a. Se uti-lizó una malla no rectangular de 60 x 80 para repre-sentar el canal convergente, siendo el ángulo de lapared θ=8.95º, según se muestra en la Figura 15-b.La condición inicial era un flujo supercrítico uni-forme con número de Froude igual a 2.74. Las con-diciones de contorno para el régimen supercríticose especificaron en el extremo de aguas arriba. Elcálculo convergía al régimen estacionario para esascondiciones iniciales y de contorno. Los resultados

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Figura 13. Perfil de calados calculados y medidos para resalto hi-dráulico circular (Referencia: Younus & Chaudhry, 1994).

Figura 14. Vista tridimensional del resalto hidráulico circular (Refe-rencia Younus & Cahudhry, 1994).

Figura 15. Malla, vista en planta, contorno y representaciones mostrando las distribuciones de calado en el resalto hidráulico oblicuo (Refe-rencia: Zhao et al., 1996).

(a) Vista en planta del frente de onda oblicuo

(b) Malla

(c) Contorno del calado(d) Superficie del agua

se recogen en la Tabla 1. El calado del agua y losperfiles superficiales obtenidos con el FVM estánrepresentados en las Figuras 15-c y 15-d. Las dife-rencias entre los resultados y la solución exacta re-sultan inferiores al 2%. La diferencia en el ángulode la onda de choque se sitúa en torno al 0.5%.

Flujo supercrítico en contracción simétrica

Jiménez & Chaudhry (1988) compararon losresultados medidos para el flujo en una contraccióncompuesta por arcos circulares (Figura 16-a), y losresultados del cálculo utilizando el FDM. Los re-sultados aquí recogidos corresponden a un númerode Froude inicial igual a 4.0. Se consideró un cala-do constante y una velocidad distribuida uniforme-mente en la sección de aguas arriba, utilizándoseuna malla de 21 puntos. Se uso una condición decontorno simétrica, simulándose la mitad del cam-po de flujo. En la longitud de contracción se encon-tró un buen acuerdo entre el calado de agua calcu-lado y medido, pero aguas abajo de la transición ladiferencia entre resultados calculados y medidos sehizo más acusada. La predicción para los nivelesmáximos de agua no resultó satisfactoria, debido aque se usaron valores grandes de la relación cala-do/anchura y a la presencia de perturbaciones.

Bhallamudi & Chaudhry (1992) compararonlos resultados medidos y calculados para una con-tracción simétrica con pared recta. Los datos del la-boratorio fueron aportados por Ippen et al (1951).El número de Froude aguas arriba era igual a 4.0.Los cálculos fueron hechos utilizando coordenadastransformadas. El coeficiente de disipación eraigual a 0.80, el número de Courant igual a 0.8 y elfactor de fricción a lo largo de las paredes y fondodel canal se supuso nulo. Las condiciones iniciales,calado y velocidad del flujo, se especifican en elextremo de aguas arriba, no indicándose condiciónalguna para el extremo de aguas abajo. Se obtieneun buen acuerdo entre el perfil superficial del agua

medido y calculado a lo largo de las paredes y en lalínea central del canal, donde el flujo es suave. Noocurre lo mismo en la línea central del perfil super-ficial cerca de las fuertes ondas de choque. El nivelmáximo calculado queda cerca del valor medido,pero hay una diferencia significativa en lo que a po-

sición se refiere. Losresultados pueden serusados con seguridadpara diseños prácti-cos, pero no son pre-cisos desde el puntode vista académico.El desacuerdo entrelos resultados medi-dos y calculados en lalínea central puedeser debido a la consi-deración de distribu-

ción hidrostática de presiones, la cual no es válidacerca de frentes de onda bruscos.

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Figura 16. Simulación del flujo en una contracción por arcos circu-lares (Referencia: Jiménez & Chaudhry, 1988).

(a) Dimensiones de los arcos

(b) Calados de flujo calculados y medidos.

(c) Representación tridimensional de la superficie de agua calculada

Tabla 1. Resultados para resalto hidráulico oblicuo (Referencia: Zhao et al. 1996).

Modelo

FVSFDS

OsherExacto

(tomado de Ha-ger et al. (1994)

Velocidaddel frente

(m/s)7.9527.9447.950

7.953

Altura delfrente

(m)1.4971.5021.498

1.500

Ángulo dela onda de

choque30.1429.9830.12

30.00

Número deFroude

2.0752.0702.074

2.074

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Figura 17. Flujo supercrítico en una contracción (Referencia: Bha-llamudi & Chaudhry, 1992).

(a) Dimensiones de la contracción

(b) Niveles de agua medidos y calculados a lo largo de las paredes

(c) Niveles de agua medidos y calculados a lo largo de la línea central

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simulaciÓn de flujos en canales abiertos con ...flujo no estacionario. aunque es considerado como...

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