ECUACIÓN CANÓNICA DE LA

PARÁBOLA CON VERTICES EN

(H,K)

*

Sea (h,k) un punto distinto del origen del plano

cartesiano.

Para deducir la ecuación de una parábola con

vértices en (h,k), se consideran dos casos:

La parábola con eje de simetría paralela al eje X

y la parábola con eje de simetría paralelo al eje

Y.

*

Para determinar la ecuación de la

parábola con vértice (h,k), se realiza

una traslación de ejes de la siguiente

manera:

En el sistema de coordenadas x’

y’, la ecuación de la parábola es

:y^2=4px’.

Como x=x’+p y y=y’+k se

tiene que x’=x’-p’ y y’=y-k, por

tanto la ecuación de la parábola

es: (y-k)2 =4p(x-h). De donde :

foco es f (h+p,k)

La ecuación canoníca de la

parábola con vértice en (h,k) y

eje de simetría

Paralelo al eje x es:

(y-k)2 =4p(x-h) . Donde p es la

distancia del vértice al foco .

• si p >0, la parábola abre hacia a

la derecha.

•Si p<0,la parábola se abre hacia

la izquierda.

*

Sea p la distancia del vértice al foco de unaparábola con vértices en (h,k) y eje del paralelo aleje y, entonces, el foco es el punto F(h+p,k).

Como la distancia del vértice al foco es igual a ladistancia del vértice a la directriz, entonces , laecuación de la directriz es y=k-p. Además, laecuación del eje de simetría es x=h.

La ecuación canónica se

deduce así:

La ecuación canoníca de la

parábola con eje focal paralelo

al eje y vértices en (h,k) es:

(x-h)2=4p(y-k) donde pes la

distancia del vértice al foco y

LR=(4p).

la ecuación(x-h)2=4p(y-k)

representa una parábola que:

Se abre hacia arriba, si p>0

Se abra hacia abajo, si p<0.

*

Encontrar la ecuación canónica de la parábola que

cumple las condiciones dadas.

Vértices en (-3 ,4) y foco en (-5, 4)

Solución:

La parábola con vértices en (-3,4) y foco en (-5,4) es

una parábola cuyo eje focal o eje de simetría es

paralelo al eje x, y su grafica se abre hacia la

izquierda, pues el foco es un punto ubicado a la

izquierda del vértice.

La distancia p del vértice al foco esta dada por la

diferencia de la abscisas de estos puntos:

P = - 5 - (- 3)= - 2 y como el vértice es v (h,k), = (-

3,4), al reemplazar la ecuación canónica se tiene

que:

( y – 4 )2 = 4 (- 2 ) ( x - ( - 3 ) ), entonces, ( y –

4)2 = -8 ( x + 3 )

4 * - 2 = 8

x –( - 3 ) = x + 3

B) vértices en (2,-3) y pasa por el punto Q (5, −3

2).

Solución:

La parábola que tiene vértice en (2, -3) y pasa por el punto Q, tiene eje paralelo al eje y. por la posición de los puntos dados se deduce que la grafica de la parábola e abre hacia arriba, por lo tanto, su ecuación es de la forma: (x –h)2 = 4 p (y – k) dado que al vértice es V (h-k)= (2 ,-3) entonces h es = 2 y k = - 3 .

Además el punto (5, −3

2)pertenece a la parábola de modo

que satisface su ecuación. Luego, al remplazar en la ecuación canónica, se tiene que:

(5 – 2)2 = 4 p ( −3

2+ 3). De donde p = −3

2

Así la ecuación buscada es (x -2)2 = 4 (3

2)(y+3)

(x-2)2=6(y+3)

*Además. La directriz de la parábola es y=k-p=-3-−3

2,,entonces,y=

−9

2el eje de simetría es de la

forma x= h, es decir=2 y el foco de la parábola es

f(h ,k +p)=(2,−3

2).

EJERCICIOS

Determinar la ecuación de la parábola de vértice

V y foco F.

1)V (3,6), y F (4,6)

Parábola al eje focal al eje X

Distancia= 4-3=1

V (h, k) V(3,6)

Ecuación canónica= (y-k)^2 -4p (x-h)

(y-6)^2= 4(1) (x-3)

(y-6)^2= 4(x-3)