sesiÓn 1 la ruta de los nÚmeros y letras · 2019. 8. 27. · son productos cuyo resultado se...

UNIDAD

82 En marcha

4

Al terminar esta unidad lograré:

-Resolver operaciones con expresiones algebraicas.

-Expresar situaciones diversas empleando expresiones algebraicas.

-Emplear las leyes de los exponentes y radicales para resolver situaciones algebraicas.

-Emplear los diferentes casos de factorización para reducir expresiones algebraicas.

-Resolver situaciones de la ciencia, la tecnología y vida cotidiana con el álgebra.

SESIÓN 1

LA RUTA DE LOS NÚMEROS Y LETRAS

Paso 1Leemos:

- En esta actividad necesitamos que cada integrante del grupo se identifique con una ficha circular de color distinto del tamaño de una moneda de 5 centavos.

- Construimos un dado poliedro de 8 lados. La plantilla de este dado se muestra en la Figura 1.

Actividad 1

Figura 1

¿Qué necesitamos saber?

Un poliedro de 8 lados recibe el nombre de octaedro.

UNIDAD4

83En marcha

Paso 3¡A jugar y ganar!

Paso 2Seguimos las instrucciones:

- Colocamos las fichas en el embudo de salida. - Lanzamos el dado por turno. Sustituimos la letra de la expresión algebraica que aparece en la casilla en que se encuentran en ese momento, por el valor del dado, realizamos la operación y el resultado es el número de casillas que debemos avanzar o retroceder en el tablero.

- Gana el primer jugador en llegar a la meta. Si obtenemos un número que sobrepasa el número de casillas que quedan para la meta se considera que el jugador gana ya que atraviesa la meta.

Cuadro 1

b + 2 y – 2

n + 32(d – 4)3d1 + 1

7 – c

3 – v

3(e – 2)

8 – 1

n + 5

5 – 3r

b – 4

y – 8

–p + 4

2a – 10

3(b – 2) 2c – 6

–x + 5

12 – 2c

x –3

3(4–1)

2(d – 1)

x + 4

2(i – 2)

2x – 3

h – 1

3nn

zz

4ss

UNIDAD 4

84 Mochila de herramientas TALLER DE ÁLGEBRA

SESIÓN 2

TALLER DE ÁLGEBRA - PRODUCTOS NOTABLES -

Paso 2Observamos la Figura 2 que tiene dimensiones (a + b) por cada lado. El producto (a + b) (a + b) = (a + b)2 es el área de la figura.

- En una hoja de papel trazamos las líneas que se observan en la Figura 3, la cortamos y descomponemos tal como se ilustra

BINOMIOS NOTABLES

Paso 1 Observamos la Figura 1 que está compuesta por 4 regiones.

- Escribimos el binomio que representa cada lado y la expresión que permite encontrar el área total de la figura.

Actividad 2

- Identificamos que la Figura está compuesta por 2 cuadrados perfectos y 2 rectángulos.

- Repetimos en voz alta la siguiente afirmación: El producto (a+ b)2 está formado por: cuadrado del primer término más dos veces el primero por el segundo más cuadrado del segundo término.

Figura 1

3a

2b

2b 3a

Figura 2

a b

a a

a

b b

b

Figura 3

(a + b)2 2aba2 b2=

=

+

+ +

+

a

a

b

UNIDAD4

85TALLER DE ÁLGEBRA Mochila de herramientas

Leemos: Los factores de un binomio pueden ser la forma: (x + y), y si tenemos la multiplicación (x + y) ⦁ (x + y); entonces se copia la base y se suman los exponentes y obtenemos: (x + y)2,

- Completamos en el cuaderno las siguientes expresiones algebraicas:

(x + y) (x +y) (x + y) = (a + b)2 (a + b) = (a – n)3 (a - n)3 =

- Escribimos los siguientes productos notables y repetimos en cada uno la regla expresada en la sesión anterior:

¿Qué necesitamos saber? Productos notables: es el nombre que reciben las multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas. Son productos cuyo resultado se obtiene sin necesidad de efectuar la operación de multiplicar.

Paso 3

SESIÓN 3

BINOMIOS NOTABLES QUE ESTABLECEN ÁREAS

Actividad 3

- Encontramos el producto notable que establece el área de cada una las figuras geométricas del Cuadro 1.

- Escribimos en el cuaderno los resultados.

Ejemplo:1. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

2. (m + n)2 = (m + n)(m + n) = m2 + mn + mn + n2 = m2 + 2mn + n2

3. (c + d)2 = (c + d)(c + d) = c2 + cd + cd + d2 = c2 + 2cd + d2

Cuadro 1

6a 4y

6a

4y

2x 2y

2y

2x

UNIDAD 4


SESIÓN 4

ES OBVIO EL RESULTADO.

Actividad 4

Abramos brecha:Leemos:El producto notable aprendido en la sesión anterior se puede escribir también de la siguiente forma: (a – b)2 = (a –b) (a –b) = a2 – 2ab + b2.

- Explicamos: ¿Qué diferencia encontramos con el caso anterior?

Paso 4La siguiente secuencia de formas, ilustra el producto notable (a – b)2.

- Analizamos esta secuencia y la discutimos con el grupo.

Nos organizamos para exponer este producto notable en un cartel. - Recortamos un cuadrado de una hoja de papel. Ver Figura 1.

Figura 1

- Con el papel sobrante recortamos cuatro rectángulos del mismo tamaño y los colocamos en el contorno de nuestro cuadrado.

- Rotulamos cada parte de la figura resultante, tal como se muestran en la Figura 2.

- Analizamos el siguiente procedimiento:

Nuestra figura completa es (a + b)2, si no consideramos tiras rectangulares, entonces obtenemos (a – b)2.

- Esta situación se expresa así:

(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Mi cuadrado

Figura 2

(a – b)2

ab

ab

ab

ab

UNIDAD4


En esta demostración geométrica el área interior tiene dimensiones (a – b) por cada lado y el producto (a –b) (a –b) es (a – b)2.

- Esta situación se ilustra a continuación:

Paso 6Leemos: Adela tiene un negocio de marcos para pinturas de diferentes artistas guatemaltecos. La Figura 3 ilustra el marco de una de las pinturas en óleo que recibió esta semana.El cuadro total tiene un área de 60 cm de cada lado y se colocó una un marco con un grosor de 10 cm de cada lado y la pintura tiene un área de 1600 cm2.

Paso 5Resolvemos en el cuaderno los siguientes productos notables:

SESIÓN 4

ContinúaPaso 4

Cuadrado de un binomio en papel.Veamos el siguiente enlace:https://www.youtube.com/watch?v=AlIetMPGU00

(a – b)2

ab

ab

ab

ab

a – b

b

a +

b

1. (x + 3)2 = 2. (m + 12)2 =

3. (2x + 5)2 = 4. (7x + 9)2 =

5. (x – 11)2 = 6. (8 – y)2 =

7. (5x – 7)2 = 8. (4x – 13y)2 =

- Indicamos qué valor tiene (a – b) - Comprobamos que (a – b) (a – b) = 1600 - Comprobamo que cada tira rectangular ab, tiene un valor de 500 cm2.

UNIDAD 4


SESIÓN 5

MULTIPLICACIÓN POR INSPECCIÓN

Paso 1 Estudiamos la secuencia. Trabajamos en hojas de papel:

Actividad 5

Paso 2Comentamos con los compañeros los resultados obtenidos.

- Dejamos pegado todo el proceso en un cartel.

- El área encontrada es la del rectángulo siguiente con lados (a – b) y (a + b).

- Si multiplicamos (a - b) (a + b) obtenemos finalmente la representación geométrica del producto de la suma y la diferencia de dos términos:

a2 + ab – ab – b2 =(a+b)(a–b)

a

Cortamos un cuadrado de lado a de una hoja de papel.

Agregamos un rectángulo de lados a y b de papel.

a a + b

a

b

a

a

a + bb

b

a a

b

a –

b

a

a

a + bb

b

b

a –

b

a –

b

Recortamos el rectángulo sombreado de área ab.

Recortamos el cuadrado de área b2.

a + b

a –

b

a –

b

UNIDAD4


SESIÓN 5

Paso 6Multiplicamos las dimensiones de los siguientes rectángulos. Sumamos las áreas obtenidas para demostrar que el resultado final, es el producto notable indicado.

Paso 4Completamos en el cuaderno la siguiente tabla:

Paso 5Escribimos en una ficha los productos notables aprendidos.

- Colocamos a la par de cada uno de ellos, descripción teórica. - Repetimos en voz alta cada producto notable.

¿Qué necesitamos saber? Las siguientes expresiones son denominadas productos notables:El cuadrado de un binomio:(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – 2ab + b2

Producto de la suma y la diferencia de dos términos(a + b) (a – b) = a2 – b2

Paso 3Leemos:

1. (x + 4) (x – 4) = 2. (x – 15) (x + 15) =

3. (9 + a) (9 – a) = 4. (a + 7) (7 – a) =

5. (a – 20) (a + 20) = 6. (–12 – m) (m – 12) =

x 3

= x2 – 9x – 3 x2 – 3x 3x – 9

x 2

= x2 – 4x – 2 x2 – 2x 2x – 4

UNIDAD 4


SESIÓN 6

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Paso 1 Leemos: La Figura 1 muestra un cubo de arista a, al cual se le extrae un cubo de arista b.

- Escribimos una expresión algebraica que represente este resultado.

Actividad 6

Paso 2Leemos y analizamos:

La Figura 2 muestra un cubo de volumen a3 descompuesto en 4 partes. Se ha extraído la parte el volumen representado por y · y · y = y3

Escribimos una expresión algebraica que represente el volumen de cada una de las otras partes, para ello copiamos la Tabla 1 en el cuaderno.

Demostramos que la suma de las tres expresiones obtenidas es:x3 – y3 = x2 (x – y) + xy (x – y) + y2 (x – y)

Figura 1

a3b3– =

a

a

a

a

a

a

xx

x

x

(x – y)

y y

y

(x – y)

Figura 2

VolumenExpresión del Área

lateralExpresión de la arista

Expresión de volumen

x2 (x – y) x2 · (x –y)

y (x –y)

y2

UNIDAD4


Paso 5Leemos y analizamos:

La Figura 3 muestra dos cajas una encima de otra en forma de cubos. Si deseamos expresar la suma de ambos cubos.

- Respondemos: ¿Qué expresión algebraica escribimos?

SESIÓN 6

Paso 6Las cajas de la Figura 3, tiene las siguientes dimensiones: a = 2x y b = 3.

- Escribimos una expresión algebraica que indique la suma de ambos cubos. - Escribimos el producto notable que representa esta suma de cubos.

Paso 4Seguimos el orden de la comprobación anterior para escribir el siguiente producto como una suma de cubos:

( 2 + y ) ( 4 – 2y + y2 ) = - Escribimos nuestros resultados en el cuaderno.

Analizamos el siguiente ejemplo:

Reviso ejemplos de suma y diferencia e cubos en el siguiente enlace: http://goo.gl/RvWr8U

¿Qué necesitamos saber? El producto de un binomio y un trinomio están relacionados de la siguiente forma: Suma de cubos: (x + y) (x2 – xy + y2) = x3 + y3

Diferencia de cubos: (x – y) (x2 + xy + y2) = x3 – y3

Paso 3

a

b

Figura 3

( 2x –3 ) ( 4x2 + 6x + 9 ) = 8x3 – 27

obtengo el cubo de 3

obtengo el cubo de 2x

- Compruebo que 4x2 es el cuadrado de 2x - Compruebo que 9 es el cuadrado de 3 - Compruebo que 6x es el producto de (2x)(3)

UNIDAD 4


SESIÓN 7

BINOMIOS AL CUBO

Paso 1 Leo y analizo: La Figura 1 muestra un cubo de arista (a + b). Escribo una expresión algebraica que represente el volumen de este cubo.

Actividad 7

Escribimos ejemplo:

1. (m + n)3 = (m + n)(m + n)(m + n) = (m + n)2(m+n) = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3

2. (m – n)3 = (m – n)(m – n)(m – n) = (m – n)2(m–n) = m3 – 3m2n + 3mn2 – n3

- Escribo la expresión algebraica que representa cada una de las partes. - Si todas las expresiones son parte de un cubo, escribo una suma con todas estas expresiones.

¿Qué necesitamos saber? Un binomio al cubo de la forma (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

Esta expresión se llama: “el cubo de la suma de dos cantidades”Un binomio al cubo de la forma (a – b)3 = a3 - 3 a2b + 3ab2 - b3

Esta expresión se llama: el cubo de la diferencia de dos cantidades.

Paso 3

Paso 2Leo y analizo: La siguiente secuencia de figura muestra todas las partes de un cubo de arista (a + b). En total hay 8 partes y cada una de ellas tiene una expresión algebraica.

Figura 1

ab2

b3

a2 b

a3

b

a

a b

b

a

Figura 2

b3ab2a

2 b

a3= + + +

UNIDAD4


SESIÓN 7

ContinúaPaso 3Leemos:Para representar un binomio al cubo como una suma algebraica de 4 términos decimos:

1. (m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3

Cubo del primer término

Cubo del segundo término

Tres veces el cuadrado del primer término por el segundo

término.

Tres veces el primer término por el cuadrado del segundo

término

Paso 6Si sumo las 8 formas cúbicas, de la Figura 4 obtengo un cubo.

- ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

Paso 5Desarrollo en el cuaderno los siguientes binomios:

1. (x – ___)3 = ___ – ___ + ___ –27 2. (5x + ___)3 = ___ + ___ + ___ + 64y3

3. (___ – ___)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 4. (___ – ___)3 = 125 –75x + 15x2 – x3

5. (2x + ___)3 = ___ + ___ + ___ + 27y3 6. (4x – ___)3 = ___ – ___ + ___ –125

7. (___ + ___)3 = 8m3 + 12m2 + ___ + ___ 8. (___ – ___)3 = 8m3n3 – ___ + ___ –1

Leemos:El triángulo de Pascal establece los coeficientes de un binomio de la forma: (a + b)n

- Observo en el orden n = 2 y n= 3 del Triángulo de Pascal los coeficientes del binomio al cuadrado y binomio al cubo respectivamente.

Paso 4Realizo un análisis similar con la expresión: (m – n)3

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = 1.a + 1.b

(a+b)2 = 1.a2 + 2.a.b +1.b2

(a+b)3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2+1.b3

1

1 1

1 2 1

1 13 3

Figura 3

Figura 4

a2b a

ab

a3 a ab2a

b b

b3

bb

b

Volumen1=3a2b Volumen2=a

3 Volumen3=3ab2 Volumen4=b

3+ + +

UNIDAD 4

94 Mochila de herramientas TALLER DE FACTORIZACIÓN

SESIÓN 8

TALLER DE FACTORIZACIÓN

Paso 2Leemos:A la Figura 2 que se muestra a continuación se le restará la porción indicada.

- ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área resultante?

- Para realizar la operación reubicamos las piezas que quedan

- luego de extraer el cuadrado de dimensiones - y ∙ y tal como se muestra en la Figura 3. - Escribimos el producto de binomios de la Figura 3 y determinamos su área.

- Encontramos el área del cuadrado mayor menos el cuadrado menor de la Figura 4 y escribimos el resultado en el cuaderno.

CAMINO A LA FACTORIZACIÓN

Paso 1 Leemos y analizamos:En Livingston se construirá una plaza para todas aquellas personas que visitan este bello lugar. La plaza tiene forma cuadrada con lado 6 x. En el centro de la plaza se colocará una fuente cuadrada que tiene 3 m de cada lado. La Figura 1 muestra la plaza. Escribimos una expresión algebraica que represente el área de plaza una vez construida la fuente.

Actividad 8

Figura 1

6x

6x

Figura 2 Figura 3

x + y

x –

y

Área totalx

y

y

x

y

y

–

Figura 4

4x

2

UNIDAD4

95TALLER DE FACTORIZACIÓN Mochila de herramientas

Paso 6Expresamos como el producto de dos factores irreducibles las siguientes diferencias de cuadrado perfecto:

25 x2 – 49 y2 9 x4 – 16 y4 x8 – y8

¿Qué necesitamos saber? Factorización es el proceso mediante el cual expresamos un polinomio como el producto de dos o más polinomios de grado menor o igual que el polinomio dado.

Paso 3

Paso 4Aplicamos la propiedad distributiva para escribir expresiones como el producto de dos factores.

7a + 7b = 7a + 14 a2 3 x + 15 x2 =

- Revisamos los siguientes ejemplos:Leemos: Una expresión de la forma ab + ac se puede escribir como el producto de dos factores irreducibles usando la propiedad distributiva.

Paso 5Leemos y comentamos con el grupo el siguiente caso de factorización:La diferencia de cuadrados a2 – b2 es el resultado de multiplicar los factores (a + b) (a - b).

b b c c

a = a +

+a (b + c) = ab ac

Situación 1 Situación 2

Factoriza: 49m2 – 144n6

Solución:Extraes la raíz cuadrada a ambos términos

√49m2 = 7m, √144n6 = 12n3

Luego expresamos el polinomio de forma factorizada así:

49m2 – 144n6 = (7m + 12n3) (7m – 12n3)

Factoriza: 25n4 – 81m2

Solución:Encuentra la raíz cuadrada de ambos términos:

√25n4 = 5n2, √81m2 = 9m

Luego

25n4 – 81m2 = (5n2 + 9m) (5n2 – 9m)

SESIÓN 9

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Actividad 9

UNIDAD 4


Paso 1 Leo:De la Figura 1 cada cuadrado en el interior tiene un área de 8 x2, tal y como se ilustra.

- ¿Cuál es el área total de la figura?

SESIÓN 10

FACTOR COMÚN – EL PROPÓSITO ES REDUCIR.

Actividad 10

¿Qué necesitamos saber? Para hallar el factor común de monomio se establece el máximo común divisor de los términos, comenzando por los coeficientes y luego en su parte literal, y aplicamos la propiedad distributiva.

Paso 3

Paso 2Leo:Para desarrollar la factorización de expresiones algebraicas, necesitamos establecer el Máximo común Divisor de las diversas expresiones algebraicas:

- Hallo el máximo común divisor de 36x4y2z2, y 72x5y3z4

- En el cuaderno escribo el procedimiento:a. Demuestro que el máximo común divisor de los coeficientes es: MCD (36 ,72) = 36b. Verifico que el máximo común divisor de la parte literal es:MCD (x4y2z2, x5y3z4) =x4y2z2

c. Reúno los dos resultados anteriores y obtengo que el MCD de las dos expresiones es: 36x4y2z2

Analizo:

Un cartel que se utilizará para el periódico mural tiene las áreas que se muestran en la Figura 2.

- ¿Cómo encontrar las dimensiones de todo el cartel?

Sigo el procedimiento: - Compruebo que el MCD de 16x2 y 24xz es 8x - Dibujo la figura en el cuaderno y coloco 8x en la longitud que comparten ambas áreas del cartel.

- Completo los siguientes productos:

16 x2 = (2x) ( ) = y 24xz = (6x) ( ) =

- Escribo las dimensiones correctas en la figura que elaboro en el cuaderno. - Explico cuál es el lado común entre ambas áreas.

Figura 1

8x2 8x2

8x28x2

Figura 2

16x2 24xz

UNIDAD4


Paso 6Encuentro el factor común de los siguientes polinomios y luego factorizo.

SESIÓN 10

Paso 4Analizamos la siguiente situación y escribimos en un organizador gráfico, el procedimiento.

Paso 5Resuelvo en el cuaderno:

- Otra forma de resolver el ejercicio anterior es el siguiente:Cada término del polinomio lo dividimos entre el MCD.

- Resuelvo en el cuaderno:

- Cada uno de los resultados anteriores los sumo, encierro entre paréntesis y multiplico por el factor común.

15x4=

5x2–5x3

=5x2

25x2=

5x2

a2 + 2a 10b – 30ab 18mxy2 – 54m2x2y2 + 36my2

Verifico las respuestas.

a(a + 2) 10b(1 – 3a) 18my2 (x – 3mx2 + 2)

Factoriza: 15x4 – 5x3 + 25x2

Paso 1: Hallar el máximo común divisor MCD (15, 5, 25) = 5

Paso 2: Hallar el máximo común divisor de la parte literal MCD (x4, x3, x2) = x2

Paso 3: Escribir cada término utilizando el factor común obtenido 15x4 = (5x2) (3x2) –5x3 = –(5x2) (x) 25x2 = (5x2) (5)

Paso 4: 5x4 – 5x3 + 25x2 = 5x2 (3x2 – x + 5)

Observamos que el factor común obtenido es: 5x2

UNIDAD 4


Paso 1 Leemos: La casa de Marta tiene la distribución que se muestra en la Figura 1.

- Escribo un polinomio que represente el área de la casa.

SESIÓN 11

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Actividad 11

Paso 3

Figura 3

Paso 2Sumo los cuadriláteros siguientes y encuentro el polinomio. Veo Figura 2.

¿Qué necesitamos saber? Si unimos los cuatro cuadriláteros anteriores se forma el cuadrado de la Figura 3. Este resultado se conoce como Trinomio Cuadrado Perfecto, el cual se escribe así:

n2 ± 2np + p2 = (n ± p)2

Figura 1

Cuartoxy

Cuartoxy

Bañoy2

Salax2

n2

np

np

p2

n p

n

p

n p

p

n

Figura 2

p2

n2np

np

p

p

p

n

p

n

n

n

UNIDAD4


Paso 4Verifico si los polinomios del Cuadro 2 son Trinomios cuadrado-perfectos.

Paso 5Escribo el binomio al cuadrado del cuadrilátero de la Figura 4 en el cuaderno.

- Trazo una figura similar que cumpla con la condición de un Trinomio Cuadrado Perfecto.

Leo:Para resolver un trinomio cuadrado perfecto, sigo las siguientes instrucciones: • Verifico si el 1er y 3er término tienen raíz cuadrada exacta.• Verifico si el 2do término es: dos veces la raíz del primero por la raíz del tercero.• Escribo las raíces con el signo del 2do término, encierro entre paréntesis y elevo al

cuadrado.

- Analizo este procedimiento en el Cuadro 1.

SESIÓN 12

Paso 6Leo:A la casa de Marta se le ha agregado una parte de jardín.

- Escribo un polinomio de dos formas distintas que represente el área total de la casa. Ver Figura 5.

Figura 5

Cuartoxy

Cuartoxy

Bañoy2

Salax2 Jardín

4m2

Figura 4

x2 xy

xy y2

4x2 + 12xy2 + 9y4

25m4 – 40m2 + 16

Cuadro 2

16 a2 + 40 a + 25 = (4 a + 5)2

√16a2 = 4a

2 (4a)•5 = 40a √25= 5

Cuadro 1

UNIDAD 4


SESIÓN 12

BINOMIO DE UN CUBO

Actividad 12

Paso 3Las expresiones (a + b)3 y (a - b)3 se pueden desarrollar siguiendo las reglas expuestas en la tabla anterior y en general se escriben de la siguiente forma:

- a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

- a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Paso 1 Mostramos: ¿Cómo representamos con un cuerpo geométrico la expresión (2x + 1)3?

8x3 + 12x2 + 6x + 1

Cuadro 1

Valor de verdad V o F

1. Tiene cuatro términos

2. Dos términos (el primero y el último) son cubos perfectos, es decir raíz cubica exacta

3. El segundo término es tres veces el producto de la primera raíz elevada al cuadrado por la segunda raíz elevada a la potencia uno.

4. El tercer término es tres veces el producto de la primera raíz elevada a la potencia de uno por la segunda raíz elevada al cuadrado.

Paso 4Factorizamos la expresión del Cuadro 2 y comprobamos el resultado.

Paso 5Discutimos si es lo mismo (8x3 +27)3 que (8x3 + 27)3

- Escribimos nuestras conclusiones en el cuaderno.

Factoriza: 27a3 – 8b6 – 54a2b2 + 36ab4

Resultado: (3a – 2b2)3

Cuadro 2

Paso 6Completamos la siguiente factorización:

3 + 36 + 54 – b3 = (2a – 3b)3

Paso 2Verificamos si la expresión del Cuadro 1 cumple con las siguientes condiciones:

- Resolvemos completando en el cuaderno la siguiente tabla:

UNIDAD4


Paso 6Escribo en un cartel 10 situaciones que expresen una situación que se resuelve por factorización.

- Indico el caso de factorización que se utilizó en cada situación.

- Al finalizar, expongo el resultado obtenido en clase.

Paso 4Elaboro un cuadro sinóptico con los diferentes casos de factorización estudiados en esta sesión.

Paso 5Encuentro el área sombreada de la Figura 1 y evalúo si hay un

caso de factorización en el resultado final.

SESIÓN 13

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

Actividad 13

Paso 1 Multiplico (a + b) (a2 – ab + b2) y expongo el resultado obtenido.

Paso 2Compruebo si (a2 – ab + b2) es un trinomio cuadrado perfecto.

- Dejo constancia en el cuaderno, del trabajo realizado.

Paso 3Leo:La suma o diferencia de dos cubos se expresa de la siguiente forma:

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

- Expreso los siguientes polinomios como el producto de polinomios irreducibles:

x3 – 27= x2 – 25 = 27 x3 – 64 y3 =

Veo los siguientes enlaces:Productos notables:https://youtu.be/kV8yKPA3aO4Factorización:https://youtu.be/AJ57CPg7Hsw

Figura 1

93

33

99

6x

UNIDAD 4

102 Mesa de Trabajo PROYECTO

SESIÓN 14

Proyecto 4 Actividad 14

Presentación 30 minutos

¿En qué consiste este proyecto integrador? En la socialización de un compendio de proyectos integradores, derivados de los estudios realizados por diversos medios de información. Es una presentación a la comunidad educativa para consensuar el calendario más adecuado para su ejecución.

¿Cuál es el propósito de este proyecto? - Generar espacios de diálogo y propuestas para abordar problemas de

nuestra comunidad, con actitud propositiva y disposición para el cambio. - Contextualizar nuestros proyectos con los aportes de los miembros de nuestra

comunidad.

¿Qué necesito para realizar este proyecto? - Análisis FODA de la comunidad, segmentado en las áreas de salud,

emprendimiento e información-tecnología. - Árbol de problemas y objetivos, según problemática analizada. - Ideas de mejoramiento de nuestra comunidad, a partir de los hallazgos

obtenidos en el análisis. - Realizar consultas y búsqueda de la información, mediante fuentes virtuales

o entrevistas con personas idóneas, para fortalecer nuestras propuestas.

Con mi comunidadNivel Aula: Demostración Pública de lo Aprendido -DPA-

Participación ciudadanaAcción decidida y comprometida de las personas en los asuntos que aportan al bien común de la sociedad.

Guía del contenido de losplanes de acción (según el área que corresponde: salud, emprendimiento e información-tecnología)

- Carátula (indicar los nombres de los miembros de la comisión).

- Índice - Introducción - Descripción de las

necesidades prioritarias detectadas.

- Análisis del árbol de problemas y objetivos

- Descripción de las posibles soluciones y acciones propuestas.

- Actividades como parte de la realización del área de proyectos Cronograma. (considerar el calendario anual escolar)

- Presupuesto proyectado - Relación de posibles

soluciones a las necesidades prioritarias (esquema integrador).

- Forma de vincular a los miembros de la comunidad para el logro de los proyectos.

ANEXOS - Registros de entrevistas

realizadas. - Organizadores gráficos.

Paso 2 90 minutosElaboración de boletines informativos.

- Cada comisión, se encargará de elaborar trifoliares (FT15) o boletines informativos, para socializar nuestras propuestas. Nuestro facilitador nos proporcionará orientación y modelos posibles, para su elaboración.

Paso 1 180 minutos¿Cómo identificar fuentes de información?Presentación de nuestros planes de acción:

- Según la comisión a la que pertenezcamos, socializamos nuestros planes de acción (elaborados en el proyecto 3) con nuestros compañeros de clase; hacemos uso de la presentación que hayamos diseñado.

Consensos, orientados por nuestro facilitador: - A partir de los planes de acción, generados por cada comisión (salud,

emprendimiento, información-tecnología), se validarán las propuestas, a fin de establecer una visión integrada de los proyectos.

Resultado de nuestro trabajo cooperativo: - Obtendremos tres planes de acción, que corresponden a las áreas de salud,

emprendimiento e información-tecnología, generados por la comisión correspondiente.

El cumplimiento de los planes es responsabilidad de todos los estudiantes, apoyados por nuestro facilitador, familias y miembros de nuestra comunidad.

Alianzas para las vinculaciones con la comunidad

Fase II: Presentación del proyecto

UNIDAD4

103Mesa de Trabajo PROYECTO

Mi ruta de salud Entrenamiento de hombrosDescenso de mancuerna en decúbito lateral*Ejecución del ejercicio: 3 series de 10 con cada brazo.

- Acostado de lado* sobre una banca plana o en el suelo, sostengo una mancuerna, en posición vertical, por arriba de mi cuerpo.

- Desciendo hacia adelante la mancuerna de forma controlada, hasta que mi brazo quede al mismo nivel que la superficie superior de su cuerpo.

- Elevo la carga hasta la posición inicial.

Recuerdo mantener el brazo en completa extensión durante todo el ejercicio.

SESIÓN 15

Con mi comunidadNivel Aula: Demostración Pública de lo Aprendido -DPA-

Paso 3 60 minutosPreparativos para la presentación de planes de acción.

- Invitamos, previamente a: nuestras familias, autoridades educativas, expertos que pueden colaborar con la realización de nuestros proyectos, autoridades comunitarias e invitados especiales.

- El consejo estudiantil, organiza y dirige el programa de la actividad, así como la ubicación, orden y tiempo asignado a cada comisión.

- Nos aseguramos de arreglar el escenario o el lugar que se designe para la demostración.

- Presentamos públicamente los planes de acción, según el área de salud, emprendimiento y tecnología de la información.

- Utilizamos la presentación que diseñamos y que validamos previamente con nuestros compañeros de clase.

Paso 5 30 minutosTexto paralelo

- Realizo un análisis del ámbito que me interesa trabajar y presento estrategias bien definidas para abordar los problemas que se detecten con el análisis específico.

- Dejo constancia de los materiales que elaboro para el apoyo en la socialización del diagnóstico: afiches (FT12), carteles (FT13), otros.

- Me apego a las indicaciones del facilitador para resolver las pruebas que me sean asignadas: autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación.

Actividad 15

Sitios Web sugeridos Análisis de problemas con árboles de objetivos http://arboldeproblmeasfodadrp.blogspot.com/Cómo hacer un árbol de objetivos en Excelhttp://www.ehowenespanol.com/dibujar-arbol-decision-excel-como_8245/Alianzas comunitarias para el desarrollo – PNUD-http://www.undp.org/content/undp/es/home/ourwork/partners.html

Ruta de la saludCon la orientación del facilitador, realizo mi ruta de la salud.

Paso 4 120 minutosPresentación de nuestros proyectos.Socializamos nuestros planes de acción. El propósito esencial es vincular a los miembros de nuestra comunidad, para el logro de los proyectos.

- Distribuimos entre los asistentes, los trifoliares o boletines informativos, con la información de los proyectos.

- Incluimos, como mínimo en el programa de la actividad: bienvenida, presentación de la actividad, presentación de cada plan de acción, según el área en que se desarrolla, realimentación mediante preguntas, observaciones y propuestas por parte de la audiencia.

- Tenemos a disposición el informe escrito que se generó. - Utilizamos la presentación diseñada y validada, para socializar el plan

de acción correspondiente.

Factibilidad y viabilidad de un proyectoLa factibilidad es la capacidad estructurada de un proyecto, para generar beneficios a su entorno social.La viabilidad es la posibilidad que tiene un proyecto de lograr sus objetivos mediante la superación de las restricciones que le impone el entorno social.

UNIDAD 4

104 Evaluación - UNIDAD 4-

SESIÓN 16

EVALUACIÓN DE CIERRE DE LA UNIDAD

VALORO MI APRENDIZAJE.

1. Don José es carpintero y ha construido un cubo de madera para que su sobrino lo lleve a su centro de estudios y puedan repasar los productos notables. La Figura 1 muestra las partes que integran el cubo de madera.

Si conozco las dimensiones indicadas en cada una de estas partes, respondo:a. ¿Cuál es el volumen de cada parte que integra el cubo?b. Dibujo el cubo e identifico sus dimensiones.c. Escribo el producto notable (a + b)3 para esta situación.d. Desarrollo el binomio al cubo obtenido.

Actividad 16

Figura 1

3

3

5x

5x

3 5x

5x

5x

5x 3 3

3 3

3

5x

5x

3 3 3

5x

5x 3

UNIDAD4

105Evaluación - UNIDAD 4-

SESIÓN 16

Recuerdo analizar y registrar mis progresos.

90 a 100: Lo logré con excelencia. Color verde oscuro

76-89: Lo logré. Color verde claro60-75: Puedo mejorar. Color amarillo0-59: En proceso. Color rojo

2. Andrea tiene un terreno donde siembra frijol y maíz. La Figura 2 muestra las dimensiones del terreno indicadas con expresiones algebraicas. Para Andrea, esta forma de presentar el área de su terreno le parece creativa y divertida cuando debe explicarles a sus amigos que no comprenden el álgebra.

3. La Figura 3 representa el terreno de forma cuadrada de Andrés. En un área de 2 m x 3 m ha colocado una siembra de rosas y flores.

Respondo:a. ¿Qué producto notable se forma en

el área donde se siembra frijol?b. ¿Qué producto notable se forma en

el área donde se siembra maíz?c. Escribimos los productos notables.d. Desarrollamos el producto notable para

el área de frijol.e. Si x = 3 m, ¿Qué área le corresponde al

maíz?

a. Escribimos el polinomio el área sombreada del terreno de Andrés.

b. Factorizamos la expresión anterior y expresamos esta área como el producto de dos factores irreducibles.

c. Indicamos en esta situación, ¿quién es el factor común?

3x + 2

Frijol

3x – 2

Maíz

3x + 2 1 2

Figura 2

Figura 3

3

2

6x

sesiÓn 1 la ruta de los nÚmeros y letras · 2019. 8. 27. · son productos cuyo resultado se...

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