Potencia de binomios

Por Brian Hesús Ambrocio Miranda

INTRODUCCIÓN

Al desarrollar una operación de binomios, el proceso por el cual se resolverá el problema, será siempre el mismo, obteniendo un distinto resultado según el exponencial al que esté elevado.

Para ello se analizarán distintas herramientas que facilitan la obtención de los resultados de manera rápida y fácil.

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Triángulo de Pascal

1

1

1

111 3

2

1

1 6 44

3

20

5101051 1

1615156

1 1

Triángulo de Pascal

¿Notaste algo en el Triángulo de Pascal?

Podríamos decir que cada fila del triángulo entrega el número de posibilidades para cada uno de los resultados del experimento.

En álgebra, este triangulo nos ayudará en la resolución de potencias de Binomios .

TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal es un arreglo de números dispuestos en forma de triángulo, que permite determinar los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio , donde n es un número natural.

na b

Aunque el triángulo aritmético (triángulo de Pascal) es atribuido en occidente a dos matemáticos Niccolo Tartaria y Blass Pascal, desde antes ya se conocía en oriente.

CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo se genera a partir de colocar el número 1 en su extremo superior y, a partir de aquí, las sucesivas filas se construyen colocando un 1 en cada esquina, el resto de casillas es igual

a la suma de los dos números que tiene justo encima.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO DE PASCAL

Los números de la primera diagonal son unos.

Los números de la segunda diagonal son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Los números de la tercera diagonal son: 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36

Los números de la tercera diagonal cumplen con:3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1º: Se ubica la potencia en el triángulo

Aplicación en Potencia de Binomios

(x+5)4

2º: Se colocan los números con el signo + o – según el binomio

1 4 6 4 1(x4) (54

)

3º: Se colocan los términos, potenciando a descendente y bde manera ascendiente

a = xb = 5

(x3) (x2) (x)(53

)(52

)(5)

4º: Se colocan los números del triángulo en la operación. Este paso también puede ser el primero.

5º: Se realiza la operación para simplificar el resultado final

x4 + 20x3

+ 150x2 + 500x

+ 625

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Binomio de Newton

Observar las potencias: (a+b)0 = 1

(a+b) 1 = a + b (a+b) 2 = a2 + 2.a.b + b2

(a+b) 3 = a3 + 3.a2 .b + 3.a. b2 + b3

(a+b) 4 = a4 + 4.a3 . b + 6.a2 . b2 + 4.a. b3 + b4

BINOMIO DE NEWTON

Ya vistos por ser todos productos notables. Forman un triángulo llamado: Triángulo de Tartaglia

m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m (a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . b m m m m

Ejemplo:

4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 (7+ 5) = C .7 + C .7 . 5 + C . 7 . 5 + C . 7. 5 + C . 5 4 4 4 4 4

4 4 3 2 2 3 4 12 = 1. 7 + 4.7 .5 + 6.7 .5 + 4.7.5 + 1.5 ,

EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON

1.- El número de sumandos o términos del desarrollo siempre es igual al número del exponente más uno.

2.- Los coeficientes numéricos forman siempre un triángulo, donde un coeficiente cualquiera es siempre igual a la suma de los dos coeficientes que están por encima de él.

3.- El grado de todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio.

4.- El grado del primer término del binomio, de ‘a’, va disminuyendo desde el valor del exponente hasta cero.

5.- El grado del segundo término del binomio, de ‘b’, va aumentando desde cero hasta el valor del exponente.

6.- La suma de los grados de ‘a’ y de ‘b’ , en todos y cada uno de los términos del desarrollo es siempre el mismo, e igual al exponente del binomio.

7.- Si el binomio es una resta en lugar de una suma, los términos de lugar par del desarrollo serán de signo negativo.

8.- Los coeficientes numéricos presentan siempre simetría. Son todos ellos Combinaciones sin repetición: C m,n

donde ‘m’ es el exponente del binomio y ‘n’ varía de 0 a ‘m’

PROPIEDADES…

Que podemos comprobar con los ejemplos que sirven de base para el desarrollo de Newton:

(X+2)4=

Aplicación en Potencia de Binomios

m 0 m 1 m-1 2 m-2 2 m m(a+b) = C .a + C .a . b + C . a . b + ... + C . b

(x+2) 4 = x4 + 4.x3 . 2 + 6.x2 . 22 + 4.x. 23 + 24

(x+2) 4 = x4 +8x3 + 24x2 + 32x + 16

Las ayudas anteriores nos brindan una herramienta confiable y verídica en su uso en la resolución de problemas de potencias de binomios y en ocasiones de probabilidades.

GRACIAS

Conclusión