matemática - educación rural(cuadrado y cubo de binomio respectivamente). • producto de binomios...

Material distribuido a establecimientos educacionales del Programa Escuelas Arriba y a escuelas rurales.

SEMANA 2

Matemática

GUÍA PARA ESTUDIANTES

Guía de actividades de apoyo

Estimado y estimada estudiante:

Las actividades que desarrollarás en la siguiente guía te permitirán comprender los productos notables, transformando productos en sumas, aplicándolos en situaciones concretas y revisando su utilidad en la reducción y desarrollo de expresiones algebraicas.

OBJETIVO DE LA GUÍA:

Conocer qué son los productos notables y poder realizar operaciones en que ellos se vean involucrados

NOMBRE:

CURSO: LETRA: FECHA:

ESTABLECIMIENTO:

II MEDIO

2

MATEMáTICASEMANA 2

GUÍA DE ACTIvIDADES DE APOYOPARA II MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

Los productos notables son resultados de multiplicaciones entre expresiones algebraicas que ya conoces y trabajaste en años anteriores.

Estas semanas trabajaremos con algunos de ellos.

• Multiplicación de un binomio por sí mismo 2 o 3 veces (cuadrado y cubo de binomio respectivamente).

• Producto de binomios con un término común. • Multiplicación de dos binomios, que difieren en un signo

(suma por su diferencia).

a) Qué es un cuadrado o cubo de binomio.

i. Calcula el área del cuadrado y volumen del cubo si cada uno de sus lados mide:

Medida área volumen

• 4 cm

• 5 cm

• (2 + 6) cm

• x cm

3

MATEMáTICASEMANA 2


ii. Calcula de manera gráfica el área de un cuadrado cuyos lados miden:

1. Cada lado mida (8 + 2)

(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 100

3. Cada lado mide (x + 3)

(x + 3) • (x + 3) = (x + 3) • (x + 3) = (x + 3) • (x + 3) = (x + 3) • (x + 3) =

2. Cada lado mide (9 +3)

(9 + 3) • (9 + 3) =(9 + 3) • (9 + 3) =(9 + 3) • (9 + 3) =

4. Cada lado mide (x + y)

(x + y) • (x + y) = (x + y) • (x + y) = (x + y) • (x + y) =

8

x

9

x

64 818

x

9

x

16 27+2

+3

+3

+y

+ 2

+ 3

+ 3

+ y

16

4

4

MATEMáTICASEMANA 2


iii. Representa de manera gráfica el volumen de un cubo cuyos lados miden:

i. Cada lado mida (2 + 8)

((2 + 8)3 = 23+ 3 • (22 • 8) + 3 • (2 • 82)+83

(8 + 2)3 = 8 + 3 • (4 • 8) + 3 • (2 • 64)+512 (8 + 2)3 = 8 + 3 • 32 + 3 • 128 + 512 (8 + 2)3 = 8 + 96 + 384 + 512 (8 + 2)3 = 1.000

iii. Cada lado mide (3 + x)

(3+x)3 = (3+x)3 = (3+x)3 = (3+x)3 =

ii. Cada lado mide (3 + 9)

(3+9)3 = (3+9)3 = (3+9)3 = (3+9)3 = (3+9)3 =

iv. Cada lado mide (y + x)

(y+x)3 = (y+x)3 = (y+x)3 =

• •

• •

5

MATEMáTICASEMANA 2


iv. Completa el siguiente diagrama sumando los números que se indican:

v. Completa el siguiente diagrama incorporando los exponentes que acompañan a las variables:

vi. Reemplaza los siguientes valores en el triángulo de Pascal y compara los resultados con los obtenidos en los ejercicios anteriores.

• (8+2)2 =

• (9+3)2 =

• (2+8)3 =

• (3+9)3 =

v. Conociendo este diagrama, conocido como el triángulo de Pascal, ¿podrás definir cómo se desarrolla la multiplicación de (x+y)7?

11

1 1

1 1

11

1

661 1

10101 1

(x+y)0

(x+y)2

(x+y)4

(x+y)1

(x+y)3

(x+y)5

1y41

1 1y3

1 1y2

1y1

1

661 1y6

10101 1y5

(x+y)0

x

(x+y)2

x3

(x+y)4

x5

(x+y)1

x2 x1y1

(x+y)3

x4

(x+y)5

x6

x y

x y

x y x y x y x y

x yx y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

6

MATEMáTICASEMANA 2


ACTIVIDAD N° 2

El día de ayer trabajaste el cuadrado de binomio y desarrollaste el ejemplo siguiente:Determinaste el área del cuadrado cuyos lados miden (8 +2).

(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 100

i. Calculemos el área de un rectángulo cuyos lados serán (8+4) y (8+2).

(8 + 4)•(8 + 2) = 64 + 16 + 32 + 8 (8 + 4)•(8 + 2) = 120 (12) • (10) = 120

8

648

32+4

+ 2

16

8

648

16+2

+ 2

16

4

8

7

MATEMáTICASEMANA 2


ii. Usando el mismo método calcula el área de los rectángulos cuyos lados son:

• (9 + 3) y (9 + 6)

• (3 + x) y (x + 7)

• (x + y) y (x + z)

Con estos ejemplos has podido descubrir uno de los productos notables: Producto de binomios con un término común.

(9 + 3) • (9 + 6) = (9 + 3)•(9 + 6) = (12) • (15) =

(3 + x) • (x + 7) = (3 + x) • (x + 7) = (3 + x) • (x + 7) =

(x + y) • (x + z) =

8

MATEMáTICASEMANA 2


ACTIVIDAD N° 3

Hoy te invitamos a conocer la multiplicación de dos binomios que difieren en un signo.Por ejemplo, (8 + 2) • (8 - 2), sabemos que el resultado de esta multiplicación es 10 • 6 =60.Este tipo de multiplicaciones no reviste una mayor dificultad, pero ¿podrías hacer la multiplicación de forma rápida si te preguntaran por 23 • 17 o 29 • 31?

Si nos fijamos en los números dados, entre ellos se esconde la siguiente información: 23 • 17 = (20 + 3) • (20 - 3) 29 • 31 = (30 - 1) • (30 + 1)

A simple vista no es algo importante, pero veremos que nos ayudará mucho a resolverlos de manera más sencilla.

volvamos al ejemplo de (8 + 2) • (8 - 2) = 10 • 6 = 60Miremos cómo se conforma esta multiplicación de manera gráfica.

PASO 1: Miremos y grafiquemos el área del primer término de ambos factores, que es 8.

Buscaremos el área que cubre un cuadrado de lado 8 = 64.

PASO 2: El primer término me pide que se le sume 2.

Lo representaremos con el área que cubre el rectángulo pintado de color gris oscuro.

1 11 1

3 3

5 5

7 7

1

2 2

4 4

6 6

8 8

2

5 53 37 72 26 64 48 8

9

MATEMáTICASEMANA 2


PASO 5: Pintamos de color gris el área pintada de color negro

Nos faltará un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?

PASO 3: El segundo término señala que le reste 2.

Lo representaremos eliminando el área que corresponde a 2, lo que quedará pintado de blanco.


Nos queda un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?

PASO 4: Reordenemos

Cambiamos de posición el área pintada de color gris oscruo.

1 1

1 1

1 1

1 1

3 3

3 3

5 5

5 5

7 7

7

1

7

2 2

2 2

4 4

4 4

6 6

6 6

8 8

8

2

8

5 5

5 5

3 3

3 3

7 7

7 7 1

2 2

2 2

6 6

6 6

4 4

4 4

8 8

8 8 2

10

MATEMáTICASEMANA 2


i. Usando el procedimiento anterior, calcula el producto de las siguientes sumas por su diferencia.

ii. Calcula el valor de las siguientes sumas por su diferencia.

(x + 1) • (x - 1)=

x

a

a

y 1

1

11

11

y

(a + 4) • (a - 4)=

(y - 11) • (y + 11)=

12

12+ -• =x x( ( ) )•

15

15+ -• =a

3 a3( ( ) )•

• =110+y( )2 110-y( )2•

11

MATEMáTICASEMANA 2


ACTIVIDAD N° 4

Utilizando los recursos con los que has trabajado en los días anteriores responde los siguientes ejercicios.

i. Determina si los siguientes ejercicios corresponden a “cuadrado de binomio”, “cubo de binomio”, “suma por su diferencia” o “producto de binomios con un término común”.

(z3 + 14 )2

(a + 3) • (a - 3)

(w2 - b) • (w2 + b)

(1 15

+ x)3

( a2 + 3) • ( a2 + 4)

(bn - 3a) • (bn - 2a)

ii. Completa cada recuadro según corresponda.

(5 + y) • (12 + y) = 60 + +y2

(12 + z) • (12 - z) = - z2

( +15)•( - 15) = b4 - 225

(x+ 12 )2 = x2 +

(2x - 3)2 = 4x2 +

iii. Encuentra el error cometido y corrígelo.

(y + 9a) (y - 9a) = y2+9a2

(a + 2) (a - 7) = a2 + 28a + 9

(x2 + 2)2 = x

2

2 + 2x + 4

(2x + 4)^3 = 6x3 + 24x2 + 32x + 64

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MATEMáTICASEMANA 2

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA DE APOYOPARA II MEDIO

ACTIVIDAD N° 1

Los productos notables son resultados de multiplicaciones entre expresiones algebraicas que ya conoces y trabajaste en años anteriores.

Estas semanas trabajaremos con algunos de ellos.

• Multiplicación de un binomio por sí mismo 2 o 3 veces (cuadrado y cubo de binomio respectivamente).

• Producto de binomios con un término común. • Multiplicación de dos binomios, que difieren en un signo

(suma por su diferencia).

a) Qué es un cuadrado o cubo de binomio.

i. Calcula el área del cuadrado y volumen del cubo si cada uno de sus lados mide:

Medida área volumen

• 4 cm 16 cm2 64 cm3

• 5 cm 25 cm2 125 cm3

• (2 + 6) cm 64 cm2 512 cm3

• x cm x2 cm2 x3 cm3

SOLUCIONARIO DE LA GUÍA

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MATEMáTICASEMANA 2


ii. Calcula de manera gráfica el área de un cuadrado cuyos lados miden:

1. Cada lado mida (8 + 2)

(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4(8 + 2) • (8 + 2) = 100

3. Cada lado mide (x + 3)

(x + 3) • (x + 3) = x2 + 2 • (3x) + 9(x + 3) • (x + 3) = x2 + 6x + 9(x + 3) • (x + 3) = x2 + 6x + 9(x + 3) • (x + 3) = x2 + 6x + 9

2. Cada lado mide (9 +3)

(9 + 3) • (9 + 3) = 81 + 27 + 27 + 9(9 + 3) • (9 + 3) = 81 + 2 • (27) + 9(9 + 3) • (9 + 3) = 144

4. Cada lado mide (x + y)

(x + y) • (x + y) = x2 + 2 • (xy) +y2(x + y) • (x + y) = x2 + 2xy + y2(x + y) • (x + y) = x2 + 2xy + y2

8

x

9

x

64

x2

81

x2

8

x

9

x

16

3x

27

xy

+2

+3

+3

+y

+ 2

+ 3

+ 3

+ y

16

3x

27

xy

4

9

9

y2

14

MATEMáTICASEMANA 2


iii. Representa de manera gráfica el volumen de un cubo cuyos lados miden:

i. Cada lado mida (2 + 8)

((2 + 8)3 = 23+ 3 • (22 • 8) + 3 • (2 • 82)+83

(8 + 2)3 = 8 + 3 • (4 • 8) + 3 • (2 • 64)+512 (8 + 2)3 = 8 + 3 • 32 + 3 • 128 + 512 (8 + 2)3 = 8 + 96 + 384 + 512 (8 + 2)3 = 1.000

iii. Cada lado mide (3 + x)

(3+x)3 = 33+3•(32•x)+3•(3•x2)+x3

(3+x)3 = 27+3•(9•x)+3•(3•x2)+x3

(3+x)3 = 27+3•(9x)+3•(3x2)+x3

(3+x)3 = 27+27x+9x2+x3

ii. Cada lado mide (3 + 9)

(3+9)3 = 33+3•(32•9)+3•(3•92 )+93

(3+9)3 = 27+3•(32•9)+3•(3•92 )+729(3+9)3 = 27+3•(9•9)+3•(3•81)+729(3+9)3 = 27+3•81+3•243+729(3+9)3 = 1.728

iv. Cada lado mide (y + x)

(y+x)3 = y3+3•(y2•x)+3•(y•x2)+x3

(y+x)3 = y3+3•(y2x)+3•(yx2)+x3

(y+x)3 = y3+3y2x+3yx2+x3

• •

• •

15

MATEMáTICASEMANA 2


iv. Completa el siguiente diagrama sumando los números que se indican:

v. Completa el siguiente diagrama incorporando los exponentes que acompañan a las variables:

vi. Reemplaza los siguientes valores en el triángulo de Pascal y compara los resultados con los obtenidos en los ejercicios anteriores.

• (8+2)2 = 82+2•(8•2)+22=64+32+4=100• (9+3)2 = 92+2•(9•3)+32=81+54+9=144 • (2+8)3 = 23+3•(22•8)+3•(2•82)+83=

8+3•(4•8)+3•(2•64)+512=8+3•32+3•128+512=8+96+384+512=1.000• (3+9)3 = 33+3•(32•9)+3•(3•92)+93=27+3•(9•9)+3•(3•81)+729=

27+3•81+3•243+729=27+243+729+729=1.728

v. Conociendo este diagrama, conocido como el triángulo de Pascal, ¿podrás definir cómo se desarrolla la multiplicación de (x+y)7?

(x+y)7=x7+7x6y+21x5y2+35x4y3+35x3y4+21x2y5+7xy6+y7

4 46 11

3 31 1

21 1

11

1

15 6152061 1

5 510101 1

(x+y)0

(x+y)2

(x+y)4

(x+y)1

(x+y)3

(x+y)5

4 46 1y41

3 31 1y3

21 1y2

1y1

1

15 6152061 1y6

5 510101 1y5

(x+y)0

x

(x+y)2

x3 x2y xy2

(x+y)4

x5 x4y x3y2 x2y3 xy4

(x+y)1

x2 x1y1

(x+y)3

x4 x3y x2y2 xy3

(x+y)5

x6 x5y x4y2 x3y3 x2y4 xy5

16

MATEMáTICASEMANA 2


ACTIVIDAD N° 2

El día de ayer trabajaste el cuadrado de binomio y desarrollaste el ejemplo siguiente:Buscaste Determinaste el área del cuadrado cuyos lados miden (8 +2).

(8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 16 + 16 + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 64 + 2 • (16) + 4 (8 + 2) • (8 + 2) = 100

i. Calculemos el área de un rectángulo cuyos lados serán (8+4) y (8+2).

(8 + 4)•(8 + 2) = 64 + 16 + 32 + 8 (8 + 4)•(8 + 2) = 120 (12) • (10) = 120

8

648

32+4

+ 2

16

8

648

16+2

+ 2

16

4

8

17

MATEMáTICASEMANA 2


ii. Usando el mismo método calcula el área de los rectángulos cuyos lados son:

• (9 + 3) y (9 + 6)

• (3 + x) y (x + 7)

• (x + y) y (x + z)

Con estos ejemplos has podido descubrir uno de los productos notables: Producto de binomios con un término común.

(9 + 3) • (9 + 6) = 81 + 54 + 27 + 18(9 + 3)•(9 + 6) = 180(12) • (15) = 180

(3 + x) • (x + 7) = 3x + 21 + x2 + 7x(3 + x) • (x + 7) = x2 + 3x + 7x + 21(3 + x) • (x + 7) = x2 + 10x + 21

(x + y) • (x + z) = x2 + xy + zx + zy

9

x

81

x2

9

x

54

zx

x

3x

x2

6

+z

3

+x

+3

+y

27

xy

18

zy

+7

21

7x

18

MATEMáTICASEMANA 2


ACTIVIDAD N° 2

Hoy te invitamos a conocer la multiplicación de dos binomios que difieren en un signo.Por ejemplo, (8 + 2) • (8 - 2), sabemos que el resultado de esta multiplicación es 10 • 6 =60.Este tipo de multiplicaciones no reviste una mayor dificultad, pero ¿podrías hacer la multiplicación de forma rápida si te preguntaran por 23 • 17 o 29 • 31?

Si nos fijamos en los números dados, entre ellos se esconde la siguiente información: 23 • 17 = (20 + 3) • (20 - 3) 29 • 31 = (30 - 1) • (30 + 1)

A simple vista no es algo importante, pero veremos que nos ayudará mucho a resolverlos de manera más sencilla.

volvamos al ejemplo de (8 + 2) • (8 - 2) = 10 • 6 = 60Miremos cómo se conforma esta multiplicación de manera gráfica.

PASO 1: Miremos y grafiquemos el área del primer término de ambos factores, que es 8.

Buscaremos el área que cubre un cuadrado de lado 8 = 64.

PASO 2: El primer término me pide que se le sume 2.

Lo representaremos con el área que cubre el rectángulo pintado de color gris oscuro.

1 11 1

3 3

5 5

7 7

1

2 2

4 4

6 6

8 8

2

5 53 37 72 26 64 48 8

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MATEMáTICASEMANA 2



Nos faltará un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?

PASO 3: El segundo término señala que le reste 2.

Lo representaremos eliminando el área que corresponde a 2, lo que quedará pintado de blanco.


Nos queda un cuadrado blanco, para que sea el área del paso 1.¿Cuánto mide esa área?

PASO 4: Reordenemos

Cambiamos de posición el área pintada de color gris oscuro.

1 1

1 1

1 1

1 1

3 3

3 3

5 5

5 5

7 7

7

1

7

2 2

2 2

4 4

4 4

6 6

6 6

8 8

8

2

8

5 5

5 5

3 3

3 3

7 7

7 7 1

2 2

2 2

6 6

6 6

4 4

4 4

8 8

8 8 2

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MATEMáTICASEMANA 2


i. Usando el procedimiento anterior, calcula el producto de las siguientes sumas por su diferencia.

ii. Calcula el valor de las siguientes sumas por su diferencia.

(x + 1) • (x - 1)=

x

a

a

y 1

1

11

11

y

(a + 4) • (a - 4)=

(y - 11) • (y + 11)=

x2

a2

y2

1

16

112= 121

12

12

14+ - -• =x x x

2( ( ) )•15

15

125+ - -• =a

3 a3 a6( ( ) )•1

100-• = y1

10+y( )2 110-y( )2•

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MATEMáTICASEMANA 2


ACTIVIDAD N° 4

Utilizando los recursos con los que has trabajado en los días anteriores responde los siguientes ejercicios.

i. Determina si los siguientes ejercicios corresponden a “cuadrado de binomio”, “cubo de binomio”, “suma por su diferencia” o “producto de binomios con un término común”.

(z3 + 14 )2 Cuadrado de binomio

(a + 3) • (a - 3) Suma por su diferencia

(w2 - b) • (w2 + b) Suma por su diferencia

(1 15

+ x)3 Cubo de binomio

( a2 + 3) • ( a2 + 4) Producto de binomios con un término común

(bn - 3a) • (bn - 2a) Producto de binomios con un término común

ii. Completa cada recuadro según corresponda.

(5 + y) • (12 + y) = 60 + 17y +y2

(12 + z) • (12 - z) = 144 - z2

( b2 +15)•( b2 - 15) = b4 - 225

(x+ 12 )2 = x2 + x + 14

(2x - 3)2 = 4x2 - 12x + 9

iii. Encuentra el error cometido y corrígelo.

(y + 9a) (y - 9a) = y2+9a2 y2 - 81a2

(a + 2) (a - 7) = a2 + 28a + 9 a2-5a-14

( x2

+ 2)2 = x 2

2 + 2x + 4 x

2

4+2x+4

(2x + 4)3 = 6x3 + 24x2 + 32x + 64 8x3 + 48x2 + 48x + 64

matemática - educación rural(cuadrado y cubo de binomio respectivamente). • producto de binomios...

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