separatas ingenieria de control

8/10/2019 Separatas Ingenieria de control

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UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castaeda

SILABO DE INGENIERIA DE CONTROL

Duracin del curso : 4 semanas (10 horas semanales)

Profesor del curso : Ing. Julio Cesar Borjas Castaeda

CONTENIDO DEL CURSOSemana 1: Modelado matemtico de sistemas dinmicosIntroduccin a los sistemas de control, definiciones preliminares control en lazo cerrado,

control en lazo abierto. Funcin de transferencia, diagramas de bloques, modelado en el

espacio de estados, representacin en el espacio de estados de sistemas dinmicos.

Sistemas mecnicos, sistemas elctricos y electrnicos, sistemas de nivel de lquidos y

sistemas trmicos. Sistema con movimiento compuesto: el pndulo invertido.

Linealizacin de modelos matemticos no lineales.

Semana 2: Respuesta en el tiempo. Lugar geomtrico de las races

Sistemas de primer orden, segundo orden y de orden superior, estabilidad, polos y ceros,criterio de estabilidad de Routh, efectos de las acciones de control, errores en estado

estacionario. Graficas del lugar de las races, resumen de las reglas generales para

construir los lugares de las races, sistemas con realimentacin positiva, sistemas

condicionalmente estables, lugares de las races para sistemas con retardo de transporte.

Semana 3: Diseo de sistemas de control por el mtodo LGR. Sintona de controladores.Consideraciones preliminares de diseo, compensacin de adelanto, compensacin de

retardo, compensacin de retardo-adelanto, compensacin paralela, controlador

proporcional derivativo, controlador proporcional integral y controlador proporcional

integral derivativo. Reglas de sintona de Ziegler-Nichols: primer mtodo y segundo

mtodo

Semana 4: Diseo de sistemas de control mediante el mtodo de la frecuencia. Diseode sistemas realimentacin con variables de estados.Controlabilidad. Observabilidad. Realimentacin por ubicacin de polos. Estimacin del

estado. Realimentacin de salida.

SISTEMA DE EVALUACION

= +

2

PF = Promedio final, PP = Promedio de Practicas calificadas, EF = Examen Final

BIBLIOGRAFIAKatsuhiko Ogata Ingeniera de Control Moderna

Richard Dorf Sistemas de Control Moderno

Benjamn Kuo Sistemas de Control Automtico

Paul Lewis Sistemas de Control en Ingeniera


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Modelado matemtico de sistemas dinmicosIng. Julio Cesar Borjas Castaeda

INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROLEl control automtico ha desempeado un papel vital en el avance de la ingeniera y la

ciencia. Adems de su gran importancia en los sistemas de vehculos espaciales, de guiado

de misiles, robticos y anlogos, el control automtico se ha convertido en una parte

importante e integral de los procesos modernos industriales y de fabricacin. Por ejemplo,

el control automtico es esencial en el control numrico de las maquinas herramientas de

las industrias de manufactura, en el diseo de sistemas de piloto automtico en la

industria aeroespacial, y en el diseo de automviles y camiones en la industria

automotriz. Tambin es esencial en las operaciones industriales como el control de

presin, temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de proceso.

Como los avances en la teora y la prctica del control automtico proporcionan los

medios para conseguir un comportamiento optimo de los sistemas dinmicos, mejorar la

productividad, simplificar el trabajo de muchas operaciones manuales repetitivas yrutinarias, as como de otras actividades, la mayora de los ingenieros y cientficos deben

tener un buen conocimiento de este campo.

Definiciones preliminares

Variable controlada. La variable controlada es la cantidad o condicin que se mide ycontrola.

Variable manipulada. La variable manipulada es la cantidad o condicin que elcontrolador modifica para afectar el valor de la variable controlada.

Plantas. Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de loselementos de una maquina que funcionan juntos, cuyo objetivo es efectuar una operacin

particular. En este libro se llamara planta a cualquier objeto fsico que se va a controlar.

Procesos. Es cualquier operacin que se a controlar.

Sistemas. Es una combinacin de componentes que actan juntos y realizan un objetivodeterminado.

Perturbaciones. Es una seal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida deun sistema. Si la perturbacin se genera dentro del sistema se denomina interna, mientras

que una perturbacin externa se genera fuera del sistema y es una entrada.

Control realimentado. Se refiere a una operacin que en presencia de perturbaciones,tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y

lo realiza tomando en cuenta esta diferencia.


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Sistemas de control en lazo cerradoEn este sistema, se alimenta al controlador la seal de error de actuacin, que es la

diferencia entre la seal de entrada y la seal de realimentacin con el fin de reducir el

error y llevar la salida del sistema a un valor deseado.

Sistemas de control en lazo abiertoLos sistemas en la cual la salida no tiene efecto sobre la accin de control se denominan

sistema de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo

abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada.

Sistemas de control en lazo cerrado en comparacin con sistemas en lazo abierto.Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentacin

vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y

las variaciones internas en los parmetros del sistema. Es as posible usar componentes

relativamente poco precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta

determinada, mientras que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo

abierto.

Desde el punto de vista de estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es ms fcil de

desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un gran problema en el sistema de

control en lazo cerrado, que puede conducir a corregir en exceso errores que producen

oscilaciones de amplitud constante o cambiante.

Debe sealarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipacin las entradas

y en los cuales no hay perturbaciones del sistema. Obsrvese que la potencia nominal de

salida determina en forma parcial el coste, peso y tamao de un sistema de control. El

nmero de componentes usados en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que elque se emplea para un sistema de control equivalente en lazo abierto. Por lo tanto, el

sistema de control enlazo cerrado suele tener costos y potencias ms grandes. Para

disminuir la potencia requerida de un sistema, se emplea un control en lazo abierto

siempre que pueda aplicarse. Por lo general, una combinacin adecuada de controles en

lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa y ofrecer un comportamiento

satisfactorio del sistema global.

EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL

Sistema de control de nivelEn la figura N 01 se muestra un proceso en la un liquido esta fluyendo hacia el tanquecon una velocidad Qiny sale con una velocidad Qout. El lquido en el tanque se encuentra

a una altura o nivel h. si el flujo de salida no es exactamente igual al de la entrada

entonces el nivel variara. Este proceso es propiamente llamado autorregulacin. El

objetivo es regular la altura h a un valor especfico, el setpoint H(referencia). La altura o

nivel es llamada la variable controlada.


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H

h

Qin

Qout

Fig N 01 el objetivo es regular el nivel del lquido en el tanque al valor H

En la figura N 02 se muestra un sistema modificado que consigue el control artificial del

nivel por un humano. El tubo Sha sido adicionado como ayuda para que el humano pueda

ver cul es el nivel en el tanque y comparar con el valor del setpoint H el cual ha sido

marcado en el tubo. Tambin se ha aadido una vlvula para que el flujo de salida pueda

ser cambiado por el humano. El flujo de salida es la variable manipulada o variable

controlada. La altura puede ser regulada usando la siguiente estrategia: el humano mide

la altura en el tubo S y lo compara con el valor del setpoint, luego abre o cierra la vlvula

para alcanzar el setpoint.

H

h

Qin

Qout

Fig. N 02 Un humano puede regular el nivel usando un tubo S comparando

el nivel h con el objetivo H y ajustar la vlvula para cambiar el nivel.

En la figura N 03 el sistema es modificado agregndole un control automtico con

maquinas electrnicas o computadoras para reemplazar la operacin humana. Se haagregado un sensor para medir el valor del nivel y entregar una seal proporcional. Esta

seal es proporcionada al controlador y este enva una seal al actuador para que la

vlvula se abra o cierre y as alcance el setpoint.


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H

h

Qin

Qout

controladorsensor

actuador

H

setpoint

Fig. N 03 Un sistema de control automtico reemplaza al humano

por medio de un controlador y un sensor para medir el nivel

Sistema de control de temperatura

La figura N 04 muestra un diagrama esquemtico del control de temperatura de unhorno elctrico. La temperatura del horno elctrico se mide mediante un termmetro,

que es un dispositivo analgico. La temperatura analgica se convierte a una temperatura

digital mediante un convertidor A/D. la temperatura digital se introduce en un controlador

mediante un interfaz. Esta temperatura digital se compara con la temperatura de entrada

programada, y si hay discrepancia (error) el controlador enva una seal al calefactor, a

travs de un interfaz, amplificador y rel, para hacer que la temperatura del horno

adquiera el valor deseado.

Conversor A/D interfaz

rele amplificador interfaz

PC

Entradaprogramada

Horno

elctrico

calefactor

Fig N 04 Sistema de control de temperatura


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TIPOS DE CONTROLADORES

UNIVERSAL DIGITAL CONTROLLERS UDC 6300El Controlador de Procesos UDC 6300 ofrece diagramas de barras verticales y pantalla

digital, es ideal para aplicaciones de procesos continuos (formato frontal: 72x144mm).

Caractersticas:


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PROGRAMMABLE LOGIC CONTROLLERSe ha diseado para programar y controlar procesos secuenciales en tiempo real. Por lo

general es posible encontrar este tipo de equipos en ambientes industriales. Los PLC

sirven para realizar automatismos; son dispositivos electrnicos que producen programas

informticos, que permiten controlar procesos.

PLC Micrologix 1000

SLC 500

S7-300


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PROGRAMMABLE AUTOMATION CONTROLLERUn controlador de automatizacin programable, o PAC (del ingls ProgrammableAutomation Controller), es una tecnologa industrial orientada al control automatizado, al

diseo de prototipos y a la medicin. El PAC se refiere al conjunto formado por un

controlador (una CPU tpicamente), mdulos de entradas y salidas, y uno o mltiples

buses de datos que lo interconectan todo.Este controlador combina eficientemente la fiabilidad de control de un autmata

(controlador lgico programable oPLC)junto a la flexibilidad de monitorizacin y clculo

de unPC.A veces incluso se le une la velocidad y personalizacin de lamicroelectrnica.

Los PACs pueden utilizarse en el mbito investigador (prototipaje rpido de controladores

o RCP), pero es sobre todo en la industria, para control de mquinas y procesos, donde

ms se utiliza. A destacar los siguientes: mltiples lazos cerrados de control

independientes, adquisicin de datos de precisin, anlisis matemtico y memoria

profunda, monitorizacin remota, visin artificial, control de movimiento y robtica,

seguridad controlada, etc.

Los PAC se comunican usando los protocolos de red abiertos como TCP/IP,OPC (OLE for

process control),SMTP,puerto serie (con Modbus por ejemplo), etc, y es compatible con

los privados (CAN,Profibus,etc).

Un ejemplo claro de utilizacin es en un sistema de control de un proceso determinado. El

elemento controlador es el sitio donde se toman todas las decisiones sobre las acciones a

tomar. Se le puede considerar el "cerebro" del sistema. Debe tomar decisiones basadas en

ciertas pautas o valores requeridos. Los valores establecidos son introducidos en el

sistema por el hombre.
http://es.wikipedia.org/wiki/Controlador_l%C3%B3gico_programablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ordenador_personalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Microelectr%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Visi%C3%B3n_artificialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rob%C3%B3ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/TCP/IPhttp://es.wikipedia.org/wiki/OPChttp://es.wikipedia.org/wiki/SMTPhttp://es.wikipedia.org/wiki/CANhttp://es.wikipedia.org/wiki/Profibushttp://es.wikipedia.org/wiki/Profibushttp://es.wikipedia.org/wiki/CANhttp://es.wikipedia.org/wiki/SMTPhttp://es.wikipedia.org/wiki/OPChttp://es.wikipedia.org/wiki/TCP/IPhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rob%C3%B3ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Visi%C3%B3n_artificialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Microelectr%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ordenador_personalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Controlador_l%C3%B3gico_programable


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MODELO MATEMATICO DE SISTEMAS DINAMICOS

Un modelo matemtico de un sistema dinmico se define como un conjunto de

ecuaciones que representan la dinmica del sistema con precisin o, al menos bastante

bien. Tngase presente que un modelo matemtico no es nico para un sistemadeterminado.

La dinmica de muchos sistemas, ya sean mecnicos, elctricos, trmicos, econmicos,

biolgicos, etc., se describen en trminos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones

diferenciales se obtienen a partir de leyes fsicas que gobiernan un sistema determinado,

como las leyes de Newton para sistemas mecnicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas

elctricos.

Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio desuperposicin. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicacin

simultnea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas

individuales. Si en una investigacin experimental de un sistema dinmico son

proporcionales la cusa y el efecto, lo cual implica que se aplique el principio de

superposicin, el sistema se considera lineal.

Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuacin diferencial es linealsi sus coeficientes son constantes o son funciones solo de la variable independiente. Los

sistemas dinmicos formados por componentes de parmetros concentrados lineales

invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales

invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan

mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se

denominan sistemas lineales variantes en el tiempo.

Suponiendo que tenemos un circuito RLC serie cuyos parmetros son constantes.

Entonces analizando el circuito tenemos:

L R

C

)(tvi )(tvo

)(ti

+ + = = = =


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= = = = = =

+ + = Se observa que el modelo matemtico es una ecuacin diferencial lineal con coeficientesconstantes e invariantes con el tiempo.

Al estudiar el lanzamiento vertical de un cohete tomando en cuenta la fuerza de gravedad

x

v

mg

r

v

El cohete en su vuelo vertical hacia arriba, arroja un chorro continuo de gas. Se pide

determinar la dinmica del cohete, donde es la velocidad del cohete, la velocidad desalida de los gases de modulo constante y dirigida en sentido opuesto al movimiento del

cohete. Despreciando la resistencia del aire, suponiendo que la parte activa de la

trayectoria no es muy grande en comparacin con el radio de la tierra. Considerando que

la aceleracin de la fuerza de gravedad es constante e igual a su valor en la superficie

terrestre (segundo problema de Tsiolkovski).

=

En este modelo matemtico la masa es variable, entonces la ecuacin diferencial no es

lineal.


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FUNCION DE TRANSFERENCIA Y DE RESPUESTA IMPULSO

La funcin de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuacin diferencial

lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de

Laplace de la salida (funcin de respuesta) y la transformadas de Laplace de la entrada

(funcin excitacin) bajo la suposicin de que todas las condiciones iniciales son cero.Considrese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente

ecuacin diferencial:

+ + + + = + + + + = =

La funcin de transferencia de este sistema es el cociente de la transformada de Laplace

de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones

iniciales son cero: = = == + + + + + + + +

A partir del concepto de funcin de transferencia es posible representar la dinmica de un

sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. si la potencia ms alta de s en el

denominador de la funcin de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema

de orden n-esimo.

Comentarios acerca de la funcin de transferencia.1. La funcin de transferencia de un sistema es un modelo matemtico porque es un

mtodo operacional para expresar la ecuacin diferencial que relaciona la variable de

salida con la variable de entrada.

2. La funcin de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la

magnitud y naturaleza de la entrada o funcin de excitacin.

3. La funcin de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la

entrada con la salida; sin embargo no proporciona informacin acerca de la estructura

fsica del sistema.4. Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, se estudia la salida o

respuesta para varias formas de entrada, con la intencin de comprender la naturaleza del

sistema.

5. Si se desconoce la funcin de transferencia de un subsistema, puede establecerse

experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema.

Una vez establecida una funcin de transferencia, proporciona una descripcin completa

de las caractersticas dinmicas del sistema, a diferencia de su descripcin fsica.


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DIAGRAMAS DE BLOQUES

El diagrama de bloques de un sistema es una representacin grafica de las funciones que

lleva a cabo cada componente y el flujo de seales. Tales diagramas muestran las

relaciones existentes entre los diversos componentes.


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MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Estado. El estado de un sistema dinmico es el conjunto de variables ms pequeo(llamadas variables de estado), de forma que el conocimiento de estas variables en = junto con el conocimiento de la entrada para , determinan completamente elcomportamiento del sistema en cualquier .Variables de estado. Las variables de un sistema dinmico son las variables queconstituyen el menor conjunto de variables que determinan el estado del sistema

dinmico. Si al menos se necesitan n variables , , , para describircompletamente el comportamiento de un sistema dinmico (de forma que una vez que la

entrada para

esta dada y el estado inicial en

= esta especificado, el estado

futuro del sistema est determinado completamente), entonces tales nvariables son un

conjunto de variables de estado.

Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir completamenteel comportamiento de un sistema dado, entonces estas nvariables de estado se pueden

considerar como las ncomponentes de un vector x. Este vector se denomina vector deestado. Un vector de estado es por lo tanto, un vector que determina unvocamente el

estado del sistema x(t) en cualquier instante del tiempo especificado.


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Espacio de estados.El espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas estn formadospor el eje , eje , ., eje , donde , , , son las variables de estado,se denomina espacio de estados.

Ecuaciones en el espacio de estados. Sea un sistema de mltiples entradas y mltiples

salidas con nintegradores. Supngase tambin que hay r entradas , , , ym salidas , , , . Se define las nsalidas de los integradores como variablesde estado: , , , . Entonces el sistema se puede describir mediante = ,,= ,,

Si se linealizan estas ecuaciones alrededor del estado de operacin, se tienen las

siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas:

= + = + Donde = = = = Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explcitamente, el sistema linealse denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso las ecuaciones se simplifican a

= + = +

u y

D

B

A

Cdt*

x x+

+

+

+

Correlacin entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados

Tomando transformadas de Laplace a las ecuaciones de estado y de salida = + = +


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Se obtiene 0= + = +Que implica

=

0 +

= 0 + 0 +Si la condicin inicial 0= 0= = 0 +La funcin de transferencia ser= + la ecuacin caracterstica es: | |ELEMENTOS ELECTRICOS LINEALES

R

L

C

)(ti

)(ti

)(ti

)(tv

)(tv

)(tv

+

+

+

-

-

-

Resistencia

(ohmios)

Inductancia

(henrios)

Capacitancia

(faradios)

)()( tRitv

dt

tdiLtv )(

)(

dt

tdvCti )()(

ELEMENTOS MECANICOS LINEALES TRASLACIONALES

)( tf

)( tf

)( tf

)( tv

)( tv

)(tv

B

M

K

)()( tBvtf

dt

tdvMtf )(

)(

)()( tKxtf

Amortiguamiento

Viscoso

(N.s/m)

Masa

(Kg)

Resorte lineal

(N/m)


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ELEMENTOS MECANICOS LINEALES ROTACIONALES

)(tT

)(tw

B

)()( tBwtT

dt

tdwJtT )(

)(

)()( tKtT

)(tT

)(tT

)(tw

)(tw

BAmortiguamiento

Viscoso(N.m.s/rad)

J

Momento de inercia(Kg.m2)

K

Resorte torsional(n.m/rad)

SISTEMAS DE NIVEL DE LQUIDO


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SISTEMAS TERMICOS

Considrese el sistema que aparece en la figura. Se supone que el tanque est aislado

para eliminar las prdidas de calor hacia el aire circundante.

Liquido frio mezclador

calefactor

Liquido caliente

Fig. N sistema trmico


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Tambin se supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el lquido

del tanque est perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable. De

este modo, se usa una sola temperatura para describir la del lquido en el tanque y la del

lquido que sale.

Sean:

= , = , = , / = , = , / = , / = ,/ = , /Supngase que la temperatura del lquido que entra se mantiene constante y que el flujo

de calor de entrada al sistema (calor que proporciona el calefactor) cambia

repentinamente de + donde representa un cambio pequeo en el flujo decalor de entrada. El flujo de calor de salida cambiara, entonces de forma gradual, de + . La temperatura del liquido que sale tambin cambiara de + . Paraeste caso , , se obtienen, respectivamente como

= = = = 1La ecuacin diferencial para este sistema es = = Que puede reescribirse como + = Obsrvese que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o M/G segundos. La

funcin de transferencia se obtiene mediante= + 1En la prctica, la temperatura del lquido que entra puede fluctuar y actuar como

perturbacin de carga. ( si se pretende mantener una temperatura de salida constant6e,

puede instalarse un controlador automtico que ajuste el flujo de calor de entrada, con el


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propsito de compensar las fluctuaciones de temperatura del liquido que entra.) si la

temperatura del liquido que entra cambia repentinamente de + , mientras queel flujo de calor de entrada H y el flujo del liquido G se conservan constantes, el flujo de

calor de salida cambiara + y la temperatura del liquido que sale cambiara de +

.

La ecuacin diferencial para este caso es

= =

Que puede escribirse como

+ =

La funcin de transferencia que relaciona se obtiene mediante= 1 + 1Si este sistema trmico est sujeto a cambios en la temperatura del lquido que entra y en

el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del lquido se conserva constante, el

cambio en la temperatura del lquido que sale se obtiene mediante la siguienteecuacin:

+ = +

La figura muestra un diagrama de bloques que corresponde a este caso. Obsrvese que el

sistema tiene dos entradas.

R

+

RCS

1

)(si

)(sHi

)( s

+

-

Fig. N Diagrama de bloques del sistema trmico


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SISTEMA CON MOVIMIENTO COMPUESTO: EL PENDULO INVERTIDO

Un pndulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la figura

N1. Este es un modelo del control de posicin de un propulsor primario espacial para

despegues. (El objetivo del problema del control de posicin es conservar el propulsor

primario espacial en una posicin vertical.) El pndulo invertido es inestable porque puede

girar en cualquier momento y en cualquier direccin, a menos que se le aplique una fuerza

de control conveniente. Aqu se considera solo un problema en dos dimensiones, en el

cual el pndulo solo se mueve en el plano de la pgina. Se aplica al carro la fuerza de

control u.supngase que el centro de gravedad de la barra del pndulo est en su centro

geomtrico. Obtngase un modelo matemtico para este sistema.

mg

u

x

y

x

M

o

L

V

V

HH

),( GG yx

= = , = . = 2 = = = =

= Las coordenadas del centro de gravedad son= + =


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El movimiento rotacional de la barra alrededor de su centro de gravedad. En este caso la

suma de momentos alrededor del centro de gravedad de la barra (de sentido positivo en

la direccin de las agujas del reloj.

=

= = El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del pndulo se obtiene

mediante. = = = El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del pndulo se obtienemediante. = = = El movimiento horizontal del carro se describe mediante: =

=

Como se debe mantener el pndulo invertido en posicin vertical, entonces el ngulo de

rotacin es muy pequeo (linealizacin). , Luego las ecuaciones linealizadas, son:= + = =

= +

=

= + = = = + = + + Se obtienen las ecuaciones que describen el movimiento compuesto del sistema pndulo

invertido. Estas ecuaciones constituyen el modelo matemtico lineal


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++ = + + =

= = = = = = =

= = =

= =

=

= + + + + + = + + + + + La ecuacin de estado y salida tienen la forma

= + = +

= [ + + + + + ]

+ [ + + + + + ]

=

El momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad es =


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LINEALIZACION DE MODELOS MATEMATICOS NO LINEALES.

Sistema no lineal. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposicin. Porlo tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse

tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados.

Linealizacin de sistemas no lineales. En la ingeniera de control, una operacin normaldel sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio y las seales pueden

considerarse seales pequeas alrededor del equilibrio. Sin embargo, si el sistema opera

alrededor de un punto de equilibrio y las seales involucradas son pequeas, es posible

aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal.

Aproximacin lineal de modelos matemticos no lineales. Con la finalidad de obtener unmodelo matemtico lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables solo se

desvan ligeramente de alguna condicin de operacin.

Considrese un sistema cuya entrada es y cuya salida es . La relacin entre y. se obtiene mediante = Si la condicin de operacin normal corresponde a , . La ecuacin anterior se expandeen series de Taylor alrededor de este punto = = + +12! + Donde las derivadas , , . Se evalan en = . Si la variacin es pequea, esposible no considerar los trminos de orden superior en . Entonces la ecuacin seescribe como +

= +

= =

Considrese un sistema no lineal cuya salida es una funcin de dos variables , demodo que = , Con la finalidad de obtener una aproximacin lineal para este sistema no lineal, es posible

expandir la serie de Taylor alrededor del punto de operacin normal , entonces


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= , + + +12! +12! +

+

Donde las derivadas parciales se evalan en = , = . Cerca del punto deoperacin normal, es posible no considerar los trminos de orden superior. Acontinuacin el modelo matemtico lineal de este sistema no lineal alrededor de la

condicin de operacin normal se obtiene mediante

+ + = + +

Donde = , = = , = = = , =

La tcnica de Linealizacin presentada aqu es vlida alrededor de la condicin de

operacin. Sin embargo, si las condiciones de operacin varan ampliamente, tales

ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es

importante recordar que un modelo matemtico determinado, que se use en el anlisis y

el diseo, puede presentar con precisin la dinmica de un sistema real para ciertas

condiciones de operacin, pero puede no ser preciso para otras.


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RESPUESTA EN EL TIEMPOLUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES

Ing. Julio Cesar Borjas Castaeda

INTRODUCCIONEn captulos anteriores el primer paso para analizar un sistema de control era obtener un

modelo matemtico del mismo. Una vez obtenido tal modelo se aplican los mtodos de

anlisis para el comportamiento del sistema. Se hace uso de seales de prueba (escaln,

rampa, parbola, impulso, etc.) para facilitar el anlisis matemtico y experimental de

sistemas de control, para verificar tambin el comportamiento transitorio y estacionario

de la respuesta del sistema.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN (con un polo dominante)Si un sistema en lazo cerrado esta descrito por un solo polo localizado en = 1/, lacorrespondiente funcin de transferencia es

= + 1Si se asume que r(t)es un escaln unidad, entonces= 1 El tiempo que demora en asentarse la respuesta es:= 3.912 4 2%= 2.996 3 5%

0 T 2T 3T 4T 5T

0

0.5K

K

5%

asentamiento

2%

asentamiento

Respuesta a un escaln con un modelo de un nico polo

Ejemplo

= 2 + 3= 2313 + 1 = = 0.666, = = 0.333close all; clear all; clc;% Sistemade Primer Orden% C(s)/R(s)=2/(s+3)


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n=[0 2];d=[1 3];step(n,d)grid

Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escaln

Step Response

Time (sec)

Amp

litu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

System: sys

Time (sec): 1.97

Amplitude: 0.665

System: sys

Time (sec): 1.33

Amplitude: 0.654

System: sys

Time (sec): 1.01

Amplitude: 0.634


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Especificaciones de la respuesta transitoria


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31



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32


SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN (con un par de polos dominantes)Una funcin de inters particular est formada por la presencia de dos polos dominantes.

La funcin de transferencia es = + 2 + Ejemplo

= 17+ 2 + 17clear all; close all; clc;n=[0 0 17];d=[1 2 17];step(n,d)grid

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5Step Response

Time (sec)

Amp

litu

de


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33


SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOREl comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseen

tres o ms polos, depende fundamentalmente del carcter de los polos ms lentos del

sistema. El polo ms lento es el que posee la constante de tiempo ms grande, es decir

aquel polo se encuentra ms cerca del origen en el plano complejo S.

= + + 2 + Ejemplo = 17 + 2+ 2 + 17= 17+ 4+ 21 + 34clear all; close all; clc;n=[0 0 0 17];d=[1 4 21 34];step(n,d)grid

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Step Response

Time (sec)

Amp

litu

de


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34



35/101

35



36/101

36



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37


Anlisis del lugar de las racesIng. Julio Cesar Borjas Castaeda

Introduccin


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38


Reglas de construccin


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39



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40



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41


Diseo de sistemas de control mediante el mtododel lugar de las races

Ing. Julio Cesar Borjas Castaeda


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42



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43



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44



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45



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46



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47



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48



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49



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50


Sintona de ControladoresIng. Julio Cesar Borjas Castaeda

REGLAS DE SINTONIZACION PARA CONTROLADORES PID

Control PID de plantas.

La figura siguiente muestra un control PID de una planta. Si se puede obtener un modelo

matemtico de una planta, es posible aplicar diversas tcnicas de diseo con el fin de

determinar los parmetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado

transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. Sin embargo si la planta es tan

complicada que no es fcil obtener su modelo matemtico, tampoco es posible un

enfoque analtico para el diseo de un controlador PID. En este caso, debemos recurrir a

los enfoques experimentales para la sintonizacin de los controladores PID.

planta)1

1( sTsT

K di

p +

-

El proceso de seleccionar los parmetros del controlador que cumplan con las

especificaciones de desempeo se conoce como sintonizacin del controlador. Ziegler y

Nichols sugirieron ms reglas para sintonizar los controladores PID (lo cual significa

establecer Kp, Tiy Td) con base en las respuestas escaln experimentales o basadas en el

valor de Kp que se produce en la estabilidad marginal cuando slo se usa la accin decontrol proporcional. Las reglas de Ziegler-Nichols son muy convenientes cuando no se

conocen los modelos matemticos de las plantas.

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID.

Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia

proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, con base en las

caractersticas de respuesta transitoria de una planta especifica. Tal determinacin de los

parmetros de los controladores PID o de la sintonizacin de los controles PID la realizan

los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta. Existen dos mtodos

denominados reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols.

Primer mtodo.

En el primer mtodo, la respuesta de la planta a una entrada escaln unitario se obtiene

de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes

complejos conjugados, la curva de respuesta escaln unitario puede tener forma de S,

como se observa en la figura 2. Si la respuesta no exhibe una curva con forma de S, este


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51


mtodo no es pertinente. Tales curvas de respuesta escaln se generan

experimentalmente o a partir de una simulacin dinmica de la planta.

La curva con forma de S se caracteriza por dos parmetros: el tiempo de retardo L y la

constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan

dibujando una recta tangente en el punto de inflexin de la curva con forma de S y

determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la lnea c (t)=K,

como se aprecia en la figura 2. En este caso, la funcin de transferencia C(s)/U(s) se

aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte del modo

siguiente:

= + 1Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Tiy Tdde acuerdo con la frmula

que aparece en la siguiente tabla.

Tipo de

controladorKp Ti Td

P 0

PI 0

PID 2L 0.5L


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52


Observe que el controlador PID sintonizado mediante el primer mtodo de las reglas de

Ziegler-Nichols produce = 1 + 1+

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en = 1/.Segundo mtodo.

En el segundo mtodo, primero establecemos T i= y Td=0. Usando slo la accin de

control proporcional, se incrementa Kpde 0 a un valor crtico Kcren donde la salida exhiba

primero oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas paracualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este mtodo. Por tanto, la ganancia

crtica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimentalmente. Ziegler-

Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parmetros Kp, Tiy Tdde acuerdo

con la frmula que aparece en la siguiente tabla.

Tipo de

controladorKp Ti Td

P 0.5Kcr 0

PI 0.45Kcr 0

PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

Se debe observar que el controlador PID sintonizado mediante el segundo mtodo de las

reglas de Ziegler-Nichols produce:

= 1 + 1+ = 0.6 1 + 10.5+0.125 = 0.075 + 4

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y cero doble en = 4/.


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53


Comentarios.

Las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols se han usado, junto con otras reglas,

ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en

los que no se conoce con precisin la dinmica de la planta. Tales reglas de sintonizacin

han demostrado ser muy tiles durante muchos aos. Por supuesto, las reglas desintonizacin de Ziegler-Nichols se aplican a las plantas cuya dinmica se conoce. En estos

casos, se cuenta con muchos enfoques analticos y grficos para el diseo de

controladores PID, adems de las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols.

Si se conoce la funcin de transferencia de la planta, se calcula la respuesta escaln

unitario o la ganancia critica Kcry el periodo crtico Pcr. Sin embargo, la utilidad real de las

reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols se vuelve evidente cuando no se conoce la

dinamica de la planta, por lo que no se cuenta con enfoques analticos o grficos para el

diseo de controladores.

En general, para aquellas plantas con una dinmica complicada y sin integradores, se han

aplicado las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols. Sin embargo, si la planta tiene un

integrador, en algunos casos estas reglas no son pertinentes. Para ilustrar una situacin en

las que las reglas de Ziegler-Nichols no se aplican, consideremos el caso donde un sistema

de control con realimentacin unitaria tiene una planta cuya funcin de transferencia es

de la siguiente manera:

= + 2 + 3 + 1 + 5Debido a la presencia de un integrador no se aplica el primer mtodo. Como se sabe larespuesta escaln de esta planta no tendr una curva de respuesta con forma de S; ms

bien, la respuesta se incrementa con el tiempo. Asimismo, si se intenta el segundo

mtodo, el sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional no exhibir

oscilaciones sostenidas, sin importar el valor que pueda tomar la ganancia Kp.

Si es posible aplicar en la planta las reglas de Ziegler-Nichols, la planta con un controlador

PID sintonizado mediante estas reglas exhibir un sobrepaso mximo aproximado de10%

a 60% en la respuesta escaln. En promedio el sobrepaso mximo aproximado es de 25%.

En un caso especifico, siempre es posible en forma experimental hacer una sintonizacin

precisa para que el sistema en lazo cerrado exhiba respuestas transitorias satisfactorias.


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54


Anlisis de la Respuesta en FrecuenciaIng. Julio Cesar Borjas Castaeda

Con el trmino respuesta en frecuencia, se requiere hacer referencia a la respuesta de unsistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal. Una ventaja de este mtodo es

que se puede utilizar los datos que se obtienen de las medidas sobre el sistema fsico sin

deducir su modelo matemtico.

Por lo general se usan tres representaciones graficas de las funciones de transferencia

sinusoidales: diagrama de Bode o diagrama logartmico, diagrama de Nyquist o diagrama

polar y diagrama de magnitud logartmico contra la fase (diagrama de Nichols)

)(jwG )(jwG

)(jwG

)(jwG

w

w

)(Re jwG

)(Im jwG

Nichols Nyquist Bode

La salida en estado estacionario de una funcin de transferencia de un sistema se puede

obtener directamente de la funcin de transferencia sinusoidal, es decir sustituyendo en

la funcin de transferencia por , don de es la frecuencia. La respuesta en estadoestacionario puede darse como = = Donde M es el cociente de amplitud de las seales sinusoidales de entrada y salida y esel desplazamiento de fase entre ambas seales.

Diagramas de Bode

Un diagrama de Bode est formado por dos graficas: una es la grafica del logaritmo de la

magnitud de la funcin de transferencia sinusoidal, y la otra es la grafica del ngulo de

fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logartmica.

||= 20||Ganancia constante =


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55

UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castaeda= 0||= = = 0

||= 20

= 0 )(

00

090

045

090

045

40

20

0

20

40

dBG

Klog20

Polos en el origen == 1= 1= 1 90||= 201 = 20 = 90

Anlogamente para un polo mltiple en el origen, se tiene

= = 1= 1= 1= 1 90||= 20 1 = 20 = 90


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56


)(

00

090

045

090

045

40

20

0

20

40

dBG

1.0 1.01 110 10100 1001000 1000

Cero en el origen = = = 90||= 20||= 20 = 90Anlogamente para un polo mltiple en el origen, se tiene

= = = = 90||= 20||= 20 = 90

)(

00

090

045

0

90

045

40

20

0

20

40

dBG

1.0 1.01 110 10100 1001000 1000

Polo en el eje real

= + = 11 + = 11 + = 11 + 1 +


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57


= 1 + 11 + =

||= 20 11 + = 10|1 + | || = 0 0.000 -0.0000

0.1 -0.043 -5.7106

1 -3.010 -45.000

10 -20.043 -84.289

100 -40.000 -89.427

1000 -60.000 -89.943

-90.000

close all; clear all; clc;

%bode

n=[0 1];

d=[1 1];

bode(n,d)

grid

Para la forma asinttica: 1 0 ||= 0 1 ||= 20

-40

-30

-20

-10

0

Magnitude(dB)

10-2

10-1

100

101

102

-90

-45

0

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


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58


)(

00

090

045

090

045

40

20

0

20

40

dBG

1.0 1.01 110 10100 1001000 1000

Cero en el eje real = + = 1 + =1 + = = ||= 201 +

= 10|1 +

|

|| = 0 0.000 0.0000

0.1 0.043 5.7106

1 3.010 45.000

10 20.043 84.289

100 40.000 89.427

1000 60.000 89.943

90.000

Para la forma asinttica: 1 0 ||= 0 1 ||= 20 )(

00

090

045

090

045

40

20

0

20

40

dBG

1.0 1.01 110 10100 1001000 1000

close all; clear all; clc;

%bode

n=[1 1];


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59


d=[0 1];

bode(n,d)

grid

Factores cuadrticos = + + Los sistemas de control suelen tener factores cuadrticos de la forma

= 11 + 2 + Si

> 1, este factor cuadrtico se expresa como un producto de dos factores de primer

orden con polos reales.

Si 0 < < 1, este factor cuadrtico es el producto de dos factores complejos conjugados.

0

10

20

30

40

Magnitude(dB)

10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


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60


||= 20 11 + 2 + = 201+2 +

= 20 1 +2 Para bajas frecuencias , la asntota es una recta horizontal en 0 dB:

|| 201 = 0 Para bajas frecuencias , la asntota es una recta con pendiente -40 dB/dcada:

|| 20 = 40 La asntota de alta frecuencia corta a la de baja frecuencia en la frecuencia esquina = : ||= 40 = 201 = 0 Las dos asntotas son independientes de . Cuando = hay un pico de resonancia.El ngulo de fase es:

= 2 1 0 0 90 180


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61


0

10

20

10

20

30

40

1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 1 2 4 6 10

asintotas

1.0

5.0

7.00.1

0

30

60

90

120

150

180

1.0

0.1

1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 1 102 4 6 8

n

dB

8

Las curvas de respuesta en frecuencia para el factor

= 1 + 2 + pueden obtenerse si simplemente se invierte el signo de la magnitud logartmica y del

ngulo de fase del factor.

Frecuencia de resonancia y el valor pico de resonancia .= 11 + 2 +


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62


||= 1 1

+ 2

= 1 +2 Se tendr un valor mximo de ||cuando sea mnima. Esto ocurre cuando: = = 1 2 0 0.707 =||= 121Para

> 0.707, entonces

= 1

Cuando

0, entonces

El ngulo de fase a la frecuencia de resonancia:

= 1 2 Mrgenes de ganancia y faseSi se considera un sistema realimentado inicialmente estable, es til saber que

caractersticas determinadas del modelo se pueden perturbar antes de que se produzca

inestabilidad. El margen de ganancia y el margen de fase proporcionan este tipo de

informacin.

Si una variacin en un parmetro del sistema produce que uno o ms polos en la funcindel sistema en lazo cerrado atraviesen el eje , la condicin de corte (como se muestraen la figura) sita uno o ms polos en lazo cerrado directamente sobre el eje . Por lotanto hay algn valor de para el que 1 + = Y esta condicin no puede ocurrir a menos que= 1Expresando en trminos de magnitud y ngulo

||= 1

= 180

2 + 1


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63


jw

Si no hay polos de la funcin en lazo cerrado en el semiplano derecho, esta condicin

representa una transicin entre estabilidad e inestabilidad.

La condicin de cruce tambin se puede visualizar de forma diferente. Suponga que el lazo

se rompe temporalmente en algn punto y que se introduce una entrada sinusoidal

despus de la ruptura. Conviene darse cuenta de que hay otro signo menos en el lazo

(adjunto al smbolo de suma). Si se satisfacen las condiciones de magnitud y ngulo, la

seal sinusoidal atravesara el lazo y regresara como un duplicado exacto de la seal

inyectada. Si se vuelve a conectar el lazo, est claro que una seal en esta frecuencia

particular ser autosostenida.

Obsrvese que la condicin del ngulo de fase para un cruce se satisface si el desfase de la

funcin en lazo abierto alcanza +180 o -180. Sin embargo si la magnitud y el ngulo

estn ambos cerca de la condicin de transicin, es un resultado tpico de los polos que

exceden en nmero a los ceros finitos. Por lo tanto un problema potencial de estabilidad

se observa normalmente con un desfase en la proximidad de -180.

El margen de ganancia y de fase se define de forma que proporcionan una medida de la

proximidad de una situacin dada a la condicin de transicin. Si un sistema esinicialmente estable y un cambio en los parmetros produce la deteccin de un cruce en

el eje, el cruce debe representar estabilidad marginal. Obsrvese que lo contrario no esnecesariamente ciertosi un sistema es inicialmente inestable, una deteccin de un cruce

con el eje no es una condicin marginal de estabilidad a menos que no existan otrasraces de la ecuacin caracterstica en el semiplano derecho. Por lo tanto, si el margen de

ganancia y el margen de fase se definen en trminos de un sistema que es inicialmente

estable, la proximidad a la inestabidad puede ser verdaderamente expresada en trminos

de la proximidad a las condiciones de cruce en el eje.El margen de ganancia. Considere un sistema que es inicialmente estable, el margen deganancia es la razn (normalmente expresada en dB) por la que la ganancia del lazo se

permite que cambie antes de que se alcance la condicin de inestabilidad.

Un diagrama de la respuesta en frecuencia en lazo abierto , presenta la raznrequerida. Como la funcin de fase en lazo abierto no est afectada por un cambio en el

factor de ganancia del lazo, la razn por la que la ganancia se debe modificar para alcanzar

la inestabilidad es la razn de la ganancia unidad a la real ganancia medida en la

frecuencia de cruce de fase, donde la fase cruza -180. Por lo tanto, el margen de


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64


ganancia se puede expresar como 1/. El radio en dB es +20log () osimplemente 20

1.0 1 10 100

0

90

180

270

112

68MF

2

0

10

20

30

14

dBMG 20

1 2 10 1001.0

10

20

)(dBGanancia

Dicho de la forma ms simple, el margen de ganancia es el numero de dB que se debe

incrementar la ganancia en lazo abierto para que alcance 0 dB a la frecuencia a la que el

desfase en lazo abierto es -180.

Si se debe decrementar la ganancia hasta que alcance 0 dB, entonces el margen de

ganancia es, por supuesto negativo. Un ejemplo de medida del margen de ganancia se

muestra en la figura. Si la fase no alcanza -180 a ninguna frecuencia, entonces no hay

lmite impuesto en el cambio de ganancia para que el sistema permanezca estable, y el

margen de ganancia es infinito.

La inestabilidad producida por un incremento en la ganancia es una situacin comn; porlo tanto, la razn requerida para alcanzar la inestabilidad es normalmente mayor que uno

y el margen de ganancia expresado en dB es normalmente positivo. No obstante, hay

algunos modelos de sistemas que requieren de una reduccin en la ganancia para alcanzar

la inestabilidad, y el caso general permite la posibilidad de que un aumento o una

disminucin conduzcan a la inestabilidad. Por lo tanto, puede existir tanto hacia arriba un

margen de ganancia como hacia abajo un margen de ganancia o ambos.


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65


El margen de fase. Considere un sistema que es inicialmente inestable, el margen defase es una medida del retraso de fase adicional que est permitido antes de alcanzar -

180 a la frecuencia donde = 1 20 = 0 .Puesto que el retraso de fase adicional es

180

, el margen de fase se puede

expresar como +180, cuando se evala en la frecuencia de cruce de ganancia, para la cual 20 = 0. Si la ganancia permanece menor que la unidad para todas lasfrecuencias, el sistema permanece estable con cualquier valor de retardo de fase aadido.Un ejemplo de medida de margen de fase se ilustra en la figura anterior.

Es importante entender que aunque los mrgenes de ganancia y de fase estn

determinados utilizando la funcin de transferencia en lazo abierto, proporcionan

medidas de estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado.

positivo

MG

positivo

MF

GdB

GdB

G G

negativo

MG

negativo

MF

90 90

180 180

270 270

estable

sistema

inestable

sistema

Criterio de estabilidadUn sistema controlado (es decir, el sistema completo) es estable si y solo si los dos

mrgenes de estabilidad (el margen de ganancia y el margen de fase) son positivos.

Diagramas PolaresEl diagrama polar (diagrama de Nyquist), de una funcin de transferencia sinusoidales una grafica de la magnitud decon respecto al ngulo de fase de encoordenadas polares, cuando w varia de cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el

lugar geomtrico de los vectores

|| cuando

varia de cero a infinito. En

graficas polares los ngulos de fase son positivos si se miden en el sentido contrario al de

las agujas del reloj a partir del eje real positivo. Cada punto en el diagrama polar de representa el punto terminal de un vector en un valor determinado .Factores integral y derivativo .= 1= 1= 1 90= = 90


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66


Factores de primer orden += 11 + = 11 +

0= 10

1 = 12 4 5

221

1

Tw

221 Tw

wT

5.0 0.1

0

1wT

w

w

0w

Im

Re

)1

(T

jG

Definiendo = + = 1

1 +

+

1 +

12+ =12 1 1 + + 1 + = 12= 1 +

Re

Im

w

10

0w


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67


Tabla de graficas polares

Im Im

Im Im

Im

Im Im

Im

Im Im

Re Re

Re

Re

Re

Re

Re Re

Re Re

jw

1

w w

1

w

0

w

0jwT

jwT1

jw

0w0w

w w

0 0

0 0

0

0

0 0

0 0

jwT1

1

w 21

jw

w0

jwT

jwT

1

w

0w

1

a

1

1

w

0w

jwaT

jwT

1

1

1a

)31)(21)(11(

1

jwTjwTjwT

1

w w

w w

0 0

])(2)[( 22

2

nn

n

wjwwjwjw

)31)(21(

11

jwTjwTjw

jwT

Se considera un diagrama polar (con

variando desde cero hasta infinito) suponiendo

que la funcin de transferencia en lazo abierto es= 32 + 1= 31+0.51+0.51+0.5


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68


= 3(0.25+ 1)(0.25+ 1)(0.25+ 1) 30.5= 3

0.25

+ 1(0.25

+ 1)30.5

= = 30.25+ 1(0.25+ 1)= 30.5

0.00 3.000 01.00 2.140 -79.7

2.08 1.000 -138

3.46 0.375 -180

0 -270

Algunos valores de y se muestran en la tabla para valores discretos de , y elcontorno correspondiente se muestra en la figura.

Si se aade al dibujo un crculo de radio unidad con su centro en el origen, se puede

determinar el margen de fase en el punto en que el contorno intercepta el crculo unidad.

El MF de la figura es aproximadamente de 42. El margen de ganancia se puede

determinar anotando la magnitud donde el contorno corta -180. La magnitud en este

punto es de 0.375. La razn del valor lmite de estabilidad al valor nominal es 1/0.375; por

lo tanto, la razn que especifica el MG es 2.67. Convertido a decibelios el MG es de 8.52dB.

Calculo del margen de fase: = 1= 30.25+ 1(0.25+ 1)= 10.25+ 1 0.25+ 1 = 30.25+ 10.25+ 1= 90.015625+ 0.1875+ 0.75 8 = 0

>> p=[0.015625 0 0.1875 0 0.75 0 -8];

>> roots(p)

ans =

-1.1675 + 3.0860i

-1.1675 - 3.0860i

1.1675 + 3.0860i


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69


1.1675 - 3.0860i

2.0785

-2.0785

= 2.0785 = 1 = 30.52.0785= 138.307954 = 180138.307954= 41.69204604 42

1 2 3 01

42MF

90

270

180

Calculo del margen de ganancia:

= 3

0.5

= 180

0.5= 60

0.5 =3 = 23 = 3.4641 = 30.2523+ 1 0.2523+ 1= 0.375

= 20 1

0.375 = 8.5194

Obsrvese que la condicin del lmite de estabilidad ocurre si se aumenta la ganancia enlazo abierto de forma que el contorno pasa a travs del punto 1 + 0. Cualquieraumento posterior en la ganancia del lazo producir una condicin de inestabilidad. Laposibilidad de obtener una evaluacin rigurosa de estabilidad absoluta esta

proporcionada por la aplicacin del criterio de estabilidad de Nyquist.


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70


clear all; close all; clc;

%bode

n=[0 0 0 24];

d=[1 6 12 8];

nyquist(n,d);

=0.741

+ 0.672

= 1.000332445 1

= 0.6720.741 = 42.20433768 42 = 2.08 /Im Im

Re Re

Plano G Plano G

MG

positivoMF

negativo

gK

1

11

180

MG

negativo

Sistema inestableSistema estable

)( jG)( jG

.1

.

1

MFpositivo

gK

1

Nyquist Diagram

Real Axis

ImaginaryAxis

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

System: sys

Real: -0.741

Imag: -0.758

Frequency (rad/sec): 2

System: sys

Real: -0.741

Imag: -0.672

Frequency (rad/sec): 2.08


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71


Diseo de Compensadores de adelanto en

frecuenciaI ng. Ju li o C. Bor jas Castaeda

Procedimiento para disear un compensador de adelanto mediante el mtodo de

respuesta en frecuencia:

1. Suponga el siguiente compensador de adelanto:

= + 1 + 1= +1 + 1 0 < < 1

Defina = Entonces,

= + 1 + 1La funcin de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es= Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante esttica de error dada.

2. Usando la ganancia K as determinada, dibuje el diagrama de Bode de elsistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. calcule el margen de fase.

3. Determine el ngulo de adelanto de fase que es necesario que se aada al sistema.

Incremente un adelanto de fase adicional de 5 a 12 al ngulo de adelanto de fase

requerido, ya que la adicin del compensador de adelanto desplaza la frecuencia de cruce

de ganancia hacia la derecha y disminuye as el margen de fase.4. Determine el factor de atenuacin a partir de la ecuacin= 1 21 + 2 =

1 1 + Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado es igual a20log . Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.Esta frecuencia corresponde a = y el cambio de fase mximo ocurre en estafrecuencia.

5.

Determine las frecuencias esquinas del compensador de adelanto del modo

siguiente:

Cero del compensador de adelanto: = Polo del compensador de adelanto: =


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72


6. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de determinado en el paso 4,calcule la constante K, a partir de = 7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. Si no es as,

repita el proceso de diseo modificando la localizacin de polos-ceros del compensador

hasta que se obtenga un resultado satisfactorio.

Problema

Sea el sistema que se muestra en la figura. Se quiere disear un compensador para el

sistema de modo que la constante de error esttico de velocidad sea de 20 seg-1

, el margen

de fase sea al menos de 50 y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.

)2(

4

ss

+

-

Solucin

= 4 + 2, = + 1+1 , = = . = + 1

+ 1

4

+ 2

= = 4 + 2= lim = 2 = 20 = 10= 40 + 2

clear all; close all; clc;n=[0 0 40];d=[1 2 0];w=logspace(0,1,100);bode(n,d,w);grid;


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73


Del grafico se puede, medir el margen de fase MF y la frecuencia correspondiente. Este

valor tambin se puede calcular en forma analtica al cumplir la condicin de cruce de

ganancia,

||= 40 + 2= 1

40+ 4= 1

+ 4 1600 = 0 = 6.1685 / = 180 +1= 40 + 2= 4006.1685906.484672.036= 1162.036

= 180 162.036 =17.964Dado que MF requerido debe ser mayor a 50, entonces la fase del compensador debe ser:

= 17.964 + + Se encuentra as que el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el requisito de

estabilidad relativa es de 32.036. Considerando el desplazamiento de la frecuencia de

cruce de ganancia, se puede suponer que , el adelanto de fase mximo requerido, es de

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

System: sysFrequency (r ad/sec): 6.17

Magnitude (dB): -0.00474

Ma

gnitude(dB)

100

101

-180

-150

-120

-90

System: sys

Frequency (r ad/sec): 6.14

Phase (deg): -162

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


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74


aproximadamente 32.036 + 5 = 37.036 (esto significa que se han aadido 5 paracompensar el desplazamiento en la frecuencia de cruce de ganancia.)

=1 1+ = 0.248

Con este valor, se procede a calcular la magnitud de la respuesta en frecuencia a la cual

ocurre la mxima contribucin de fase del compensador. Es decir

||= = 2.008 En dB es 6.056 dB||= 6.056 Corresponde a ||= 0.498 a la frecuencia = 8.8 /.Se selecciona esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce . Teniendo en cuentaque esta frecuencia corresponde a

= 11= 4.382 , 1= 17.671El compensador de adelanto as determinado es

= +4.382 + 17.671

== 100.248= 40.323

= 40.323 +4.382 + 17.671)671.17(

)382.4(323.40

s

s

)2(

4

ss

+

-

= 4+ 2 + 4 sin= 161.292 + 706.782+ 19.671+196.634 +706.782


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close all; clear all; clc

%diseo de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia

%-------------------------------------------------------------------

%planta sin compensar

%G(s)=4/(s^2+2s+4)

ns=[0 0 4];

ds=[1 2 4];

%--------------------------------%planta compensada en frrecuencia

nc=[0 0 161.292 706.782];

dc=[1 19.671 196.634 706.782];

t=0:0.05:10;

[c1,x1,t]=step(nc,dc,t);

[c2,x2,t]=step(ns,ds,t);

plot(t,c1,t,c1,'-',t,c2,t,c2,'-');

grid;

title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no

compensado');

xlabel('t seg');

ylabel('salidas c1 y c2');

gtext('sistema compensado');gtext('sistema no compensado');

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado

t seg

salidas

c1

y

c2

sistema compensado

sistema no compensado


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Diseo de Compensadores de retardo en frecuencia

Procedimiento para disear un compensador de retardo mediante el mtodo de

respuesta en frecuencia:

1.

Suponga el siguiente compensador de retardo:

= + 1 + 1= +1 + 1 > 1Defina = Entonces,

= + 1 + 1

La funcin de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es= Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante de error esttica develocidad.

2. Si el sistema no compensado pero ajustado en ganancia = nosatisface las especificaciones en los mrgenes de fase y ganancia, entonces encuentre la

frecuencia en la cual el ngulo de fase de la funcin de transferencia en lazo abierto sea

igual a -180 mas el margen de fase requerido. Este es el margen de fase especificado ms

5 a 12. (La adicin de entre 5 y 12 compensa el desfase que introduce el compensador

de retardo.) Selecciones esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

3.

Para evitar los efectos adversos del desfase producido por el compensador de

retardo, el polo y el cero del compensador de retardo deben localizarse sustancialmente por

debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuencia

esquina = 1/(que corresponde al cero del compensador de retardo) entre una octava yuna dcada por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia). Si las constantes de

tiempo del compensador de retardo no se hacen demasiado grandes, la frecuencia

esquina = 1/se puede escoger una dcada por debajo de la nueva frecuencia de crucede ganancia.

Obsrvese que se selecciona el polo y el cero del compensador suficientemente pequeos.

As el retardo de fase ocurre en la regin de bajas frecuencias de manera que no afecta almargen de fase.

4. Determine la atenuacin necesaria para llevar la curva de magnitud a 0 dB en la

nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si se considera que esta atenuacin es de 20, determine el valor de . A continuacin se obtiene la otra frecuencia esquina (quecorresponde al polo del compensador de retardo) a partir de = 1/.


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5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de determinado en el paso 4,calcule la constante K, a partir de = Problema

Sea el sistema que se muestra en la figura. Se desea compensar el sistema de forma que la

constante de error esttico de velocidad Kv sea de 5 seg-1

, el margen de fase sea al menos

de 40 y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.

)15.0)(1(

1

sss

+

-

Solucin

Se utilizara un compensador de retardo de la forma

= + 1 + 1= +1 + 1 > 1 =

= = + 10.5 + 1= . = + 1 + 1 1 + 10.5 + 1= = + 10.5+1 = lim = = 5 = 5

= 5 + 10.5 + 1clear all; close all; clc;n=[0 0 0 5];d=[0.5 1.5 1 0];%w=logspace(0,1,100);%bode(n,d,w);bode(n,d);grid;


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Se observa que el margen de fase es -20, lo que significa que el sistema no compensado

pero ajustado en ganancia es inestable. Se debe permitir al MF la adicin entre 5 y 12 con

el fin de que de que el MF requerido compense la modificacin de la curva de fase. Como

la frecuencia correspondiente a un MF = 40. Como la frecuencia correspondiente a un

margen de fase de 40 es de 0.7 rad/seg, la nueva frecuencia de cruce de ganancia (del

sistema compensado) debe seleccionarse cercano a este valor. Para evitar constantes de

tiempo muy grandes en el compensador de retardo, se debe elegir la frecuencia esquina

= 1/(que corresponde al cero del compensador de retardo) como 0.1 rad/seg. Se aade

12 al MF proporcionado y el MF requerido es ahora 52. El ngulo de fase de la funcin

de transferencia en lazo abierto no compensada es de -128 en la cercana de = 0.5 ,por tanto se escoge la la nueva frecuencia de cruce de ganancia como 0.5 rad/seg. Para traer

la curva de magnitud hasta 0 dB en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el

compensador de retardo debe proporcionar la atenuacin necesaria, que en este caso es de -

20 dB. Por tanto.

20 1= 20

= 10La otra frecuencia esquina = 1/, que corresponde al polo del compensador de retardo,se determina como 1= 0.01 /

-150

-100

-50

0

50

Magnitude(dB)

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


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== 510= 0.5As, la funcin de transferencia del compensador de retardo es

= 0.5 + 0.1 + 0.01= 10.5+ 1.5+ + 1 sin= 50 + 550+150.5+101.5+ 51 + 5 close all; clear all; clc

%diseo de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia

%-------------------------------------------------------------------

%planta sin compensar

ns=[0 0 0 1];ds=[0.5 1.5 1 1];

%--------------------------------

%planta compensada en frrecuencia

nc=[0 0 0 50 5];

dc=[50 150.5 101.5 51 5];

t=0:0.05:40;

[c1,x1,t]=step(nc,dc,t);

[c2,x2,t]=step(ns,ds,t);

plot(t,c1,t,c1,'-',t,c2,t,c2,'-');

grid;

title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado');

xlabel('t seg');

ylabel('salidas c1 y c2');

gtext('sistema compensado');

gtext('sistema no compensado');

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado

t seg

salidas

c1

y

c2

sistema compensado

sistema no compensado


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Diseo de Compensadores de retardo-adelanto

en frecuencia

Procedimiento para disear un compensador de retardo mediante el mtodo derespuesta en frecuencia:

El diseo de un compensador de retardo-adelanto mediante el mtodo de la respuesta en

frecuencia se basa en la combinacin de las tcnicas de diseo analizadas en la

compensacin de adelanto y la compensacin de retardo.

Supngase que el compensador de retardo-adelanto tiene la forma siguiente:

= + 1 + 1

+ 1 + 1= + 1 +1

+ + 1 > 1

La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto (la parte que contiene )altera la curva de respuesta en frecuencia aadiendo un ngulo de adelanto de fase eincrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de retardo

de fase (la parte que contiene ) proporciona una atenuacin cerca y por encima de lafrecuencia de cruce de ganancia y, por lo tanto, permite un incremento de la ganancia en el

rango de bajas frecuencias que mejora el comportamiento en estado estacionario.

Problema

Sea el sistema con realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo abierto es

= + 1 + 2 Se desea que la constante de error estatico de velocidad sea de 10 seg-1, que el margen defase sea de 50 y que el margen de ganancia sea de 10 dB o mas.

Solucin

Usando compensador retardo-adelanto

= + 1 + 1 + 1 + 1

= + 1 +1

+ + 1 > 1

= lim = lim=2 = 10 = 1 = 20Diagrama de Bode de = 20 + 1 + 2= 20+ 3+ 2


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El MF del sistema no compensado pero ajustado en ganancia es de -32, lo que indica que

el sistema es inestable.

El paso siguiente es seleccionar una nueva frecuencia de cruce de ganancia. A partir de la

curva de fase de , se observa que = 180 en = 1.5 /. Esconveniente elegir la nueva frecuencia de cruce de ganancia como 1.5 rad/seg, a fin de que

el adelanto de fase requerido en 1.5 rad/seg sea alrededor de 50, lo que es muy posible

mediante una red de retardo adelanto.

Una vez que se ha seleccionado la frecuencia de cruce de ganancia en 1.5 rad/seg se puede

determinar la frecuencia esquina de la parte de retardo de fase del compensador de retardo

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-225

-180

-135

-90

System: sys


Phase (deg): -180

Phase(deg)

-100

-50

0

50

System: sys


Magnitude (dB): 0.144

M

agnitude(dB)

-40

-30

-20

-10

0

10

20 System: sy s

Frequency ( rad/sec): 1.42


System: sy s



Magnitude(dB)

100

101

-270

-225

-180

-135

System: sy s


Phase (deg): -208

System: sy s


Phase (deg): -180

Phase(deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)


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adelanto. Se selecciona la frecuencia esquina = 1/(que corresponde al cero de la partede retardo del de fase del compensador) que se encuentra una dcada por debajo de la

nueva frecuencia de cruice de ganancia, o en 015 rad/seg.

Recuerde que para el compebsador de adelanto, el mximo adelanto de fase viene dadopor

=1 11 +1= 1 + 1Para el caso actual, sustituyendo = 1/

= 1 21 + 2 =1 1 +

= 10

= 54.9

Como se necesita un MF de 50, se puede seleccionar

= 10. As a la frecuencia esquina

= 1/que corresponde al polo de la parte de retardo de fase del compensador) es 0.015rad/seg. La funcin de transferencia de la parte de retardo de fase del compensador deretrdo-adelanto es

+ 0.15 +0.015= 10 6.67 + 166.7 + 1La parte de adelanto de fase se puede determinar del modo siguiente. Como la nueva

frecuencia de cruce de ganacia es 1.5 rad/seg, de la figura se encuentra que Gp(j1.5) es de

13 dB. A partir de este requisito, es posible dibujar una lnea recta de pendiente 20dB/dec,que pasa por el punto (1.5 rad/seg, -13 dB). Las intersecciones de esta lnea con las lneas 0

dB y -20 dB determinan las frecuencias esquinas.asi, las frecuencias esquinas para la parte

de adelanto son 0.7 rad/seg y 7 rad/seg. En este caso la funcin de transferencia del

compensador en adelanto es + 0.7 + 7 = 0.1 1.43 +10.143 +1Si se combinan las funciones de transferencia

= + 0.7 + 7

+ 0.15+0.015

= 20+ 3+ 2 + 20= 95.381+ 81 + 104.769+ 47.7287+110.3026+ 163.724+ 82 + 10


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Sin compensar

Compensado

0 5 10 15 20 25 30 35 40-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

6

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (sec)

Amplitude


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ASIGNACION DE POLOS UTILIZANDO REALIMENTACION DEL ESTADOIng. Julio C. Borjas Castaeda

INTRODUCCION

El diseo mediante realimentacin de todos los estados normalmente se basa en tcnicas

de asignacin de polos. Es importante darse cuenta de que el sistema debe ser

completamente controlable y completamente observable para que permita la flexibilidad

de colocar todos los polos del sistema arbitrariamente.

CORRELACIN ENTRE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y ECUACIONES EN EL ESPACIO DEESTADOS

u y

D

B

A

Cdt*

x x+

+

+

+

Tomando transformadas de Laplace a las ecuaciones de estado y de salida

= +

= +

Se obtiene = + = +Que implica = + = + +Si la condicin inicial 0= 0 =

=

0 +

La funcin de transferencia ser= + La ecuacin caracterstica es: | |


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ASIGNACION DE POLOS UTILIZANDO REALIMENTACION DEL ESTADO

Las matrices A, B, C yDse utilizan para describir un modelo de planta lineal e invariante

en el tiempo, en el que u(t)es la entrada a la planta y x(t) e y(t) son los vectores de estadoy salida, respectivamente. El modelo del sistema global se completa entonces

aumentando el modelo de planta para incluir la compensacin por realimentacin.

Realimentacin de estados: un modelo vectorial

La realimentacin de estados se implementa utilizando una combinacin lineal de

variables de estados como una seal de realimentacin negativa. Las ganancias de loscaminos de realimentacin se suponen que son ajustables de forma independiente con

factores de ganancia , , . , .De ah, la seal realimentada vuelve a la entrada de laplanta que es igual a + + . + .La seal compuesta es un escalar y la formacin de esta seal ya se ha descrito en

notacin matricial con la definicin de una matriz fila K tal que

= ...

Si se supone una nica entrada y una nica salida, el diagrama de bloques que muestra la

realimentacin de estados se presenta en la figura.

BuAxx .

K

Cgr y

)0(x

Planta

Kx

u

x


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Fig. Un sistema SISO con realimentacin de estados

Para permitir que r(t) se exprese en el mismo nivel que la salida deseada, se introduce un

factor multiplicador constante g. esto permite que la suma de la entrada y las seales

realimentadas ocurran con una versin escala de r(t).

Considerar la planta con realimentacin de estados,

= += =

= + Tomando transformadas de Laplace:

= + + = ++ + = += + + +

= + + + Asumiendo que el sistema esta inicialmente en reposo, la relacin de transferencia en lazocerrado es

= + = +

Con el modelo de planta expresado en trminos de una nica salida, Y(s)es un escalar y C

es una matriz fila. En este caso, gse puede evaluar de forma que r(t)este expresado en el

mismo nivel que la salida deseada y(t). Esta condicin se establece si g es

= + La ecuacin caracterstica es

= + =


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Con libertad para ajustar los elementos de la matriz K, la realimentacin de estados se utiliza para

tener el control de la situacin de las races de la ecuacin caracterstica. Las races se desplazan

para obtener el comportamiento transitorio deseado.

CONTROLABILIDAD

Un sistema es completamente controlable si existe un control sin restriccin u(t) que

pueda llevar cualquier estado inicial a cualquier otro estado deseado en untiempo finito, .Para el sistema

= + Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condicin algebraica

= La matriz a tiene dimensin y B tiene dimensin 1. Para sistemas con mltiplesentradas, B es de , donde es el nmero de entradas.Para un sistema de nica entrada, nica salida, la matriz de Controlabilidad se describeen trminos de A y B como

= = Que es una matriz

. Por lo tanto, si el determinante de

es distinto de cero, el

sistema es controlable.

OBSERVABILIDAD

Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito T de forma

que el estado inicial 0 se pueda determinar a partir de la observacin de la historiadado el control .Considerar el sistema de una entrada-una salida

= + e =

Donde C es un vector fila 1 y x es un vector columna 1. Este sistema escompletamente observable cuando el determinante de la matriz de Observabilidad esdistinto de cero, donde


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= CCA...

CA

que es una matriz ESTIMACION DEL ESTADOSi el estado de la planta se puede estimar, entonces la compensacin por realimentacin

se puede implementar utilizando el estado estimado. Un observador de estado completo

utiliza solamente la entrada a la planta, u(t) y la salida y(t) tal como se muestra en la

figura, para proporcionar una estima de todas las variables de estado. Una gran ventajadel us

separatas ingenieria de control

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