ingenieria de control moderna - ogata 5ed

5 ed.

Ingeniera de control moderna

Ingeniera de control moderna presenta un tratamiento riguroso y completo del anlisis y diseo de sistemas de control. Los lectores encontrarn, en esta nueva edicin del ya clsico libro de Ogata, un texto claro y comprensible escrito para estudian-tes de ingeniera mecnica, elctrica, aeroespacial o qumica, con numerosos ejemplos de todos estos campos.En esta quinta edicin se ha ampliado la utilizacin de MAT-LAB para obtener la respuesta de sistemas de control a dife-rentes entradas. Se demuestra la utilidad del enfoque de opti-mizacin computacional con MATLAB.Otra novedad es la inclusin de nuevos problemas como ejemplos, que facilitan el aprendizaje y el seguimiento de los conceptos introducidos. Con el fin de proporcionar espacio a temas ms importantes, se han suprimido ciertos materiales de ediciones previas que tienen una importancia secundaria. En su lugar, se presentan las tablas de transformada de Laplace y el desarrollo en fracciones simples con MATLAB en los Apn-dices A y B respectivamente. En el Apndice C se da un corto resumen sobre el anlisis vectorial-matricial.

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5 edicin

Katsuhiko Ogata

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Ogata

Otros libros de intersFundamentos de control con MATLAB Enrique Pinto Bermdez, Fernando Mata EspadaPEArSOn PrEnTiCE HALLiSBn 978-84-832-2651-3

Sistemas de control moderno, 10. edicin richard C. Dorf, robert H. BishopPEArSOn PrEnTiCE HALLiSBn 978-84-205-4401-4

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Ingeniera de control moderna

Ingeniera de control modernaQuinta edicin

Katsuhiko OgataTraduccin

Sebastin Dormido CantoProfesor Titular de Ingeniera de Sistemas y Automtica, UNED

Raquel Dormido CantoProfesora Titular de Ingeniera de Sistemas y Automtica, UNED

Revisin tcnicaSebastin Dormido Bencomo

Catedrtico de Ingeniera de Sistemas y Automtica, UNED

Revisin tcnica para LatinoamricaAmadeo Mariani

Profesor Titular de Sistemas de Control ModernoUTN Regional Buenos Aires Regional/HAEDO

Juan Eduardo PiccoProfesor Titular de la materia Sistemas de Control, Departamento de Ingeniera ElectrnicaUniversridad Tecnolgica Regional Crdoba, Provincia de Crdoba, Repblica Argentina

Profesor Titular de la materia de Teora de Control, Departamento de Ingeniera ElectrnicaInstituto Universitario Aeronutico, Provincia de Crdoba, Repblica Argentina

Ricardo Julin MantzProfesor Titular Dedicacin Exclusiva, Ctedra Control Moderno, Ing. Electrnica

Universidad Nacional de la Plata, Facultad de IngenieraLa Plata, Provincia de Buenos Aires, Argentina

Jorge Ral RosselloProfesor Titular de la Ctedra Sistemas de Control 1

Departamento de Ingeniera, Universidad Nacional de la MatanzaSan Justo, Provincia de Buenos Aires, Argentina

Datos de catalogacin bibliogrfica

INGENIERA DE CONTROL MODERNA

Katsuhiko OgataPEARSON EDUCACIN, S.A., Madrid, 2010ISBN: 978-84-8322-660-5Materia: Ingeniera del control automtico, 681.5Formato: 195# 250 mm. Pginas: 904

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5 PEARSON EDUCACIN, S.A., 2010Ribera del Loira, 2828042 Madrid (Espaa)www.pearsoneducacion.comISBN: 978-84-8322-660-5Depsito legal: M

Authorized translation from the English language edition, entitlet INTRODUCTION TO MATERIALS SCIENCEFOR ENGINEERS, 7th Edition by JAMES SHACKELFORD, published by Pearson Education, Inc, publishing asPrentice Hall, Copyright5 2009. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in anyform or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storageretrieval system, without permission from Pearson Education, Inc. SPANISH language edition published byPEARSON EDUCATION S.A., Copyright5 2010.

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Equipo de produccin:Director: Jos Antonio ClaresTcnico: Isabel Muoz

Diseo de cubierta: Equipo de diseo de Pearson Educacin S.A.Composicin: CopibookImpresin:

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Contenido

PRLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

CAPTULO 1. Introduccin a los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-2. Ejemplos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41-3. Control en lazo cerrado en comparacin con control en lazo abierto . . . . 71-4. Diseo y compensacin de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91-5. Contenido del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

CAPTULO 2. Modelado matemtico de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-2. Funcin de transferencia y de respuesta impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152-3. Sistemas de control automticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172-4. Modelado en el espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292-5. Representacin en el espacio de estados de sistemas de ecuaciones dife-

renciales escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352-6. Transformacin de modelos matemticos con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 392-7. Linealizacin de modelos matemticos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

CAPTULO 3. Modelado matemtico de sistemas mecnicos y sistemas elctricos . . . . . . . . 633-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633-2. Modelado matemtico de sistemas mecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3-3. Modelado matemtico de sistemas elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

CAPTULO 4. Modelado matemtico de sistemas de fluidos y sistemas trmicos . . . . . . . . . . 1004-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004-2. Sistemas de nivel de lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014-3. Sistemas neumticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064-4. Sistemas hidrulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234-5. Sistemas trmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

CAPTULO 5. Anlisis de la respuesta transitoria y estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595-2. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615-3. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645-4. Sistemas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795-5. Anlisis de la respuesta transitoria con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835-6. Criterio de estabilidad de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125-7. Efectos de las acciones de control integral y derivativa en el comporta-

miento del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185-8. Errores en estado estacionario en los sistemas de control con realimenta-

cin unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

CAPTULO 6. Anlisis y diseo de sistemas de control por el mtodo del lugar de las races 2696-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2696-2. Grficas del lugar de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2706-3. Grficas del lugar de las races con MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2906-4. Lugar de las races de sistemas con realimentacin positiva . . . . . . . . . . . . 3036-5. Diseo de sistemas de control mediante el mtodo del lugar de las ra-

ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3086-6. Compensacin de adelanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3116-7. Compensacin de retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3216-8. Compensacin de retardo-adelanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3306-9. Compensacin paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

CAPTULO 7. Anlisis y diseo de sistemas de control por el mtodo de la respuesta enfrecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3987-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3987-2. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4037-3. Diagramas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4277-4. Diagramas de magnitud logartmica respecto de la fase . . . . . . . . . . . . . . . . 443

vi Contenido

7-5. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4457-6. Anlisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4547-7. Anlisis de estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4627-8. Respuesta en frecuencia en lazo cerrado de sistemas con realimentacin

unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4777-9. Determinacin experimental de funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . 486

7-10. Diseo de sistemas de control por el mtodo de la respuesta en frecuencia 4917-11. Compensacin de adelanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4937-12. Compensacin de retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5027-13. Compensacin de retardo-adelanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

CAPTULO 8. Controladores PID y controladores PID modificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5678-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5678-2. Reglas de Ziegler-Nichols para la sintona de controladores PID . . . . . . . . 5688-3. Diseo de controladores PID mediante el mtodo de respuesta en fre-

cuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5778-4. Diseo de controladores PID mediante el mtodo de optimizacin

computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5828-5. Modificaciones de los esquemas de control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5908-6. Control con dos grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5928-7. Mtodo de asignacin de ceros para mejorar las caractersticas de res-

puesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

CAPTULO 9. Anlisis de sistemas de control en el espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . 6489-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6489-2. Representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su

funcin de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6499-3. Transformacin de modelos de sistemas con MATLAB . . . . . . . . . . . . . 6569-4. Solucin de la ecuacin de estado invariante con el tiempo . . . . . . . . . . 6609-5. Algunos resultados tiles en el anlisis vectorial-matricial . . . . . . . . . . 6689-6. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6759-7. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720

CAPTULO 10. Diseo de sistemas de control en el espacio de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72210-1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72210-2. Asignacin de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72310-3. Solucin de problemas de asignacin de polos con MATLAB . . . . . . 73510-4. Diseo de servosistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73910-5. Observadores de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75110-6. Diseo de sistemas reguladores con observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77810-7. Diseo de sistemas de control con observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786

Contenido vii

10-8. Sistema regulador ptimo cuadrtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79310-9. Sistemas de control robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806Ejemplos de problemas y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

APNDICE A. Tablas de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 859

APNDICE B. Mtodo de desarrollo en fracciones simples . . . . . . . . . . . . 867

APNDICE C. lgebra vectorial-matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

BIBLIOGRAFA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882

NDICE ANALTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886

viii Contenido

Prlogo

Este libro introduce conceptos importantes en el anlisis y diseo de sistemas de control. Loslectores encontrarn un libro de texto claro y comprensible para seguir un curso en la universidadsobre sistemas de control. Est escrito para estudiantes de ingeniera mecnica, elctrica, aeroes-pacial o qumica. Se supone que el lector ha completado los siguientes prerrequisitos: cursos decarcter introductorio sobre ecuaciones diferenciales, transformada de Laplace, anlisis vecto-rial-matricial, anlisis de circuitos, mecnica y termodinmica.

Las revisiones principales hechas en esta edicin son como sigue:Se ha ampliado la utilizacin de MATLAB para obtener la respuesta de sistemas de controla diferentes entradas.Se demuestra la utilidad del enfoque de optimizacin computacional con MATLAB.A lo largo de todo el libro se han aadido nuevos problemas como ejemplos.Con el fin de proporcionar espacio a temas ms importantes se han suprimido ciertos mate-riales de ediciones previas que tienen una importancia secundaria. Los grafos de flujo deseal se han eliminado del libro. Tambin se suprimi un captulo sobre la transformada deLaplace. En su lugar se presentan las tablas de transformada de Laplace y el desarrollo enfracciones simples con MATLAB en los Apndices A y B respectivamente.En el Apndice C se da un corto resumen sobre el anlisis vectorial-matricial.

Esta edicin de Ingeniera de Control Moderna est organizada en diez captulos. El conteni-do del libro es el siguiente: El Captulo 1 presenta una introduccin a los sistemas de control. ElCaptulo 2 trata el modelado matemtico de sistemas de control. Se presenta tambin en estecaptulo una tcnica de linealizacin de modelos matemticos no lineales. El Captulo 3 analizael modelado matemtico de los sistemas mecnicos y elctricos. El Captulo 4 trata el modeladode los sistemas fludicos (tales como sistemas de nivel de lquido, sistemas neumticos y siste-mas hidrulicos) y sistemas trmicos.

El Captulo 5 trata el anlisis de la respuesta transitoria y el estado estacionario de los siste-mas de control. MATLAB se utiliza extensivamente para el anlisis de la respuesta transitoria. Elcaptulo presenta el criterio de estabilidad de Routh para el anlisis de estabilidad de los sistemasde control. Tambin se estudia el criterio de estabilidad de Hurwitz.

El Captulo 6 aborda el anlisis y diseo de sistemas de control mediante el lugar de las ra-ces, incluyendo los sistemas con realimentacin positiva y los sistemas condicionalmente esta-bles. Se estudia con detalle la representacin del lugar de las races con MATLAB. Se estudia elmtodo del lugar de las races para el diseo de compensadores de adelanto, retardo y retardo-adelanto.

El Captulo 7 presenta el anlisis y diseo de sistemas de control mediante la respuesta enfrecuencia. Se trata el criterio de estabilidad de Nyquist de una forma fcilmente comprensible.Se analiza el mtodo de los diagramas de Bode para el diseo de compensadores de adelanto,retardo y retardo-adelanto.

El Captulo 8 estudia los controladores PID bsicos y modificados. Se presentan con ciertodetalle los mtodos computacionales (en MATLAB) para obtener valores ptimos de los par-metros de los controladores que satisfacen ciertos requisitos de las caractersticas de la respuestaescaln.

El Captulo 9 presenta un anlisis bsico de los sistemas de control en el espacio de estados.Se introducen los conceptos de controlabilidad y observabilidad.

El Captulo 10 analiza el diseo de sistemas de control en el espacio de estados. El estudioincluye la asignacin de polos, observadores de estado y control ptimo cuadrtico. Al final delcaptulo se presenta un anlisis introductorio de los sistemas de control robusto.

El libro se ha estructurado con la finalidad de facilitar la comprensin gradual de la teora delcontrol al estudiante. Se ha tratado de evitar cuidadosamente razonamientos con un fuerte conte-nido matemtico en la presentacin del material. Se proporcionan demostraciones matemticascuando contribuyen a la comprensin de los temas presentados.

Se ha realizado un esfuerzo especial para proporcionar ejemplos en puntos estratgicos deforma que el lector obtenga una mejor comprensin de la materia que se analiza. Adems, seofrecen al final de cada captulo, excepto en el Captulo 1, una serie de problemas resueltos (pro-blemas de tipo A). Se anima al lector a que estudie con cuidado todos estos problemas para obte-ner una comprensin ms profunda de los temas analizados. Adems, se proponen muchos pro-blemas (sin solucin) al final de cada captulo, excepto en el Captulo 1. Los problemas noresueltos (problemas de tipo B) se pueden utilizar para que el alumno los resuelva en casa ocomo parte de un examen.

Si este libro se usa como texto para un curso semestral (56 horas de clase) se puede cubrir lamayor parte del material omitiendo ciertas partes. Debido a la abundancia de problemas ejem-plos y problemas resueltos (problemas A) que pueden responder a muchas de las posibles pre-guntas que el lector pueda plantearse, este libro puede tambin servir como un texto de autoestudio para aquellos ingenieros que ya trabajan y que desean estudiar teora de control bsica.

Quisiera expresar mi agradecimiento a los siguientes revisores de esta edicin del libro: MarkCampbell, Cornell University; Henry Sodano, Arizona State University; y Atul G. Kelkar, IowaState University. Finalmente deseo expresar mi ms sincero reconocimiento a Ms. Alice Dwor-kin, Associate Editor, Mr. Scout Disanno, Seor Managing Editor, y a todas las personas que hanestado involucradas en este proyecto, por la rapidez y el excelente trabajo de produccin de estelibro.

Katsuhiko Ogata

x Prlogo

Introduccin a los sistemasde control

1-1 IntroduccinLas teoras de control que se utilizan habitualmente son la teora de control clsica (tambindenominada teora de control convencional), la teora de control moderno y la teora de controlrobusto. Este libro presenta el tratamiento del anlisis y diseo de sistemas de control basado enla teora de control clsica y teora de control moderno. En el Captulo 10 se incluye una breveintroduccin a la teora de control robusto.

El control automtico ha desempeado un papel vital en el avance de la ingeniera y la cien-cia. El control automtico se ha convertido en una parte importante e integral en los sistemas devehculos espaciales, en los sistemas robticos, en los procesos modernos de fabricacin y encualquier operacin industrial que requiera el control de temperatura, presin, humedad, flujo,etc. Es deseable que la mayora de los ingenieros y cientficos estn familiarizados con la teora yla prctica del control automtico.

Este libro pretende ser un texto en sistemas de control para un nivel avanzado en el bachille-rato o en la universidad. Todos los materiales necesarios se incluyen en el libro. La matemticarelacionada con las transformadas de Laplace y el anlisis vectorial y matricial se presentan enapndices separados.

Breve revisin de los desarrollos histricos de la teora y prctica del con-trol. El primer trabajo significativo en control automtico fue el regulador de velocidad centr-fugo de James Watt para el control de la velocidad de una mquina de vapor, en el siglo diecio-cho. Minorsky, Hazen y Nyquist, entre muchos otros, aportaron trabajos importantes en las

etapas iniciales del desarrollo de la teora de control. En 1922, Minorsky trabaj en controladoresautomticos para el guiado de embarcaciones, y mostr que la estabilidad puede determinarse apartir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. En 1932, Nyquist dise un pro-cedimiento relativamente simple para determinar la estabilidad de sistemas en lazo cerrado, apartir de la respuesta en lazo abierto a entradas sinusoidales en estado estacionario. En 1934,Hazen, quien introdujo el trmino servomecanismos para los sistemas de control de posicin,analiz el diseo de los servomecanismos con rel, capaces de seguir con precisin una entradacambiante.

Durante la dcada de los cuarenta, los mtodos de la respuesta en frecuencia (especialmentelos diagramas de Bode) hicieron posible que los ingenieros disearan sistemas de control linealesen lazo cerrado que cumplieran los requisitos de comportamiento. En los aos cuarenta y cin-cuenta muchos sistemas de control industrial utilizaban controladores PID para el control de lapresin, de la temperatura, etc. A comienzos de la dcada de los cuarenta Ziegler y Nichols esta-blecieron reglas para sintonizar controladores PID, las denominadas reglas de sintona de Zie-gler-Nichols. A finales de los aos cuarenta y principios de los cincuenta, se desarroll por com-pleto el mtodo del lugar de las races propuesto por Evans.

Los mtodos de respuesta en frecuencia y del lugar de las races, que forman el ncleo de lateora de control clsica, conducen a sistemas estables que satisfacen un conjunto ms o menosarbitrario de requisitos de comportamiento. En general, estos sistemas son aceptables pero noptimos desde ningn punto de vista. Desde el final de la dcada de los cincuenta, el nfasis enlos problemas de diseo de control se ha desplazado del diseo de uno de los posibles sistemasque funciona adecuadamente al diseo de un sistema ptimo respecto de algn criterio.

Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven ms y ms comple-jas, la descripcin de un sistema de control moderno requiere una gran cantidad de ecuaciones.La teora de control clsica, que trata de los sistemas con una entrada y una salida, pierde supotencialidad cuando se trabaja con sistemas con entradas y salidas mltiples. Hacia 1960, debi-do a la disponibilidad de las computadoras digitales fue posible el anlisis en el dominio deltiempo de sistemas complejos. La teora de control moderna, basada en el anlisis en el dominiodel tiempo y la sntesis a partir de variables de estados, se ha desarrollado para manejar la cre-ciente complejidad de las plantas modernas y los requisitos cada vez ms exigentes sobre preci-sin, peso y coste en aplicaciones militares, espaciales e industriales.

Durante los aos comprendidos entre 1960 y 1980, se investig a fondo el control ptimotanto de sistemas determinsticos como estocsticos, as como el control adaptativo y con apren-dizaje de sistemas complejos. Desde la dcada de los ochenta hasta la de los noventa, los avancesen la teora de control moderna se centraron en el control robusto y temas relacionados.

La teora de control moderna se basa en el anlisis en el dominio temporal de los sistemas deecuaciones diferenciales. La teora de control moderna simplific el diseo de los sistemas decontrol porque se basa en un modelo del sistema real que se quiere controlar. Sin embargo, laestabilidad del sistema depende del error entre el sistema real y su modelo. Esto significa quecuando el controlador diseado basado en un modelo se aplica al sistema real, ste puede no serestable. Para evitar esta situacin, se disea el sistema de control definiendo en primer lugar elrango de posibles errores y despus diseando el controlador de forma que, si el error del sistemaest en dicho rango, el sistema de control diseado permanezca estable. El mtodo de diseobasado en este principio se denomina teora de control robusto. Esta teora incorpora tanto laaproximacin de respuesta en frecuencia como la del dominio temporal. Esta teora es matemti-camente muy compleja.

2 Ingeniera de control moderna

Como esta teora requiere una base matemtica de nivel de licenciados, la inclusin de lateora de control robusto en este libro est limitada nicamente a aspectos introductorios. El lec-tor interesado en detalles sobre la teora de control robusto debera cursar previamente un cursode control de una licenciatura en una universidad.

Definiciones. Antes de analizar los sistemas de control, deben definirse ciertos trminosbsicos.

Variable controlada y seal de control o variable manipulada. La variable controlada esla cantidad o condicin que se mide y controla. La seal de control o variable manipulada es lacantidad o condicin que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.Normalmente, la variable controlada es la salida del sistema. Controlar significa medir el valorde la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir olimitar la desviacin del valor medido respecto del valor deseado.

En el estudio de la ingeniera de control, es necesario definir trminos adicionales que seprecisan para describir los sistemas de control.

Plantas. Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de los elementosde una mquina que funcionan juntos, y cuyo objetivo es efectuar una operacin particular. Eneste libro se llamar planta a cualquier objeto fsico que se va a controlar (como un dispositivomecnico, un horno de calefaccin, un reactor qumico o una nave espacial).

Procesos. El Diccionario Merriam-Webster define un proceso como una operacin o undesarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambios graduales quese suceden unos a otros de una forma relativamente fija y que conducen a un resultado o pro-psito determinados; o una operacin artificial o voluntaria que se hace de forma progresiva yque consta de una serie de acciones o movimientos controlados, sistemticamente dirigidoshacia un resultado o propsito determinado. En este libro se llamar proceso a cualquier opera-cin que se va a controlar. Algunos ejemplos son los procesos qumicos, econmicos y biolgi-cos.

Sistemas. Un sistema es una combinacin de componentes que actan juntos y realizan unobjetivo determinado. Un sistema no est necesariamente limitado a los sistemas fsicos. El con-cepto de sistema se puede aplicar a fenmenos abstractos y dinmicos, como los que se encuen-tran en la economa. Por tanto, la palabra sistema debe interpretarse en un sentido amplio quecomprenda sistemas fsicos, biolgicos, econmicos y similares.

Perturbaciones. Una perturbacin es una seal que tiende a afectar negativamente el valorde la salida de un sistema. Si la perturbacin se genera dentro del sistema se denomina interna,mientras que una perturbacin externa se genera fuera del sistema y es una entrada.

Control realimentado. El control realimentado se refiere a una operacin que, en presenciade perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada dereferencia, y lo realiza tomando en cuenta esta diferencia. Aqu slo se especifican con este tr-mino las perturbaciones impredecibles, ya que las perturbaciones predecibles o conocidas siem-pre pueden compensarse dentro del sistema.

Captulo 1. Introduccin a los sistemas de control 3

1-2 Ejemplos de sistemas de controlEn esta seccin se presentarn algunos ejemplos de sistemas de control.

Sistema de control de velocidad. El principio bsico del regulador de velocidad deWatt para una mquina se ilustra en el diagrama esquemtico de la Figura 1-1. La cantidad decombustible que se admite en la mquina se ajusta de acuerdo con la diferencia entre la veloci-dad de la mquina que se pretende y la velocidad real.

La secuencia de acciones puede describirse del modo siguiente: el regulador de velocidad seajusta de modo que, a la velocidad deseada, no fluya aceite a presin en ningn lado del cilindrode potencia. Si la velocidad real cae por debajo del valor deseado debido a una perturbacin, ladisminucin de la fuerza centrfuga del regulador de velocidad provoca que la vlvula de controlse mueva hacia abajo, aportando ms combustible, y la velocidad del motor aumenta hasta alcan-zar el valor deseado. Por otra parte, si la velocidad del motor aumenta por encima del valor de-seado, el incremento en la fuerza centrfuga del regulador provoca que la vlvula de control semueva hacia arriba. Esto disminuye el suministro de combustible, y la velocidad del motor sereduce hasta alcanzar el valor deseado.

En este sistema de control de velocidad, la planta (el sistema controlado) es la mquina y lavariable controlada es la velocidad de la misma. La diferencia entre la velocidad deseada y lavelocidad real es la seal de error. La seal de control (la cantidad de combustible) que se va aaplicar a la planta (la mquina) es la seal de actuacin. La entrada externa que se aplica paraalterar la variable controlada es la perturbacin. Un cambio inesperado en la carga es una pertur-bacin.

Sistema de control de temperatura. La Figura 1-2 muestra un diagrama esquemticodel control de temperatura de un horno elctrico. La temperatura del horno elctrico se midemediante un termmetro, que es un dispositivo analgico. La temperatura analgica se conviertea una temperatura digital mediante un convertidor A/D. La temperatura digital se introduce enun controlador mediante una interfaz. Esta temperatura digital se compara con la temperaturade entrada programada, y si hay una discrepancia (error) el controlador enva una seal al

Figura 1-1. Sistema de control de velocidad.


Figura 1-2. Sistema de control de temperatura.

calefactor, a travs de una interfaz, amplificador y rel, para hacer que la temperatura del hornoadquiera el valor deseado.

Sistemas empresariales. Un sistema empresarial est formado por muchos grupos. Ca-da tarea asignada a un grupo representar un elemento dinmico del sistema. Para la correctaoperacin de este sistema deben establecerse mtodos de realimentacin para informar de loslogros de cada grupo. El acoplamiento cruzado entre los grupos funcionales debe reducirse a unmnimo para evitar retardos de tiempo que no son deseables en el sistema. Cuanto ms pequeosea dicho acoplamiento, ms regular ser el flujo de seales y materiales de trabajo.

Un sistema empresarial es un sistema en lazo cerrado. Un buen diseo del mismo reducirel control administrativo requerido. Obsrvese que las perturbaciones en este sistema sonla falta de personal o de materiales, la interrupcin de las comunicaciones, los errores huma-nos, etc.

El establecimiento de un buen sistema de estimacin, basado en estadsticas, es imprescindi-ble para lograr una administracin adecuada. Obsrvese que es un hecho bien conocido que elcomportamiento de tal sistema puede mejorar mediante el uso de tiempo de previsin o anticipa-cin.

Con el propsito de aplicar la teora de control para mejorar el comportamiento de este siste-ma, se debe representar la caracterstica dinmica de los grupos componentes del sistema me-diante un conjunto de ecuaciones relativamente simples.

Aunque es ciertamente un problema difcil obtener representaciones matemticas de los gru-pos componentes, la aplicacin de tcnicas de optimizacin a los sistemas empresariales mejorasignificativamente el comportamiento de tales sistemas.

Considrese, como ejemplo, una estructura organizativa en ingeniera que est constituidapor una serie de grupos tales como gestin, investigacin y desarrollo, diseo preliminar, experi-mentos, diseo de producto y delineacin, fabricacin y ensamblaje y verificacin. Estos gruposse interconectan para constituir el sistema completo.

Tal sistema se puede analizar reducindolo al conjunto ms elemental de componentes nece-sarios que proporciona los detalles analticos requeridos y representando las caractersticas din-micas de cada componente mediante un conjunto de ecuaciones simples. (El comportamientodinmico de este sistema se puede determinar a partir de la relacin entre los resultados progresi-vos y el tiempo.)

Se puede dibujar un diagrama de bloque funcional utilizando bloques para representar lasactividades funcionales e interconectar lneas de seal para representar la salida de informacin


Figura 1-3. Diagrama de bloques de un sistema de organizacin en ingeniera.

o producto de la operacin del sistema. En la Figura 1-3 se muestra un posible diagrama debloque.

Sistema de control robusto. El primer paso para el diseo de un sistema de control esla obtencin del modelo matemtico de la planta u objeto de control. En realidad, cualquier mo-delo de una planta que se quiere controlar incluir un error debido al proceso de modelado. Estoes, la planta real difiere del modelo que se va a utilizar en el diseo del sistema de control.

Una aproximacin razonable para asegurar que el controlador diseado basado en un modelofuncionar adecuadamente cuando se utilice con la planta real, consiste en asumir desde elcomienzo que existe una incertidumbre o error entre la planta real y su modelo matemtico eincluir dicha incertidumbre o error en el proceso de diseo del sistema de control. El sistema decontrol diseado basado en esta aproximacin se denomina sistema de control robusto.

Si se supone que la planta real que se desea controlar es G3 (s) y que el modelo matemtico dela planta real es G(s), esto esG3 (s)%modelo de la planta real que tiene una incertidumbre B(s)G(s)%modelo de la planta nominal que se va a utilizar en el diseo del sistema de control

G3 (s) y G(s) pueden estar relacionados por un factor multiplicativo del tipo

G3 (s)%G(s)[1!B(s)]o por un factor aditivo

G3 (s)%G(s)!B(s)o de otras formas.

Puesto que no se conoce la descripcin exacta de la incertidumbre o error B(s), se utiliza unaestimacin de B(s) y en el diseo del controlador se emplea esta estimacin, W(s). W(s) es unafuncin de transferencia escalar del tipo

B(s) a W(s)% max0mum

W(ju)

donde W(s) es el mximo valor de W( ju) para 0 mum y se denomina norma H infinitode W(s).

Si se utiliza el teorema de la pequea ganancia, el proceso de diseo conlleva la determina-cin del controlador K(s) que satisfaga la desigualdad,

GGW(s)

1!K(s)G(s) GGa 1


donde G(s) es la funcin de transferencia del modelo utilizada en el proceso de diseo, K(s) es lafuncin de transferencia del controlador y W(s) se escoge como una funcin de transferencia queaproxima B(s). En la mayora de los casos prcticos, se debe satisfacer ms de una desigualdaddependientes de G(s), K(s) y W(s). Por ejemplo, para garantizar la estabilidad robusta y el com-portamiento robusto se requiere que se satisfagan las dos desigualdades siguientes

GGWm(s)K(s)G(s)1!K(s)G(s) GGa 1 para estabilidad robusta

GGWs(s)

1!K(s)G(s) GGa 1 para comportamiento robusto(En la Seccin 10-9 se deducirn estas desigualdades). Hay muchas desigualdades de este tipoque se tienen que satisfacer en muchos sistemas diferentes de control robusto. (Estabilidad ro-busta significa que el controlador K(s) garantiza la estabilidad interna de todos los sistemas quepertenecen a un grupo de sistemas que representan el sistema de la planta real. Comportamientorobusto significa que el comportamiento especificado se satisface para todos los sistemas quepertenecen a este grupo). En este libro se supone que se conocen con precisin todas las plantasde los sistemas de control que se presentan, excepto las plantas que se discuten en la Seccin10-9, en la que se presentan aspectos introductorios de la teora de control robusto.

1-3 Control en lazo cerrado en comparacincon control en lazo abierto

Sistemas de control realimentados. Un sistema que mantiene una relacin determi-nada entre la salida y la entrada de referencia, comparndolas y usando la diferencia como mediode control, se denomina sistema de control realimentado. Un ejemplo sera el sistema de controlde temperatura de una habitacin. Midiendo la temperatura real y comparndola con la tempera-tura de referencia (temperatura deseada), el termostato activa o desactiva el equipo de calefac-cin o de enfriamiento para asegurar que la temperatura de la habitacin se mantiene en un nivelconfortable independientemente de las condiciones externas.

Los sistemas de control realimentados no se limitan a la ingeniera, sino que tambin se en-cuentran en diversos campos ajenos a ella. Por ejemplo, el cuerpo humano es un sistema de con-trol realimentado muy avanzado. Tanto la temperatura corporal como la presin sangunea seconservan constantes mediante una realimentacin fisiolgica. De hecho, la realimentacin reali-za una funcin vital: hace que el cuerpo humano sea relativamente insensible a las perturbacio-nes externas, permitiendo que funcione de forma adecuada en un entorno cambiante.

Sistemas de control en lazo cerrado. Los sistemas de control realimentados se deno-minan tambin sistemas de control en lazo cerrado. En la prctica, los trminos control reali-mentado y control en lazo cerrado se usan indistintamente. En un sistema de control en lazocerrado, se alimenta al controlador la seal de error de actuacin, que es la diferencia entre laseal de entrada y la seal de realimentacin (que puede ser la propia seal de salida o una fun-cin de la seal de salida y sus derivadas y/o integrales), con el fin de reducir el error y llevar lasalida del sistema a un valor deseado. El trmino control en lazo cerrado siempre implica el usode una accin de control realimentado para reducir el error del sistema.


Sistemas de control en lazo abierto. Los sistemas en los cuales la salida no tieneefecto sobre la accin de control se denominan sistemas de control en lazo abierto. En otraspalabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta paracompararla con la entrada. Un ejemplo prctico es una lavadora. El remojo, el lavado y el centri-fugado en la lavadora operan con una base de tiempo. La mquina no mide la seal de salida, quees la limpieza de la ropa.

En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada dereferencia. As, a cada entrada de referencia le corresponde una condicin de operacin fija; co-mo resultado de ello, la precisin del sistema depende de la calibracin. Ante la presencia deperturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la prctica,el control en lazo abierto slo se usa si se conoce la relacin entre la entrada y la salida y si nohay perturbaciones internas ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control reali-mentado. Obsrvese que cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo est enlazo abierto. Por ejemplo, el control de trfico mediante seales operadas con una base de tiempoes otro ejemplo de control en lazo abierto.

Sistemas de control en lazo cerrado en comparacin con sistemas en lazoabierto. Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentacinvuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las va-riaciones internas en los parmetros del sistema. Es as posible usar componentes relativamentepoco precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta determinada, mientrasque hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto.

Desde el punto de vista de estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es ms fcil dedesarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, laestabilidad es un gran problema en el sistema de control en lazo cerrado, que puede conducir acorregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante.

Debe sealarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipacin las entradas yen los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control en lazo abierto. Los siste-mas de control en lazo cerrado slo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones y/o varia-ciones impredecibles en los componentes del sistema. Obsrvese que la potencia nominal de sali-da determina en forma parcial el coste, peso y tamao de un sistema de control. El nmero decomponentes usados en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que el que se empleapara un sistema de control equivalente en lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en lazocerrado suele tener costes y potencias ms grandes. Para disminuir la potencia requerida de unsistema, se emplea un control en lazo abierto siempre que pueda aplicarse. Por lo general, unacombinacin adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa y ofrecerun comportamiento satisfactorio del sistema global.

La mayora de los anlisis y diseos de sistemas de control presentados en este libro sonsistemas de control en lazo cerrado. En ciertas circunstancias (por ejemplo, si no hay perturba-ciones o la salida es difcil de medir) pueden ser deseables los sistemas de control en lazo abier-to. Por tanto, es conveniente resumir las ventajas y desventajas de utilizar sistemas de control enlazo abierto.

Las ventajas fundamentales de los sistemas de control en lazo abierto son las siguientes:1. Construccin simple y facilidad de mantenimiento.2. Menos costosos que el correspondiente sistema en lazo cerrado.3. No hay problemas de estabilidad.


4. Convenientes cuando la salida es difcil de medir o cuando medir la salida de maneraprecisa no es econmicamente viable. (Por ejemplo, en el caso de la lavadora, sera bas-tante costoso proporcionar un dispositivo para medir la calidad de la salida de la lavado-ra, es decir, la limpieza de la ropa lavada.)

Las desventajas fundamentales de los sistemas de control en lazo abierto son las siguientes:1. Las perturbaciones y los cambios en la calibracin originan errores, y la salida puede ser

diferente de lo que se desea.2. Para mantener la calidad requerida en la salida, es necesaria la recalibracin de vez en

cuando.

1-4 Diseo y compensacin de sistemas de controlEste libro presenta aspectos bsicos del diseo y compensacin de los sistemas de control. Lacompensacin es la modificacin de la dinmica del sistema para que se satisfagan unas especifi-caciones determinadas. Las aproximaciones al diseo de sistemas de control y compensacin quese presentan en este libro son la aproximacin mediante el lugar de las races, la respuesta enfrecuencia y la aproximacin en el espacio de estados. El diseo de sistemas de control utilizan-do estos mtodos se presenta en los Captulos 6, 7, 9 y 10. El diseo de sistemas de controlbasado en compensadores PID se presenta en el Captulo 8.

En el diseo real de un sistema de control, el que se utilice un compensador electrnico,neumtico o hidrulico debe decidirse en parte en funcin de la naturaleza de la planta que secontrola. Por ejemplo, si la planta que se controla contiene fluidos inflamables, debe optarse porlos componentes neumticos (tanto un compensador como un actuador) para eliminar la posibili-dad de que salten chispas. Sin embargo, si no existe el riesgo de incendio, los que se usan conmayor frecuencia son los compensadores electrnicos. (De hecho, es comn transformar las se-ales no elctricas en seales elctricas, debido a la sencillez de la transmisin, mayor precisin,mayor fiabilidad, una mayor facilidad en la compensacin, etctera.)

Especificaciones de comportamiento. Los sistemas de control se disean para reali-zar tareas especficas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control se dan como especifi-caciones de comportamiento. Las especificaciones pueden venir dadas como requisitos en la res-puesta transitoria (como, por ejemplo, la mxima sobreelongacin y el tiempo de asentamientoen la respuesta a un escaln) y requisitos en el estado estacionario (como, por ejemplo, el erroren estado estacionario frente a una entrada tipo rampa). Las especificaciones de un sistema decontrol se deben dar antes de que comience el proceso de diseo.

Para problemas de diseo rutinarios, las especificaciones de comportamiento (las cuales rela-cionan la precisin, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta) se proporcionan en trmi-nos de valores numricos precisos. En otros casos, se ofrecen una parte en trminos de valoresnumricos precisos y otra parte en trminos de planteamientos cualitativos. En este ltimo caso,puede ser necesario modificar las especificaciones durante el proceso del diseo, ya que es posi-ble que las especificaciones dadas nunca se cumplan (debido a que los requisitos producen con-flictos) o conduzcan a un sistema muy costoso.

Por lo general, las especificaciones de comportamiento no deben ser ms restrictivas de lonecesario para realizar la tarea definida. Si la precisin de una operacin en estado estable es devital importancia para un sistema de control, no se deben pedir especificaciones de compor-tamiento ms restrictivas de lo necesario sobre la respuesta transitoria, ya que tales especifica-


ciones requerirn componentes costosos. Recurdese que la parte ms importante del diseo deun sistema de control es la precisin en el planteamiento de las especificaciones de comporta-miento con el fin de obtener un sistema de control ptimo para el propsito deseado.

Compensacin del sistema. Establecer la ganancia es el primer paso para llevar al sis-tema a un comportamiento satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prcticos, ajustando ni-camente la ganancia tal vez no proporcione la alteracin suficiente en el comportamiento delsistema para cumplir las especificaciones dadas. Como ocurre con frecuencia, incrementar el va-lor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario pero produce una estabilidaddeficiente o, incluso, inestabilidad. En este caso, es necesario volver a disear el sistema (modifi-cando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el com-portamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea. Este nuevo diseo oadicin de un dispositivo apropiado se denomina compensacin. Un elemento insertado en elsistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador modificael comportamiento deficiente del sistema original.

Procedimientos de diseo. En la aproximacin de prueba y error para el diseo de unsistema, se parte de un modelo matemtico del sistema de control y se ajustan los parmetros deun compensador. La parte de este proceso que requiere ms tiempo es la verificacin del com-portamiento del sistema mediante un anlisis, despues de cada ajuste de los parmetros. El dise-ador debe utilizar un programa para computador como MATLAB para evitar gran parte delclculo numrico que se necesita para esta verificacin.

Una vez obtenido un modelo matemtico satisfactorio, el diseador debe construir un prototi-po y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo abierto, eldiseador cierra el lazo y prueba el comportamiento del sistema en lazo cerrado. Debido a losefectos de carga no considerados entre los componentes, la falta de linealidad, los parmetrosdistribuidos, etc., que no se han tenido en cuenta en el diseo original, es probable que el com-portamiento real del prototipo del sistema difiera de las predicciones tericas. Por tanto, tal vezel primer diseo no satisfaga todos los requisitos de comportamiento. Mediante el mtodo deprueba y error, el diseador debe cambiar el prototipo hasta que el sistema cumpla las especifica-ciones. Debe analizar cada prueba e incorporar los resultados de este anlisis en la prueba si-guiente. El diseador debe conseguir que el sistema final cumpla las especificaciones de compor-tamiento y, al mismo tiempo, sea fiable y econmico.

1-5 Contenido del libroEl libro est organizado en 10 captulos. A continuacin se describe brevemente el contenido decada captulo.

El Captulo 1 presenta una introduccin al libro.En el Captulo 2 se aborda el modelado matemtico de sistemas de control descritos median-

te ecuaciones diferenciales lineales. Concretamente, se presentan las funciones de transferencia ylas ecuaciones diferenciales que describen a los sistemas. Tambin se analizan las ecuaciones enel espacio de estados. Se utiliza MATLAB para transformar modelos matemticos descritos me-diante funciones de transferencia al espacio de estados y viceversa. Este libro trata los sistemaslineales en detalle. Si el modelo matemtico de cualquier sistema es no lineal, necesita ser linea-lizado antes de poder aplicar las teoras que se presentan en este libro. En este captulo se incluyeuna tcnica para linealizar modelos matemticos no lineales.


El Captulo 3 aborda el modelado matemtico de sistemas mecnicos y sistemas elctricosque aparecen frecuentemente en los sistemas de control.

El Captulo 4 trata el modelado matemtico de sistemas de fluidos y sistemas trmicos, queson usuales en los sistemas de control. Los sistemas de fluidos incluyen sistemas de nivel delquidos, sistemas neumticos y sistemas hidrulicos. Adems en este captulo se presentan lossistemas trmicos tal como los sistemas de control de temperatura.

El Captulo 5 presenta el anlisis de la respuesta transitoria de la respuesta en estado estacio-nario de los sistemas de control definidos mediante funciones de transferencia. Se proporcionantambin detalles de los anlisis de la respuesta transitoria y de la respuesta en estado estacio-nario con MATLAB. Adems se presenta cmo obtener diagramas tridimensionales conMATLAB. Asimismo, en este captulo se presenta el anlisis de estabilidad basado en el criteriode estabilidad de Routh y se analiza brevemente el criterio de estabilidad de Hurwitz.

El Captulo 6 expone un anlisis del lugar de las races de los sistemas de control. Se trata deun mtodo grfico para determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a partirdel conocimiento de las posiciones de los polos en lazo abierto y de los ceros del sistema en lazocerrado cuando un parmetro (normalmente la ganancia) vara desde cero hasta infinito. Estemtodo fue desarrollado por W. R. Evans en las inmediaciones de 1950. En la actualidadMATLAB permite obtener la grfica del lugar de las races de forma sencilla y rpida. Este cap-tulo presenta tanto la obtencin manual del lugar de las races como la generacin del lugar utili-zando MATLAB. Tambin se aborda en este captulo el diseo de sistemas de control utilizandocompensadores de adelanto, de atraso y de adelanto-atraso.

El Captulo 7 presenta el mtodo de anlisis de la respuesta en frecuencia de los sistemas decontrol. Este es el mtodo ms antiguo de anlisis y diseo de sistemas de control y lo desarrolla-ron durante los aos 1940-1950 Nyquist, Bode, Nichols y Hazen entre otros. Este captulo pre-senta detalles de la respuesta en frecuencia de los sistemas de control utilizando la tcnica decompensadores de adelanto, la tcnica de compensadores de atraso y la de adelanto-atraso. Elmtodo de respuesta en frecuencia era el mtodo de anlisis y diseo comnmente utilizado has-ta que el mtodo en el espacio de estados se convirti en el ms popular. Sin embargo, desde queel mtodo de diseo de control robusto H infinito ha ganado en popularidad, la respuesta en fre-cuencia vuelve a estar de moda.

El Captulo 8 trata los controles PID bsicos y modificados tales como los controladores PIDcon varios grados de libertad. El controlador PID tiene tres parmetros: ganancia proporcional, ga-nancia integral y ganancia derivativa. En los sistemas de control industriales ms de la mitad de loscontroladores empleados son controladores PID. El comportamiento de los controladores PID de-pende de las magnitudes relativas de estos tres parmetros. La determinacin de las magnitudesrelativas de estos tres parmetros se denomina sintona de los controladores PID.

Ziegler y Nichols propusieron las denominadas reglas de sintona de Ziegler-Nichols a co-mienzos de 1942. Desde entonces se han propuesto numerosas reglas de sintona. Hoy en da lafabricacin de controladores PID tiene sus propias reglas de sintona. En este captulo se presentaun procedimiento de optimizacin para computadora utilizando MATLAB para determinar lostres parmetros de forma que se satisfagan las caractersticas de una respuesta transitoria dada.Este procedimiento se puede extender para determinar los tres parmetros de forma que se satis-faga cualquier caracterstica dada.

El Captulo 9 presenta el material bsico para el anlisis de las ecuaciones de estados. Seanalizan completamente los conceptos de controlabilidad y observabilidad, los conceptos msimportantes de la teora de control moderno, debidos a Kalman. En este captulo se deriva lasolucin de las ecuaciones de estado.


El Captulo 10 trata el diseo de sistemas de control en el espacio de estados. Este captulocomienza con problemas de asignacin de polos y los observadores de estados. En la ingenierade control con frecuencia es deseable fijar un ndice de comportamiento y tratar de minimizarlo(o maximizarlo, si es el caso). Si ese ndice de comportamiento seleccionado tiene un significadofsico claro entonces este mtodo es bastante til para determinar la variable de control ptima.Este captulo presenta el problema del control ptimo cuadrtico en el que se utiliza un ndice decomportamiento que es una integral de una funcin cuadrtica de las variables de estado y de lavariable control. La integral se evala desde t% 0 hasta t%. Este captulo finaliza con unabreve discusin sobre los sistemas de control robusto.


Modelado matemticode sistemas de control

2-1 IntroduccinAl estudiar los sistemas de control, el lector debe ser capaz de modelar sistemas dinmicos yanalizar las caractersticas dinmicas. Un modelo matemtico de un sistema dinmico se definecomo un conjunto de ecuaciones que representan la dinmica del sistema con precisin o, almenos, bastante bien. Tngase presente que un modelo matemtico no es nico para un sistemadeterminado. Un sistema puede representarse de muchas formas diferentes, por lo que puede te-ner muchos modelos matemticos, dependiendo de cada perspectiva.

La dinmica de muchos sistemas, ya sean mecnicos, elctricos, trmicos, econmicos, bio-lgicos, etc., se describe en trminos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferencia-les se obtienen a partir de leyes fsicas que gobiernan un sistema determinado como las leyesde Newton para sistemas mecnicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas elctricos. Se debesiempre recordar que obtener un modelo matemtico razonable es la parte ms importante detodo el anlisis.

A lo largo de este libro se supone que el principio de causalidad se aplica a los sistemas quese consideren. Esto significa que la salida actual del sistema (la salida en t% 0) depende de lasentradas pasadas (entradas en ta 0) pero no depende de las entradas futuras (entradas paratb0).

Modelos matemticos. Los modelos matemticos pueden adoptar muchas formas dis-tintas. Dependiendo del sistema del que se trate y de las circunstancias especficas, un modelomatemtico puede ser ms conveniente que otros. Por ejemplo, en problemas de control ptimo,es provechoso usar representaciones en el espacio de estados. En cambio, para los anlisis de la

respuesta transitoria o de la respuesta en frecuencia de sistemas lineales con una entrada yuna salida invariantes en el tiempo, la representacin mediante la funcin de transferencia pue-de ser ms conveniente que cualquier otra. Una vez obtenido un modelo matemtico de unsistema, se usan diversos recursos analticos, as como computadoras para estudiarlo y sinteti-zarlo.

Simplicidad contra precisin. Al obtener un modelo matemtico se debe establecer uncompromiso entre la simplicidad del mismo y la precisin de los resultados del anlisis. Al obte-ner un modelo matemtico razonablemente simplificado, a menudo resulta necesario ignorarciertas propiedades fsicas inherentes al sistema. En particular, si se pretende obtener un mode-lo matemtico de parmetros concentrados lineal (es decir, uno en el que se empleen ecuacio-nes diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas no linealidades y parmetros distribui-dos que pueden estar presentes en el sistema dinmico. Si los efectos que estas propiedadesignoradas tienen sobre la respuesta son pequeos, se obtendr un buen acuerdo entre los resul-tados del anlisis de un modelo matemtico y los resultados del estudio experimental del siste-ma fsico.

En general, cuando se resuelve un problema nuevo, es conveniente desarrollar primero unmodelo simplificado para obtener una idea general de la solucin. A continuacin se desarrollaun modelo matemtico ms completo y se usa para un anlisis con ms pormenores.

Se debe ser consciente de que un modelo de parmetros concentrados lineal, que puede servlido si opera en baja frecuencia, tal vez no sea vlido en frecuencias suficientemente altas,debido a que la propiedad no considerada de los parmetros distribuidos puede convertirse en unfactor importante en el comportamiento dinmico del sistema. Por ejemplo, la masa de un resortepuede pasarse por alto en operaciones en baja frecuencia, pero se convierte en una propiedadimportante del sistema en altas frecuencias. (Para el caso en el que el modelo matemtico tieneen cuenta consideraciones de errores, se puede aplicar la teora de control robusto. La teora decontrol robusto se presenta en el Captulo 10)

Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposi-cin. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicacin simultnea de dosfunciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para elsistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada cada vez y sumandolos resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuacin dife-rencial lineal a partir de soluciones simples.

Si en una investigacin experimental de un sistema dinmico son proporcionales la causa yel efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposicin, el sistema se consideralineal.

Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuacin diferenciales lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones slo de la variable independiente. Lossistemas dinmicos formados por componentes de parmetros concentrados lineales invariantescon el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempode coeficientes constantes. Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes en eltiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecua-ciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas linealesvariantes en el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante en el tiempo es un sistemade control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial cambia debido al consumo decombustible.)


Contenido del captulo. En la Seccin 2-1 se ha presentado una introduccin al modela-do matemtico de sistemas dinmicos. La Seccin 2-2 presenta la funcin de transferencia y larespuesta-impulso. La Seccin 2-3 introduce los sistemas de control automtico y la Seccin 2-4analiza conceptos del modelado en el espacio de estados. La Seccin 2-5 presenta una represen-tacin en el espacio de estados de sistemas dinmicos. La Seccin 2-6 trata la transformacin demodelos matemticos con MATLAB. Por ltimo, la Seccin 2-7 analiza la linealizacin de mo-delos matemticos no lineales.

2-2 Funcin de transferencia y de respuesta-impulsoEn la teora de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar lasrelaciones de entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuacionesdiferenciales lineales invariantes en el tiempo. Se comenzar por definir la funcin de transferen-cia, para proseguir con el clculo de la funcin de transferencia de un sistema de ecuacionesdiferenciales. A continuacin se analiza la funcin de respuesta-impulso.

Funcin de transferencia. La funcin de transferencia de un sistema descrito medianteuna ecuacin diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre latransformada de Laplace de la salida (funcin de respuesta) y la transformada de Laplace dela entrada (funcin de excitacin) bajo la suposicin de que todas las condiciones iniciales soncero.

Considrese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente ecua-cin diferencial:

a0(n)y! a1y

(n.1)!! an.1y5! any% b0

(m)x !

(m.1)b1x !! bm.1x5! bmx (nnm)

donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La funcin de transferencia de este sistema es elcociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entradacuando todas las condiciones iniciales son cero, o

Funcin de transferencia%G(s)% [salida][entrada] Gcondiciones iniciales cero

%Y(s)X(s)%

b0sm! b1s

m.1!! bm.1s! bma0s

n! a1sn.1!! an.1s! an

A partir del concepto de funcin de transferencia, es posible representar la dinmica de unsistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia ms alta de s en el denominador dela funcin de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de orden n-simo.

Comentarios acerca de la funcin de transferencia. La aplicacin del concepto defuncin de transferencia est limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferencialeslineales invariantes en el tiempo; sin embargo, el enfoque de la funcin de transferencia se usaextensamente en el anlisis y diseo de dichos sistemas. A continuacin se presentan algunoscomentarios importantes relacionados con la funcin de transferencia. (Obsrvese que en la lista,los sistemas a los que se hace referencia son aquellos que se describen mediante una ecuacindiferencial lineal e invariante en el tiempo.)

Captulo 2. Modelado matemtico de sistemas de control 15

1. La funcin de transferencia de un sistema es un modelo matemtico porque es un mto-do operacional para expresar la ecuacin diferencial que relaciona la variable de salidacon la variable de entrada.

2. La funcin de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magni-tud y naturaleza de la entrada o funcin de excitacin.

3. La funcin de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entradacon la salida; sin embargo, no proporciona informacin acerca de la estructura fsica delsistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas fsicamente diferentes pue-den ser idnticas.)

4. Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respues-ta para varias formas de entrada, con la intencin de comprender la naturaleza del sis-tema.

5. Si se desconoce la funcin de transferencia de un sistema, puede establecerse experimen-talmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vezestablecida una funcin de transferencia, proporciona una descripcin completa de lascaractersticas dinmicas del sistema, a diferencia de su descripcin fsica.

Integral de convolucin. Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, la funcin detransferencia G(s) es

G(s)%Y(s)X(s)

donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada e Y(s) es la transformada de Laplace de lasalida, y se supone que todas las condiciones iniciales involucradas son cero. De aqu se obtieneque la salida Y(s) se escribe como el producto de G(s) y X(s), o bien

Y(s)%G(s)X(s) (2-1)

Obsrvese que la multiplicacin en el dominio complejo es equivalente a la convolucin en eldominio del tiempo (vase Apndice A), por lo que la transformada inversa de Laplace de laEcuacin (2-1) se obtiene mediante la siguiente integral de convolucin:

y(t)% It

0x(q)g(t. q) dq

% It

0g(q)x(t. q) dq

donde tanto g(t) como x(t) son 0 para ta 0.

Respuesta-impulso. Considrese la salida (respuesta) de un sistema para una entradaimpulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. Como la transformada de Laplace dela funcin impulso unitario es la unidad, la transformada de Laplace de la salida del sistema es

Y(s)%G(s) (2-2)


La transformada inversa de Laplace de la salida obtenida mediante la Ecuacin (2-2) proporcio-na la respuesta-impulso del sistema. La transformada inversa de Laplace de G(s), o bien

.1[G(s)]% g(t)se denomina respuesta-impulso. Esta respuesta g(t) tambin se denomina funcin de ponderacindel sistema.

De este modo, la respuesta-impulso g(t) es la respuesta de un sistema lineal a una entradaimpulso unitario cuando las condiciones iniciales son cero. La transformada de Laplace de estafuncin proporciona la funcin de transferencia. Por tanto, la funcin de transferencia y la res-puesta-impulso de un sistema lineal e invariante en el tiempo contienen la misma informacinsobre la dinmica del sistema. Por lo tanto es posible obtener informacin completa sobre lascaractersticas dinmicas del sistema si se excita el sistema con una entrada impulso y se mide larespuesta. (En la prctica, una entrada pulso con una duracin muy corta comparada con lasconstantes de tiempo significativas del sistema se considera un impulso.)

2-3 Sistemas de control automticosUn sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones de cadacomponente en la ingeniera de control, por lo general se usa una representacin denominadadiagrama de bloques. En esta seccin, en primer lugar, se explica qu es un diagrama de blo-ques. A continuacin se presentan aspectos introductorios a los sistemas de control automtico,que incluyen diversas acciones de control. Despus se expone un mtodo para obtener los dia-gramas de bloques de sistemas fsicos y, por ltimo, se analizan tcnicas para simplificar talesdiagramas.

Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representacingrfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de seales. Tales diagramasmuestran las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una represen-tacin matemtica puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar deforma ms realista el flujo de las seales del sistema real.

En un diagrama de bloques todas las variables del sistema se enlazan unas con otras mediantebloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un smbolo para representarla operacin matemtica que sobre la seal de entrada hace el bloque para producir la salida. Lasfunciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloquescorrespondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la direccin del flujo de seales.Obsrvese que la seal slo puede pasar en la direccin de las flechas. Por tanto, un diagrama debloques de un sistema de control muestra explcitamente una propiedad unilateral.

La Figura 2-1 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que seala elbloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Talesflechas se conocen como seales.

Figura 2-1. Elementos de un diagrama de bloques.


Obsrvese que las dimensiones de la seal de salida del bloque son las dimensiones de laseal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la funcin de transferencia en el bloque.

Las ventajas de la representacin mediante diagramas de bloques de un sistema estriban enque es fcil formar el diagrama de bloques general de todo el sistema con slo conectar los blo-ques de los componentes de acuerdo con el flujo de seales y en que es posible evaluar la contri-bucin de cada componente al desempeo general del sistema.

En general, la operacin funcional del sistema se aprecia con ms facilidad si se examina eldiagrama de bloques que si se revisa el sistema fsico mismo. Un diagrama de bloques contieneinformacin relacionada con el comportamiento dinmico, pero no incluye informacin de laconstruccin fsica del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionadospueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.

Debe sealarse que, en un diagrama de bloques, la principal fuente de energa no se muestraexplcitamente y que el diagrama de bloques de un sistema determinado no es nico. Es posibledibujar varios diagramas de bloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vistadel anlisis.

Punto de suma. Remitindose a la Figura 2-2, un crculo con una cruz es el smbolo queindica una operacin de suma. El signo ms o el signo menos en cada punta de flecha indica si laseal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o resten tengan lasmismas dimensiones y las mismas unidades.

Figura 2-2. Punto de suma.

Punto de ramificacin. Un punto de ramificacin es aquel a partir del cual la seal de unbloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos de suma.

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La Figura 2-3 muestra unejemplo de un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La salida C(s) se realimenta alpunto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza en lazo cerra-do del sistema se indica con claridad en la figura. La salida del bloque, C(s) en este caso, seobtiene multiplicando la funcin de transferencia G(s) por la entrada al bloque, E(s). Cualquiersistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama de bloques formado por pun-tos de suma, bloques y puntos de ramificacin.

Cuando la salida se realimenta al punto de suma para compararse con la entrada, es necesarioconvertir la forma de la seal de salida en la de la seal de entrada. Por ejemplo, en un sistema decontrol de temperatura, por lo general la seal de salida es la temperatura controlada. La seal desalida, que tiene la dimensin de la temperatura, debe convertirse a una fuerza, posicin o voltajeantes de que pueda compararse con la seal de entrada. Esta conversin se consigue mediante elelemento de realimentacin, cuya funcin de transferencia es H(s), como se aprecia en la Figura2-4. La funcin del elemento de realimentacin es modificar la salida antes de compararse con laentrada. (En la mayor parte de los casos, el elemento de realimentacin es un sensor que mide lasalida de la planta. La salida del sensor se compara con la entrada y se genera la seal de error.)En este ejemplo, la seal de realimentacin que retorna al punto de suma para compararse con laentrada es B(s)%H(s)C(s).


Figura 2-3. Diagrama de bloques de unsistema en lazo cerrado.

Figura 2-4. Sistema en lazo cerrado.

Funcin de transferencia en lazo abierto y funcin de transferencia de latrayectoria directa. Remitindose a la Figura 2-4, el cociente de la seal de realimentacinB(s) entre la seal de error E(s) se denomina funcin de transferencia en lazo abierto. Es decir,

Funcin de transferencia en lazo abierto%B(s)E(s)%G(s)H(s)

El cociente entre la salida C(s) y la seal de error E(s) se denomina funcin de transferenciade la trayectoria directa, por lo que,

Funcin de transferencia de la trayectoria directa%C(s)E(s)%G(s)

Si la funcin de transferencia de la trayectoria de realimentacin H(s) es la unidad, la fun-cin de transferencia en lazo abierto y la funcin de transferencia de la trayectoria directa soniguales.

Funcin de transferencia en lazo cerrado. Para el sistema que aparece en la Figura2-4, la salida C(s) y la entrada R(s) se relacionan del modo siguiente:

C(s)%G(s)E(s)E(s)%R(s).B(s)

%R(s).H(s)C(s)Si se elimina E(s) de estas ecuaciones, se obtiene

C(s)%G(s)[R(s).H(s)C(s)]o bien,

C(s)R(s)%

G(s)1!G(s)H(s) (2-3)

La funcin de transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina funcin de transferencia enlazo cerrado. Esta funcin de transferencia relaciona la dinmica del sistema en lazo cerrado conla dinmica de los elementos de las trayectorias directa y de realimentacin.

A partir de la Ecuacin (2-3), C(s) se obtiene mediante

C(s)% G(s)1!G(s)H(s) R(s)


Por tanto, la salida del sistema en lazo cerrado depende claramente tanto de la funcin de transfe-rencia en lazo cerrado como de la naturaleza de la entrada.

Obtencin de funciones de transferencia en cascada, en paralelo y realimenta-das (en lazo cerrado) utilizando MATLAB. En el anlisis de sistemas de control, frecuen-temente se necesita calcular funciones de transferencia en cascada, funciones de transferenciaconectadas en paralelo y funciones de transferencia realimentadas (en lazo cerrado). MATLABtiene funciones adecuadas parea obtener las funciones de transferencia en cascada, paralelo yrealimentada (lazo cerrado).

Supngase que hay dos componentes G1(s) y G2(s) conectadas de diferentes formas como semuestra en la Figura 2-5 (a), (b) y (c), donde

G1(s)%num1den1

, G2(s)%num2den2

Para obtener las funciones de transferencia del sistema en cascada, en paralelo o realimentado(lazo cerrado) se utilizan las siguientes instrucciones:

[num,den]%series(num1,den1,num2,den2)[num,den]%parallel(num1,den1,num2,den2)[num,den]%feedback(num1,den1,num2,den2)

Como ejemplo, se considera el caso en el que

G1(s)%10

s2! 2s! 10%

num1den1

, G2(s)%5

s! 5%num2den2

El Programa 2-1 en MATLAB calcula C(s)/R(s)% num/den para cada situacin de G1(s) y G2(s).Obsrvese que la instruccin

printsys(num,den)muestra el num/den [esto es, la funcin C(s)/R(s)] del sistema considerado.

Figura 2-5. (a) Sistema en cascada; (b) sistema paralelo; (c) sistema realimentado (lazo cerrado).


MATLAB Programa 2-1

num1%[10];den1%[1 2 10];num2%[0 5];den2%[1 5];[num, den]%series(num1,den1,num2,den2);printsys(num,den)

num/den%

50

sp3!7sp2!20s!50

[num, den]%parallel(num1,den1,num2,den2);printsys(num,den)

num/den%

5sp2!20s!100

sp3!7sp2!20s!50

[num, den]%feedback(num1,den1,num2,den2);printsys(num,den)

num/den%

10s!50

sp3!7sp2!20s!100

Controladores automticos. Un controlador automtico compara el valor real de la sa-lida de una planta con la entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviacin y pro-duce una seal de control que reduce la desviacin a cero o a un valor pequeo. La manera en lacual el controlador automtico produce la seal de control se denomina accin de control. LaFigura 2-6 es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste en uncontrolador automtico, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medicin). El controla-dor detecta la seal de error, que por lo general, est en un nivel de potencia muy bajo, y la

Figura 2-6. Diagrama de bloques de un sistema de control industrial, formado por un controladorautomtico, un actuador, una planta y un sensor (elemento de medicin).


amplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida de un controlador automtico se alimentaa un actuador, como un motor o una vlvula neumticos, un motor hidrulico o un motor elctri-co. (El actuador es un dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdocon la seal de control, a fin de que la seal de salida se aproxime a la seal de entrada dereferencia.)

El sensor, o elemento de medicin, es un dispositivo que convierte la variable de salida enotra variable manejable, como un desplazamiento, una presin o un voltaje, que pueda usarsepara comparar la salida con la seal de entrada de referencia. Este elemento est en la trayectoriade realimentacin del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del controlador debe convertir-se en una entrada de referencia con las mismas unidades que la seal de realimentacin del sen-sor o del elemento de medicin.

Clasificacin de los controladores industriales. Los controladores industriales seclasifican, de acuerdo con sus acciones de control, como:

1. De dos posiciones o controladores on-off2. Controladores proporcionales3. Controladores integrales4. Controladores proporcionales-integrales5. Controladores proporcionales-derivativos6. Controladores proporcionales-integrales-derivativos

La mayora de los controladores industriales emplean como fuente de energa la electricidado un fluido presurizado, como el aceite o el aire. Los controladores tambin pueden clasificarse,segn el tipo de energa que utilizan en su operacin, como neumticos, hidrulicos o electrni-cos. El tipo de controlador que se use debe decidirse basndose en la naturaleza de la planta y lascondiciones de operacin, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibili-dad, fiabilidad, precisin, peso y tamao.

Accin de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off). En unsistema de control de dos posiciones, el elemento de actuacin slo tiene dos posiciones fijas,que, en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control de dos posiciones o deencendido y apagado es relativamente simple y barato, razn por la cual su uso es extendido ensistemas de control tanto industriales como domsticos.

Supngase que la seal de salida del controlador es u(t) y que la seal de error es e(t). En elcontrol de dos posiciones, la seal u(t) permanece en un valor ya sea mximo o mnimo, depen-diendo de si la seal de error es positiva o negativa. De este modo,

u(t)%U1, para e(t) b 0%U2, para e(t)a 0

donde U1 y U2 son constantes. Por lo general, el valor mnimo de U2 es cero o .U1. Es comnque los controladores de dos posiciones sean dispositivos elctricos, en cuyo caso se usa extensa-mente una vlvula elctrica operada por solenoides. Los controladores neumticos proporciona-les con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos posiciones y, en ocasiones, sedenominan controladores neumticos de dos posiciones.

Las Figuras 2-7(a) y (b) muestran los diagramas de bloques para dos controladores de dosposiciones. El rango en el que debe moverse la seal de error antes de que ocurra la conmuta-


Figura 2-7. (a) Diagrama de bloques de un controlador on-off;(b) diagrama de bloques de un controlador con salto diferencial.

cin se denomina brecha diferencial. En la Figura 2-7(b) se seala una brecha diferencial. Talbrecha hace que la salida del controlador u(t) conserve su valor presente hasta que la seal deerror se haya desplazado ligeramente ms all de cero. En algunos casos, la brecha diferencial esel resultado de una friccin no intencionada y de un movimiento perdido; sin embargo, con fre-cuencia se provoca de manera intencional para evitar una operacin demasiado frecuente del me-canismo de encendido y apagado.

Considrese el sistema de control de nivel de lquido de la Figura 2-8(a), donde se utiliza lavlvula electromagntica de la Figura 2-8(b) para controlar el flujo de entrada. Esta vlvula estabierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del agua es una constan-te positiva o cero. Como se aprecia en la Figura 2-9, la seal de salida se mueve continuamenteentre los dos lmites requeridos y provoca que el elemento de actuacin se mueva de una posi-cin fija a la otra. Obsrvese que la curva de salida sigue una de las dos curvas exponencia-

Figura 2-8. (a) Sistema de control de nivel de lquidos; (b) vlvula electromagntica.

Figura 2-9. Curva de nivel h(t) frente a t para el sistema mostrado en la Figura 2-8(a).


les, una de las cuales corresponde a la curva de llenado y la otra a la curva de vaciado. Taloscilacin de salida entre dos lmites es una respuesta comn caracterstica de un sistema bajo uncontrol de dos posiciones.

En la Figura 2-9 se observa que, para reducir la amplitud de la oscilacin de salida, debedisminuirse la brecha diferencial. Sin embargo, la reduccin de la brecha diferencial aumenta lacantidad de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la vida til del compo-nente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de consideraciones talescomo la precisin requerida y la vida del componente.

Accin de control proporcional. Para un controlador con accin de control proporcio-nal, la relacin entre la salida del controlador u(t) y la seal de error e(t) es:

u(t)%Kpe(t)

o bien, en cantidades transformadas por el mtodo de Laplace,

U(s)E(s)%Kp

donde Kp se considera la ganancia proporcional.Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operacin, el controlador

proporcional es, en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable.

Accin de control integral. En un controlador con accin de control integral, el valorde la salida del controlador u(t) se cambia a una razn proporcional a la seal de error e(t).Es decir,

du(t)dt

%Kie(t)

o bien

u(t)%Ki It

0e(t) dt

donde Ki es una constante ajustable. La funcin de transferencia del controlador integral es

U(s)E(s)%

Kis

Accin de control proporcional-integral. La accin de control de un controlador pro-porcional-integral (PI) se define mediante

u(t)%Kpe(t)!KpTi I

t

0e(t) dt


o la funcin de transferencia del controlador es

U(s)E(s)%KpA1!

1Ti sB

donde Ti se denomina tiempo integral.

Accin de control proporcional-derivativa. La accin de control de un controladorproporcional-derivativa (PD) se define mediante

u(t)%Kpe(t)!KpTdde(t)dt

y la funcin de transferencia es

U(s)E(s)%Kp(1!Tds)

donde Td es el tiempo derivativo.

Accin de control proporcional-integral-derivativa. La combinacin de la accinde control proporcional, la accin de control integral y la accin de control derivativa se denomi-na accin de control proporcional-integral-derivativa. Esta accin combinada tiene las ventajasde cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuacin de un controlador con estaaccin combinada est dada por

u(t)%Kpe(t)!KpTi I

t

0e(t) dt!KpTd

de(t)dt

o la funcin de transferencia es

U(s)E(s)%KpA1!

1Ti s

! TdsBdonde Kp es la ganancia proporcional, Ti es el tiempo integral y Td es el tiempo derivativo.El diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-de

ingenieria de control moderna - ogata 5ed

Engineering