notas de ingenieria de control

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE SAN LUISPOTOS

FACULTAD DE INGENIERA

Notas de curso

INGENIERA DE CONTROL I

Profr. Mauro Eduardo Maya Mndez

enero de 2010

ndice general

1. Introduccin a los Sistemas de Control 1

1.1. Definicin de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Sistema de control: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Clasificacin de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1. Sistema de control de lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2. Sistema de control de lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Funciones de transferencia de sistemas fsicos 7

2.1. Introduccin a la representacin de sistemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Sistemas mecnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Movimiento de translacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2. Movimiento de rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Sistemas elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Sistemas electromecnicos (motores y generadores) . . . . . . . . . . . . . . 142.5. Sistemas trmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6. Sistemas electrnicos con amplificadores operacionales . . . . . . . . . . . . 142.7. Funciones de transferencia de sistemas de control y diagrama de bloques . . 14

2.7.1. Funcin de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7.2. Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8. Grficas de flujo de seal y la regla de la ganancia de Mason . . . . . . . . 20

3. Ejecucin de los sistemas con retroalimentacin 21

3.1. Efectos de la retroalimentacin en la sensibilidad y robustez . . . . . . . . . 213.2. Error de estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1. sistemas con retroalimentacin unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2. Error en estado estable para entrada rampa . . . . . . . . . . . . . . 233.2.3. Error en estado estable para entrada funcin parbola . . . . . . . . 23

3.3. Caracterstica de la respuesta transitoria y estabilidad de sistemas . . . . . 233.3.1. Respuesta al escaln unitario y especificaciones en el dominio del tiempo 23

ii ndice

A. Tablas de la transformada de Laplace 31

Captulo 1

Introduccin a los Sistemas deControl

1.1. Definicin de los sistemas de control

1.1.1. Introduccin

El control automtico ha desempeado una funcin vital en el avance de la ingenieray la ciencia. Adems de su extrema importancia en los sistemas aeroespaciales, de nave-gacin autnoma, robticos, etc, el control automtico se ha vuelto una parte importantee integral de los procesos modernos industriales y de manufactura. Por ejemplo, el controlautomtico es esencial en el control numrico de las mquinas-herramienta de las industriasde manufactura, en el diseo de sistemas de pilotos automticos en la industria aeroespacialy en el diseo de automviles y camiones en la industria automotriz. Tambin es esencial enlas operaciones industriales como el control de presin, temperatura, humedad, viscosidady fluso en las industrias de proceso.

Debido a que la teora y la prctica del control automtico aportan los medios paraobtener un desempeo ptimo de los sistemas dinmicos, mejorar la productividad, alig-erar la carga de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias as como de otrasactividades, casi todos lo ingenieros y cientficos deben tener un buen conocimiento de estecampo. El control automtico se basa en la modelizacin y el estudio de los sistemas y msparticularmente de los sistemas de control, los cuales definiremos enseguida.

Teora General de los Sistemas El enfoque de sistemas facilita la unificacin de mu-chos campos del conocimiento. El primer expositor de la Teora General de los Sistemasfue Ludwing von Bertalanffy, en el intento de lograr una metodologa integradora para eltratamiento de problemas cientficos. La meta de la Teora General de los Sistemas no esbuscar analogas entre las ciencias, sino tratar de evitar la superficialidad cientfica que haestancado a las ciencias. Para ello emplea como instrumento, modelos utilizables y trans-

2 Introduccin a los Sistemas de Control Chap. 1

Salida

Variablecontrolada

Proceso

produzca lasalida requerida

ReferenciaElemento de

ControlElemento de

Correccion

Controlador

Entrada

que se espera

Figura 1.1: Sistema de control en lazo abierto

feribles entre varios continentes cientficos ya que dicha extrapolacin es posible e integrablea las respectivas disciplinas.

Sistema: Conjunto de partes o elementos organizadas y relacionadas que interactanentre s para lograr un objetivo. Los sistemas reciben (entrada) datos, energa o materiadel ambiente y proveen (salida) informacin, energa o materia.

Es un conjunto organizado de cosas o partes interactuantes e interdependientes, quese relacionan formando un todo unitario y complejo. Podemos enumerarlas en: entradas,procesos y salidas. Un sistema puede ser fsico o concreto (una computadora, un televisor,un humano) o puede ser abstracto o conceptual (un fenmeno econmico, un software).

1.1.2. Sistema de control:

Sistema que est constituido por un conjunto de componentes que regulan el com-portamiento de otro sistema (o de s mismos) para lograr un objetivo. Cualquier sistema(organizaciones, seres vivos o mquinas) puede tener sistemas de control.

Un sistema de control est definido como un conjunto de componentes que puedenregular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamientopredeterminado.

Un sistema de control estudia la conducta del sistema con el fin de regularla de unmodo conveniente para su supervivencia. Una de sus caractersticas es que sus elementosdeben ser lo suficientemente sensitivas y rpidas como para satisfacer los requisitos paracada funcin del control. Un sistema de control puede ser neumtico, elctrico, mecnicoo de cualquier tipo.

1.2. Clasificacin de los sistemas de control

1.2.1. Sistema de control de lazo abierto.

Es aquel sistema en que la seal de control es independiente de la seal de salida (verfigura 1.1). En un sistema de control en lazo abierto, la entrada se elige con base en laexperiencia que se tiene con dichos sistemas para producir el valor de salida requerido.

1.2. Clasificacin de los sistemas de control 3

temperatura

Salida

Electrico

Calefactor

Senal de

requeridatemperatura

Entrada

Figura 1.2: Ejemplo de un sistema de control en lazo abierto

Por ejemplo el calefactor elctrico de la figura 1.2 puede tener un selector que permiteelegir una disipacin en el elemento calefactor de 1kW o 2kW. De este modo, la entrada alsistema est determinada por la posicin del selector ya sea en 1kW o 2kW. La temperaturaproducida en la habitacin acondicionada por el calefactor est determinada nicamentepor la posicin de disipacin elegida. Si se presentan cambios en las condiciones de operacin(perturbaciones), quiz alguien que abre una ventana, la temperatura cambiar debido aque no hay modo de que el calor de salida se ajuste para compensar dicha condicin.Otrosejemplos de sistemas de control en lazo abierto son: lavadoras, hornos de microondas,...(los sistemas de control que operan mediante medios de temporizacin preestablecidos sonsistemas de lazo abierto).

Elementos de un sistema de control en lazo abierto

1. Objetivos de control o valores de referencia. Son las seales que se espera que produzcala salida del sistema.

2. Controlador. Es el elemento que determina la accin (seal de control) que se vaa tomar dado un objetivo de control. Del punto de vista ingeniero de control estetrmino designa exclusivamente al algoritmo que calcula la seal de control basadoen la seal de entrada (referencia u objetivo). En el ambiente industrial, sin embargo,frecuentemente se utiliza este trmino para referirse al conjunto de elementos fsicosy algoritmo al cual se inyectan las seales de referencia y la medicin de la salida delsistema y proporciona a la salida la seal de control.

3. Seal de control o variables de entrada de la Planta. Es la seal generada por elcontrolador.

4. Planta. Es el modelo matemtico asociado al conjunto de elementos, operaciones oprocesos fsicos que queremos automatizar.

5. Salida o variables controladas. Son las caractersticas o condiciones particulares delproceso o planta que nos interesa controlar. Corresponde al ingeniero en automa-tizacin definir dichas variables de inters entre todas las variables del proceso oplanta.

Caractersticas

4 Introduccin a los Sistemas de Control Chap. 1

+Salida

Variablecontrolada

Elemento deControl

Elemento de

Correccion

Controlador

EntradaProceso

Referenciasenal deerror

Elemento de

Medicion

Figura 1.3: Sistema de control en lazo cerrado

Sencillos, de fcil concepto y bajo costo

Nada asegura su estabilidad ante una perturbacin 1

La salida no se compara con la entrada

Afectado por las perturbaciones

La precisin (diferencia entre la salida y el valor deseado) de la salida depende de laprevia calibracin (conocimiento del modelo) del sistema

1.2.2. Sistema de control de lazo cerrado.

Son los sistemas en los que la accin de control es funcin de la seal de salida(ver figura1.3). Con un sistema de control en lazo cerrado se tiene una seal de retroalimentacin dela salida, la cual se compara contra el objetivo de control o referencia. Esta comparacinpermite determinar una seal de error (Seal de error = valor de referencia - salida delsistema) que se utiliza para calcular una accin de control que acerque el valor se salid delsistema al objetivo deseado (regulacin). El sistema de calefaccin con el calefactor elctrico(utilizado para ilustrar el sistema de control en lazo abierto) puede ser transformado en unsistema en lazo cerrado si por ejemplo alguien con un termmetro monitorea la temperaturaen la habitacin y enciende o apaga los elementos calefactores de 1kW o 2kW para mantenerla temperatura de la habitacin constante.

Elementos de un sistema de control en lazo cerrado

1. Objetivos de control o valores de referencia. Son las seales que se espera que produzcala salida del sistema.

1Entendemos por perturbacin toda influencia externa o interna que provoca una desviacin del com-

portamiento normal o ideal de los componentes del sistema.

1.2. Clasificacin de los sistemas de control 5

2. Elemento de comparacin. Este elemento compara el valor de referencia con el valormedido de la seal de salida del sistema y entrega una seal de error que es igual ala diferencia entre sos valores.

3. Controlador. Es el elemento que determina la accin (seal de control) que se va atomar dada una seal de error. Del punto de vista ingeniero de control este trminodesigna exclusivamente al algoritmo que calcula la seal de control basado en la sealde error de entrada. En el ambiente industrial, sin embargo, frecuentemente se utilizaeste trmino para referirse al conjunto de elementos fsicos y algoritmo al cual seinyectan las seales de referencia y la medicin de la salida del sistema y proporcionaa la salida la seal de control.

4. Seal de control o variables de entrada de la Planta. Es la seal generada por elcontrolador.

5. Planta. Es el modelo matemtico asociado al conjunto de elementos, operaciones oprocesos fsicos que queremos automatizar.

6. Salida o variables controladas. Son las caractersticas o condiciones particulares delproceso o planta que nos interesa controlar. Corresponde al ingeniero en automa-tizacin definir dichas variables de inters entre todas las variables del proceso oplanta.

Caractersticas

Son sistemas ms complejos que los de lazo abierto y con mayor costo pero permitenmayor precisin en la realizacin de un objetivo de control.

La referencia se compara con la salida y la diferencia se utiliza para regular el sistema(retroalimentacin)

La salida de este tipo de sistemas es ms estable ante perturbaciones que la salidade los sistemas en lazo abierto

Captulo 2

Funciones de transferencia desistemas fsicos

2.1. Introduccin a la representacin de sistemas fsicos

Para poder automatizar un proceso o sistema primeramente requerimos comprender sufuncionamiento para eventualmente afectarlo y generar el comportamiento deseado. Unaforma metodolgica de llegar a esta comprensin del proceso a controlar consiste en elaborarun modelo sinttico que lo represente. La idea de este modelo es separar la esencia (dinmi-ca) del proceso o sistema de su representacin fsica para despus analizar sus propiedadesy disear un control adecuado que lo automatice. En la ingeniera de control se utilizan losmodelos matemticos para representar un proceso o sistema fsico. Un modelo matemti-co de un sistema dinmico se define como un conjunto de ecuaciones que representan ladinmica del sistema con precisin o al menos bastante bien. El modelo consiste entonces enlas ecuaciones que relacionan diferentes variables que intervienen en el proceso. Las basesde cualquier modelo matemtico provienen de las leyes fsicas fundamentales que gobiernanel comportamiento de los elementos del proceso fsico. El modelo matemtico con el quese puede representar un proceso no es nico y tampoco lo es la metodologa para llegara l. Los modelos matemticos pueden adoptar muchas formas distintas. Dependiendo delsistema del que se trate y de sus caractersticas especficas, un modelo matemtico puedeser ms conveniente que otros. La eleccin del modelo y de la metodologa para llegar a lest basada en los conocimientos y la experiencia del ingeniero de control as como en elsistema mismo. Una vez obtenido un modelo matemtico de un sistema, se utilizan diver-sos recursos analticos para estudiarlo y sintetizarlo. Es posible mejorar la precisin de unmodelo matemtico si se aumenta su complejidad. En algunos casos se utilizan cientos deecuaciones para describir un sistema completo. Sin embargo, en la obtencin de un modelomatemtico debemos establecer un equilibrio entre la simplicidad del mismo y la precisinde los resultados del anlisis.

La dinmica de muchos sistemas ya sean mecnicos, elctricos, trmicos, econmicos,

8 Funciones de transferencia de sistemas fsicos Chap. 2

biolgicos, etc., se describe en trminos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones difer-enciales se obtienen a partir de leyes fsicas que gobiernan los componentes de cada elementodel sistema, como las leyes de Newton para elementos mecnicos y las leyes de Kirchoffpara circuitos elctricos.

A continuacin ilustraremos la obtencin de modelos matemticos de sistemas dinmi-cos diversos, con base en las ecuaciones diferenciales asociadas a dichos sistemas. Comence-mos por los modelos matemticos de sistemas bsicos.

2.2. Sistemas mecnicos

2.2.1. Movimiento de translacin

Las formas bsicas de bloques funcionales de sistemas mecnicos de translacin sonresortes, las masas y la friccin (friccin viscosa amortiguador, friccin esttica y friccinde Coulomb friccin dinmica). Se puede considerar que todos estos bloques funcionalestienen una fuerza como entrada y un desplazamiento como salida. Sin embargo, recordemosque la determinacin de entradas y salidas es arbitraria.

1. La rigidez de un resorte se describe mediante la relacin entre la fuerza F emplea-da para estirar o comprimir un resorte y la deformacin resultante x, ya sea deestiramiento o compresin (ver la figura 2.1(a)). En el caso de un resorte donde elestiramiento o compresin es proporcional a las fuerzas aplicadas, es decir, un resortelineal

F = kx (2.1)

donde k es una constante. Cuanto mayor sea el valor de k, mayor ser la fuerzapara estirar o comprimir al resorte y as la rigidez ser mayor. En este caso podemosapreciar que la salida es proporcional a la entrada.

2. El bloque funcional de la masa (figura 2.1(b) tiene la propiedad de que a mayor masa,mayor es la fuerza requerida para producir una aceleracin determinada. La relacinentre la fuerza F y la aceleracin a es (segunda ley de Newton)

F = ma

donde m es la masa. Como la aceleracin es la razn de cambio de la velocidad conrespecto al tiempo (es decir a = dv/dt) y la velocidad es la razn de cambio deldesplazamiento con respecto al tiempo (v = dx/dt) tenemos

F = mdv

dt= m

d(dx/dt)dt

= md2x

dt2(2.2)

Esta ltima ecuacin nos determina la relacin que existe entre la salida y la entradaespecificadas para el sistema.

2.2. Sistemas mecnicos 9

Entrada, F Salida, x

Resorte

Fuerza F

Cambio en longitudx

(a) El resorte

Fuerza F Aceleracion

x

Desplazamiento

Masa


Masa

(b) La masa


Amortiguador

Resistencia

FluidoFuerza F

x

Cambio en posicion

(c) El amortiguador

Figura 2.1: Bloques funcionales mecnicos de movimiento translacional


3. Friccin.

a) Friccin viscosa. El bloque funcional del amortiguador representa el tipo defuerzas que se experimentan cuando se intenta empujar un objeto en contra defuerzas de friccin. Mientras ms rpido se empuje el objeto, mayor ser la fuerzade oposicin. El amortiguador que se emplea para representar grficamente estasfuerzas de amortiguamiento que hacen ms lento el movimiento de un objetoconsta de un pistn que se mueve dentro de un cilindro cerrado (ver la figura2.1(c)). El movimiento del pistn requiere que el fluido pase de un lado a otrode ste. El flujo produce una fuerza resistiva. En el caso ideal, la fuerza resistivao de amortiguamiento F es proporcional a la velocidad v del pistn. As

F = cv

donde c es una constante y v la velocidad del pistn. Cuanto mayor sea el valorde c, mayor es la fuerza de amortiguamiento para una velocidad dada. Puestoque la velocidad es la razn de cambio del desplazamiento x del pistn conrespecto al tiempo, es decir, v = dx/dt, entonces

F = cdx

dt(2.3)

As, la relacin entre la fuerza F (entrada) y el desplazamiento x (salida) de-pende de la razn de cambio de este ltimo.

b) Friccin esttica. La friccin esttica representa una fuerza que tiende a pre-venir el movimiento desde el comienzo. La fuerza de friccin esttica se puederepresentar mediante la siguiente expresin:

F = (Fs)|x=0dx

dt(2.4)

la cual est definida como la fuerza de friccin que existe slo cuando el cuerpoest esttico pero tiene tendencia a moverse. El signo de la friccin depende dela direccin del movimiento o de la direccin inicial de la velocidad. Una vez queel movimiento comienza, la fuerza de friccin esttica desaparece y otras fuerzasde friccin toman su lugar.

c) Friccin de Coulomb (friccin dinmica). La friccin de Coulomb es una fuerzaque tiene una amplitud constante con respecto al cambio de velocidad, pero elsigno de la fuerza de friccin cambia al invertir la direccin de la velocidad. Estafriccin est dada por

F = F0dx/dt

|dx/dt|(2.5)

en donde F0 es el coeficiente de la friccin de Coulomb.

2.3. Sistemas elctricos 11

Los tres tipo de friccin citados aqu son meros modelos prcticos de fenmenos defriccin que se encuentran en sistemas fsicos. stos no son exhaustivos ni garanti-zan ser exactos. En situaciones especiales se tienen que emplear otros modelos pararepresentar adecuadamente el fenmeno real. Uno de estos ejemplos es la friccin derodado en seco que se utiliza para modelar la friccin en baleros de alta presin quese emplean en sistemas de naves espaciales.

2.2.2. Movimiento de rotacin

El movimiento de rotacin de un cuerpo se puede definir como el movimiento alrededorde un eje fijo. La extensin de la ley de Newton para el movimiento de rotacin estableceque la suma algebraica de los momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al productode la inercia por la aceleracin angular alrededor del eje, o

fuerzas = J

donde J denota la inercia y es la aceleracin angular. Las otras variables que se usangeneralmente para describir el movimiento de rotacin son el par T , la velocidad angular y el desplazamiento angular .

1. Inercia. La inercia, J , es la propiedad de un elemento de almacenar energa cinticadel movimiento de rotacin. La inercia de un elemento dado depende de la composi-cin geomtica alrededor del eje de rotacin y de su densidad. Por ejemplo la inerciade un disco circular o eje alrededor de su eje geomtrico est dado por:

J =12mr2 (2.6)

Cuando un par es aplicado a un cuerpo con inercia J , la ecuacin del par se escribecomo:

T (t) = J = Jd(t)dt

d2(t)dt2

(2.7)

2. Resorte torsional. Similar al resorte de desplazamiento de translacin, el resortetorsional est parametrizado por una constante del resorte torsional K, conunidades de par por unidad de desplazamiento angular y se puede representar por laecuacin:

T (t) = K(t) (2.8)

Si el resorte torsional est precargado por un par TP , la ecuacin (2.8) se modificaa:

T (t) TP = K(t) (2.9)

3. Freiccin para movimiento de rotacin


VVoltaje

Salida, qEntrada, V

Capacitancia

i Corriente

(a) El capacitor

Entrada, V

ResistenciaSalida, q

V

Voltaje

i Corriente (flujo de carga)

(b) El resistor

VVoltaje

i Corriente

Salida, q

InductanciaEntrada, V

(c) El inductor

Figura 2.2: Bloques funcionales elctricos

2.3. Sistemas elctricos 13

2.3. Sistemas elctricos

Las formas bsicas de bloques funcionales de sistemas elctricos pasivos son inductores,capacitores y resistores. Para obtener un modelo de cada uno de estos bloques vamos adefinir como entrada el voltaje V aplicado al elemento y como salida la carga q que circulao se almacena en ellos.

Un capacitor es un dispositivo que consta de dos placas paralelas que le permitenalmacenar carga elctrica. La diferencia de potencial o voltaje a travs de ste depende dela carga q, entre las placas del capacitor en el instante considerado es decir

V =q

C(2.10)

donde C es el valor de la propiedad de capacitancia de este elemento. La ecuacin 2.10pone en evidencia la relacin proporcional entre la entrada y la salida de este elemento.

Un resistor es un elemento elctrico que disipa energa en forma de calor. Para esteelemento, el voltaje V presente en sus terminales depende de la corriente i que circula atravs de l, es decir

V = Ri

donde R es el valor de la propiedad de resistencia asociada al resistor. Por definicin lacorriente elctrica i es la razn de cambio de la carga q con respecto al tiempo, es decir

i =dq

dt

igualando i a partir de las dos ecuaciones nos da

V = Rdq

dt(2.11)

que es la relacin buscada entre la variable de entrada y la de salida.Para un inductor, el voltaje V en sus terminales en cualquier instante depende de la

razn de cambio de la corriente que fluye por l con respecto al tiempo, es decir

V = Ldi

dt

donde L es el valor de la propiedad de inductancia asociada al inductor. Utilizando ladefinicin de corriente tenemos

V = Ld2q

dt2(2.12)

Comparando las ecuaciones 2.1 vs 2.10, 2.3 vs 2.11 y 2.2 vs 2.12 notamos inmediata-mente que son de naturaleza muy semejante. Esto es una ilustracin de cmo sistemasy fenmenos fsicamente diferentes tienen la misma naturaleza y por lo tanto pueden serestudiados y controlados con las mismas tcnicas.

Los modelos de sistemas ms complejos sern obtenidos durante las clases. Lametodologa (ecuaciones fundamentales de los fenmenos asociados) y objetivo (obten-cin de ecuaciones que determinen la relacin entre la entrada y la salida del sistema) sonlos mismos que acabamos de ilustrar, slo la disposicin y el nmero de elementos queconforman estos sistemas varan.


2.4. Sistemas electromecnicos (motores y generadores)

El motor de cd es bsicamente un transductor de par que convierte energa elctricaen energa mecnica. El par del eje del motor es directamente proporcional al flujo en elcampo y a la corriente en la armadura

Tm = Kmia (2.13)

donde Tm es el par del motor (N-m, lb-pie), es el flujo magntico (Wb), ia es la corriente dearmadura (A) y Km es la constante de proporcionalidad. Adems del par desarrollado porel motor, cuando los conductores de la armadura se mueven dentro del campo magntico,se genera un voltaje en sus terminales. Este voltaje, llamado fuerza contraelectromotriz, esproporcional a la velocidad del eje y tiende a oponerse al flujo de la corriente.

eb = Kmm (2.14)

donde eb denota la fuerza contraelectromotriz (V), y m es la velocidad del eje del motor(rad/s). Las ecuaciones (2.13) y (2.14) forman la base de la operacin del motor de cd. Ungenerador de cd es fsicamente idntico a un motor de cd, la diferencia es que el generadorrecibe un par mecnico como entrada y genera electricidad como salida, es decir, es untransductor de energa mecnica en energa elctrica.

2.5. Sistemas trmicos

2.6. Sistemas electrnicos con amplificadores operacionales

2.7. Funciones de transferencia de sistemas de control y di-agrama de bloques

Las funciones de transferencia y los diagrama de bloques son herramientas de modeladode sistemas. Ellas permiten la obtencin de modelos de sistemas de una forma ms intuitivay de manipulacin ms sencilla que las solas representaciones por ecuaciones diferenciales.Estas representaciones se basan en la transformada de Laplace. La transformada de Laplacees un mtodo que transforma una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica ms fcilde resolver, de all que la manipulacin de funciones de transferencia y diagrama de bloquessea ms sencilla que las ecuaciones diferenciales. El estudio de la transformada de Laplacesale de los objetivos del este estudio, por ello slo nos limitaremos a aplicar las equivalenciasconocidas entre ecuaciones diferenciales y su transformada de Laplace (ver tabla adjunta).

2.7.1. Funcin de transferencia.

La funcin de transferencia G(s) de un sistema lineal que describe un comportamientodinmico se define como el cociente de la transformada de Laplace de la variable de salida

2.7. Funciones de transferencia de sistemas de control y diagrama de bloques 15

entre la transformada de Laplace de la variable de entrada.Ejemplos:

1. Un sistema masa-resorte-amortiguador con una fuerza F como entrada y un desplaza-miento x como salida (ver ejemplo realizado en clase) tiene el siguiente modelo

md2

dt2+ c

dx

dt+ kx = F (2.15)

donde m es la masa, k la constante del resorte y c la constante del amortiguador.Encontrar la funcin de transferencia G(s) correspondiente.

Respuesta:

Al realizar la transformada de Laplace de cada trmino de la ecuacin diferencial contodas las condiciones iniciales igual a cero se obtiene

ms2X(s) + csX(s) + kX(s) = F (s)

Por lo tanto

G(s) =X(s)F (s)

=1

ms2 + cs+ k(2.16)

2. Un sistema hidrulico compuesto por un contenedor de lquido, un flujo de entraday una vlvula de salida tiene el siguiente modelo (para ms detalles ver (?)[eq. 51,cap.2])

q1 = Adh

dt+gh

R

donde q1 es el flujo de entrada, A es el rea de seccin transversal del contenedor, R esla resistencia hidrulica de la vlvula de salida y h es la altura del lquido almacenado.Encontrar la funcin de transferencia G(s) de este sistema.

Respuesta:

Al realizar la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial con todas las condi-ciones iniciales igual a cero se obtiene

AsH(s) + (g/R)H(s) = Q1(s)

de donde

G(s) =H(s)Q1(s)

=1

As+ (g/R)H(s)(2.17)

3. Un circuito elctrico resistor-capacitor-inductor ((?)[eq. 26 cap. 2]), con v como en-trada y vc como salida tiene el siguiente modelo

v = RCdvcdt

+ LCd2vcdt2

+ vc


+

Funcion de

Transferencia

separacionPunto desuma

Punto

Bloque

S(s)E(s)

Figura 2.3: Elementos de un diagrama de bloques

donde v es el voltaje aplicado al circuito, vc es el voltaje en las terminales del capacitor,R es el valor de la resistencia, C es el valor de la capacitancia y L es el valor de lainductancia. Encontrar la funcin de transferencia G(s) de este sistema. Respuesta:

Al realizar la transformada de Laplace de la ecuacin diferencial con todas las condi-ciones iniciales igual a cero se obtiene

RCsVc(s) + LCs2Vc(s) = V (s)

de donde

G(s) =Vc(s)V (s)

=1

LCs2 +RCs+ 1(2.18)

Para otros ejemplos e informacin complementaria ver (?)[cap.5].

2.7.2. Diagrama de bloques

Establecer modelos para sistemas complicados es el resultado de enlazar algunos sub-sistemas o elementos, cada uno de los cuales tiene su propia funcin de transferencia. Losdiagramas de bloques se pueden usar para representar cada uno de estos subsistemas y,una vez enlazados estos subsistemas, el sistema como un todo. Enseguida veremos cmose determina la respuesta global del sistema a partir del conocimiento de la funcin detransferencia individual de cada bloque.

La figura 2.3 muestra los elementos bsicos de un diagrama de bloques. Las flechas seusan para representar las direcciones de flujo de la seal. Cuando las seales son funcionesdel tiempo se representan con letras minsculas seguidas por (t), por ejemplo e(t), aunquecon frecuencia (t) se omite cuando es obvio que las seales son funciones del tiempo.Cuando las seales estn en el dominio de s se representan con letras maysculas seguidaspor (s), por ejemplo E(s). En la figura E(s) y S(s) representan respectivamente la sealde entrada y la seal de salida del sistema, expresadas en el dominio de s. Un punto sumaes aquel en el que las seales se suman algebraicamente, respetando el signo de las seales.Es decir, si una seal es positiva y la otra negativa en realidad el resultado es una restaentre las dos seales. Si ambas seales son positivas el resultado es la adicin de estas.Cuando de algn punto de la trayectoria de la seal se hace una derivacin de la misma, elpunto de separacin se representa de la misma forma que en un circuito elctrico, es decir,


+

Trayectoria de realimentacion

Trayectoria directa

G1(s) G2(s)

H(s)

(a) Trayectoria directa y de realimentacin

+

+

Trayectoria de prealimentacion

Trayectoria directa

G1(s)

G2(s)

(b) Trayectoria directa y de prealimentacin

Figura 2.4: Trayectoria de la seal

simplemente como la unin de dos lneas perpendiculares. En general el bloque se dibujacon la funcin de transferencia escrita dentro de l.

El trmino trayectoria directa se usa para los elementos a travs de los cuales pasa laseal en la direccin entrada-salida a lo largo del sistema (ver figura 2.4). Las funciones detransferencia para los elementos de esa trayectoria directa en general se designan medianteG o G(s). El trmino trayectoria de realimentacin se usa para los elementos por los cualespasa la seal cuando se alimenta de regreso desde la salida hacia la entrada (figura 2.4(a)).Las funciones de transferencia para los elementos en esta trayectoria de realimentacin porlo comn se designan por H o H(s). El trmino trayectoria de prealimentacin (tambinconocida como de anteroalimentacin) se usa para los elementos que estn en paralelo conla trayectoria directa y a travs de los cuales la seal se mueve en la misma direccin, esdecir, entrada-salida (figura 2.4(b)).

2.7.2.1. Bloques en serie

Si el sistema consta de varios elementos en serie, por ejemeplo como el sistema de lafigura 2.5, entonces la funcin de transferencia G(s) del sistema completo est dada por

G(s) =S(s)E(s)

donde E(s) es la transformada de Laplace de la entrada del sistema y S(s) es la trans-formada de Laplace de la salida del sistema. Para calcular esta relacin consideramos losbloques bsicos que componen el sistema y sus entradas y salidas respectivas. Observe quela entrada del primer bloque es tambin la entrada del sistema, es decir E(s) = E1(s). Dela misma forma notemos que la salida del primer bloque es la entrada del segundo, es decirG1(s) = E2(s) y que la salida del segundo bloque corresponde con la salida del sistema, esdecir S2(s) = S(s).

Para el primer elemento tenemos que su funcin de transferencia est dada por

G1(s) =S1(s)E1(s)


Trayectoria directa

G1(s) G2(s)E1(s) E2(s) S(s)S2(s)S1(s)E(s)

Figura 2.5: Bloques en serie

2s+1

1s1

Figura 2.6: Ejemplo 1. Bloques en serie

Para el segundo elemento tenemos

G2(s) =S2(s)E2(s)

peroS(s)E(s)

=S2(s)E1(s)

=S1(s)E1(s)

S2(s)E2(s)

De este modo

G(s) = G1(s)G2(s) (2.19)

De hecho esta ecuacin es vlida cualquiera que sea el nmero de bloques en serie, esdecir G(s) = G1(s) ... Gn(s). As, un nmero de bloques en serie con funciones detransferencia G1(s)...Gn(s) pueden ser reemplazados con un slo bloque con una funcinde transferencia G(s).

Ejemplo Un sistema en lazo abierto consta de dos elementos en serie; los elementostienen las funciones de transferencia que se indican en la figura 2.6. Cul es la funcin detransferencia del sistema como un todo?

Respuesta

Para los bloques en serie, la ecuacin 2.19 da como resultado

G(s) = G1(s)G2(s) =2

s+ 11

s 1=

2s2 1

2.7.2.2. Bloques con lazos de realimentacin

La figura 2.7 muestra un sistema en lazo cerrado sencillo con realimentacin negativa.Con la realimentacin negativa las seales de referencia y de realimentacin se restan enel punto de suma y con realimentacin positiva stas se suman.

Si E(s) es el valor de referencia, es decir la entrada del sistema, y S(s) el valor real,es decir la salida del sistema, entonces la funcin de transferencia del sistema de control


+


Trayectoria directa

H(s)

E(s) S(s)

EH(s)SH(s)

S1(s)G1(s)

E1(s)

Figura 2.7: Bloques con lazos de realimentacin

completo es

G(s) =S(s)E(s)

Cada bloque dentro del sistema tiene su propia funcin de transferencia. Para la trayectoriade realimentacin, la funcin de transferencia esH(s); entonces, con entrada S(s) (dado queEH(s) = S(s)) tendr una salida H(s)S(s) hacia el punto de suma. En el punto de sumatenemos por un lado la entrada del sistema E(s) y la realimentacin negativa H(s)S(s) demanera que la salida del punto de suma es E(s) H(s)S(s) = E1(s). De esta manera, sila trayectoria directa del sistema tiene una funcin de transferencia G1(s), entonces con suentrada E(s)H(s)S(s) y salida S(s)

G1(s) =S(s)

E(s)H(s)S(s)

reordenando obtenemos

S(s)[1 +G1(s)H(s)] = E(s)G1(s)

de donde la funcin de transferencia del sistema completo (G(s) = S(s)E(s)) es

G(s) =G1(s)

1 +G1(s)H(s)(2.20)

Nota: para una retroalimentacin positiva la funcin de transferencia es

G(s) =G1(s)

1G1(s)H(s)(2.21)

Ejemplo Cul es la funcin de transferencia global para el sistema que ilustra la figura2.8?

Respuesta La realimentacin es negativa, por lo tanto, de acuerdo con la ecuacin

G(s) =G1(s)

1 +G1(s)H(s)

G(s) =2/s+ 1

1 + 5s[2/(s + 1)]=

2(s+ 1) + 10s

=2

1 + 11s


+


Trayectoria directa

5s

E(s) S(s)2s+1

Figura 2.8: Ejemplo 2. Sistema con realimentacin

2.8. Grficas de flujo de seal y la regla de la ganancia deMason

Captulo 3

Ejecucin de los sistemas conretroalimentacin

Es de gran inters evaluar la respuesta de los sistemas en el tiempo dado que es eneste dominio donde se tienen las aplicaciones prcticas de los sistemas. Para analizar estarespuesta se aplica una seal de referencia al sistema y se estudia la salida.

La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes:la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Sea y(t) la respuesta en eltiempo de un sistema en tiempo contnuo, entonces podemos escribir:

y(t) = yt(t) + yss(t) (3.1)

en donde yt(t) indica la respuesta transitoria y yss(t) indica la respuesta en estadoestable. La respuesta transitoria est definida como la parte de la respuesta en el tiempoque tiende a cero cuando el tiempo se hace grande, es decir:

lmt0

yt(t) = 0 (3.2)

La respuesta en estado estable es la parte de la respuesta total que permanece despusque la respuesta transitoria ha desaparecido.

3.1. Efectos de la retroalimentacin en la sensibilidad y ro-bustez

3.2. Error de estado estable

El error de un sistema se puede definir como:

e(t) = r(t) y(t) (3.3)

22 Ejecucin de los sistemas con retroalimentacin Chap. 3

donde la referencia r(t) es la seal que la salida y(t) est siguiendo.El error en estado estable se define como:

ess = lmt

e(t) (3.4)

Dependiendo del tipo1 de sistema de control, de la retroalimentacin (unitaria o nounitaria) del mismo y de la seal de control, el error en estado estable puede calcularsemediante procedimientos simplificados.

3.2.1. sistemas con retroalimentacin unitaria

Para este tipo de sistemas el error en estado estacionario puede calcularse como:

ess = lmt

e(t) = lms0

sE(s) = lms0

sR(s)1 +G(s)

(3.5)

3.2.1.1. Error en estado estable para entrada escaln

Cuando la entrada r(t) al sistema de control es una funcin escaln de magnitud R,R(s) = R/s, el error en estado estable se deduce a partir de la ecuacin (3.5):

ess = lms0

sR(s)1 +G(s)

= lms0

R

1 +G(s)=

R

1 + lms0G(s)(3.6)

Por simplicidad definimos:Kp = lm

s0G(s) (3.7)

como la constante de error escaln, con lo cual la ecuacin (3.6) se convierte en

ess =R

1 +Kp(3.8)

Para que ess sea cero, cuando la entrada es un escaln, Kp debe ser infinita, esto es,G(s) debe tener al menos una raz s = 0 en el denominador. Si el sistema es tipo 1 osuperior (existe al menos una raz s = 0 en el denominador polo). En resumen, el erroren estado estable debido a una entrada funcin escaln es

Sistema tipo 0: ess = R1+Kp

Sistema tipo 1 o mayor: ess = 0

1El tipo de sistema se refiere al nmero de races (tambin llamados polos) s = 0 en el denominador

3.3. Caracterstica de la respuesta transitoria y estabilidad de sistemas 23

3.2.2. Error en estado estable para entrada rampa

Cuando la entrada al sistema de control es una funcin rampa con magnitud R, r(t) =R/s2 el error en estado estable se describe como sigue:

ess = lms0

R

s+ sG(s)=

R

lms0 sG(s)(3.9)

Definimos la constante de error de rampa como:

Kv = lms0

sG(s) (3.10)

con lo cual la ecuacin (3.9) se convierte en:

ess =R

Kv(3.11)

La ecuacin (3.11) muestra que para que ess sea cero cuando la entrada es una funcinrampa, Kv debe ser infinita. De lo anterior se desprende

Kv = lms0

sG(s) = lms0

K

sj1, j = 1, 2, . . . (3.12)

por lo que para que kv sea infinita, j debe ser al menos igual a 2, lo que implica que elsistema debe ser de tipo 2 o mayor. En resumen, el error en estado estable para un sistemacon entrada rampa:

Sistema tipo 0: ess =

Sistema tipo 1: ess = RKv = constante

Sistema tipo 2 o mayor: ess = 0

3.2.3. Error en estado estable para entrada funcin parbola

Este tema queda como trabajo de investigacin para el alumno.

3.3. Caracterstica de la respuesta transitoria y estabilidadde sistemas

3.3.1. Respuesta al escaln unitario y especificaciones en el dominio deltiempo

Como comentado anteriormente, la porcin transitoria de la respuesta en el dominiodel tiempo es aquella que tiende a cero cuando el tiempo crece. Sin embargo, la respuestatransitoria de un sistema de control es importante, ya que tanto la amplitud como la


Figura 3.1: Respuesta de un sistema de segundo orden al escaln unitario.

duracin de tiempo en la respuesta transitoria deben mantenerse dentro de los lmitestolerables o prescritos.

Para un sistema de control lineal, la caracterizacin de la respuesta transitoria fre-cuentemente se realiza mediante la funcin escaln unitario us(t) como entrada. Cuando laentrada es un escaln unitario, la respuesta de un sistema de control es llamada respuestaal escaln unitario. La figura 3.1 ilustra una respuesta tpica al escaln unitario de unsistema de control lineal. El desempeo de esta respuesta se caracteriza generalmente porlos siguientes parmetros2:

1. Sobrepaso mximo. Asmase que y(t) es la respuesta al escaln unitario, tambinque ymx es el valor mximo de y(t), y yss es el valor en estado estable de y(t). Elsobrepaso mximo de y(t) se define como:

sobrepaso mximo = ymx yss (3.13)

El sobrepaso mximo se representa como un porcentaje del valor final de la respuestaal escaln; esto es:

porcentaje de sobrepaso mximo =sobrepaso mximo

yss 100 (3.14)

Comnmente un sistema controlado, con gran sobrepaso mximo es indeseable. Parafines de diseo, el sobrepaso mximo se da como una especificacin en el dominio deltiempo. En la respuesta de la figura 3.1 el mximo sobrepaso ocurre en el primer pico.Para algunos sistemas el sobrepaso mximo puede ocurrir en un pico posterior, y sila funcin de transferencia tiene un nmero impar de ceros en el semiplano derechodel plano s, puede incluso ocurrir un sobrepaso negativo.

2estos parmetros estn determinados por las caractersticas de la funcin de transferencia del sistema


Figura 3.2: Sistema de control tipo de segundo orden.

2. Tiempo de retardo. El tiempo de retardo td se define como el tiempo requeridopara que la respuesta al escaln alcance el 50% de su valor final.

3. Tiempo de levantamiento. El tiempo de levantamiento tr se define como el tiemporequerido para que la respuesta al escaln se eleve del 10 al 90% de su valor final.Una alternativa es representar el tiempo de levantamiento como un recproco de lapendiente de la respuesta al escaln en el instante en que la respuesta es igual al 50%de su valor final.

4. Tiempo de asentamiento. El tiempo de asentamiento ts se define como el tiemporequerido para que la respuesta al escaln disminuya y permanezca dentro de unporcentaje especfico de su valor final. Una cifra de uso frecuente es 5%.

Las cuatro cantidades anteriores dan una medida directa de las caractersticas transito-rias de un sistema de control en trminos de la respuesta al escaln unitario. Grficamenteestas especificaciones son relativamente fciles de medir cuando est bien definida la re-spuesta al escaln. Analticamente, estas cantidades son difciles de establecer, excepto parasistemas sencillos de primero y segundo orden.

3.3.1.1. Respuesta transitoria de un sistema de segundo orden

Sea el sistema de control de segundo orden con realimentacin unitaria que se ilustraen la figura 3.2. La funcin de transferencia en lazo abierto del sistema es:

G(s) =Y (s)E(s)

=2n

s(s+ 2n)(3.15)

donde y n son constantes reales. La funcin de transferencia en lazo cerrado delsistema es:

Y (s)R(s)

=2n

s2 + 2ns+ 2n(3.16)

Las ecuaciones (3.15) y (3.16) definen un sistema tipo de segundo orden. La ecuacincaracterstica del sistema tipo de segundo orden se obtiene estableciendo el denominador


Figura 3.3: Respuesta al escaln unitario de un sistema tipo de segundo orden con variosvalores del factor de amortiguamiento relativo.

de la ecuacin (3.16) igual a cero:

(s) = s2 + 2ns+ 2n = 0 (3.17)

Para una entrada escaln unitario (R(s)=1/s), la respuesta en el tiempo de la salidadel sistema se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace de la salida Y(s), estoes

y(t) = L1(Y (s)) = L1(

2ns(s2 + 2ns+ 2n)

)(3.18)

cuyo resultado es:

y(t) = 1ent1 2

sen(n1 2t+ cos1), t 0 (3.19)

En la figura 3.3 se grafica la funcin (3.19) (salida del sistema (3.16) ante una entradaescaln unitario) con el tiempo normalizado nt para varios valores de . Como podemosobservar en la figura, la respuesta se vuelve ms oscilatoria con sobrepasos mayores con-forme disminuye. Cuando 1, la respuesta no muestra ningn sobrepaso, esto es, y(t)nunca excede su valor final durante el transitorio. Las respuesta tambin muestran que n


tiene un efecto directo sobre el tiempo de levantamiento, el tiempo de retardo, y el tiempode asentamiento, pero no afecta el sobrepaso.

Los parmetros y n en la respuesta al escaln de los sistemas de segundo orden serelacionana a las races de la ecuacin caracterstica (3.17) que pueden expresarse como:

s1, s2 = n jn1 2 = jn (3.20)

con = n y = n1 2.

Factor de amortiguamiento y amortiguamiento crtico. Es claro que apareceen la respuesta temporal (3.3) como la tasa de decrecimiento del trmino exponencial, esdecir, controla el .amortiguamiento"del sistema y por ello se le conoce como factor deamortiguamiento. La inversa de es proporcional a la constante de tiempo del sistema.

Cuando las dos races de la ecuacin caracterstica son reales e iguales (cuando = 1),el sistema se conoce como amortiguamiento crtico. Bajo esta condicin, el factor deamortiguamiento es = n. Por ello llamamos a factor de amortiguamiento relativo: =

n.

Frecuencia natural no amortiguada. El parmetro n es llamado frecuencia nat-ural no amortiguada ya que cuando = 0 (no hay amortiguamiento) la ecuacin (3.19)define una seal senoidal no amortiguada de frecuencia n. Cuando esto ocurre, las racesde la ecuacin caracterstica son imaginarias de magnitud n. Cuando 0 < < 1, laspartes imaginarias de las races tienen magnitud . Aunque en tal caso no representauna frecuencia (ya que entonces (3.19) no es una funcin peridica), algunas veces se lellama frecuencia condicional (oscilacin) o frecuencia de amortiguamiento

La figura 3.4 muestra la relacin entre la localizacin de las races de la ecuacin car-acterstica en el plano complejo s y los parmetros de un sistema tipo de segundo orden.

Note que:

El semiplano izquierdo del plano s corresponde al amortiguamiento positivo (es de-cir, el factor de amortiguamiento es positivo y la seal de salida decrece). El amor-tiguamiento positivo causa que la respuesta al escaln unitario se establezca en unvalor final constante en el estado estable y se dice que el sistema es estable.

El semiplano derecho del plano s corresponde al amortiguamiento negativo. Estoimplica que el factor de amortiguamiento es negativo y la seal de salida crece expo-nencialmente. La respuesta del sistema crece en magnitud sin lmite y se dice que elsistema es inestable.

El eje imaginario corresponde a cero amortiguamiento. El amortiguamiento cero re-sulta en una respuesta de oscilacin sostenida y el sistema es llamado marginalmenteestable o marginalmente inestable.


Figura 3.4: Respuesta al escaln unitario de un sistema tipo de segundo orden con variosvalores del factor de amortiguamiento relativo.

Del anlisis anterior es claro que la localizacin de las races de la ecuacin caractersticade un sistema de segundo orden juega un papel importante en la respuesta transitoria delsistema. En la figura 3.5 ilustra respuestas al escaln unitario correspondientes a variaslocalizaciones de las races de la ec. caracterastica de un sistema de segundo orden. Enlas aplicaciones prcticas solamente son de inters los sistemas estables que correspondana > 0.

Sobrepaso mximo

Tiempo de retardo y tiempo de levantamiento

Tiempo de asentamiento


Figura 3.5: Comparacin de la respuesta al escaln para varias localizaciones de las racesen el plano complejo.

ApndiceA

Tablas de la transformada deLaplace

32 Tablas de la transformada de Laplace Chap. A

33

Introduccin a los Sistemas de ControlDefinicin de los sistemas de controlIntroduccinSistema de control:

Clasificacin de los sistemas de controlSistema de control de lazo abierto.Sistema de control de lazo cerrado.

Funciones de transferencia de sistemas fsicosIntroduccin a la representacin de sistemas fsicosSistemas mecnicosMovimiento de translacinMovimiento de rotacin

Sistemas elctricosSistemas electromecnicos (motores y generadores)Sistemas trmicosSistemas electrnicos con amplificadores operacionalesFunciones de transferencia de sistemas de control y diagrama de bloquesFuncin de transferencia.Diagrama de bloques

Grficas de flujo de seal y la regla de la ganancia de Mason

Ejecucin de los sistemas con retroalimentacinEfectos de la retroalimentacin en la sensibilidad y robustezError de estado establesistemas con retroalimentacin unitariaError en estado estable para entrada rampaError en estado estable para entrada funcin parbola

Caracterstica de la respuesta transitoria y estabilidad de sistemasRespuesta al escaln unitario y especificaciones en el dominio del tiempo

Tablas de la transformada de Laplace

notas de ingenieria de control

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