notas de clase estadística ingenieria

8/17/2019 Notas de Clase Estadística Ingenieria

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ESTADISTICA NOTAS DE CLASE - MSc. LILIANA VITOLA GARRIDO

ESTADISTICA – PROGRAMA PRIMER CAPITULO: GENERALIDADES Defnición de Estadística. Población. Muestra. Parámetro. Estadístico. Variable. Muestreo.SEGUNDO CAPITULO: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y GRÁFICAS Distribución de Frecuencias Simples y Agrupadas istograma y Polígono de Frecuencias

!"i#a Diagrama de $a"a Diagrama de %arras y $ircularTERCER CAPITULO: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media Aritm&tica Mediana Moda $uartiles Deciles Percentiles

CUARTO CAPITULO: MEDIDAS DE DISPERSIÓN 'ango Varian(a Des#iación Estándar 'egla Empírica $oefciente Variación $oefciente de Simetria )ipos de $urtosis




QUINTO CAPITULO: PROBABILIDAD $ombinatoria*Permutación *Multiplicación Espacios Mu&strales A+iomas de Probabilidad 'eglas de Probabilidad E#entos ,ndependientes Probabilidad $ondicional )eorema de %ayes.SEXTO CAPITULO: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Variables Aleatorias Discretas Esperan(a y Varian(a de una Variable Aleatoria Discreta Función de Distribución de Probabilidad de una #.a. Discreta Distribuciones de Probabilidad de Variables Aleatorias Discretas- %inomial Poisson ipergeometrica Multinomial.SEPTIMO CAPITULO: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variables Aleatorias $ontinuas Esperan(a y Varian(a de una Variable Aleatoria $ontinua Función de Densidad de Probabilidad de una #.a. $ontinua Distribuciones de Probabilidad de Variables Aleatorias $ontinuas- Distribución normal Apro+imación Distribución

/ormal a %inomial Apro+imación Distribución /ormal a Poisson Apro+imación Distribución /ormal aipergeometrica.

OCTAVO CAPITULO: INTERVÁLOS DE CONFIANZA Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS ,nter#alos de $onfan(a para la Media de una y dos poblaciones ,nter#alos de $onfan(a para la Proporción de una y dos poblaciones ,nter#alos de $onfan(a para la Varian(a de una y dos poblaciones

Prueba de ipótesis para la Media de una y dos poblaciones Prueba de ipótesis para la Proporción de una y dos poblaciones Prueba de ipótesis para la Varian(a de una y dos poblaciones Error )ipo , y Error )ipo ,,




BIBLIOGRAFIA

• Frend, J. Perles, B. (2009). Estadística Elemental Moderna. Arizona, Estados Unidos: Editorial

Prentice Hall.

• García, . (20!"). Estadística Descriptiva y Probabilidades Para Ingenieros. #i$a, Per%: Editorial

&A'.




• aznier, #. (20!2). Estadística Aplicada a Administración y Economía. &*+ico .F. &*+ico: Editorial

&c Gra- Hill.

• inne, J. (2009). Estadística Para Ciencia e Ingeniería. Estados Unidos: Editorial, Addison /esle.

• &ac#ae, J. et al. (20!!). Estadística. 1e- erse, Estados Unidos: Editorial Prentice Hall.

• &oore, . (2009). Estadística A3licada B4sica. Barcelona, Es3a5a: Editorial Antoni Bosc6.

• 78ezada, 1el. (20!"). Estadística para Ingenieros. #i$a, Per%: Editorial &A'.

• 78ezada, 1el. (20!"). Estadística con SPSS 20 . #i$a, Per%: Editorial &A'.

•

8llian, &ic6ael. (2009). !ndamentos de Estadística. Estados Unidos: Editorial Prentice Hall.• riola, &. (2009). Estadística Elemental. Estados Unidos: Editorial Addison /esle.• #linas, H. (20!0). Estadística In"erencial. Barran;8illa, olo$<ia: Ediciones Uninorte.

EVALUACIÓN= alleres Actiidades dentro >8era de clase "0?= @ E+a$enes Parciales de 20? cada 8no: otal 0?= otal Eal8acin: !00?

ASESORIAS PARA ESTUDIANTES




PROGRAMA DIA HO

Ingenieria Civil #U1E

&A'E

9:00 = !

9:00 C !

Econo!a &A'E

JUEDE

!0:00 C !

!!:00 C !

Ingenieria Agroin"#$%rial JUEDE

DE'1E

9:00 C !

9:00 C !

ESTAD&STICA

DEFINICIÓN'




• #a Estadística est8dia los $*todos 3ara recoer, oranizar, res8$ir analizar datos, así co$o 3arasacar concl8siones 4lidas to$ar decisiones razona<les <asadas en tal an4lisis. 8 a3licacin t8oorienes en as8ntos del o<ierno, co$3a5ía de se8ros, 8eos de azar, si8iendo 3osterior$ente con

los co$erciantes, ind8striales ed8cadores.

• #a Estadística Descriptiva tiene co$o >in 3resentar res%$enes de 8n con8nto de datos 3oner de

$ani>iesto s8s características, $ediante re3resentaciones r4>icas. #os datos se 8san 3ara >inesco$3aratios, no se 8san 3rinci3ios de 3ro<a<ilidad. El inter*s se centra en descri<ir el con8nto dadode datos no se 3lantea el e+tender las concl8siones a otros datos di>erentes o a 8na 3o<lacin.

• #a In"erencia Estadística# 3or el contrario, est8dia los res%$enes de datos con re>erencia a 8n $odelo

de distri<8cin 3ro<a<ilístico o 8na >a$ilia de $odelos, deter$inando $4renes de incertid8$<re en laesti$acin de los 3ar4$etros desconocidos del $is$o. e s83one ;8e el con8nto de datos analizadoses 8na $8estra de 8na 3o<lacin el inter*s 3rinci3al es 3redecir el co$3orta$iento de la 3o<lacin, a3artir de los res8ltados en la $8estra.

POBLACIÓN OB(ETO DE ESTUDIO'Es 8n con8nto de ele$entos (ani$ales, 3ersonas 8 o<etos), ;8e 3oseen 8na característica en co$%n. Por ee$3lo, si se est4 interesado en conocer los nieles de dese$3e5o acad*$ico en el 4rea de &ate$4ticasde los est8diantes de Ed8cacin B4sica ec8ndaria, del sector 3%<lico en la ci8dad de inceleo, 38es la

3o<lacin o<eto de est8dio, en *ste caso de<en ser, Est8diantes de B4sica ec8ndaria de los oleios delector P%<lico de la i8dad de inceleoI.

MUESTRA'Es 8na re3resentacin de la 3o<lacin, es decir, 8n s8<con8nto de la 3o<lacin, c8os ele$entos tienen las$is$as características del resto de los ele$entos de la 3o<lacin de la c8al >8e e+traída.#a $8estra 38ede ser 3ro<a<ilística o no 3ro<a<ilística.




El $8estreo 3ro<a<ilístico es 8na t*cnica de $8estreo en irt8d de la c8al, las $8estras son recoidas en8n 3roceso ;8e <rinda a todos los indiid8os de la 3o<lacin o<eto de est8dio, las $is$as o3ort8nidades

de ser seleccionados)

El $8estreo no 3ro<a<ilístico es a;8el en el c8al, los indiid8os de la 3o<lacin o<eto de est8dio, no tienenla $is$a o3ort8nidad o 3ro<a<ilidad de ser seleccionados.

Para el ee$3lo anterior, la $8estra es 3ro<a<ilística si, inde3endiente$ente de la nstit8cin Ed8catia dedonde se an a seleccionar los est8diantes, c8al;8ier instit8cin 38ede ser seleccionada dentro de la$8estra, así co$o dentro de cada instit8cin escoida, c8al;8ier est8diante 38ede ser seleccionado 3aracon>or$ar la $8estra.

Pero si se o3ta 3or to$ar co$o $8estra, solo las nstit8ciones Ed8catias de las ;8e se sa<e, o<tienenaltos 38ntaes en 3r8e<as de estado, dentro de esas instit8ciones, solo los est8diantes con los $eoresdese$3e5os, entonces la $8estra es no 3ro<a<ilística, lo ;8e 38ede enerar sesos.

PAR*METRO'




Un 3ar4$etro es 8n n%$ero ;8e res8$e la ran cantidad de datos ;8e 38eden deriarse del est8dio de8na aria<le estadística. El c4lc8lo de este n%$ero est4 deter$inado, 8s8al$ente, $ediante 8na>r$8la arit$*tica o<tenida a 3artir de datos de la 3o<lacin.

El est8dio de 8na ran cantidad de datos indiid8ales de 8na 3o<lacin 38ede ser tedioso e+tenso, 3or lo;8e se 6ace necesario realizar 8n res8$en ;8e 3er$ita tener 8na idea lo<al de la 3o<lacin, realizar esti$aciones so<re datos desconocidos de la $is$a , en de>initia, to$ar decisiones acerca de la3o<lacin.

ESTAD&STICO'

Un Estadístico es 8na $edida c8antitatia, deriada de 8n con8nto de datos de 8na $8estra, con el

o<etio de esti$ar o in>erir características de 8na 3o<lacin.Es decir, 8n estadístico es 8na >8ncin $edi<le T ;8e, dada 8na $8estra estadística de alores +,- +.- +/- 0+n , se les asina 8n n%$ero T1 +,- +.- +/- 00))+n 2, ;8e sire 3ara esti$ar el alor de deter$inado3ar4$etro de la 3o<lacin de la ;8e 3rocede la $8estra.

VARIABLE'Es 8na característica ;8e 3oseen los ele$entos de 8na 3o<lacin, co$o s8 no$<re lo indica, aria deindiid8o a indiid8o.

Varia3le C#ali%a%iva'

#as aria<les c8alitatias se re>ieren a características o c8alidades ;8e no 38eden ser $edidascon n%$eros, 38eden ser: 1o$inal 8 rdinalBino$ial o &8ltino$ial




1o$inal: Una aria<le c8alitatia no$inal 3resenta $odalidades no n8$*ricas ;8e no ad$iten 8n criterio deorden.Por ee$3lo, la aria<le olor de osI: a>* 1eros Derdes Az8les Dioleta etc.

rdinal: Una aria<le c8alitatia ordinal 3resenta $odalidades no n8$*ricas, en las ;8e e+iste 8n orden o erar;8ía.Por ee$3lo, la aria<le EstratoI: Estrato ! Estrato 2 Estrato @K etc.

Bino$ial: 8ando la aria<le c8alitatia, tiene solo dos cateorías o $odalidades.Por ee$3lo, la aria<le Estado del PacienteI: ano En>er$o.

&8ltino$ial: 8ando la aria<le c8alitatia, tiene $4s de dos cateorías.

Por ee$3lo, la aria<le Gr83o an8íneoI: AL A= BL B= ABL AB= L =.

Varia3le C#an%i%a%iva'

#as aria<les c8antitatias se re>ieren a características o c8alidades ;8e 38eden ser $edidas con n%$eros, 38eden ser: iscreta o ontin8a.

iscreta: on a;8ellas aria<les, c8a re3resentacin con n%$eros interalares no tiene sentido.Por ee$3lo, la aria<le 1%$ero de Accidentes de r4nsito 'eistrados $ens8al$ente, en la Aenida la

Paz de la i8dad de inceleo, 8rante el a5o 20!MI: 0 ! 2 @ "K etc.

ontin8a: on a;8ellas aria<les ;8e se 38eden re3resentar con n%$eros interalares.Por ee$3lo, la aria<le PesoI: M,N O 0,2 O M@,M O M0,0 O... etc.

MUESTREO




El $8estreo es 8na 6erra$ienta de la inestiacin cientí>ica, c8a >8ncin <4sica es deter$inar ;8e 3artede 8na 3o<lacin de<e e+a$inarse, con la >inalidad de 6acer in>erencias so<re dic6a 3o<lacin.#a razn 3rinci3al 3ara o<serar 8na $8estra en l8ar de la 3o<lacin co$3leta, consiste en ;8e la recoida

de toda la in>or$acin, res8lta e+aerada$ente costosa en la $aoría de las ocasiones.

Ade$as del >actor econ$ico, 8na en8$eracin co$3leta de la 3o<lacin lla$ada E1, 38ede ser i$3osi<le 3or circ8nstancias co$o el tie$3o, ;8e 38ede ser ins8>iciente en deter$inadas condiciones ota$<ien de<ido a >actores a$<ientales.

U$o$ "el M#e$%reo en Di4eren%e$ Ca5o$

• Política$ % #as $8estras de las o3iniones de los otantes se 8san 3ara ;8e los candidatos $idan la

o3inin 3%<lica el a3oo en las elecciones.I

Ed!cación$ #as $8estras de las cali>icaciones de los e+4$enes de est8diantes se 8san 3ara deter$inar la e>iciencia de 8na t*cnica o 3rora$a de ense5anza.I

Ind!stria$ &8estras de 3rod8ctos de 8na linea de ensa$<lae siren 3ara controlar la calidad de la$an8>act8racin de los $is$os.I

Medicina$ % Un >a<ricante de droas de sea sa<er los res8ltados de al%n $edica$ento 3ara <aar latensin en la sanre co$3ararlo con 8na droa de la co$3etencia, 3ara ello to$a 8na $8estra de3acientes 6i3ertensos.I

Economía$ % #as $8estras de las o3iniones de los cons8$idores acerca de la 3re>erencia 3or cierta$arca de aseosa, 38eden a8dar a los asesores de 8na >4<rica de re>rescos a considerar, si $eoran oca$<ian el 3rod8cto.I




Ingenieria$ #as $8estras de s8elos analizadas en 8n la<oratorio, 38eden a8dar a deter$inar si elterreno de donde >8eron e+traídas las $8estras, es adec8ado o no 3ara constr8ir.I

M#e$%reo Con 6 Sin Ree5la7o'

El $8estreo es Con &eempla'o(# c8ando 6a<i*ndose deter$inado el ta$a5o de las $8estras ;8e se an aseleccionar, cada ez ;8e se seleccione 8n indiid8o 3ara ;8e 6aa 3arte de la $8estra, se incl8en8ea$ente en la 3o<lacin con la 3osi<ilidad de ser eleido n8ea$ente.El $8estreo es in &eempla'o(# c8ando 6a<i*ndose deter$inado el ta$a5o de las $8estras ;8e se an aseleccionar, cada ez ;8e se seleccione 8n indiid8o 3ara ;8e 6aa 3arte de la $8estra, no se incl8e $4sen la 3o<lacin asi s8cesia$ente con todos los indiid8os o ele$entos ;8e se an e+traendo.

Error M#e$%ral 6 no M#e$%ral'8ando se 8san alores $8*strales (estadísticos), 3ara esti$ar alores 3o<lacionales (3ar4$etros), se38ede inc8rrir en dos ti3os enerales de error, El Error &8estral el Error no &8estral.

Error M#e$%ral'Es la di>erencia ;8e 6a entre el alor de 8n estadístico de la $8estra el corres3ondiente 3ar4$etro de la3o<lacin.Por ee$3lo: Al calc8lar la $edia o 3ro$edio de 8na $8estra, es 3osi<le ;8e este alor no sea i8al al alor

de la $edia o 3ro$edio de la 3o<lacin.Por lo ;8e es 3osi<le ;8e e+istan di>erencias entre las estadísticas de la m!estra los par)metros de la

población.

Ee$3lo: 83ona$os ;8e tene$os 8na 3o<lacin de datos con>or$ados 3or los n%$eros: @, M N. sean a to$ar $8estras de ta$a5o dos de $anera ordenada con ree$3lazo.




on esta in>or$acin, 64llese:

a) #a $edia 3o<lacional.<) odas las 3osi<les $8estras ta$a5o 2 ;8e 38eden salir de los datos.c) #a $edia de cada $8estra.d) #os errores $8*strales.

a) &edia &8estral

μ=3+5+7

3=5

&8estras rdenadas &edia &8estral´ x

Error &8estral e ´ x− μ

(@,@)(@,M)(@,N)(M,@)(M,M)

(M,N)(N,@)(N,M)(N,N)

@"M"M

MN

@ C M =2 " C M =!M C M 0

" C M =!M C M 0

C M !M C M 0 C M !N C M 2

Error No M#e$%ral'




Es 8n error ;8e no est4 asociado con el 3rocedi$iento de $8estreo 8sado. s8cede c8ando,

= #a 3o<lacin de la ;8e real$ente se $8estrea, no es la releante.

Ee$3lo:%Se desea determinar la pre"erencia *!e tienen los padres de "amilia# por !na n!eva marca de ropa +!venil ,dic-a marca vende ropa a !n costo poco accesible para "amilias de estratos y 2/. as personasencargadas de aplicar la enc!esta# lo -icieron escogiendo tres de los barrios m)s e1cl!sivos de la ci!dad#!bicados entre los estratos al 3(.

= #os indiid8os <ao est8dio dan res38estas ine+actas o inciertas.Ee$3lo:e <8sca indaar en oenes de entre !2 20 a5os, de 8n sector 3o38lar de la ci8dad de inceleo, si 6an

tenido acceso al cons8$o de al%n ti3o de al8cinoenoI.

= 8ando los instr8$entos de recoleccin de in>or$acin estan $al a8stados o $al cali<rados.= #os datos estan $al consinados o se 3ierde in>or$acin al $o$ento de ta<8larla.

Se$go M#e$%ral'Es la tendencia a >aorecer la seleccin de ciertos ele$entos de la $8estra en l8ar de otros.Ee$3lo:e to$a 8na $8estra de 3ersonas se les 3re8nta acerca de s8 actit8d >rente a la 3ena de $8erte,

dentro de la $8estra 6a 8na cantidad 3re3onderante de 3ersonas ícti$as de la iolencia en el 3aís.I

TAMA8O DE MUESTRA




Para 3oder 6acer in>erencias acerca del co$3orta$iento de la 3o<lacin en est8dio, se de<e to$ar 8na$8estra re3resentatia de la 3o<lacin, es decir, ;8e tena 8n ta$a5o adec8ado ;8e recoa la $aor aria<ilidad 3osi<le 3resente en la 3o<lacin.

i el 3ar4$etro 3o<lacional de inter*s es la &edia Po<lacional, el ta$a5o de la $8estra est4 dado 3or:

n0=

zα /22

σ 2

e2

En el caso ;8e el ta$a5o 1 de la 3o<lacin, se conozca. El ta$a5o $8estral ;8eda:

n= n0

1+n0−1

N

78e es e;8ialente a:Z

( N −1 ) e2+(¿¿ α 2 )

2

σ 2

n=

N (Z α 2

)2 σ 2

¿

i el 3ar4$etro 3o<lacional de inter*s es la Pro3orcin Po<lacional, el ta$a5o de la $8estra est4 dado 3or:




n0=

zα /22

pq

e2

En el caso ;8e el ta$a5o 1 de la 3o<lacin, se conozca. El ta$a5o $8estral ;8eda:

n= n0

1+n0−1

N

78e es e;8ialente a:Z

( N −1 ) e2+(¿¿

α

2 )

2

pq

n=

N (Z α

2

)2 pq

¿

onde 1 es el ta$a5o de la 3o<lacin.

Ee$3lo:,2 Un inestiador esta interesado en deter$inar el 3eso $edio anado 3or 3ollo entre 0 " se$anas,

des38es de 6a<er sido ali$entados con 8na racin n8eaI. i se tiene 8na 3o<lacin de !000 3ollos 3or res8ltados de inestiaciones 3asadas, se sa<e ;8e la ariacin del 3eso de los 3ollos es de.

σ 2=36 r$.




a2 alc8le el ta$a5o de la $8estra 3ara esti$ar el 3eso $edio μ , anado 3or lo 3ollos en las 8lti$as

se$anas, con 8n error no $aor a !.0 r$ con 8na con>ianza del 9M?.

2) #os 3rod8ctos de>ect8osos res8ltan costosos 3ara el >a<ricante en ter$inos de deterioro de la i$aendel 3rod8cto ante los cons8$idores. 8n >a<ricante de $e$orias UB, con>ia en ;8e a lo s8$o el !0? delas $e$orias >a<ricadas 3or s8 e$3resa res8lten de>ect8osasI.

a) e desea esti$ar la 3ro3orcin act8al de $e$orias de>ect8osas con 8n error no $aor al M? con 8nacon>ianza del 9M?, calc8le 8n ta$a5o de $8estra adec8ado 3ara 6acer dic6a esti$acin.

TIPOS DE MUESTREO PROBABIL&STICO

M#e$%reo Alea%orio Si5lee>inicin: Un 3rocedi$iento de &8estreo Aleatorio i$3le, es a;8el en el ;8e todas las 3osi<les $8estrasdel $is$o ta$a5o tienen la $is$a 3ro<a<ilidad de ser escoidas. El $8estreo aleatorio si$3le es la >or$a$4s >4cil de $8estreo 3ro<a<ilístico. #o %nico ;8e el inestiador tiene ;8e 6acer es ase8rarse de ;8etodos los $ie$<ros de la 3o<lacin sean incl8idos en la lista l8eo seleccionar al azar el n%$ero deseadode s8etos.

#a $eor $anera de escoer los ele$entos ;8e 6ar4n 3arte de la $8estra, es a tra*s de 8na a<la de1%$eros Aleatorios, ;8e es 8na ta<la de n%$eros ;8e se 6ace se 3resenta en tal >or$a ;8e cada 8no delos n%$eros 0 al 9, a3arecen en ella, con 8na >rec8encia a3ro+i$ada$ente i8al.




Ee$3lo: e 8na 3o<lacin de 2M0 ni5os, se desea to$ar 8na $8estra de !M c6icos 3ara esti$ar el 3eso$edio de estos, en Oilos. o$o se 6aría la seleccin de la $8estra a3licando el &*todo de &8estreo

Aleatorio i$3leI.

Para ello se en8$eran a los interantes de la 3o<lacin o<eto de est8dio con los diitos del 00! 6asta el2M0. Posterior$ente se to$a c8al;8ier col8$na de la ta<la de n%$eros aleatorios, se selecciona el 3ri$er n%$ero de @ ci>ras ;8e este en dic6a col8$na, dic6o n%$ero re3resenta al 3ri$er ele$ento seleccionado3ara la $8estra, de los 2M0 ni5os, 3ara el si8iente ele$ento se contin8a <aando 3or la $is$a col8$na el n%$ero ;8e si8e es 3recisa$ente el se8ndo ele$ento seleccionado 3ara la $8estra asís8cesia$ente, 6asta co$3letar el ta$a5o de $8estra re;8erido. Para este ee$3lo: 8na 3osi<le $8estra estaría con>or$ada 3or los ni5os identi>icados con los n%$eros:

!20, !"0, !@0, !2!, 0", 2!2, 09Q, !", 0Q@, !M, 0N@, !QM, !09, 2@M, !N9

M#e$%reo Alea%orio E$%ra%i4ica"oe>inicin: 83ona ;8e 8na 3o<lacin de 4 indiid8os 38ede s8<diidirse en 5 r83os $8t8a$entee+cl8entes, lla$ados ES6&A67S. El &8estreo Aleatorio Estrati>icado, es la seleccin de $8estrasaleatorias si$3les inde3endientes de cada 8no de los estratos de la 3o<lacin.

a$<i*n es conocido co$o &8estreo Aleatorio Pro3orcional es 8na t*cnica de $8estreo 3ro<a<ilístico en

donde los s8etos son inicial$ente ar83ados en di>erentes cateorías, tales co$o la edad, el nielsocioecon$ico o el *nero. #8eo, el inestiador selecciona aleatoria$ente la lista >inal de s8etos ;8econ>or$aran la $8estra, de los distintos estratos, de $anera 3ro3orcional a la cantidad de indiid8os ;8ee+isten en cada estrato. General$ente, los inestiadores 8tilizan 8n $8estreo aleatorio estrati>icado si;8ieren est8diar 8n deter$inado s8<r83o dentro de la 3o<lacin.

<seracin:




i los 5 r83os de la 3o<lacin contienen 4 # 4 2 #884 5 , entonces 4 9 4 2 9889 4 5 : 4 si los ta$a5os de $8estra de cada 8na de los estratos son res3ectia$ente, n# n2 #88n5 # entonces n9n2 9889 n5 : n

Ee$3lo:83ona ;8e se ;8iere est8diar los astos de 38<licidad de @M2 e$3resas de 8n 3aís ;8e el o<etio delest8dio consiste en deter$inar si las e$3resas con altos rendi$ientos, 6an astado $4s 3ro3orcin de s83res838esto en 38<licidad, ;8e las e$3resas ;8e tienen 8n $enor rendi$iento o incl8so 8n d*>icit.#as e$3resas se diidieron en M estratos de ac8erdo a s8 rendi$iento >inanciero, se an a to$ar M0 deellas.

#os res8ltados se $8estran a contin8acin:

Estrato 'enta<ilidad('endi$iento Financiero) 1%$ero e E$3resas 1%$ero &8estreado 1%

!

2

@

"

M

@0? $as

Entre 20? @0?

Entre !0? 20?

Entre 0? !0?

*>icit

Q

@M

!Q9

!!M

M RRRRRR

!

M

2N

!

!




A# @M2

M#e$%reo Alea%orio Si$%e9%icoe>inicin: Es 8na t*cnica de $8estreo ;8e re;8iere de 8na seleccin aleatoria de inicial de o<seraciones,se8ida de otra seleccin de o<seraciones o<tenida de al%n siste$a o rela.

El $8estreo aleatorio siste$4tico se 38ede co$3arar con 8na 3roresin arit$*tica en donde la di>erencia

entre dos n%$eros consec8tios es la $is$a. Es decir, se seleccionan a los indiid8os ;8e 6ar4n 3arte dela $8estra, to$andolos de a cada @, " o M 3ersonas, etc. este n%$ero se deter$ina 3or el cociente entre el

ta$a5o de la 3o<lacin 1I el ta$a5o de $8estra nI, 3reia$ente 6allado: N

n

Ee$3lo: 83ona$os ;8e se tiene 8na 3o<lacin de !00 $8estras de s8elos a los ;8e se les desea a3licar al8nas 3r8e<as de la<oratorio.

!. e calc8la el ta$a5o de la $8estra corres3ondiente dia$os ;8e el ta$a5o de $8estra es 20.

2. #8eo, se diide100

20=5 , lo ;8e indica, ;8e las $8estras de s8elos se seleccionaran cada M

8nidades.@. e tal $anera ;8e las $8estras de s8elo seleccionadas 3ara la 3r8e<a de la<oratorio ser4n, las

$8estras, !, , !!, !, 2!, 2 así s8cesia$ente, 6asta co$3letar el ta$a5o de $8estra re;8erido.




M#e$%reo Alea%orio Por Congloera"o$e>inicin: i la 3o<lacin 38ede diidirse en 8nidades $4s 3e;8e5as eor4>ica$ente co$3actadas,estos se lla$an C74;7ME&AD7S. En este $8estreo se to$a 8na &8estra Aleatoria i$3le de

onlo$erados a contin8acin se a3lica 8n censo co$3leto de toda la 3o<lacin ;8e 6ace 3arte de cadaonlo$erado escoido, o <ien, si 8n conlo$erado es $8 rande 3ara est8diar s8 3o<lacin de $aneraco$3leta, 38eden eleirse al8nos de s8s ele$entos. El $8estreo aleatorio 3or conlo$erados se realizac8ando es i$3osi<le el $8estreo aleatorio si$3le de<ido al ta$a5o de la 3o<lacin.

Ee$3lo: i el est8dio ;8e se desea 6acer tiene co$o 3o<lacin en c8estin a toda olo$<ia.

!. En el $8estreo 3or conlo$erados, la inestiacin identi>icaría 3ri$ero los de3arta$entos deolo$<ia.

2. e selecciona, aleatoria$ente, 8n n%$ero de de3arta$entos identi>icados. Es i$3ortante ;8e todoslos de3arta$entos dentro de la 3o<lacin, tenan las $is$as 3osi<ilidades de ser seleccionados.@. e 38ede incl8ir todos los indiid8os dentro de los de3arta$entos seleccionados o seleccionar

aleatoria$ente indiid8os de los de3arta$entos escoidos, con el $8estreo Aleatorio i$3le o con el$8estreo iste$4tico.

M#e$%reo Alea%orio 5or E%a5a$ M:l%i5le$ o M#l%ie%95icoEsta t*cnica de $8estreo 3ro<a<ilístico i$3lica 8na co$<inacin de dos o $4s t*cnicas de $8estreoen8$eradas anterior$ente. En la $aoría de las inestiaciones co$3leas realizadas en el ca$3o o en el

la<oratorio, no es adec8ado 8tilizar 8n solo ti3o de $8estreo 3ro<a<ilístico.#a $aoría de las inestiaciones se realizan en di>erentes eta3as en cada eta3a se a3lica 8na t*cnica de$8estreo aleatorio di>erente.

i el $8estreo tiene dos eta3as, se le conoce co$o &8estreo Bieta3ico.i el $8estreo tiene $4s de dos eta3as, se le conoce co$o &8estreo &8ltieta3ico.




#a 8nidad de $8estreo ;8e 6ace 3arte de la 3ri$era seleccin se le conoce co$o Unidad Pri$aria de&8estreo.#a 8nidad de $8estreo ;8e 6ace 3arte de la se8nda seleccin se le conoce co$o Unidad ec8ndaria de

&8estreo. asi s8cesia$ente en cada eta3a del $8estreo.

Ee$3lo:e desea to$ar 8na $8estra de est8diantes de Ed8cacin B4sica ec8ndaria de la ci8dad de inceleo,3ara a3licarles 8na enc8esta ;8e <8sca indaar as3ectos ocio= Econ$icos del entorno del est8diante, $irar si estos in>l8en o no en s8 dese$3e5o en el 4rea de &ate$4ticasI.

TIPOS DE MUESTREO NO PROBABIL&STICO

M#e$%reo 5or ConvenienciaEs a;8el en el ;8e la $8estra est4 con>or$ada 3or 8nidades ;8e >aciliten s8 $edida, sean accesi<les o ;8esean >aora<les.

Ee$3lo: 8ando se to$a 8n r83o de est8diantes con los $eores dese$3e5os acad*$icos 3ara $edir eli$3acto de 8na n8ea estrateia $etodolica en el a8la.

Eercicios:!) e desea esti$ar la cantidad $edia de solente ;8e contiene 8n 3rod8cto ela<orado en 8na 3lanta;8i$ica, tal ;8e el error de esti$acin sea de r$S#, con 8na con>ianza del 90?. 84l de<e ser elta$a5o de la $8estra re;8erido ;8e satis>aa estas condiciones si se conoce, de 8n $8estreo anterior,;8e la desiacin de la cantidad de solente es de 2! r$S#T




2) e ac8erdo al eercicio anterior, si la 3lanta ;8i$ica c8enta con " s8<estaciones 3ara >a<ricar el 3rod8cto,de las c8ales, 3or s8 ta$a5o, 2 3rod8cen, cada 8na, el tri3le de la cantidad ;8e 3rod8cen c8al;8iera delas otras dos ;8e las dos s8<estaciones $as 3e;8e5as 3rod8cen lo $is$o. 78e ti3o de &8estreo

Aleatorio de<o a3licar 3ara seleccionar la $8estra c84ntas 8nidades $8*strales, saldrían de cadas8<estacin, si en total la 3lanta 3rod8ce de $anera diaria 1 !000 8nidades del 3rod8cto ;8e lasestaciones $as 3e;8e5as 3rod8cen entre las dos, "000 8nidadesT

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Di$%ri3#ci;n "e Frec#encia$ Si5le$'

Ee$3lo:

En la si8iente ta<la se reistra el n%$ero de 6oras ;8e 8nas $8estras de concreto tardaron en >ra8arseco$3leta$ente, de ac8erdo a di>erentes ti3os de ela<oracin de la $ezcla:

H'A F'EUE1A AB#UA > i

F'EUE1A AB#UA

AU&U#AA Fi

F'EUE1A'E#ADA 6i

F'EUE1A'E#ADA

AU&U#AA Hi

! 6

42 X 100=¿ !",2Q

?

!",2Q?




2 N !@ 7

42 X 100=¿ !,N?

@0,9Q?

@ !9 6

42 X 100=¿ !",2Q

?

"M,2?

" 2M 6

42 X 100=¿ !",2Q

?

M9,M"?

M 2 2N 2

42 X 100=¿ ",N?

",@?

" @! 442

X 100=¿ 9,M2? N@,Q2?

N " @M 4

42 X 100=¿ 9,M2?

Q@,@"?

Q @ @Q 3

42 X 100=¿ N,!"?

90,"Q?

9 " "2 4

42 X 100=¿ 9,M2?

!00?

A# "2

Di$%ri3#ci;n "e Frec#encia$ Agr#5a"a$'

Pasos 3ara constr8ir la ta<la de >rec8encia con datos ar83ados:




!) e 6alla el 'ano ', del con8nto de datos:

'A1G $a+ C $in 2) e 6alla el n%$ero de interalos , ;8e an a co$3oner la ta<la:

'ela de U'GEE: !L @,@#o(n), donde n es el ta$a5o de la $8estra, si da 8n n%$ero deci$alse a3ro+i$a al entero si8iente.

@) e 6alla el anc6o A, de cada 8no de los interalos:

A R

C

i dic6o cociente da 8n n%$ero deci$al, los datos son n%$eros enteros, se a3ro+i$a al entero si8iente,en tal caso 6a<ría ;8e $odi>icar el 'ano, lo ;8e se conoce co$o 'ano A$3liado. Esto $odi>icaría losalores $4+i$o $íni$o, 3or los c8ales se inicia ter$ina, res3ectia$ente, los interalos en la ta<la.

") 8ando el rano se a$3líe, se deter$ina en c8antas 8nidades lo 6ace, se re3arte coneniente$enteentre el alor $4+i$o $ini$o iniciales, s8$4ndole al $4+i$o rest4ndole al $íni$o la cantidad

es3ecí>ica, o<teni*ndose los n8eos alores $4+i$o $ini$o.

Una ez se de>ina esta 3arte corres3ondiente a la 3ri$era col8$na de la ta<la, de alli en adelante, se3rocede a llenar la ta<la de $anera si$ilar a co$o se 6ace con la ta<la de datos i$3les.Ee$3lo:#a corrosin de acero re>orzado, es 8n rae 3ro<le$a 3ara las estr8ct8ras de concreto, dentro dea$<ientes a>ectados 3or condiciones cli$atolicas e+tre$as, 3or esta razn, inestiadores est8dian el




e$3leo de arillas de re>8erzo >a<ricadas con $ateriales co$38estos. En este sentido, se realiz 8n est8dio3ara esta<lecer 3ar4$etros en el dise5o de arillas de re>8erzo, >a<ricadas con $aterial 3l4stico, re>orzadocon >i<ra de idrio en el concreto. #os si8ientes datos re3resentan la resistencia de ad6erencia de 2M

o<seraciones realizadasI.

M,2 ",Q !!,M !2,! 9,9, N,0 9,@ N,Q ,2",! @,Q !@," !N,! 9,@M," M,2 M,! M, M,NM,! M,0 ",9 !0,N !!,N

a) raniza los datos en 8na ta<la de >rec8encia de datos ar83ados saca las concl8siones

corres3ondientes al res3ecto.

DIAGRAMAS DE REPRESENTACIÓN DE DATOS

Hi$%ograa




El 6istora$a es 8na t*cnica r4>ica 8tilizada 3ara 3resentar ran cantidad de datos. El 6istora$a 38edeser de >rec8encias a<sol8tas, de >rec8encias relatias, de >rec8encias a<sol8tas ac8$8ladas de>rec8encias relatias ac8$8ladas. Para la constr8ccin del 6istora$a se re;8iere ela<orar 8na ta<la de

distri<8cin de >rec8encias.

El 6istora$a de >rec8encias es 8na re3resentacin is8al de los datos en donde se eidencian>8nda$ental$ente tres características: >or$a, ac8$8lacin o tendencia 3osicional dis3ersin oaria<ilidad.

Pol!gono




tro rec8rso r4>ico 3ara il8strar el co$3orta$iento de los datos es el 3olíono de >rec8encias. Este seconstr8e so<re el siste$a de coordenadas cartesianas, al colocar so<re cada $arca de clase 8n 38nto a8na alt8ra i8al a la >rec8encia asociada a esa clase l8eo se 8nen dic6os 38ntos 3or se$entos de recta.

O<iva

#a ia es el 3olíono >rec8encial ac8$8lado, es decir, ;8e 3er$ite er c84ntas o<seraciones seenc8entran 3or enci$a o de<ao de ciertos alores, en l8ar de solo e+6i<ir los n%$eros asinados a cadainteralo.




MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Me"ia Ari%=%ica

#a $edia arit$*tica $8*stral re3resenta el centro >ísico del con8nto de datos se de>ine co$o la s8$a delos alores o<serados, diidido 3or el total de o<seraciones. i X 1, X 2 , X 3,… X n son n o<seracionesn8$*ricas, entonces la $edia arit$*tica de esta n o<seraciones, se de>ine co$o:

´ X =∑i=1

n

x i

n




aso de datos ar83ados:

8ando se trata de datos ar83ados (ta<la de >rec8encias) la $edia arit$*tica se 38ede a3ro+i$ar

$ediante la e+3resin:

´ X =∑i=1

n

y i∗f i

n

onde y i f i son res3ectia$ente la $arca de clase de cada interalo la >rec8encia del interalo.

Me"ianaea X 1, X 2 , X 3,… X n 8na $8estra aleatoria de n o<seraciones. #a &ediana, de 8n con8nto deo<seraciones es el alor 3ara el c8al, todas las o<seraciones ordenadas de $anera creciente, la $itad deestas es $enor ;8e este alor la otra $itad $aor.

ea X 1, X 2 , X 3,… X n 8na $8estra aleatoria de n o<seraciones, la &ediana 3ara datos ar83ados, se de>inede la si8iente $anera:

Me= L+( n2− F i−1

f i )∗ A

nde:

#: Es el lí$ite in>erior del interalo donde se enc8entra la &ediana.




n

2 ' Es la $itad de la $8estra.

F i−1 ' Es la >rec8encia a<sol8ta ac8$8lada anterior al interalo donde se enc8entra la &ediana.

f i ' Es la >rec8encia a<sol8ta del interalo donde est4 la $ediana.

A ' Es la a$3lit8d del interalo.

Mo"a

Es el dato con $aor >rec8encia entre el con8nto de datos. Para datos ar83ados, se 6alla de la si8iente>or$a:

Mo= L+( d1

d1+d

2)∗ A

nde:

# es el lí$ite in>erior del interalo donde se enc8entra la &oda.

d1: Es la di>erencia entre la >rec8encia a<sol8ta del interalo donde est4 la $oda la >rec8encia a<sol8ta

del interalo in$ediata$ente anterior.




d2 ' Es la di>erencia entre la >rec8encia a<sol8ta del interalo donde est4 la $oda la >rec8encia a<sol8ta

del interalo in$ediata$ente 3osterior.

A ' Es la a$3lit8d del interalo.

Me"i"a$ "e Po$ici;n

El ob+etivo es describir el comportamiento de !na variable dividiendo la serie de valores en di"erente n<merode partes porcent!almente ig!ales# las m)s !sadas son$ los C!artiles ,c!artas partes/# los Deciles ,decimas

partes/ y los Centiles o Percentiles ,cent=simas partes/.

Lo$ C#ar%ile$

on a;8ellos n%$eros ;8e diiden los datos en c8atro 3artes 3orcent8al$ente i8ales. Ha tres c8artiles,7!, 72 7@. El 3ri$er 8artil 7!, es el alor 3or de<ao del c8al ;8eda a3ro+i$ada$ente la c8arta 3arte(2M?) de todos los datos ordenados El se8ndo 8artil 72 es el alor 3or de<ao del c8al ;8eda el M0? delos datos (&ediana), el tercer 8artil 7@ es el alor 3or de<ao del c8al ;8edan las tres c8artas 3artes (NM?)de los datos.

7!: nS" si el res8ltado da 8n n%$ero deci$al, se a3ro+i$a al entero si8iente el dato ;8e est* en dic6a3osicin corres3onde a 7!.




72: nS2 si el res8ltado da 8n n%$ero deci$al, se a3ro+i$a al entero si8iente el dato ;8e este en dic6a3osicin corres3onde a 72.

7@: @nS" si el res8ltado da 8n n%$ero deci$al, se a3ro+i$a al entero si8iente el dato ;8e este en dic6a3osicin corres3onde a 7@.

Ee$3lo:

o$ando co$o ee$3lo los datos corres3ondientes a la resistencia a la ad6erencia de 2M arillas >a<ricadascon el n8eo $aterial.

#os c8artiles ;8edaran de>inidos de la si8iente $anera:

o$o n2M

nS" 2MS",2M N, entonces el c8artil 7! es el dato ;8e se enc8entra en la 3osicin N delcon8nto de datos.

7! M,2

nS2 2MS2!2,M !@, entonces el c8artil 72 es el dato ;8e se enc8entra en la 3osicin !@ delcon8nto de datos.

72 ,2

@nS"@(2M)S"!Q,NM !9, entonces el c8artil 7@ es el dato ;8e se enc8entra en la 3osicin !9 delcon8nto de datos.

7@ 9,9




Lo$ Percen%ile$

on n%$eros ;8e diiden el con8nto de datos ordenados en cien 3artes 3orcent8al$ente i8ales. El

3ercentil M0 e;8iale a la $ediana.onsiderando la de>inicin de la $ediana, esta ser4 el se8ndo c8artil, el ;8into ecil o el M0ao Percentil.

El 3rocedi$iento 3ara encontrar el alor de c8al;8ier 3ercentil PO a 3artir de datos clasi>icados, es elsi8iente:

!. Encontrar la 3osicin del 3ercentil P, $ediante el calc8lo de n>?# donde 5 es la alor 3orcent8al ;8ere3resenta el 3ercentil.

2. i n>? no es 8n entero, entonces la 3osicin del 3ercentil # es el entero si8iente el alor de PO es eldato ordenado en dic6a 3osicin.

@. i n>? es 8n entero, entonces la 3osicin del 3ercentil P, ser4 el 3ro$edio de las o<seracionesordenadas en las 3osiciones n? nO 9.

Ee$3lo:

o$ando co$o ee$3lo los datos corres3ondientes a la resistencia a la ad6erencia de 2M arillas >a<ricadas

con el n8eo $aterial. i ;8ere$os encontrar 3or ee$3lo, el 3ercentil !0 ( P0,10) , donde ? 0.!0.

En este caso n?:2@,0#0/:2#@ no es 8n entero, de tal $anera ;8e se a3ro+i$a al entero si8iente 2#@ # l8eo el 3ercentil !0 (P0,!0) es el alor ;8e se enc8entra en la 3osicin @ del con8nto de

datos, l8eo, P0,10 ",Q lo c8al sini>ica ;8e el !0? de las arillas o<seradas, reistraron 8na resistencia

a la ad6erencia, a3ro+i$ada$ente $enor a ",Q?.




El 3ercentil 22 se enc8entra de $anera si$ilar. P8esto ;8e a6ora O0.22, nVO 2M(0,22) M,M .#8eo P0,22 :@#. Por tanto, el 22? de las arillas o<seradas, reistraron 8na resistencia a la ad6erencia,a3ro+i$ada$ente, in>erior a M,!?.

Lo$ Decile$

on n%$eros ;8e diiden el con8nto de o<seraciones ordenadas en diez 3artes 3orcent8al$ente i8ales.

e tal $anera ;8e el ecil !(!) es i8al al Percentil !0 (P0,!0)

El ecil 2(2) es i8al al Percentil 20 (P0,20)

El ecil @(@) es i8al al Percentil @0 (P0,@0) así s8cesia$enteK.MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Varian7a M#=$%ral

e 38ede de>inir co$o el 3ro$edio de los c8adrados de las desiaciones de los datos con res3ecto a la$edia $8*stral. e de>ine co$o:

S2=∑i=1

n

( yi− ́x)2

∗f i

n−1

De$viaci;n E$%9n"ar M#=$%ral




Al to$ar el c8adrado de las desiaciones con res3ecto a la $edia 3ara el c4lc8lo de la arianza, las8nidades en ;8e est4n dados los datos ta$<i*n se e+3resaran en 8nidades al c8adrado. Esto 38ede notener sentido. Estas circ8nstancias cond8eron a ;8e se le 6iciera 8na $odi>icacin a la anterior $edida se

lle de esta $anera al conce3to de desiacin est4ndar, la c8al se de>ine co$o la raíz c8adrada de laarianza, esto es:

S=√∑i=1

n

( y i−´ x)2∗f i

n−1

La Regla E5!rica'

Esta rela 3er$ite encontrar el 3orcentae de datos ;8e de<e estar dentro de deter$inadas desiacionesest4ndar res3ecto a la $edia. A contin8acin se deter$inan estos 3orcentaes:

• A3ro+i$ada$ente el Q? de los datos est4n a $enos de 8na desiacin est4ndar de la $edia

• A3ro+i$ada$ente el 9M? de los datos est4n a $enos de dos desiaciones est4ndar de la $edia

• A3ro+i$ada$ente el 99,N? de los datos de la $8estra est4n a tres desiaciones de la $edia

Ee$3lo:o$ando co$o ee$3lo los datos corres3ondientes a la resistencia a la ad6erencia de 2M arillas >a<ricadascon el n8eo $aterial. Un calc8lista desea sa<er en ;8* ranos, e+acta$ente, est4n oscilando los aloresde las resistencias de las arillas >a<ricadas con el n8eo $aterial.

A3licando la rela e$3írica, se deter$inan los si8ientes alores:




(+ = s, + L s)(+ = 2s, + L 2s)(+ = @s, + L @s)

• A3ro+i$ada$ente el Q? de las arillas >a<ricadas tienen 8na resistencia de entre el ",! el !!,@

• A3ro+i$ada$ente el 9M? de las arillas >a<ricadas tienen 8na resistencia de entre el 0,MQ el !",Q2

A3ro+i$ada$ente el 99,N? de las arillas >a<ricadas tienen 8na resistencia de entre el 0,0 el !Q,@Q

Coe4icien%e "e A$ie%r!a

ndica 6acia ;8e e+tre$o los datos estan $4s alo$erados o distri<8idos. i 6a 3ocos datos distri<8idos

6acia el e+tre$o derec6o se dice ;8e la distri<8cin es $e$ga"a a la "erec>a, $ientras ;8e si 6a 3ocosdatos distri<8idos 6acia la iz;8ierda, se dice ;8e la distri<8cin es $e$ga"a >acia la i7?#ier"a. #a $edida;8e descri<e esta asi$etría se deno$ina coe4icien%e "e $e$go- o si$3le$ente $e$go. Est4 de>inida co$o:




α 3=

∑i=1

n

( yi− ́x)3∗f i

n

(√∑i=1

n

( yi−´ x )2∗f i

n−1 )3

i α 3>0 la distri<8cin es esada a la erec6a. i α 3<0 la distri<8cin es esada a la z;8ierda. iα 3=0 la distri<8cin es i$*trica.

Coe4icien%e "e C#r%o$i$

En al8nos casos 8nos datos 38eden estar concentrados alrededor de la $edia, de $anera ;8e ladistri<8cin tiene 8n 3ico rande. En otros casos, la distri<8cin 38ede ser relatia$ente 3lana. #a $edida




;8e deter$ina ;8e tan e$3inada se enc8entra 8na distri<8cin se deno$ina coe4icien%e "e c#r%o$i$- osi$3le$ente c#r%o$i$ est4 dada 3or:

α 4=

∑i=1

n

( yi−´ x )4∗f i

n

(√∑i=1

n

( y i−´ x)2∗f i

n−1 )

4

i α 4>0 la distri<8cin es Le5%oc:r%ica. i α 4<0 la distri<8cin es Pla%oc:r%ica. i α 4=0 los datos sedistri<8en >or$a nor$al o Me$oc:r%ica.




Rango In%erc#ar%ilico

Es la distancia entre los c8artiles s83erior e in>erior se de>ine co$o:

RI =Q3−Q1

Per$ite di<8ar el diara$a de caas, ;8e a8da a is8alizar ;8e tan dis3ersos estan los datos ;8e seenc8entran 8<icados antes de la &ediana des38es de la &ediana.

Diagraa "e ca<a$




Es 8n res8$en r4>ico ;8e se e$3lea de $anera satis>actoria 3ara descri<ir arias de las $4s destacadascaracterísticas de 8n con8nto de datos. Estas características incl8en: centro, dis3ersin desiacin de lasi$etría e identi>icacin de W38ntos in8s8alesW es decir, o<seraciones ;8e est4n desa>ort8nada$ente leos

del c8er3o 3rinci3al de los datos.

Un diara$a de caas se 38ede constr8ir $ediante la si8iente sec8encia de 3asos:

!. i<8ar $arcar 8n ee de $edida 6orizontal.2. onstr8ir 8n rect4n8lo c8o <orde iz;8ierdo est4 en el 3ri$er c8artil c8o <orde derec6o est4 en el

tercer c8artil.




@. i<8ar 8n se$ento de recta ertical dentro de la caa arri<a donde est4 la $ediana.". e calc8la el alor de !.M eces el 'ano nterc8artílico dic6o alor se le s8$a al 7@ se le resta al

7!.

M. #as o<seraciones ;8e estan 3or >8era de dic6o rano se conocen co$o 38ntos in8s8ales.

TECNICAS DE CONTEO @ PROBABILIDAD

X1A E 1E:

Principio de la M!ltiplicación$

Es a;8el ;8e $e indica ;8e si 8n eento A, se 38ede realizar de nI >or$as, 3or cada 8na de estas >or$asotro s8ceso B, se realiza de $I >or$as, entonces los s8cesos 38eden oc8rrir de n+$I $aneras.

Ee$3lo: Una aencia de iaes o>recen 8n 3a;8ete t8ristico 3ara isitar el Par;8e arona, saliendo desdela ci8dad de inceleo lleando 3ri$ero a anta &art6a. i se sa<e ;8e 3ara llear de inceleo a anta&art6a, e+isten tres $edios de trans3orte di>erentes (&inian, 6er$o Oin, Ain). de anta &art6a alPar;8e arona 6a " >or$as di>erentes de llear (a$ioneta, a<allo, Bicicleta, &oto)I. e c84ntas$aneras 38ede la aencia oranizar s8 itinerario de iae, desde inceleo, 3ara o>recerlo a s8s clientes.

Principio de la Adición.

i se desea llear a ca<o 8na actiidad, la c8al tiene >or$as alternatias 3ara ser realizada, donde la3ri$era de esas alternatias 38ede ser realizada de & >or$as, la se8nda alternatia 38ede realizarse de 1




>or$as... la %lti$a de las alternatias 38ede ser realizada de / >or$as, entonces esa actiidad 38ede ser lleada a ca<o de,

M 9 4 9.....9 B "ormas

Ee$3lo:

!) En 8n reconocido al$ac*n de cadena de la ci8dad, o>recen tres $arcas de laadoras di>erentes(/6irl3ool, Eas General Electric), cada $arca $anea s8s 3ro3ias líneas de laadoras, 3or ee$3lo, las

laadoras de la $arca /6irl3ool, iene con dos ti3os de cara (!Q o @0 li<ras), en c8atro colores di>erentes 38ede ser a8to$4tica o diital. #as $ientras ;8e las laadoras de la $arca Eas, iene con tres ti3os decara (!Q, 2M o @0 li<ras), en dos colores di>erentes 38ede ser a8to$4tica o diital. Por s8 3arte laslaadoras de la $arca GE, ienen con solo 8n ti3o de cara (2Mli<ras), dos colores di>erentes solo la 6adiitalI. i el al$ac*n o>rece todas las líneas dis3oni<les de las $arcas. Y84ntas o3ciones di>erentes tiene8na 3ersona 3ara co$3rar 8na laadora, si entra a *ste al$ac*nT

Perm!tación$

i tene$os nI ele$entos ;8ere$os oranizarlos de arias $aneras, entonces tendre$os 3er$8tacionesde n ele$entos, lo ;8e se si$<oliza con

Pn nZ n(n=!)(n=2)(n=@)KK..(2)(!)




Ee$3lo:

8antos n%$eros di>erentes 38edo ar$ar con las ci>ras: 9, , @, Q, !, ".

M " @ 2 !P Z +M+"+@+2+! N20 $aneras di>erentes

ariaciones$

8ando de 8n con8nto de nI ele$entos, se 6acen 3er$8taciones de ellos to$andolos en s8<con8ntos derI ele$entos, esta$os 6aciendo ariaciones de n ele$entos to$andolos de r en r.

nVr n !

( n−r ) !

Ee$3lo:

Una entidad <ancaria ;8e c8enta con 20 e$3leados, a a seleccionar 8n co$it* de @ 3ersonas 3ara 8naca3acitacin en $aneo de <alances, 3ero cada 8na de ellas de<e ir a 8na ci8dad di>erente a reci<ir el c8rso(Boot4, &edellín Barran;8illa)I.Ye c8antas $aneras 38eden ;8edar re3artidos los destinos entre los 20

e$3leadosT

Combinaciones$




Es el con8nto de todos los res8ltados 3osi<les, de 8n e+3eri$ento Aleatorio. e re3resenta con la letra U los ele$entos ;8e lo con>or$an se lla$an eentos si$3les.

#a cantidad de ele$entos dentro del es3acio $8estral U, lo re3resenta$os con n(U).

EDE1 UE:Es 8n s8<con8nto del es3acio $8estral. e re3resenta con letras $a8sc8las A, B, K etc. a la cantidadde ele$entos 3resentes en el eento A de>inido, lo re3resenta$os con n(A).

Ee$3los de Es3acios &8*strales Eentos: onsidera los ee$3los descritos en las *cnicas de onteo,co$o e+3eri$entos aleatorios escri<e el Es3acio &8estral enerado, la cantidad de ele$entos n(U) encada caso, 8n 3osi<le eento 3ara cada 8no el n%$ero de ele$entos de *ste.

onsidera ta$<ien los si8ientes e+3eri$entos escri<e el es3acio $8estral ;8e se enera, la cantidad deele$entos n(U), 8n 3osi<le eento el n%$ero de ele$entos de *ste.!) #anza$iento de 8na $oneda 2 ecesI2) #anza$iento de 8n dado 2 ecesI.

ea A 8n eento asociado a 8n e+3eri$ento aleatorio. #a 3ro<a<ilidad de ;8e A, oc8rra est4 de>inida co$o




p ( A )=n ( A )n(U )

= N!ero de "xi#o$

N!ero%o#&' de Po$i(i'id&de$

Ee$3los:

ados los es3acios $8*strales eentos, de>inidos con anterioridad, 6alle$os las 3ro<a<ilidades de ;8edic6os eentos oc8rran:

Eercicio:

a) onsidere el e+3eri$ento aleatorio 1aci$iento de tres <e<*sI: Escri<e el es3acio $8estral U ;8e seenera, la cantidad de ele$entos n(U), 8n 3osi<le eento asociado al es3acio $8estral enerado la3ro<a<ilidad de ;8e *ste s8ceda.

A&A E P'BAB#A:

A+io$a !: P( A))0

A+io$a 2: P (U )=1




A+io$a @: P ( A1∪ A

2∪ A

3* *∪ An )=∑

i=1

n

P ( A i)

'EG#A E P'BAB#A:

ea U 8n es3acio $8estral o<tenido de 8n e+3eri$ento aleatorio. ean A, B, , eentos del es3acio$8estral.

#a 3ro<a<ilidad de A ;8e se si$<oliza co$o P(A) es:

a) P (∅)=0

<) 0 + P(A) +1

c) P(AUB) P(A) L P(B) si son dis8ntos

d) P(AUB) P(A) L P(B) C P(A B) si no son dis8ntos

e) P(AUBU) P(A) L P(B) LP() C P(A B) = P(B ) = P(A ) L P(A B )

>) P(A)[ ! C P(A)




) P(A=B) P(A) C P(A B) P(A B[)

6) P(AUB)[ ! = P(AUB)

i) P(A B)[ ! = P(A B)

EJE&P#:!) e lanza 8na $oneda dos eces. Halla la 3ro<a<ilidad de ;8e:a) alan dos caras o dos sellos<) ala 3or lo $enos 8n selloc) 1o sala sello

2) En la <i<lioteca de la 8niersidad, e+isten tres li<ros de Estadística: A, B, . i el @0? de los al8$noslee el li<ro A, el 20? lee el li<ro B, el !M? lee el li<ro , el !2? lee A B, el 9? lee A , el ? lee B , >inal$ente @? leen A, B .

a) Y84l es la 3ro<a<ilidad ;8e lean al $enos 8no de los tres li<rosT<) 78* 3orcentae de al8$nos leen B o , 3ero no Ac) 84l es la 3ro<a<ilidad ;8e lean A 3ero no leen B o .

@) En 8na ci8dad, el "0? de la 3o<lacin tiene ca<ellos casta5os, el 2M? tiene oos casta5os el !M?tiene ca<ellos oos casta5os. i se to$a 8na 3ersona al azar.

a) 84l es la 3ro<a<ilidad ;8e tena oos casta5os, 3ero no ca<ello casta5o.<) 84l es la 3ro<a<ilidad ;8e no tena oos casta5os ta$3oco ca<ello casta5o.c) 84l es la 3ro<a<ilidad ;8e tena oos casta5os o ca<ello casta5o.

PROBABILIDAD CON(UNTA




ean A B, dos eentos c8ales;8iera, asociados a 8n es3acio $8estral U. #a 3ro<a<ilidad ;8e oc8rran A

B al $is$o tie$3o ;8e se re3resenta con P( A -) , est4 dado 3or:

P ( A - )= P ( A ) P (- ) , $i A y - $onindependien#e$.

Ee$3los de Eentos inde3endientes:

a) #os asociados al lanza$iento de 8n dado o de 8na $oneda.<) El se+o de 8n ni5o al nacer, entre otros.

Ee$3los:!) #a 3ro<a<ilidad de ;8e 8na 3ersona co$3re 8na casa des38es de 6a<er sido contactada 3or 8n aente

in$o<iliario es de P 0,"0. 'e3resente con D, el eento Dender 8na casaI con D[, el eento 1o ender 8na casaI.

a) onstr8e 8n diara$a de 4r<ol, ;8e $8estre la sec8encia de contactar a tres 3ersonas.<) Y84l es la 3ro<a<ilidad de ;8e el aente 6aa $ini$o dos entasTc) Y84l es la 3ro<a<ilidad de ;8e el aente 6aa $ini$o 8na entaT

.2 En la >i8ra, la 3ro<a<ilidad de ;8e la i=*si$a llae del circ8ito est* cerrada es P i !S, 3ara i!, 2, @, ", M.

i todas las llaes a<ren cierran de $anera inde3endiente. Y84l es la 3ro<a<ilidad de ;8e la corriente3ase del 38nto & al 38nto 1, en *ste circ8itoT

1 2




3

M N

4

@) #a 3ro<a<ilidad ;8e en 8na >a$ilia nazca 8na ni5a es del "N?, si se to$an >a$ilias con tres 6ios seelie 8na de estas >a$ilias al azar. 84l es la 3ro<a<ilidad ;8e:

a) odos sean ni5os.<) Uno de los 6ios sea ni5a.c) Hallan al $enos dos ni5as.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

ean A B, dos eentos c8ales;8iera, asociados a 8n es3acio $8estral U. #a 3ro<a<ilidad ;8e el eento A

oc8rra, dado ;8e oc8rre el eento B, ;8e se si$<oliza co$o P( A/-) , est4 dado 3or:

P ( A /- )= P( A -)

P(-) /on P (- )0 0

P (-/ A )= P( A -)

P( A) /onP ( A ) 00

ESTADISTICA NOTAS DE CLASE MS LILIANA VITOLA GARRIDO




e a;8í: P ( A - )= P ( A ) P ( - / A ) P ( A - )= P ( - ) P ( A /- )

e 38ede eneralizar a $4s de dos eentos: P ( A - C )= P ( A ) P ( -/ A ) P (C / A -)

Ee$3los:

,2 #a si8iente ta<la $8estra la reaccin de "00 3ersonas c8ando se les 3re8nto acerca de 8n n8eoincre$ento al i$38esto 3redial. Estas 3ersonas >8eron clasi>icadas de ac8erdo a la actiidad ;8e eercen:

a2 Halla la 3ro<a<ilidad;8e seadese$3leado.

32 Halla la 3ro<a<ilidad

;8e la 3ersona sea inde3endiente se o3ona al n8eo 3lan.c2 Halla la 3ro<a<ilidad ;8e la 3ersona se o3ona al 3lan dado ;8e es inde3endiente.

"2 Halla la 3ro<a<ilidad ;8e la 3ersona sea dese$3leado o est* a >aor del n8eo 3lan.

e2 Pr8e<a, si ser ese$3leado estar En ontra son eentos inde3endientes.

'EA1

ADAE1\&A

A FAD' 1EU'A# E1 1'A A#

E&P#EA !20 20 20 !01EPE1E1E M0 @0 0 !"0EE&P#EA M0 !0 "0 !00A# 220 0 !20 "00





2) En 8na caa se de3ositaron N <anderines 'oos, " Derdes @ A$arillos. i se sacan dos al azar sinre3osicin, 6alla las si8ientes 3ro<a<ilidades:

a) 78e 8no sea 'oo el otro A$arillo.<) i se sacan consec8tia$ente tres <anderines, c8al es la 3ro<a<ilidad de ;8e el 3ri$ero sea A$arillo, el

e8ndo Derde el tercero 'oo.

Pro3a3ili"a" To%al

ean A, B tres eentos c8al;8iera asociados a 8n es3acio $8estral U, con A B dis8ntos entre si. i la

3ro<a<ilidad de ;8e se de el eento , de3ende de la oc8rrencia del eento A P (C / A ) I o de la oc8rrencia

del eento B P (C /- ) I. Entonces la 3ro<a<ilidad de ;8e se de , esta dado 3or:

P (C )= P (C /- ) P (- )+ P (C / A ) P( A)

Ee$3lo:

!) Un 3ro>esional dedicado a la constr8ccin, 8tiliza ce$ento de tres 3roeedores di>erentes: A, B . e!000 <olsas reci<idas, M00 3roienen del 3roeedor A, @00 del 3roeedor B, el resto del 3roeedor .e e+3eriencias 3asadas, el ineniero sa<e ;8e el ? de las <olsas ;8e 3roienen del 3roeedor A, noc8$3len con el 3eso e+acto re;8erido, el Q? de las ;8e 3roienen de B ta$3oco el !0? de las ;8eienen de ta$3oco c8$3len con el 3eso e+acto e+iido. i se elie 8na <olsa al azar, 6alla:





a) #a 3ro<a<ilidad de ;8e no c8$3la con el 3eso e+iido iene de la e$3resa B.<) #a 3ro<a<ilidad ;8e no tena el 3eso e+acto e+iido.

Teorea "e Ba6e$

ea U 8n es3acio $8estral sean A1

, A2, A

3, * An 8na coleccin de eentos asociados a U, $8t8a$ente

e+cl8entes, tales ;8e:

i) U i=1

n A i=U

ii) P ( A i )>0 i !, 2, @, K n

Para c8al;8ier eento - , de U. #a 3ro<a<ilidad ;8e A i oc8rra, dado la oc8rrencia de - , ;8e se

si$<oliza con P ( A i/- ) es la lla$ada 3ro<a<ilidad A PrioriI, esta dada 3or:

A i

- /¿¿

P ( Ai ) P¿

∑i=1

n

¿

P ( A i/- )= P ( A i ) P(- / A i)

¿

Ee$3los:

ESTADISTICA NOTAS DE CLASE MSc LILIANA VITOLA GARRIDO




!) Un analista de 8na e$3resa de constr8ccin, esti$a ;8e la 3ro<a<ilidad de ;8e 8na n8ea e$3resa3lanee o>recer sericios de constr8ccin en los 3r+i$os tres a5os, es de 0.@0 de 0.N0 de ;8e no lo6aa. i la n8ea e$3resa tiene estos 3lanes, de>initia$ente de<ería constr8ir 8na n8ea instalacin de

ad$inistracin de o<ras. i la n8ea e$3resa no tiene estos 3lanes todaía, ;8eda 8na 3ro<a<ilidad del0? de ;8e se constr8a 8na n8ea instalacin de ad$inistracin de o<ras 3or otras razones.

a) 'e3resenta con AI la decisin de ;8e la n8ea e$3resa o>rezca sericios de constr8ccin con BI laconstr8ccin de 8na n8ea instalacin de ad$inistracin de o<ras, e il8stra los 3osi<les eentos con 8ndiara$a de 4r<ol.

<) 83ona ;8e la n8ea e$3resa a e$3ez a constr8ir 8na n8ea instalacin de ad$inistracin de o<ras.on <ase en esta in>or$acin. Y84l es la 3ro<a<ilidad ;8e la e$3resa 6aa decidido o>recer sericios

en el 4rea de la constr8ccinT

c) Y84l es la 3ro<a<ilidad ;8e se constr8a 8na n8ea instalacin 3ara la ad$inistracin de las o<rasT

2) res $4;8inas 3rod8cen el total de 3iezas de re38estos de a8tos de 8na >4<rica. ean A, B las tres$4;8inas. onde A, >a<rica el "M? de las 3iezas B >a<rica el @0? de las 3iezas >a<rica el 2M? delas 3iezas. #os 3orcentaes de 3iezas de>ect8osas 3rod8cidas 3or la $a;8ina A son el @? 3or B el "?3or el M?. e%n esto. i se selecciona 8na 3ieza al azar. 84l es la 3ro<a<ilidad ;8e:a) ea de>ect8osa dado ;8e >8e ela<orada 3or la $a;8ina B.<) ea de>ect8osa.c) ado ;8e es de>ect8osa, c84l es la 3ro<a<ilidad ;8e ena de la $a;8ina .





VARIABLE ALEATORIA

ea U 8n es3acio $8estral sea A 8n eento del es3acio $8estral U. Una aria<le aleatoria (.a.) X , es

8na >8ncin ;8e le asina 8n alor real, a cada eento A del es3acio $8estral U. e si$<olizan con letras$a8sc8las ( X ,1 ,Z ,e#/.¿ , de tal $anera ;8e si A es 8n eento del es3acio $8estral U, entonces:

X ( A )= x donde x∈ R

#as aria<les aleatorias son iscretas o ontin8as:

Varia3le Alea%oria Di$cre%a

ea U 8n es3acio $8estral discreto sea A 8n eento del es3acio $8estral U. Una aria<le aleatoria (.a.)

discreta X , es 8na >8ncin ;8e le asina 8n n%$ero entero, a 8n eento A del es3acio $8estral U.

Ee$3lo:

a) ea el e+3eri$ento #anzar 8na $oneda @ ecesI





ea X la .a. de>inida co$o el:

1%$ero de caras ;8e salen, al lanzar 8na $oneda @ ecesI

ado ;8e el es3acio $8estral U de *ste e+3eri$ento, tiene co$o ele$entos.

U :{///,//$,/$/,$//,$$/,$/$,/$$,$$$ }

#a .a. X to$aría los si8ientes alores:

X ($$$ )=0 X ($$/,$/$,/$$)=1 X ($//,/$/,//$)=2 X (/// )=3

<) ea el e+3eri$ento #anzar dos dados a la ezI

ea 1 la .a. de>inida co$o el:

1%$ero de ci>ras i$3ares ;8e salen, al lanzar dos dados a la ezI

1 (4,6 )=01 (3,2 )=11 (5,1 )=2

F#nci;n "e Di$%ri3#ci;n "e Pro3a3ili"a" "e #na Varia3le Alea%oria Di$cre%a

e>inicin:

ESTADISTICA NOTAS DE CLASE - MSc LILIANA VITOLA GARRIDO




#a >8ncin de 3ro<a<ilidad 38nt8al o de $asa de 8na .a. discreta X , es, 3ara todo x :

f x ( X )= P x ( X )= P ( X = x )= P( X ( A )= x ,∀ A∈U )

#as condiciones 3ara ;8e 8na >8ncin f x ( X )= P x ( X ) , sea >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad discreta

son:

a) 0 + P x ( X )+ 1

<) ∑ P x ( X )=1

o$ando el ee$3lo del lanza$iento de la $oneda @ eces la F8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad de la.a. X ;8edar4 de la si8iente $anera:

a) Pri$ero se 6allan las 3ro<a<ilidades P ( X = x ) :

P ( X =0 )= P ($$$ )=1

8

P ( X =1 )= P ( $$/,$/$,/$$)=

3

8

P ( X =2 )= P (//$,/$/,$// )=3

8

ESTADISTICA NOTAS DE CLASE - MSc LILIANA VITOLA GARRIDO



ESTADISTICA NOTAS DE CLASE MSc. LILIANA VITOLA GARRIDO

P ( X =3 )= P (/// )=1

8

<) e oranizan en 8na ta<la o r4>ica:

X 0 1 2 3

f x ( X )= P ( X = x ) 1

8

3

8

3

8

1

8

f x ( X )={0 $i x<0

1

8 $i x=0

3

8 $i x=1

3

8 $i x=2

1

8 $i x=3

F#nci;n "e Di$%ri3#ci;n "e Pro3a3ili"a" Ac##la"a "e #na Varia3le Alea%oria Di$cre%ae>inicin:

#a >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad ac8$8lada de 8na .a. discreta X , con >8ncin de 3ro<a<ilidad

38nt8al P ( X = x ) , est4 dada,+¿

∀ x∈Z ¿ co$o:




ESTADISTICA NOTAS DE CLASE MSc. LILIANA VITOLA GARRIDO

F x ( X )= P ( X + x )=∑ P x( x 2) x 2< x

Es decir la 3ro<a<ilidad ;8e la .a. X to$e 8n alor $enor a x .

o$ando el ee$3lo del lanza$iento de 8na $oneda @ eces la F8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad

Ac8$8lada de la .a. X ;8edar4 de la si8iente $anera:

X + x 0 1 2 3

F x ( X )= P ( X + x ) 1

8

1

2

7

8

1

F x ( X )=

{ 0$i x<01

8

$i0+ x<1

1

2$i0+ x<2

7

8$i0+ x<3

1 $i x)3




Valor E$5era"o "e #na Varia3le Alea%oria Di$cre%a

ea X 8na .a. discreta con >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad P x ( X ) , la Es3eranza o Dalor

Es3erado de la .a. X , est4 dada 3or:

3 ( X )=∑ x P x ( X )= μ x

En el ee$3lo del lanza$iento de la $oneda @ eces, c8a .a. X : 1%$ero de caras ;8e salenI

#a Es3eranza o Dalor Es3erado de X , es:

3 ( X )=∑ x P x( X )=0( 1

8 )+1( 3

8 )+2( 3

8 )+3( 1

8 )=1,5 2

Pro5ie"a"e$ "e la E$5eran7a

ean X 1 .a. discretas, de>inidas so<re 8n es3acio $8estral U.

•

X +¿ 3 ¿ 1 ¿ 3 ( X )+(1 )

• 3 (4 ∗ X )=4 ∗ 3 ( X ) 3ara todo n%$ero real 4 .




• 3 ( 4 )=4 3ara todo n%$ero real 4 .

• 3 (&∗ X +( )=&∗ 3 ( X )+( 3ara todo 3ar de n%$eros reales & ( .

•

X

3 ¿ ] 1 ¿= 3 ( X )∗ 3(1 ) ^nica$ente en el caso de ;8e X y 1 sean aria<les aleatorias

inde3endientes.

Varian7a "e #na Varia3le Alea%oria Di$cre%a

ea X

8na .a. discreta con >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad

P x ( X )

, Es3eranza 3 ( X ) ,

laDarianza de la .a. X , *sta dada 3or:

5&r ( X )= 3( x−μ x )2=∑( x−μ x )

2 P x ( X )=σ x2

<ien

5&r ( X )=∑ x2 P x ( X )− μ x

2=σ x2

o$ando el ee$3lo de la $oneda ;8e se lanza @ eces, c8a .a. X : 1%$ero de caras ;8e salenI




#a Darianza de la .a. X es:

5&r ( X )=∑ ( x− μ x)2 P x ( X )=(0−1,5)2

1

8+(1−1,5)2

3

8+(2−1,5)2

3

8+(3−1,5)2

1

8=0,75

Pro5ie"a"e$ "e la Varian7a

• 5&r ( X ))0

• 5&r ( 4 ∗ X )=4

25&r ( X ) 3ara todo n%$ero real 4 .

• 5&r ( 4 )=0 3ara todo n%$ero real 4 .

• 5&r ( &∗ X +( )=&

25&r ( X ) 3ara todo 3ar de n%$eros reales & y ( .

• 5&r ( X +1 )=5&r ( X )+5&r (1 ) . i X 1 son .a. inde3endientes

Ee$3lo:

o$ando el ee$3lo de dos dados ;8e se lanzan 8na ez. i X es la .a. de>inida co$o:

X :Número de cifras impares que salen al lanzar dos dados una sola vez enc8entre:




a) #a distri<8cin de 3ro<a<ilidad de la .a. X .

<) #a distri<8cin de 3ro<a<ilidad ac8$8lada de X .

c) El alor es3erado de

X .

d) #a Darianza de X .

Eercicios:

A3licando las 3ro3iedades de la Es3eranza e$8estra las 3ro3iedades de la Darianza.

E$5eran7a "e #na F#nci;nPro3osicin: i X es 8na .a. discreta, con alores 1 # 1 2# 1 88 1 n# entonces la >8ncin 6( X ) es discreta

con alores y # y 2# y 88 y n donde y i ¿6( x i)

.

Pro3osicin: i la .a. X , tiene >8ncin de 3ro<a<ilidad P x ( X ) , entonces la Es3eranza de 6( X ) , est4

dada 3or:

3 (6( X ))=∑ 6( x ) P x ( X )= μ6 ( x)

Ee$3lo:




ea X , la .a. de>inida co$o el n%$ero de 3a;8etes de 3rora$as de co$38tador, contratados 3or 8n

cliente seleccionado al azar. #a >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad del n%$ero de 3a;8etes ;8e secontraten se $8estra a contin8acin:

X ! 2 @ " M

P x ( X ) 0,@NM 0,2NM 0,!NM 0,! 0,0NM

i el costo del sericio, es 8na aria<le 1 , ;8e es >8ncin del n%$ero de 3a;8etes ;8e se contraten, dada

3or la >r$8la:

6 ( X )=1 =30( X +1)

• 84l es el alor es3erado del costo 3aado 3or el clienteT

Varia3le Alea%oria Con%in#a

ea U 8n es3acio $8estral contin8o, es decir, a;8el ;8e tiene tantas 3osi<ilidades co$o 38ntos en 8n

se$ento de linea sea A 8n interalo ∈ U. Una aria<le aleatoria (.a.) contin8a X , es a;8ella ;8e

to$a alores dentro de 8n interalo A c8al;8iera, del es3acio $8estral U. #os interalos 38eden ser detie$3o, distancia, 4rea, etc.

Ee$3lo:




a) i 8n e+3eri$ento consiste en $edir la ida %til de 8n deter$inado n%$ero de <o$<illas a6orradoras de l8z>a<ricadas 3or 8na e$3resa, el res8ltado del e+3eri$ento es el tie$3o t en 6oras, ;8e d8ra 8na <o$<illa, ;8e se enc8entra en al%n interalo de tie$3o A, del es3acio $8estral U, donde U, en este caso es,

U = {0+ # +1000 } , si las <o$<illas tiene 8na ida %til ;8e no s83era las !000. En *ste caso la .a. X

to$aría alores, en 8n interalo co$o el ;8e si8e:

X ( A )=[0,# ] onde # , es el tie$3o de d8racin de 8na <o$<illa c8al;8iera.

F#nci;n "e Den$i"a" "e Pro3a3ili"a" #na Varia3le Alea%oria Con%in#a

#a >8ncin de densidad de 3ro<a<ilidad de 8na .a. contin8a X , es 8na >8ncin de los alores ;8e to$a

la .a X , ;8e se re3resenta con f x ( X ) . e tal $anera ;8e el 4rea <ao la c8ra de la >8ncin f x ( X ) es

i8al a !.e>inicin:

#a >8ncin f x ( X ) , es 8na >8ncin de densidad de 3ro<a<ilidad de la .a. contin8a X , de>inida en el

con8nto de los n%$eros reales R . i se c8$3len las @ si8ientes condiciones:

a) f x ( X )) 0 ∀ x∈ R

<) ∫−∝

∝

f x ( X ) dx=1




c) P (& + x + ( )=∫&

(

f x ( X ) dx

Ee$3lo:El n%$ero total de 6oras, $edidas en 8nidades de !00 6oras, ;8e d8ra 8na <o$<illa a6orradora de l8z>8ncionando, es 8na aria<le aleatoria contin8a dada 3or:

f x ( X )={ x $i0+ x<12− x $i1+ x<2

0eno#ro/&$o }a) Pr8e<e ;8e f x ( X ) es >8ncin de ensidad de 3ro<a<ilidad de la .a. X

<) Halle la 3ro<a<ilidad de ;8e 8na <o$<illa c8al;8iera, d8re entre !00 !M0 6oras.

c) race la r4>ica de la >8ncin f x ( X ) .

F#nci;n "e Di$%ri3#ci;n "e Pro3a3ili"a" Ac##la"a "e #na Varia3le Alea%oria Con%in#a

e>inicin:

#a >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad ac8$8lada F x ( X ) de 8na .a. contin8a X , con >8ncin de

densidad f x ( X ) , est4 dada, ∀ x∈ R 3or:




F x ( X )= P ( X + x )=∫−∝

x

f ( # ) d#

Ee$3lo:o$ando el ee$3lo de las <o$<illas a6orradoras de l8z, enc8entra s8 >8ncin de distri<8cin ac8$8lada

F x ( X ) traza la r4>ica de F x ( X ).

Valor E$5era"o "e #na Varia3le Alea%oria Con%in#a

ea X 8na .a. contin8a con >8ncin de densidad de 3ro<a<ilidad f x ( X ) , la Es3eranza o Dalor Es3erado

de la .a. X , est4 dada 3or:

3 ( X )=∫−∝

∝

x∗f x ( X ) dx= μ x

Varian7a "e #na Varia3le Alea%oria Con%in#a

ea X 8na .a. contin8a con >8ncin de ensidad de Pro<a<ilidad f x ( X ) , Es3eranza 3 ( X ) , la

Darianza de la .a. X , est4 dada 3or:




5&r ( X )=∫−∝

∝

( x− 3 ( X ))2 f x ( X )dx=σ 2

x

<ien

5&r ( X )=∫−∝

∝

( x )2∗f x ( X ) dx−μ x2=σ 2 x

Ee$3lo:o$ando el ee$3lo de las <o$<illas a6orradoras de l8z, 6alla 3 ( X ) 5&r ( X ) .

E<ercicio'

ea la >8ncin de densidad de 3ro<a<ilidad f x ( X ) dada 3or:

f x ( X )={4 x

2(1− x)2 $i 0< x<1

¿0 en o#ro /&$o }Halla el alor de 4 , de tal $anera ;8e se c8$3la ;8e f x ( X ) es >8ncin de densidad de 3ro<a<ilidad.




DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS ESPECIALES

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Es a;8el ;8e $odela e+3eri$entos consistentes en 8n ensao ;8e tiene solo dos 3osi<les res8ltados. Por ee$3lo: e+o Estado de 8n artíc8lo >a<ricado Estado de sal8d de 8n 3aciente etc.

#a aria<le aleatoria X , to$a los si8ientes alores:

X ={ 1 $i o/7rre e' e8en#o A

¿0 $i noo/7rre e' e8en#o A }

onde A es el eento de inter*s.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

8ando 8n ensao Berno8lli se re3ite %n( eces, en id*nticas condiciones, de $odo ;8e la 3ro<a<ilidad %p( de ;8e oc8rra el eento de inter*s A, o <ien, de ;8e se d* el *+ito, es constante 6a<la$os entonces de n




ensaos de Berno8lli inde3endientes, de tal $anera, ;8e la s8$a de estos %n( ensaos de Berno8lli, seconierten en 8n e+3eri$ento aleatorio Bino$ial. El c8al, 3resenta las si8ientes características:

a) El e+3eri$ento consta de n ensaos re3etidos e inde3endientes 8nos de otros.<) ada ensao tiene dos 3osi<les res8ltados: E+ito Fracaso.c) #a 3ro<a<ilidad de e+ito p de >racaso * : p# son constantes de 8n ensao a otro.

#a >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad de 8na aria<le aleatoria Bino$ial *sta dada 3or:

f ( X )= P ( X = x )=(n

x) p x

qn− x

x=0,1,2,3,* .n

onde x re3resenta el n%$ero de *+itos.

Esperan'a de !na v.a. Finomial$

#a $edia o alor es3erado de 8na distri<8cin Bino$ial est4 dada 3or:

3 ( X )=μ=np

Donde n es el tamaGo de m!estra y p es la probabilidad de =1ito del evento de inter=s.




arian'a de !na v.a. Finomial$

#a arianza de 8na .a. Bino$ial est4 dada 3or:5&r ( X )=σ 2=npq

i es 8na .a. c8a distri<8cin de 3ro<a<ilidad es Bino$ial, esto se si$<oliza co$o:

X - (n , p)

Pro3iedades de la istri<8cin Bino$ial:

a) P ( x + & )=¿ se <8sca directo en la ta<la.

<) P ( x<& )= P ( x + &−1 )

c) P ( x>& )=1− P ( x + & )

d) P ( x ) & )=1− P ( x<& )=1− P( x + &−1)

e) P ( & + x + ( )= P ( x + ( )− P ( x<& )= P ( x +( )− P( x + &−1)

>) P (&< x + ( )= P ( x +( )− P ( x + & )

) P (& + x<( )= P ( x +(−1 )− P ( x<& )= P ( x +(−1 )− P ( x + &−1 )

6) P (&< x<( )= P ( x + (−1 )− P ( x + & )




i) P ( x=& )=(n

x) p x

qn− x= P ( x + & )− P( x + &−1)

Ee$3los:a) En 8na e$3resa el 2M? de s8s e$3leados tienen est8dios de 3ostrado. e elie 8na $8estra aleatoria

de 20 tra<aadores. i X es la .a. ;8e re3resenta el n%$ero de tra<aadores con 3ostrado,

enc8entra:

• P ( x +4 )

• P ( x<4 )

•

P( x>6

)

• P ( x )6 )

• P (2+ x+ 7 )

• P (2< x +7 )

• P (2+ x<7 )

• P ( x=5 )

<) En cierto 3roceso de 3rod8ccin se sa<e ;8e el !0? de la 8nidades >a<ricadas son de>ect8osas. i X

es la .a. ;8e re3resenta el n%$ero de 8nidades de>ect8osas, 6alladas en 8na $8estra de @0 artic8losto$ados al azar, enc8entra:

• #a 3ro<a<ilidad de ;8e a lo s8$o !2, esten de>ect8osas




• &ini$o 9 esten de>ect8osas• 84l es el n%$ero de 8nidades de>ect8osas ;8e se es3era ;8e salan.• Halla la Darianza del n%$ero de 8nidades de>ect8osas.

DISTRIBUCIÓN POISSON

#a distri<8cin de 3ro<a<ilidad de Poisson, $odela a;8ellos ti3os de >en$enos, ;8e oc8rren en 8n interalode tie$3o o distancia deter$inado. ic6o interalo 38ede estar dado en 6oras, $in8tos, se8ndos, etc. o enOilo$etros, $etros, centi$etros, etc.

Ee$3los de Fen$enos Poissonianos:

* 1%$ero de accidentes de transito ;8e se reistran diaria$ente en 8na aenida de la ci8dad.* 1%$ero de clientes ;8e llean a 8n reconocido al$acen de la ci8dad, cada 6ora.* 1%$ero de a8tos ;8e 3asan 3or 8n 3eae cada 6ora.* 1%$ero de >allas ;8e reistra 8na $a;8ina e$<otelladora, $ens8al$ente.* 1%$ero de ;8eas ;8e se reci<en, se$anal$ente, 3or $ala 3restacin de sericios, en 8na e$3resa

s8$inistradora de eneria, de la ci8dad. Etc.

En los e+3eri$entos Poissonianos, los eentos de<en oc8rrir de $anera aleatoria e inde3endiente 8nos deotros.

#a >8ncin de distri<8cin de 3ro<a<ilidad de 8na aria<le aleatoria Poisson *sta dada 3or:




f ( X )= P ( X = x )=e− 9

9 x

x !

x=0,1,2,3, * .n

onde x re3resenta el n%$ero de *+itos ;8e oc8rren d8rante 8n 3eriodo de tie$3o, en el c8al, se es3era,

;8e 8n 3ro$edio 9 de ellos, oc8rra.

Esperan'a de !na v.a. Poisson$

#a $edia o alor es3erado de 8na distri<8cin Poisson est4 dada 3or:

3 ( X )= μ= 9

arian'a de !na v.a. Poisson$

#a arianza de 8na .a. Poisson est4 dada 3or:

5&r ( X )=σ 2= 9

i es 8na .a. c8a distri<8cin de 3ro<a<ilidad es Poisson, esto se si$<oliza co$o:




X P( 9)

Pro3iedades de la istri<8cin Poisson:

8ales ;8e las de la istri<8cin Bino$ial, arri<a escritas, e+ce3to c8ando se 6alla.

P ( x=& )=e− 9

9 x

x !

Ee$3los:

a) En 3ro$edio en 8na interseccin ial, oc8rren @ accidentes 3or $es. 8al es la 3ro<a<ilidad de ;8e en 8ndeter$inado $es, en esta interseccin oc8rran:

* E+acta$ente " accidentesT* &ini$o dos accidentesT

<) Por 8n conestionado 3eae de la reion, 3asan a8tos a 8na tasa de @00 a8tos 3or 6ora. Enc8entra la3ro<a<ilidad ;8e en 8n $in8to c8al;8iera, lle8en:

* 2 a8tos.

* &enos de @ a8tos.* Entre 2 M a8tos incl8sie.

APRO+IMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA POISSON




8ando el ta$a5o de $8estra n es rande, (n )30 ) , la 3ro<a<ilidad de *+ito p es 3e;8e5a

( p + 005 ) , entonces la distri<8cin Bino$ial, se 38ede a3ro+i$ar a 8na distri<8cin Poisson, 6aciendo ala$<da,

9=np

#a a3ro+i$acin es <8ena si np +5

Ee$3lo:

a) #a 3ro<a<ilidad de ;8e 8na 3ersona $8era de<ido a cierta in>eccin res3iratoria, es de 0,002. Enc8entrela 3ro<a<ilidad de ;8e $8eran $enos de M 3ersonas de las 3r+i$as 2000 3ersonas in>ectadas.

<) El !? de los artic8los 3rod8cidos 3or 8na e$3resa son de>ect8osos. Enc8entre la 3ro<a<ilidad de ;8e6aa " de>ect8osos en 8na $8estra de M00 artic8los.




DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMTRICA

Un Fen$eno se $odela con la distri<8cin de 3ro<a<ilidad Hi3ereo$etrica, c8ando se c8$3len las dossi8ientes condiciones:

a 8ando de 8na 3o<lacin total de ta$a5o N , se e+trae 8na $8estra aleatoria sin ree$3lazo de ta$a5o

n .

b 8ando dentro de la 3o<lacin de N ele$entos 6a, ? *+itos, de tal $anera ;8e los >racasos ser4n,

N −4 .

#a >8ncin de 3ro<a<ilidad de la distri<8cin de 3ro<a<ilidad Hi3ereo$etrica, esta dada 3or:

f ( x )= p ( X = x )=(4

x)( N −4

n− x )( N

n )

x=0,1,2,3, * .n

nde: N es el ta$a5o de la 3o<lacin 4 es la cantidad de *+itos en la 3o<lacin n es el

ta$a5o de la $8estra o el n%$ero de ensaos x es el n%$ero de *+itos en la $8estra.




Es decir, la distri<8cin Hi3ereo$etrica, $ide la 3ro<a<ilidad de o<tener x *+itos, del total de *+itos 4 ,

de la 3o<lacin N , c8ando se to$a 8na $8estra sin ree$3lazo de n ele$entos de la 3o<lacin total.

Esperan'a de !na v.a. Hipergeometrica$

#a $edia o alor es3erado de 8na distri<8cin Hi3ereo$etrica est4 dada 3or:

3 ( X )= μ=np=n4

N

Donde n es el tamaGo de m!estra# 4 el n<mero total de =1itos en la población y 4# es el tamaGo de la

población.

arian'a de !na v.a. Hipergeometrica$

#a arianza de 8na .a. Hi3ereo$etrica est4 dada 3or:

5&r ( X )=σ 2=npq

( N −n N −1 )=

n 4 N (1− 4

N )( N −n N −1 )

nde: ( N −n N −1 ) , es el lla$ado >actor de correccin 3o<lacional, ;8e tiende a !, c8ando N : .




i es 8na .a. c8a distri<8cin de 3ro<a<ilidad es Hi3ereo$etrica, esto se si$<oliza co$o:

X ; ( N , n , 4 )

Pro3iedades de la istri<8cin Hi3ereo$*trica:

8ales ;8e las de la istri<8cin Bino$ial, arri<a escritas, e+ce3to c8ando se 6alla.

P ( x=& )=(4

x)( N −4

n− x )( N

n )

Ee$3los:a e @0 3ersonas seleccionadas de 8na deter$inada e$3resa, !2 de ellas son t*cnloos, !Q son

3ro>esionales, en el 4rea de $ercadeo. i se selecciona 8na $8estra aleatoria de Q 3ersonas, c84l es la3ro<a<ilidad de ;8e:

* " de ellos sean t*cnloos.




* &a+i$o 2 sean 3ro>esionales< Un lote de "0 artic8los, contiene M de>ect8osos. e elie 8na $8estra de Q artic8los. 84l es la

3ro<a<ilidad de encontrar:* 0 ! 2 de>ect8osos.

APRO+IMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMTRICA A LA BINOMIAL

8ando el ta$a5o de $8estra n es rande (n :) , entonces la distri<8cin Hi3ereo$*trica, se 38ede

a3ro+i$ar a 8na distri<8cin Bino$ial, 6aciendo a p:

p= 4 N

Ee$3lo:a e cada 2000 tornillos >a<ricados 3or 8na deter$inada $4;8ina, 6a 2 de>ect8osos. Para realizar el

control de calidad, se o<seran solo !M0 tornillos. e rec6aza el lote si se llease a encontrar, $as de !tornillo de>ect8oso. alc8le la 3ro<a<ilidad de ;8e el lote sea rec6azado.

DISTRIBUCIÓN NORMAL




Es 8na distri<8cin con a$3lias a3licaciones, co$o 3or ee$3lo, las $edidas lonit8dinales, de 4rea,edades, estat8ras, ind8stria, $ediciones >ísicas, e+3eri$entos $etereolicos, entre otras.

Una aria<le Aleatoria ;8e se distri<8e de $anera 1or$al, se re3resenta o$o:

X N ( μ , σ 2)

!nción de Densidad de Probabilidad de la Distrib!ción 4ormal$

ea X 8na .a. contin8a ;8e se distri<8e de $anera 1or$al, la >8ncin de densidad de 3ro<a<ilidad de

X es:

f ( x )= 1

σ √ 2< e

−1❑( x−μ

σ )2

2 −:< x<:

Esperan'a de !na v.a. 4ormal$

#a $edia o alor es3erado de 8na distri<8cin 1or$al est4 dada 3or:

3 ( X )= μ

arian'a de !na v.a. 4ormal$



!nción de Probabilidad Ac!m!lada de la Distrib!ción 4ormal$

ea X 8na .a. contin8a ;8e se distri<8e de $anera nor$al, con >8ncin de densidad

f ( x )= 1

σ √ 2 < e

−1❑( x− μ

σ )2

2 #a >8ncin de 3ro<a<ilidad Ac8$8lada de X , est4 dada 3or:

F ( x )=∫−:

x

❑ 1

σ √ 2 < e

−1❑( # − μ

σ )2

2 d#




eore$a:

i la .a. contin8a X N ( μ , σ 2) , entonces la aria<le estandarizada Z N (0,1) , donde, Z =

X − μ

σ

78e es la lla$ada aria<le EstandarizadaZ .

Pro3iedades de las 3ro<a<ilidades de la .a. 1or$al:a) P ( x + & )= P ( x<& )=¿ irecto en la ta<la.

<) P ( x ) & )= P ( x>& )=1− P ( x + & )

c) P ( & + x + ( )= P (&< x + ( )= P (& + x<( )= P ( &< x<( )= P ( x + ( )− P ( x + & )

d) P ( x=& )=0

Ee$3los:

a) #os 3esos de cierto r83o de 3ersonas estan distri<8idos de $anera nor$al, con 8na $edia de μ=70 4> . 8na desiacin est4ndar de σ =125 4> . Y84l es la 3ro<a<ilidad de ;8e 8na

3ersona seleccionada al azar, de este r83o, tena 8n 3eso de entre, M0 QM O.T

<) 83nase ;8e los di4$etros de los tornillos 3rod8cidos 3or 8na >4<rica, estan distri<8idos de$anera nor$al, con 8na $edia de 0,2M 3l. 8na desiacin est4ndar de 0,02 3l. se considera8n tornillo de>ect8oso, si s8 dia$etro es $enor e i8al a 0,2 3l. o $aor e i8al a 0,2Q 3l. Hallael 3orcentae de tornillos de>ect8osos >a<ricados 3or la co$3a5ía.


notas de clase estadística ingenieria

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