Sección 7.2

La ley del coseno

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La ley de cosenos

• La ley de cosenos se puede aplicar

para encontrar las partes restantes de

un triángulo oblicuo(resolver el

triángulo) dado cualquiera de los

siguientes:

dos lados y el ángulo entre ellos

tres lados

La ley de cosenos

• Cuando un triángulo oblicuo se nombra

como se muestra, la ley de cosenos dice

Comentarios • Si A = 90 ° en la fórmula,

entonces cos A = 0 y la ley de los cosenos se reduce a a2 + b2 = c2.

• Dado dos lados de un triángulo y el ángulo incluido, podemos usar la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado.

• Luego, se puede utilizar la ley de los senos para terminar de resolver el triángulo.

• Cuando un ángulo se encuentra por medio de la ley de los cosenos, no hay ningún caso ambiguo, ya que siempre se obtiene un ángulo único entre 0 ° y 180 °.

Ejemplo • Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 10 cm, y el

ángulo que forman es de 120°. Resuelva el

triángulo.

• Solución:

• Supongamos que a = 6, b = 10, C =120° , y el lado

desconocido es c.

• Usaremos la ley de cosenos

Continuación del ejemplo • Para hallar ángulo B, usaremos la ley de los senos

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sin(𝐶)

c=sin(𝐵)

b

sin(𝐵) =𝑏sin(𝐶)

𝑐

sin(𝐵) =10sin(120°)

14

sin(𝐵) =5 3

14≈ 0.61

𝐵 = sin−15 3

14 ≈ 38.2°

Para hallar A, usamos la propiedad A + B + C = 180. Entonces, A = 180 – (120 + 38.2) A ≈ 21.8°

Ejemplo • Usando la ilustración, con los elementos conocidos

del triángulo ABC, hallar la medida del ángulo B.

Solución:

En este caso debemos trabajar con la ley del coseno

y despejar para el ángulo, es decir:

𝑐𝑜𝑠𝐵 =

𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2

2𝑎𝑐

𝑐𝑜𝑠𝐵 =182 + 92 − 252

2(18)(9)

𝑐𝑜𝑠𝐵 = −55

81

𝐵 = cos−1 −55

81 ≈ 132.8°

Area de un triángulo • Las leyes del seno y del coseno se pueden utilizar para derivar

fórmulas para calcular el área del triángulo. Dado el triángulo

nombrado como se muestra:

1. El área de un triángulo es la mitad del producto

del largo de dos lados cualesquiera y el seno del

ángulo incluido entre ellos.

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 1

2b ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐴 =

1

2a ∙ 𝑏 ∙ sin 𝐶 =

1

2a ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐵

2. Fórmula de Herón

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑠 ∙ 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐

donde 𝑠 =1

2𝑎 + 𝑏 + 𝑐

s es llamado el semi-perímetro

Ejemplo • Aproximar el área del triángulo ABC si

a = 2.20 cm, b = 1.30 cm, and

C = 43.2°.

• Solución

Ejemplo Un campo triangular tiene lados con longitudes de

125 m, 160 m , y 225 m.

Calcule su área con la fórmula de Herón.

Solución:

Encontrar primero el semi-perímetro del campo y los

valores de s – a, s – b, and s – c .

Solución (cont) 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑠 ∙ 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐