i examen, undécimo matem-precálculo, 2015

I Examen, Undécimo MATEM-Precálculo, 2015

1

I Parte. Selección única (30 puntos)

1. Al racionalizar el denominador de la expresión 32 2x xy

x y

se obtiene

a) 2x x y

b) 2x x y

c) 22x x y

d) 22x x y

2. Luis, un estudiante de Matemática General, necesita obtener el cociente de la operación

3 24 9 36 3x x x x para ello realiza la siguiente división sintética

3 24 9 36 3x x x x

1 4 9 363

3 21 36

1 7 12 0

Por lo tanto

3 2 24 9 36 3 7 12x x x x x x

Luis comete el primer error

a) al obtener cero en el residuo.

b) al utilizar el valor 3 como divisor.

c) al colocar el cociente en la respuesta final.

d) al colocar los coeficientes numéricos que representan el dividendo.

3. Según el teorema del residuo, si 4 3 22 5 3 6 8P x x x x x es divisible exactamente por

( ) 2F x x , entonces el residuo de la división es

a) 2

b) 0

c) 2

d) 8


2

4. La factorización completa del binomio 6 8x corresponde a

a) 2 4 22 2 4x x x

b) 2 4 22 2 4x x x

c) 3 6 32 2 4x x x

d) 3 6 32 2 4x x x

5. Al factorizar la expresión 2

8 8 16x ab x ab uno de sus factores es

a) 4x ab

b) 4x ab

c) 4x ab

d) 4x ab

6. Si una de las soluciones de la ecuación 210 0x k x es

1

2x entonces el valor de la

constante k debe ser

a) 2

b) 2

c) 5

d) 10

7. El conjunto solución de la ecuación 2 24 2 4 0x x x corresponde a

a)

b) 2

c) 2

d) 2, 2

8. El conjunto solución de la ecuación 2 2 4x x corresponde a

a)

b) 1, 2

c) 1, 2

d) 1, 2


3

9. Analice el siguiente problema:

Juan tiene ¢140 en monedas de ¢5 y de ¢20 . Si el número de monedas de ¢20 es un tercio del

número de monedas de ¢5 ¿Cuántas monedas de ¢5 tiene Juan?

Si x representa el número de monedas de ¢5 , una ecuación que permite resolver el problema es

a) 1403

xx

b) 3 140x x

c) 5 20 1403

xx

d) 5 20 3 140x x

10. La solución del sistema de ecuaciones ²

x y a

bx ay b

, donde , ,a b a b , es

a) ,a b b

b) ,a b b

c) ,a b b

d) ,a b b

11. Considere la siguiente tabla de signos en donde el polinomio Q x está factorizado

completamente y

a x b xQ x

c x .

El conjunto solución de la inecuación 0Q x

a) ,3

b) 2 1, 3

c) 2, 1 3,

d) 2, 1 3,


4

12. El conjunto solución de la inecuación 1 2 3x x es

a) 2,

b) 4,

c) 4

,3

d) 2

,3

13. Un intervalo en donde la función :f con 2

9 3f x x es decreciente

corresponde a

a) 0,6

b) ,3

c) ,0

d) 6,

14. Considere la gráfica adjunta que representa a una función f.

El ámbito de la función f es

a) 4,4

b) ,5

c) , 4

d) 4,

X

Y

5

-2

-3 3

-4

4

-6


5

15. Considere una función :f A A . Si cada elemento del dominio tiene como imagen a sí

mismo, entonces con CERTEZA f es una función

a) constante

b) identidad

c) cuadrática

d) decreciente

16. Una función :f negativa en todo su dominio corresponde a

a) 2 2f x x x

b) 2 3 2f x x x

c) 2 4 12f x x x

d) 22 2 1f x x x

17. Considere que :g D . El dominio real D de la función dada por 1

11

xg x

x

es

a)

b) 0

c) 1

d) 1,0

18. Considere la función 2 1f x x . Si el dominio de f es el conjunto 2, 5 entonces un

elemento del rango de la función es

a) 5

b) 8

c) 9

d) 25

19. La gráfica de la función 1y f x constituye

a) una contracción de la gráfica de la función y f x .

b) una traslación vertical de la gráfica de la función y f x .

c) una traslación horizontal de la gráfica de la función y f x .

d) un alargamiento o ensanchamiento de la gráfica de la función y f x .


6

20. Considere la gráfica adjunta que representa una función f

El dominio de la función f es

a)

b) 1

c) 0,1

d) 0,1

21. Considere la gráfica adjunta que representa una función .

Un intervalo donde es positiva corresponde a

a) 3, 0

b) 0,

c) 2,

d) , 3

f

f

Y

X

1

1 –2

–2


7

22. Si la gráfica adjunta corresponde a la función cuadrática, dada por 2f x ax bx c , se

cumple que

a) 0 y 0a

b) 0 y 0a

c) 0 y 0a

d) 0 y 0a

23. Dada la función :f , si f es creciente en el intervalo 2,5 , entonces se puede

afirmar con CERTEZA que

a) 5 3f f

b) 2 5f f

c) 3 0f f

d) 4 3f f

24. El costo de envío C de un paquete postal que pesa x kilogramos es de ¢100 colones por el

primer kilogramo y de ¢60 por cada kilogramo adicional. Una función que expresa el costo

de envío de un paquete postal es

a) 60 40C x x

b) 100 60C x x

c) 100 60C x x

d) 100 40C x x


8

25. Una aproximación de la gráfica de la función definida por 1 2f x x corresponde a

a)

b)

c)

d)


9

26. La gráfica de la función definida por 1f x x corresponde a

a)

b)

c)

d)


10

27. De acuerdo con los datos de la gráfica adjunta, la función representada es negativa en el

conjunto

a) 3,

b) ,1 5,

c) ,1 5,

d) ,1 5,

28. Si 2 y 1f x x g x x tienen dominios y ámbitos apropiados entonces el valor de

2g f corresponde a

a) 3

b) 4

c) 5

d) 4 3

29. Si 2 5

: 03 3 2

f y f xx

, entonces el criterio de asociación de

1 2: 0

3f

es

a) 1 15

6f x

x

b) 1 7

3f x

x

c) 1 3 2

5

xf x

d) 1 5 2

3

xf x

x


11

30. De las siguientes gráficas, la que representa a una función biyectiva es

a) : 1, 2 2, 4f

b) : ,3f

c) : 3, 3 2, 4f

d) : 0,f

Y

X

4

3-3

Y

X


12

II Parte. Desarrollo (15 puntos)

Nombre del estudiante: ______________________________________________________

Nombre del colegio: ________________________________________________________

Indicaciones:

Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios de manera clara y ordenada en esta misma hoja.

Al terminar debe despegarla y dársela, junto con la hoja de lectora óptica al docente que esté

cuidando el examen en su aula.

Exprese las respuestas en la forma más simple posible. Debe anotar TODOS los procedimientos

necesarios para llegar a la respuesta, ya que todos tienen valor dentro de la prueba.

(5 puntos cada una)

1. Simplifique al máximo la expresión 3

3 2

9

6 9

x x

x x x

.

2. Considere la función tal que : 3 2f f , con 1 2

3

xf x

x

. Calcule la

función inversa de f .

3. Grafique, en todo su dominio, la función definida por el criterio

2

2 si 1

( ) si 1 2

4 si 2

x x

f x x x

x


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Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Escuela de Matemática

Proyecto MATEM 2015

SOLUCIONARIO I PRUEBA UNDÉCIMO

SELECCIÓN ÚNICA

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

1 A 16 D

2 B 17 D

3 B 18 C

4 A 19 C

5 B 20 A

6 B 21 C

7 D 22 A

8 D 23 D

9 C 24 A

10 C 25 A

11 C 26 C

12 C 27 B

13 D 28 C

14 D 29 D

15 B 30 D


14

SOLUCIONARIO DESARROLLO

(15 puntos)

1. Simplifique al máximo la expresión 3

3 2

9

6 9

x x

x x x

.

Solución

3 2

3 2 2

9 ( 9)2

6 9 ( 6 9)

( 3)( 3)2

( 3)( 3)

( 3)1

( 3)

x x x xpuntos

x x x x x x

x x xpuntos

x x x

xpunto

x

2. Considere la función tal que : 3 2f f , con 1 2

3

xf x

x

. Calcule la

función inversa de f .

Solución

1 1

1 21

3

( 3) 1 2

3 1 2

2 1 3 3

( 2) 1 3

1 3

2

1 3( ) ( ) : 2 3 1

2

xy punto

x

y x x

y x y x

y x x y puntos

x y y

yx

y

xf x con f x punto

x


15

3. Grafique, en todo su dominio, la función definida por el criterio

2

2 si 1

( ) si 1 2

4 si 2

x x

f x x x

x

Solución

Gráfica:

Asignación del puntaje

Procedimiento Puntaje Grafica correctamente ( ) 2 1f x x si x 2 puntos

Grafica correctamente 2( ) 1 2f x x si x 2 puntos

Grafica correctamente ( ) 4 2f x si x 1 punto

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