manual de precálculo

7/24/2019 Manual de Preclculo

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*, El on%"nto &e los nmeros enteros se &enotan on la letra Z # $ son to&o los nmeros

enteros pos!t!os $ ne)at!os !nl"!&o el ero+ (,,3,2,1,0,1,2,3,,)

, El on%"nto &e los nmeros ra!onales se &enota on la letra Q son a-"ellos nmeros

-"e se p"e&en e4presar en la (ormaa

b &on&ea ,bR # $ b0 .

Los nmeros ra!onales p"e&en representarse en (orma (!n!ta o no (!n!ta $ repet!t!a

5per!6&!a, por e%emplo+5

4=1.2,

1

3=0.333 3 .

Observacin: To&o nmero entero es ra!onal# por e%emplo+

5

1

=5,9

1

=9, etc.

&, Los nmeros !rra!onales se &enotan on la letra H (RQ) # son a-"ellos nmeros -"e

t!enen representa!6n &e!mal no repet!t!a 5no per!6&!a,# por e%emplo+

2,3 ,5 , , e , e t c .

e, E4!sten otro t!po &e nmeros -"e se onoen omo Nmeros Comple%os $ se &enota on la

letra C # se ompone &e "na parte real a $ "na parte !ma)!nar!a bi, &on&e i=1 . La

(orma &e "n nmero omple%o es :a+ib # &on&e a , bR $ i=1 . Por e%emplo+

58i ,3

4i2 ,

65

+7

3i # entre otros.

O*sera!6n+ To&o nmero real es "n nmero omple%o on parte !ma)!nar!a ero# por

e%emplo+ 5+0 i=5,

2+0 i=

2.


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Tipos de nmeros

Figura 1.Es-"ema &el on%"nto &e nmeros "t!l!7a&os en 'l)e*ra.

Ejercicios.

Intruccione& Esr!*e a -"8 on%"nto 5s, pertenee a&a "no &e los s!)"!entes

nmeros.Nmero Respuesta

2 e

3

2+

2

2

1. 275

38

8


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16

33

4

12

ropiedades de los nmeros nega!ivos

Pro'iedad E#e%'lo

(a )=a (4 )=4

(a ) b=(ab )=a(b) (5)(2)=10

(a)(b)=ab (3)(2)=(3)(2)=6

(1)a=a (1)8=8

ropiedades de los nmeros reales

Pro'iedade (a#o la u%a.

La a&!!6n es onm"tat!a+ a+b=b+a

La a&!!6n es aso!at!a+ (a+b)+ c=a+(b+c)

9 es la !&ent!&a& a&!t!a+ a+0=a

a es el !nerso a&!t!o ne)at!o &e a+ a+(a)=0

Pro'iedade (a#o la %ulti'licaci)n

La m"lt!pl!a!6n es onm"tat!a+ ab=ba

La m"lt!pl!a!6n es aso!at!a+ 5 abc=a(bc)

/ es la !&ent!&a& m"lt!pl!at!a+ (a)(1)=a

S! a 0,1

a es el !nerso m"lt!pl!at!o o re:proo &e a.a( 1a )=1

La m"lt!pl!a!6n es &!str!*"t!a so*re la a&!!6n+ a (b+c )=ab+ac , (a+b ) c

ac+bc

Pro'iedade de lo cociente E#e%'lo


5/85

a

b=

c

dsiad=bc

2

5=

6

15porque215=56=30

ad

dc=

a

c

ab

=ab

=ab

25

=25

=25

4;/9


6/85

*once'to de Dei+ualdadEs el en"n!a&o -"e e4presa -"e &os ant!&a&es o e4pres!ones no son !)"ales. Al resoler

"na &es!)"al&a& se o*t!ene "n on%"nto &e alores -"e sat!s(aen la &es!)"al&a &!@o

on%"nto se e4presa omo &es!)"al&a& o omo !nteralo. Ense)"!&a se m"estra la

&e(!n!!6n &e !nteralo $ los t!pos &e !nteralos.Intervalo&Es "na por!6n &e reta on !ertas arater:st!as# se &eterm!nan so*re la reta

real# los !nteralos p"e&en ser a*!ertos# erra&os $ sem!a*!ertos.Intervalo cerrado&Es "n se)mento A en el -"e se !nl"$en los e4tremos $ se representan

omo Ba# *# ompren&e los nmeros reales &entro &e &!@o !nteralo# es &e!r#

[ a , b ]= {! /a " !" b} .

Interalo a*!erto+ Un !nteralo a*!erto &e e4tremos a#* se &enota omo

(a , b )={! /a


7/85

6


8/85

2+(3 )


9/85

E0'onenteSe sa*e -"e+

54=5 5 5 5=625

(1

2

)

5

=

(1

2

)

(1

2

)

(1

2

)

(1

2

)

(1

2

)=

1

32

(3)3=(3 ) (3 ) (3 )=27

(13)4

=(13) (13) (

13)(

13)=

1

81

De1inici)n E#e%'lo , E#e%'lo ,

a0=1 ( 23 )

0

=1 (2!3$)0=1

an=

1

an

(8)2= 1

(8)2=

1

64 ( 37 )3

= 1

( 37 )3=

1

33

73

=7

3

33=

3

2

Le2e de lo e0'onente

Le2 de lo e0'onente E#e%'lo

a%

an=a%+n y5y 9y2=y5 +9+2=y16

(a%)n=a%n ($4)3=$4 3=$12

(ab)n=an bn (3 &)3=33&3=27 &3

( ab )n

=a

n

bn ( 34 )

4

=34

44= 81

256

a%

an

=a%n !

8

!3=!83=!5

!8

!11=!811

=!3

=

1

!3

Ejercicios resueltos:

Intruccione&S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones.E#e%'lo ,&


10/85

(3 r2t)4

Soluci)n&

(3 r2t)4=(3)4(r2)4 (t)4=81 r8 t4

E#e%'lo -&

( 2r3)3

( br 3 )3

Soluci)n&

( 2r3)3

( br 3 )2

=( (2r )3

33 )( b

3

(r3)3 )=23r

3

33

b3

(r3)3=

8 r3

27

b3

r9

=8 r

3b

3

27 r9=

8 r39

b3

27 =

8 r6

b3

27 =

8 b3

27 r6

E#e%'lo &

(3u2 v3 &4)2

(2uv2 &2)4

Soluci)n&

(3 u2 v3 &4)2

(2uv2 &2)4=

32 (u2)

2(v3)2(&4)2

24u

4(v2)4(&2)4 =

9u4v

6&

8

16 u4v

8&

8=

9 u4 4

v6(8 )

&88

16 =

9 v14

&16

16 =

9 v14

16 &16

E#e%'lo /&

(3!3y4 )(4!y5)2

Soluci)n&

(3!3y4 )(4!y5)2=(3!3y 4 ) (42!2 y10 )=(3 16!3+2 y410 )=48!5y6=48!5

y

6

Ejercicios

Intruccione& S!mpl!(!a la e4pres!6n# e4prese s!n e4ponente ne)at!os./.

2b5(b3)4

(2b2)3

0.

(3!2 )4(3!2)5

(3!6

)7

1.

(a3b

2

c4 )

3

(c2

a6b )

5

2.


11/85

(32! y

2

$3 )

2

( 13!2 )0

>.

(u

2

v

3

)

3

.8!

3y

5

4!1

y2

.

(2! y1

!2 )

1

8.

(3u2 v3 &4)2

(2u v2 &2)4

9.

( 2rb)2

(br3 )3

10.

24! y6$3

6!2y1


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Radicale

De(!n!!6n+ Sea n>1 # &on&e nes "n entero# $ sea a"n nmero real# entones+

a, S! a=0 F entonesna=0

*, S! a>0 F entonesna es el nmero real bpos!t!o tal -"e b

n=a

, S! a


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%

na=

%na

364=

2 364=

626=2

Ejercicios resueltos

S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones

E#e%'lo ,&3320

Soluci)n&3320=

364 5=

364

35=4

35

E#e%'lo -&316!3y8$4

Soluci)n&316!3y8$4=324!3y8$4 al apl!ar la le$ a

na

%=a%+n &e los e4ponentes se o*t!ene+

3232!3y3y3y2$3$ al apl!ar la le$

nab=

na

nb &e los ra&!ales se o*t!ene+

323 32 3!33y33y33y23$3 3$

Al apl!ar la prop!e&a&nan=a se o*t!ene+

232 ! y y

3y2 $ 3$ # al s!mpl!(!ar $ reaomo&ar los t8rm!nos se o*t!ene+

2! y2$

32y2$

E#e%'lo &3a2b36a5b

Soluci)n&

3 a2b36 a5b=3 6 a2 +5b3+1=18 a7 b4=9 2 a2 a2 a2 a b2 b2=9 2 a2 a2a2 a b2

3 2 a a a ab b=3a3 b22 a

Definicin de exponentes racionales:Sea%

n "n nmero ra!onal &on&e n es "n entero

pos!t!o ma$or -"e /# S! a es "n nmero real tal -"ena e4!ste# entones+

a1

n =na

a%

n =na%=(na)

%


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a%

n =(a1

n )%

=(a% )1

n

E#e%'lo& Reesr!*e las s!)"!entes e4pres!ones on e4ponentes ra!onales.4

!3

!3

4

3!+y (!+y1

2 )1

3

4 3!2

4!+scribe )as siuientes e!presiones cone!

4(8y ) 8y

Para al)"nos asos# es neesar!o ra!onal!7ar el &enom!na&or o el n"mera&or se)n sea

onen!ente# ra!onal!7ar s!)n!(!a -"!tar la ra:7 n;8s!ma &el &enom!na&or o n"mera&or

se)n sea el aso# esto se lo)ra al m"lt!pl!ar la e4pres!6n por "n / en la (orma -"e se t!l#

es &e!r# s! se -"!ere ra!onal!7ar el nmero10

5 entones se &e*e m"lt!pl!ar la

e4pres!6n por 5

5 F

10

55

5=

10552

=105

5 =25

O*sera!6n+ en este e%emplo se ra!onal!76 el &enom!na&or.Ejercicios resueltos

Ra!onal!7a el &enom!na&or en a&a "na &e las s!)"!entes e4pres!ones.E#e%'lo ,

3

ab2

Soluci)n&


15/85

3

ab2=

3

ab2=

3

ab2=

3

ba omo la e4pres!6n $a est' s!mpl!(!a&a# $ se o*t"o "na

ra:7 en e &enom!na&or por lo -"e &e*e ra!onal!7arse la e4pres!6n omo se m"estra

ense)"!&a+3ba

a

a=

3a

ba2=

3 a

ba

E#e%'lo -&

4

16!

2y

2$

5

!3y $

2 =

4

16y $

3

! =

416y $34!

Al ra!onal!7ar el &enom!na&or se o*t!ene+416y $3

4!

4!34

!3

, &e esta (orma el res"lta&o &e la m"lt!pl!a!6n es+

416y $3!34!4

=416y $3!3

!

E#e%'lo &55

5a2b3c

Soluci)n&55

5

a2b3c omo no se p"e&e s!mpl!(!ar# &!retamente se proe&e a ra!onal!7ar el

&enom!na&or omo se m"estra ense)"!&a+55

5a2b3c

5a3b2c45a3b2c4

=55 a3 b2 c4

5a5b5c5=

55 a3b2c4abc

E#e%'lo /&!

5!2y3

Soluci)n&

!5!2y3

5

!3y25!3y2

=!

5

!3y25!5y5

=!

5

!3y2!y

Ejercicios

Intruccione& S!mpl!(!-"e la e4pres!6n $ ra!onal!e el &enom!na&or s! es pos!*le.

/. 27!11

y9$

7


16/85

0.4!5 y8$11

1. !

2y

3

$4&

5

2.3

$5 y11

!9

&6

>.5

!

5y

11

$2

.4

v

4&

7

%13

n10

.

3

a10

b6

a4 b8

.

44!y

42! y24!2$3


17/85

3'eracione con 'olino%io

Un pol!nom!o &e )ra&o n en la ar!a*lex t!ene la (orma *scriba aqu+ )a ecuacin. +

n(! )=-=0

na-!

-=a0!0+a1!

1+a2!2+a3!

3+a4!4++an!

n

a0+a0!+a2!2+a3!

3+a4!4++an!

n

&on&e a$' son onstantes.

E#e%'lo

6!2+3!1 ' Pol!nom!o &e )ra&o 0

!3+ 8=1 ' Pol!nom!o &e )ra&o 1

(uma de polinomios

La s"ma $ resta &e pol!nom!os es m"$ sen!lla# p"es se s"man o restan los t8rm!nosseme%antes.


Intruccione&E(ete las s!)"!entes opera!ones.

E#e%'lo ,&

!(32!2+7!)+(!

4+6!35!+1)

Se s"man los t8rm!nos seme%antes# es &e!r# !4+(!3+6!3 )2!2+(7!5! )+1

!4+7!32!2+2!+1

E#e%'lo -&

(6!82!2+3!2 )(3!23!5+!8+6 )

(6!8!8 )+(2!23!2 )+3!(3!5 )+(26)

7!85!2+3!+3!58


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Mul!iplicacin de polinomios

Para m"lt!pl!ar "t!l!7amos la le$ &e los s!)nos# se m"lt!pl!an ar!tm8t!amente losoe(!!entes $ se s"man los e4ponentes s!empre $ "an&o ten)an la m!sma *ase.

*ao ,& Mono%io 'or %ono%io.

Intruccione& e(ete las s!)"!entes opera!ones.


E#e%'lo ,&

(13 !4) (6!5 )=2!9

E#e%'lo -&

(2! y 2 )(6!3y )=12!4y3

E#e%'lo &

( 25!5$ y 3)(3

4!

2$

2y

4)= 620!7$3y7= 3

10!

7$

3y

7

*ao -& Mono%io 'or 'olino%io

E#e%'lo ,&

(7!8+ 12!63!2)( 6!5 )

Soluci)n& Se m"lt!pl!a a&a "no &e los t8rm!nos &e la pr!mera e4pres!6n por a&a t8rm!no&el se)"n&o.

Es &e!r+ (7!8

)(6!5

)


19/85

(3!2+5!+1)( 12!37!)

Soluci)n& Se m"lt!pl!a a&a t8rm!no &el pr!mer t8rm!no por a&a t8rm!no &el se)"n&o+ es

&e!r+

(3!2 ) (12!3)+(3!2)(7! )+ (5! )( 12!3)+(5! ) (7! )+ (1 )( 12!3)+(1 )(7! )

3

2!

521!3+5

2!

435!2+1

2!

37!

Ense)"!&a se s"man los t8rm!nos seme%antes+

32

!5+(21!3+ 1

2!3

)+52

!435!27!

3

2!

541

2 !

3+5

2!

435!27!

)ivisin

Para &!!&!r se apl!an las le$es &e los s!)nos# se &!!&en ar!tm8t!amente los oe(!!entes $

s! se t!enen las m!smas *ases# los oe(!!entes se restan.*ao ,. Mono%io entre %ono%io.

E#e%'lo ,

3

2!

7

2

5!5

Soluci)n&

3

2!

7

2

5!5

=(3 )(5)!75

(2 )(2) =

15!2

4


20/85

*ao -& Polino%io entre %ono%io

E#e%'lo,

3!2+6!12+8!4

2!

5

Soluci)n& Separamos los o!entes para o*tener monom!os entre monom!os $ se apl!a laopera!6n omo en el aso /.

3!2+6!12+8!4

2!5

=3!

2

2!5+6!

2!5 12

2!5+

8!4

2!5

3!

3

2 +3!46!5+4!1

Al reesr!*!r el res"lta&o on e4ponentes pos!t!os se t!ene+

3

2!3+3

!46

!5+

4

!

*ao & Polino%io entre 'olino%io

Para e(et"ar la &!!s!6n &e pol!nom!o entre pol!nom!o# se "t!l!7a la &!!s!6n Hlar)a# se!l"stra "n e%emplo ense)"!&a+

E#e%'lo ,

3!2+!24!+3

Soluci)n& Para este aso no es neesar!o# pero antes &e omen7ar se &e*e or&enar tanto eln"mera&or omo el &enom!na&or# &e tal# manera -"e en el pr!mer t8rm!no se ten)a ale4ponente m's )ran&e $ el "lt!mo t8rm!no sea el e4ponente menor.

Ense)"!&a se aomo&a la e4pres!6n omo se !l"stra en se)"!&a+

!+ 3| 3!2+!24

!+ 3| 3!2+!24


21/85

Se toma el t8rm!no on el e4ponente m's )ran&e &el &!!&en&o $ el m's )ran&e &el &!!sor

$ se apl!a la opera!6n monom!o por monom!o# es &e!rF3!

2

! =3! $ se esr!*e en el

o!ente+

3!

!+3| 3!2+!24

L"e)o se m"lt!pl!a 14 por a&a t8rm!no &el &!!sor $ se esr!*e el res"lta&o on el s!)noontrar!o &e*a%o &el t8rm!no -"e le orrespon&e+

3!

!+ 3| 3!2+!24

3!

2

9!

J se s"man lo t8rm!nos+

3!

!+ 3| 3!2+!243!29!

08!

J se *a%a el s!)"!ente t8rm!no+

3!

!+ 3| 3!2+!243!29!

08!24

L"e)o se "ele a &!!&!e el t8rm!no on el ma$or e4ponente res"ltante entre el t8rm!no

on ma$or e4ponente &el &!!sor# es &e!r+8!

! =8 # $ se esr!*e el res"lta&o en el

o!ente+

3!8!

!+ 3| 3!2+!243!29!

08!24


22/85

L"e)o# se m"lt!pl!a el ; por a&a t8rm!no &el &!!sor $ se esr!*e el res"lta&o on s!)noontrar!o+

3!8

!+ 3| 3!2+!243!29!

08!24+8!+24

J n"eamente se s"man los t8rm!nos seme%antes.

3!8

!+3| 3!2+!243!29!

08!24+8!+24

0

Se term!na la &!!s!6n "an&o el e4ponente &e la e4pres!6n res"ltante sea menos -"e ele4ponente m's )ran&e &el &!!sor.

Por lo tanto el o!ente q(!)=3!8 $ el res!&"o r (! )=0


Intruccione& E(ete las s!)"!entes opera!ones

/. (!2+3! 12 )+(2!41

3!

2+3

7 )0. (!

2y+! y2+6!7y )(3!+8y!2y+! y 2)

1. 2!y (3!2!y+y )

2. (!+y )(!3!2 y+! y2y3)

>. (c2 d ) (c+2d 1 )

.108

4n

2144 3 n3180 2 n4

36 n

.2!

4+!3+6!2+7!8!

2+4


23/85

.!

2+!10!2

K.!

34!2+ 7!32!1


24/85

Producto nota(leC!ertos pro&"tos &e *!nom!os se presentan on tanta (re"en!a -"e es t!l apren&er a

reonoerlos para s!mpl!(!ar &e manera ('!l !ertas e4pres!ones al)e*ra!as. Ense)"!&a se

m"estran los pro&"tos nota*les.

*inomio al cuadrado(a+b )2=(a+b ) (a+b )=a2+2ab+b2


Intruccione& Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os.E#e%'lo ,&

(6!4!2y)2

Soluci)n& Al omparar el *!nom!o )eneral (a+b )2

on el *!nom!o (6!4!2

y)2 # se

o*sera -"e+ a=6! $ b=4!2

y # al s"st!t"!r en la (6rm"la se o*t!ene -"e+

(6!4!2 y)2=(6!)2+2 (6! )(4!2y )+(4!2y )2=36!2+48!3y+16!4 y2

E#e%'lo -&

(2 r23s2)2

Soluci)n& En este aso se t!ene -"e a=2r2

$ b=3 s2

# por lo -"e se o*t!ene+

(2 r23s2)2=(2 r2)2+2 (2 r2 )(3 s2 )+(3 s2)2=4 r412r2 s2+9 s4

E#e%'lo &

(3! y14

1

6!

2)2

Soluci)n& A-": a=3! y1

4 $ b=1

6 !

2

# al s"st!t"!r am*os e4pres!ones en la (6rm"la

se o*t!ene+

(3! y1

41

6!

2)2

=(3! y1

4 )2

+2(3! y1

4 )(16 !2)+(16

!2)

2

=9!2y1 /2!3 y1 /4+ 1

36!

4

EjerciciosIntruccione& Desarrolle los s!)"!entes *!nom!os.

/. (9 a4+ 6 b12 )

2

0. ( 14r+3 s )2


25/85

1. (3a1/6+5b)2

2. (3!y $28!2$ )2

>. (2 a2b2 a2 b5 /2 )

2

O*ten)a la (6rm"la para &esarrollar "n

tr!nom!o al "a&ra&o+ (a+b +c )2

O*ten)a la (6rm"la para &esarrollar "n

pol!nom!o al "a&ra&o en la (orma+(a+b+c+d )2

*inomio con'ugado(a+b ) ( ab )=(ab) (a+b )=a2b2


Intruccione&Desarrolle los s!)"!entes *!nom!os on%")a&os.E#e%'lo ,&

(7!6y3 ) (7!+ 6y3 )

Soluci)n& al omparar la (orma )eneral &e &el *!nom!o on%")a&o on la e4pres!6n

(7!6y3 ) (7!+6y3 ) # tenemos -"e a=7! $ b=6y

3

# al apl!ar la (6rm"la se

t!ene la s!)"!ente e4pres!6n+(7!6y3 ) (7!+6y3 )=(7!)2 (6y3 )2=49!236y6

E#e%'lo -&

(2!2+ 4y3 )(2!2+4y 3)

Soluci)n&En este aso# a=4y3

$ b=2!2

# al &esarrollar el *!nom!o on%")a&o se

t!ene+

(2!2+4y3 ) (2!2+4y 3 )=(4 y3 )2(2!2)

2=16y 64!4

E#e%'lo &

(6 ab3c1

32 ab)(2 ab+6ab3 c1

3 )

Soluci)n&A-":# a=6a b3

c1

3 $ b=2ab # al &esarrollar el *!nom!o on%")a&o se

t!ene+


26/85

(6 ab3c1

32 ab)(2 ab+6ab3 c1

3 )=(6 ab 3 c1

3 )2

(2 ab )2=6 a2 b6 c2 /32 a2 b2

Ejercicios

Intruccione+ Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os on%")a&o.

/. (6!23y

1

6

)(6!2+ 3y

1

6

)0.

(5! y 1/ 2+4!2y3 ) (5! y1 /24!2y3 )

1. (4 ab2+3! ) ( 4 ab2+3! )

2. (8p3+5p2q ) (8p35p2 q )

>.

(10!33! y3 ) (10!33! y 3 )

*inomio al cubo(a+b )3=a3+3 a2b+3 a b2+b3


E#e%'lo ,&

(2!+3y )3

Soluci)n&

Al omparar la (6rm"la on la e4pres!6n &el e%emplo /# se t!ene -"e a=2! $ b=3y #

&e a-": -"e+(2!+3y )3=(2!)3+3 (2!)2 (3y )+3 (2! ) (3y )2+(3y )3=8!3+ 36!2y+54! y2+27y3

E#e%'lo -&

(6 r2 s t2 )3

Soluci)n& Se t!ene -"e a=6 r $ b=2 s t2

# &e a-": -"e+

(6 r2 s t2 )3=(6r )3+3 (6 r )2 (2 s t2 )+3 (6 r )(2 s t2 )2+(2 s t2 )3=216 r3216 r2 s t272 r s2 t4

E#e%'lo &(3 q+2p )3

Soluci)n& En este e%emplo# a=3q $ b=2p # &e a-": -"e+

(3 q+2p )3=(3q )3+3 (3q )2 (2p )+3 (3q ) (2p )2+(2p )3=27 q3+54q2p36q p2+8p3

Ejercicios


27/85

Intruccione&Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os al "*o.

/. (2 c2d c d2 )

3

0. (5y1/2

$+3y2$2 )3

1. (2!y3!2

y1 / 4

)3

2. (7 s8 r )3

>. (6!2y+2$2)3

*inomio con !+rmino comn(!+a ) (!+b )=!2+ (a+b )!+ab


Intruccione&Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os on t8rm!no omn.(!+a ) (!+b )=!2+ (a+b )!+ab


Intruccione& Desarrolla los s!)"!entes *!nom!os.E#e%'lo ,&

(r2 )(r+ 8)

Soluci)n+ Al omparar la (orma )eneral &el *!nom!o on t8rm!no omn on el pro&"to &e

*!nom!o &a&o# se t!ene -"e+ !=r ,a=2,b=8 # al s"st!t"!r los alores en la (orma

)eneral &el *!nom!o# se t!ene+(r2 ) (r+8 )=r2+( (2 )+8) r+(2 ) (8 )=r2+6 r16

E#e%'lo -&

(4+/ ) (8+/ )

Soluci)n&

Al omparar la (orma )eneral &el *!nom!o on t8rm!no omn on el e%emplo /# se t!ene

-"e !=/ ,a=4,b=8 # al s"st!t"!r &!@os alores en la (6rm"la )eneral se o*t!ene -"e+

(4+/ ) (8+/ )=/2+((4 )+(8 ))/+(4 ) (8 )=/212 /+32

E#e%'lo &

(2!3y )(2!+4y)


28/85

Soluci)n& De la m!sma (orma -"e el e%emplo / $ 0# se ompara la (orma )eneral &el

*!nom!o on la e4pres!6n &a&a# &e esta manera# se t!ene -"e+ !=2! , a=3y , b=4y #

Al s"st!t"!r &!@os alores en la (6rm"la )eneral# se o*t!ene+(2!3y ) (2!+4y )=(2!)2+ ( (3y )+(4y ))2!+ (3y ) (4y )=4!2+2!y12y2

Ejercicios

Intruccione+ Desarrolle los s!)"!entes pro&"tos &e *!nom!os.

/. (y3 )(8+y )

0. (5+c )(c+6)

1. (3$& )(&+4$)

2. (q2 )(q+ 4)

>. (6!2 )(6!8)


29/85

4actori!aci)nEn el tema anter!or# se m"lt!pl!aron e4pres!ones al)e*ra!as# a@ora se !n!erte el

proe&!m!ento# es &e!r# se esr!*!r' "na e4pres!6n omo pro&"to &e otras e4pres!ones#

este proeso se llama (ator!7a!6n $ a&a e4pres!6n en el pro&"to se llama (ator &e la

e4pres!6n or!)!nal# por e%emplo# 3!2+6!=3! (!+2 ) , en la -"e 3! $ !+2 son

(atores &e 3!2+6! .

E4!sten al)"nas t8n!as para (ator!7ar "na e4pres!6n# las "ales se m"estran ense)"!&a+

Fac!or comn.El (ator omn p"e&e ser "n s!)no# "n oe(!!ente# "na o m's ar!a*les# "n pol!nom!o$ la

om*!na!6n &e las m!smas.Ejercicios resueltos:

E#e%'lo ,&8+2!=2(4+! )

E#e%'lo -&

!+!y!$=! (1+y$ )

E#e%'lo &

11!4y

1422!2y7+33!7y9=11!2y7(!2y72+3!5y2)

E#e%'lo /&

12! (y+4 )6!2 (y+4 )18!3 (y+4 )=6! (y+4 )[2+!+3!2]

)ierencia de cuadradosa2b2=(a+b )(ab)


E#e%'lo ,&

4!2=(2!)(2+! )

E#e%'lo -&

!2y1/4=(!+y

1

8 )(!y1

8 )

E#e%'lo &!

4ny8=(!2n+y 4 ) (!2ny4 ) # o*sere -"e el t8rm!no (!2 ny4 ) es "na &!(eren!a &e

"a&ra&os# as: -"e (!2 ny4 )=(!n+y2 )(!ny2) # &e esta (orma+

!4ny8=(!2n+y 4 ) (!n+y2) (!ny2)


30/85

Trinomio cuadrado perec!oSon tres t8rm!nos# &e los "ales &os &e ellos t!enen ra:7 "a&ra&a e4ata $ el terer t8rm!no

es el &o*le pro&"to &el esas ra:es# es &e!r# a2+2ab+b2=(a+b)2

Ejercicios resueltosE#e%'lo ,&

16 a256 ab2+49 b4=(4 a7 b2)2

E#e%'lo -&

64y8+81!12144!6 y4=(8y 49!6)2

E#e%'lo &

!22! (y+2 )+(y +2)2=(!(y+2))2=(!y2)2

-grupacin

En al)"nos asos# e4!sten m's &e tres t8rm!nos -"e no orrespon&en a "n *!nom!o al "*o#s!n em*ar)o# es pos!*le a)r"par t8rm!nos -"e p"e&en ser (ator!7a&os por t8n!as

&!(erentes.Ejercicios resueltos

E#e%'lo ,&!y+5!+2y+10

Soluci)n&

Se o*sera -"e no t!enen t8rm!no omn n! es "n *!nom!o al "*o# pero se p"e&en a)r"par

el pr!mer $ se)"n&o t8rm!no $ (ator!7ar la ! $ a)r"par el terer $ "arto t8rm!no $

(ator!7ar el 2 # omo se m"estra en se)"!&a+

!y+5!+2y+10= (!y+5! )+(2y+10 )=! (y+5 )+2(y+5) # &e a-": se o*t!ene "n t8rm!no

omn por lo -"e la (ator!7a!6n o*ten!&a es+(y+5 )(!+2)

O*sera!6n+ En asos omo el e%emplo /# se o*t!ene lo m!smo s! se a)r"pan &e manera

&!(erente# por e%emplo# s! a)r"pamos el pr!mer $ terer t8rm!no $ (ator!7ar la y # $ al

a)r"par el se)"n&o $ "arto t8rm!no $ (ator!7ar el ># se o*t!ene+!y+5!+2y+10= (!y+2y )+(5!+10 )=y (!+2 )+5 (!+2) # &e a-": se o*t!ene el (ator

omn (!+ 2 ) # por lo -"e la (ator!7a!6n es+


31/85

(!+2 )(y+5)

E#e%'lo -&4 ac+2bc2adbd

Soluci)n&

(4 ac+2bc )(2ad+bd )=2c (2a+b )d (2a+b )=(2a+b )(2cd )

E#e%'lo &

3!2+2!212!8

Soluci)n&

3!2+2!212!8=(3!3+2!2 )(12!+8 )=!2 (3!+2 )4 (3!+2 )=(3!+2 )(!24 )

Note -"e el lt!mo t8rm!no orrespon&e a "na &!(eren!a &e "a&ra&os por lo -"e la

(ator!7a!6n ompleta es+ (3!+2 )(!24)=(3!+2 ) (!2 )(!+2)

Trinomio de la orma a!2+b!+c con el m+!odo de ensayo y error.

*ao ,.

C"an&o se t!ene "n tr!nom!o &e la (orma !2+b!+c # se *"san nmeros -"e al

m"lt!pl!arlos se o*ten)a c $ al s"marlos se o*ten)a b # omo se m"estra en los

s!)"!entes e%emplos.E#e%'lo ,&

!2+11!+30

Soluci)n&Nmeros -"e al m"lt!pl!arlos se o*ten)a 19 $ al s"marlos //# son los nmeros

$ ># por lo -"e la (ator!7a!6n es+!

2+11!+30=(!+6 )(!+5)

E#e%'lo -&

!29!+14

Soluci)n&Nmeros -"e al m"lt!pl!arlos se o*ten)a /2 $ al s"marlos ;K# son los nmeros

; $ ;0# por lo -"e la (ator!7a!6n es+

!

2

9!+14= (!2 )(!7)*ao -.

Los tr!nom!os -"e t!enen la (orma a!2+b!+c # no son tan ('!l omo los e%emplos / $ 0#

eamos el s!)"!ente e%emplo.E#e%'lo &

5 b2+7 b+2


32/85

Soluci)n&

5b 2

b 1

Vemos -"e los nmeros &!sp"estos ert!almente emos -"e se o*t!ene 5 b2

$ 0# a@ora

lo -"e se t!ene -"e er!(!ar es -"e la s"ma &e los nmeros &!sp"estos &e manera @or!7ontal

sea !)"al al t8rm!no (altante# en este aso 10b+b es &!(erente &e *# as: -"e se

!nteram*!an los alores omo se m"estra ense)"!&a+

5b 1

b 2

De 8sta (orma se o*t!ene >*


33/85

!3+1=(!+1 )(!2!+1)

E#e%'lo -&

64 a61

Soluci)n&

Al omparar on la (6rm"la# se t!ene -"e a=4 a2y b=1 # entones+

64 a61=( 4 a21) (16 a4+4 a2+1 )

E#e%'lo &

$3+&3y12

Soluci)n&

Al omparar on la (6rm"la# se t!ene -"e a=$ y b=& y4

# entones+

$3+&3y12=($+& y4 ) ($2$& y4+&2y8 )

Ejercicios

Intruccione& ator!7a las s!)"!entes e4pres!ones al)e*ra!as.

/. 2a3

b24a3 b+6 a2q3

0. 6 r2

s515 r3 s4+18 r5

1. q29p

2. r2

s

2

25 t2

>. p2+ 4p+ 4

. a212a+ 36

. a2+10ab+25b2

. 225!230!y+y2

K. y2+y20

/9. 3$2

19$40

//. 5 241 +8

/0. 27 b33 b2 c+ 9 bc2c3

/1. 4 ab+8ac+3b+6 c


34/85

/2. 3aa!6b+2b!

/>. 8b3+c3

/. 64 a627 c12


35/85

Si%'li1icaci)n de 1raccione al+e(raicaLas e4pres!ones al)e*ra!as es "n o!ente &e &os e4pres!ones# -"e p"e&e !nl"!r

e4pres!ones $?o nmeros.Ejercicios resueltos

Intruccione& S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones+E#e%'lo ,.

1

2

2

5

1

2+ 3

10

Soluci)n&

Para s!mpl!(!ar la e4pres!6n se al"la el omn &enom!na&or en am*as partes+1

2

2

5

1

2 + 3

10

=

5410

5+310

=

1

10

8

10

Al m"lt!pl!ar e4tremos por e4tremos $ me&!os por me&!os# se t!ene+1

10

8

10

=1 10

8 10=

1

8

E#e%'lo -&1

!+23

4

!!

Soluci)n& En pr!mer l")ar se &eterm!na el omn &enom!na&or en en am*as partes &e la

e4pres!6n $ se proe&e a s"mar las e4pres!ones omo se m"estra ense)"!&a+1

!+23

4

!!

=

13 (!2)! +24!2

!

Se s"man los t8rm!nos seme%antes $ se m"lt!pl!an e4tremos por e4tremos $ me&!os porme&!os+

13!+6!+2

4!2

!

=

3!+7!+2

4!2

!

=

3!+7!+2

(2+! )(2!)!

= (3!+7 )(! )

(2+! ) (2! )(!+2)=

!(3!+7)

(!+2 )2(2!)

E#e%'lo &


36/85

b

a

a

b

1

a

1

b

Soluci)n&Cal"lamos omn &enom!na&or en am*as partes &e la e4pres!6n $ se s!mpl!(!ala (ra!6n+

b

a

a

b

1

a

1

b

=

b2a2

ab

baab

Se m"lt!pl!an e4tremos por e4tremos $ me&!os por me&!os $ se o*t!ene+b2a2

ab

baab

=(b2a2) (ab)(ab) (ba )

Se o*sera -"eab

ab=1 $ -"e b

2a2=(ba ) (b+a ) , por lo -"e se o*t!ene -"e+

(b2a2 )(ab)(ab) (ba )

=(ba )(b+a)

ba =b+a

E#e%'lo /&

y1

!1 +

y

!

!2

y2

!2

y2

Soluci)n&pr!mero se reesr!*e la e4pres!6n s!n e4ponentes ne)at!os# l"e)o se al"la el

omn &enom!na&or en am*as e4pres!ones $ se s!mpl!(!a+!

y+

y

!

!2

y2

y2

!2

=

!2+y2

!y

!4y4

y2!

2

Al m"lt!pl!ar e4tremos por e4tremos $ me&!os por me&!os# se o*t!ene -"e+!

2+y2

!y

!4y4

y2!

2

=(!2+y2 )(y2!2)(!y )(!4y4)

Al apl!ar las le$es &e los e4ponentes para el o!ente $ (ator!7ar !4y 4 , se t!ene -"e+


37/85

y

(!2+y2 )( 21!21)(!2y2 ) (!2+y2 )

= y!

(!2y2 )=

y!

(!y )(!+y)

E#e%'lo 5& Ra!onal!e el n"mera&or en la e4pres!6n+aba2b2

Soluci)n& En este aso emos -"e @a$ "na s"ma &e ra:es en el n"mera&or# para

ra!onal!7ar el n"mera&or 5o &enom!na&or se)n sea el aso,# se m"lt!pl!a por el

on%")a&o &el n"mera&or 5&enom!na&or,# es &e!r# s! te t!ene ab el on%")a&o es+

a+b # entones# para ra!onal!7ar el n"mera&or m"lt!pl!amos por el on%")a&o# tanto

al n"mera&or omo al &enom!na&or# es &e!r#aba

2b2=

a+ba+b

= ab

(a2b2 )(a+b)=

ab(a+b )(ab)(a+b)

= 1

(a+b )(a+b)

E#e%'lo 6& Esr!*a las e4pres!6n (!+y )(!1+y1) en la (orma

a

b

Soluci)n& Se reesr!*e la e4pres!6n s!n e4ponentes ne)at!os+

(!+y )(!1+y1 )=(!+y )( 1! +1

y )=(!+y )(y +!

!y)=(!+y )(y+! )

!y =

(!+y)2

!y

Ejercicios:

Intruccione& S!mpl!(!a las s!)"!entes e4pres!ones# e4presa s!n e4ponentes

ne)at!os.

/.

!+2(2!3)

!24

2!23!

0.

1

!2!

1

!2+!

1.a+b

a1+b1


38/85

2.

1

s+

1

t

1

s

1

t

>.

q21

q2+2q3

q4q+3

. 1+2

!

3

!+2

. !y (!2+y2)

.

9

!2y2

3!1

1

y

9.

12

b

14

b2

/9.

2

r2r12

+ r

r+3


39/85

Ecuacione LinealeUna e"a!6n es "na a(!rma!6n &e -"e &os e4pres!ones son !)"ales. La ma$or:a &e los

pro*lemas p"e&en e4presarse omo e"a!ones. Ense)"!&a se m"estra la term!nolo):a para

"na e"a!6n l!neal.

7er%inolo+8a+ C"an&o se !)"alan entre s: &os e4pres!ones# $ al menos "na &e ellas ont!ene"na ar!a*le# entones la propos!!6n matem't!a es "na ecuaci)n en una varia(le. Por

e%emploF !1=2 # !21=(! +1 ) (!1 ) $ 3!2=!+2 son e"a!ones en la

ar!a*lex. Una oluci)n o ra8!&e "na e"a!6n es "al-"!er nmero -"e# s"st!t"!&o en ella#

la on!erte en "na propos!!6n er&a&era. Se &!e -"e "n nmero ati1ace una ecuaci)n

s! es "na sol"!6n &e la e"a!6n. Reolver una ecuaci)ns!)n!(!a enontrar to&as s"s

sol"!ones.

E#e%'lo ,&Compr"e*e -"e el nmero 0 es "na sol"!6n &e la e"a!6n+ 3!2=!+2

Sol"!6n+Para ompro*ar -"e el 0 es sol"!6n &e la e"a!6n &a&a# se s"st!t"$e el alor &e 0 en l")ar

&e 4# omo se m"estra ense)"!&a+3 (2 )2=(2)+2

62=2+2

4=4

Como la a(!rma!6n 2=2 es er&a&era# se onl"$e -"e 0 es sol"!6n &e3!2=!+2

E#e%'lo -& Res"ele la e"a!6n!

21!1

=!+1 #

Sol"!6n+

Se m"lt!pl!a la e"a!6n por !1 # (!21

!1=!+1)(!1)

!21=(!+1 )(!1)

!21=!21

!2!2=1+1

0=0

En este aso# se &!e -"e la e"a!6n es "na !&ent!&a es &e!r# -"e la e"a!6n se "mple

para "al-"!er nmero real ! # s!n em*ar)oF se o*sera -"e s! !=1 # se o*t!ene -"e el


40/85

&enom!na&or es !)"al a ero# lo "al no est' &e(!n!&o# &e esta (orma# la sol"!6n &e la

e"a!6n son to&os los nmeros reales 4 -"e perteneen a los nmeros reales e4epto

!=1.

Observacin:Al resoler "al-"!er e"a!6n en la -"e la ar!a*le est' el &enom!na&or# se&e*e er!orarse -"e el?los alor5es, enontra&os no @a)an -"e el &enom!na&or sea !)"al a

ero# s! esto s"e&e# se &!e -"e ese nmero no es sol"!6n &e la e"a!6n &a&a.E#e%'lo &2!7=5!+6

2!5!=6+7

3!=13

Al m"lt!pl!ar la e"a!6n por1

3# se t!ene+

(3!=13 )(13)!=

113

E#e%'lo /&1

!+

1

!4=

2

!24!

Soluci)n& Se o*sera -"e el &enom!na&or &el la&o &ere@o &e la e"a!6n p"e&es!mpl!(!arse# omo se m"estra ense)"!&a+1

!+

1

!4=

2

! (!4 )

Por lo -"e el omn &enom!na&or es ! (!4 ) $ es por este -"e se m"lt!pl!a la

e"a!6n# es &e!rF

(! (!4 ))( 1!+ 1!4= 2! (!4 ) )!4+!=2

2!=2+4

2!=6

!=3


41/85

Como la ar!a*le 4 est' en el &enom!na&or# se &e*e er!orarse -"e !=3 no @a)a -"e el

&enom!na&or sea !)"al a ero. Al s"st!t"!r 4=1 se o*t!ene+1

3+

1

34=

2

324 (3 )

1

31=

2

912

23=

23

Por lo tanto , !=3 es sol"!6n &e la e"a!6n &a&a.

Ejercicios

Intruccione&Res"ele las s!)"!entes e"a!ones.

/. !(2! )=3 (!+1 )+!

0. 2+1

!=3+

2

!

1.2!

!22=

42!

2.3!

!2=

6

!2+1

>. p2+ 6p1=p2p +6

.2

3 a+9

7

2 a+6=

1

3

.1

5!3=

2

10!6

. 2 (a1 )+6 (a4 )=7

K.1

2( u3 )=2u

3

2

/9. 3!+5 1!2 = 7!2+3!10


42/85

Site%a de ecuacione linealeM"@os pro*lemas &e 'l)e*ra !nol"ran la sol"!6n &e e"a!ones on ar!as !n6)n!tas $

no s6lo "na e"a!6n on "na !n6)n!ta . Un on%"nto &e e"a!ones on ar!a*les

om"nes se llamasis!ema de ecuaciones# se &!e l!neal por-"e las ar!a*les -"e apareenen &!@o s!stema est'n elea&as a la pr!mera poten!a.E%emplo+

3!+ 2y=5y=2!+ 4 S!stema &e e"a!ones l!neales on 0 !n6)n!tas

!+3y2=56!+3y=10 S!stema &e e"a!ones no l!neal ar!a*le elea&a a "na poten!a

Pr!mero est"&!aremos el aso m's sen!llo -"e es "n par &e e"a!ones on &os !n6)n!tas.D!@os s!stemas a&m!ten tres t!pos &e sol"!ones los "ales son+

n!a sol"!6n In(!n!tas sol"!ones S!n sol"!6n

La representa!6n )eom8tr!a &e este t!po &e s!stemas es "na l:nea reta esto &e*!&o a -"e

"al-"!er e"a!6n &e los e%emplos anter!ores p"e&e trans(ormarse al)e*ra!amente por

e%emplo+

3!+ 2y=5y=2!+ 4 D!@as e"a!ones p"e&en trans(ormarse en

y=53!2

y=2!4L!neas

retasPor tanto es laro -"e "al-"!er s!stema &e e"a!ones &e &os !n6)n!tas representa l:neas

retas. A ont!n"a!6n se presenta la representa!6n )r'(!a &e "n s!stema &e e"a!ones

&epen&!en&o s" t!po &e sol"!6n+

Site%a con $nica

oluci)n

Site%a con in1inita

olucione

Site%a in oluci)n


43/85

4 3 2 1 1 2 3 4

4

3

2

1

1

2

3

4

x

y

Para resoler "n s!stema &e e"a!ones &e &os !n6)n!tas est"&!aremos los s!)"!entes

m8to&os &e sol"!6n+

M8to&o &e s"st!t"!6n

M8to&o &e !)"ala!6n M8to&o &e el!m!na!6n

(is!emas con nica solucinA ont!n"a!6n se m"estran al)"nos e%emplos -"e t!enen n!a sol"!6n# los "ales ser'n

res"eltos on los &!(erentes m8to&os &e sol"!6n.Mtodo de sustitucin

/. Despe%ar "na &e las ar!a*les. Se el!)e "na e"a!6n p"e&e ser "al-"!era $ se

&espe%a "na &e las !n6)n!tas la -"e sea m's sen!lla &e &espe%ar.0. S"st!t"!r. Se s"st!t"$e la e"a!6n &el paso "no en la otra e"a!6n# se res"ele

esta e"a!6n -"e es a@ora &e "na ar!a*le.1. S"st!t"!6n @a!a atr's. Una e7 -"e se o*t!ene el res"lta&o &e la ar!a*le &el paso

0 este res"lta&o se s"st!t"$e en la e"a!6n o*ten!&a en el paso / $ se o*t!ene el

res"lta&o &e la ar!a*le (altante.

E#e%'lo ,&


44/85

Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones on el m8to&o &e s"st!t"!6n!+y=8

!3y=0

Soluci)n&

Despe%amos!

&e la pr!mera e"a!6n!=8y

S"st!t"!mos este res"lta&o en la se)"n&a e"a!6n(8y )3y=0

A@ora al tratarse &e "na e"a!6n &e "na sola !n6)n!ta se res"ele para enontrar el

alor &e la ar!a*le y

84y=0 S"mamos t8rm!nos seme%antes

8=4y 8

4=y Despe%amos $

2=y O*tenemos el alor &e la ar!a*le *"sa&a

A@ora omo $a onoemos el alor &e $ lo s"st!t"!mos en la e"a!6n -"e &espe%amos

para la ar!a*le 4!=8y

!=82

!=6

Compro*a!6n s! !=6 $ y=2 +

6+2=863 (2 )=0

Mtodo de igualacin

/. Despe%ar. Se &espe%a "na ar!a*le &e la pr!mera $ se)"n&a e"a!6n &e*e ser la

m!sma ar!a*le en am*os asos.0. I)"ala!6n. Se !)"alan estos res"lta&os $ esto on&"e a la o*ten!6n &e "na

e"a!6n &e "na sola !n6)n!ta la "al se res"ele para o*tener el res"lta&o &e "na

ar!a*le.1. S"st!t"!6n @a!a atr's. Se s"st!t"$e el res"lta&o o*ten!&o en el paso 0 en

"al-"!er e"a!6n &e las o*ten!&as en el paso /.


45/85

E#e%'lo ,&

Cal"lar la sol"!6n &el s!)"!ente s!stema+2!+y=1

3!+ 4y=14

Soluci)n&Despe%amos y &e am*as e"a!ones

y=12!

y=143!

4

I)"alamos am*os res"lta&os

12!=143!

4

Resolemos &!@a e"a!6n -"e a@ora s6lo ont!ene "na !n6)n!ta4 (12! )=143! M"lt!pl!amos por 2

48!=143! M"lt!pl!amos

8!+3!=144 A)r"pamos t8rm!nos seme%antes

5!=10

!=10

5 Despe%amos!

!=2

A@ora solo s"st!t"!mos este res"lta&o en "no &e los &espe%es -"e se @!!eron para y

y=12!

y=12(2)

y=1+4

y=5

As: el res"lta&o es !=2 $ y=5

Compro*a!6n+2 (2 )+5=1

3 (2 )+4 (5 )=14

Mtodo de Eliminacin

/. I)"alar oe(!!entes. Se m"lt!pl!a "na o am*as e"a!ones por al)n nmero -"e


46/85

sea onen!ente para !)"alar los oe(!!entes &e "na ar!a*le &e manera -"e

ten)an s!)nos ontrar!os.0. S"mar las e"a!ones. Se s"man las &os e"a!ones $a -"e "na ar!a*le @a &e

el!m!narse )ra!as a lo @e@o en el paso /# se &espe%a la ar!a*le -"e no se

el!m!n6 para o*tener "n res"lta&o.1. S"st!t"!6n @a!a atr's. El res"lta&o o*ten!&o en el paso 0 se "sa para o*tener el

res"lta&o &e la otra ar!a*le# el "al se s"st!t"$e en al)"na e"a!6n &e las

or!)!nales para (!nalmente o*tener la sol"!6n &el s!stema.

E#e%'lo ,&

Resoler on el "so &el m8to&o &e el!m!na!6n el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones+4!3y=109!+4y=1

Soluci)n&

Ja -"e el t8rm!no en $ t!ene s!)nos ontrar!os el!m!naremos esta ar!a*le# para @aerlo

!)"alaremos oe(!!entes eso se lo)ra m"lt!pl!an&o la pr!mera e"a!6n por 2 $ la

se)"n&a por 14!3y=109!+4y=1

(4)(3)

16!12y =4027!+12y=3

Se o*sera -"e a@ora los oe(!!entes &e y son !)"ales on s!)no ontrar!o lo -"e al

s"mar las e"a!ones arro%a omo res"lta&o16!12y =4027!+12y=3

43!=43

!=43

43

!=1

A@ora on el alor &e !=1 s"st!t"!mos en "al-"!era &e las e"a!ones or!)!nales

para o*tener el res"lta&o par y

4!3y=10

4 (1 )3y=10


47/85

43y=10

3y=104

3y=6

y= 63

y=2

Por tanto la sol"!6n &el s!stema es !=1 $ y=2 .

Compro*a!6n+4 (1 )3 (2 )=109 (1 )+4 (2 )=1

Sistema con infinito nmero de soluciones

asta a@ora s6lo se @an anal!7a&o el t!po &e s!stemas &e e"a!ones -"e t!enen n!asol"!6n a ont!n"a!6n se presenta el aso &e los s!stemas -"e poseen "n nmero !n(!n!to

&e sol"!ones.E#e%'lo ,&

Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones por el m8to&o -"e se ons!&ere m's

onen!ente!+ 3y=103!+ 9y=30

Soluci)n&

Para resolerlo "t!l!7aremos el m8to&o &e el!m!na!6n $a -"e s6lo *astar' on m"lt!pl!ar

la pr!mera e"a!6n por 5;1, para !)"alar los oe(!!entes &e !

3!9y=303!+9y=30

Al s"mar am*as e"a!ones o*tenemos3!9y=30

3!+9y=300=0

O*seramos -"e 9=9 es "na !)"al&a& !erta por lo tanto esto nos llea a la onl"s!6n &e

-"e am*as e"a!ones son !)"ales o*sere -"e la pr!mera e"a!6n es mlt!plo &e la

pr!mera.Por tanto s! tomamos la pr!mera e"a!6n

!+ 3y=10

Despe%amosx


48/85

!=103y

Como el alor &e ! &epen&e &el alor &e y este p"e&e ser "al-"!er nmero real#

as: la sol"!6n &el s!stema es(103y , yR)

Una sol"!6n p"e&e ser' s! $=9(10,0 )

Otra sol"!6n ser' s! $=/(103 (1 ) , 1 )=(7,1)

Por tanto# se o*sera -"e el s!stema t!enen !n(!n!tas sol"!ones $ to&as estas &epen&er'n

&el alor -"e tome la ar!a*ley.Sistemas sin solucin

Los s!stemas @asta a@ora !stos propor!ona*an "na n!a sol"!6n o !n(!n!to nmero &e

sol"!ones# s!n em*ar)o e4!ste "n t!po &e s!stemas para los "ales no es pos!*le o*tener "na

sol"!6n a ont!n"a!6n se presenta "n e%emplo.E#e%'lo ,&

Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones6!+3y=102!+y=5

Soluci)n&

Ut!l!7aremos el m8to&o &e el!m!na!6n# as: m"lt!pl!an&o la se)"n&a e"a!6n por 5;1,

para !)"alar oe(!!entes $ tener s!)no ontrar!o se t!ene6!+3y=10

6!3y=15

S"man&o las e"a!ones se o*t!ene6!+3y=10

6!3y=150=5

Ja -"e se o*t!ene "na !)"al&a& (alsa 05 se onl"$e -"e el s!stema no t!ene

sol"!6n.(is!emas de ecuaciones lineales de $x$A@ora trataremos s!stemas &e e"a!ones l!neales on tres e"a!ones $ tres !n6)n!tas#

estos p"e&en ser res"eltos on "al-"!era &e los m8to&os antes est"&!a&os# a@ora

resoleremos s6lo on el "so &el m8to&o &e El!m!na!6n.E#e%'lo ,&


49/85


50/85

3y5$=63y5 (3 )=6

3y=6+15

3y=21

y=7

Una e7 o*ten!&os los alores para y=7 $ $=3 se s"st!t"$en en "al-"!er

e"a!6n &e las &el s!stema or!)!nal $ se o*t!ene!y+3$=4

!7+3 (3 )=4

!=4+79

!=2

Por tanto la sol"!6n &el s!stema &e e"a!ones es+ 5 2,7,3

Compro*a!6n+27+ 3(3)=4

2+2(7)2(3)=10

3(2)7+5 (3)=14

E#e%'lo -&Resoler el s!)"!ente s!stema &e e"a!ones

3!5y+36$=10!+7$=5

!+y10$=4

Soluci)n&

Para resoler el s!stema on el m8to&o &e el!m!na!6n "saremos las e"a!ones / $ 1 $

el!m!naremos la ar!a*le $# esto &e*!&o a -"e la se)"n&a e"a!6n no ont!ene este

t8rm!no $ res"lta m's sen!llo# as: m"lt!pl!an&o la terera e"a!6n por >3!5y+36$=105!+5y50$=20

2!14$=10

As: el n"eo s!stema se (orma on la se)"n&a e"a!6n &el s!stema or!)!nal $ la o*ten!&a

anter!ormente


51/85

!+7$=52!14$=10

Al m"lt!pl!ar por 0 para el!m!nar ! $ s"mar las e"a!ones tenemos

2! +14$=102!14$=10

0=0

Como o*t"!mos "na !)"al&a& er&a&era se onl"$e -"e el s!stema t!ene !n(!n!tas

sol"!ones# por tanto al &espe%ar "na ar!a*le &el s!stema &e 2! 2 o*tenemos

!+7$=5

!=7$5

Ja -"e el alor &e ! &epen&e &e los alores -"e se le as!)ne a $ # se onl"$e -"e

$ p"e&e tomar "al-"!er alor real. As: s"st!t"$en&o estos res"lta&os en la pr!mera

e"a!6n &el s!stema or!)!nal3!5y+36$=10

3 (7$5 )5y+36$=10

21$+155y+36$=10

5y+15$=1015

5y=515$

y=515$

5

y=1+3$

As: el res"lta&o para el s!stema on !n(!n!tas sol"!ones es+!=7$5

y=1+3$

$= "al-"!er nmero realEsr!ta &e otra (orma

7$5,1+3$ , $R ,


52/85

Ejercicios

Determ!ne la sol"!6n &e los s!stemas &e e"a!ones l!neales

/.

!+y+$=2y3$=1

2!+y+5$=0

0.5!+2y=27!+3y=6

1.

!+y+6$=3!+y+3$=3

!+ 2y+ 4$=7

2.8!2y=5

12!+3y=7

>.

2!3y9$=5!+3$=2

3!+y4$=3

.3!6y=124!8y=16


53/85

Ecuacione cuadrtica

Una e"a!6n "a&r't!a es a-"ella "$a ar!a*le se en"entra elea&a al "a&ra&o# s"

(orma )eneral est' &a&a por la e4pres!6n+

a !2+b!+c=0

Don&e a ,b $ c son nmeros reales $ a0

Las s!)"!entes e"a!ones son "a&r't!as+

2=5!+!2

La e"a!6n p"e&e reesr!*!rse en la (orma !25!2=0

!

2+10=0

La e"a!6n no ont!enen t8rm!no l!neal# s!n em*ar)o es "a&r't!a

6!

2+!=0

La e"a!6n no ont!ene t8rm!no !n&epen&!ente o onstante# s!n em*ar)o es

"a&r't!a.

!10=3

No es "na e"a!6n "a&r't!a $a -"e ! se en"entra elea&a a la pr!mera

poten!a

Las e"a!ones "a&r't!as t!enen &os sol"!ones# las "ales p"e&en ser reales &!st!ntas#

reales repet!&as o !ma)!nar!as# m's a&elante se presentan al)"nos e%emplos &e a&a aso.

E4!sten &!(erentes (ormas &e resoler "na e"a!6n "a&r't!a por e%emplo+

ator!7a!6n Completan&o tr!nom!o "a&ra&o per(eto 6rm"la )eneral

Solucin de una ecuacin cuadrtica por factoriacin

Para resoler la e"a!6n "a&r't!a por (ator!7a!6n se @ae "so &e la s!)"!ente prop!e&a&


54/85

01=0 s! $ s6lo s! 0=0 6 1=0

Por tanto# s! po&emos (ator!7ar la e"a!6n "a&r't!a 5!)"ala&a a ero,# resoleremos la

e"a!6n !)"alan&o a&a "no &e los (atores a ero.


E#e%'lo ,& Resoler la e"a!6n !2+5!=6

Soluci)n& Pr!mero es neesar!o -"e la e"a!6n este !)"ala&a a ero entones se t!ene

!2+5!+6=0

ator!7an&o la e4pres!6n anter!or

(!+2 ) (!+3 )=0

Ut!l!7amos la prop!e&a& en"n!a&a anter!ormente e !)"alan&o a&a (ator a ero

!+2=0!+3=0

Resol!en&o estas e"a!ones se t!ene -"e

!=2

!=3

Como se trata &e "na e"a!6n "a&r't!a# esta &e*e tener &os sol"!ones. Compro*an&o

am*as resp"estas se t!ene

(2 )2+5 (2 )=410=6

(3 )2+5 (3 )=915=6

Con lo "al -"e&an ompro*a&as am*as sol"!ones para la e"a!6n.

E#e%'lo -& Resoler la e"a!6n "a&r't!a 2!2+7!4=0

Soluci)n&La e"a!6n $a se en"entra !)"ala&a a ero# por tanto proe&emos a (ator!7aron lo "al o*tenemos

(!+4 ) (2!1 )=0

Apl!an&o la prop!e&a& e !)"alan&o a ero a&a (ator

!+4=02!1=0


55/85

!=4

!=1

2

Compro*a!6n2 (4 )2+7 (4 )4=32284=0

2( 12 )2

+7( 12 )4=2(1

4 )+7

24=

1

2+7

24=0

Mtodo de completar trinomio cuadrado perfecto

C"an&o no es pos!*le (ator!7ar la e"a!6n "a&r't!a se "t!l!7a la t8n!a &e ompletar el

tr!nom!o "a&ra&o per(eto la "al ons!ste en a)re)ar la m!ta& &el oe(!!ente &el t8rm!no

l!neal# a&em's se &e*e tener en "enta -"e para po&er "t!l!7ar esta t8n!a el oe(!!ente &el

t8rm!no "a&r't!o &e*e ser !)"al a /.

C6mo ompletar el tr!nom!o "a&ra&o per(eto

!2+b!+c=0 a)re)amos 2( b2 )

2


Intruccione& Determ!na el oe(!!ente -"e se ten&r' -"e a)re)ar para ompletar eltr!nom!o "a&ra&o per(eto para+

E#e%'lo ,&

5!2+10!+25=0

Soluci)n&Ja -"e el oe(!!ente &el t8rm!no "a&r't!o no es !)"al a / &!!&!mos to&a la

e"a!6n entre >

!2+2!+5=0

Para ompletar el tr!nom!o "a&ra&o per(eto a)re)amos

!2+2!+( 22 )

2

( 22 )2

=5

a, !25!+1=0


56/85

Para ompletar a)re)amos

!25!+( 52 )

2

(52 )2

=1

Intruccione& Resoler las s!)"!entes e"a!ones ompletan&o el tr!nom!o "a&ra&o

per(eto.

E#e%'lo ,&

!28!+13=0

Soluci)n&Como el oe(!!ente &el t8rm!no "a&r't!o es / proe&emos a)re)ar

!28!+( 82 )

2

( 82 )2

=13

!28!+1616=13

Los pr!meros tres t8rm!nos (orman "n tr!nom!o "a&ra&o per(eto -"e se (ator!7a

(!4 )2=13+16

(!4 )2=3

Toman&o ra:7 "a&ra&a &e a&a la&o

!4=23

As: tenemos -"e

!=4 23

Las "'les son las sol"!ones &e la e"a!6n "a&r't!a.

E#e%'lo -&

3!212!+4=0

Soluci)n&Como el oe(!!ente pr!n!pal &e la e"a!6n no es !)"al a / &!!&!mos la

e"a!6n entre 1

!24!+

4

3=0

A)re)amos la m!ta& &el oe(!!ente l!neal al "a&ra&o $ o*tenemos


57/85

!24!+( 42 )

2

(42 )2

=43

!24!+ 44=

43

Los pr!meros 1 t8rm!nos (orman el tr!nom!o "a&ra&o per(eto -"e (ator!7a&o es

(!2 )2=4

3 + 4

(!2 )2=8

3

Toman&o ra:7 "a&ra&a en am*os m!em*ros &e la e"a!6n

!2=2

83

!=22 83!=22

22

3 Apl!an&o prop!e&a&es &e los ra&!ales

!=2 226

3 Ra!onal!7an&o

Observacin:

83 =83 =423 = 223 (223)(

3

3 )=26

3

Solucin con la frmula cuadrtica

Las sol"!ones a "na e"a!6n "a&r't!a &e la (orma a !2+b!+c=0 est'n &a&as por

!=b2b24 ac2a


58/85

La ant!&a& b24 ac es ono!&a omo &!sr!m!nante &e la e"a!6n "a&r't!a $

&epen&!en&o el alor &e &!@a ant!&a& es omo ser'n las sol"!ones &e la e"a!6n

"a&r't!a a ont!n"a!6n se presenta los asos -"e se p"e&en presentar

b24ac>0 la e"a!6n ten&r' &os sol"!ones reales &!st!ntas

b24ac


59/85

2 !2+12!+ 9=0

Soluci)n&

a=4,b=12,c=9

Al s"st!t"!r estos alores en la (6rm"la )eneral se o*t!ene

!=12212

24(4)(9)2(4)

!=122144144

8

!=1220

8

!= /0

De*!&o a -"e el &!sr!m!nante ("e ero la e"a!6n t!ene "na ra:7 real repet!&a.

E#e%'lo /&

!2+!+1

Soluci)n&

a=1,b=1, c=1

Al s"st!t"!r en la (6rm"la tenemos

!=12124(1)(1)2(1)

!=1214

2

!=123

2

Como el &!sr!m!nante es "n nmero ne)at!o las ra:es son !ma)!nar!as as: p"e&e

resr!*!rse

!=123 i

2


60/85

As: las sol"!ones son+

!=1+3 i

2

!=13 i

2

Ejercicios

/. O*tener la sol"!6n &e las s!)"!entes e"a!ones por el m8to&o &e (ator!7a!6n

a) 8!2+10!+3=0

b) 6 a2+5 a+6=0

, !2

14 a+ 48=0

0. O*tener la sol"!6n &e las s!)"!entes e"a!ones por el m8to&o &e (ator!7a!6n

d) 8!2+10!+3=0

e) 6 a2+5 a+6=0

(, !214 a+ 48=0

1. O*ten)a la sol"!6n &e las s!)"!entes e"a!ones on el m8to&o &e ompletar el

tr!nom!o "a&ra&o per(eto

a, 6!2

5!+6=0

*, 0 !2+8!+1=0

, !2+!=4

2. Ut!l!7an&o la (6rm"la "a&r't!a res"ela las s!)"!entes e"a!ones

a, !2+1=0

*, !2+ 8!+16=0

, 9!26=2!

>. Determ!ne los alores &e Q -"e @aen -"e la e"a!6n ten)a sol"!6n real

a, 4!2+!+25=0

*, !2+36!+=0

. Determ!ne s! el s!)"!ente par &e nmeros es sol"!6n a la e"a!6n "a&r't!a &a&a

a, !2+7!+12=0 !=3,!=5


61/85

*, K !2+3!2=0 !=2/3,!=1/3

4raccione 'arciale

4raccione Pro'ia e I%'ro'ia

Se &!e -"e "na (ra!6n ra!onal,5

,5

x.

x

es "na (ra!6n prop!a s! el )ra&o &el n"mera&or

es menor -"e el )ra&o &el &enom!na&or. En aso ontrar!o# es &e!r# s! el )ra&o &el

n"mera&or es ma$or o !)"al -"e el )ra&o &el &enom!na&or entones se le llama (ra!6n

!mprop!a. Por e%emplo+

/.22

/1>0

01

++

+++

xx

xxx

0./

000

0

+

+

x

xx

1.xxx

xx

10

K/1201

0

+

+

2.2>/2K

/0

+

xx

x

5/, $ 50, son (ra!ones !mprop!as m!entras -"e 51, $ 52, son (ra!ones prop!as. To&a

(ra!6n !mprop!a se p"e&e esr!*!r 5e(et"an&o la &!!s!6n &e pol!nom!os, omo la s"ma &e

"n pol!nom!o mas la ("n!6n prop!a# es &e!r

,5

,5

,5

,5

x.

x/olinomio

x.

x+=

&on&e,5x/

es res!&"o o*ten!&o &e la &!!s!6n $ elolinomio

o*ten!&o es el o!ente &e la

&!!s!6n. E%emplo e4presar 5/, en "na (ra!6n prop!a


62/85

La (ra!6n prop!a -"e&ar:a representa&a &e la s!)"!ente manera

22

K1/

22

/1>00

01

++

+++=

++

+++

xx

xx

xx

xxx

Deco%'oici)n en 1raccione 'arciale

Las (ra!ones par!ales se "t!l!7an para a$"&ar a &esomponer e4pres!ones ra!onales $

o*tener s"mas &e e4pres!ones m's s!mples. Para la &esompos!!6n &e (ra!ones par!ales

es neesar!o representar el &enom!na&or,5x.

(ator!7a&o para o*tener "n pro&"to &e

(atores l!neales &e la (orma0px +

o (atores "a&r't!os !rre&"!*les &e la (orma

cbxax ++0

. A)r"par los (atores l!neales repet!&os o*ten!en&o 50px +

,mo los (atores

"a&r't!os !rre&"!*les o*ten!en&o 5cbxax ++0

,n# &on&e m $ n son nmeros ma$ores a

"no $ no p"e&en ser ne)at!os. Cons!&eran&o lo anter!or po&emos &!st!n)"!r los s!)"!entes

asos+

*ao I&El &enom!na&or,5x.

est' omp"esto por (atores l!neales &!st!ntos.

*ao II+ El &enom!na&or,5x.

est' omp"esto por (atores l!neales repet!&os.

*ao III+ El &enom!na&or,5x.

est' omp"esto por (atores "a&r't!os !rre&"!*les

&!st!ntos.


63/85

*ao IV+ El &enom!na&or,5x.

est' omp"esto por (atores "a&r't!os !rre&"!*les

repet!&os.

*ao I& El deno%inador

,5x.

et co%'ueto 'or 1actore lineale ditinto.Esto s!)n!(!a -"e po&emos representar el &enom!na&or omo

,....5,.........,55,5 00// 11 0xp0xp0xpx. +++=

en &on&e no @a$ (atores -"e se rep!tan. En este aso la &esompos!!6n en (ra!ones

par!ales -"e&ar:a

11

1

0xp

-

0xp

-

0xp

-

x.

x

+

++

+

+

+

= .........,5

,5

00

0

//

/

donde/-

,1--....0son constantes.

E#e%'lo ,&

Determ!nar la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales &e+

xxx

xx

10

K/1201

0

+

+

Soluci)n&

Pr!mero se er!(!a -"e el n"mera&or ten)a menor )ra&o -"e el &enom!na&or. Para este

e%emplo el n"mera&or t!ene )ra&o 0 $ el &enom!na&or )ra&o 1 por lo -"e no es neesar!o

@aer &!!s!6n. Se (ator!7a el &enom!na&or &e la (orma

( ( )( )/1,510,510 001

+=+=+ xxxxxxxxx

La &esompos!!6n en (ra!ones par!ales -"e&ar:a omo se presenta a ont!n"a!6n

( )( ) /1/1,5K/12 0

+

++=

+

+

x

C

x

*

x

-

xxx

xx


64/85

Para enontrar los alores#-

*

yC

# m"lt!pl!amos la !)"al&a& por el m:n!mo omn

&enom!na&or( ) ( )/1 + xxx

$ s!mpl!(!amos

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/

/1,5

1

/1,5/1,5

/1,5

/1,,5K/125 0

++

+

++

+=

+

++

x

xxxC

x

xxx*

x

xxx-

xxx

xxxxx

( )( ) ( ) ( )1,5/,5/1K/12 0 ++++=+ xxCxx*xx-xx Ecuaci)n Bica

Se &esarrolla la e"a!6n *'s!a $ a)r"pan t8rm!nos seme%antes

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) -C*-xC*-xxx

-Cx*x-xCx*x-xxx

CxCx*x*x--x-xxx

CxCx*x*x--x-xxx

xxCxx*xx-xx

110K/12

110K/12

110K/12

110K/12

110K/12

00

0000

0000

0000

0000

++++=+

++++=+

++++=+

++++=+

++++=+

Para la obtencin dels!stema &e e"a!ones# se toman los oe(!!entes omo se !n&!a

a ont!n"a!6n

C*-x ++==20

C*-x 10/1/

+==

-x 1K9 ==

El s!stema &e e"a!ones o*ten!&o p"e&e ser res"elto por matr!es o por el m8to&o -"e m's

onen)a# en este aso se "t!l!7ara el &e s"ma $ resta para s" sol"!6n. Toman&o la terera

e"a!6n se p"e&e &espe%ar para enontrar el alor &e-

.

K1 = -

1

K

=-

1=-


65/85

El alor &e-

enontra&o se s"st!t"$e en la pr!mera $ se)"n&a e"a!6n# para po&er

enontrar los alores (altantes.

C*- ++=2

C* 1,150/1 +=

C*++=12

C* 1D/1 +=

C*+= 12

C* 1D/1 +=

C*+=/

C* 1E +=

C*+=/

C*+=/

C* 1E +=

0/ += *

C2G =

A0;/ =

C0=

A/; =

Por lo -"e la &esompos!!6n &e (ra!ones par!ales -"e&a+

( ) ( ) /

0

1

/1

/1,5

K/12 0

+

+

=

+

+

xxxxxx

xx

Ejercicios

/.( ) ( )10

/G

+

xx

x

0.

( ) ( )/20K

+

xx

x

1./02

120

+

xx

x

2.xx

x

2

/0>0


66/85

>.( ) ( ) ( )10/

//>2 0

+

xxx

xx

.( ) ( )>0

09/K0

+

++

xxx

xx

.xxx

xx

>2

/>>201

0

.( )( )D>/

//1E0

++

xxx

*ao II& El deno%inador

,5x.

et co%'ueto 'or 1actore lineale re'etido.

S!,5x.

t!ene "n (ator l!neal repet!&o1

ees &e la (orma

10px ,5 +

# entones la

&esompos!!6n en (ra!ones par!ales ont!ene1

t8rm!nos &e la (orma+

1

1

0xp

-

0xp

-

0xp

-

x.

x

,5.........

,5,5

,5

//

0

//

0

//

/

+++

++

+=

donde/-

,1--....0son constantes.

E#e%'lo -&


xxx

xx

++

++

01

0

0

D09>

Soluci)n&

Ut!l!7an&o la meto&olo):a "t!l!7a&a en el e%emplo anter!or# pr!mero er!(!amos -"e le

n"mera&or sea menor -"e al &enom!na&or# en este aso se o*sera -"e s! "mple esta

on&!!6n. Se (ator!7a el &enom!na&or &e la (orma


67/85

,/050 001 ++=++ xxxxxx

0,/5 += xx

La &esompos!!6n en (ra!ones par!ales -"e&ar:a representa&a omo se m"estra aont!n"a!6n

00

0

,/5/,/5

D09>

++

++=

+

++

x

C

x

*

x

-

xx

xx

M"lt!pl!an&o por m:n!mo omn &enom!na&or

0,/5 +xx

&a la e"a!6n *'s!a

0

000

0

00

,/5,/,55

/,/,55,/,55

,/5,/,5,5D09>5

+++

++++=

++++

xxxC

xxx*

xxx-

xxxxxx

Cxxx*x-xx ++++=++ ,/,55,/5D09> 00

Ecuaci)n Bica


Cxxx*xx-xx +++++=++ ,5,/05D09> 000

Cx*x*x--x-xxx +++++=++ 000 0D09>

-Cx*x-x*x-xxx +++++=++ 0D09> 000

-C*-x*-xxx +++++=++ ,05,5D09> 00

El s!stema &e e"a!ones o*ten!en&o es le s!)"!ente

*-x +==>

0

C*-x ++== 009/

-x ==D9


68/85

Se p"e&e o*serar -"e en la terera e"a!6n esta el alor &e-

. Toman&o el alor &e-

$

s"st!t"$en&o en la se)"n&a $ terera e"a!6n se o*t!ene los alores &e*

$C

*-+=>

C*- ++=009

*+=D>

C++= ,/5,D5009

*=D>

C+= //009

*=/

C=//09

C=K

Por lo tanto la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales res"lta

00

0

,/5

K

/

/D

,/5

D09>

++

+=

+

++

xxxxx

xx

Ejercicios

/.

( ) 0/

10

+

x

x

0.( )0

2>0

0

+

xx

x

1.

01

0

>1

0>>9/K

xx

xx

+

2.0>/9

/90

++

xx

x

>.( ) ( )/00

D0

+

xxx

.( ) ( )00

0

//

0

+

+

xx

xx


69/85

*ao III& El deno%inador

,5x.

et co%'ueto 'or 1actore cuadrtico irreduci(le

ditinto.

S!

,5x.

t!ene "n (ator "a&r't!o no repet!&o &e la (orma

cbxax ++0

# entones la&esompos!!6n en (ra!ones par!ales ont!ene "n t8rm!no &e la (orma+

cbxax

*-x

x.

x

++

+=

0,5

,5

&on&e-

$*

son onstantes.

E#e%'lo &


2G0

0K/>201

01

+

+

xxx

xxx

Soluci)n&

Para la sol"!6n &e este e%er!!o se o*sera -"e el )ra&o &el n"mera&or es ma$or -"e el

)ra&o &el &enom!na&or# por lo tanto# se t!ene "na (ra!6n !mprop!a $ se t!ene -"e e4presar

en "na (ra!6n prop!a.

2G0

0/0

2G0

0K/>201

0

01

01

+

+=

+

+

xxx

xx

xxx

xxx

ator!7an&o el &enom!na&or se o*t!ene

( ) ( ) ( ( )/02/02/02G0 0001 +=+=+ xxxxxxxx


70/85

Por lo tanto# s" &esompos!!6n en (ra!ones par!ales es+

( )( ) /02/020/

00

0

+

+

+=

+

x

C

x

*-x

xx

xx

M"lt!pl!an&o por el m:n!mo omn &enom!na&or( ( )/020 + xx

se o*t!ene la e"a!6n

*'s!a

( )( )( )( )

( )( ) ( )( )/0

/02

2

/02,5

/02

/02,0/5 0

0

0

0

00

++

+

++=

+

+

x

xxC

x

xx*-x

xx

xxxx

( ) ( )2/0,50/ 00 +++= xCx*-xxx Ecuaci)n Bica


( ) ( ) ( )C**-xC-xxx

C**x-xCx-xxx

CCx**x-x-xxx

2000/

2000/

2000/

00

000

000

+++++=

+++=

+++=

El s!stema &e e"a!ones o*ten!en&o es el s!)"!ente

C-x +== 0/

0

5/,

*-x 0//

+==

50,

C*x 20/9 +== 51,

Se toma las e"a!ones 5/, $ 50,. La e"a!6n 50, se m"lt!pl!a por 0 $ se s"ma $ resta on

la e"a!6n 5/,.


71/85

*- 0/ +=50,

*- 200 +=

C- +=0/

C*+= 2/ 52,

Con las e"a!ones 51, $ 52,# se pros!)"e a enontrar los alores &e*

$C

. La e"a!6n

51, se m"lt!pl!a por 2 $ se s"ma $ resta on la e"a!6n 52,.

C* 20/ +=

52,

C* /D2G2 +=

C*+= 2/

C/EG>=

C=

/E

G>

C= >

S"st!t"$en&o el alor &eC

en las e"a!ones 5/, $ 52, para enontrar*

$-

C*+= 2/

C- +=0/

>2/ = *

>0/ = -

*=+

2

>/

*=/

-=+

0

>/

-=1

Por lo tanto la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales res"lta


72/85


73/85

00000

1

,050,05

/1G

+

++

+

+=

+

+

x

)Cx

x

*-x

x

xx

M"lt!pl!an&o por el m:n!mo omn &enom!na&or

( ( )/020 + xx

se o*t!ene la e"a!6n*'s!a

00

00

0

0

00

001

,05

,0,55

0

,0,55

,05

,0,5/1G5

+

+++

+

++=

+

++

x

x)Cx

x

x*-x

x

xxx

)Cxx*-xxx ++++=+ ,0,55/1G 01

Ecuaci)n Bica

Se &esarrolla la e"a!6n *'s!a $ se a)r"pan t8rm!nos seme%antes

)Cx**x-x-xxx +++++=+ 00/1G 011

)*-xCx*x-xxx +++++=+ 00/1G 011

,05,05/1G 011 )*C-x*x-xxx +++++=+

I)"alan&o oe(!!entes &e t8rm!nos seme%antes en am*os la&os &e la e"a!6n# o*tenemos el

s!stema &e e"a!ones.

-x == G1

*x ==90

C-x +== 0/1/

)*x +== 099

Usan&o los alores ono!&os &e-

$*

C- +=0/1

)* +=09

C+= ,G50/1

)+= ,9509

C=/D/1

)=9

C= 1


74/85

Por lt!mo onl"!mos -"e la &esompos!!6n en (ra!ones par!ales es la s!)"!ente

00000

1

,05

1

0

G

,05

/1G

+

+

+=

+

+

x

x

x

x

x

xx

Ejercicios

/.

00

0

,/5

10

+

+

x

x

0.

10

012>

,05

2G22

+

++

x

xxxxx

1.

,10,5>5

/>/D>00

01

+++

++

xxx

xxx

2.

00

01

,/5

20

+

++

x

xx


75/85

Ecuacione al+e(raica de orden u'eriorEn el ap:t"lo &e opera!ones on pol!nom!os# se "t!l!76 el proeso &e &!!s!6n lar)a para

@allar "n o!ente $ "n res!&"o# s!n em*ar)o# el proeso &e &!!s!6n lar)a term!na "an&o

lle)amos a "n pol!nom!o 5res!&"o, -"e t!ene menor )ra&o -"e el pol!nom!o &el &!!sor.

Un aso t!l $ espe!al &el al)or!tmo &e &!!s!6n para pol!nom!os se presenta s! 3(!) se

&!!&e entre !c # &on&ec, es "n nmero real. S! !c es "n (ator &e 3(!) #

entones+3(!)=(!c )q (!)

Para al)n o!ente -54, $ res!&"o !)"al a ero. S! 4; no es "n (ator &e (54,# entones el

)ra&o &el res!&"o r54, es menor -"e el )ra&o &e 4; $ por tanto r54, &e*e tener )ra&o ero.

Esto s!)n!(!a -"e el res!&"o es "n nmero &!(erente &e ero. En onse"en!a# !c #

se t!ene -"e+3(! )=(!c) q (! )+d # &on&e & el res!&"o $ "n nmero real. E4!ste "n teorema -"e

perm!te al"lar el res!&"o &e manera &!reta. El teorema se m"estra ense)"!&a+!eorema del factor

S! "n pol!nom!o (54, se &!!&e entre 4;# entones el res!&"o es (5,.


Intruccione& *alcule el reiduo de&E#e%'lo ,&

!33!2+!+5

!2

Soluci)n&

Se t!ene -"e !c=!2, por lo -"e c=2

Al apl!ar el teorema &el res!&"o# tenemos -"e+r (!)=3(c)=(2 )33 (2 )2+(2 )+5=3

E#e%'lo -&

!34!2+3!+2!2

Soluci)n&

Se t!ene -"e !c=!2, por lo -"e c=2

Al apl!ar el teorema &el res!&"o# tenemos -"e+


76/85

r (!)=3(c )=(2)34 (2)2+3 (2 )+2=0

En el aso "an&o 3(c)=0 # es &e!r# el res!&"o es ero# se apl!a el s!)"!ente teorema+

!eorema del factor

Un pol!nom!o 3(!) t!ene "n (ator !c s! $ solo s! 3(c)=0.

E#e%'lo &

Al retomar el e%emplo 0# omo el res!&"o es !)"al a ero# se t!ene -"e (!2) es "n

(ator &e !34!2+3!+ 2 .

Soluci)n&

Ense)"!&a se m"estra el al)or!tmo &e la &!!s!6n s!nt8t!a -"e es t!l para onoer el

o!ente $ res!&"o &e "na e4pres!6n &e la (orma3(!)

!c # &on&e (54, es "n pol!nom!o &e

)ra&o n.


77/85

Divii)n int9tica

Apl!ar el teorema &el res!&"o s!)n!(!a &!!&!r "n pol!nom!o (54, entre !c . El m8to&o

&e &!!s!6n es el s!)"!ente+Se om!en7a por esr!*!r el alor &e # $ los oe(!!entes &el pol!nom!o (54, omo se

m"estra ense)"!&a+Paso /+

c an an1 an2 a1 a0

Paso 0+

Se m"lt!pl!a an por $ el pro&"to an se anota *a%o an1 . A ont!n"a!6n se

en"entra bi=an1+ an $ se oloa *a%o la l:nea# omo se m"estra ense)"!&a.

Paso 1+

Se m"lt!pl!a b1 por $ el pro&"to cb1 # se esr!*e *a%o an2 # l"e)o se @alla la

s"ma b2=an2+cb1 $ se pone *a%o la l:nea.

Paso 2+Se ont!na este proeso se)n lo !n&!an las l:neas @asta o*tener la s"ma (!nal

r=a0+cbn1. Los nmeros an , b1 , b2 ,,bn2, bn1 , son los oe(!!entes &el o!ente+

esto es+q (! )=an!

n1+b1!n2++bn2!+bn1 $ r es el res!&"o.

E#e%'lo ,&

Cal"la el o!ente $ res!&"o res"ltante s! 2!4

+5!3

2!8 se &!!&e por !+3

Soluci)n&

Para al"lar el alor &e # !)"alamos+!c=!+3

Al &espe%ar # o*tenemos+c=3


78/85


79/85

Al apl!ar el teorema &el (ator tenemos -"e los (atores &e 3(! ) son

(!+ 2 ) (!2 ) (!3 ) , al e(et"ar el pro&"to &e &!@os (atores o*tenemos+

3(! )=!3+3!24!12

Ejercicios

Intruccione& Apl!-"e el teorema &el res!&"o para al"lar el res!&"o res"ltante &e

&!!&!r+

/. !38!5 entre !+ 3

0. 3!5+6!2+7 entre !+2

1. 4!45!2+1 entre !

1

2

Intruccione& Cal"la el o!ente $ res!&"o res"ltante &e &!!&!r+

/. 2!33!2+4!5 entre !2

-. 4!45!2+1 entre !

1

2

. 2!3+3!24!+ 4 entre !3

4uncione e0'onenciale


80/85

La ("n!6n e4ponen!al ( &a&a por 3(! )=a!

para 0


81/85

2100!=( 12 )

!4

2

100!=2(!4)

De esta (orma# omo $a se t!enen las m!smas *ases# $a es pos!*le !)"alar los e4ponentes

para enontrar el alor &e 4.100!=(!4 )

100!=!+ 4

4=!+100!

4=99!

4

99

=!

E#e%'lo &

e!

2!=1

Soluci)n&

Se o*sera -"e no se t!enen las m!smas *ases# s!n em*ar)o# "an&o se t!ene el /# es ('!l

esr!*!rlo omo "al-"!er *ase $a -"e to&o nmero elea&o a la ero# es "no# &e esta (orma

se t!ene -"e+e

!2!=e0

Al !)"alar los e4ponentes se t!ene -"e+!

2!=0

Al resoler la e"a!6n "a&r't!a se t!ene+ -"e !=0 $ !=1

Nota+ No ol!&es ompro*ar los res"lta&os.


82/85


83/85

/. loga(uv )=logau+ loga v

0. loga( uv )=logauloga v

1. loga uc

=c loga u Para to&o nmero real c .

Observacin:

loga(u+v ) loga u+ loga v

loga(uv ) logauloga v

Sol"!6n &e e"a!ones lo)ar:tm!as.De manera s!m!lar -"e en las ("n!ones e4ponen!ales# s6lo es pos!*le !)"alar los

ar)"mentos s! se t!enen las m!smas *ases &e lo)ar!tmos# pero se &e*e tener "!&a&o al

resoler la e"a!6n $a -"e se t!ene -"e er!(!ar -"e los alores enontra&os no @a)an -"e

el ar)"mento se ne)at!o o ero# &e ser as:# se &e*er' &esartar &!@a sol"!6n.Ejercicios resueltos

Res"ele las s!)"!entes e"a!ones lo)ar:tm!as.E#e%'lo ,.

ln (!2 )=ln (12! )

Soluci)n&

Como se t!enen las m!smas *ases# es pos!*le !)"alar ar)"mentos# esto esF!

2=12!

!2+!12=0

(!3 ) (!+4 )=0

!=3,!=4

Comprobacin:

Para !=3

ln (32 )=ln (123 ) ' ln (9 )=ln (9 )

Por lo tanto

!=3

s! es sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a &a&a.Para !=4

ln(4)2=ln (12(4))' ln (16 )=ln (16 )

Por lo tanto !=4 s! es sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a &a&a.

E#e%'lo -&


84/85

log4(5+! )=3

Soluci)n&

Se o*sera -"e no @a$ lo)ar!tmos en am*os la&os &e la !)"al&a por esta ra76n no se

p"e&e !)"alar el ar)"mento &el lo)ar!tmo on el nmero 2# lo -"e s: es pos!*le# es apl!ar la

prop!e&a& 2 &e los lo)ar!tmos# es &e!r+4

log4 (5+! )=43

Nota -"e lo -"e le @a)as a "n la&o &e la !)"al&a& se lo @aes al otro tam*!8n.Al apl!ar la prop!e&a& se t!ene -"e+5+!=64

!=59

Comprobacin:

log4(5+59 )=3

log4(64 )=3

Lo "al es !erto# por lo tanto la sol"!6n &e la e"a!6n es !=59

E#e%'lo &

log2!+ log2 (!+2 )=3

Soluci)n&

En el la&o !7-"!er&o po&emos apl!ar la pr!mera le$ &e los lo)ar!tmos+log2(! ) (!+2 )=3

log2(!2+2! )=3

Al apl!ar la prop!e&a& 2+

2log2(!

2+ 2! )=23

!2+2!=8

!2+2!8=0

(!+4 ) (!2 )=0

!=4,!=2

Compro*a!6n+

Para !=4

log2(4 )+log2 (4+2 )=3


85/85

log2(4 )+ log2 (2 )=3

Se o*t!enen ar)"mentos ne)at!os# los "'les no est'n &e(!n!&os# &e a-": -"e !=4 no

es sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a.

Para !=2log2(2)+log2(2+ 2 )=3

log2(2 )+ log2 ( 4 )=3

log2(8 )=3

Lo "al es orreto# por lo tanto la sol"!6n &e la e"a!6n lo)ar:tm!a es+ !=2 .

Ejercicios

Intruccione& Res"ela las s!)"!entes e"a!ones lo)ar:tm!as. No ol!&es ompro*ar los

alores enontra&os.

/. log3(!+3 )+ log3(!+5 )=1

0. log2(!+3 )=1log2 (!2 )

1. ln (2!+3 )=ln11+ ln3

2. log!+ log (!+2 )=3

>. log5(2!3 )=log5 12log53

. log!log (!+1 )=log4

. ln (4! )+ ln (3 )=ln (2!)

manual de precálculo

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